Tal, delar och oändlighet Angelika Kullberg - Göteborgs universitet
Tal, delar och oändlighet Angelika Kullberg - Göteborgs universitet
Tal, delar och oändlighet Angelika Kullberg - Göteborgs universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
GÖTEBORGS UNIVERSITET<br />
Program i pedagogik med didaktisk inriktning<br />
Box 300, SE 405 30 Göteborg<br />
<strong>Tal</strong>, <strong>delar</strong> <strong>och</strong> <strong>oändlighet</strong><br />
En studie om avgörande skillnader i undervisning <strong>och</strong> lärande om decimaltal<br />
<strong>Angelika</strong> <strong>Kullberg</strong><br />
Handledare: Ulla Runesson<br />
Examinator: Maj Asplund Carlsson<br />
Fördjupningsarbete 10 poäng<br />
Mölndal, november 2004
Abstract<br />
Arbetets art: Fördjupningsarbete 10 p. Program i pedagogik med didaktisk inriktning<br />
Författare: <strong>Angelika</strong> <strong>Kullberg</strong><br />
Handledare: Ulla Runesson<br />
Examinator: Maj Asplund Carlsson<br />
Titel: <strong>Tal</strong>, <strong>delar</strong> <strong>och</strong> <strong>oändlighet</strong>. En studie om avgörande skillnader i undervisning <strong>och</strong><br />
lärande om decimaltal<br />
Sidantal: 41<br />
Datum: November 2004<br />
________________________________________________________________________<br />
Bakgrund <strong>och</strong> syfte: Elevers möjlighet att lära har studerats internationellt (TIMSS video<br />
study, Stigler <strong>och</strong> Hiebert, 2000) <strong>och</strong> forskarna har genom att jämföra olika länders<br />
undervisning kunnat beskriva skillnader <strong>och</strong> dess betydelse för elevernas lärande (Marton<br />
<strong>och</strong> Morris, 2002). Den här studien syftar till att beskriva skillnader i sättet som lärandets<br />
innehåll behandlas under tre olika lektioner <strong>och</strong> vad de skillnaderna betyder för elevernas<br />
lärande. I analysen söker jag kritiska aspekter för elevernas lärande.<br />
Uppläggning <strong>och</strong> metod: Tre lärare har tillsammans med forskare arbetat med att planera<br />
undervisning enligt en modell som kallas learning study. Utfallet av de tre lektioner som<br />
planerats har analyserats tillsammans med elevernas testresultat före <strong>och</strong> efter respektive<br />
lektion. Min utgångspunkt är att variation är nödvändig för lärande <strong>och</strong> jag använder<br />
variationsteorin (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004) <strong>och</strong> begrepp från fenomenografiska<br />
tankar (Marton <strong>och</strong> Booth, 2000) om lärande i min analys.<br />
Resultat: Lärandets utfall var olika efter de tre lektionerna, d.v.s. eleverna lärde sig i olika<br />
grad under de olika lektionerna. Det som var avgörande (de kritsika apekterna) för elevernas<br />
lärande som identifierats i den här studien är;<br />
• Olika former av rationella tal- Med det menas olika sätt att uttrycka ett rationellt tal i<br />
t.ex. bråkform, procent <strong>och</strong> decimalform.<br />
• Del-helhets förhållandet- Med det menas att man kan ta (delen) t.ex. noll komma<br />
nittiosju av något (helheten) t.ex. linjalen.<br />
De variationsmönster som lärarna skapar i undervisningen visar sig vara kritiska för<br />
elevernas lärande. Den stora skillnaden mellan lektionerna blir följaktligen att i klass A har<br />
eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal tal i intervallet mellan 0,97 <strong>och</strong> 0,98 .<br />
Medan i klass B <strong>och</strong> C har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt antal <strong>delar</strong> i<br />
intervallet. Resultatet visar att de elever som fått erfara möjligt antal <strong>delar</strong> i intervallet<br />
svarar på eftertestet att det finns oändligt många decimaltal.
INNEHÅLLSFÖRTECKNING<br />
BAKGRUND .......................................................................................................................................................1<br />
TEORETISK GRUND........................................................................................................................................2<br />
LÄRANDETS OBJEKT.............................................................................................................................2<br />
VARIATION OCH LÄRANDE.....................................................................................................................4<br />
LEARNING STUDY.................................................................................................................................6<br />
STUDIER OM ELEVERS LÄRANDE AV DECIMALTAL ...................................................................................8<br />
PROBLEMFORMULERING OCH SYFTE..................................................................................................10<br />
METOD .............................................................................................................................................................10<br />
STUDIENS UPPLÄGGNING ...................................................................................................................10<br />
FÖRSÖKSPERSONER..........................................................................................................................11<br />
URVAL ..............................................................................................................................................11<br />
ETIK..................................................................................................................................................11<br />
DATA OCH DATABEHANDLING..............................................................................................................12<br />
ANALYSPROCESSEN ..........................................................................................................................12<br />
TILLFÖRLITLIGHET..............................................................................................................................13<br />
RESULTAT .......................................................................................................................................................15<br />
REDOVISNING AV RESULTAT ...............................................................................................................15<br />
ÖVERGRIPANDE LIKHETER OCH SKILLNADER MELLAN LEKTIONERNA......................................................15<br />
Tabell 1. Lektionernas övergripande innehåll <strong>och</strong> struktur ......................................................................16<br />
FÖRSTA LEKTIONEN (KLASS A)...........................................................................................................17<br />
MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS A) ............................................................................20<br />
ANDRA LEKTIONEN (KLASS B) ............................................................................................................22<br />
MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS B) ............................................................................26<br />
TREDJE LEKTIONEN (KLASS C) ...........................................................................................................28<br />
MÖNSTER AV VARIATION OCH INVARIANS (KLASS C) ............................................................................31<br />
DIMENSIONER AV VARIATION ..............................................................................................................31<br />
Tabell 2.Sammanfattning av klass A, B <strong>och</strong> C med avseende på dimensioner av variation......................32<br />
Figur 1. Vad eleverna haft möjlighet att erfara i klass A, B <strong>och</strong> C. ..........................................................33<br />
ELEVERNAS LÄRANDE ........................................................................................................................34<br />
Tabell 3. Resultat av förtest <strong>och</strong> eftertest. . ...............................................................................................34<br />
KRITISKA ASPEKTER...........................................................................................................................36<br />
DISKUSSION....................................................................................................................................................37<br />
REFERENSER..................................................................................................................................................40<br />
BILAGA 1...............................................................................................................................................<br />
BILAGA 2...............................................................................................................................................<br />
BILAGA 3...............................................................................................................................................
Bakgrund<br />
Vad erbjuds eleverna att lära under en lektion? Läraren har en bild av vad eleverna skall lära<br />
sig, men ger undervisningen eleven en möjlighet att lära det? Den här studien kommer att<br />
undersöka vad eleverna erbjuds att lära <strong>och</strong> vad de lär under tre olika lektioner i matematik<br />
för att identifiera det som är kritiskt för elevernas lärande.<br />
En internationell undersökning av elevers kunskaper i matematik Third International<br />
Mathematics and Science Study (TIMSS) (Stigler <strong>och</strong> Hierbert, 1999) visar att elever från<br />
asiatiska länder som t.ex. Japan <strong>och</strong> Hong Kong lyckas bäst. En uppföljande studie (Stigler<br />
<strong>och</strong> Hierbert, 2000) av videofilmade lektioner, TIMSS videostudy, visar på skillnader som<br />
kan förklara resultaten. En förklaring är de sätt lärarna undervisar på. Marton <strong>och</strong> Morris<br />
(2002) menar att de viktigaste skillnaderna mellan amerikanska <strong>och</strong> japanska<br />
matematiklektioner är att i det sistnämnda är eleverna fokuserade på ett problem åt gången<br />
<strong>och</strong> försöker finna lösningar (olika metoder) på det medan elever på amerikanska lektioner<br />
får lösa många problem med samma metod. Eleverna får möta olika objekt för lärande (den<br />
förmåga som eleven skall lära sig) <strong>och</strong> har olika möjligheter att lära även om lärarna hade<br />
samma objekt för lärande. I det ena fallet så får eleverna lära sig att lösa ett problem genom<br />
att de får möta en variation av lösningssätt på problemet <strong>och</strong> i det andra fallet lära sig en<br />
lösningsmetod genom att eleverna får möta en variation av uppgifter som de skall lösa med<br />
samma metod.<br />
Metoden för lärarnas kompetensutveckling ges av Stigler <strong>och</strong> Hiebert (1999) som en<br />
förklaring till de goda resultaten på TIMSS. I Japan kompetensutvecklar lärarna sig genom<br />
att på ett systematiskt sätt diskutera <strong>och</strong> planera undervisning utifrån de förmågor de vill<br />
utveckla hos eleverna <strong>och</strong> de svårigheter som finns. Metoden de använder kallas lesson<br />
study. I en lesson study arbetar lärare i lag med att utveckla undervisningen genom att<br />
observera varandra när de undervisar om samma sak <strong>och</strong> diskutera erfarenheter <strong>och</strong> resultat.<br />
Den här studien kommer att fokusera på vad eleverna erbjuds att lära under en lektion om<br />
decimaltal i år 6 <strong>och</strong> hur tre lärare hanterar detta objekt för lärande. I analysen identifierar<br />
jag kritiska aspekter för elevernas lärande. Den metod, learning study, som används i den<br />
här studien har stora likheter med den metod som används i Japan. En learning study knyter<br />
mer an till forskning om lärande än en lesson study <strong>och</strong> i en learning study är en forskare är<br />
med i processen. Learning study har används som en metod i Hong Kong under några år <strong>och</strong><br />
har visat på goda resultat för elevernas lärande (Marton, 2003). Learning study är en ny<br />
metod i Sverige <strong>och</strong> denna studie kan ses som en av de första learning studies som gjorts i<br />
Sverige. Studien är en delstudie i projektet Lärandets pedagogik 1 vid <strong>Göteborgs</strong> Universitet.<br />
1 Lärandets Pedagogik är ett projekt finansierat av Vetenskapsrådets utbildningsvetenskapliga kommitté. I<br />
projektet ingår forskare från Högskolan i Kristiandstad, <strong>Göteborgs</strong> Universitet <strong>och</strong> Luleå Tekniska Universitet.<br />
Projektledare är Mona Holmqvist, Högskolan i Kristiandstad.<br />
1
Teoretisk grund<br />
Historiskt sett har mycket av den forskning som jag kommer att referera till sina rötter i<br />
fenomenografin. Det är forskning om lärande (Marton <strong>och</strong> Booth, 2000) som under mer än<br />
tjugofem år har utvecklat kunskap <strong>och</strong> begrepp som gör det möjligt att beskriva <strong>och</strong><br />
analysera lärande. Den teori som Marton (2003) utvecklat ger mig redskapen att analysera<br />
undervisning <strong>och</strong> titta på kritiska aspekter i undervisningen.<br />
Även om vi inte kan kontrollera alla aspekter av miljön, kan vi genom systematisk intervention<br />
<strong>och</strong> observation erhålla en betydande insikt i förekomsten <strong>och</strong> naturen av kritiska variabler.<br />
(Marton, 2003 s. 44 )<br />
Den metod som jag använder för att få fram mina data, learning study, har även den grund i<br />
fenomenografin. Den teori som jag använder som utgångspunkt för att analysera mina data,<br />
variationsteorin är en vidareutveckling av fenomenografiska tankar om lärande. Studien kan<br />
emellertid inte ses som fenomenografisk utan bara de begrepp som sprungit fram ur<br />
fenomenografin har används som en teoretisk ram för studien. Mitt val av litteratur är tänkt<br />
att ge en teoretisk bild av detta fält.<br />
Lärandets objekt<br />
Lärande är centralt i denna studie. Den här studien visar elevers möjlighet till lärande utifrån<br />
ett specifikt perspektiv på lärande. Ett sätt att se lärande är att lärande är att erfara saker på<br />
ett visst sätt (Marton <strong>och</strong> Booth, 2000).<br />
Att lära sig erfara olika fenomen, som ur vår synvinkel är den mest grundläggande formen av<br />
lärande, innebär att bli förmögen att urskilja vissa enheter eller aspekter, <strong>och</strong> att ha förmågan att<br />
vara samtidigt <strong>och</strong> fokuserat medveten om dessa enheter eller aspekter. (Marton & Both, 2000 s.<br />
161)<br />
Runesson (1999, s. 32) sammanfattar Martons sätt att se på lärande med att lära kan sägas<br />
innebära att erfara något på ett nytt sätt. Det vill säga att lärandet innebär en förändring i<br />
