Övningstillfälle 1: Introduktion till MatLab

Linköpings universitet Övningstillfälle 1 & 2
Institutionen för Teknik och Naturvetenskap
Introduktion till MatLab
Mika Gustafsson
Nätverk
Tillfälle 1 och 2
Introduktion till MatLab
Start: MatLab startas genom dubbelklickning på dess ikon.
Kommandon: Kommandon i MatLab skrives till höger om >> . Denna kommer i
fortsättningen att beteckna att det är ett MatLab-kommando. För att MatLab ska utföra ett
kommando avslutar man med enter-knappen. Vill man skriva in flera kommandon efter
varandra kan man särskilja dem med ett kommatecken eller semikolon. Dessa får MatLab
att göra de olika kommandona efter varandra med början av det kommando som står längst
till vänster osv. Semikolonet hindrar dessutom MatLab att skriva ut svaret på kommandot.
Hjälpfunktion: MatLab har också en mycket välutvecklad hjälpfunktion, vilken man enkelt
kan söka i efter de kommandon man vill veta mer om, eller om det finns ett kommando som
gör vad man söker. MatLabs hjälpfunktion kommer man åt under ’MatLab Help’ under
fliken ’Help’.
MatLab som en kraftfull ”mini”‐räknare
MatLab är i praktiken ett program som gör att du kan använda din dator till allt som din
vanliga miniräknare kan göra plus en massa mera. Vi kommer i denna kurs inte använda
MatLab till speciellt mycket mer än vad din miniräknare klarar av, men då datorn har
mycket större kapacitet kan vi göra mycket mera kraftfulla beräkningar än vad som är
möjligt enbart med en miniräknare. De fyra räknesätten klarar MatLab galant. Skriver man
t.ex. >>5+3 i kommando-prompten matar MatLab ut: ans = 8 (fast på två rader).
Övning 1.1: Testa själv att använda MatLab som en enkel kalkylator. Testa hur de fyra
1+
2
räknesätten fungerar. Försök sedan få MatLab att räkna ut korrekt (tips: använd
3 + 4
parenteser). Testa även ”upphöjt” vilket i MatLab (precis som på många miniräknare) skrives
^.
Ibland vill man som bekant göra mera avancerade uträkningar som involverar t.ex.
logaritmering, exponentiering, beräkna någon trigonometrisk funktions värde eller dylikt.
Dessa funktioner finns givetvis implementerade i MatLab och deras namn är listade i
nedanstående tabell.
Betydelse
MatLab-kommando
3
e , ln(3), lg(100)
exp(3), log(3), log10(100)
5 sqrt(5) eller 5^(1/2)
Övning 1.2: Testa ovanstående funktioner. Beräkna sedan nedanstående uttryck:
a)
5
e + ln 3 + lg 7
5
5
b)
5
e + ln 3 + lg 7
3
(tips: ↑-tangenten ger tillbaka den sista kommandoraden.)
Du borde ha fått svaren: a) 0.0481, respektive b) 86.8086.
Det är ofta man behöver använda en uträkning flera gånger, eller att spara ett delresultat i
en uträkning. Man kan då spara värdet på en uträkning i en variabel. Detta är framförallt
användbart om man vill upprepa en beräkning och endast ändra någon detalj, men även för
1+ 2
att dela upp en beräkning. Vill man t.ex. beräkna kan man dela upp beräkningen i
3 + 4
flera steg så att: >>a=1+2; b=3+4; c=a/b , vilket resulterar i att c=0.4286 skrivs på skärmen
(inget annat av kommandona skrivs ut eftersom ; skiljer dem åt). Dessutom har man nu
sparat a och b och kan använda dessa senare. Man kan även ha längre variabelnamn
såsom skalfritt_natverk, men man får inte använda åäö eller specialtecken i namnet
1

Linköpings universitet Övningstillfälle 1 & 2
Institutionen för Teknik och Naturvetenskap
Introduktion till MatLab
Mika Gustafsson
Nätverk
(undantaget _ ), ej heller mellanslag. Det är också viktigt att komma ihåg att MatLab skiljer
på versaler och gemener, så att kommandoraden >>ab=1;Ab=2;aB=3;AB=4; resulterar i 4
olika variabler.
