Solution proposal! - Division of Solid Mechanics - Linköping University

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Solution proposal!
Tentamen i hållfasthetslära
Finita Elementmetoden; grundkurs
2006-06-10 kl. 8-12
Bo Torstenfelt träffas under skrivtiden på telefon 281109. Resultatet anslås senast
2006-06-27 på anslagstavlan, ingång 15, B-korridoren. Rätta lösningar anslås på
anslagstavlan efter skrivtidens slut.
Granskningstiden utgår 2006-08-27.
Betyg: 3 4 5
Poäng: 6-8 9-11 12-16
På del I (teoridelen) får inga hjälpmedel användas. Frågorna besvaras direkt på
tesen. Tentanden avgör själv när han/hon vill lämna in del I. Detta meddelas
till vakthavande genom att eleven räcker upp handen. Tentanden får då ut del II
(problemdelen) och får då ta fram hjälpmedel enligt nedanstående:
Formelsamling i Hållfasthetslära, KTH
T Dahlberg, formelsamling i Hållfasthetslära,
Supplement till Teknisk Hållfasthetslära, Studentlitteratur, Lund
Standard Math Tables
Beta, Tefyma, Physics Handbook
Introduction to the Finite Element Method
Räknedosa

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part I (theory part)
AID number: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Vid t.ex. svag formulering av 2:a ordningens 1D randvärdesproblem genomförs
en partiell integration hos den kontinuerliga formuleringen innan man applicerar
lämplig viktad residual metod för numerisk lösning av det diskreta problemet.
Vilket är huvudskälet till att denna partiella integration genomförs?
(1p)
Att genom denna operation göra det möjligt att erhålla
ett symmetriskt matrisproblem vilket är både snabbare
att lösa och kräver mindre minnesutrymme!

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part I (theory part)
AID number: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Hur stränga kontinuitetskrav måste man ställa på funktioner som skall duga att
använda som testfunktioner vid en Galerkinformulering av ett 4:de ordningens
randvärdesproblem!
(1p)
De måste minst ha en kontinuerlig 1:a derivata!
∵ t i ∈ C 1

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part I (theory part)
AID number: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Hur kan man med ord (eller matematiskt) beskriva vad balanslagen man använder
vid lösning av värmeledningsproblem innebär?
(1p)
Att värmeflödet ut genom ytan till varje tänkbar kontrollvolym
är lika med det i det inre genererade värmet.

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part I (theory part)
AID number: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Hur många frihetsgrader/nod har ett 3D solidelement avsett att användas för att
analysera elasticitetsproblemet?
(1p)
3

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part II (Problem part)
5. En horisontell 2L lång balk och två diagonala stänger är momentfritt kopplad enligt
figuren nedan. På mitten av balken verkar en given kraft P. Beräkna förskjutningen
under kraften P!
(3p)
Hjälpformel: A = 12 I/L 2
E
A
E
A
L
E, I
L
L
P
u 3
Använd symmetrin (övriga är låsta = 0) ⇒
a L = { v 2
}
v 3
1
v v
θ 1
2
1
2 θ 2
Bilda elementstyvhetsmatriserna (stång resp. balk)
⎡
⎤
− − − −
K e 1 =
EA
2 √ ⎢ − − −
⎥
2L
⎣ − − ⎦ ;
1
Ke 2 = 12EI
L 3
⎡
⎢
⎣
− − − −
− − −
1 −
−
⎤
⎥
⎦
Assemblera och Lös ⇒
(1 + 1
2 √ 2 )12EI L 3 v 2 = − P 2

Answer:
√
2
v 2 = −
(1 + 2 √ P L 3
2) 12EI

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part II (Problem part)
6. Vid finit elementanalys av 2D värmeledningsproblem förekommer att man använder
triangulära element med en nod i varje hörn. Studera elementindelningen nedan
bestående av 2 st 3-nods element och beräkna temperaturen vid nod 4 om temperaturen
är en given funktion T (x) = T o x vid noderna 1 till 3 där T o är en
given konstant. Antag att materialet har isotropa värmeledningsegenskaper med
värmeledningstalet λ och tjockleken t givna.
(3p)
3
(7; 6)
(2; 4)
4
2
y
(2; 1)
1
1
λ, t
2
(8; 1)
x
Beräkna elementkonduktivitetsmatriserna
∫∫
K e = B eT DB e tdA 10.42
A e
där
[ ] 1 0
D = λ
6.13
0 1
B e = 1 [ ]
yj − y k y k − y i y i − y j
(7.99)
2A x k − x j x i − x k x j − x i
2A = (x j y k − x k y j ) − (x i y k − x k y i ) + (x i y j − x j y i ) (7.89; 7.90)
⇒
⎡
K e 1 = λt ⎣
54
Assemblering ⇒
⎡
λt
108
⎢
⎣
29 −24 −5
45 −21
26
⎤
⎦
135 −27 0 −108
85 −48 −10
90 −42
sym 160
⎤ ⎧
⎪⎨
⎥
⎦
⎪⎩
K e 2 = λt
4
⎡
⎣
2T o
8T o
7T o
T 4
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
=
5 −1 −4
1 0
4
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Q 1
Q 2
Q 3
0
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎤
⎦

där Q 1 − Q 3 är okända värmeflöden. Den fjärde ekvationen ⇒
(−108 · 2 − 10 · 8 − 42 · 7)T o + 160T 4 = 0
Answer:
Temperaturen vid nod 4 är
T 4 = 59
16 T o