sättet att erfara något. Marton ser lärande som lärande av något. Det är en förmåga som man<br />
vill att eleverna skall lära sig. Marton menar att det är de förmågor som man vill att eleverna<br />
skall lära sig som måste vara i fokus när man talar om undervisning.<br />
We firmly belive that teaching and learning cannot be described without reference to what is<br />
being taught and learnt. In other words, teaching and learning is always teaching and learning of<br />
something. In thinking about teaching and learning, it would be grossly inappropriate to make<br />
sweeping statements regarding the effeciveness of particular teaching arrangements (such as<br />
whole-class teaching versus individual instruction, group discussions versus seatwork, etc.).<br />
(Marton et al, 2002 s.3)<br />
2
För att på ett tydligt sätt kunna tala om de specifika förmågor som eleverna skall lära sig<br />
använder Marton termen lärandets objekt. Med lärandets objekt menas alltså en förmåga<br />
eller förståelse av ett innehåll som eleven skall lära. Ett exempel på ett lärandets objekt kan<br />
t.ex. vara att eleverna skall förstå att det finns oändligt många decimaltal. Lärandets objekt<br />
kan ses ur lärarens, elevens eller forskarens perspektiv. Marton benämner det lärandets<br />
objekt läraren har som mål för elevernas lärande som ”intended object of learning”, det<br />
lärandets objekt läraren avsett att eleverna skall få möta i undervisningen.<br />
…the intended object of learning, an object of the teacher´s awareness, that might change<br />
dynamically during the course of learning. This is the object of learning as seen from the<br />
teacher´s perspective, and as such is depicted in this book as being evidenced by what the teacher<br />
does and says. (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 4)<br />
Ur elevens perspektiv är lärandets objekt, det eleven faktiskt har lärt sig (lived object av<br />
learning). ”What they actually learn is the lived object of learning, the object of learning as<br />
seen from the learners piont of view, i.e., the outcome or result of learning” (Marton,<br />
Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 5). Lärandets objekt sett ur forskarens perspektiv är det eleven<br />
har möjlighet att lära t.ex. under en specifik lektion <strong>och</strong> med de speciella förhållanden som<br />
fanns under just den lektionen (enacted object of learning).<br />
The enacted object of learning is the researcher´s description of whether, to what extent and in<br />
what forms, the necessary conditions of a particular object of learning appear in a certain setting.<br />
The enacted object of learning is described from the point of view of a certain research interest<br />
and a particular theoretical perspective. (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 5)<br />
Det lärandets objekt som läraren har i fokus för en lektion (intended object of learning)<br />
behöver inte vara det lärandets objekt som eleverna får möjlighet att erfara i undervisningen<br />
(enacted object of learning).<br />
För varje lärandets objekt finns det aspekter av innehållet i undervisningen som är<br />
avgörande, kritiska för elevernas lärande. För att förstå/uppfatta något på ett visst sätt måste<br />
vissa aspekter bli urskilda. Dessa aspekter är kritiska för lärandet. De kritiska aspekterna<br />
finner man genom att analysera undervisningen om ett speciellt objekt. Genom att studera<br />
flera lärare som undervisar om samma sak <strong>och</strong> vad eleverna lär sig är det möjligt att finna<br />
det som kan vara kritiskt i undervisning om ett speciellt lärandets objekt.<br />
The critical features have, at least in part, to be found empirically- for instance through<br />
interviews with learners and through the analysis of what is happening in the classroom- and<br />
they also have to be found for every object of learning specifically, because the critical features<br />
are critical features of specific objects of learning. (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 24)<br />
3
If we are interesed in how students learn to see certain things in certain ways, we must ask<br />
ourselves what citical features of the object of learning students can possible discern in a<br />
particular classroom situation. (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 39)<br />
De kritiska aspekterna kan vara olika för olika grupper beroende på elevernas<br />
tidigare erfarenheter <strong>och</strong> kunskaper.<br />
Variation <strong>och</strong> lärande<br />
Marton <strong>och</strong> Morris (2002) menar att variation är avgörande för lärande. De menar att man<br />
inte kan lära sig färg t.ex. blå om det bara fanns en färg. Det betyder att om man inte kan<br />
urskilja något från något annat kan man inte erfara det.<br />
... we cannot discern anything without experiencing variation of that object. There would not be<br />
any gender if there were only one, no color if there were only one color etc. So we belive that<br />
what varies and that is invariant is fundamentally important. (Marton <strong>och</strong> Morris 2002, s. 20)<br />
Runesson (1999, s. 31) beskriver variationens betydelse för lärande på liknande sätt<br />
nämligen för att veta vad något är måste vi veta vad det inte är. Runesson har i sin<br />
avhandling studerat hur olika lärare hanterar samma ämnesinnehåll. De sätt varpå lärarna<br />
låter olika aspekter variera påverkar vad eleverna erbjuds att lära sig matematik. Även<br />
Marton <strong>och</strong> Morris visar i flera studier att vad som varierar i en undervisningssituation har<br />
betydelse för lärandet (Marton <strong>och</strong> Morris, 2002).<br />
…it is what the teacher varies and what s/he keeps invariant during the lesson that determines<br />
what pupils are likely to learn. (Marton <strong>och</strong> Morris, 2002 s. 60)<br />
Variation är nödvändigt för att kunna urskilja aspekter av lärandets objekt. I en<br />
lärandesituation urskiljer olika människor olika saker. ”Whenever people attend to<br />
something, they discern certain aspects of it, and by doing so pay more attention to some<br />
things, and less attention, or none at all, to other things” (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004<br />
s. 9). Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui menar att om den lärande urskiljer kritiska aspekter av<br />
lärandets objekt har eleven möjlighet att lära.<br />
What is of decisive importance for the students, is what actually comes to fore of their attention,<br />
i.e., what aspects of the situation they disern and focus on. In the best case they focus on the<br />
critical aspects of the object of learning, and by doing so they learn what the teacher intended.<br />
But they may also fail to disern and focus on some of the critical aspects, or they may disern and<br />
focus on other aspects. (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 5)<br />
Marton <strong>och</strong> Morris (2002) <strong>och</strong> Runesson (1999) menar att genom att låta vissa aspekter<br />
urskilja sig mot något annat, är en metod för lärande. Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui (2004) ger<br />
ett exempel på en läkarstuderande som skall lära sig diagnostisera en patient. Hon/han måste<br />
erfara en variation <strong>och</strong> urskilja skillnader.<br />
4
In order to see something in a certain way a person must discern certain features of that thing.<br />
We should also be clear about the diffence between ”discerning” and ”being told”. Medical<br />
students, for instance, might be adviced by their professors to notice different features of their<br />
pations, such as the color of the lips, the moisture of the skin, the ease of breathing, and so on.<br />
This is ”being told”. But in order to follow this advice the students must experience those<br />
features, and the only way to experience them is to experience how they vary. (Marton,<br />
Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 10)<br />
I början kanske den läkarstuderande bara kan fokusera <strong>och</strong> urskilja en aspekt i taget <strong>och</strong> hur<br />
den varierar men för att kunna diagnostisera patienten så måste man kunna urskilja flera<br />
aspekter samtidigt. ”In order to experience variation in a certain respect, we have to<br />
experience the different instances that vary in that respect simultaneously,...” (Marton,<br />
Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 17).<br />
Runesson (1999) ger ett exempel på betydelsen av urskiljning <strong>och</strong> samtidighet för lärandet<br />
när små barn skall lära sig förstå tal. ”Att ha en utvecklad förståelse för exempelvis talet<br />
”fem” innebär att samtidigt kunna urskilja ”fem” som antal eller som en mängd av en viss<br />
storlek, ”fem” som en position i räkneramsan <strong>och</strong> helheten i ”fem” <strong>och</strong> relationen till dess<br />
<strong>delar</strong>” (s. 30). För att förstå talet fem måste alla aspekter av talet urskiljas samtidigt. För att<br />
kunna urskilja talet fem så behövs en variation av flera andra tal som t.ex. fyra <strong>och</strong> sex.<br />
Variation kan ses i termer av erbjuden variation <strong>och</strong> erfaren variation. Den erbjudna<br />
variationen är det som läraren, andra elever eller till exempel läroboken erbjuder att lära t.ex.<br />
en variation av olika aspekter av lärandets objekt. Den erfarna variationen är det som eleven<br />
har möjlighet att lära. Att studera undervisning ur ett variationsteoretiskt perspektiv innebär<br />
sammanfattningsvis, att studera undervisning i termer av en potentiellt erfaren variation<br />
(Runesson, 1999 s. 41).<br />
På samma sätt kan även lärares undervisningshandlingar förstås i termer av erfarande. I en<br />
undervisningssituation, då ett innehåll kommuniceras till eleverna, framställs detta genom att<br />
läraren lyfter fram, fokuserar eller tematiserar vissa aspekter av undervisningsinnehållet <strong>och</strong><br />
lämnar andra otematiserade eller icke fokuserade. Därigenom formas, antingen det är av läraren<br />
reflekterade handlingar eller ej, ett undervisningsobjekt som är möjligt för eleverna att erfara.<br />
(Runesson, 1999 s. 17)<br />
Den variation som studeras i denna studie är variation i termer av erbjuden <strong>och</strong> erfaren<br />
variation. Genom att analysera undervisningssituationer kan man finna de mönster av<br />
variation som läraren skapar tillsammans med eleverna. Mönster av variation <strong>och</strong> invarians<br />
skapas när vissa aspekter av lärandets objekt varierar <strong>och</strong> andra är invarianta. Eftersom det<br />
bara är möjligt att urskilja det som varierar så är det nödvändigt för lärandet att skapa<br />
mönster av variation i undervisningen. ”As learners can only discern that which varies, we<br />
must look for the pattern of variation necessary for developing the required capability”<br />
(Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 22).<br />
5
De mönster av variation som skapas i undervisningen utgör dimensioner av variation. En<br />
dimension av variation är en aspekt av lärandets objekt. I Runessons (1999) exempel om<br />
barn som utvecklar förståelse för tal så måste barnen urskilja talet på olika sätt t.ex. fem som<br />
antal, fem som en position i räkneramsan, fem i relationen till dess <strong>delar</strong> <strong>och</strong> fem i relation<br />
till andra tal. De olika aspekterna kan ses som olika dimensioner av talet som barnen måste<br />
erfara samtidigt för att få en förståelse för tal.<br />
Learning study<br />
I rapporten från TIMSS video study (Stigler <strong>och</strong> Hiebert, 2003) uppmärksammades<br />
skillnader i olika länders sätt att undervisa, skillnader som till viss del är kulturellt<br />
betingade. De fann även skillnader i synen på kompetensutveckling <strong>och</strong> skillnader i den tid<br />
läraren använder när det gäller undervisningens planering <strong>och</strong> innehåll. De menar att länder<br />
som t.ex. Japan har en tradition av att lärare arbetar tillsammans med planering <strong>och</strong><br />
utvärdering av lektioner <strong>och</strong> därigenom har redskap att utveckla undervisningen.<br />
En amerikansk/kinesisk studie (Ma, 1999) visar att kinesiska lärare har bättre matematisk<br />
begreppsförståelse än sina amerikanska kollegor trots att de inte har lika lång utbildning. De<br />
kinesiska lärarna använder mer adekvata termer när de undervisar <strong>och</strong> har en djupare<br />
förståelse för den grundläggande matematiken än sina amerikanska kollegor. De<br />
amerikanska lärarna hade oftare en procedurell kunskap.<br />
Med det menas t.ex. en ytlig kunskap om en viss metod för att lösa en uppgift utan att förstå<br />
varför man gör på ett visst sätt. Lärarna i de olika länderna hade olika sätt att se på de<br />
problem som eleverna hade med olika typer av uppgifter. De sätt de tog sig an elevernas<br />
problem var knutna till deras egna förståelse.<br />
Among the teachers of both countries, the percentage of those who showed a conceptual<br />
understanding of the topic was slightly higher than those who took a conceptual direction in<br />
helping the students to correct the mistake. On one hand, none of those teachers whose<br />
knowledge was procedural described a conceptually directed teaching strategy. On the other<br />
hand, a few teachers who held a conceptual understanding of the topic would take a procedural<br />
direction in teaching – they did not expect their student´s learning to reach as far as theirs. (Ma,<br />
1999 s. 54) …This suggests that in order to have a pedagogically powerful representation for a<br />
topic, a teacher should first have a comprehensive understanding of it. (Ma, 1999 s. 83)<br />
En förklaring till resultat är de asiatiska lärarnas kontinuerliga kompetensutveckling.<br />
Kinesiska lärarna använder mer tid än sina västerländska kollegor till att diskutera <strong>och</strong><br />
planera undervisningens innehåll (Ma, 1999). I Japan är det vanligt att lärare samlas i<br />
grupper <strong>och</strong> arbetar med att utveckla sin undervisning. De arbetar efter en modell som kallas<br />
lesson study (Marton, 2002, Stigler <strong>och</strong> Hiebert, 2003).<br />
6
During their careers, Japanese taechers engage in a relentless, continuous process of improving<br />
their lessons to improve students´ opportunities to achieve the learning goals. A key part of this<br />
process is their participation in ”lesson study groups”. Small groups of teachers meet regulary,<br />
once a week for about an hour, to plan, implement, evaluate, and revise lessons collaboratively.<br />
Many groups focus on only a few lessons over the course of the year with the aim of perfecting<br />
these. (Stigler <strong>och</strong> Hiebert, 2003)<br />
Lesson studies är problemlösningsprocesser där lärarna arbetar med frågor som t.ex. hur de<br />
