المحاضرة 5 - حركة السوائل_2 - جامعة دمشق
المحاضرة 5 - حركة السوائل_2 - جامعة دمشق
المحاضرة 5 - حركة السوائل_2 - جامعة دمشق
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>جامعة</strong> <strong>دمشق</strong><br />
آلية الهندسة المدنية<br />
قسم الهندسة المائية<br />
حرآة السوائل<br />
FLUID KINEMATICS
استمرارية الجريان<br />
Continuity of Flow<br />
يعتمد مبدأ انحفاظ الكتلة Conservation of Mass على أن المادة لا تنعدم<br />
ولا يمكن أن تخلق من العدم، باستثناء ما يحدث في التفاعلات النووية. ويمكن<br />
تطبيق هذا المبدأ على جريان السوائل. فإذا اعتبرنا جزءاً ثابتاً من حقل جريان<br />
يشكل حجم تحكم، يكون لدينا:<br />
m +<br />
1<br />
= m2<br />
m3<br />
-<br />
-<br />
-<br />
آتلة السائل الداخلة إلى حجم<br />
التحكم في واحدة الزمن.<br />
آتلة السائل الخارجة من<br />
التحكم في واحدة الزمن.<br />
حجم<br />
معدل تغير آتلة السائل ضمن<br />
حجم التحكم في واحدة الزمن.<br />
m 1<br />
m 2<br />
m 3
في حالة الجريان المستقر تبقى آتلة السائل الموجودة في حجم التحكم ثابتة مع الزمن،<br />
وتصبح العلاقة السابقة آما يلي:<br />
m =<br />
1<br />
m 2<br />
بتطبيق هذا المبدأ على الجريان المستقر الانضغاطي في أنبوب تيار، واعتبار أن<br />
مساحة مقطعه صغيرة بقدر آاف بحيث يمكن اعتبار سرعة الجريان ثابتة عند أي<br />
مقطع، يمكن آتابة العلاقة:<br />
δA<br />
u<br />
1<br />
ρ<br />
1<br />
1<br />
δA<br />
u<br />
ρ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ρ<br />
1<br />
⋅<br />
1 1 2<br />
δ<br />
2 2<br />
δA ⋅u<br />
= ρ ⋅ A ⋅u<br />
=<br />
Const
ومن أجل جريان حقيقي خلال أنبوب تتغير سرعة جريان السائل عبر مقطع<br />
الجريان، وباستخدام السرعة الوسطية للجريان V، يمكن آتابة معادلة الاستمرار<br />
في حالة الجريان المستقر الانضغاطي على الشكل:<br />
ρ 1<br />
A ⋅V<br />
= ρ ⋅ A ⋅V<br />
=<br />
⋅<br />
1 1 2 2 2<br />
m<br />
وفي حالة جريان مستقر غير قابل للانضغاط حيث:<br />
يمكن آتابة المعادلة السابقة على الشكل التالي:<br />
ρ<br />
1<br />
= ρ 2<br />
A V = A ⋅V<br />
=<br />
1<br />
⋅<br />
1 2 2<br />
Q<br />
يعد مبدأ انحفاظ الكتلة وبالتالي معادلة الاستمرار من أهم معادلات<br />
ميكانيك السوائل،<br />
والتي يمكن بمساعدتها حساب سرعة الجريان عند مقاطع مختلفة من السائل.