Övning 1.3: Gör om uppgift 1.2a) och 1.2b), genom att först tilldela en variabel värdet
5
e + ln 3 + lg 7 och använd sedan denna variabel i uträkningarna.
Att rita figurer i MatLab
En annan viktig sak när man studerar olika typer av problem är att kunna visualisera sina
resultat. Detta kan man göra m.h.a. en figur, vilket fås genom
>>plot(koordinat1,koordinat2), så ritar MatLab en snöflinga på den plats i fönstret som har
koordinat1 som x-koordinat och koordinat2 som y-koordinat. Oftast (rättare sagt alltid) vill
man dock rita upp flera värden i en graf, det är ju det som är själva poängen med
visualisering.
Detta gör man genom att skapa objekt med flera komponenter, t.ex. kan man skapa en s.k.
vektor, V, med tre komponenter genom >> V1 = [5 9 11]. Denna har 5 som första
komponent, 9 som andra och 11 som tredje. Låt oss nu skapa en annan vektor, V2,
>>V2=[2 6 4] . Om vi nu ritar V1 på x-axeln och V2 på y-axeln, genom
>> plot(V1,V2) , kommer vi att få en figur med tre snöflingor med koordinaterna (5,2), (9,6)
och (11,4). Man kan också få MatLab att också dra raka linjer mellan punkterna genom att
skriva >> plot(V1,V2,’*-’), eller bara linjerna genom kommandot >> plot(V1,V2,’-’). Det finns
en hel uppsjö av extra valmöjligheter med plot-kommandot och de kan hittas i MatLabs
hjälpfunktion.
Övning 1.6 Rita tre snöflingor med koordinaterna (1,2), (3,5), (6,9)
Förbind dem med streck.
Öppna hjälpfunktionen och sök reda på hur man kan skriva saker på axlarna och hur man
kan skriva saker i figuren. (Tips: Funktionerna ni ska använda heter xlabel, ylabel och text.)
Rita det förbindande strecket så tjockt som det går och blått.
x
Vi ska nu gå in på hur man kan rita upp en funktion y = e i MatLab. Man skulle ju helst
bara vilja skriva plot(x,exp(x)), men vad är då x ? I er miniräknare går detta eftersom den
själv delar upp x i diskreta punkter och ritar ut dessa i figuren. I MatLab måste man göra
detta själv. Man skapar således ett objekt x som innehåller de punkter vi vill rita upp. Okej,
vi vill ju rita funktionen så noggrant som möjligt och inte över ett alltför litet intervall. För
att skapa ett sånt här objekt har MatLab ett snabbkommando, :. Vill vi att x ska börja med
exempelvis 0 och sluta med 10 och innehålla alla punkter med 0.01 enheters mellanrum
kan vi bara skriva:
>> x = 0:0.01:10; , vilket alltså generar en vektor med utseendet
[ 0 0.01 0.02 0.03 osv. till 9.98 9.99 10]. Semikolonet är bra att använda vid sådana här
tillfällen eftersom man annars får hela den långa vektorn utskriven. Nu kan vi skapa >>
y=exp(x); , vilket alltså blir en vektor med utseende [exp(0) exp(0.01) exp(0.02) exp(0.03)
osv. till exp(9.98) exp(9.99) exp(10)] . Det går nu att rita funktionen genom >>plot(x,y,’-’) ,
eller likvärdigt >> plot(x,exp(x),’-’) .