skall öka elevernas förståelse i undervisningen om ett speciellt moment eller öka elevernas<br />
intresse för något.<br />
Med utgångspunkt från Browns <strong>och</strong> Collins design experiments har Marton (Marton, 2003)<br />
tillsammans med kollegor i Hong Kong utvecklat lesson study modellen till en learning<br />
study modell. En learning study är ett systematiskt försök att uppnå ett pedagogiskt mål <strong>och</strong><br />
lära från detta försök (s. 44). Learning study har till skillnad från lesson study en teoretisk<br />
grund <strong>och</strong> i en learning study ingår en eller flera forskare i gruppen. Den teoretiska grunden<br />
är över tjugofem års fenomenografisk forskning om lärande (Marton <strong>och</strong> Booth, 2000) <strong>och</strong><br />
variationsteorin (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004).<br />
Learning study kan beskrivas som praxisnära grundforskning där lärarna står för en stor del<br />
av den kunskap som kommer fram genom projektet. En grupp lärare väljer en förmåga eller<br />
förståelse (lärandets objekt) de vill att eleverna skall utveckla. Gruppen fördjupar sina<br />
kunskaper inom området genom att läsa litteratur <strong>och</strong> diskutera tidigare erfarenheter. Genom<br />
ett förtest eller intervjuer tar gruppen reda på vad eleverna har för förkunskaper. Därefter<br />
planerar gruppen tillsammans undervisning som en lärare sedan genomför. Lektionen<br />
videoinspelas för att gruppen gemensamt skall kunna analysera hur lektionen fungerade.<br />
Någon dag efter lektionen får eleverna göra ett eftertest för att se vad de har lärt sig.<br />
Analysen av den videoinspelade lektionen tillsammans med testresultaten ger en bild av vad<br />
eleverna har lärt sig <strong>och</strong> vilka förändringar som bör göras till nästa lektion. Planeringen av<br />
lektionen revideras <strong>och</strong> en annan lärare (eller samma) undervisar den andra lektionen med<br />
en ny grupp elever. Processen fortsätter tills alla lärare i gruppen undervisat eller tills<br />
gruppen är nöjd med resultatet. Genom att lärarna undervisar om samma sak så kan man<br />
jämföra lektionerna med varandra <strong>och</strong> med vad eleverna har lärt sig <strong>och</strong> finna det som är<br />
avgörande för elevernas lärande, de kritiska aspekterna.<br />
I en jämförande studie mellan lessonstudy <strong>och</strong> learning study gjord i Hong Kong (Marton,<br />
2003 s. 45) studerade man hur metoderna påverkade lärarnas agerande <strong>och</strong> elevernas<br />
lärande. Två grupper av erfarna lärare arbetade efter de olika modellerna. Målet var att få<br />
eleverna att förstå <strong>och</strong> använda begreppet priselasticitet.<br />
7
I den grupp som arbetade med lesson study modellen utvecklade något färre än 30 procent<br />
av eleverna en god förståelse för begreppet, medan i den grupp som arbetade med learning<br />
study modellen var resultatet över 70 procent. Skillnaderna mellan de bägge gruppernas<br />
resultat kunde relateras till skillnaden i hur det aktuella undervisningsinnehållet hanterades i<br />
de olika klasserna <strong>och</strong> hur den aktuella teorin konkretiserades i olika fall.<br />
Studier om elevers lärande av decimaltal<br />
Den här studien beskriver lärares undervisning under en lektion om decimaltal. Decimaltal<br />
tillhör tillsammans med bråk <strong>och</strong> procent de rationella talen (Kilborn, 1999). Ett rationellt tal<br />
är motsatsen till ett irrationellt tal. Ett rationellt tal kan skrivas som ett heltal, som bråk, i<br />
procent <strong>och</strong> i decimalform. Ett rationellt tal i decimalform kan skrivas med oändligt många<br />
decimaler. I kursplanen för grundskolan står att eleverna i år nio skall ha goda färdigheter i<br />
att kunna räkna med tal i decimalform (Skolverket, 2000).<br />
Grisward-Sackur <strong>och</strong> Léonard (1985) betonar i en studie om elevers lärande av decimaltal<br />
nyttan av förståelsen för decimaltal.<br />
”It is the most conveinient system of calculating, and has become even more important with the<br />
growing use of calculators. Furthermore, because decimals are used to approximate all other<br />
numbers, the sciences cannot do without them” (s. 158). De visar i sin studie exempel på att<br />
elever räknar med decimaltal på samma sätt som med hela tal. De har lärt sig regler för att<br />
hantera decimaltal men saknar förståelsen för att använda dem på rätt sätt. ”In school, children<br />
usually learn only a rule to deal with the decimalpoint, then calculate as if they were dealing with<br />
whole numbers. But this practice in fact draws attention away from important differences<br />
between whole numbers and decimals” (s. 158).<br />
Moskal <strong>och</strong> Magone (2000) ger exempel på en sådan generalisering till heltal som är vanligt<br />
förekommande hos elever.<br />
For exampel, many students belive that the unclusion of zero in the right most column of the<br />
decimal number results in a value that is ten times greater than the original value (Resnick et<br />
al.,1989, Hiebert and Wearne, 1983) Although this relationship holds true for whole numbers<br />
(eg. 20 is ten times greater than 2), it is not appropriate in the decimal system (e.g. .20 is not ten<br />
times greater than .2). (Moskal <strong>och</strong> Magone, 2000 s. 316)<br />
Löwing <strong>och</strong> Kilborn (2002) menar att ett sätt att lösa uppgifter med decimaltal är att byta<br />
enhet. Eftersom decimaltal oftast är kopplade till mätning <strong>och</strong> enheter, så kan man som ett<br />
alternativ byta enhet. Om 1,36 meter skall divideras med 2, så är det samma sak som att 136<br />
cm skall divideras med 2 (s. 361). Grisward-Suckur <strong>och</strong> Léonard (1985) menar att det sättet<br />
att hantera decimaltal fungerar i vissa fall men kommer i konflikt med andra regler om<br />
decimaltal. Eleverna måste efterhand utöka <strong>och</strong> modifiera sina kunskaper om decimaltal för<br />
att inte hantera decimaltal som heltal.<br />
8
Löwing <strong>och</strong> Kilborn (2002, s. 361) visar på för<strong>delar</strong>na med att använda bråk <strong>och</strong> decimaltal<br />
tillsammans i undervisningen. De menar att genom att tala om t.ex. 1,36 som 136<br />
hundra<strong>delar</strong> ger man decimaltalet en betydelse. Moskal <strong>och</strong> Magone (2000) ser också<br />
fördelen med att använda bråkform <strong>och</strong> decimalform tillsammans för att få ökad förståelse.<br />
Svårigheten är att eleverna inte upptäcker de samband som lärarna vill att de skall göra.<br />
When students have been exposed to fractions prior to decimals, the students may use this<br />
knowledge to make sense of decimal numbers. Researchers (Hiebert, 1984; Markovits and<br />
Sowder, 1991) have found, however, that many students fail to make this relationship. (Moskal<br />
<strong>och</strong> Magone, 2000 s. 317)<br />
Hiebert <strong>och</strong> Wearne (1986) beskriver elevernas möte med decimaltal som ett möte med ett<br />
nytt talsystem med nya regler <strong>och</strong> nya begrepp. ”The decimal symbols are perceived by<br />
most students as a new symbolsystem with a new set of rules representing new concepts” (s.<br />
219). De studerade elevers missuppfattningar om decimaltal under två år. I studien deltog<br />
cirka 700 elever från 5 th , 7 th <strong>och</strong> 9 th grade.<br />
Genom olika intervjuer försökte forskarna komma åt de uppfattningar eleverna hade. De<br />
uppfattningar om decimaltal de såg hos eleverna var att;<br />
<br />
• Eleverna har inte klart för sig vad likheten mellan heltal <strong>och</strong> decimaltal är <strong>och</strong> vad som<br />
är unikt med hela tal<br />
• Felaktiga generaliseringar till heltal som t.ex. tal med fler siffror är större<br />
• Svårigheter att hantera nollans betydelse<br />
• Ju fler decimaler desto mindre tal<br />
• Ju fler decimaler desto större tal<br />
• När man adderar decimaltal flyttar man sig bakåt på tallinjen<br />
• När man gör talet tio gånger större lägger man på en nolla t.ex. 437,56 blir 437,560<br />
• Svårt att se att 0,7 <strong>och</strong> 0,70 är samma tal<br />
• Eleverna har svårigheter med att översätta bråk till decimalform t.ex. 3/10 blev 3.10. Här<br />
menar forskarna att språket har stor betydelse när vi talar om decimaltal <strong>och</strong> bråk<br />
9
Problemformulering <strong>och</strong> syfte<br />
Studien syftar till att beskriva skillnader i sättet som lärandets objekt behandlas under tre<br />
olika lektioner <strong>och</strong> vad de skillnaderna betyder för elevernas lärande. De frågor som studien<br />
avser att besvara är;<br />
Hur behandlar lärarna lärandets objekt?<br />
Vilka mönster av variation <strong>och</strong> invarians skapas under respektive lektion?<br />
Vad erbjuds eleverna att lära <strong>och</strong> vad lär de sig?<br />
Vilka är de kritiska aspekterna för elevernas lärande?<br />
Metod<br />
Studiens uppläggning<br />
Den här studien, som är en delstudie i projektet Lärandets Pedagogik 2 , är en kvalitativ<br />
studie. I analysen använder jag begrepp från en specifik teori som används som analytiska<br />
redskap i dataanalysen. Studien kan även beskrivas som idiografisk eftersom en idiografisk<br />
studie inriktar sig på intensiva studier i enskilda fall (Alvesson <strong>och</strong> Sköldberg, 1994 s. 66).<br />
En learning study kan ses som ett sådant enskilt fall <strong>och</strong> resultaten av studien gäller den<br />
grupp <strong>och</strong> den undervisning som analyserats.<br />
I studien analyseras tre lektioner som delvis är olika till sin karaktär <strong>och</strong> elevernas resultat<br />
på två olika tester. Skillnaderna mellan lektionerna är ett resultat av lärarnas gemensamma<br />
revidering enligt learning study modellen. I min analys söker jag det som kan sägas vara<br />
kritiskt (avgörande) för elevernas lärande under de tre lektionerna. Med det menar jag det i<br />
undervisningen som har haft en stor betydelse (är avgörande) för resultatet av<br />
undervisningen, det som eleverna under lektionen har haft möjlighet att lära.<br />
Learning study är en praxisnära forskningsmetod (Marton, 2003 s. 41) <strong>och</strong> sker i samarbete<br />
mellan praktiker <strong>och</strong> forskare. De lärare som deltar i projektet vill utveckla sin praktik <strong>och</strong><br />
sin förståelse av praktiken <strong>och</strong> av de sammanhang i vilka praktiken ingår.<br />
2 Lärandets Pedagogik är ett projekt finansierat av Vetenskapsrådets utbildningsvetenskapliga kommitté. I<br />
projektet ingår forskare från Högskolan i Kristiandstad, <strong>Göteborgs</strong> Universitet <strong>och</strong> Luleå Tekniska Universitet.<br />
Projektledare är Mona Holmqvist, Högskolan i Kristiandstad.<br />
10
Learning study kan ses som en typ av aktionsforskning eftersom det är en praxisnära<br />
forskning som bedrivs av lärare <strong>och</strong> forskare tillsammans. Aktionsforskning är enligt Mc<br />
Niff en problemlösningsprocess (Mc Niff, 2000). I en learning study är ”problemet” att<br />
utveckla lektioner för att finna det som är kritiskt för elevernas lärande om ett speciellt<br />
lärandeobjekt.<br />
I den här studien sträckte sig learning study processen över en hel skoltermin (våren 2003).<br />
De deltagande lärarna träffades regelbundet vid elva tillfällen för att arbeta enligt den<br />
tidigare beskrivna learning study modellen. Lärarna bestämde att de ville arbeta med<br />
decimaltal. De hade upplevt att elever ofta kan hantera decimaltal men har svårigheter med<br />
att förstå vad de gör <strong>och</strong> varför. Gruppen läste <strong>och</strong> diskuterade en artikel av Hiebert <strong>och</strong><br />
Wearne (1986) för att fördjupa sina kunskaper om elevers förståelse när det gäller<br />
decimaltal.<br />
Försökspersoner<br />
De tre deltagande lärarna har själva valt att (efter förfrågan) delta i projektet. De tillhör<br />
samma skolområde men arbetar på två olika skolor <strong>och</strong> undervisar i skolår 6. De är<br />
grundskollärare år 4-9 med inriktning på matematik <strong>och</strong> naturorienterande ämnen eller slöjd<br />
<strong>och</strong> de har mellan fem till tio års lärarerfarenhet. I studien används beteckningarna lärare A,<br />
lärare B <strong>och</strong> lärare C utifrån den ordning som de genomför sin lektion. Det är en kvinnlig<br />
<strong>och</strong> två manliga lärare. De elever (53 stycken) som deltagit i studien är de elever som<br />
vanligtvis undervisas av den deltagande läraren.<br />
Urval<br />
Denna studie görs inom ett större projekt. Forskarna har valt att driva projektet på den<br />
speciella skolan eftersom man har kännedom om att det finns ett stort intresse för<br />
utvecklingsarbete på skolan. Intresserade lärare har fått anmäla sitt intresse för projektet.<br />
Därefter har grupper om tre till fyra lärare bildats. En learning study kan genomföras inom<br />
olika skolämnen men forskargruppen har valt att inrikta sig på matematik i alla grupper på<br />
den aktuella skolan.<br />
Etik<br />
De elever som deltog i den undervisning som videoinspelats har fått skriftlig information om<br />
studien <strong>och</strong> målsmän har givit skriftligt tillstånd för medverkan. Alla namn på elever <strong>och</strong><br />
lärare i utskrifter av lektionerna har ändrats så att deltagarna i studien ej kan identifieras.<br />
Det är viktigt att påpeka att det är lärargruppen som gemensamt ansvarar för alla de<br />
genomförda lektionerna genom att ha planerat dem tillsammans.<br />
Lärarna har givit tillåtelse till att bilder ur filmen, där de medverkar, får publiceras i denna<br />
studie.<br />
11
Data <strong>och</strong> databehandling<br />
I studien redovisas två typer av datamaterial, videoinspelningar <strong>och</strong> skriftliga elevtester. De<br />
tre lärarna i studien har genomfört en lektion om decimaltal på cirka 60 minuter <strong>och</strong><br />
lektionerna har filmats med videokamera. Kameran följde läraren vid genomgång <strong>och</strong> en<br />
grupp elever under gruppdiskussion. En lektion har spelats in som tillvänjning för elever <strong>och</strong><br />
lärare, men den används inte i studien.<br />
Videoinspelningarna av lektionerna har transkriberats för analys (totalt 85 sidor text).<br />
Transkriptionsnivån är sådan att tal <strong>och</strong> relevanta händelser transkriberats. Transkriptionerna<br />
har tillsammans med filmerna kontrollerats av ytterligare en person för att få högre validitet<br />
<strong>och</strong> reliabilitet. Det bortfall som kan redovisas är när någon elev eller lärare sagt något<br />
ohörbart. Detta har då markerats i texten på ett speciellt sätt (…). Text inom parantes är<br />
tolkat tal t.ex. när någon säger något som nästan är ohörbart. Tolkningar <strong>och</strong> förtydligande<br />
av vad som händer visas inom klammer [ ]. För att beskriva vad någon gör så används kursiv<br />
text.<br />