يمكن تطبيق معادلة الاستمرار أيضا لحساب العلاقة بين جريان السائل الداخل<br />
والخارج من عقدة تفرع عدد من الأنابيب. وبالرجوع إلى الشكل المبين يمكن آتابة:<br />
الجريان الكلي الداخل إلى العقدة =<br />
الجريان الكلي الخارج من العقدة<br />
ρ<br />
1<br />
⋅Q1<br />
= ρ<br />
2<br />
⋅Q2<br />
+ ρ3<br />
⋅Q3<br />
ومن أجل جريان غير قابل للانضغاط، حيث:<br />
V<br />
ρ ρ = ρ =<br />
1<br />
=<br />
2 3<br />
Q +<br />
1<br />
= Q2<br />
Q3<br />
ρ<br />
1<br />
⋅ A1<br />
= V2<br />
⋅ A2<br />
+ V3<br />
⋅ A3<br />
يكون<br />
أو
وإذا افترضنا بشكل عام أن الجريان نحو العقدة هو الاتجاه الموجب للجريان،<br />
والجريان الخارج من العقدة هو الاتجاه السالب، فإن المجموع الجبري للغزارات<br />
عند العقدة يكون مساويا للصفر، أي أن:<br />
∑ ± Q<br />
i<br />
= 0
المسألة الثانية<br />
V 1 ,V 2<br />
احسب قيمتي سرعة تدفق الهواء<br />
في الوصلة المبينة في الشكل.<br />
علماً بأن<br />
m = 0.07kg<br />
/<br />
s<br />
: mm<br />
، آما أن الغزارة الكتلية<br />
D1 = 250mm,<br />
D1<br />
= 80<br />
ρ =<br />
1.20kg<br />
/ m<br />
3<br />
والكتلة<br />
النوعية للهواء
الحل :<br />
من معادلة الاستمرار لدينا :<br />
m<br />
= ρ ⋅ A ρ<br />
1<br />
⋅V1<br />
= ⋅ A2<br />
⋅V2<br />
أي أن:<br />
m 4 ⋅ 0.07<br />
V = =<br />
1.19m<br />
/<br />
1 2<br />
ρ ⋅ A 1.20 ⋅π<br />
⋅ 0.25<br />
=<br />
1<br />
s<br />
و:<br />
m 4⋅0.07<br />
V = =<br />
11.61m<br />
/<br />
2 2<br />
ρ ⋅ A 1.20⋅π<br />
⋅0.08<br />
=<br />
2<br />
s
δ x,<br />
δy,<br />
δz<br />
معادلة الاستمرار التفاضلية<br />
Differential Continuity Equation<br />
يوضح الشكل حجم تحكم من سائل على شكل متوازي مستطيلات أبعاده<br />
وبفرض أن إحداثيات مرآز المتوازي هي:<br />
x , y,<br />
z<br />
الثلاثة والكتلة النوعية في مرآز هذا الحجم هي:<br />
وأن مرآبات السرعة في الاتجاهات<br />
u, v,<br />
w,<br />
ρ
نايرجلا ةعرس نإف<br />
ةتسلا هجولأا ىلع ةيعونلا ةلتكلاو<br />
:تاقلاعلاب ىطعت مكحتلا مجحل<br />
2<br />
2<br />
/<br />
x<br />
x<br />
u<br />
u<br />
u<br />
x<br />
x<br />
δ<br />
δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
=<br />
+ 2<br />
2<br />
/<br />
x<br />
x<br />
u<br />
u<br />
u<br />
x<br />
x<br />
δ<br />
δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
−<br />
2<br />
2<br />
/<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
=<br />
+<br />
2<br />
2<br />
/<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
−<br />
2<br />
2<br />
/<br />
y<br />
y<br />
v<br />
v<br />
v<br />
y<br />
y<br />
δ<br />
δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
=<br />
+<br />
2<br />
2<br />
/<br />
y<br />
y<br />
v<br />
v<br />
v<br />
y<br />
y<br />
δ<br />
δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
−<br />
2<br />
2<br />
/<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ δ ⋅<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
=<br />
+<br />
2<br />
2<br />
/<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ δ ⋅<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
−<br />
2<br />
2<br />
/<br />
z<br />
z<br />
w<br />
w<br />
w<br />
z<br />
z<br />
δ<br />
δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
=<br />
+ 2<br />
2<br />
/<br />
z<br />
z<br />
w<br />
w<br />
w<br />
z<br />
z<br />
δ<br />
δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
−<br />
2<br />
2<br />
/<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
=<br />
+<br />
2<br />
2<br />
/<br />
z<br />
z<br />
z<br />
z<br />
δ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ δ<br />
⋅<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
−
وبناء عليه يكون معدل جريان الكتلة من خلال الجانب الأيمن مساوياً :<br />
⎛<br />
⎜u<br />
+<br />
⎝<br />
∂u<br />
∂x<br />
δx<br />
⋅<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜ ρ +<br />
⎝<br />
∂ρ<br />
