На Ð¿Ñ€Ð°Ð²Ð°Ñ Ñ€ÑƒÐºÐ¾Ð¿Ð¸ÑÐ¸

качестве меток использовать действительные числа, то от помеченных графов
можно перейти ко взвешенным. Таким образом, взвешенные графы в определенной
мере можно рассматривать частным случаем помеченных графов. Следовательно,
решение задачи нахождения базиса алгебры помеченных графов
позволило бы распространить рассмотренные выше математические результаты
на предсказания свойств реальных химических соединений.
3.2. Две основные теоремы о базисе инвариантов графов
Построим множество помеченных графов. Рассмотрим сначала множество
простых графов Г (n) и два конечных множества произвольных меток (символов),
V = v , K,
v }, E = e , Ke
}, vi
≠ v
j
, ei
≠ e
j
, i ≠ j . Поместим метки на вершины
{
1 p1
{
1 p2
(из V) и ребра (из E) графов из Г (n) всеми неэквивалентными способами. Обо-
( n)
значим через H множество построенных таким образом помеченных по вер-
V , E
( n)
шинам и ребрам графов, а через N – число элементов в множестве H . Возможно
также, что в графах из Г (n) метятся только вершины ( E = ∅ – пустое
множество) или только ребра ( V = ∅ – пустое множество). Обозначим получае-
(n)
(n)
мые таким образом множества графов соответственно через H и H .
Рассмотрим метки как переменные, принимающие вещественные число-
( n)
вые значения. Тогда любой граф H ∈ может быть представлен как симмет-
H V , E
V
E
V , E
ричная матрица
A =
aij
, в которой диагональный элемент a ii соответствует метке
вершины i, а недиагональный элемент a ij ( i ≠ j ) соответствует метке ребра,
соединяющего вершины i и j, тогда как для несмежных вершин i и j он равен
нулю.
H V , E
( n)
Определение. Инвариантом помеченного графа H ∈ называется скалярная
функция от матричных элементов a ij , значения которой не зависят от
нумерации вершин графа.
( n)
Теорема 1. Любой инвариант f(H) помеченного графа H ∈ может
единственным образом быть представлен в виде:
H V , E
105