Elevtesterna har konstruerats av forskargruppen <strong>och</strong> genomförts i klasserna tillsammans med<br />
en projektassistent. Förtest <strong>och</strong> eftertest är inte identiska. Förtestet (bilaga 1) var tänkt att ge<br />
en bild av elevernas kunskaper om decimaltal <strong>och</strong> innehåller flera olika uppgifter. Uppgift 4<br />
på förtestet mäter elevernas kunskap om hur många decimaltal det finns <strong>och</strong> endast den<br />
uppgiften redovisas i den här studien. Jag väljer att inte redovisa hela förtestet eftersom de<br />
övriga uppgifterna inte är lika relevanta för den här studien. Eftertestet (bilaga 3) har färre<br />
uppgifter <strong>och</strong> mäter kunskapen om hur många decimaltal som finns <strong>och</strong> eleverna får även<br />
räkna upp decimaltal inom ett visst intervall. Testerna har bearbetats av samma person <strong>och</strong><br />
svaren har kategoriserats (även i felaktiga svar) för att ge en rikare bild av resultatet än<br />
enbart en redovisning av korrekta svar hade givit. Resultatet av förtest <strong>och</strong> eftertest<br />
redovisas i olika svarsfrekvenser i tabell 3.<br />
De elever som redovisas i studien är bara de elever som deltagit i studiens tre <strong>delar</strong>. Det<br />
betyder att de elever som inte deltagit i förtest, undervisning <strong>och</strong> eftertest har tagits bort.<br />
Analysprocessen<br />
Analysen görs utifrån min 11-åriga erfarenhet som grundskollärare <strong>och</strong> med den didaktiska<br />
påbyggnadsutbildning i matematik som jag skaffat mig vid <strong>Göteborgs</strong> Universitet.<br />
I analysen använder jag variationsteorin (Marton <strong>och</strong> Runesson, 2003) som ett analytiskt<br />
redskap. Min utgångspunkt är att variation är nödvändig för lärande. Med variation menas i<br />
detta fall inte variation i form av omväxling utan en variation av aspekter inom lärandets<br />
objekt. Varje lektion har analyserats utifrån de mönster av variation <strong>och</strong> invarians som<br />
skapas under lektionen <strong>och</strong> hur lärarna öppnar för en variation av olika dimensioner.<br />
12
Genom att studera hur de olika lärarna hanterar samma lärandets objekt <strong>och</strong> jämföra med<br />
resultat från förtest <strong>och</strong> eftertest är det möjligt att dra slutsatser om vad som kan ha varit<br />
kritiskt (avgörande) för elevernas lärande under de tre lektionerna.<br />
Inom varje klass jämförs resultatet på förtest med resultatet på eftertest <strong>och</strong> på detta sätt kan<br />
man studera en eventuell förbättring av elevernas resultat. För att finna det som varit kritiskt<br />
för elevernas lärande måste även resultaten jämföras med de andra klassernas testresultat<br />
<strong>och</strong> med de mönster av variation som analyserats fram från lektionerna.<br />
Analysprocessen har inneburit en pendling mellan analys av de videofilmade lektionerna,<br />
transkripten <strong>och</strong> testerna. Ett viktigt steg i analysprocessen har varit att presentera analysen<br />
för forskare i forskargruppen <strong>och</strong> diskutera tolkningarna. Diskussionerna har bidragit till<br />
revideringar av analysen.<br />
Tillförlitlighet<br />
Studiens validitet handlar om i vilken mån forskaren studerar det hon tror sig studera<br />
(Merriam, 1991). Enligt Glauss <strong>och</strong> Strauss (i Kvale, 1997 s. 219) är valideringen är ingen<br />
slutlig verifiering eller produktkontroll; verifieringen är enligt deras sätt att se inbyggd i<br />
forskningsprocessen med ständig kontroll av forskningsresultatens trovärdighet, rimlighet<br />
<strong>och</strong> tillförlitlighet.<br />
I den här studien används videoinspelningar för att analysera lektioner. Det är en metod som<br />
ger en rikare bild än t.ex. observation eller bandupptagning hade gjort. Inspelningarna ger en<br />
möjlighet att analysera samma lektion flera gånger för att få högre tillförlitlighet.<br />
Transkriptionerna av filmerna som också används i analysarbetet har genomlyssnats av<br />
ytterligare en person för att få högre validitet <strong>och</strong> reliabilitet i data.<br />
Reliabilitet handlar om i vilken utsträckning ens resultat kan upprepas (Merriam, 1991) En<br />
kvalitativ studie med icke numeriska data bygger på en tolkning av data. En tolkning är<br />
gjord utifrån ett särskilt perspektiv <strong>och</strong> det är inte säkert att andra skulle få precis samma<br />
resultat.<br />
Alla utsagor har ett inslag av tolkning … <strong>och</strong> detta leder till att det är möjligt att ge olika<br />
versioner av samma sak…Det andra problemet är att all redovisning av rådata i litteraturen måste<br />
bygga på en selektion ur verkligheten. När man redovisar olika belägg, faller det ändå alltid<br />
tillbaka på forskarens val av händelser som skall redovisas. (Larsson, 1994 s. 182)<br />
Genom att tydligt redovisa på vilka grunder urvalen <strong>och</strong> tolkningarna görs får läsaren<br />
möjlighet att avgöra rimligheten i analysen. Reliabiliteten har också stärkts genom att<br />
analysen har diskuterats med andra personer i forskargruppen för projektet.<br />
För att ytterligare öka tillförlitligheten så används olika typer av data. Resultaten av förtest<br />
(bilaga1) <strong>och</strong> eftertest (bilaga 3) används tillsammans med analysen av lektionerna.<br />
13
Det ger en möjlighet att se om analysen av lektionerna pekar på samma sak som resultaten<br />
(tabell 3) av testerna. Eftertestet är gjort för att mäta samma förmåga som uppgift fyra på<br />
förtestet. Förtest <strong>och</strong> eftertest inte är identiska. Forskarna tror sig mäta samma förmåga<br />
genom att ändra uppgifterna till t.ex. ett annat talområde (se uppgift 4, bilaga 1 <strong>och</strong> uppgift<br />
1a <strong>och</strong> 1b, bilaga 3).<br />
För att stärka tillförlitligheten i testerna har samma projektassistent har genomfört testerna<br />
med de olika klasserna för att utesluta möjligheten att lärarna hade kunnat påverka resultatet.<br />
Det har inte förekommit någon matematikundervisning mellan förtestet <strong>och</strong> den<br />
videoinspelade lektionen som kan ha påverkat resultatet av lektionen. Det samma gäller med<br />
eftertestet. Tolkningen av resultaten av förtest <strong>och</strong> eftertest är gjorda flera gånger <strong>och</strong> alla<br />
resultat är tolkade vid samma tillfälle <strong>och</strong> av samma person. Reliabiliteten i analysen av<br />
testerna har stärkts genom att analysen vid något tveksamt fall diskuterats med annan<br />
forskare.<br />
Det är möjligt att resultatet på eftertestet förbättrats något p.g.a. en återtestningseffekt, d.v.s.<br />
att om elever testas flera gånger på samma sak kan resultatet förbättras (eleverna har då inte<br />
förbättrats genom undervisning). Det finns även möjlighet till att eleverna kan ha diskuterat<br />
ämnesinnehållet med kamrater eller vuxna utanför skolan <strong>och</strong> det i sin tur kan ha påverkat<br />
eftertestets resultat eftersom testet genomfördes någon dag efter undervisningen.<br />
14
Resultat<br />
Redovisning av resultat<br />
Resultatet redovisas i tre steg. Först redovisas de tre lektionerna <strong>och</strong> de mönster av variation<br />
<strong>och</strong> invarians som respektive lektion skapat. Resultaten sammanfattas genom en tabell som<br />
beskriver de dimensioner av variation som lärarna öppnar för under respektive lektion.<br />
Därefter beskrivs elevernas lärande genom de tester som eleverna utfört. Sammanfattningsvis<br />
beskrivs de kritiska aspekter för elevernas lärande som analyserats fram genom att knyta<br />
samman analysen från lektionerna med resultaten av elevernas lärande.<br />
Övergripande likheter <strong>och</strong> skillnader mellan lektionerna<br />
Det finns många likheter mellan de tre lektionerna. Medveten om dessa likheter är det<br />
möjligt att se skillnader som vid en ytlig analys inte visar sig. Lärarna i studien undervisade<br />
om samma sak <strong>och</strong> under lika lång tid, cirka sextio minuter. Lärandets objekt var det samma<br />
under alla lektioner, att eleverna skall förstå att det finns oändligt många decimaltal.<br />
Lärarna använde samma uppgift i undervisningen. Uppgiften Jonna påstår att det finns ett<br />
tal mellan noll komma nittiosju <strong>och</strong> noll komma nittioåtta. Pelle säger att det finns inget<br />
sådant tal. Vem har rätt <strong>och</strong> varför? var tagen från förtestet (bilaga 1) som eleverna gjort<br />
tidigare. Den variation av svar som elever gav på uppgiften diskuteras under lektionen.<br />
Lektionerna hade liknande struktur. En inledande fas där resultatet av förtestet<br />
presenterades, en andra fas med grupparbete <strong>och</strong> en tredje avslutande fas med en gemensam<br />
diskussion om uppgiften. Tabell 1 visar en översikt av de tre lektionerna för att få en<br />
överblick av lektionernas uppläggning.<br />
De skillnader som beskrivs är de skilda sätt lärandets objekt behandlas under respektive<br />
lektion <strong>och</strong> de mönster av variation som skapas. Det leder till att olika dimensioner av<br />
variation öppnas för eleverna.<br />
15
Tabell 1. Lektionernas övergripande innehåll <strong>och</strong> struktur<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
• <br />
<br />
<br />
<br />
• <br />
<br />
• <br />
! <br />
" # <br />
<br />
• $ <br />
" " <br />
<br />
• % & <br />
<br />
! <br />
• <br />
<br />
" " <br />
<br />
' <br />
• ( ! " <br />
<br />
• <br />
<br />
<br />
<br />
• <br />
<br />
• <br />
<br />
! <br />
" # <br />
• $ <br />
" " <br />
<br />
• ) <br />
" * " <br />
<br />
<br />
% <br />
<br />
<br />
• % & <br />
! <br />
<br />
• <br />
" " <br />
<br />
' <br />
<br />
• ( ! " <br />
<br />
• <br />
<br />
<br />
<br />
• <br />
<br />
• <br />
! <br />
" # <br />
<br />
• $ <br />
" " <br />
I tabell 1 syns en tydlig skillnad i den inledande fasen mellan klass A <strong>och</strong> andra sidan klass<br />
B <strong>och</strong> C. (Texten i tabellen är skriven så att det som är lika för klasserna är skrivet på samma<br />
rad.) Eleverna i klass B <strong>och</strong> C får en längre <strong>och</strong> mer innehållsrik introduktion till<br />
gruppuppgiften än klass A får. Det tillägget är ett resultat av lärarnas gemensamma<br />
revidering av lektionen.<br />
I klass B <strong>och</strong> C är de flesta moment lika. Det som skiljer är att läraren i klass B visar hur en<br />
helhet (linjalen) kan delas in i olika an<strong>delar</strong> t.ex. i tion<strong>delar</strong>, hundra<strong>delar</strong> o.s.v.<br />
16
Första lektionen (Klass A)<br />
Läraren inleder lektionen med en kort introduktion där hon gör eleverna uppmärksamma på<br />
de olika svar eleverna har gett på uppgiften från förtestet (bilaga 1). Därefter arbetar<br />
eleverna i grupp med denna uppgift (bilaga 2). De skall enas om ett av alternativen <strong>och</strong><br />
motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar med hjälp av en tallinje d.v.s. denna skall<br />
visa vilka tal som finns i intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98.<br />
I slutet av lektionen diskuteras alternativen, som är uppsatta på bädderblockspapper på<br />
tavlan. Tre grupper har svarat att det finns inga tal i intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98 (alternativ e),<br />
en grupp har svarat att det finns ett tal (alternativ d) <strong>och</strong> en grupp har svarat att det finns nio<br />
tal (alternativ c). I diskussionen som följer, jämför läraren elevernas tallinjer med varandra. I<br />
denna diskussion fokuseras de tal som eleverna har skrivit in i intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98 t.ex.<br />
0, 971 (se excerpt 1). Läraren lyfter även fram olika par av decimaltal <strong>och</strong> jämför dem med<br />
varandra t.ex. 0,98 <strong>och</strong> 0,980 (excerpt 1). Decimaltalen konstrasteras med varandra så att;<br />
1. Samma tal uttryckt med olika antal decimaler jämförs<br />
2. Olika tal med olika antal decimaler jämförs<br />
En grupp hade skrivit att det fanns nio tal i intervallet mellan de två decimaltalen. Läraren<br />
frågar då vilket det tionde talet är. De uppräknade talen i intervallet var uttryckta med tre<br />
decimaler medan det tionde talet var uttryckt med två decimaler (se bild 1).<br />
Excerpt 1 Samma tal uttryckt med olika antal decimaler jämförs, 1 (0,980 med 0,98)<br />
1. Putte: Det kan väl i så fall vara noll komma<br />
niohundraåtti.<br />
2. Läraren: Noll komma niohundraåtti. Upprepar<br />
3. Putte: Men vi …ah om man räknar så.<br />
4. Lärare: Det är inte det då? [pekar på noll komma<br />
nittioåtta]<br />
5. Putte: Jo, det är ju det.<br />
6. Läraren: Är det samma?<br />
7. Putte: Ah enligt oss.<br />
Bild 1. Stillbild från film. Se excerpt 1.<br />
Läraren jämför olika par av decimaltal. I excerpt 1 jämförs samma tal uttryckt med olika<br />
antal decimaler (0,980 <strong>och</strong> 0,98). På liknande sätt under lektionen jämförs flera par av<br />
decimaltal med varandra (t.ex. 0,97 <strong>och</strong> 0,975 <strong>och</strong> 0,5 <strong>och</strong> 0,50, excerpt 2).<br />
17
Ett exempel är Antons grupp som inte har skrivit några tal i intervallet. Anton (excerpt 2) ser<br />
inledningsvis 0,97 <strong>och</strong> 0,975 som samma tal – Det är liksom samma tal…det är ju bara att<br />
sätta en femma bakom, så därför finns det inga tal i intervallet.<br />
Excerpt 2 Olika tal med olika antal decimaler jämförs, 2 (0,97 med 0,975)<br />
8. Läraren: Mitten…här där var den. Läraren pekar på Antons grupps blädderblockspapper. Är det alldeles<br />
tomt här…finns ingenting det är liksom bara…luft. Pekar på intervallet mellan 0,97 <strong>och</strong> 0,98.<br />
9. Anton: (…) Det är liksom samma tal. Niohundranitti eller noll komma nittiosju noll komma eller det är<br />
ju bara att sätta en femma bakom det är ju…<br />
10. Läraren: Hur menar du samma tal?<br />
11. Anton: Typ. Det är som noll komma noll <strong>och</strong> noll komma fem. Nä men det skiljer ju ganska mycket på<br />
det.<br />
12. Läraren: Så du menar, du menar aha det är så du menar Anton. Du menar att… Läraren skriver på tavlan<br />
noll komma nio sju <strong>och</strong> med noll komma nio sju fem det är samma tal alltså.<br />
13. Anton: Typ, inte riktigt men.<br />
14. Läraren: Men hur mycket skiljer?<br />
Något senare menar Jennifer att noll komma fem är större än noll komma femtio. Hon menar<br />
att ju fler siffror ett tal har desto mindre är det, så därför måste även 0,975 vara mindre 0,97.<br />
15. Läraren: Noll komma fem är större än noll komma femtio. Upprepar det Jennifer sa.<br />
16. Jennifer: Det säger vi i alla fall.<br />
17. Läraren: Ah ah det får du visst, okej det säger du, det är lugnt mm.<br />
18. Putte: Viskar Det är samma sak.<br />
19. Jennifer: Eftersom det är eller ah är så noll komma (…) men dom har tagit från nittiåtta har dom gjort nio<br />