δx<br />
⎞<br />
⋅ ⎟ ⋅δy<br />
⋅δz<br />
∂x<br />
2 ⎠<br />
ومن الجانب الأيسر مساوياً:<br />
x<br />
⎛<br />
⎜u<br />
⎝<br />
∂u<br />
−<br />
∂x<br />
δx<br />
⋅<br />
2<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜ ρ −<br />
⎝<br />
∂ρ<br />
δx<br />
⎞<br />
⋅ ⎟ ⋅δy<br />
⋅δz<br />
∂x<br />
2 ⎠<br />
ويكون المعدل الصافي لجريان الكتلة إلى حجم التحكم في الاتجاه<br />
هو:<br />
⎛<br />
⎜u<br />
⎝<br />
∂ρ<br />
∂u<br />
⎞<br />
⋅ + ρ ⎟ ⋅δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz<br />
∂x<br />
∂x<br />
⎠<br />
∂<br />
( u ⋅ ρ )<br />
∂x<br />
⋅δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz<br />
أو بشكل آخر:
وبشكل مماثل يكون المعدل الصافي لجريان الكتلة إلى حجم التحكم في ا لاتجاهين<br />
∂<br />
∂<br />
( v ⋅ ρ)<br />
∂y<br />
( w ⋅ ρ )<br />
∂z<br />
⋅δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz<br />
⋅δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz<br />
,y z آما يلي:<br />
وعليه يكون المعدل الصافي لجريان الكتلة إلى حجم التحكم في الاتجاهات الثلاثة مساوياً:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂<br />
( u ⋅ ρ ) ∂( v ⋅ ρ) ∂( w ⋅ ρ )<br />
∂x<br />
+<br />
∂y<br />
+<br />
∂z<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz
إن مبدأ انحفاظ الكتلة ينص على :<br />
المعدل الصافي لجريان آتلة السائل الى حجم التحكم +<br />
معدل تغير آتلة السائل في هذا الحجم في واحدة الزمن=0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂<br />
( u ⋅ ρ ) ∂( v ⋅ ρ ) ∂( w ⋅ ρ )<br />
∂x<br />
+<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂<br />
∂y<br />
+<br />
∂z<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz<br />
( u ⋅ ρ ) ∂( v ⋅ ρ ) ∂( w ⋅ ρ )<br />
∂x<br />
+<br />
∂y<br />
+<br />
∂z<br />
⎞<br />
⎟ +<br />
⎠<br />
وبالتالي يكون لدينا:<br />
∂ρ<br />
+ ⋅δx<br />
⋅δy<br />
⋅δz<br />
= 0<br />
∂t<br />
∂ρ<br />
= 0<br />
∂t<br />
وأخيراً، نجد أن:<br />
تمثل المعادلة السابقة معادلة الاستمرار بشكلها العام، وهي تصلح لجميع أنواع<br />
الجريانات مستقرة أم غير مستقرة، ولزجة أم غير لزجة، وانضغاطية أم غير قابلة<br />
للانضغاط.
ρ =<br />
∂ρ<br />
Const, = 0<br />
∂t<br />
∂u<br />
∂x<br />
وعندما يكون الجريان غير قابل للانضغاط يكون<br />
وتأخذ معادلة الاستمرار الشكل التالي:<br />
∂v<br />
∂w<br />
+ + = 0<br />
∂y<br />
∂z<br />
وهي تمثل معادلة الاستمرار للجريان غير الانضغاطي مستقراً آان أم لا.<br />
الجريان ثنائي البعد تأخذ المعادلة السابقة الشكل التالي:<br />
وفي حال<br />
∂u<br />
∂x<br />
∂v<br />
+ = 0<br />
∂y
الجريان الدوراني والجريان غير الدوراني<br />
Rotational and Irrotational Flow<br />
لو درسنا في الحالة العامة حرآة عنصر من سائل ما بين اللحظة واللحظة ، فإننا نجد أن<br />
هذه الحرآة تتكون من تراآم عدة حرآات. الأولى هي حرآة انسحابية<br />
ينتقل العنصر من موقع إلى آخر دون أن يغير من سرعته، ودون أن يتعرض إلى أي دوران.<br />
والثانية هي التشوه الخطي ،Linear Deformation حيث يحصل تغير في سرعة الجزيء<br />
عند انتقاله من وضع لآخر دون تعرضه إلى حرآة دورانية. والثالثة هي دوران الجزيء<br />
في نفس الاتجاه بزاوية حول المحور العمودي على مستوي الورقة. وأخيراً<br />
التشوه الزاوي Angular Deformation حيث يتعرض الجزيء إلى تشوه.<br />
،Translation حيث<br />
Rotation
يمكن أن يكون الجريان في الحالة العامة دورانيًا أو غير دوراني.<br />
ويعرف الجريان<br />
الدوراني ،Rotational Flow بأنه الجريان الذي يعاني فيه السائل حرآة<br />
دورانية<br />
صافية من لحظة لأخرى بالنسبة لإطار مرجعي معين.<br />
أما الجريان غير الدوراني<br />
u<br />
:z<br />
فهو عكس ذلك.<br />
إن معدل دوران عنصر حول المحور<br />
ω<br />
z<br />
=<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂v<br />
∂x<br />
−<br />
∂u<br />
∂y<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
y<br />
وآما ذآرنا سابقا، فإنه ليكون<br />
x<br />
V<br />
الجريان غير دوراني يجب أن<br />
يكون معدل الدوران مساوياً<br />
الصفر.
