My library in PDF format/L O G I KENS OLIKA ... - Kristoffersen

L O G I K
========
A. satslogik
B. predikatslogik
C. relationslogik
D. klasslogik
E. logiska lagar
F. logiska övningar.
Utarbetad av
ARNE-JACOB KRISTOFFERSEN
Dr. Teol./ Lektor em. / O. P./
1

1. L O G I K :
-----------------
Vi skall i detta arbetet presentera satslogik, predikatslogik,
klasslogik och relationslogik. Låt oss börja med att presentera
satslogiken. Vi börjar då med SATS KONNEKTIVEN, som vi också
kallar KONSTANTER. För dessa använder vi oss av följande symboler:
“” eller “ . ” = “och”. Vi kallar tecknet “konjunktion”.
Där är två betydelser av konjunktionen: a) en
kollektiv betydelse. Ex.: Jag och du är starka. b)
en distributiv betydelse. Ex.: Jag är stark och du
är stark. I logiken använder vi oss av den
distributiva betydelsen. Vi får då följande regel:
KONJUNKTIONEN ÄR SANN OM VAR
OCH EN AV UTSAGORNA ÄR SANNA.
v eller “v” = “antingen - eller”. Vi kallar tecknet “disjunktion”.
Vi har också här två betydelser av tecknet.
a) Uteslutande betydelse. Ex.: Du eller jag är
stark. Det betyder att en är stark, men inte
båda.
b) icke - uteslutande betydelse. Ex.: Du eller jag
är stark. Det innebär att åtminstone en eller
båda är starka. Vi får då regeln:
DISJUNKTIONEN ÄR SANN OM EN
UTSAGA ÄR SANN.
“” eller “” = “om - så”. Vi benämner tecknet “implikation”.
Ex.: Om du kommer, så kommer jag.
Vi får nu regeln: EN IMPLIKATION ÄR
FALSK ENDAST I DET FALL EN SANN
UTSAGA IMPLICERAR EN FALSK
UTSAGA.
2

“” eller “” = “ Om och blott om - så “. Tecknet har
fått namnet “ekvivalens”. Ex.: Om du kommer,
så kommer jag. Ekvivalensens regel är: EN
EKVIVALENS MELLAN UTSAGOR ÄR
SANN, OM VAR OCH EN AV DE
EKVIVALERADE UTSAGORNA ÄR SANN
ELLER OM VAR OCH EN AV DE
EKVIVALERADE UTSAGORNA ÄR
FALSK.
“ ”, “” eller “ “ = “negation”. Regel.: NEGATION ÄR
EN KONSTANT SOM INTE FÖRBINDER
UTSAGOR MED VARANDRA UTAN
NEGERAR UTSAGORNA.
“/ ”, “” = “alltså” . Tecknet avslutar ett logiskt resonemang
eller en logisk slutledning eller syllogism.
SANNINGSVÄRDE TABELLER
För att ta reda på de satslogiska formuleringarnas sanningsvärde
behöver vi att ta hjälp av sanningsvärdes tabeller, som kan ge oss
tumregler, när vi har invecklade formuleringar.
Vi slår fast att om en utsaga “p” är sann, så är dess negation “ p”
(icke p) falsk. Vi kan sätta upp följande tabell:
TABELL I :
----------------
p p
-----------------
1. s f
2. f s
p och icke p, där negationen är
entydig i olika betydelser.
När vi har en variabel får vi två sanningsmöjligheter enligt
följande regel. 2 n = Två upphöjd i n. n= antalet olika variabler. I
exemplet ovan är n=1 och två upphöjd i ett blir två; alltså två
sanningsmöjligheter.
3

TABELL II:
----------------
När vi har två (2) variabler får vi fyra möjliga kombinationer av
s ^ f enligt ovan nämnda regel. Formeln blir 2 n , där n=2 och vi får då:
2x2=4 p q
------------------
1 s s
2 s f
3 f s
4 f f
Som vi ser kan vi vid första variabeln ha halva antalet sann (s) och
andra halva falsk (f). Vid nästa variabeln varvar vi sann (s) och falsk (f).
Har vi flera variabler så halveras s och f vid första variablen och så går vi
två ner för varje kommande variabel.
Vi demonstrerar detta med tre variabler. Här blir det 8
sanningsmöjligheter enligt regeln om 2 n , där n=3, som blir 2x2x2=8. Vi
får
TABELL III :
------------------
p q r
-----------------------------
1. s s s
2. s s f
3. s f s
4. s f f
5. f s s
6. f s f
7. f f s
8. f f f
Som vi lägger märke till, så använder vi små bokstäver för
satslogikens variabler. De stora bokstäverna har vi reserverat till andra
logiska formuleringars variabler.
Vi skall nu se på sanningsvärdet hos de fyra sats konnektiv eller
satser med de olika konstanter. Vi börjar med
4

TABELL IV :
------------------
A. KONJUNKTION : “ ¨ = och
------------------------------------------
p q p q
-----------------------------
1. s s s
2. s f f
3. f s f
4. f f f
Vi ser här att konjunktionen “ p q “ är sann, om och endast
om både variablerna “p” och “q” är sanna. Vi har tidigare
påpekat att konjunktionen kan användas både i en kollektiv
eller i en distributiv betydelse. Det är den distributiva
betydelsen som används i satslogiken. Vi får då följande
regel: EN KONJUNKTION AV UTSAGOR ÄR SANN,
OM OCH BLOTT OM VAR OCH EN AV DE
KONJUNGERADE UTSAGORNA ÄR SANN.
Är utsagan kollektiv, så måste den omskrivas, så den
blir distributiv. Har vi den kollektiva satsen:
DU OCH JAG ÄR STARK; så måste den skrivas på
följande sätt:
DU ÄR STARK OCH JAG ÄR STARK.
--------------------- ----------------------
p q
s s s
s f f
f f f
f f f
Vi ser här att av de fyra sanningsmöjligheterna där det är två
satslogiska variabler är det endast i ett fall att konjunktionen
är sann. Detta inträffar när båda variablerna är sanna. Detta
stämmer med regeln i Tabell II.
5

TABELL V :
-----------------
B. DISJUNKTION : V = eller :
---------------------------------------
p q p v q
------------------------------------
1. s s s
2. s f s
3. f s s
4. f f f
Vi ser här att disjunktionen är sann, om och endast om
“ p ” eller “ q “ eller båda är sanna. Disjunktionen kan ha
en uteslutande eller en icke - uteslutande betydelse.
Satsen: “ Han eller hon ljuger”, kan betyda (a)
uteslutande: att en av den ljuger, men inte båda. I den icke
- uteslutande betydelsen (b) att åtminstone en av dem
ljuger, och möjligen att båda ljuger. I satslogiken används
den icke - uteslutande tolkningen. Vi får då regeln:
EN DISJUKTION AV UTSAGOR ÄR SANN, OM
ÅTMINSTONE EN AV DE DISJUNGERADE
UTSAGORNA ÄR SANN.
Har vi satsen: Han eller hon ljuger; så får vi skriva om
den till en icke - uteslutande sats, enligt följande modell:
Han ljuger eller hon ljuger. Vi formulerar satsen:
p v q
----------------------
s s s
s s f
f s s
f f f
Vi ser här att disjunktionen är sann i tre fall. I första fallet
är båda utsagorna sanna. I andra fallet är första satsen
sann och i tredje fallet är andra satsen sann. Detta
stämmer överens med regel här ovan.
6

TABELL VI :
----------------
C. IMPLIKATION: = “ om - så “
---------------------------------------------
p q p q
---------------------------------
1. s s s
2. s f f
3. f s s
4. f f s
Vi ser att implikationen är falsk, om och endast om “ p “ är
sann och “ q “ samtidigt är falsk. Vi ser att detta är fallet i
sanningstabellens andra moment.
Ex.: “ Om du kommer, så kommer jag”. I satslogiken
används implikationen enligt följande regel: “ Det är icke
fallet , att försatsen (“du kommer”) är sann, och samtidigt att
eftersatsen (“jag kommer”) är falsk.
Regel: EN IMPLIKATION ÄR FALSK ENDAST NÄR EN
SANN UTSAGA IMPLICERAR EN FALSK UTSAGA.
Vi tar ett exempel där vi använder oss av sanningsvärdes
tabellen:
Om du kommer , så kommer jag.
P q
---------------------------------
1. s s s
2. s f f
3. f s s
4. f s f
Vi ser här att implikationen är falsk endast i punkt två
där en sann försats implicerar en falsk eftersats. I alla
andra fall är implikationen sann. Detta stämmer
överens med regeln här ovan. Det kanske kan förvåna
dig att punkt 3 är sann ? Om det är falsk att “ du
kommer”, så sägs det inte något om vad jag kommer
att göra. Eftersatsen kan då vara sann.
7