tal <strong>och</strong> då blir det mycket mindre än nittisju <strong>och</strong> egentligen ska det vara större än nittiosju.<br />
20. Läraren: Så du menar att det som dom lagt till där gör det blir det gör inte talet större än det talet <strong>och</strong> det<br />
borde vara större.<br />
21. Jennifer: Mindre blir det. Eftersom ah när det blir mer siffror så blir det ju mindre.<br />
I utdraget (excerpt 2) visar Anton <strong>och</strong> Jennifer på två olika sätt att förstå decimaltal. Anton<br />
menar att 0,97 <strong>och</strong> 0,975 är samma tal <strong>och</strong> Jennifer att talet 0,975 är mindre än 0,97 för att<br />
talet har fler decimaler. Min tolkning är att Anton ser de fem tusen<strong>delar</strong>na i talet i 0,975 som<br />
att de inte gör talet större. Jennifer däremot ser att de fem tusen<strong>delar</strong>na gör talet mindre,<br />
eftersom tusen<strong>delar</strong> är ”mindre” <strong>delar</strong> än hundra<strong>delar</strong>. Därför är talet 0,97 större än 0,975.<br />
Läraren försöker tillsammans med eleverna visa vad femman i talet 0,975 står för, genom att<br />
addera de olika decimaltalen 0,5, 0,05 <strong>och</strong> 0,005 med 0,97. Då jämförs även olika tal med<br />
olika antal decimaler med varandra.<br />
Vid ett tillfälle pekar läraren på intervallet mellan talen t.ex. 0,971 <strong>och</strong> 0,972 <strong>och</strong> frågar<br />
eleverna vad det finns där.<br />
18
Då ges eleverna möjlighet att se att intervallet går att dela upp ytterligare. Läraren frågar vad<br />
som finns i intervallen mellan de tio talen. – Vad finns det där <strong>och</strong> där?<br />
Excerpt 3<br />
Intervallet (0,97 <strong>och</strong> 0,98) kan delas i fler än tio <strong>delar</strong><br />
Bild 3. Stillbild från film. Se excerpt 3.<br />
22. Johan: Ja men asså, men i <strong>och</strong> med att det jag tror<br />
det ska finnas en halv mellan varje sån om<br />
det finns så många tal så.<br />
23. Läraren: Vad blir det då? Vi tar mellan dom två.<br />
24. Johan: Jag tror man kan fortsätta så att talen blir<br />
asså så med tio tal eller med tio siffror.<br />
25. Läraren: Ah det ska vara tio tal bakom decimaltecknet.<br />
26. Johan Nej men asså så här nu har vi delat det så att<br />
det blir hälften så kan man säkert dela på<br />
samma på noll nie sju ett <strong>och</strong> noll nie sju två<br />
där i mellan finns det ju också (nånting)/<br />
27. Läraren: /Du menar hälften hälften hälften. Vad säger ni om det?<br />
28. Elev: Vaddå?<br />
29. Läraren: Vad säger ni om Johans tanke här? Han tänker, han menar så här, nu gjorde jag så här, jag satte<br />
pilen i mitten att man dela i hälften då tänker han ah man kan dela hälften igen så.<br />
Kort därefter<br />
30. Erika: Det måste ju kunna gå hela vägen noll komma nie sju ett ett ett ett ett<br />
31. Läraren: Skriver Noll komma nie sju… där då ett ett ett ett är det så ….<br />
32. Erika: Jag tror det går flera gånger så <strong>och</strong> (sen på tvåan så)<br />
33. Läraren: Och noll komma nie sju två <strong>och</strong> vad skulle hamna efter det nästa tal då<br />
34. Erika: (…)<br />
35. Läraren: Ett, ska vi sätta ett där.<br />
36. Erika: Det kommer aldrig ta slut.<br />
37. Läraren: Det kommer aldrig att ta slut, asså nu har det hänt något i den här diskussionen, från att vi hade,<br />
inser ni här nu, från början så hade vi tre grupper som sa att det fanns inga tal <strong>och</strong> så hade vi en<br />
grupp som sa att det finns nio tal <strong>och</strong> en grupp som sa att det finns ett tal <strong>och</strong> nu säger Erika<br />
något, jättespännande hon säger att det kan aldrig ta slut, är det är det förstår jag dig rätt nu?<br />
38. Erika: Mm<br />
39. Läraren: Okej Jennifer<br />
40. Jennifer: Men det, jag menar att det vad heter det man har ju delat upp, dom noll komma nittiosju/<br />
41. Läraren: Ah<br />
42. Jennifer: Till (noll komma nittiofem), så har man delat upp det i nio <strong>delar</strong> <strong>och</strong> sen tog man (varje del) <strong>och</strong><br />
<strong>delar</strong> upp den också hela tiden så det tar aldrig slut.<br />
19
Jag tolkar detta så att man försöker att räkna upp (<strong>och</strong> det blir tydligt i excerpt 3) de tal som<br />
finns i intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98. Läraren ber eleverna att räkna upp tal i intervallet t.ex.<br />
genom att fråga - Och noll komma nie sju två <strong>och</strong> vad skulle hamna efter det nästa tal då?<br />
(rad 33)<br />
I excerpt 3 möter vi tre elever som försöker att räkna upp tal. Min tolkning är att Johan<br />
menar att det finns tal med fler decimaler (än tre) i intervallet. - noll nie sju ett <strong>och</strong> noll nie<br />
sju två där i mellan finns det ju också (nånting). Erika räknar också upp tal med många<br />
decimaler t.ex. 0,9711111. Det finns tal med så många decimaler att- Det kommer aldrig ta<br />
slut. Jennifer har ett annat sätt som skiljer sig från Erika <strong>och</strong> Johan. Hon ser att man kan dela<br />
varje del i mindre <strong>delar</strong>- så har man delat upp det i nio <strong>delar</strong> <strong>och</strong> sen tog man (varje del)<br />
<strong>och</strong> <strong>delar</strong> upp den också hela tiden så det tar aldrig slut. Jennifer ger inga exempel på tal<br />
utan talar om en delning av intervallet mellan talen.<br />
Lektionen avslutas utan att klassen enats om något slutgiltigt svar, men läraren lovar att de<br />
skall fortsätta diskussionen nästa lektion.<br />
Vad som framgår av excerpten ovan är att lärare <strong>och</strong> elever talar under lektionen enbart om<br />
de rationella talen i decimalform, d.v.s. man uttalar dem som exempelvis ”noll komma<br />
nittioåtta” Någon anknytning till hundra<strong>delar</strong>, tusen<strong>delar</strong> o.s.v. förekommer inte under den<br />
första lektionen.<br />
Mönster av variation <strong>och</strong> invarians (Klass A)<br />
Om man beskriver hur lärandeobjektet hanteras i termer av variation <strong>och</strong> invarians under<br />
den första lektionen, finner jag att det är en variation av möjligt antal tal i intervallet som<br />
presenteras för eleverna <strong>och</strong> som därmed är möjligt för dem att erfara.<br />
På rad 37 i excerpt 3 visar läraren en variation av möjligt antal tal i intervallet. - Det kommer<br />
aldrig att ta slut, asså nu har det hänt något i den här diskussionen, från att vi hade, inser ni<br />
här nu, från början så hade vi tre grupper som sa att det fanns inga tal <strong>och</strong> så hade vi en<br />
grupp som sa att det finns nio tal <strong>och</strong> en grupp som sa att det finns ett tal <strong>och</strong> nu säger Erika<br />
något, jättespännande hon säger att det kan aldrig ta slut, är det är det förstår jag dig rätt<br />
nu? Denna variation skapades helt <strong>och</strong> hållet utifrån de olika svar som eleverna gett på<br />
gruppuppgiften; det kan finnas tio tal, eller ett tal, eller inga tal, eller många tal.<br />
Under lektionen diskuteras tal mellan 0,97 <strong>och</strong> 0,98. Intervallet hålls konstant <strong>och</strong> tal med<br />
olika antal decimaler i intervallet varierar.<br />
När lärare <strong>och</strong> elever talar om talen, d.v.s. läser ut talen, sker detta enbart i decimalform. Det<br />
betyder att man talar om olika tal, dessa varierar, men de uttrycks i samma form. <strong>Tal</strong>en<br />
varierar men decimalformen är konstant.<br />
20
Argumentationen för de olika alternativen (inga tal, tio tal etc.) sker genom att läraren vid<br />
flera tillfällen jämför olika decimaltal med varandra. Läraren pekar på likheter <strong>och</strong><br />
skillnader mellan olika decimaltal. Ett exempel är när samma tal med olika antal decimaler<br />
jämförs (0,98 <strong>och</strong> 0,980) <strong>och</strong> läraren frågar Är det samma? (excerpt 1) Under lektionen<br />
jämförs samma tal med olika antal decimaler (t.ex. 0,98 <strong>och</strong> 0,980) <strong>och</strong> olika tal med olika<br />
antal decimaler (t.ex. 0,97 <strong>och</strong> 0,975). Eleverna har då möjlighet att erfara att samma tal kan<br />
skrivas med olika antal decimaler samt att olika tal kan skrivas med samma antal decimaler.<br />
Variationsmönstret innebär således en kontrastering mellan tal i decimalform.<br />
De dimensioner av variation (det som varierar under lektionen) som läraren öppnar för är en<br />
variation av tal i decimalform i intervallet <strong>och</strong> en variation av möjligt antal tal i intervallet<br />
mellan 0,97 <strong>och</strong> 0,98.<br />
21
Andra lektionen (Klass B)<br />
Lärare B inleder lektionen med att uppmärksamma talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 genom att han låter<br />
eleverna uttrycka talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 i annan form än decimalform. Eleverna uttrycker talen<br />
i olika bråkform t.ex. i tion<strong>delar</strong>, i hundra<strong>delar</strong> <strong>och</strong> i procent (excerpt 1). Läraren låter även<br />
eleverna ge förslag på vad man kan ta 0,97 <strong>och</strong> 0,98 av för något (excerpt 2). <strong>Tal</strong>en 0,97 <strong>och</strong><br />
0,98 ses då som an<strong>delar</strong> av en helhet. Eleverna ger flera förslag på olika helheter t.ex. att<br />
pennan kan vara helheten <strong>och</strong> om man vässar den något så blir det nittiosju hundra<strong>delar</strong> kvar<br />
av pennan. Läraren använder meterlinjalen <strong>och</strong> fokuserar skillnaden mellan talen 0,97 <strong>och</strong><br />
0,98 på linjalen. Han låter eleverna uttrycka skillnaden i annan form än decimalform.<br />
Därefter arbetar eleverna i grupp med samma uppgift som klass A (bilaga 2). Eleverna skall<br />
enas om ett av alternativen <strong>och</strong> motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar med hjälp<br />
av en tallinje d.v.s. denna skall visa tal som finns i intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98. I slutet av<br />
lektionen diskuteras alternativen som är uppsatta på blädderblockspapper på tavlan. En<br />
grupp har svarat att det finns tio tal i intervallet <strong>och</strong> tre grupper har svarat att det finns<br />
många tal eller att intervallet går att dela upp hur mycket som helst.<br />
Läraren lyfter under lektionen fram de rationella talen i annan form än decimalform <strong>och</strong><br />
talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 som an<strong>delar</strong> av en helhet. Decimaltalen kontrasteras mot varandra i<br />
annan form än decimalform <strong>och</strong> som olika an<strong>delar</strong> av helheter så att;<br />
1. Olika former av de rationella talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 jämförs<br />
2. Del-/helhets förhållandet av olika helheter jämförs<br />
Excerpt 1 visar hur läraren startar lektionen. Det rationella talet 0,97 uttrycks av eleverna på<br />
olika sätt i decimalform, bråkform <strong>och</strong> procent. Siffrornas platsvärde i talet 0,97 diskuteras<br />
också.<br />
Excerpt 1 Former av talet 0,97 (olika sätt att uttrycka talet 0,97)<br />
Läraren skriver 0,97på tavlan<br />
1. Läraren: Vad står det där?<br />
Elever räcker upp händer.<br />
2. Läraren: Jill?<br />
3. Jill: Noll komma nittiosju.<br />
4. Läraren: Noll komma nittiosju. Står det något mer? Stina!<br />
5. Stina: Eh, vad heter det? Nio tion<strong>delar</strong> <strong>och</strong> sju hundra<strong>delar</strong><br />
6. Läraren: Okej, den står för…det var nio tion<strong>delar</strong> <strong>och</strong> den var sju hundra<strong>delar</strong>?<br />
Han pekar först på nian <strong>och</strong> sedan på sjuan.<br />
7. Läraren: Mm, nåt mer? [till Ville]<br />
8. Ville: Nittiosju procent.<br />
9. Läraren: Nittiosju procent.<br />
Läraren pekar på Nils.<br />
22
10. Nils: Nittiosju hundra<strong>delar</strong>.<br />
11. Läraren: Vad står nollan för? Jill?<br />
12. Jill?: De hela?<br />
13. Läraren: De hela…har vi…vi har lite dåligt med såna här då?<br />
Han pekar på nollan.<br />
14. Läraren: Okej, så vad ni säger är att här står egentligen nittiosju hundra<strong>delar</strong>…<br />
Han skriver 97/100 på tavlan.<br />
…nittiosju procent, noll komma nittiosju, ni har massa olika begrepp. Du ville upp med handen där.<br />
Läraren pekar på Ville.<br />
15. Ville: Nio komma sju tion<strong>delar</strong>.<br />
Direkt därpå öppnas för en ny aspekt som en dimension av variation, nämligen del/ helhetsförhållandet.<br />
Detta görs genom att läraren låter läraren eleverna ge förslag på olika helheter<br />
som andelen (0,97) kan relateras till. Läraren ber eleverna ge förslag på vad man kan ta 0,97<br />
av för någonting. Eleverna svarar t.ex. pingisracket <strong>och</strong> pennan. Pennan <strong>och</strong> pingisracket blir<br />
då olika helheter som andelen 0,97 är en del av (excerpt 2).<br />
Excerpt 2 Del <strong>och</strong> helhet<br />
16. Läraren: Nio komma sju stycken tion<strong>delar</strong>, okej. En mängd av olika förslag på vad det står här…men<br />
vad kan man ta…om vi tittar på de här nittiosju hundra<strong>delar</strong>na, vad kan man ta nittiosju<br />
hundra<strong>delar</strong> av för någonting? Vad kan man ta nittiosju hundra<strong>delar</strong> av? Nils?<br />
17. Nils: Allt!<br />
18. Läraren: Allt? Kan man det?<br />
19. Nils: Joo, för pingi…det här kan man ta nittiosju hundra<strong>delar</strong> av.<br />
Han visar fram ett pingisracksfodral som läraren tar av honom <strong>och</strong> håller upp.<br />
20. Läraren: Okej, vi håller upp den här…nittiosju hundra<strong>delar</strong> av den här, kan man ta det?<br />
21. Elever: Jaa<br />
22. Läraren: Är det här den hela just nu då eller?<br />
23. Elever: Jaa<br />
Lite senare i diskussionen.<br />
24. Läraren: Måns!<br />
25. Måns: Ja, den här pennan kanske inte är hundraprocentig nu. Den kanske är nittiosju hundra<strong>delar</strong> av<br />
det som var originalet innan.<br />
Läraren använder även meterlinjalen i undervisningen för att beteckna en helhet. Han låter<br />
eleverna se sambandet mellan t.ex. nittiosju hundra<strong>delar</strong> <strong>och</strong> nittiosju centimeter på linjalen<br />
d.v.s. andelen hundra<strong>delar</strong> kopplas till längdenheten centimeter. Eleverna har då möjlighet<br />
att se att helhetens <strong>delar</strong> kan göras mindre <strong>och</strong> mindre. En elev uttrycker att intervallet<br />
mellan t.ex. 0,97 <strong>och</strong> 0,98 kan delas hur mycket som helst bara man hade en ”<strong>delar</strong>maskin”.<br />
I nästa fas använder läraren sig av linjalen för att eleverna skall få möjlighet att se att samma<br />
helhet kan delas upp i olika antal an<strong>delar</strong>.<br />
23
Excerpt 3<br />
26.Ville:<br />
27.Läraren:<br />
28.Nils:<br />
29.Läraren:<br />
30.Nils:<br />
31.Läraren:<br />
32.Nils:<br />
33.Läraren:<br />
34.Nils:<br />
35.Läraren:<br />
36.Håkan:<br />
37.Läraren:<br />
38.Håkan:<br />
39.Läraren:<br />
40.Håkan:<br />
41.Läraren:<br />
42.Håkan:<br />
43.Läraren:<br />
44.Nils:<br />
45.Håkan:<br />
