На Ð¿Ñ€Ð°Ð²Ð°Ñ Ñ€ÑƒÐºÐ¾Ð¿Ð¸ÑÐ¸

где: N – количество примеров в обучающей выборке; M – размерность входных
векторов (т.е. количество дескрипторов при QSAR/QSPR-анализе); x i – входной
вектор для i-ого примера из обучающей выборки (т.е. вектор дескрипторов для
i-ого соединения); y i – известное значение выходной величины y для i-ого примера
(т.е. экспериментальное значение прогнозируемого свойства y для i-ого
соединения); σ – единый параметр, соответствующий ширине Гауссовых функций,
и называемый в контексте регрессионного анализа параметром сглаживания.
При известной функции f(x,y) наиболее вероятное значение (т.е. математическое
ожидание) y для произвольного вектора x может быть найдено по
формуле:
+∞
∫
yf ( x,
y)
dy
yˆ ( x)
= E(
y | x)
= . (42)
−∞
+∞
∫
−∞
f ( x,
y)
dy
Подставляя (41) в (42) после некоторых преобразований можно получить
окончательное выражение оценки y для произвольного x:
yˆ(
x)
=
N
∑
i=
1
N
∑
i=
1
T
⎡ ( x − xi
) ( x −
yi
exp⎢−
2
⎣ 2σ
T
⎡ ( x − xi
) ( x − x
exp⎢−
2
⎣ 2σ
x ⎤
i
)
⎥
⎦
⎤
i
)
⎥
⎦
. (43)
Легко заметить, что числители стоящих в экспоненте дробей представляют
собой квадраты Эвклидовых расстояний между произвольным вектором x и
вектором x i из i-ого примера обучающей выборки:
2
T
x − x ≡ ( x − x ) ( x − x ) . (44)
i
i
i
Заметим, однако, что при наличии существенных корреляций между компонентами
входных векторов x более корректно в статистическом плане (хотя и
более трудоемко в вычислительном плане) использовать в формуле (43) вместо
квадратов расстояний Эвклида квадраты расстояний Махаланобиса (x-x i ) T Σ -1 (xx
i ), где Σ – матрица ковариации компонентов векторов x. Таким образом, согласно
формуле (43), наиболее вероятное значение y для произвольного вектора
x прогнозируется как взвешенная сумма значений y i для всех примеров из обу-
44