TABELL VII :
-------------------
D. EKVIVALENS : = “ om och blott om, så “
-------------------------------------------------------------
p q p q
-----------------------------------------
1. s s s
2. s f f
3. f s f
4. f f s
Vi ser att ekvivalensen är sann, om och blott om “ p “ ^ “ q ”
båda är sanna eller båda är falska. Detta inträffar i punkterna
1 och 4.
Vi ser också att ekvivalensen är en omvändbar implikation.
Vi kan formulera följande regel:
EN EKVIVALENS MELLAN UTSAGOR ÄR SANN, OM
VAR OCH EN AV DE EKVIVALERADE UTSAGORNA
ÄR SANN ELLER OM VAR OCH EN AV DE
EKVIVALERADE UTSAGORNA ÄR FALSK.
Ex.: “ Om och endast om du är logisk, så är du logisk”.
p p
----------------------
1. s s s
2. f s f
----
Det är två saker vi lägger märke till här. Där är endast en
olik variabel “ p “, så det blir att upphöja 2 i n=1, så det blir endast två
sanningsmöjligheter. I båda fallen 1 och två är variablerna av samma
sanningsvärde. I fallet 1 är båda sanna och i 2 är båda falska; så båda
fallen blir sanna. Det andra vi lägger märke till är att när vi har en alltid
sann sats, så säger vi att den är tautologisk eller tavtologisk, vilket är
fallet i vårt exempel.
8

Vi kan nu sätta upp följande tumregler :
A. Konjunktionen är sann endast om både variablerna p och q är sanna.
B. Disjunktionen är falsk endast om båda variablerna p och q är falska.
C. Implikationen är falsk endast om en sann försats (p) implicerar en
falsk eftersats (q).
D. Ekvivalensen är sann om både variablerna p och q är sanna eller båda
är falska.
NÅGRA LOGISKA REGLER :
---------------------------------------
EN TAUTOLOG UTSAGA ÄR EN ALLTID SANN UTSAGA
Om utsagan har två variabler får den fyra sanningsmöjligheter :
s
s
s
s
Har utsagan endast en variabel blir det två sanningsmöjligheter:
Om och endast om du är logisk , så är du logisk
p p
----------------------
1. s s s
2. f s f
----
De tautologiska utsagorna uttrycker logiska förhållanden, liksom i
de deduktiva syllogismerna.
Om vi negerar en tautologisk utsaga, så får vi en kontradiktorisk utsaga.
EN KONTRADIKTORISK UTSAGA ÄR EN ALLTID FALSK
UTSAGA. Vi kan illustrera detta på följande sätt:
( )
f s
f s
f s
f s
----
9

Det är inte så att, om och endast om du är logisk, så är du logisk.
( p p )
-------------------------------------
f s s s
f f s f
--
Om du på samma sätt negerar en
kontradiktorisk utsaga får du en tautolog
utsaga.
En kontradiktorisk (motsägelsefull) utsaga kan
också ha följande formulering:
Han är på en gång rysk och icke - rysk.
p p
-----------------------
s f f s
f f s f
--
Vi ser här att konjunktionen är kontradiktorisk.
EN SYNTETISK ELLER KONTINGENT UTSAGA ÄR EN
BLANDNING AV SANNA (s) OCH FALSKA (f) UTSAGOR.
Dessa utsagorna utsäger verkliga förhållanden och måste prövas
empiriskt. Utsagorna är induktiva i motsats till de tautologiska, som är
deduktiva. Vi kan ge ett mönster på teorin:
( )
----------------
f s
s f
s f
f s
----
Om du kommer, så går jag
( p q )
-----------------------
s s s
s f f
f s s
f s f
----
10

I led nr. 2 sägs det inget om eftersatsen. Jag kan ju
komma även om du kommer.
EN KONTRÄR UTSAGA ÄR OCKSÅ EN SYNTETISK UTSAGA.
Följande sats kan vara ett exempel på en konträr sats:
Han är stark och svag
p q
s s s
s f f
f f s
f f f
--
Vi ser att konjunktionen som är en konträr utsaga är syntetisk med sanna
och falska värden.
SATSLOGISKA VARIABLER OCH KONSTANTER
När vi skall översätta språkliga satser till logiska formuleringar, så
använder vi oss av satslogiska variabler för att markera satserna.
Variablerna blir satsmarkeringar. Som variabler använder vi oss av små
bokstäver, som p, q, r. Behöver vi flera variabler kan vi gå vidare i
alfabetet eller vi kan markera variablerna p1, q1, eller r1.
Vi får komma ihåg att när vi översätter satserna måste de vara
atomära och ej molekylära. Här följer ett exempel på en molekylär sats:
“ Du och jag är vita”.
Här följer ett exempel på översättning av den molekylära satsen till
en atomär sats, som kan behandlas i logiken:
“ Du är vit och jag är vit”.
Här följer exempel på översättning av de atomära satserna till
satslogiska formuleringar med hjälp av satslogiska variabler och en
konstant eller konnektiv:
1. Du är vit och jag är vit.
2. (Du är vit) och (jag är vit) (Här är två atomära satser.)
variabler och p q
konstant.
Vi får den satslogiska formuleringen:
3. p q
11

Vi ser att vi får en konjunktion med 2 olika variabler. Antalet
sanningsmöjligheter blir här 2 upphöjd i n=2. Det blir 2x2=4. Alltså fyra
sanningsmöjligheter enligt följande modell :
p q
------------
1. s s
2. s f
3. f s
4. f f
Om vi nu sätter sanningsvärden in under p och q i konjunktionen
här ovan, så får vi följande formulering:
p q
--------------
1. s s s
2. s f f
3. f f s
4. f f f
---
Vi ser att konjunktionen är en syntetisk eller kontingent sats vilket
innebär att den är en blandning av sanna och falska moment. Det är
endast i första fallet att den är sann medan den i alla andra fall är falsk.
De atomära satserna uttrycker ett empiriskt förhållande och de måste
därför undersökas i varje sakförhållande.
De paradigmiska (mönster) exemplen har vist oss
tillvägagångssättet i översättningsarbetet från molekylära satser till
atomära satser. Vi skall nu samla arbetets gång i följande steg:
1. Översätt satserna från språklig till
satslogisk formulering.
2. Sätt ut sanningsvärden vid
prövningen av satserna.
3. Negera det som skall negeras.
4. Arbeta inifrån parentesen och ut.
5. Arbeta fram mot slutoperationen.
När vi översätter, så får vi vara uppmärksamma på att i satsen kan
komma, eller samt och betyda det samma och konjunktions tecknet “ ”
måste användas. Ibland kan “ om - så “ vara underförstådd och saknas i
texten . Vi får då sätta in konnektiv eller konstant.
Parenteser kan hjälpa oss att hålla reda på vilka satser som hör
ihop och vilka satser som skall negeras.
Vi skall ta som exempel en syllogism av kyrkofadern Origenes. En
syllogism är en logisk deduktion, där vi får vara uppmär0ksamma på att
12

mellan premisserna skall vi ha konjunktions tecknet “ “. Mellan sista
premissen och slutsatsen använder vi implikations tecknet “ “. För
premisserna använder vi tecknen: p1, p2, o s v, samt för slutledningen
använder vi “ s ” eller, “ “ eller alltså , eller “ / “ , eller “ “ .
KYRKOFADERN ORIGENES:
---------------------------------------
P1: Om ( jag vet att jag är död) , så (är jag död).
P q
p2: Om ( jag vet att jag är död) , så (är jag icke död)
p q
____________________
S alltså: ( jag vet icke att jag är död)
p
Vi översätter nu till satslogiska formuleringar och prövar
resonemanget med sanningsvärdes tabellen.
( p q ) ( p q ) p
s s s f s f f s s f s
s f f f s s s f s f s
f s s s f s f s s s f
f s f s f s s f s s f
---
När vi har satt ut sanningsvärden, så negerar vi alla variablerna,
Därefter går vi in i parenteserna och får fram deras sannings värden samt
sanningsvärden av konjunktionen mellan premiss ett och två. Om
hakeparentesen hade varit negera, så måste vi negera den innan
slutoperationen företas. Detta är inte aktuellt i föreliggande syllogisk.
Slutligen finner vi sanningsvärdet av implikationen mellan
konjunktionen och slutsatsens negation. Vi ser här att deduktionen är en
tautologi d.v.s. ett alltid sant slutresultat. Detta innebär att det logiska
resonemanget är korrekt.
Istället för parenteser, som klargör i vilken ordning en
kombination av tecken skall utläsas, så kan vi följa regeln, som säger att :
“ “ binder starkare än “ “,
“ “ binder starkare än “ V “.
13

