На Ð¿Ñ€Ð°Ð²Ð°Ñ Ñ€ÑƒÐºÐ¾Ð¿Ð¸ÑÐ¸

N
∑
f ( H ) = c g ( H )
(71)
j=
1
j
j
где: c j – это некоторые константы, не зависящие от H и зависящие от f; g j (H) –
j
H V , E
( n)
это число вложений графа H ∈ в граф H (т.е. количество различных подграфов
графа H, изоморфных H j ). Таким образом, множество g j образует базис в
( n)
алгебре инвариантов графов из H . Кроме того, величина любого инварианта
V , E
f(H) для графа H определяется числом подграфов в H, получаемых из H путем
удаления ребер всеми неэквивалентными способами.
( n)
Доказательство. Упорядочим графы из H следующим способом. Сначала
пронумеруем произвольным образом все графы с n(n-1)/2 ребрами, потом
все графы с [n(n-1)/2]-1 ребром и т.д., пока не будут пронумерованы графы, состоящие
из изолированных вершин. Обозначим через B квадратную матрицу с
элементами b = g H ), ( i , j = 1,
N ). Очевидно, что: 1) если графы H i и H j имеют
ij
j
(
i
одинаковое количество ребер, то b g ( H ) = b = g ( H ) = 0 и b g ( H ) = 1; и 2)
V , E
ij
=
j i ji i j
jj
=
j j
ij
=
j i
если графы H i и H j имеют разное количество ребер и j < i, то b g ( H ) = 0 . Таким
образом, матрица B является триангулярной, на ее диагонали находятся
только единицы, а все элементы под диагональю равны нулю. Следовательно,
существует обратная матрица B -1 . Запишем систему уравнений:
N
∑
N
∑
f ( H ) = c g ( H ) = b c ( i = 1,
N ) (72)
i
j j i
j= 1 j=
1
ij
j
или в матричной форме
(
1 N
( 1 N
f = Bc
, где f = f ( H ), K,
f ( H )) , c = c , Kc
) - вектораколонки.
Система уравнений (2) всегда имеет единственное решение:
−1
c = B f .
Следовательно, существует единственное разложение (71) инварианта f(H) для
заданной нумерации графов H j .
Покажем, что разложение (71) не зависит от нумерации графов H j . Предположим,
что некоторая нумерация приводит к векторам f ′ , c′ и матрице B’
(не обязательно триангулярной). Переход от первой нумерации ко второй можно
осуществить при помощи подстановки π: j → π ( j)
( i = 1,
N ) либо соответствующей
матрицы подстановки X размера N×N, причем det X ≠ 0 . Очевидно, что
−1
X f = f ′, X c = c′
и XBX = B′
. Как было показано выше, по крайней мере для од-
106