46.Läraren:<br />
Helheten delas i olika antal an<strong>delar</strong><br />
Niohundra sjuttiofem tusen<strong>delar</strong><br />
Niohun… jag fattar inte det här riktigt…alltså jag kanske är lite trög, men det kommer in<br />
mycket såna här… här är väl inte tusen <strong>delar</strong> här emellan? Var kommer… ni sa det här uppe<br />
också… tusen<strong>delar</strong> <strong>och</strong> tiotusen<strong>delar</strong>… men jag fattar inte, här är väl inte tusen <strong>delar</strong> här? Var<br />
kommer tusen<strong>delar</strong>na ifrån? Ja!<br />
Jo, när man <strong>delar</strong> den på hela… på hela metern så <strong>delar</strong> man den ju i tio här.<br />
Ja<br />
…sen <strong>delar</strong> man ju den i centimeter där…<br />
Ja<br />
man har ju bara gjort en centimeter.<br />
Jasså, du menar att de här tusen<strong>delar</strong>na kommer ifrån den här då? Håller upp linjalen.<br />
Ja!<br />
Hur många såna bitar har vi, om det står … hur många tusen<strong>delar</strong> har vi i det här talet då?<br />
Pekar på 0,975 på tallinje från grupp1.<br />
Fem<br />
Fem stycken? Så… den femman [0,975] är det den femman du menar då?<br />
Ja<br />
Den står för fem tusen<strong>delar</strong>? Som fem millimeter. Ligger vi här borta på linjalen då? Pekar på<br />
fem millimeter från linjalens början. Eller var ligger vi då?<br />
Där!<br />
Där [i början av linjalen] det talet [0,975] ligger det där [i början]?<br />
Nej, där.<br />
Där? [vid 0,975] okej. Nils!<br />
Du har niohundra sjuttiofem tusen<strong>delar</strong>.<br />
Jaha, du menade så..<br />
Jaha, så fram till… hela linjalen är tusen <strong>delar</strong>, så har vi niohundra sjuttiofem stycken såna.<br />
Läraren försöker (i excerpt 3 rad 35-44) få eleven att skilja på fem tusen<strong>delar</strong> <strong>och</strong> femmans<br />
betydelse i talet 0,975. Femmans platsvärde i talet 0,975 kopplas samman med längdenheten<br />
millimeter <strong>och</strong> visas samtidigt som andel (0,005 <strong>och</strong> 0,975) av en helhet (linjalen).<br />
För att åskådliggöra att helheten kan delas upp i olika an<strong>delar</strong> så ritar läraren upp fyra<br />
linjaler under varandra med olika antal <strong>delar</strong> på tavlan (se bild 4-6). Han <strong>delar</strong> den första i<br />
tio <strong>delar</strong> (tion<strong>delar</strong>), där varje del är en decimeter. Den andra linjalen delas i hundra <strong>delar</strong><br />
(hundra<strong>delar</strong>), där varje del är en centimeter. Den tredje linjalen delas in i tusen <strong>delar</strong><br />
(tusen<strong>delar</strong>), i millimeter <strong>och</strong> den sista linjalen i tiotusen <strong>delar</strong> (i tiotusen<strong>delar</strong>). Helheten –<br />
linjalen delas alltså upp i olika antal <strong>delar</strong> <strong>och</strong> talen varierar genom att;<br />
3. Samma tals plats på tallinjen jämförs, t.ex. 0,5/ 0,50/0,500/0,5000<br />
4. Olika tals plats på tallinjen jämförs, t.ex. 0,975 <strong>och</strong> 0,1111<br />
24
Läraren visar med hjälp av olika linjaler hur den hela<br />
(linjalen) kan delas in i olika antal an<strong>delar</strong>, tio <strong>delar</strong>,<br />
hundra <strong>delar</strong>, tusen <strong>delar</strong> <strong>och</strong> tiotusen <strong>delar</strong>.<br />
Bild 4. Stillbild från film. Läraren <strong>delar</strong> in<br />
linjaler i olika antal an<strong>delar</strong>.<br />
Läraren visar tillsammans med eleverna hur nittiosju<br />
hundra<strong>delar</strong> är lika mycket som niohundrasjuttio<br />
tusen<strong>delar</strong> <strong>och</strong> niotusen sjuhundra tiotusen<strong>delar</strong>.<br />
Bild 5. Stillbild från film. Läraren visar var talet<br />
0,97 finns på de olika linjalerna.<br />
I ett annat exempel visar han var talet 0,5 finns på de<br />
olika linjalerna. Samma tal uttrycks då på olika sätt<br />
(0,5, 0,50, 0,500 <strong>och</strong> 0,5000) med olika antal<br />
decimaler.<br />
Bild 6. Stillbild från film. Visar talet 0,5 på de<br />
olika linjalerna.<br />
Vid ett tillfälle adderar läraren olika <strong>delar</strong>, en tiondel plus en hundradel plus en tusendel<br />
o.s.v. <strong>och</strong> ber eleverna visa var talet 0,1111 finns i ”verkligheten” på linjalen.<br />
25
Excerpt 4<br />
47.Läraren:<br />
48.Elever:<br />
49.Läraren:<br />
50.Läraren:<br />
Helheten delas i olika antal an<strong>delar</strong><br />
Säg att jag tar en sån här tiondel …jag tar en sån där…<strong>och</strong> sen tar jag en sån där hundradel…<br />
den är lite mindre…<strong>och</strong> sen tar jag en sån här tusendel <strong>och</strong> sen så tar jag en sån här liten<br />
tiotusingdel. Jag tar <strong>och</strong> lägger ihop dom, vad händer då? Kommer den till att vara större än<br />
den här [0,1]?<br />
Ja<br />
Det kommer den att va? Ja, men okej?<br />
Kort därefter<br />
Men just det här talet [0,1111] var hamnar det på linjalen? Finns det en speciell punkt för det<br />
talet?<br />
Vad som framgår av excerpten är att lärare <strong>och</strong> elever under lektionen talar om de rationella<br />
talen i decimalform, bråkform <strong>och</strong> i procentform. Genom att använda linjalen blir sambandet<br />
med t.ex. nittioåtta hundra<strong>delar</strong> som nittioåtta an<strong>delar</strong> av hundra (en hel) åskådligt för<br />
eleverna. Elever <strong>och</strong> lärare talar om delning av intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98 men även om<br />
delning av helheten- linjalen i olika an<strong>delar</strong>.<br />
Mönster av variation <strong>och</strong> invarians (Klass B)<br />
Om man beskriver hur lärandets objekt hanteras i termer av variation <strong>och</strong> invarians under<br />
den andra lektionen, finner jag att det är en variation av olika antal an<strong>delar</strong> av en helhet som<br />
presenteras för eleverna <strong>och</strong> därmed är möjligt för dem att erfara.<br />
Denna variation skapades vid flera olika tillfällen under lektionen <strong>och</strong> på olika sätt. I<br />
inledningen av lektion skapades en variation kring helheten. Helheten varierade t.ex.<br />
pingisracket, pennan <strong>och</strong> linjalen <strong>och</strong> talet 0,97 var konstant. När läraren visar hur helheten<br />
kan delas i olika an<strong>delar</strong> har eleverna möjlighet att erfara en variation i antalet an<strong>delar</strong> av<br />
samma helhet.<br />
Samma tals (med olika antal an<strong>delar</strong> t.ex. 0,5 <strong>och</strong> 0,50) plats på tallinjen jämförs <strong>och</strong> olika<br />
tals ( 0,97 <strong>och</strong> 0,1111) plats på tallinjen jämförs. Helheten (linjalen) är konstant <strong>och</strong> antalet<br />
an<strong>delar</strong> varierar.<br />
När lärare <strong>och</strong> elever talar om talen, d.v.s. läser ut talen, sker detta i både i decimalform,<br />
bråkform <strong>och</strong> procent. Det betyder att man talar om samma tal, dessa varierar inte, men de<br />
uttrycks i olika form. <strong>Tal</strong>en är konstanta men formen varierar.<br />
Argumentationen för de olika alternativen på uppgiften (tio tal, det går att dela upp hur<br />
mycket som helst) sker genom att eleverna ser sambandet mellan helheten- linjalen <strong>och</strong><br />
an<strong>delar</strong>na. Variationsmönstret som skapas under andra lektionen innebär således en<br />
kontrastering mellan olika antal an<strong>delar</strong> av en helhet.<br />
26
De dimensioner av variation (det som varierar under lektionen) som läraren öppnar för är en<br />
variation av formen av rationella tal, helheten, delen, delen utryckt i längdenhet,<br />
platsvärdet, <strong>och</strong> möjligt antal <strong>delar</strong> i intervallet. Flera av dessa dimensioner varierar<br />
samtidigt i undervisningen i klass B (se tabell 2).<br />
27
Tredje lektionen (Klass C)<br />
Lärare C inleder lektionen på liknande sätt som lärare B gör. Han låter eleverna uttrycka<br />
talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 i annan form än decimalform <strong>och</strong> eleverna svarar i bråkform <strong>och</strong><br />
procent. Lärare C tar fram en anatomisk modell (torso) <strong>och</strong> ber eleverna visa hur mycket<br />
nittiosju respektive nittioåtta hundra<strong>delar</strong> är av torson. Torson är då helheten <strong>och</strong> 0,97 <strong>och</strong><br />
0,98 an<strong>delar</strong> av helheten. Läraren använder även meterlinjalen för att beteckna en helhet <strong>och</strong><br />
fokuserar skillnaden mellan talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 på linjalen. Eleverna uttrycker skillnaden<br />
mellan talen i t.ex. bråkform <strong>och</strong> procent.<br />
Därefter arbetar eleverna i grupp med samma uppgift som klass A <strong>och</strong> B (bilaga 2). Eleverna<br />
skall enas om ett svarsalternativen <strong>och</strong> motivera sitt val. De skall också illustrera sitt svar<br />
med hjälp av en tallinje d.v.s. denna skall visa tal som finns i intervallet 0,97 <strong>och</strong> 0,98. I<br />
slutet av lektionen diskuteras alternativen som är uppsatta på blädderblockspapper på tavlan.<br />
En grupp har svarat att det finns tio tal i intervallet <strong>och</strong> fyra grupper har svarat att det finns<br />
många tal eller oändligt många tal i intervallet.<br />
Läraren lyfter på samma sätt som lärare B fram de rationella talen som andra former än<br />
enbart decimalform t.ex. nittiosju hundra<strong>delar</strong> <strong>och</strong> nittiosju procent. <strong>Tal</strong>en 0,97 <strong>och</strong> 0,98 ses<br />
även som an<strong>delar</strong> av en helhet. Decimaltalen kontrasteras mot varandra i annan form än<br />
decimalform <strong>och</strong> som olika an<strong>delar</strong> av helheter genom att;<br />
1. Representation av de rationella talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 jämförs<br />
2. Del/ helhets förhållandet av olika helheter jämförs<br />
Lärare C ber eleverna att uttrycka talet 0,97 på olika sätt. Eleverna svarar i procent <strong>och</strong> i<br />
olika bråkform t.ex. nittiosju hundra<strong>delar</strong>, nio komma sju tion<strong>delar</strong> <strong>och</strong> niohundrasjuttio<br />
tusen<strong>delar</strong>.<br />
Bild 7. Stillbild från film. Se excerpt<br />
1.<br />
Excerpt 1 Representation av talet 0,97<br />
1.Läraren: Får jag bara fråga, vad står det på tavlan<br />
här? Albin<br />
2.Albin: Noll komma nittiosj<br />
3.Läraren: Ah, noll komma nittiosju. Kan man säga det som<br />
står på något annat sätt kanske? Ah Albin<br />
4.Albin: Nittisju procent<br />
5.Läraren: Nittisju procent skulle man kunna kalla det<br />
också. Skriver upp svaren på tavlan. Något<br />
annat? Malinda<br />
28
Direkt efter att eleverna har uttryckt talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 i annan form än decimalform tar<br />
läraren fram en anatomisk modell (torso). Läraren öppnar för en ny aspekt av decimaltal,<br />
del/helhets förhållandet. Eleverna får en möjlighet att se talet 0,97 som en andel av en helhet<br />
(torson).<br />
Excerpt 2<br />
6.Läraren:<br />
7.Elin:<br />
8.Läraren:<br />
Del <strong>och</strong> helhet<br />
Ah, okej. Om man ska ta nittisju hundra<strong>delar</strong> av, av det här då Visar på torson. Då skulle man<br />
få kapa någonstans. Mm vad skulle man kapa då?… Vad säger du Elin?<br />
Kapa så att det finns tre procent kvar.<br />
Tre procent av den här. Var skulle man hamna någonstans då?<br />
Kort därefter<br />
9. Läraren: På samma sätt skulle man kunna använda en linjal<br />
va. Om man skulle ta nittisju hundra<strong>delar</strong> av denna.<br />
Var skulle man hamna då? Sally<br />
10.Sally: Från nittifemman <strong>och</strong> två steg (snett) ditåt [höger].<br />
11.Läraren: Där någonstans ja, <strong>och</strong> nittiåtta hundra<strong>delar</strong>?<br />
12.Elev: Ett snäpp<br />
13.Läraren: Sanna<br />
14.Sanna: Lite mer åt höger.<br />
Bild 8. Stillbild från film. Läraren använder<br />
linjalen för att visa talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98.<br />
I undervisningen använder lärare C även meterlinjalen för att beteckna en helhet <strong>och</strong> ber<br />
eleverna visa var talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98 finns på linjalen.<br />
När elevernas tallinjer diskuteras, jämför läraren tal med olika antal decimaler. Läraren<br />
frågar – Vilket är störst? Det sker på ett liknande sätt som lärare A gör. En grupp hade<br />
skrivit talet 0,97111111111111…på sitt blädderblockspapper för att visa att man kan skriva<br />
ett decimaltal med hur många siffror som helst. Läraren använder elevernas svar för att<br />
jämföra två decimaltal med olika antal decimaler.<br />
Excerpt 3 Olika tal med olika antal decimaler jämförs (0,9711…. <strong>och</strong> 0,98)<br />
15.Läraren: Okej… <strong>och</strong> okej om man jämför det här som står här då vi tar det här exemplet med till<br />
exempel noll komma nittioåtta. Vilket tal är...störst? [0,97111111111111… eller 0,98]<br />
16.Elev: Vad sa du?<br />
17.Läraren: Ja sa om man jämför det här som är skrivit här [<strong>Tal</strong>et med många siffror bakom<br />
decimaltecknet.]med noll komma nittioåtta. Så frågade jag vilket är störst? Kim<br />
18.Kim: Noll komma nittioåtta<br />
19.Läraren: Men…det är massa siffror här ju eller?<br />
20.Elev: Skit samma.<br />
29
21.Läraren:<br />
22.Siri:<br />
23.Läraren:<br />
24.Sune:<br />
25.Läraren:<br />
26.Sune:<br />
27.Emil:<br />
Vad säger du Siri?<br />
Man avrundar det neråt…om man ska avrunda det.<br />
Ah okej om man ska avrunda det okej. Sune<br />
Men det är nittioåtta i början <strong>och</strong> nittiosju i början där så då måste det va det.<br />
Aha<br />
(…) även om det (…) Emil<br />
Man kan säga att det är typ tjugofem siffror efter där noll komma nittiosju. Säg typ att det är<br />
tjugofem stycken så på noll komma nittioåtta kan man lägga på tjugofem nollor så blir det<br />
fortfarande samma tal men med samma antal siffror <strong>och</strong> då ser man att noll komma nittiosju är<br />
mindre.<br />
I excerptet sammanfattar Emil en generell princip när det gäller decimaltal. ”Man kan säga<br />
att det är typ tjugofem siffror efter där noll komma nittiosju. Säg typ att det är tjugofem<br />
stycken så på noll komma nittioåtta kan man lägga på tjugofem nollor så blir det fortfarande<br />
samma tal men med samma antal siffror <strong>och</strong> då ser man att noll komma nittiosju är<br />
mindre.” Han menar att antalet decimaler inte spelar någon roll för talets storlek. Excerpt 3<br />
visar att lärare <strong>och</strong> elever nu talar om de rationella talen i decimalform.<br />
I excerpt 4 ger eleverna uttryck för ytterligare för en generell princip om decimaltal,<br />
nämligen att det finns oändligt många decimaltal <strong>och</strong> det går inte att räkna upp dem för att<br />
det är så många. Läraren frågar hur långt man kan gå i att räkna upp ”<strong>delar</strong>” i intervallet 0,97<br />