“ V “ binder starkare än “ “ ,
“ “ binder starkare än “ “
Jag kan ge två exempel på det, som har sagts här ovan:
Ex.1: p q V r ; betyder det samma som
( p q ) V r
Ex.2 : p q V r p1 p2 ,
Satsen betyder detsamma som :
( ( p q ) V r ) p1
p2
ATT ÖVERSÄTTA SATSFÖRBINDELSER TILL
SATSLOGISKA FORMULERINGAR:
Vi skall nu visa hur vi översätter satser till logiska formuleringar :
1. Jag kom , såg och segrade.
P q r .
Den molekylära satsen har med logiska tecken gjorts om till tre
atomära satser enligt följande schema:
Jag kom och jag såg och jag segrade.
2. Han kommer i dag eller i morgon men inte senare.
P V q r
Översatt till satslogisk formulering vill den molekylära
satsen bli till tre atomära satser enligt följande :
Han kommer i dag eller han kommer i morgon och han
kommer inte senare.
Skall vi ha parenteser så får det bli runt disjunktionen samt
den konjungerade negerade slutsatsen:
( p V q ) ( r )
Konjunktionen är syntetisk med tre sanna utsagor av de åtta
sanningsmöjligheterna.
3. Hade du tegat, så hade du förblivit filosof.
14

P q . Översatt:
( Om ) du hade tegat, så hade du förblivit filosof .
Här har vi nu sedd att “ , “ och “ men “ står för “ och “, samt att
“ om “ i implikationen har utelämnats, men måste tas med när vi
översätter den till en atomär sats.
4. Om rökning är tillåten här, tänder jag en cigarett, om inte, så får
jag behärska min röklust.
I denna molekylära satsen är många faktorer underförstådd,
så det är bäst att översätta den till atomära satser, så vi kan se
variablerna och konstanterna. Satsen lyder i översättning :
Om rökning är tillåten här, så tänder jag en cigarett, och om
rökning
p q
inte är tillåten, så får jag behärska min röklust.
p r
( p q ) ( p r )
Vi ser här att komma innan “ så “ står inte för något
konnektiv utan är endast en satsmarkering ; ty konnektivet eller
konstanten är en implikation.
5. Jag följer med endast om jag får betala själv eller bjuder
igen en annan gång. Vi översätter satsen:
Jag följer med, om och endast om, jag får betala själv
p ( q
eller jag bjuder igen en annan gång.
V r
Formuleringen blir:
p ( q V r )
15

6. Om Anders braskar, jul slaskar, och om Anders slaskar,
jul braskar.
Vi får översätta satsen, så vi kan se den logiska formuleringen.
Om Anders braskar, så jul slaskar , och om Anders slaskar,
p q r
så jul braskar.
p1.
Vi skriver formeln:
( p q ) ( r p1 )
Vi har nu fått exempel på alla konnektiven eller konstanter, samt
dolda tecken och parenteser.
Vi skall nu ge exempel på en satslogisk deduktion, som är
syntetisk och en som är tautologisk :
EXEMPEL 1 :
------------------
p1 : Det blir inte kallare, eller också blir det regn.
p V q
p2 : Det blir inte regn.
q
___________________
S:, , alltså blir det kallare.
P
(Lägg märke till att vi har konjunktions tecknet
mellan sats p1 och sats p2 samt implikations
tecknet mellan sats p2 och slutsatsen S).
16

Vi sätter upp den satslogiska formuleringen och prövar
sanningsvärdet med sanningsvärdes tabellen.
( p V q ) q p
f s s s f f s s s
f s f f f s f s s
s f s s f f s s f
s f s f s s f f f
---
Vi ser här att implikationen är en blandning av sant och falskt och
slutoperationen är därför syntetisk. Det innebär att slutledningen är inte
korrekt. Låt oss nu se på en tautologisk slutledning :
EXEMPEL 2:
p1 : Det blir inte kallare, eller också blir det regn.
p V q
p2 : Det blir inte regn.
q
___________________
S : , , Alltså blir det inte kallare.
p
Vi ställer upp syllogismen och prövar den med sannings tabellen :
( p V q ) q p
f s s s f f s s f s
f s f f f f s s f s
s f s s f f s s s f
s f s f s s f s s f
-----
Vi ser att implikationen är tautologisk vilket innebär att det är en
logisk korrekt slutledning.
Vi kan omvandla deduktionen till en kontradiktorisk,
motsägelsefull, slutledning genom att negera hela satsen. Detta gör vi
med hjälp av en negerad parentes enligt följande exempel:
( p V q ) q p
17

Du kan nu pröva satsen med sanningsvärdes tabellen.
Slutoperationen skall ske under negationstecknet som står före första
parentesen. Lycka till !
Vi kan, när satsernas sanningsvärde är känd, sätta ut
sanningsvärden direkt under satsen och använda tumreglerna för de fyra
konnektiven eller konstanterna.
p = s : “ Stockholm är större än Göteborg.”
q = s : “ Stockholm ligger norr om Örebro.”
r = f : “ Göteborg är större än Stockholm.”
Vi kan undersöka tre möjligheter av “ p “ och “ r “ . Vi sätter ut
sanningsvärdet under variablerna och använder tumregeln enligt följande
:
1) p V r 2) p r 3) p r
s f s f s s f
s f s
Vi ser här att disjunktionen av variabler i ( 1 ) är sann medan
variablerna i konjunktionen ( 2 ) är falsk. Däremot är den falska
variabeln i ( 3 ) negerat och vi får två sanna variabler, som enligt
tumregeln är det enda fallet då en konjunktion är sann.
Vi skall undersöka mer komplicerade utsagor och se hur
enkelt sanningshalten kan avgöras när vi vet sanningsvärdet i de
olika leden.
( q p ) ( p r )
s fs s s f
f s
f
Vi ser här att sanningsvärdet av ekvivalensen mellan de två
ekvivalerade satserna är falsk därför att en falsk sats är inte ekvivalent
med en sann sats. Har däremot de båda satserna antingen varit sanna eller
falska, så hade ekvivalensen varit sann.
18

Vi ta ett exempel där vi har både konnektiven: konjunktion,
implikation och ekvivalens med i operationen.
( q r ) ( p q )
s f s f s
s f
f
---
Vi ser här att slutoperationen i implikationen är falsk därför att en
sann försats inte kan implicera en falsk efter sats. Detta är enligt
tumregeln det enda fallet då implikationen är falsk.
Vi kan repetera tumreglerna här och nu:
KONJUNKTIONEN “ och “ är sann när båda variablerna
p och q är sanna.
DISJUNKTIONEN “ V “ är falsk endast när båda variablerna
p och q falska.
IMPLIKATIONEN “ “ är falsk endast när en sann för
sats p implicerar en falsk efter sats q.
EKVIVALENSEN “ “ är sann endast när både variablerna
p och q är sanna eller falska.
PREDIKATSLOGIK
Vi skall nu ge en introduktion till predikats logik, som behandlar
predikats logiska utsagor , som är det samma som egenskapsutsagor. Låt
oss först presentera logikens predikat och subjekt, samt kopula, som
binder samman subjektet och predikatet.
Ex.: ( John ) ( är ) (engelsman)
s k p
s = subjektet , k = kopula, som binder ihop s och p ; p = predikat,
som berättar vilken egenskap subjektet har.
Vi skall nu steg för steg visa hur satserna uttrycker egenskaper
eller predikat samt hur vi översätter satserna till predikats logiska
formuleringar.
( 1 ) Stolen är ny ) Vi kan ersätta subjektet med
( 2 ) Filmen är rolig ) med “ x “ som vi kallar
( 3 ) Boken är lätt ) subjektsvariabel, och får då följande satser:
( 4 ) x är ny Eftersom “ x “ endast är en subjekt
markering,
19