Det viktigaste för vår del är att det går att skapa loglog-diagram och linlog-diagram (dvs.
figur med båda respektive endast ena axeln, logaritmisk). Genom att istället för plot skriva
loglog eller semilogy ritas figuren med logaritmiska axlar respektive enbart y-axel
logaritmisk (samma sak som loglog-papper respektive linlog-papper). Det är förhoppningsvis
bekant att exponentialfunktioner blir räta linjer i ett linlog-diagram. Annars följer en kort
härledning nedan.
kx
Om y = A e (d.v.s. y är en exponentialfunktion) så gäller att
kx
kx
ln y = ln( A e ) = ln A + ln e = ln A + kx ln e = ln A + kx , d.v.s. om man ritar x mot ln y så får vi en
rät linje i ett vanligt diagram, eller ekvivalent om man ritar x mot y i ett linlog-diagram så får
2

Linköpings universitet Övningstillfälle 1 & 2
Institutionen för Teknik och Naturvetenskap
Introduktion till MatLab
Mika Gustafsson
Nätverk
vi en rät linje. Vi ser också att linjens lutning är k och att ln A är det y-värde som svarar
mot linjens skärning med y-axeln.
En sådan ”linlog-plot” kan skapas genom kommandot >> semilogy(x,y) . Detta är av vikt
för oss eftersom vi senare kommer att ha en vektor, vars uppförande vi gärna vill beskriva
kvalitativt med hjälp av en funktion och vi då enkelt kan se om en exponentialfunktion kan
komma ifråga.
Nu till den andra (för oss) viktiga typen av funktion, nämligen potensfunktionen y = A x .
Förhoppningsvis vet ni att den uppträder som en rät linje i ett loglog-diagram, vilket följer
av den nedanstående resonemang:
k
k
Om y = A x (d.v.s. y är en potensfunktion) så gäller att ln y = ln( A x ) = ln A + k ln x , så om man
ritar ln x mot ln y så får vi en rät linje med lutning k och ln A är y-värdet vid skärningen på
y-axeln för linjen.
2
Vi väljer nu den speciella potensfunktionen y = x . Denna kan studeras i en vanlig ’plot’
med kommandot >>plot(x,x.^2), eller >>plot(x,x.*x) (om vi antar att x är definierad som
ovan). Märk att vi måste skriva .^ istället för bara ^ och .* istället för bara * . Detta för att
markera att varje komponent i vektorn x ska upphöjas med två, respektive multipliceras
med motsvarande komponent i sig själv (detsamma gäller för /), mer om detta under nästa
övningstillfälle. Detta måste man göra eftersom multiplikation mellan vektorer kan ha en
annan betydelse. Om vi nu ritar ut vår funktion >>y=x.^2; i ett loglog-diagram så vet vi vad
vi kan förvänta oss. Kommandot >>loglog(x,y) generar alltså en rät linje 1 . Det är därför ett
användbart redskap att studera mätdata (givet som en vektor) i ett loglog-diagram för att
detektera ett eventuellt potensuppförande (d.v.s. om komponenterna beter sig som
något k).
k
x
k
för
Övning 1.7
a) Rita funktionen y=5x^(-3) för x mellan 1 och 10 i ett vanligt figurfönster,
därefter i ett linlog-fönster och sedan i ett loglog-fönster. Förhoppningsvis
såg du att funktionen avbildades som en rät linje i loglog-fönstret, det är
också fullt möjligt att få tillbaks exponenten (-3) utifrån loglog-plotten.
Denna uppträder i figuren som lutningen på den räta linjen, d.v.s.
ln( y slut ) − ln( ystart
)
. Försök att få ut exponenten figuren!
ln( xslut
) − ln( xstart
)
b) Rita funktionen y= 10exp(-7.5x) i alla olika fönstertyperna. I linlog-fönstret
såg du att funktionen representerades av en rak linje. I denna
ln( y slut ) − ln( ystart
)
representeras (-7.5) som lutningen på linjen, dvs.
. Se
xslut
− xstart
om du kan återfå (-7.5) utifrån denna formel.
