MATB15 Flervariabelanalys 1 Topologi i Rn - Matematikcentrum

Matematikcentrum
Matematik NF
MATB15 Flervariabelanalys
Dessa kontrollfrågor kan tjäna som ett stöd för att förbereda dig till den muntliga tentamen. Om
du kan svara på dom flesta av frågorna, och under lämpliga antaganden styrka dina svar matematiskt
(om inte annat anges), så är din förståelse för kursen riktigt bra!
Listan kommer att kompletteras efter sista föreläsningen.
1 Topologi i R n
• Hur definierar vi dom grundläggande begreppen: avstånd mellan två punkter, öppet klot, inre
punkt, randpunkt, yttre punkt, öppen mängd, komplementmängd, randmängd, slutet hölje,
sluten mängd, punktföljd, begränsade mängder, kompakta mängder, bågvis sammanhängande
mängder
– Varför är öppna klot öppna, och slutna höljen slutna Varför är M öppet om och bara om
CM är slutet Om A,B öppna (slutna), är A ∩ B och A ∪ B öppna (slutna)
– Vad är sammanhanget mellan konvergens av punktföljd i R n och punktföljdens koordinater
– Hur beskrivs slutna mängder genom punktföljder
– Hur beskrivs kompakta mängder genom öppna övertäckningar (bevis krävs inte) Bonus:
Kan du en beskrivning genom punktföljder (har nämnts i föreläsningen, men inte i
boken)
• Hur definierar vi: konvergens av punktföljder, kontinuitet och likformig kontinuitet av funktioner
– Vad är sammanhanget mellan kontinuitet av en funktion f(x) = (f 1 (x), · · · ,f p (x))
och av funktionerna f i
– Hur beskrivs kontinuitet genom punktföljder
– Om f : R n → R p ,g : R m → R k är två kontinuerliga funktioner, när är f ◦g definierad,
och varför måste f ◦ g då vara kontinuerlig
• Givet en kontinuerlig funktion f : E ⊂ R n → R, vad måste E uppfylla för att:
– f skall vara en begränsad funktion
– f skall ha globala maximum och minimum (Vad menar vi med att en funktion har
maximum och minimum)
– f skall uppfylla mellanvärdessatsen
– f är likformigt kontinuerlig (bevis krävs inte)
Var god vänd!

2 Differentialkalkyl
• Hur definierar vi: partiella derivator, gradient, riktningsderivata och derivatan av f : R n → R p .
– Hur tolkar vi gradienten geometriskt Vad betyder den i termer av nivåytor Hur hjälper
det oss hitta tangentlinjer, och tangentytor till nivåytor
– Hur kan vi förstå derivatan av f : R n ↦−→ R p geometriskt
– Den allmänna kedjeregeln.
• Hur definierar vi: differentierbarhet, och klassen C k
– Vad betyder det geometriskt att f : R 2 → R är differentierbar i en punkt
– Vad är sammanhangen mellan att vara kontinuerlig, att ha partiella derivator och att vara
differentierbar
– När är ∂ i ∂ j f = ∂ j ∂ i f
– Vad är Taylors formel av första och andra ordningen Kan du härleda dom under lämpliga
antaganden
• Hur definierar vi stationär punkt, sadelpunkt och lokala och globala maxima och minima
– Hur används partiella derivator för att optimera en funktion på en kompakta
– Hur kan vi avgöra om en stationär punkt är ett lokalt maxima, minima eller sadelpunkt
– Hur optimerar vi en funktion under bivillkor
• Vad säger inversa funktionssatsen Vad säger den implicita funktionssatsen
– Kan du formulera den inversa funktionssatsen för funktioner f : R n → R n (Bevis krävs
ej.)
– Kan du formulera den implicita funktionssatsen för kurvor i planet
– Kan du visa hur satsen om implicita funktioner följer av inversa funktionssatsen för kurvor
i planet
3 Integrationskalkyl
• Hur definierar vi: integral av trappfunktioner på intervall (rektanglar) i R 2
– Varför är integralen av en trappfunktion i R 2 lineär och ordningsbevarande (Vad betyder
det)
• Hur definierar vi en integrerbar funktion på intervall i R 2
– Vad är itererade integral, och hur hänger de samman med dubbelintegraler
– Varför är kontinuerliga funktioner integrerbara över intervall
– När är avbildningen s ∈ [c,d] ↦−→ ∫ b
a
f(x,s)dx kontinuerlig
• Hur definierar vi: nollmängd, kvadrerbar mängd
– Hur utvidgar vi integralbegreppet till kvadrerbara mängder i R 2 (Här krävs bara en beskrivning
av strategin, och formulering av Sats 4.1.)
– Hur definierar vi area av en kvadrerbar mängd

– Hur gör vi ett variabelbyte (Bevis i termer av Riemannsummor krävs bara för lineärt
variabelbyte.)
• Vad menas med en generaliserad integral (Här får ni handwava så mycket ni vill, men ha koll
på vilka förutsättningar du vill göra.) Vad betyder konvergens och divergens
– När är ∫ R n |x| α konvergent, divergent
– Hur kan man använda detta till att bestämma om en generaliserad integral är konvergent
eller divergent
4 Vektoranalys
• Hur definierar vi: parameteriserade kurvor och ytor
– Vad är en enkel kurva Vad är en sluten kurva Vad är ett kurvstycke
– Vad är ett ytstycke
– I förelesningarna pratade vi om betingelser för att en kurva och en yta skall se glatta (eller
släta) ut. Vad var dessa
– Vad är en orienterad yta
• Hur definierar vi: kurvintegral och ytintegral
– Kan du förklara vad vi menar med flödet av ett vektorfält over en kurva i planet, eller en
yta i rummet (Definierad explicit i förlesning, och används implicit i boken.)
– Kan du förklara vad vi menar med cirkulationen av ett vektorfält langs en kurva
• Hur definierar vi: exakta differential (konservativa vektorfält) och vad menas med potentialfunktionen
till ett vektorfält
– Visa att om ett vektorfält u är konservativt så beror kurvintegralen ∫ γ
(u,T)ds bara på
ändpunkterna till kurvan γ.
– Kan du visa omvändningen till utsagan i föregående fråga
– Vad är ett slutet differential (slutet vektorfält), och vad är sammanhanget till exakta differential
(konservativa vektorfält).
• Hur definierar vi: divergens och rotation av ett vektorfält
– Vad säger Gauss och Greens formler i R 2 Kan du härleda dom under lämpliga förutsättningar
– Vad säger Gauss och Stokes formler i R 3 (Bevis krävs inte.)