( 5 ) x är rolig så kan vi få tre olika typer av utsagor,
( 6 ) x är lätt enligt följande a, b, och c :
( a ) falska utsagor.
( b ) sanna utsagor, och
( c ) meningslösa eller nonsens utsagor.
Sätter vi in följande ord för subjektet i (4 ): jorden, så får vi en ( a )
utsaga eller bilen, så får vi en ( b ) utsaga. Ersätter vi subjektet i ( 5 ) med
ordet kålsoppa, så får vi en ( c ) utsaga. Byter vi ut subjektet i ( 6 ) med
ordet relativitets teorin, så får vi en ( a ) utsaga.
PREDIKATSKONSTANTER :
Vi använder stora bokstäver för predikat eller de egenskaper som
predikaten markerar. Vi kan ha - N - R - L osv., som predikat -markering.
Vi ordnar satserna här ovan enligt följande modeller:
( 7 ) x är N Vi ordnar därefter den logiska
( 8 ) x är R formeln genom att sätta predikat
( 9 ) x är L först, och subjekt omedelbart efter ,
på följande sätt :
( 10 ) N x Vi läser: x har egenskapen N = att vara ny.
( 11 ) R x x har egenskapen R = att vara rolig.
( 12 ) L x x har egenskapen L = att vara lätt.
Nu kan vi skriva fullständiga satser med samtliga fyra sats
konnektiv, enligt följande modeller:
( 13 ) Om x är rolig, så är x lätt : ( R x L x )
( 14 ) x är ny eller rolig : ( N x v R x )
( 15 ) x är ny och rolig : ( N x R x )
( 16 ) Om och endast om x är ny, så är x rolig :( N x R x )
KVANTIFIKATORER
Predikat logiska omdömen kan ha olik kvantitet . Det innebär att
omdömet kan vara universellt eller partikulärt.
Omdömet kan också ha olik kvalitet. Det betyder att omdömet kan
antingen vara positivt eller negativt. Vi säger ofta om det positiva
omdömet att det är affirmativt eller bejakande. Det negativa omdömet är
nekande.
20

KVANTITET :
------------------------
( 1 ) ( Alla ) träd fälles i dag. ( Alla ) är en universell utsaga .
( 2 ) ( Några ) träd fälles i dag. ( Några ) är ett partikulärt
omdöme.
KVANTIFIKATORER :
--------------------------------------
( a ) ( x ) = Existens kvantifikator eller kvantor.
Utläses: “Det existerar åtminstone ett x sådant, att…
( b ) ( x ) Universal kvantifikator eller allkvantor.
Utläses : “ Det gäller för alla x, att….”
Lägg märke till att när vi har en existens utsaga, så brukar vi
ha “ och “ - tecknet inne i parentesen : ( x ) ( ).
Har vi universal kvantifikatorn, så har vi implikations
tecknet inne i parentesen : ( x ) ( )
( 3 ) ( x ) = x är ett träd, och x fälles i dag. ( T x F x ).
“ T “ = att vara ett träd. “ F “ = att fällas i dag.
( 4 ) ( x ) = Om x är ett träd, så fälles x i dag. ( T x F x ).
“ T “ = att vara ett träd. “ F “ = att fälles i dag.
Vi översätter nu predikats utsagor till predikats logiska formuleringar:
( 5 ) Alla träd fälles i dag : ( x) ( T x F x )
( 6 ) Det existerar inte ett träd, som inte fälles i dag.
( x ) ( T x F x ).
Nu kan vi undersöka om satserna 5 och 6 är ekvivalenta d.v.s. om de
utsäger samma sak :
( 7 ) ( x ) ( T x F x ) ( x ) ( T x F x ).
För att pröva och se om satserna är ekvivalenta eller om de utsäger
samma sak måste vi översätta de predikats logiska satserna till sats
logiska formuleringar och pröva dem med sanningsvärdes tabellen. Blir
resultatet en tautologi, så säger satserna samma sak.
21

Vi multiplicerar ut kvantifikatorerna och behåller alla andra
tecken.
( 8 ) ( x ) ( x ) ( T x F x ) ( T x F x )
( 9 ) ( p q ) ( p q )
s s s s s s f f s
s f f s f s s s f
f s s s s f f f s
f s f s s f f s f
---
Vi ser här att den implicerade för satsen skall ekvivaleras med den
negerade efter satsen. Resultatet blir en tautologi vilket säger oss att de
två satserna 5 och 6 är ekvivalenta och utsäger samma sak.
PREDIKATSLOGISK KVALITET
Kvaliteten gäller satsernas positiva, affirmativa eller negativa eller
nekande utsaga. Härigenom får vi fyra olika kvaliteter. Dessa är “ A “
omdöme, som är universellt och affirmativt. “ I “ omdöme, som är
partikulärt och affirmativt. “ E “ omdömet , som är universellt och
negativt. “ O “ omdömet, som är partikulärt och negativt.
O - OMDÖME :
--------------------
O- Omdömet är partikulärt negativt.
Ex.: ( Några ) av ( de utbjudna tavlorna ) är ( icke förfalskade ).
( x ) ( T x F x ) (x ) ( T x F x )
Vi ser här att vi kan ekvivalera det partikulära negativa “ O “
omdömet med ett negerat universellt affirmativt omdöme.
E - OMDÖME:
--------------------
E - omdömet är universellt negativt. Det kan ekvivaleras med en
universell utsaga där andra ledet i parentesen negeras.
Ex.: Inga människor är fullkomliga:
( x ) (Mx F x ) ( x ) (Mx F x )
22

A - OMDÖME :
--------------------
A - omdömet är universellt och affirmativt. Det kan ekvivaleras
med ett dubbelt negerat partikulärt omdöme.
Ex.: Alla människor är dödliga.
( x ) ( Mx D x ) (x ) D x )
I - OMDÖME:
-------------------
I - omdömet är partikulärt affirmativt. Det kan ekvivaleras med ett
dubbelt negerat affirmativt omdöme.
Ex.: Några människor är lyckliga.
( x ) ( Mx L x ) (x) ( Mx L x )
Vi skall i nästa avsnittet visa med hjälp av sannings värdes
tabellerna att de ekvivalenser som har nämnts här ovan är tautologiska
och att de alltså utsäger samma sak. Det gäller ekvivalensen, , mellan
existens kvantifikatoren, (x ) , och , ,universal kvantifikatoren, (x ).
EKVIVALENSEN MELLAN
KVANTITATIVA UTSAGOR :
( 1 ) A - omdömen är universella och affirmativa :
-------------------------------------------------------------
( x ) (f x) ( x ) ( f x )
f = funktionen av x.
( a ) Alla människor är dödliga. (x ) ( Mx D x )
( b ) Det finns inte en människa som inte är dödlig.
( x ) ( Mx D x )
Vi ekvivalerar ( a ) och ( b ) :
( x ) ( Mx D x ) ( x ) ( Mx D x )
23

Vi multiplicerar ut kvantifikatorerna och låter allt annat stå kvar.
Därefter översätter vi den predikatslogiska formuleringen till satslogiska
formuleringar och prövar sanningshalten med sanningsvärdestabellen :
( x ) ( x ) ( Mx Dx ) ( Mx Dx )
( p q ) ( p q )
s s s s s s f f s
s f f s f s s s f
f s s s s f f f s
f s f s s f f s f
----
Vi ser här att ekvivalensen mellan de två predikatslogiska
utsagorna är tautologa vilket innebär att de två satserna utsäger samma
sak.
( 2 ) E - omdömen är universella och negativa :
---------------------------------------------------------
( x ) ( f x ) ( x ) ( f x )
(a) Det finns inte en människa som är fullkomlig.
( x ) ( Mx F x )
(b) Inga människor är fullkomliga.
( x ) ( Mx F x ) Vi ekvivalerar (a) och (b):
( x ) (Mx F x ) ( x ) ( Mx F x )
Vi multiplicerar ut kvantifikatorerna och låter konstanterna stå
kvar. Därefter prövar vi satserna med sanningsvärdes tabellerna för
att se om satserna är ekvivalenta.
( x ) ( x ) ( Mx F x ) ( Mx F x )
( p q ) ( p q )
f s s s s s f f s
s s f f s s s s f
s f f s s f s f s
s f f f s f s s f
---
24

( 3 ) I - Omdömen är partikulära och affirmativa :
-------------------------------------------------------------
( x ) ( f x ) ( x ) ( f x ) . Funktionen.
( a ) Några människor är lyckliga. ( x ) ( Mx L x )
( b ) Icke alla människor är lyckliga. ( x ) ( Mx L x )
( x ) ( Mx L x ) ( x ) ( Mx L x )
( x ) ( x ) ( Mx L x ) ( Mx L x )
( p q ) ( p q )
s s s s s s f f s
s f f s f s s s f
f f s s f f s f s
f f f s f f s s f
----
Vi ser att ekvivalensen är en tautologi vilket innebär att de två satserna
säger samma sak.
( 4 ) O - omdömen är partikulära och negativa :
----------------------------------------------------------
( x ) ( f x ) ( x ) ( f x ). Funktionen.
( a ) Några av de utbjudna tavlorna är icke förfalskade.
( x ) ( UT x F x )
( b ) Icke alla utbjudna tavlorna är förfalskade.
( x ) ( UT x F x )
( x ) ( UT x F x ) ( x ) (UT x F x )
( X ) ( x ) ( UT x F x ) ( UT x F x )
( p q ) ( p q )
s f f s s f s s s
s s s f s s s f f
f f f s s f f s s
f f s f s f f s f
-----
25

