Dualitet

Föreläsning 6
• Vad är dualitet (~Kap 6.1)?
• Primal-dual-par (Kap 6.3)
– Svag dualitet
– Stark dualitet
• Optimalitetsvillkor baserat på dualitet (Kap 6.3)
– Komplementaritet
• Formulering av duala problem (generellt) (Kap 6.2)
• Kort om nätverksoptimering (Kap 8.2)
• Summering av LP-avsnittet
Vad är dualitet?
• Till varje (primalt) linjärt problem (P) finns ett starkt relaterat linjärt
problem kallat det duala problemet (D).
• Det duala problemet använder samma problemdata som det primala
problemet.
• Det duala problemet har samma optimala målfunktionsvärde som
det primala problemet (då optimal punkt existerar).
• Duala problem är teoretiska konstruktioner som först och främst är
användbara vid konstruktion och tolkning av optimeringsmetoder.
TNK041 Optimeringslära, 5p
TNK041 Optimeringslära, 5p
Primal-dual-par
Svag dualitet
Primalt problem
(P)
max z =c T x
Ax ≤ b | v
x ≥ 0
Dualt problem
min w =b T v
A T v ≥ c | x
v ≥ 0
(D)
max z = 2x 1 + 3x 2
x 1 + 4x 2 ≤ 8 |v 1
(P) x 1 + x 2 ≤ 5 |v 2
x 1 ,x 2 ≥ 0
x 2
min w = 8v 1 + 5v 2
v 1 + v 2 ≥ 2 |x 1
(D) 4v 1 + v 2 ≥ 3 |x 2
v 1 ,v 2 ≥ 0
µ
µ
2 2
ˆx = ,ẑ =7 ˆv = , ŵ =16
1
0
v 2
v 1
∇z
µ
µ
4 1/3
ˆx = ,ẑ =11 ˆv = , ŵ =11
1
5/3
Ett primalt problem (P) med n stycken variabler och m stycken bivillkor ger
ett dualt problem (D) med m stycken variabler och n stycken bivillkor.
x 1
−∇w
TNK041 Optimeringslära, 5p
TNK041 Optimeringslära, 5p

Nätverksoptimering
• Många optimeringstillämpningar, speciellt inom
transportplanering, kan tolkas som flöden i ett nätverk
• Gemensamt för nätverksoptimeringsproblem är att de
kan beskrivas mha en graf, dvs noder och bågar.
• Ett exempel på nätverksoptimeringsproblem är det så
kallade ”kortaste-väg (KV)”-problemet.
– KV-problemet kan formuleras om ett LP-problem.
– KV-problemet är ett ”strukturerat” LP-problem som har s.k.
”heltalsegenskap” vilket innebär att variablerna tar heltaliga
värden i optimum.
Ett kortaste-väg-exempel
Finn kortaste väg från nod 1 till nod 6 i grafen:
4
1
2
2
1
½ 1 om bågen (i, j) används i den kortaste vägen
Definiera: x ij =
0 annars
2
min 4x 12 + 2x 13 + x 24 + 2x 34 + 3x 35 + 2x 46 + 3x 56
−x 12 − x 13 = −1
x 12 − x 24 =0
x 13 − x 34 − x 35 =0
x 24 + x 34 − x 46 =0
x 35 − x 56 =0
x 46 + x 56 =1
x ij ≥ 0, för alla definierade bågar (i,j).
3
4
3
2
3
5
6
TNK041 Optimeringslära, 5p
TNK041 Optimeringslära, 5p
Summering av LP-avsnittet
• Praktisk lösning av LPn
– Modellering
– Känslighetsanalys och tolkning av utdata från Simplexmetoden
• Metodik – Simplex-metoden
– Sökmetoder
– Standardform
– Baslösning (optimum i hörnpunkt)
– Basbyten/Simplexiteration (sökritning och steglängd)
– Simplexmetoden (inkl. Fas 1-metoden)
– Avbrottskriterium
– Känslighetsanalys
• Skuggpriser, reducerade kostnader, beräkning av giltighetsintervall
• Dualitet
– Formulera duala problem, svag och stark dualitet
– Optimalitetsvillkor
• Närverksoptimering
– Formulering av s.k. kortaste-väg-problem
TNK041 Optimeringslära, 5p