Lösningsförslag!
Lösningsförslag! Lösningsförslag!
TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08 Hållfasthetslära/IKP Finita Elementmetoden; grundkurs Bo Torstenfelt 2006-08-22 Del II (problemdel) 7. Ett värmeledande område är rotationssymmetriskt runt z-axeln. I vänstra änden är temperaturen 10. ◦ C (Nod 1) och i den högra änden 0. ◦ C (Nod 4). Beräkna temperaturerna i noderna 2 och 3 mha en 1D värmeledningsanalys. Mantelytan kan antas vara en isolerad rand. Kroppen har isotropa värmeledningsegenskaper med ett värmeledningstal λ = 2.J/ ◦ Cms. Geometrin är definerad mha de ofyllda ringarna nedan (Mellan ringarna varierar radien r linjärt map z). (3p) r (10; 20) L = 20. (30; 14) (50; 10) (70; 8) 1 1 2 3 2 3 4 z Elementstyvhetsmatrisen K e fås ur K e i = ∫ zi+1 z i B eT λB e A(z)dz där ⇒ där B e = 1 L K e i = λa i L 2 [ a 1 = π [ −1 1 ] ∫ 30 10 1 −1 −1 1 ] (23 − 3z 10 )2 dz i = 1, 2, 3 a 2 = π ∫ 50 30 (20 − 2z 10 )2 dz a 3 = π ∫ 70 50 (15 − z 10 )2 dz
Assemblering ⇒ följande system ⎡ ⎤ ⎧ a 1 −a 1 0 0 λ ⎢ a 1 + a 2 −a 2 0 ⎪⎨ ⎥ L 2 ⎣ a 2 + a 3 −a 3 ⎦ ⎪⎩ a 3 10 T 2 T 3 0 ⎫ ⎧ ⎪⎬ ⎪⎨ = ⎪⎭ ⎪⎩ ? 0 0 ? ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ekvation 2 och 3 ⇒ [ a1 + a 2 −a 2 −a 2 a 2 + a 3 ] { T2 T 3 } = { 10a1 0 } Vilket har lösningen { } T2 10a 1 = T 3 (a 1 + a 2 )(a 2 + a 3 ) − a 2 2 Efter lösning av integralerna a 1 , a 2 och a 3 fås { } a2 + a 3 a 2 SVAR: { T2 } ≈ T 3 { 8.485 5.440 Om areorna vid respektive mittpunkt används { } { } T2 8.5 ≈ T 3 5.4 }
- Page 1 and 2: TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TE
- Page 3 and 4: TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TE
- Page 5 and 6: TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TE
- Page 7 and 8: a L = K −1 LL f L och f S = K T L
- Page 9: M fås ur θ = 0 ⇒ −3QL + 12M +
- Page 13: Ovan ⇒ ⇒ ⎡ B e = 1 ⎣ 2A α
TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08<br />
Hållfasthetslära/IKP<br />
Finita Elementmetoden; grundkurs<br />
Bo Torstenfelt 2006-08-22<br />
Del II (problemdel)<br />
7. Ett värmeledande område är rotationssymmetriskt runt z-axeln. I vänstra änden<br />
är temperaturen 10. ◦ C (Nod 1) och i den högra änden 0. ◦ C (Nod 4). Beräkna<br />
temperaturerna i noderna 2 och 3 mha en 1D värmeledningsanalys. Mantelytan<br />
kan antas vara en isolerad rand. Kroppen har isotropa värmeledningsegenskaper<br />
med ett värmeledningstal λ = 2.J/ ◦ Cms. Geometrin är definerad mha de ofyllda<br />
ringarna nedan (Mellan ringarna varierar radien r linjärt map z).<br />
(3p)<br />
r<br />
(10; 20)<br />
L = 20.<br />
(30; 14)<br />
(50; 10)<br />
(70; 8)<br />
1<br />
1 2 3<br />
2<br />
3<br />
4<br />
z<br />
Elementstyvhetsmatrisen K e fås ur<br />
K e i =<br />
∫ zi+1<br />
z i<br />
B eT λB e A(z)dz<br />
där<br />
⇒<br />
där<br />
B e = 1 L<br />
K e i = λa i<br />
L 2 [<br />
a 1 = π<br />
[<br />
−1 1<br />
]<br />
∫ 30<br />
10<br />
1 −1<br />
−1 1<br />
]<br />
(23 − 3z<br />
10 )2 dz<br />
i = 1, 2, 3<br />
a 2 = π<br />
∫ 50<br />
30<br />
(20 − 2z<br />
10 )2 dz<br />
a 3 = π<br />
∫ 70<br />
50<br />
(15 − z 10 )2 dz
Change language