وفي حالة الجريان ثنائي البعد في المستوي (x,y)<br />
يكون الجريان غير دوراني إذا آان:<br />
ω z<br />
=<br />
1<br />
2<br />
⋅<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∂v<br />
∂x<br />
−<br />
∂u<br />
∂y<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
=<br />
0<br />
ومنه:<br />
∂v<br />
∂x<br />
−<br />
∂u<br />
∂y<br />
= 0<br />
وبشكل مماثل يكون الجريان غير دوراني في حالة الجريان ثلاثي البعد<br />
عندما:<br />
∂v<br />
∂w<br />
−<br />
∂z<br />
∂y<br />
∂u<br />
∂w<br />
−<br />
∂z<br />
∂x<br />
= 0<br />
= 0<br />
∂v<br />
∂x<br />
−<br />
∂u<br />
∂y<br />
= 0
الجولان والتدوم Circulation and Vorticity<br />
لنأخذ جزيئاً من سائل يتحرك على مسار معين مغلق، حيث السرعة اللحظية<br />
في آل نقطة .<br />
وبين العنصر الخطي<br />
ولنأخذ عند آل نقطة من هذا المسار<br />
V r<br />
الجداء السلمي بين متجه السرعة<br />
V r<br />
ds<br />
آما يلي: r<br />
d Γ<br />
r r = V ⋅ ds<br />
ندعوdΓ<br />
جولان متجه السرعة<br />
على القوس العنصري<br />
V r<br />
ds<br />
r<br />
فإذا أجرينا التكامل المنحنى على آامل<br />
المسار المغلق رياضياً فإننا نحصل على:<br />
معلومة
R<br />
r r<br />
Γ = ∫V<br />
⋅ ds<br />
c<br />
حيث يدعى Γ<br />
الجولان Circulation على طول المنحنى المغلق.<br />
وبفرض أن جزيئات السائل تتحرك على منحن دائري مغلق نصف قطره<br />
بسرعة زاوية ثابتة مقدارها ω، 0 فإن الجولان على طول هذا المسار الدائري:<br />
Γ = ∫ R ⋅ω<br />
ω<br />
c<br />
2<br />
0<br />
⋅ R ⋅ dϕ<br />
= 2 ⋅π<br />
⋅<br />
0<br />
⋅ R<br />
ندعو الجولان في واحدة المساحة بالتدوم Vorticity
الجريان الكموني Potential Flow<br />
يمكن معرفة أشياء آثيرة عن جريان ما عن طريق دراسة سلوك خطوط التيار فيه.<br />
فالقوانين التي تتحكم بهذا السلوك، تم بحثها من قبل مدرسة الرياضيين النظريين<br />
) الهيدروديناميكيين (<br />
في القرن الثامن عشر. وبغية الحصول على نماذج رياضية<br />
واضحة للجريان طرح هؤلاء الرياضيون مفهوم السائل المثالي آما تم شرحه<br />
مسبقاً. فالسائل المثالي هو سائل وهمي يفترض عدم لزوجة وانضغاطية للسائل.<br />
وعندما يكون جريان السائل المثالي غير دوراني، فإننا ندعو هذا الجريان جريانًا<br />
آمونياً<br />
.Potential Flow<br />
وعلى الرغم من أن الجريان الكموني يعتمد على مفهوم سائل مثالي وهمي، إلا أنه<br />
يعطي نتائج جيدة ومعبرة عن الواقع في بعض الحالات. وأآثر الحالات التي تستخدم<br />
فيها نظرية الجريان الكموني بنجاح جريان الماء عبر أجسام السدود الترابية وتحت<br />
أساساتها، وآذلك الجريان تحت البوابات.
