Lösningsförslag!

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Lösningsförslag!
Tentamen i hållfasthetslära
Finita Elementmetoden; grundkurs
2006-08-22 kl. 14-18
Bo Torstenfelt träffas under skrivtiden på telefon 281109. Resultatet anslås senast
2006-09-07 på anslagstavlan, ingång 15, B-korridoren. Rätta lösningar anslås på
anslagstavlan efter skrivtidens slut.
Granskningstiden utgår 2006-09-21.
Betyg: 3 4 5
Poäng: 6-8 9-11 12-16
På del I (teoridelen) får inga hjälpmedel användas. Frågorna besvaras direkt på
tesen. Tentanden avgör själv när han/hon vill lämna in del I. Detta meddelas
till vakthavande genom att eleven räcker upp handen. Tentanden får då ut del II
(problemdelen) och får då ta fram hjälpmedel enligt nedanstående:
Formelsamling i Hållfasthetslära, KTH
T Dahlberg, formelsamling i Hållfasthetslära,
Supplement till Teknisk Hållfasthetslära, Studentlitteratur, Lund
Standard Math Tables
Beta, Tefyma, Physics Handbook
Introduction to the Finite Element Method
Räknedosa

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del I (teoridel)
Namn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Nämn minst 2 delsteg vilka alltid kan identifieras vid omformulering av ett Randvärdesproblem
till dess motsvarande ekvivalenta Svaga form.
(1p)
• Multiplikation med en viktfunktion
• Integration över området
• (Partiell integration)

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del I (teoridel)
Namn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Vid FE-analys av balkproblem mha den typ av balkelement vi studerat erhålls
kontinuitet över elementgränserna hos två av de sökta storheterna. Vilka är dessa
storheter?
(1p)
Förskjutning och lutning hos balkens medellinje är kontinuerliga
över elementgränserna.

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del I (teoridel)
Namn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Studera ett 3D värmeledningsproblem. Hur många differentialekvationer finner
man hos motsvarande randvärdesproblem.
(1p)
1

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del I (teoridel)
Namn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Vad är grundide´n vid en iso-parametrisk elementstyvhetsmatrisformulering!
(1p)
Att förskjutning och geometri interpoleras på samma sätt.
u = Na och x = Nc där N ≡ N

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del II (problemdel)
5. Tre elastiska stänger är sammanfogade enligt figuren nedan. Bestäm förskjutningen
under kraften P samt kontrollera att jämvikten är uppfylld!
(3p)
E, A, 2L
E
2 A
2 L
P
E
2 A
2 L
v 1
u 1 1
1 2
2
3
3
v 3
v 2
u 3
u 2
Gör följande frihetsgradsuppdelning.
⎧
⎪⎨
a L =
{
u2
v 3
}
; a S =
⎪⎩
Bilda elementstyvhetsmatriserna
⎡
⎤
1 0 −1 0
K e 1 = EA
⎢ 0 0 0
⎥
2L ⎣ 1 0 ⎦
0
u 1
v 1
v 2
u 3
⎫⎪ ⎬
⎪ ⎭
= 0
K e 2 = EA
2L
⎡
⎢
⎣
1 −1 −1 1
1 1 −1
1 −1
1
⎤
⎥
⎦ ;
Ke 3 = EA
2L
⎡
⎢
⎣
1 1 −1 −1
1 −1 −1
1 1
1
⎤
⎥
⎦
Assemblera följande system.
[ ] { } { }
KLL K LS aL f
= L
K SS a S f S
K T LS

a L = K −1
LL f L och f S = K T LSa L ty a S = 0
⇒
EA
2L
[
2 −1
−1 2
] { }
u2
=
v 3
{ 0
−P
}
{ }
u2
= 1 [ 2 1
v 3 3 1 2
] {
0
−2P L/EA
}
= − 2P L
3EA
{ 1
2
}
Bestäm reaktionskrafterna f s
⎡ ⎤
−1 1
f S = EA
⎢ 0 −1
⎥
2L ⎣ 1 −1 ⎦
−1 0
{
u2
v 3
}
= − P 3
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1
−2
−1
−1
⎫
⎪⎬
⎪⎭
2P/3
P/3
P/3
P/3
P
SVAR:
{
u2
v 3
}
= − 2P L
3EA
{ 2
1
}
; f S = − P 3
⎧
⎪⎨
+ Samtliga jämviktsekvationer är satisfierade.
⎪⎩
1
−2
−1
−1
⎫
⎪⎬
⎪⎭