Vi ser här att de två satserna ( a ) och ( b ) är ekvivalenta och
utsäger samma sak. De fyra exemplen visar oss att vi kan omvandla
universalomdömen till partikulär omdömen och vise versa.
De fyra satserna kan utläsas på följande sätt :
( 1 ) Det gäller för alla x , att ……..
( 2 ) Det gäller inte för alla x , att ……
( 3 ) Det gäller åtminstone för att x , att ……..
( 4 ) Det gäller inte för ett x , att …………..
********
DEDUKTIVA SLUTLEDNINGAR :
---------------------------------------------
Vid en deduktiv slutledning är slutsatsen en logisk följd av
premissen eller premisserna. Här följer två exempel på korrekta logiska
slutledningar. Exemplen är två giltiga arter eller modi av
HYPOTETISKA slutledningar : MODUS PONENS och MODUS
TOLLENS.
( 1 ) MODUS PONENS :
--------------------------------
p1 : Om läsaren läst länge i en logisk lärobok, så är han trött.
^
P2 : Läsaren har läst länge i en logisk lärobok.
____________
S = Läsaren är trött.
Modellen är : p1 : Om p, så q
p2 : p
-----------------
S = q
Du kan nu översätta de språkliga satserna i den logiska
slutledningen till sats logiska formuleringar, så skall du se att du får en
tautologisk implikation i slutsatsen.
26

( 2 ) MODUS TOLLENS :
----------------------------------
p1 : Om läsaren läst länge i en logisk lärobok, så är han trött.
P2 : Läsaren är inte trött.
___________________
S= Läsaren har inte läst länge i en logisk lärobok.
Modell : p1 : Om p, så q
p2 : icke q
-------------
S = icke p.
Du kan också här översätta premisserna och slutledningen till
satslogiska formuleringar och pröva dem med sannings värdetabellerna
och se att implikationen av de konjungerade premisserna blir en tautologi
vilket utsäger att slutledningen är korrekt. Det utmärkande för relationen
mellan premisserna och slutsatsen i de två korrekta slutledningarna är
följande : IMPLIKATIONEN MELLAN UTTRYCKEN FÖR
PREMISSERNAS OCH SLUTSATSENS LOGISKA FORM ÄR EN
TAUTOLOGI.
DE ARISTOTELISKA SYLLOGISMERNA :
---------------------------------------------------------
Aristoteles räknas som logikens fader. Vi skall därför nämna
honom här och de figurer som han skapade i den klassiska logiken. Han
har tre figurer och Galenos har den fjärde figuren. Syllogismerna
utmärker sig med två premisser och en slutsats. Den första premissen
kallar vi för översats, premiss två är undersats och resultatet är slutsatsen.
Slutsatsens subjekt kallas UNDERTERM ( S ). Slutsatsens predikat
benämner vi ÖVERTERM ( P ) . Det som förbinder premisserna kallar vi
MEDELTERM ( M ) . De universella affirmativa satserna utmärkas med
a. De universella negativa satserna markeras med e. De partikulära
affirmativa satserna utmärkas med i, och de partikulära negativa satserna
kännetecknas med ett litet o. Med denna korta teori skulle vi vara redo att
presentera syllogismerna, och motsvarande figurer.
27

De 3 Aristoteliska syllogismer och figurer :
-----------------------------------------------------
FIGUR I :
( 1 ) Alla däggdjur äro ryggradsdjur. -------------
M P M a P
Alla rovdjur äro däggdjur.
S a M
S M ----------
------------------ S a P
Alltså äro rovdjur ryggradsdjur. ======
S P
P( 2 ) Alla rovdjur äro köttätande djur. FIGUR II :
P M -------------
Några däggdjur äro köttätande djur P a M
S M S o M
------------------ -------------
Alltså äro några däggdjur icke rovdjur S o P
S P ========
( 3 ) Alla rovdjur äro köttätande djur- FIGUR III :
M P ---------------
Alla rovdjur äro däggdjur. M a P
M S M a S
-------------------- -------------
Alltså äro några däggdjur köttätande djur . S i P
S P ========
GALENOS SYLLOGISM OCH FIGUR :
---------------------------------------------------
Alla rovdjur äro däggdjur. FIGUR IV :
P M ---------------
Alla däggdjur äro ryggradsdjur P a M
M S M a S
----------------- ---------------
Alltså äro några ryggradsdjur rovdjur. S i P
S P =========’
De aristoteliska predikats logiska syllogismerna kan vi också
pröva med den moderna matematiska logiken . Om slutsatsen är en
tautologi, så är det en korrekt deduktion. Låt oss pröva figur I :
28

p1 : Alla däggdjur äro ryggradsdjur. ( x ) ( D x R x )
p2 : Alla rovdjur äro däggdjur. ( x ) ( Ro x D x )
S : Alltså äro alla rovdjur ryggradsdjur.
( x ) ( Ro x R x ) ( x ) ( D x R x ) ( x ) ( Ro x D x )
( x ) ( Ro x R x )
( p q ) ( r p ) ( r q )
s s s s s s s s s s s
s s s s f s s s f s s
s f f f s s s s s f f
s f f f f s s s f s f
f s s f s f f s s s s
f s s s f s f s f s s
f s f f s f f s s f f
f s f s f s f s f s f
-----
Vi ser här att implikationen mellan de två premisserna och
slutsatsen är en tautologi vilket innebär att deduktionen är logiskt
korrekt. Mina läsare kan själva öva sig på att förvandla de språkliga
satserna till predikatslogiska formuleringar och översätta dessa till
satslogiska formuleringar, och pröva dem med sanningsvärdes tabellerna
för att se om det är en tautologi, en syntetisk eller kontradiktorisk
slutsats, som är resultatet av den logiska operationen.
Innan vi går vidare skall vi samla våra erfarenheter i en
oppositionskvadrat.
Låt oss markera hörnen i kvadraten för därefter att förklara
innebörden i kvadraten.
A
E
I
O
Mellan A och E kan vi skriva konträrt motsatta. På diagonalen
mellan I och E kan vi skriva kontradiktoriskt motsatta. På diagonalen
mellan A och O skriver vi kontradiktoriskt motsatta. Mellan I och O
29

skriver vi subkonträrt motsatta. Mellan A och I subalternativa motsatser,
och mellan E och O skriver vi också subalternalternativa motsatser. Tar
vi för oss de aristoteliska syllogistiska figurerna och prövar dem mot
oppositionskvadraten, så får vi fram de olika motsatserna :
DE ARISTOTELISKA LOGISKA FIGURERNA :
--------------------------------------------------------------
A. Alla S är P. E. Inga S är P.
I. Några S är P. O. Några S är icke P.
PREDIKATSLOGISKA UTSAGOR :
-----------------------------------------------
Sätter vi in följande kvalitativa satser i oppositionskvadraten, så
får vi fram de olika motsatserna :
A. Alla människor är lyckliga.
B. Inga människor är lyckliga.
I. Några människor är lyckliga.
O. Några människor är icke lyckliga.
De kontradiktoriska satserna får vi fram genom diagonalerna.
Satserna A och O är kontradiktoriska. Det samma gäller för satserna
I och E.
( 1 ) Två satser är kontradiktoriska när båda inte kan vara sanna
och båda inte kan vara falska samtidigt.
( 2 ) Satserna A och E är konträrt motsatta. De konträra satserna
kan inte båda vara sanna, men båda kan vara falska.
( 3 ) Satserna I och O är subkonträrt motsatta satser. Det innebär
att båda satserna kan vara sanna, men båda kan inte vara falska.
( 4 ) Relationen mellan satserna A och I samt mellan E och O
uttrycker subalternativa förhållanden. Den subalternativa relationen skall
möjliggöra förhållandet mellan A och I samt mellan E och O.
Relationerna i punkt ( 2 ) och ( 3 ) och ( 4 ) gäller endast om vi
förutsätter att klassen S inte är tom. EN TOM KLASS ÄR EN KLASS
SOM INTE INNEHÅLLER NÅGRA ELEMENT.
30