تابع التيار Stream Function<br />
يعد تابع التيار ψ Stream Function<br />
المعتمد على مبدأ الاستمرار تعبيراً رياضياً<br />
لوصف حقل الجريان .<br />
ويوضح الشكل خطي تيار متجاورين في حقل جريان ثنائي البعد.<br />
وبفرض أن<br />
( x, y) = 0<br />
يمثل خط التيار الثاني.<br />
يمثل الجريان بين خطي تيار.<br />
ويمكن من الشكل آتابة:<br />
ψ يمثل خط التيار الأقرب إلى مبدأ الإحداثيات و<br />
وحيث أنه لا يوجد جريان عمودي على خط التيار، فإن<br />
ψ + dψ<br />
dψ<br />
dψ<br />
= −v<br />
⋅ dx<br />
+ u ⋅ dy
آذلك يمكن التعبير عن المشتق الكلي لتابع التيار وفق المعادلة:<br />
∂ψ<br />
∂ψ<br />
dψ<br />
= ⋅ dx + ⋅ dy<br />
∂x<br />
∂y<br />
وبمقارنة المعادلتين السابقتين، يمكن بسهولة ملاحظة أن:<br />
u<br />
= ∂ ψ ∂ψ<br />
v = −<br />
∂y<br />
∂ x<br />
مما سبق نجد أنه إذا أمكن التعبير عن<br />
بدلالة ψ<br />
السرعة عند أية نقطة في حقل جريان ثنائي البعد.<br />
وبالعكس فإذا أمكن التعبير عن مرآبات السرعة<br />
x, y<br />
بدلالة u,v<br />
، فإنه يمكننا إيجاد مرآبات<br />
x, y<br />
، فإنه يمكن<br />
إيجاد تابع التيار بإجراء التكامل. وهنا تجدر الإشارة أن استنتاج تابع التيار يعتمد على مبدأ<br />
الاستمرار، لذلك من الضروري أن تتحقق معادلة الاستمرار حتى يمكن وجود تابع الجريان.
آما نعلم سابقاً تعطى معادلة الاستمرار في حالة جريان ثنائي البعد غير قابل للانضغاط<br />
بالعلاقة:<br />
∂u<br />
∂x<br />
+<br />
∂v<br />
∂y<br />
= 0<br />
ψ<br />
وبالتعبير عن u,v<br />
بدلالة<br />
يمكن آتابة المعادلة السابقة آما يلي:<br />
2<br />
∂ ψ<br />
∂x<br />
⋅∂y<br />
−<br />
2<br />
∂ ψ<br />
∂y<br />
⋅∂x<br />
=<br />
0<br />
وآما ذآرنا سابقاً من خلال تعريف الجريان الكموني على أنه جريان<br />
غيردوراني، لذلك يكون:<br />
∂v<br />
∂x<br />
−<br />
∂u<br />
∂y<br />
= 0
وبالتعبير عن<br />
بدلالة<br />
ψ في المعادلة السابقة، نحصل على:<br />
u,v<br />
2<br />
∂ ψ<br />
+<br />
2<br />
∂x<br />
∂<br />
2<br />
∂y<br />
ψ<br />
2<br />
=<br />
0<br />
تدعى هذه المعادلة معادلة<br />
لابلاس التفاضلية .Laplace's Equation<br />
ومن هنا<br />
نستنتج أن تابع التيار يجب أن يحقق معادلة لابلاس التفاضلية في الجريان الكموني.