Speciella kommandon i Matlab
Slumptal
Under kursens gång kommer vi att studera många nätverk genererade utifrån
slumpprocesser. MatLab har ett särskilt kommando, rand, för att generera slumptal. Varje
gång detta kommando används ger det som svar ett tal som är större än 0 och mindre än 1
(och alla tal är lika sannolika). Detta kommando kan användas i kombination med andra för
att generera alla tänkbara slumptal. Vill man t.ex. ha att slumptalet ska ligga i intervallet
(0,100) multiplicerar man bara det värde man får med 100. Man kan också generera ett
objekt med flera slumptal som komponenter, dvs. en slumpvektor genom kommandot
>>rand(1,antal_komponenter) , vilket genererar en slumptalsvektor med så många
komponenter som ges av antal_komponenter.
1 MatLab ignorerar den första mätpunkten eftersom log(0) ej är ett tal. Den talar inte om detta, men om man låter
x anta negativa värden, så varnar MatLab för att dessa inte är definierade.
3

Linköpings universitet Övningstillfälle 1 & 2
Institutionen för Teknik och Naturvetenskap
Introduktion till MatLab
Mika Gustafsson
Nätverk
Vill man generera slumpmässiga heltal är kommandot >>floor(tal), vilket rundar av talet tal
nedåt. Det är användbar1 om man vill slumpa t.ex. 1/0 eller en tärnings utfall.
Övning 2.1
a) Generera ett slumptal i intervallet (-2,2).
b) Hur ser kommandot ut som simulerar en tärnings utfall? Försök göra ett
objekt (en vektor) som genererar 10 tärningsutfall på en och samma gång!
c) Rita en figur med 10 snöflingor som har både x- och y-koordinat
slumpmässigt i intervallet (0,1).
Vektorer
Varje vektor har som bekant komponenter utplacerade på olika positioner. En komponents
position i vektorn benämnes dess index. Det är ibland intressant att veta vilken position en
komponent som uppfyller ett specifikt villkor har. Säg att vi t.ex. har en slumptalsvektor,
som vi kallar S. Det skulle då kunna vara intressant att veta vilka av dess komponenter som
är större än exempelvis 0.5 . Detta kan man få reda på genom det specifika kommandot
find. I det specifika fallet används det genom >>find(S>0.5) , vilket returnerar en vektor med
de positioner som uppfyller kriteriet har.
Ex. >>S=[0 2 3 4 5 9 1 2];
>>find(S>sum(vek), som beräknar summan av
elementen i vek.
Övning 2.2 I nedanstående övningar ska du utgå från V = [1, 0, 3, 0, 1, 2]. Kan du
förutsäga vad som händer om du skriver:
a) >>a=find(V==1) (‘==’ används för att MatLab enbart ska testa om V=1 och
inte sätta V till 1.)
b) >>V(a)
Histogram
Vi kommer under kursens gång att ha ett behov av att rita upp hur vanliga vissa tal är. Det
är då lämpligt att använda funktionen >>utvektor=hist(V,centervek), vilken först skapar
intervall med centrum givet av centervek, där det första (resp. sista) intervallet innehåller
alla elementet i V som är mindre eller lika med (resp. större) än första/sista värdet i
centervek. Det blir lättare med ett exempel.
Ex. >>vektor=[1 50 2 3 0 5 7 9 100 300]; ut=hist(vektor, 0:2:10) returnerar ut = 2 2
1 1 1 3.
Detta sker eftersom MatLab försträknar ut att centervek = [0 2 4 6 8 10]. Sedan ser att 2
element är mindre än eller lika med 1 (som är mittemellan 0 och 2), 2 element som är större
än 1och samtidigt mindre än eller lika med 3, osv. tills 3 element som är större än 9. Värt
att påpeka är att om ett element hamnar på gränsen hamnar det i det intervall som ligger
närmast noll. Genom att utelämna ’utvektor’ så får man ett histogram uppritat, d.v.s.
genom att skriva: >>hist(V,centervek)
Övning 2.3 Generera vektorn V=[1 2 3 6 7 8 12 14].
a) Rita ett histogram över elementen med några intervall. Försök förutsäga
hur det kommer att se ut. Rita speciellt ett som räknar hur många element
av varje heltal det finns i V.
b) Bestäm en centrumvektor så att du får 2 element i varje intervall.