<strong>och</strong> 0,98 <strong>och</strong> elevernas svarar t.ex. - Till man inte orkar mer. <strong>och</strong> - Oändligt långt.<br />
Begreppet <strong>oändlighet</strong> kommer upp både skriftligt (på elevernas tallinjer) <strong>och</strong> muntligt. Det<br />
är eleverna som för in begreppet i diskussionen.<br />
Excerpt 4<br />
28.Elin:<br />
29.Läraren:<br />
30.Elin:<br />
31.Läraren:<br />
32.Elin:<br />
33.Läraren:<br />
34.Elin:<br />
35.Nils:<br />
36.Elin:<br />
37.Läraren:<br />
38.Nils:<br />
39.Läraren:<br />
40.Elin:<br />
41.Läraren:<br />
42.Elev:<br />
Begreppet <strong>oändlighet</strong><br />
Jag tror vi skrev till noll komma nittiosju komma noll komma<br />
nittisju femtitre tror jag vi skrev.<br />
Ah okej så ni<br />
Eller ja<br />
Mm så man skulle<br />
Eller ja det finns ju oändligt så då det finns ju hur många som<br />
helst.<br />
Det är rätt så fascinerande eller hur.<br />
Men vi skrev till tusen<strong>delar</strong> gjorde vi va.<br />
Nej tiotusen<strong>delar</strong><br />
Tiotusen<strong>delar</strong><br />
Tiotusen<strong>delar</strong> ah det rätt så fascinerande att det är så.<br />
Vi kan gå ner på tiomiljarder<strong>delar</strong> om du vill det.<br />
Kan man det också?<br />
Ja det är klart man kan.<br />
Det kan man. Hur långt kan man gå?<br />
//Kan kan man.<br />
30
43.Nils:<br />
44.Elev:<br />
45.Läraren:<br />
46.Elev:<br />
47.Läraren:<br />
48.Nils:<br />
//Oändligt långt.<br />
Hur långt du vill gå.<br />
Oändligt. Så långt som man kan.<br />
Till man inte orkar mer.<br />
Okej<br />
Miljarders miljarder miljarder. Ska jag börja nu blir jag färdig när jag dör.<br />
I utdraget (excerpt 4) talar lärare <strong>och</strong> elever återigen om <strong>delar</strong>, hundra<strong>delar</strong>, tiomiljarder<strong>delar</strong><br />
o.s.v. I slutet av lektionen pendlar läraren från att tala om talen i bråkform till decimalform<br />
till bråkform igen. Med det menar jag att läraren växlar mellan de rationella talens olika<br />
form genom att tala om t.ex. nittioåtta hundra<strong>delar</strong> <strong>och</strong> noll komma nittioåtta.<br />
Mönster av variation <strong>och</strong> invarians (Klass C)<br />
När man beskriver hur lärandeobjektet hanteras i termer av variation <strong>och</strong> invarians under<br />
den tredje lektionen, finner jag att det är en variation av olika antal an<strong>delar</strong> av en helhet som<br />
presenteras för eleverna <strong>och</strong> därmed är möjligt för dem att erfara.<br />
Denna variation skapades genom en variation av helheter t.ex. torson <strong>och</strong> linjalen där delen<br />
t.ex. 0,97 var konstant.<br />
När lärare <strong>och</strong> elever talar om talen, d.v.s. läser ut talen sker detta i decimalform, bråkform<br />
<strong>och</strong> procentform. <strong>Tal</strong>et t.ex. 0,97 är konstant men sätta uttrycka talet varierar. Under<br />
lektionen pendlar läraren också från att ha talat om talen i bråkform till att i slutet av<br />
lektionen tala om talen i decimalform <strong>och</strong> bråkform.<br />
Argumentationen för de olika alternativen på uppgiften (tio tal, många tal) sker genom att<br />
eleverna ser sambandet mellan helheten- t.ex. linjalen <strong>och</strong> an<strong>delar</strong>na. Variationsmönstret<br />
innebär således en kontrastering mellan olika antal an<strong>delar</strong> av en helhet.<br />
Dimensioner av variation<br />
Enligt Marton <strong>och</strong> Booth (2000) är lärande att erfara saker på ett visst sätt. ”Att lära sig<br />
erfara olika fenomen, …, innebär att bli förmögen att urskilja vissa enheter eller aspekter,<br />
<strong>och</strong> att ha förmågan att vara samtidigt <strong>och</strong> fokuserat medveten om dessa enheter eller<br />
aspekter.”(Marton <strong>och</strong> Both, 2000 s. 161).<br />
Tabell 2 visar de aspekter av lärandets objekt som lärarna tematiserar i undervisningen <strong>och</strong><br />
vad som varierar under lektionen, d.v.s. vilka dimensioner av variation som öppnas för<br />
eleverna <strong>och</strong> hur de varieras samtidigt.<br />
31
Tabell 2.Sammanfattning av klass A, B <strong>och</strong> C med avseende på dimensioner av variation<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
" # $ <br />
%&<br />
* + <br />
&<br />
0 # $ <br />
1<br />
<br />
3 - / <br />
) ) <br />
* 0 / - / <br />
) ! <br />
5 0 $ <br />
- <br />
) <br />
% " # $ <br />
%&<br />
0 # $ <br />
1<br />
<br />
0 - / <br />
) ) <br />
* 0 / - / <br />
) ! <br />
5 ' ( / <br />
8 <br />
% 3 # - <br />
- ) 8 <br />
9 0 <br />
$ # / ) <br />
<br />
• <br />
> < ! <br />
' ( ) <br />
% <br />
* <br />
! ) <br />
!" <br />
! ) <br />
<br />
#$ % <br />
$ <br />
) <br />
<br />
&#$ % <br />
<br />
) <br />
# 5 %<br />
6 !" <br />
""' <br />
* <br />
! ) <br />
!" <br />
! ) <br />
<br />
#$ % <br />
<br />
* <br />
)"' 5 <br />
% ) %<br />
* 5 <br />
<br />
• <br />
> < ! <br />
• , ( - . - <br />
- / - <br />
• 2 <br />
• 4 ) <br />
• <br />
• 2 <br />
• <br />
• , ( - .<br />
) <br />
- / - <br />
• 2 <br />
• 7 <br />
• 2 <br />
• <br />
• <br />
• 2 <br />
• 4 ) <br />
• <br />
• 2 <br />
• <br />
> > ! <br />
• , ( - .<br />
) <br />
- / - <br />
• 2 <br />
• 2 <br />
32
Under första lektionen (klass A) varieras endast en dimension av decimaltal nämligen tal i<br />
decimalform i intervallet mellan 0,97 <strong>och</strong> 0,98. Under den andra lektionen (klass B) varieras<br />
fler dimensioner av decimaltal <strong>och</strong> flera varieras samtidigt. I början av lektionen (se tabell 2,<br />
aktivitet 1) varieras enbart formen av de rationella talen 0,97 <strong>och</strong> 0,98. Under lektionen<br />
kommer fler <strong>och</strong> fler aspekter av decimaltal att variera, fler dimensioner av variation öppnas<br />
då upp för eleverna. I aktivitet 5 (klass B) varieras fyra dimensioner, platsvärdet, formen av<br />
rationella tal, delen <strong>och</strong> delen uttryckt i längdenhet varieras samtidigt. Under den tredje<br />
lektionen (klass C) varieras inledningsvis en dimension i taget men i aktivitet 3 (se tabell 2,<br />
klass C) varieras del-helhets förhållandet (delen) <strong>och</strong> formen av rationella tal samtidigt.<br />
Även i klass B (se tabell 2, aktivitet 3) varieras del-helhets förhållandet (delen) <strong>och</strong> formen<br />
av rationella tal samtidigt.<br />
Det framgår av tabell 2 att lärarna i klass B <strong>och</strong> C tematiserar fler aspekter (aspekter visas i<br />
fet stil i tabellen) av decimaltal, vilket gör att klass B <strong>och</strong> C får ett mer utvidgat <strong>och</strong> rikare<br />
variationsrum än klass A. Med det menas att fler dimensioner av variation öppnas för<br />
eleverna i klass B <strong>och</strong> C. Genom att flera aspekter varierar samtidigt har eleverna möjlighet<br />
att erfara flera aspekter samtidigt <strong>och</strong> därmed erfara lärandets objekt på ett visst sätt.<br />
Eleverna i klass A har haft möjlighet att erfara lärandets objekt på ett annat sätt än klass B<br />
<strong>och</strong> C. Den stora skillnaden är att i klass A har eleverna möjligheten att erfara ett möjligt<br />
antal tal i intervallet d.v.s. inga tal, ett tal, tio tal <strong>och</strong> oändligt många tal. Medan i klass B<br />
<strong>och</strong> C har eleverna haft möjligheten att erfara ett möjligt antal <strong>delar</strong> i intervallet; tion<strong>delar</strong>,<br />
hundra<strong>delar</strong>, tusen<strong>delar</strong>, tiotusen<strong>delar</strong> <strong>och</strong> oändligt många <strong>delar</strong> (se figur 1). Enligt min<br />
tolkning beror det på att eleverna i klass B <strong>och</strong> C har fått möjlighet att erfara formen av<br />
rationella tal <strong>och</strong> del-helhets förhållandet samtidigt.<br />
Figur 1. Vad eleverna haft möjlighet att erfara i klass A, B <strong>och</strong> C.<br />
Första lektionen (klass A)<br />
0,97 0,98<br />
Möjligt antal tal i intervallet<br />
Andra <strong>och</strong> tredje lektionen. (klass B <strong>och</strong> C)<br />
0,97 0,98<br />
Möjligt antal <strong>delar</strong> i intervallet<br />
33
Elevernas lärande<br />
Före undervisningen fick eleverna göra ett förtest (bilaga1) <strong>och</strong> någon dag efter lektionen<br />
fick eleverna göra ett eftertest (bilaga 3). Skillnaden mellan hur eleverna lyckades med att<br />
lösa ”samma” uppgift på förtest <strong>och</strong> eftertest kan ses som ett resultat av undervisningens<br />
effekt. Den uppgift som undersöker elevernas förståelse för lärandets objekt- att förstå att<br />
det finns oändligt många decimaltal - är uppgift fyra på förtestet. Uppgift b (se tabell 3) är<br />
en ny uppgift som inte fanns med på förtestet.<br />
Vid bearbetningen av förtest <strong>och</strong> eftertest analyserades elevernas svar fram i kategorier<br />
utifrån hur de svarat. Det är elevernas motiveringar på uppgiften som har kategoriserats. De<br />
kategorierna var att det fanns många/ eller oändligt många tal (korrekt svar), ett tal, tio tal<br />
eller inga tal i intervallet. I kategorin övriga svar finns de elever vars tanke varit svår att<br />
tolka. Antalet elever som deltagit i studien är de som deltagit i alla moment; förtest,<br />
undervisning <strong>och</strong> eftertest.<br />
Tabell 3. Resultat av förtest <strong>och</strong> eftertest. Svarsfrekvens i procent (antal).<br />
*!!'% <br />
<br />
<br />
+ <br />
: ; - / - - <br />
* ? 9 <br />
<br />
<br />
: ; - / - - <br />
? <br />
<br />
<br />
+ ! ! ! " " #<br />
: <br />
: / <br />
<br />
> - <br />
<br />
<br />
<br />
,-2<br />
? <br />
<br />
5 ? <br />
<br />
<br />
.-.<br />
<br />
? %<br />
? <br />
! ? * <br />
? %<br />
<br />
/.-0<br />
<br />
? <br />
9 ? <br />
? <br />
? <br />
<br />
<br />
,-/<br />
? %<br />
<br />
! ? * <br />
<br />
<br />
-<br />
<br />
? %<br />
9 ? <br />
* %? 9 <br />
! ? * <br />
<br />
11-,<br />
<br />
? <br />
9 ? <br />
? <br />
9 ? <br />
<br />
<br />
<br />
30-<br />
9 ? <br />
<br />
! ? * <br />
<br />
34
Uppgift a undersökte elevernas kunskaper om hur många tal det fanns i intervallet mellan<br />
två decimaltal. Det framgår av tabellen att få elever svarat korrekt på uppgift a på förtestet.<br />
Endast 5% (1/19) i klass A, 24% (4/17) i klass B <strong>och</strong> 12% (2/17) i klass C svarade korrekt<br />
på denna uppgift. Klass B var den klass som hade bäst resultat på förtestet, vilket tyder på att<br />
klass B före undervisningen hade något bättre förkunskaper än klass A <strong>och</strong> C.<br />
Tabellen visar att klass C är den klass som förbättrat sitt resultat mest på uppgift a, från 12%<br />
(2/17) till 88% (15/17). I klass B har resultatet förbättrats från 24% (4/17) till 94% (16/17)<br />
medan klass A förbättrat sig mindre, från 5% (1/19) till 21% (4/19). I klass A har alltså 3/19<br />
elever förbättrat sina resultat till eftertestet, medan i klass B <strong>och</strong> C har 12/17 respektive<br />
13/17 elever förbättrat sig.<br />
Om man närmare studerar hur elevernas svar (svarskategorier) för<strong>delar</strong> sig på förtest <strong>och</strong><br />
eftertest på uppgift a ser man en förändring. I klass A var det ingen elev som på förtestet<br />
svarade att det fanns tio tal i intervallet, medan på eftertestet svarar 47% (9/19) d.v.s.<br />
nästan hälften av eleverna det. I klass A svarade 42% (8/19) på förtestet (uppgift a) att det<br />
inte fanns några tal i intervallet. Efter lektionen, på eftertestet svarar fortfarande 21% (4/19)<br />
att inte finns några tal i intervallet. 21% (4/19) av eleverna svarade på förtestet att det fanns<br />
ett tal i intervallet, det är dock inga elever som på eftertestet svarar att det finns ett tal.<br />
Sammanfattningsvis kan man säga att merparten av eleverna i klass A efter undervisningen,<br />
svarar att det finns tio tal i intervallet.<br />
I klass B för<strong>delar</strong> sig svaren på annat sätt. En skillnad från förtestet är att elevernas svar är<br />
spridda över färre kategorier i eftertestet. Efter undervisningen svarar alla elever utom en<br />
elev att det finns oändligt många decimaltal. Den eleven svarar att det finns tio tal i<br />
intervallet, något som ingen elev i klass B gjorde på förtestet.<br />
I klass C svarade 35% (6/17) elever på förtestet (uppgift a) att det inte fanns några tal i<br />
intervallet medan efter undervisningen, på eftertestet svarar inga elever det. Det samma<br />
gäller de elever som på förtestet svarat att det finns ett tal i intervallet 29% (5/17), på<br />
eftertestet svarar inga elever det. Alla elever, förutom två, svarar på eftertestet (uppgift a) att<br />
det finns många eller oändligt många decimaltal. En elev svarar på eftertestet att det finns tio<br />
tal i intervallet <strong>och</strong> en elevs svar har varit svårt att tolka. I likhet med klass B så är elevernas<br />
svar spridda över färre kategorier i eftertestet.<br />
Det framgår av tabellen att eleverna i klass A har lyckats bättre med uppgift b än uppgift a.<br />
Uppgift b bestod i att räkna upp tal som finns i intervallet 0,99 <strong>och</strong> 1,1. Det klarar 53%<br />
(10/19), d.v.s. mer än hälften eleverna i klass A. Det betyder att eleverna i klass A är bättre<br />
på att hitta tal i intervallet (uppgift b) än att avgöra hur många tal det finns i intervallet<br />
(uppgift a).<br />
35
I klass B har 53% (9/17), d.v.s. mer än hälften av eleverna korrekt svar uppgift b. Om man<br />
räknar med de elever som svarat med två decimaltecken så har 82% (14/17) klarat uppgiften,<br />
d.v.s. nästan alla elever. Att man bara använder ett decimaltecken var inget som diskuterades<br />
under lektionen i klass B, men däremot i klass A <strong>och</strong> C. Ingen elev i klass A <strong>och</strong> bara en<br />
elev i klass C svarar med två decimaltecken på eftertestet.<br />
I klass C har 76% (13/17) svarat korrekt på uppgift b. Om man räknar med den elev som<br />
svarat med två decimaltecken så har 82% (13/17) klarat uppgiften. Det är lika många som i<br />
klass B. Om man räknar med de elever som svarat med två decimaltecken så har något fler<br />
elever i klass B <strong>och</strong> C klarat uppgiften än i klass A.<br />
Kritiska aspekter<br />
Det som enligt min analys verkar ha varit avgörande för elevernas lärande under lektionerna<br />
benämner jag kritiska aspekter (Marton <strong>och</strong> Tsui, 2004). Med kritiska aspekter menar jag<br />
huruvida de har presenterats som dimensioner av variation i undervisningen <strong>och</strong> därmed<br />
varit möjliga att erfara. Analysen av lektionerna tyder på att eleverna i klass B <strong>och</strong> C fått<br />
möjlighet att erfara att det finns oändligt många decimaltal genom att en dimension av<br />
variation av <strong>delar</strong> öppnats.<br />
De kritiska aspekter som jag funnit varit avgörande för dessa elever att lära sig/ förstå att det<br />
finns oändligt många decimaltal är;<br />
• Olika former av rationella tal. Med det menas olika sätt att uttrycka decimaltalen som i<br />