( 5 ) Där Finns en implikation mellan satserna A och I : A I
samt mellan E och O : E O
INDUKTIVA SLUTLEDNINGAR :
---------------------------------------------
Vi kan inte använda deduktiva slutledningar i de empiriska
vetenskaperna där vi måste undersöka erfarenheternas fakta.
Den engelska filosofen John Stuart Mill (d.1873) undersökte de
tillämpade induktionsmetoderna inom de empiriska vetenskaperna. Dessa
metoder kallas också generaliserings metoder. I de empiriska
vetenskaperna opererar vi med statistiska normalitetsbegrepp och
sannolikhetskalkyler samt tillnärmelsevisa resultat och inte med absoluta
slutsatser, som i de deduktiva vetenskaperna. Filosofen Mill kom att
skilja mellan fyra metoder. Dessa är :
(1) ÖVERENSSTÄMMELSEMETODEN :
-----------------------------------------------------
En företeelse b inträffar under omständigheterna, förhållanden, a,
x, och y. Om vi ersätter x och y först med y och z, sedan med z
o.s.v.. Om b fortfarande inträffar, kan vi sluta oss till att a
sannolikt orsakar b. Schematiskt får vi följande modell :
a, x, y ………………………b
a, y, z……………………….b
a, z, ……………………….. b
a,……………………………b
-------------------------------------
a är sannolikt orsak till b
==================
31

(2 ) DIFFERENSMETODEN :
--------------------------------------
Vi antar som ovan, att b inträffar under omständigheterna a, x, och
y. Om vi utesluter a, och om b inte inträffar, finns det goda skäl att
anta, att a är orsak till b. Schematiskt framställt :
a, x, y ………………………..b
-, x, y ……………………… .c
-, y, z ……………………… .d
-, z,.. ……………………….. e
---------------------------------------
a är sannolikt orsak till b
==================
( 3 ) VARIATIONSMETODEN :
----------------------------------------
Om det visar sig , att en kvantitativ förändring av a åtföljs av en
motsvarande förändring av b och de övriga betingelserna är oförändrade,
kan vi sluta oss till att a troligen är orsak till b. Schematiskt framställt :
a, x, z …….……………………. b
a a , x, y, …..……………………b
a a a , x, y, ……………………..b
----------------------------------------
a är sannolikt orsak till b
==================
( 4 ) RESTMETODEN :
------------------------------
Vi vet genom tidigare försök, att x orsakar c och att y
orsakar d. Om omständigheterna a, x, och y orsakar b, c och d, kan vi
sluta oss till att a sannolikt orsakar b. Schematiskt framställt :
x ……………………………. c
y ……………………………. d
a, x, y ……………………b, c, d.
-----------------------------------------
a är sannolikt orsak till b
==================
32

Mill hävdade, att dessa metoder dels var metoder för att upptäcka
kausala samband, dels var metoder för att bevisa kausala samband. Båda
dessa teser - i synnerhet den första - kan kritiseras, och Mills teorier har
på olika sätt fått preciseras genom noggrannare analys av
naturvetenskapernas metodik.
Vi kan inte formulera regler för hur vi skall göra vetenskapliga
upptäckter. Men Mills metoder kan användas för att pröva hypoteser om
kausala samband. Detta är inte detsamma som att upptäcka eller bevisa
kausala samband.
RELATIONSLOGIK.
--------------------------
I relationslogiken undersöker vi relationen mellan subjekt och
predikat eller mellan utsagor. Relationssatserna kan också översättas till
predikats logiska relationer.
Lägg märke till att grammatikens subjekt kan översättas till logiska
predikat. Relationerna kan också vara egenskapsutsagor. I
relationslogiken använder vi oss också av konstanter och variabler.
( 1 ) Som predikats konstanter använder vi F, G, H, osv..
( 2 ) Som predikats variabler använder vi f , g, h , osv..
( 3 ) Som subjekt konstant använder vi a.
( 4 ) Som subjekt variabler använder vi x, y, z, osv..
Låt oss ta några exempel som belyser översättningen från språkliga satser
till relations logiska formuleringar.
(Erik) är ( stor )
( 1 ) med subjekt - och predikats konstanter: a F
( 2 ) med subjekt - och predikats variabler : x f
När vi formulerar satserna, så sätter vi predikatet först och sedan
individen. Vi får då:
Med ( 1 )´s variabler Fa och med ( 2 )´s variabler fx . Vi kan antingen
skriva F (a ) v f ( x ). Vi kan läsa formeln, som att där finns en relation
mellan a och F sådan att a är stor, om vi använder konstanter. Använder
vi däremot variabler kan vi säga att där råder en relation mellan x och f
sådan att x är stor.
Vi kan också använda subjekt variabel och predikats konstant,
eller subjekts konstant och predikats variabel. Vi väljer själva vad vi vill
använda och så håller vi oss till det vi har valt; så att det icke blir kaos i
vårt tänkande, när vi skall formulera satserna.
33

Vi tar ett exempel :
( Någon ) har ( en egenskap )
x
F
a
f
Enligt vad jag har sagt här ovan, så kan vi skriva detta på fyra
olika sätt enligt följande :
F(x) v f(x)
F(a) v f(a) v= eller.
Egenskapen kan också översättas till predikatslogisk formulering
enligt följande exempel :
(Ryle) är ( en filosof ) F(a) v f(x) v f(a) v F(x)
a
F
x
f
Vi kan också ha egenskapsvariabler:
R
F
R= egenskapen att vara Ryle
F= egenskapen att vara en filosof.
Vi får då formeln: R x ^ F x, som vi utläser : x har egenskapen att
vara Ryle och x har egenskapen att vara en filosof. Relationerna eller
egenskaperna kan vi göra om till PREDIKATSLOGISKA
RELATIONER. Vi tar åter ett exempel :
( Kungen ) är ( enväldig ) s= subjekt, k= kopula och
s k p p= predikat.
b G b= subjekt variabel
eller individ variabel , G=
predikats konstant.
G ( b )
Predikatet ställs först och efter det subjektet. Vi läser : b har
egenskapen G. Det innebär att kungen har egenskapen att vara enväldig.
Vi kan skriva uttrycket som en predikats logisk formel, där det
grammatikaska subjektet har översatts till ett logiskt predikat :
( K x ^ Ex ).
Vi läser: x har egenskapen att vara kung och x har egenskapen att
vara enväldig. Vi tar ännu ett par exempel :
( Att sjunga ) är ( fult ) F(a) v F(x) v f(x) v f(a)
a F
x f
S x ^ F x = egenskapen att sjunga
och att det är fult.
34

Vi tar ett nytt exempel :
( Hus ) är (vackra )
H x ^ V x Egenskapen att vara hus och vacker.
Vi har alternativa möjligheter.
a F Vi får :
F a Vi ser här att grammatikens subjekt
“ hus “ har egenskaper. Saker kan alltså
ha egenskaper.
( Vackra ) ( Hus )
F a
F a Variablerna “a” och “b” är
platsmarkeringar medan “ F “ är en konstant. Vi har tre typer av predikat
:
( att vara stor ) = ett enställigt predikat.
( att vara större ) = ett tvåställigt predikat.
( att ligga mellan ) = ett treställigt predikat.
Vi började vår framställning med ett ENSTÄLLIGT predikat då vi
analyserade satsen : Erik är stor.
Nu skall vi visa en relationssats med TVÅSTÄLLIGT predikats
relationer. I följande sats finner vi en bestämt relation mellan Stockholm
och Göteborg.
( a ) ( Stockholm ) är ( större än ) ( Göteborg ).
s p s s = subjekt.
P= predikat.
Vi multiplicerar ut predikatet och låter övriga satsdelar vara orörda inne i
parentesen. Vi får då följande symboler :
( b ) ( större än ) ( Stockholm, Göteborg ).
p s s
Vi ser här att predikatet är en relationsbestämning mellan subjekten
Stockholm och Göteborg. Som subjekt variabler använder vi : “ x “, “ y “,
“ z “ osv.. Vi använder “ R “, “ S “, “ T “ osv. För att markera predikats
variabler. Ersätter vi nu subjekt orden i sats ( a ) eller ( b ) med subjekt
variabler, så erhåller vi uttrycket :
( c ) ( större än ) ( x, y )
Ersätter vi även predikats ordet med en predikats variabel, så får vi
följande uttryck för vår sats logiska form.
( d ) R ( x, y ).
Vi utläser formeln: “ relationsbestämningen R tillkommer x, y ”, eller
“ R består eller råder mellan x ^ y.” Parentesen omkring ( x, y )
utelämnar vi inte.
35