φ<br />
( x, y)<br />
تابع آمون السرعة Velocity Potential<br />
يعرف تابع آمون السرعة Velocity Potential<br />
في الإحداثيات الديكارتية آما يلي:<br />
في جريان ثنائي البعد<br />
u<br />
= ∂ φ ∂<br />
v = φ<br />
∂x<br />
∂ y<br />
وبمقارنة هاتين المعادلتين مع معادلتين سابقتين، نجد أن:<br />
∂φ<br />
∂ψ<br />
=<br />
∂x ∂y<br />
∂φ<br />
∂ψ<br />
= −<br />
∂y ∂x<br />
تحمل المساواتان السابقتان اسم شروط (آوشي – ريمان) نسبة للعالمين آوشي وريمان<br />
.Couchy (1789-1857), Reimann (1826-1866)
ولو عوضنا المعادلتين في معادلة الاستمرار، نحصل على :<br />
2<br />
∂ φ<br />
+<br />
2<br />
∂x<br />
2<br />
∂ φ<br />
=<br />
2<br />
∂y<br />
0<br />
أي أن تابع آمون السرعة يحقق معادلة لابلاس التفاضلية .Laplace's Equation
العلاقة بين خطوط التيار وخطوط تساوي الكمون<br />
Relation between Streamline and Equipotenial Line<br />
dψ<br />
=<br />
∂ψ<br />
⋅ dx<br />
∂x<br />
+<br />
∂ψ<br />
⋅ dy<br />
∂y<br />
وجدنا سابقاً أن:<br />
dψ<br />
= −v<br />
⋅ dx<br />
+<br />
u<br />
⋅ dy<br />
أي أن:<br />
ووجدنا أيضاً أن:<br />
dφ<br />
=<br />
∂φ<br />
⋅ dx<br />
∂x<br />
+<br />
∂φ<br />
⋅ dy<br />
∂y<br />
أي أن:<br />
dφ<br />
=<br />
u<br />
⋅<br />
dx<br />
+<br />
v<br />
⋅<br />
dy
ψ<br />
بالنسبة لخط تيار معين يكون ( x , y) = Const<br />
على طول خط التيار، أي أن<br />
= 0 dψ ، وهذا يعني أن:<br />
dψ = −v<br />
⋅ dx + u ⋅ dy<br />
dy =<br />
dx<br />
v<br />
u<br />
= 0<br />
ومنه:<br />
φ<br />
وبشكل مشابه، بالنسبة لخط آمون فإن ( x , (y = Const<br />
على طول الخط، أي أن<br />
. وهذا يعني أن:<br />
dφ = 0<br />
dφ = u ⋅ dx + v ⋅ dy<br />
dy<br />
dx<br />
= −<br />
u<br />
v<br />
= 0<br />
ومنه:
ويدل ذلك هندسيا على أن خطوط التيار وخطوط الكمون تكون متعامدة فيما بينها،<br />
لأن جداء ميل<br />
وخطوط التيار<br />
المماسات يساوي.<br />
وتكو ِّن خطوط الكمون<br />
φ<br />
( x , y) = C1<br />
ψ<br />
( x , y) = C2<br />
شبكة من الخطوط المتعامدة تدعى شبكة الجريان<br />
خطوط التيار وخطوط تساوي الكمون لجريان عبر زاوية قائمة
مثال<br />
ψ = 4 ⋅ x − 2<br />
⋅<br />
يعطى تابع التيار لأحد الجريانات بالعلاقة: y<br />
أثبت أن هذا الجريان هو جريان آموني، ثم استنتج تابع آمون السرعة .<br />
الحل:<br />
إذاً :<br />
ليكون الجريان آمونياً يجب أن يحقق معادلة<br />
لابلاس التفاضلية.<br />
∂<br />
2<br />
∂ ψ ∂ ψ<br />
= 4 , = 0<br />
2<br />
∂ x ∂ x<br />
2<br />
∂ψ<br />
∂ ψ<br />
= −2,<br />
= 0<br />
2<br />
∂y<br />
∂y<br />
2<br />
∂x<br />
ψ<br />
2<br />
+<br />
∂<br />
2<br />
∂y<br />
ψ<br />
2<br />
= 0 + 0 =<br />
0<br />
و:<br />
بالتالي:
ومنه نستنتج أن تابع التيار يحقق معادلة لابلاس التفاضلية، أي أن الجريان الذي<br />
∂φ<br />
=<br />
∂y<br />
∂φ<br />
∂x<br />
φ =<br />
F′<br />
=<br />
∂ψ<br />
∂y<br />
=<br />
يمثله هذا التابع هو جريان آموني.<br />
ولاستنتاج تابع آمون السرعة لدينا:<br />
−2<br />
−2 ⋅ x + F(<br />
y)<br />
، نجد أن :<br />
∂ψ<br />
∂x<br />
y<br />
( y) = − = −4<br />
F ( y)<br />
= −4<br />
⋅ y +<br />
C<br />
φ = −2<br />
⋅ x + −4<br />
⋅ y +<br />
C<br />
وبالمكاملة نجد :<br />
وبالاشتقاق بالنسبة للمتغير<br />
ومنه :<br />
بالتالي يكون تابع الكمون هو :