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part II (Problem part)
7. Betrakta ett 2D elasticitetsproblem. Området är triangulärt med konstant tjocklek
t enligt figuren nedan. Längs den högra vertikala randen verkar en jämt fördelad
belastning med den totala resultanten P. Modellera området med ett enda 3-nodigt
finit element och beräkna förskjutningarna vid belastning! E-modulen E och Poisson´s
ν = 0.5 kan antas givna.
(3p)
(7; 6)
3
u 3
(2; 4)
1
E, ν, t
P
y
2
u 2
(7; 1)
x
Beräkna elementstyvhetsmatrisen
∫
K e = B eT DB e tdA (16.66)
A e
där
⎡
B e = 1 ⎣
2A e
y j − y k 0 y k − y i 0 y i − y j 0
⎤
0 x k − x j 0 x i − x k 0 x j − x i
⎦ (15.23)
2A e = (x j y k − x k y j ) − (x i y k − x k y i ) + (x i y j − x j y i ) (7.89)
A e = 25/2
Och om P.S antages
D =
Ovan ⇒
⎡
E ⎣
1 − ν 2
⎡
B e = 1 ⎣
25
1 ν 0
1 0
(1 − ν)/2
⎤
⎦ = E 3
−5 0 2 0 3 0
0 0 0 −5 0 5
0 −5 −5 2 5 3
⎤
⎦
⎡
⎣
4 2 0
2 4 0
0 0 1
⎤
⎦ ν = 0.5 (13.33)

⇒
⎡
DB e = E ⎣
75
K e = Et
150
⎡
⎢
⎣
−20 0 8 −10 12 10
−10 0 4 −20 6 20
0 −5 −5 2 5 3
− − − − − −
− − − − −
41 − −1 −
− − −
61 −
−
⎤
⎥
⎦
⎤
⎦
Lös följande system
[
Et 41 −1
150 −1 61
] {
u2
u 3
}
= P 2
{ 1
1
}
{
u2
u 3
}
= 75P [
Et · 1 61 1
2500 1 41
] { 1
1
}
Answer:
{ }
u2
= 3P { 31
u 3 50Et 21
}

Linköping University
Examination - TMHL08
Solid Mechanics/IEI
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-06-10
Part II (Problem part)
8. En rak 4L lång elastisk balk är belastad jämnt utbredd last/l.e. med en total
resultant Q. Bestäm den vertikala kraften P på mitten av balken så att den vertikala
förskjutningen under kraften blir lika med noll mha finit elementmetod. Hela
balken skall indelas i fyra lika långa balkelement.
(3p)
Q
E, I, 4L
P
v 2
v 1
θ 1
v 2
θ 2
θ 3
1 2
v 3
Gör följande frihetsgradsindelning.
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎨ v 2 ⎬ ⎨ v 1 ⎬
a L = θ 2
⎩ ⎭ ; a S = θ 1
⎩ ⎭
v 3 θ 3
pga.symetri
Bilda elementstyvhetsmatriserna
⎡
K e 1 = K e 2 = EI
⎢
L 3 ⎣
12 6L −12 6L
4L 2 −6L 2L 2
12 −6L
4L 2
⎤
⎥
⎦ 17.66
Bilda elementlastvektorerna
⎫ ⎧⎪ 6
f e 1 = f e 2 = qL ⎨ ⎪⎬
12 = L
⎪ 6 ⎩ ⎪⎭
−L
17.71
q = − Q 4L

Assemblering ⇒
⎡
24 0 −12
EI
⎣ 8L 2 −6L
L 3 12
⎤ ⎧
⎨
⎦
⎩
v 2
θ 2
v 3
⎫
⎬
⎭ = ⎧
⎨
⎩
−Q/4
0
−Q/8 + P/2
⎫
⎬
⎭
Gausseliminering ⇒
⎛
24 0 −12 2Q 0
⎞
⎝ 0 8L 2 −6L 0 ⎠
0 0 6L 8Q 0 L + 2P 0 L
⇒
6Lv 3 = 2L3 (P − 4Q/8)
EI
v 3 = 0 fås då P = Q/2
Q 0 = − QL3
8EI
P 0 = P L3
EI
Answer:
P = Q 2