Denna relationsbestämning kallas tvåställig. “större än “ är en
tvåställig relationsbestämning. Relationen består mellan två led; t.ex.
Stockholm och Göteborg, som i vårt exempel.
Vi skall nu visa en TRESTÄLLIG RELATION . “ Att ligga
emellan “ är ett treställigt predikat.
Om Hallsberg kan vi säga :
( a ) “ Hallsberg ligger emellan Stockholm och Göteborg”.
Relationsbestämningen “ ligga emellan “ förbinder här tre led :
Hallsberg, Stockholm, Göteborg. Satsen kan då återges med :
( b ) ligga emellan ( Halsberg, Stockholm, Göteborg )
x y z
ett uttryck för dess logiska form är :
( c ) R ( x, y, z )
Ordningsföljden mellan subjekt variablerna “ x “, “ y “ eller “ x “,
“ y “, “ z “ är viktig för formlerna. Vi kan ordna formeln .
( ligga emellan ) ( Stockholm, Hallsberg, Göteborg )
R y x z
Formeln blir då: R ( y, x, z ) Vi ser nu direkt att x ligger emellan y och z.
Satserna :
------------
( 1 ) Stockholm är större än Göteborg. R ( x, y )
( 2 ) Göteborg är större än Stockholm. R ( y, x ).
Vi ser nu att sats ( 1 ) är sann och sats ( 2 ) är falsk beroende av
relationsledens ordningsföljd. Relationsbestämningen har en viss
riktning. I ( 1 ) är riktningen Stockholm Göteborg.
I ( 2 ) är riktningen Göteborg Stockholm.
Det är relationens riktning som subjekt variablerna i ordningsföljden
mellan “ x “ ^ “ y “ i formeln avser att återge.
ANDRA PREDIKATSLOGISKA RELATIONER :
---------------------------------------------------------------
Vi går vidare med de predikats logiska relationerna, och tar ett
exempel :
Karl ( ger ) boken i Stockholm åt Sven.
a Pred .F c d b
x y z x1
F ( a, c, d, b ) ; med variabler R ( x, y, z, x1 ) .
36

Vi kan ordna riktningen på konstanterna och variablerna, och får då :
F ( a, c, d, b ) ; R ( x, x1, y, z ).
Vi kan läsa den ordnade versionen på följande sätt : Relationen R råder
mellan x, x1, y och z ; sådan att x ger x1 åt y i z
Ett nytt exempel :
---------------------
( Russell ) och ( Moore ) är ( filosofer ).
R ^ M x
a b F Vi kan skriva resultatet på
följande sätt:
( 1 ) R (x) ^ M (x ) eller
( 2 ) F ( a ) ^ F ( b )
Vi skall nu visa att predikat kan uppfattas som individ. Vi tar som
exempel en ny språklig sats;
( 3 ) ( Hus ) är ( Stora )
a, b, c F, G, H .
x, y, z f, g, h .
Subjektet kan markeras med egenskapsvariabler, a, b, c . Predikatet kan
markeras med predikat konstanter, F, G, H. Variablerna x, y, z , och f, g,
h, är platsmarkeringar. Vi visar i följande exempel att predikatet kan
uppfattas som individ med egenskaper.
( 4 ) F ( a ) ; G ( b ) ; H ( c ).
Med variablerna , som platsmarkeringar :
( 5 ) f ( x ) ; g ( y ) : h ( z ).
Vi tar ett exempel som visar att där kan finnas implikationer
mellan relationer :
Om (Austin) är ( filosof ) , så är (Ryle) ( redaktör för Mind ).
a F b G
x f x g
F ( a ) G ( b ), eller f ( x ) g (y )
37

( Lund ) ( ligger mellan ) ( Eslöv ) och ( Malmö )
a L b c
x L y z
L ( a, b, c ) eller ordnad , L ( b, a, c ),
L ( x, y, z ) eller ordnad, L ( y, x, z ), i de två senare relationslogiska
formlerna kan vi med en gång se att Lund ligger mellan Eslöv
och Malmö.
OLIKA RELATIONER:
------------------------------
SYMETRISKA RELATIONER:
----------------------------------------
Relationen “kusin till “ :
Om A är kusin till B, så är B kusin till A.
kusin till ( x, y ) kusin till ( y, x )
R ( x, y ) R ( y, x ).
Vi läser formeln: Om relationen R råder mellan x och y
sådan att x är kusin till y, så råder relationen R mellan y och x
sådan att y är kusin till x.
Regel : Relationen R är symetrisk om och endast om vi av
R (x, y ) kan sluta oss till relationen R ( y, x ).
R ( x, y ) R ( y, x )
=================
Om och endast om relationen R råder mellan x och y sådan
att x är kusin till y, så råder relationen R mellan y och x sådan att y
är kusin till x.
ASYMETRISK RELATION:
------------------------------------
Relationen: “ Far till “ :
A är far till B
x y Far till ( x, y ), R ( x, y )
B är inte far till A
y x inte far til ( y, x ) R ( y, x )
38

R ( x, y ) ^ R ( y, x )
==================
Läses: Relationen R råder mellan x och y sådan att x är far till y och
relationen R råder mellan y och x sådan att y inte är far till x.
Regel : Relationen R är asymetrisk om och endast om vi från R ( x, y )
kan sluta oss till R ( y, x
R ( x, y ) R ( y, x )
===================
Om och endast om relationen R råder mellan x och y sådan att x är
far till y, så råder relationen R mellan y och x sådan att y inte är far till x.
transitiv relation :
----------------------
Relation: Bror till :
(1) A är bror till B bror till ( x, y )
(2) B är bror till C bror till ( y, z )
_________________
(3) A är bror till C bror till ( x, z )
R ( x, y ) R ( y, z ) R ( x, z )
===================================
Om relationen R råder mellan x och y sådan att x är bror till y, så
råder relationen R mellan x och z sådan att x är bror till z.
Regel : Relationen R är transitiv om och endast om vi från R ( x, y ) och
R ( y, z ) kan sluta oss till R ( x, z ).
R ( x, y ) R ( y, z ) R ( x, y )
=============================
Om och endast om relationen R råder mellan x och y sådan att x är
bror till y och relationen R råder mellan y och sådan att y är bror
till z, så råder relationen R mellan x och y sådan att x är bror till y.
39

INTRANSITIV RELATION :
-----------------------------------
Relationen: Far till :
-------------------------
( 1 ) A är far till B far till ( x, y )
( 2 ) B är far till C far till ( y, x )
________________________________
( 3 ) A är inte far till C ej far till ( x, z )
eller A är farfar till C
R (x, y ) R ( y, z ) R ( x, z )
============================
Om relationen R råder mellan x och y sådan att x är far till y, och
relationen R råder mellan y och z sådan att y är far till z, så råder
relatione R mellan x och z sådan att x inte är far till z.
Regel : Relationen R är intransitiv om och endast om vi från
relationen R ( x, y ) och relationen R ( y, z ) kan sluta oss till R ( x, z )
R (x, y ) R ( y, z ) R ( x, z )
Om och endast om relationen R råder mellan x och y sådan att x är far till
y och relationen R råder mellan y och z sådan att y är far till z, så råder
relationen R mellan x och z sådan att x inte är far till z.
REFLEXIV RELATION :
-------------------------------
Relationen : att vara identisk med.
-----------------------------------------
Varje individ står i denna relation till sig själv.
A är identisk med A. R ( x, x )
R ( x, x ) R ( x, x )
Om och endast om relationen R råder mellan x och x sådan att x är
identisk med x, så råder relationen R mellan x och x sådan att x är
identisk med x.
40

IRREFLEXIBILITET:
---------------------------
Relationen: far till.
-----------------------
A är far till B R ( x , y )
A är ej far till A R ( x, x )
R ( x, y ) R ( x, x )
Om och endast om relationen R råder mellan x och y sådan att x är
far till y, så råder relationen R mellan x och x sådan att x inte är far till x.
icke - transitivt eller meso - transitivt :
----------------------------------------------
Relationen: vän till någon:
----------------------------------
A är vän till B ; vän till ( a, b ) , R ( a, b ) eller R ( x, y )
B är vän till C ; vän till ( b, c ) , R ( b, c ) eller R ( y, z )
____________
Vi får två alternativ:
A kan , men behöver (1) vän till ( a, c ), R ( a, c ) eller R ( x, z )
nödvändigtvis inte (2) ej vän till ( a, c ), R ( a, c ) eller R ( x, z )
vara vän till C.
R ( a, b ) R ( b, c ) R ( a, c ) R ( a, c ) ; eller
R ( x, y ) R ( x, z ) R ( x, z ) R ( x, z )
Utläses : Om relationen R råder mellan x och y sådan att x är vän
till y, och om relationen R råder mellan x och z sådan att x är vän till z;
så råder relationen R mellan x och z sådan att x är vän till z eller
relationen R råder mellan x och z sådan att x inte är vän till z.
KLASSLOGIK MED VENNS DIAGRAM
-----------------------------------------------------
Klasslogik är studiet av den logiska relationen mellan klasser. Den
engelska logikern John Venn ( d.1923 ) har fått sitt namn förknippat med
klasslogiken genom att vi använder V för all klassen.
41

