На Ð¿Ñ€Ð°Ð²Ð°Ñ Ñ€ÑƒÐºÐ¾Ð¿Ð¸ÑÐ¸

ной нумерации графов в разложении (71) справедливо
части этого уравнения на X, имеем:
f = Bc
. Умножая обе
−1 f ′ = Xf = ( XBX )( Xc)
= B′
c′
. Следовательно,
разложение (71) верно при любой нумерации графов H j .
Теорема 1 доказана. ■
( n)
Теорема 2. Любой инвариант f(H) помеченного графа H ∈ может быть
H V , E
представлен при помощи полинома от переменных, равных числам встречаемости
некоторых связных подграфов в H. Количество вершин в таких подграфах и
степень полинома меньше либо равно n.
Доказательство. Прежде всего покажем, что число встречаемости любого
несвязанного подграфа C в графе H может быть выражено через числа встречаемости
некоторых связных подграфов в H. Предположим, что C состоит из k
компонент связности, т.е. C = U k C
i i
, где {C i } – связанные подграфы, причем
=1
C ∩C
= ∅ , i ≠ j . В общем случае возможно, что некоторые подграфы из {C i }
i
j
изоморфны друг другу. Разобьем множество {C i } на p групп Ω i ( i = 1,
p ) таким
образом, чтобы подграфы в каждой из групп были изоморфны друг другу, а
подграфы из разных групп, наоборот, друг другу неизоморфны. Пусть m i – чис-
p
ло элементов в Ω i , m
i
≥1, ∑ =
m =
i i
k и i = 1,
p . Пронумеруем подграфы из {C
1 i }
следующим образом: сначала пусть идут подграфы из {C i }, относящиеся к
группе Ω 1 , потом относящиеся к группе Ω 2 и т.д. Пусть M i - множество всех
подграфов графа H, изоморфных подграфам из группы Ω i , а l i – число элементов
в M i ( i = 1,
p ). Очевидно, что li
≥ mi
.
Построим новые подграфы графа H, выбирая всеми возможными способами
m i разных элементов из M i одновременно для всех
i = 1,
p . Число таких
p mi
m
подграфов равно ∏ i =
C
1 l i
, Cl
i = li! /[ mi!(
li
− mi
)!]. Полученные из M
i
i подграфы
можно отнести к двум типам. В первом случае исходные подграфы из M i не пересекаются,
во втором – пересекаются. Обозначим через t 1 и t 2 число подграфов
первого и второго типа, соответственно. Очевидно, что t 1 + t 2 = ∏ =
p
mi
C
i 1 l i
. Заметим,
что t 1 равно числу встречаемости подграфа C в H и совпадает, согласно
определению, с числом подграфов в H, изоморфных C. Подграфы же второго
107