4

Linköpings universitet Övningstillfälle 1 & 2
Institutionen för Teknik och Naturvetenskap
Introduktion till MatLab
Mika Gustafsson
Nätverk
c) Gör ett histogram med centervek = [0 3 6 9 12], genom att använda :
kommandot.
Matriser
Ni har fått lära er att matriser är en behållare med tal, vilket vektorer också är. Matriser
består av flera vektorer under varandra. En vektor är därför en matris med en rad. En
matris kan skapas på flera olika sätt i MatLab. Vill man skriva in matrisen direkt kan man
skriva in raderna efter varandra (p.s.s. som för vektorerna) åtskiljda av semikolon. För att
skapa matrisen
⎛0
⎜
⎜1
A = ⎜1
⎜
⎜0
⎜
⎝0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0⎞
⎟
1⎟
0⎟
⎟
0⎟
0
⎟
⎠
skriver man t.ex.
>> A =[0 1 1 0 0; 1 0 1 1 1;1 1 0 1 0;0 1 1 0 0;0 1 0 0 0] (notera hakparenteserna) och får
till svar:
A =
0 1 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 0 0 0.
Man kan nu enkelt få tag på elementen i matrisen. Vill man t.ex. få värdet på element a 23
kan skriver man >> A(2,3) och får då till svar: ans=0 . Man kan även få tag i flera element
genom : tecknet, t.ex. >>A(1:2,3) betyder de rader som ligger mellan (och inklusive) 1 och 2
1
och i kolumn 3, så kommandot returnerar: ans = . Man kan även lägga till
1
rader/kolumner. Kommandot A =[A; 1 0 0 0 0] lägger till raden [1 0 0 0 0] underst i
matrisen. Man kan även ändra en enstaka komponents värde i matrisen. Vill man t.ex.
ändra element i 2:a radens 1:a kolumn till 0 skriver man >>A(2,1) = 0.
Ett användbart kommando är att kunna summera vektorer, eller kolumner i matriser (även
rader kan vara av intresse men gås inte igenom här). MatLab har ett enkelt kommando för
detta: >>sum(A) . Appliceras detta kommando på en vektor får man tillbaka summan av
elementen i denna och om man applicerar den på en matris får man tillbaks en vektor med
summan av matrisens kolumner som element.
Ex. >>sum(A) returnerar ans = (2 4 3 2 1), medan >>sum(sum(A)) returnerar ans = 12.
Övning 2.3 Generera vektorn V=[1 2 3 6 7 8 12 14].
a) Rita upp (för hand) det nätverk som har A (som ovan) som adjacentmatris. Vilken
gradfördelning har nätverket? Gör ett histogram över gradfördelningen. Hur många
länkar finns i nätverket?
b) Låt kolumn 2 och 3 byta plats, samt rad 2 och 3 i adjacentmatrisen ovan. Rita
återigen upp nätverket för hand, och studera egenskaperna som du gjorde i a.
Vilken skillnad gör detta för nätverket?
c) Använd find-kommandot för att utifrån adjacentmatrisen få reda på vilka noder nod
4 kopplar till. Genom att kombinera sum-kommandot med find-kommandot kan
man enkelt få ut vilka noder som har en specifik grad. Använd detta för att ta reda
på vilka noder som har grad större eller lika med 3.
d) På kursens hemsida www.itn.liu.se/~micho/Breddning finns två adjacentmatriser.
Studera deras gradfördelning. Vilket av dessa skulle du tro är ett slumpnätverk
(ER)?
5