Dualitet
Dualitet
Dualitet
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Föreläsning 6<br />
• Vad är dualitet (~Kap 6.1)?<br />
• Primal-dual-par (Kap 6.3)<br />
– Svag dualitet<br />
– Stark dualitet<br />
• Optimalitetsvillkor baserat på dualitet (Kap 6.3)<br />
– Komplementaritet<br />
• Formulering av duala problem (generellt) (Kap 6.2)<br />
• Kort om nätverksoptimering (Kap 8.2)<br />
• Summering av LP-avsnittet<br />
Vad är dualitet?<br />
• Till varje (primalt) linjärt problem (P) finns ett starkt relaterat linjärt<br />
problem kallat det duala problemet (D).<br />
• Det duala problemet använder samma problemdata som det primala<br />
problemet.<br />
• Det duala problemet har samma optimala målfunktionsvärde som<br />
det primala problemet (då optimal punkt existerar).<br />
• Duala problem är teoretiska konstruktioner som först och främst är<br />
användbara vid konstruktion och tolkning av optimeringsmetoder.<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p<br />
Primal-dual-par<br />
Svag dualitet<br />
Primalt problem<br />
(P)<br />
max z =c T x<br />
Ax ≤ b | v<br />
x ≥ 0<br />
Dualt problem<br />
min w =b T v<br />
A T v ≥ c | x<br />
v ≥ 0<br />
(D)<br />
max z = 2x 1 + 3x 2<br />
x 1 + 4x 2 ≤ 8 |v 1<br />
(P) x 1 + x 2 ≤ 5 |v 2<br />
x 1 ,x 2 ≥ 0<br />
x 2<br />
min w = 8v 1 + 5v 2<br />
v 1 + v 2 ≥ 2 |x 1<br />
(D) 4v 1 + v 2 ≥ 3 |x 2<br />
v 1 ,v 2 ≥ 0<br />
µ <br />
µ <br />
2 2<br />
ˆx = ,ẑ =7 ˆv = , ŵ =16<br />
1<br />
0<br />
v 2<br />
v 1<br />
∇z<br />
µ <br />
µ <br />
4 1/3<br />
ˆx = ,ẑ =11 ˆv = , ŵ =11<br />
1<br />
5/3<br />
Ett primalt problem (P) med n stycken variabler och m stycken bivillkor ger<br />
ett dualt problem (D) med m stycken variabler och n stycken bivillkor.<br />
x 1<br />
−∇w<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p
Nätverksoptimering<br />
• Många optimeringstillämpningar, speciellt inom<br />
transportplanering, kan tolkas som flöden i ett nätverk<br />
• Gemensamt för nätverksoptimeringsproblem är att de<br />
kan beskrivas mha en graf, dvs noder och bågar.<br />
• Ett exempel på nätverksoptimeringsproblem är det så<br />
kallade ”kortaste-väg (KV)”-problemet.<br />
– KV-problemet kan formuleras om ett LP-problem.<br />
– KV-problemet är ett ”strukturerat” LP-problem som har s.k.<br />
”heltalsegenskap” vilket innebär att variablerna tar heltaliga<br />
värden i optimum.<br />
Ett kortaste-väg-exempel<br />
Finn kortaste väg från nod 1 till nod 6 i grafen:<br />
4<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
½ 1 om bågen (i, j) används i den kortaste vägen<br />
Definiera: x ij =<br />
0 annars<br />
2<br />
min 4x 12 + 2x 13 + x 24 + 2x 34 + 3x 35 + 2x 46 + 3x 56<br />
−x 12 − x 13 = −1<br />
x 12 − x 24 =0<br />
x 13 − x 34 − x 35 =0<br />
x 24 + x 34 − x 46 =0<br />
x 35 − x 56 =0<br />
x 46 + x 56 =1<br />
x ij ≥ 0, för alla definierade bågar (i,j).<br />
3<br />
4<br />
3<br />
2<br />
3<br />
5<br />
6<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p<br />
Summering av LP-avsnittet<br />
• Praktisk lösning av LPn<br />
– Modellering<br />
– Känslighetsanalys och tolkning av utdata från Simplexmetoden<br />
• Metodik – Simplex-metoden<br />
– Sökmetoder<br />
– Standardform<br />
– Baslösning (optimum i hörnpunkt)<br />
– Basbyten/Simplexiteration (sökritning och steglängd)<br />
– Simplexmetoden (inkl. Fas 1-metoden)<br />
– Avbrottskriterium<br />
– Känslighetsanalys<br />
• Skuggpriser, reducerade kostnader, beräkning av giltighetsintervall<br />
• <strong>Dualitet</strong><br />
– Formulera duala problem, svag och stark dualitet<br />
– Optimalitetsvillkor<br />
• Närverksoptimering<br />
– Formulering av s.k. kortaste-väg-problem<br />
TNK041 Optimeringslära, 5p