“VENNS DIAGRAM” = V:
-----------------------------------
Låt oss tänka oss att:
_________________
( 1 ) T = egenskapen att vara trekantig.
( 2 ) Alla objekt som har egenskapen T tillhör då klassen t.
( 3 ) Alla objekt som inte har egenskapen T tillhör då ej
klassen t och det skrivs t´ = icke - t .
Vi kan nu skriva detta i ett diagram :
--------------------------------------------
All klassen :
t och
t´= icke -t
t
t´
Vi ritar en cirkel kring t och ett rektangel omsluter t och t´. Vi har
nu fått fram en formel som vi kallar all klassen och som består av alla
föremål i universum. Som beteckning för all klassen använder vi V eller
1. Vad som står i all klassen kan vi skriva på följande formel :
V = 1 = t + t´ = universum eller all klassen.
==============
Om vi vill uttrycka klassen av allt som finns i universum med
utgångspunkt från det som är rött, så får vi följande :
t = klassen av röda föremål.
t´= klassen av allt som icke är rött.
Nu kan vi föra det över i all klassen, och vi får då :
V = 1 = t + t´
==========
Allklassen kan illustreras med Venns diagram :
t´ Den rektangulära ramen runt
t t och t´ symboliserar V .
Du får rita en liten cirkel runt t och en rektangel som omsluter både t och
t´ .
42

Nollklassen = en tom klass :
----------------------------------
Där finns också en nollklass, och för denna klass används
beteckningen “ O “ eller “ “, Denna symbol betecknar att det är en tom
klass, som saknar element.
V O = kentaurer ; V O = eldsprutande drakar.
Båda dessa språkliga uttryck tillhör nollklassen. Lägg märke till att det
kan endast finnas en nollklass.
Vi får nu följande formel :
V = t + t´+
===========
Här har vi i all klassen också fått med den tomma klassen:
t
t´
Vi får nu rita en cirkel runt t och en rektangel runt de tre tecknen så att
befinner sig i nedre hörnet av rektangeln och t´ placeras i övre hörnet i
samma rektangel.
RELATIONEN MELLAN KLASSER:
----------------------------------------------
Exempel 1:
--------------
I detta exempel är inget utsagt om relationen mellan två klasser. Vi
ritar en rektangel med två cirklar i mitten, som skär varandra där
cirklarnas bågar går in i varandras cirkel. Båda cirklarna är blanka utan
några symboler. I det övre vänstra hörnet skriver vi f och i det övre högra
hörnet skriver vi g . Vi har nu två klasser f och g där det inte är utsagt
något om relationen mellan dessa två klasserna.
43

Exempel 2 :
-------------
I detta exempel har vi två klasser som inte har något gemensamt.
Vi ritar också här två cirklar i mitten av en rektangel. Cirklarna skär
varandra som i exempel 1. Cirklarnas bågar, som går över i varandra,
sned streckar vi och kallar det gemensamma området för a. Uppe i
vänstra hörnet skriver vi m och i högre hörnet v. Vi tolkar bokstäverna:
m = klassen av män, och v = klassen av velocipeder. Här har vi nu två
klasser m och v som utesluter varandra. De två klasserna har inte några
element gemensamt. Vi får nu en regel, som säger, att klasser som inte
innehåller några gemensamma element markerar vi genom att sned
strecka (a ).
Exempel 3:
--------------
Nu tar vi ett exempel där två klasser har ett element gemensamt.
Som tidigare ritar vi en rektangel med två cirklar i mitten som skär
varandra, som i exempel 1 och 2. I cirklarna bågar, som skär varandra
ritar vi in ett x. I rektangelns vänstra övre hörn ritar vi in ett S och i högra
hörnet ett L. Bokstäverna står för följande: S= klassen av skåningar, och
L= klassen av lantbrukare. Bokstaven x, som vi ritade in i cirklarnas
gemensamma utrymme står för att de två klasserna har åtminstone ett
gemensamt element. Där är åtminstone en skåning som är lantbrukare.
Exempel 4:
--------------
Vi tar nu två klasser där en klass uppgår i den andra. Som vanligt
ritar vi en rektangel med två cirklar, som skär varandra som i förra
exemplet. Uppe i vänstra hörnet skriver vi in ett f och i högra hörnet ett
g. Bokstäverna står för f= klassen av geometriska figurer, och f= ej en
nollklass; f = O , eller f = ; och g= klassen av trianglar. Vi sned
streckar den del av cirkeln g , som ligger utanför cirkeln f. Vi har nu
illustrerad två klasser f och g, där g innehålls i f. Alla element i g är
element i f.
44

Exempel 5:
--------------
Vi ritar en rektangel och cirklar som i exempel 4. Vi skriver
bokstaven f i vänstra hörnet av rektangeln och g i högra hörnet.
Bokstaven f = K = klassen av kvadrat medan g =G = klassen av
geometriska figurer. Vi ser nu tydligt med hjälp av Venn´ s diagram att
alla f innehålls i klassen g. Det vill säga att alla k= klassen av kvadrat
innehålls i klassen av f = klassen av geometriska figurer.
Exempel 6:
--------------
Vi skall nu illustrera två klasser som sammanfaller. Vi ritar som
vanligt en rektangel med två cirklar, som skär varandra. I övre vänstra
hörnet skriver vi in f och i högra hörnet g. Vi låter f vara klassen av
figurer med tre sidor och g klassen av figurer med tre vinklar.
Vi streckar nu den del av cirkel f som ligger utanfor cirkeln g. På
samma sätt streckar vi den del av cirkeln g som ligger utanför cirkeln f.
Vi har nu två klasser som sammanfaller med varandra.
Ibland när vi får flera klasser än två, så tycker jag att det är lättare
att använda klasslogiken även om det skulle bli åtta eller sexton sannings
möjligheter.
TANKELAGARNA:
---------------------------
De tankelagarna som följer här är alla tautologiska. Vi kan därför
använda dem som övningsexempel för att träna i användningen av
sanningsvärdes tabellerna och tumreglerna för lösning av konjunktioner,
disjunktioner, implikationer och ekvivalenser. Eftersom alla uppgifter är
tautologiska, så har vi facit och vet då att om våra övningsexempel inte
blir tautologiska, så har vi gjort fel någonstans och får då rätta till vår
övning.
Kom ihåg att hur många sanningsmöjligheter en uppgift har beror på
antalet olika variabler enligt formeln: 2 n , där n = antalet olika variabler :
45

IDENTITETSLAGEN:
-----------------------------
p = p , p p och p p
MOTSÄGELSELAGEN:
--------------------------------
( p p )
LAGEN OM DET UTESLUTNA TREDJE:
-------------------------------------------------------
( p v p )
DUBBLA NEGATIONENS LAG:
-------------------------------------------
( p p ) ; ( p p )
ANDRA TAUTOLOGIER OCH LAGAR:
-----------------------------------------------------
p ( p p ) ; p ( p p ) ; ( p p ) p
p ( p p ) ; p ( p p ) ; ( p p ) p
REDUCTIO AD ABSURDUM:
----------------------------------------
Detta är en återförande till det orimliga:
( p p ) p
46

ANDRA TAUTOLOGIER:
-----------------------------------
( p q ) p ; ( p p ) q
p ( p q ) ; ( p q ) ( p q )
( p v q ) ( p q )
( p q ) ( p q ) ; ( p q ) ( p q )
( p q ) ( p q ) ( q p )
DE MORGANS LAGAR :
---------------------------------
( p q ) ( p q ) ; ( p q ) ( p q )
TRE KOMMUTATIVA LAGAR :
------------------------------------------
( p q ) ( q p ) ; ( p q ) ( q p ) ; ( p q ) ( q p )
OMVÄNDNINGSLAGEN :
-----------------------------------
********
********
( p q ) ( q p )
( p q ) ( q p ) ; ( p q ) ( p q )
47

Vi kan finna ekvivalens mellan konjunktion, disjunktion och
implikation. Här följer några exempel :
( 1 ) ( p q ) ( p q ) ( p q )
Som vi ser är första ledet en konjunktion, som är ekvivalent med
andra ledet som är en disjunktion, som är ekvivalent med en implikation.
( 2 ) ( p q ) ( p q ) ( p q )
( 3 ) ( p q ) ( p q ) ( p q )
( 4 ) ( p q ) ( p q ) ( p q )
De givna exemplen kan vara tillräckligt för att visa att vi kan ha
ekvivalenser mellan konjunktioner, disjunktioner och implikationer.
********
Jag hoppas att de logiska exemplen kan hjälpa dig att bättre förstå
det logiska språket och den nytta som vi har av logiken för att klarlägga
den språkliga vetenskapen, som är ett mångtydigt för- vetenskapligt
symbolspråk. Med logikens hjälp kan vi få en mer exakt vetenskaplig
förståelse av vad vi vill ha sagt i vår kommunikation.
********
48