olika bråkform <strong>och</strong> procent.<br />
• Del-helhets förhållandet Med det menas att man kan ta (andelen) noll komma nittiosju<br />
av (helheten) något t.ex. linjalen.<br />
Det som skiljer klass B från klass C är bl.a. att lärare B visar intervallets delning i olika<br />
an<strong>delar</strong>. Med det menas att eleverna kan se att intervallet mellan decimaltal går att dela upp<br />
i mindre <strong>och</strong> mindre an<strong>delar</strong>. Genom att visa intervallets delning i olika an<strong>delar</strong> visar läraren<br />
former av rationella tal <strong>och</strong> del-helhets förhållandet samtidigt. Eleverna får en möjlighet<br />
att samtidigt erfara ett decimaltal i olika bråkform som olika an<strong>delar</strong> av en hel. Ett exempel<br />
på det är när lärare B visar talet fem tion<strong>delar</strong> i olika an<strong>delar</strong> (0,5, 0,50, 0,500 o.s.v.) av en<br />
hel.<br />
36
Diskussion<br />
Resultaten tolkas utifrån en speciell teori om lärande, variationsteorin. I analysen söker jag<br />
efter mönster av variation som berör lärandets objekt <strong>och</strong> kritiska aspekter för elevernas<br />
lärande. Med en annan teoretisk utgångspunkt hade det varit möjligt att analysera studien på<br />
ett annat sätt. T.ex. en analys ur ett sociokulturellt perspektiv hade fokuserat mer på<br />
interaktionen <strong>och</strong> samtalet mellan eleverna än vad den här studien gör. Den här studien<br />
fokuserar hur lärandets objekt skapas <strong>och</strong> vilka dimensioner av variation som öppnats upp<br />
för eleverna.<br />
Flera studier visar att hur läraren hanterar det som skall läras ut har betydelse för det som<br />
eleverna lär sig <strong>och</strong> har möjlighet att lära (Marton, 2003). Det övergripande resultatet från<br />
denna studie är att hur läraren behandlar lärandets objekt har avgörande betydelse för<br />
elevernas lärande. Under de tre lektioner som studerats har eleverna fått möjlighet att erfara<br />
olika saker.<br />
Studiens resultat visar att hur lärandets objekt skapas har betydelse för elevernas lärande.<br />
Resultatet visar även att de dimensioner av variation som läraren öppnar upp för i<br />
undervisningen har betydelse för lärandet. Resultat gäller dock bara den grupp elever som<br />
studerats. Undervisning <strong>och</strong> lärande är mycket komplext <strong>och</strong> sambandet mellan<br />
undervisning <strong>och</strong> lärande kan inte ses som en kausalitet d.v.s. gör du så här så får du det här<br />
resultatet.<br />
Den största skillnaden mellan lektionerna finner jag mellan första (klass A) <strong>och</strong> andra<br />
respektive tredje lektionen (klass B <strong>och</strong> klass C). Eleverna i klass A har enligt min tolkning<br />
fått erfara ett möjligt antal tal ( t.ex. tio tal, ett tal, oändligt många tal) i intervallet 0,97 <strong>och</strong><br />
0,98. Medan eleverna i klass B <strong>och</strong> C enligt min tolkning har fått möjlighet att erfara möjligt<br />
antal <strong>delar</strong> i intervallet. Eleverna kan bara erfara det som varierar. ”…it is what the teacher<br />
varies and what s/he keeps invariant during the lessons that determines what pupils are likely<br />
to learn” (Marton <strong>och</strong> Morris, 2002 s. 60). Det skapas olika variationsmönster under de tre<br />
lektionerna <strong>och</strong> eleverna lär sig olika saker.<br />
Av eleverna i klass A svarade ingen av eleverna före undervisningen att det finns tio tal i<br />
intervallet medan efter lektionen svarar nästan hälften att det. Det betyder att hälften av<br />
eleverna i klass A har fokuserat <strong>och</strong> urskilt andra aspekter av decimaltal än det läraren<br />
avsett. Undervisningen i klass A var inte tillräcklig i den meningen att den inte kom åt det<br />
som var avgörande, kritiskt, för elevernas lärande. Eftertestet visar att eleverna i klass B <strong>och</strong><br />
C har både lärt sig att räkna upp tal i intervallet <strong>och</strong> att det finns oändligt många decimaltal.<br />
Eleverna i klass A var bättre på att räkna upp tal i intervallet än att avgöra hur många tal det<br />
fanns i intervallet.<br />
37
Det tydliga resultatet av eftertesterna gör det möjligt att identifiera vad som kan ha varit<br />
kritiskt för elevernas lärande under de tre lektionerna. Med ett otydligare resultat på<br />
eftertesterna hade man med mindre säkerhet kunnat uttala sig om detta. Det är viktigt att<br />
påpeka att det som anses vara kritiskt för elevernas lärande bara gäller för elever som står<br />
ungefär på samma nivå i matematik som de elever som deltog i studien. I andra grupper av<br />
elever med andra förkunskaper <strong>och</strong> erfarenheter kan resultaten se olika ut.<br />
Det som jag funnit kritiskt i denna studie för elevernas lärande var att lärarna i klass B <strong>och</strong> C<br />
uttryckte formen av rationella tal på olika sätt i t.ex. bråkform <strong>och</strong> procent <strong>och</strong> del-helhets<br />
förhållandet. ” Det som här benämns kritiskt är det som är de nödvändiga mönster av<br />
variation som behövs för att utveckla en viss förmåga eller förståelse. ”As learners can only<br />
disern that which varies, we must look for the pattern of variation necessary for developing<br />
the required capability” (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004 s. 22). De dimensioner av<br />
variation som lärarna i klass B <strong>och</strong> C öppnade för var bl.a. en variation av formen av<br />
rationella tal <strong>och</strong> en variation av delen (del/helhet). Lärarna i klass B <strong>och</strong> C öppnade upp för<br />
ett vidare <strong>och</strong> rikare variationsrum där flera aspekter av decimaltal varierade samtidigt. Min<br />
tolkning är att eleverna i klass B <strong>och</strong> C hade möjlighet att upptäcka samband mellan bråk<br />
<strong>och</strong> decimaltal som Mokal <strong>och</strong> Magone (2000) menar att elever kan ha svårigheter att<br />
upptäcka. Detta reflekteras i deras lärande d.v.s. mätt på eftertestet.<br />
Det är möjligt att göra andra tolkningar av resultatet. En annan tolkning kan vara att det<br />
avgörande för elevernas lärande i klass B <strong>och</strong> C var att de fick med sig ett verktyg<br />
(representationen i t.ex. hundra<strong>delar</strong> <strong>och</strong> del- helhets aspekten i meterlinjalen) in i<br />
gruppuppgiften som klass A inte fick. Det betyder att eleverna i klass B <strong>och</strong> C hade andra<br />
förutsättningar att förstå <strong>och</strong> diskutera uppgiften. Den tolkning som jag presenterat i<br />
resultatet bygger på att det avgörande var vad <strong>och</strong> på vilket sätt eleverna fick möjlighet att<br />
erfara <strong>och</strong> därför anser jag den första tolkningen som mest trovärdig.<br />
Gruppuppgiften Jonna påstår att det finns ett tal mellan 0,97 <strong>och</strong> 0,98. Pelle säger att det<br />
inte finns något sånt tal. Vem har rätt <strong>och</strong> varför? engagerade eleverna i alla klasser. Det<br />
finns en möjlighet till att elever kan ha ökat sin förståelse för uppgiften genom att ha talat<br />
med varandra eller andra personer efter lektionen. Om man granskar studiens validitet, så<br />
kan resultatet på eftertestet ha påverkats av detta. Eftertestet gjorde eleverna dagen efter<br />
lektionen <strong>och</strong> resultatet kan ha påverkats. Detta är inte något som jag har fått några<br />
indikationer på av de undervisande lärarna, men möjligheten till påverkan har funnits. En<br />
brist är även att elevernas lärande på längre sikt inte har kontrollerats, eftertestet mätte<br />
endast elevernas lärande på kort sikt. En eventuell återtestningseffekt d.v.s. att elever<br />
förbättrar sitt resultat om de blir testade på samma sak drabbade om så var fallet alla klasser<br />
som deltog. I studien ingår ingen kotrollgrupp att jämföra resultaten med. Varje klass är i<br />
den här studien är sin egen kontrollgrupp genom att det är resultatet före <strong>och</strong> efter<br />
undervisningen inom samma klass som jämförs. De olika klasserna jämförs även mot<br />
varandra <strong>och</strong> kan även sägas vara varandras kontrollgrupper.<br />
38
Det hade varit intressant att även ha en kontrollgrupp som inte undervisades för att se vilka<br />
skillnader i resultat som det hade givit. Tillförlitligheten <strong>och</strong> generaliserbarheten i<br />
elevtestresultaten bör diskuteras då de antal elever som deltar i studien är få. Skälet till att<br />
det är så få elever är att det endast är de elever som redovisas som har deltagit i både förtest,<br />
undervisning <strong>och</strong> eftertest. Studien är gjord på en gruppnivå utifrån de klasser eleverna går i.<br />
Genom att studera elevernas resultat på en gruppnivå kan man se hur resultatet reflekterar<br />
undervisningen. En annan utgångspunkt kunde varit att på individnivå titta på olika<br />
individers förbättringar <strong>och</strong> försämringar i resultat. Gynnade undervisningen de svaga<br />
(kunskapsmässigt) eller starka eleverna? kunde varit andra frågeställningar som kunde<br />
kopplas till analysen av lektionerna.<br />
Studien kan ses som ett ämnesdidaktiskt bidrag för att öka kunskapen om undervisning om<br />
decimaltal. Studien kan ha betydelse för lärare <strong>och</strong> forskare som studerar undervisning<br />
eftersom den erbjuder ett sätt att se på undervisning <strong>och</strong> lärande, genom att identifiera<br />
kritiska aspekter i ett innehåll. Learning study modellen kan följaktligen användas i två<br />
syften, som en kompetensutvecklingsmodell för lärare men även som en möjlighet för<br />
forskare att studera undervisning <strong>och</strong> kritiska aspekter för elevernas lärande. Genom att<br />
studera lärare som undervisar om samma sak är det möjligt att jämföra undervisning. Det<br />
gör att man kan analysera vad som kan ha varit kritiskt för elevernas lärande under<br />
lektionerna. Resultatet av denna studie visar även på att lärarnas gemensamma planering av<br />
ett innehåll, enligt learning study modellen, i detta fall leder till en mycket positiv förändring<br />
av elevernas lärande. Lärarna kunde genom gemensam analys <strong>och</strong> med stöd från forskare<br />
komma åt de kritiska aspekterna för elevernas lärande.<br />
Lärare i grundskolan uttalar ofta en metodisk syn om att de vill ta en aspekt i taget i<br />
undervisningen för att inte ”röra till det” för eleverna. Variationsteorin menar tvärtom att<br />
flera aspekter kan (beroende på lärandets objekt) behövas urskiljas samtidigt för att eleven<br />
skall kunna urskilja något på ett särskilt sätt (Marton, Runesson <strong>och</strong> Tsui, 2004).<br />
Matematiken kan t.ex. ses som en väv av samband <strong>och</strong> för att se sambanden så måste flera<br />
aspekter synliggöras samtidigt. Variationsteorin ger enligt mitt sett att se lärare ett annat sätt<br />
att se på undervisning <strong>och</strong> på sin roll i en undervisningssituation. Lärarens roll blir att<br />
planera undervisningen utifrån genomtänkta mönster av variation som eleverna får möjlighet<br />
att erfara samtidigt. Lärare med ett variationsteoretiskt tänkande söker medvetet att öppna<br />
dimensioner av variation för att eleverna samtidigt skall kunna urskilja <strong>och</strong> erfara dem.<br />
Lärargruppen i den här studien kommer tillsammans med forskare att genomföra ytterligare<br />
två learning studies. Lärarna kommer då att utbildas i variationsteori. Då finns möjligheten<br />
att undersöka om lärarnas undervisning förändras när de får kunskap om variationsteorin <strong>och</strong><br />
hur det i så fall påverkar elevernas lärande.<br />
39
Referenser<br />
Alvesson, M., & Sköldberg, K. (1994) Tolkning <strong>och</strong> reflektion. Vetenskapsfilosofi <strong>och</strong><br />
kvalitativ metod. Lund: Studentlitteratur<br />
Hiebert, J., Stigler, J., & Gallimore, R. (2000). Using video surveys to compare classrooms<br />
and teaching across cultures: Examples and lessons from the TIMSS video studies.<br />
Educational Psychologist 35(2).<br />
Hiebert, J., & Stigler, J. (1999). The teaching gap. New York: The Free Press.<br />
Hiebert, J., & Wearne, D. (1986). Procedures over concepts: The acquisition of decimal<br />
number knowledge. In J. Hiebert, (Ed.) Conceptual and Procedural Knowledge; The case of<br />
Mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum.<br />
Kilborn, W. (1999). Didaktisk ämnesteori i matematik, del 2 Rationella <strong>och</strong> irrationella tal.<br />
Stockholm: Liber.<br />
Kvale, S. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.<br />
Larsson, S. (1994). Om kvalitetskriterier i kvalitativa studier. I B. Starrin <strong>och</strong> P-G. Svensson<br />
(Red.). Kvalitativ metod <strong>och</strong> vetenskapsteori. Lund: Studentlitteratur.<br />
Löving, M., & Kilborn, W. (2002) Baskunskaper i matematik, för skola, hem <strong>och</strong> samhälle.<br />
Lund: Studentlitteratur.<br />
Ma, L. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics. New Jersey: Erlbaum.<br />
Marton, F., Runesson, U., & Tsui M. A. B. ( 2004 ). The space of learning. In F. Marton &<br />
A.B Tsui. Classroom discourse and the space of learning. New Jersey: Erlbaum.<br />
Marton, F. (2003). Learning Study – pedagogisk utveckling direkt i klassrummet. Forskning<br />
av denna världen. Praxisnära forskning inom utbildningsvetenskap. Rapport 2 Vetenskapsrådet<br />
(s.41-46). Stockholm.<br />
Marton, F., & Morris, P. (2002). (Eds.) What matters? Discovering critical conditions of<br />
classroom learning. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis nr. 181.<br />
Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur.<br />
40
Mc Niff, J. (2000). Action research in organisations. London & New York: Routledge.<br />
Merriam, B. S. (1991). Fallstudien som forskningsmetod. Lund: Studentlitteratur.<br />
Moskal, M. B., & Magone, E. M. (2000). Making sense of what students know: Examining<br />
the referents, relationships and modes students displayed in response to a decimal task.<br />
Educational Studies in Mathematics 43 313-335.<br />
Runesson, U., & Marton F. (2002). The object of learning and the space of variation. F.<br />
Marton. & P. Morris. (Eds.) What matters? Discovering critical conditions of classroom<br />
learning (p. 19-37). Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis nr. 181.<br />
Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik. Skilda sätt att behandla ett matematiskt<br />
innehåll. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis nr 129.<br />
Sackur-Grisvard, C., & Léonard, F. (1985). Intermediate cognitive organizations in process<br />
of learning a mathematical concept: The order of positive decimal numbers. Cognition and<br />
instruction. 2(2)157-174.<br />
Skolverket (2000). Grundskolans kursplaner <strong>och</strong> betygskriterier. Stockholm: Fritzes.<br />
41
Bilaga 1<br />
42
Bilaga 2<br />
43
Bilaga 3<br />
44