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del II (problemdel)
6. En rak L lång elastisk balk är belastad med en jämnt utbredd last/l.e. med en
total resultant Q. Balken är fast inspänd i den vänstra änden och fri i den högra.
Applicera sedan också ett böjande moment M i balkens högra ände. Bestäm detta
moment så att lutningen vid den högra änden blir lika med noll. Det räcker att
använda endast ett element.
(3p)
Q
E, I, L
θ
w
M
Använd endast ett element
⎡
⎤
−
K e = EI
⎢ −
⎥
L 3 ⎣ 12 −6L ⎦ (17.66)
4L 2
Den utbredda lasten ger 17.71
⎧
⎪⎨
f e = Q 2
⎪⎩
−
−
−1
L/6
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Assemblering ⇒
EI
L 3 [ 12 −6L
−6L 4L 2 ] { w
θ
} {
=
−Q/2
M + QL/12
}
{ w
θ
}
= L [ 4L
2
−6L
12EI 6L 12
] {
−Q/2
M + QL/12
}

M fås ur θ = 0 ⇒
−3QL + 12M + QL = 0
SVAR:
M = QL
6

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del II (problemdel)
7. Ett värmeledande område är rotationssymmetriskt runt z-axeln. I vänstra änden
är temperaturen 10. ◦ C (Nod 1) och i den högra änden 0. ◦ C (Nod 4). Beräkna
temperaturerna i noderna 2 och 3 mha en 1D värmeledningsanalys. Mantelytan
kan antas vara en isolerad rand. Kroppen har isotropa värmeledningsegenskaper
med ett värmeledningstal λ = 2.J/ ◦ Cms. Geometrin är definerad mha de ofyllda
ringarna nedan (Mellan ringarna varierar radien r linjärt map z).
(3p)
r
(10; 20)
L = 20.
(30; 14)
(50; 10)
(70; 8)
1
1 2 3
2
3
4
z
Elementstyvhetsmatrisen K e fås ur
K e i =
∫ zi+1
z i
B eT λB e A(z)dz
där
⇒
där
B e = 1 L
K e i = λa i
L 2 [
a 1 = π
[
−1 1
]
∫ 30
10
1 −1
−1 1
]
(23 − 3z
10 )2 dz
i = 1, 2, 3
a 2 = π
∫ 50
30
(20 − 2z
10 )2 dz
a 3 = π
∫ 70
50
(15 − z 10 )2 dz

Assemblering ⇒ följande system
⎡
⎤ ⎧
a 1 −a 1 0 0
λ
⎢ a 1 + a 2 −a 2 0
⎪⎨
⎥
L 2 ⎣
a 2 + a 3 −a 3
⎦
⎪⎩
a 3
10
T 2
T 3
0
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
=
⎪⎭ ⎪⎩
?
0
0
?
⎫
⎪⎬
⎪⎭
ekvation 2 och 3 ⇒
[
a1 + a 2 −a 2
−a 2
a 2 + a 3
] {
T2
T 3
}
=
{ 10a1
0
}
Vilket har lösningen
{ }
T2
10a 1
=
T 3 (a 1 + a 2 )(a 2 + a 3 ) − a 2 2
Efter lösning av integralerna a 1 , a 2 och a 3 fås
{ }
a2 + a 3
a 2
SVAR:
{
T2
}
≈
T 3
{ 8.485
5.440
Om areorna vid respektive mittpunkt används
{ } { }
T2 8.5
≈
T 3 5.4
}

TEKNISKA HÖGSKOLAN i LINKÖPING TENTAMEN - TMHL08
Hållfasthetslära/IKP
Finita Elementmetoden; grundkurs
Bo Torstenfelt 2006-08-22
Del II (problemdel)
8. Betrakta ett 2D elasticitetsproblem. Området är triangulärt med konstant tjocklek
t enligt figuren nedan. I övre hörnet angriper en horisontell koncentrerad kraft P.
De båda övriga hörnen är fast inspända. Modellera området med ett enda 3-
nodigt finit element och beräkna förskjutningen under kraften! E-modulen E och
Poisson´s ν = 0.5 kan antas givna.
(3p)
v 3
u 3
(7; 6)
3
P
(2; 4)
1
E, ν, t
y
2
(8; 1)
x
Beräkna elementstyvhetsmatrisen
∫
K e = B eT DB e tdA (16.66)
A α
där
⎡
B e = 1 ⎣
2A α
y j − y k 0 y k − y i 0 y i − y j
⎤
0 x k − x j 0 x i − x k 0 x j − x i
⎦ (15.23)
2A α = (x j y k − x k y j ) − (x i y k − x k y i ) + (x i y j − x j y i ) (7.89)
A α = 27/2
Och om P.S antages
⎡
D =
E ⎣
1 − ν 2
1 ν 0
1 0
(1 − ν)/2
⎤
⎦ = E 3
⎡
⎣
4 2 0
2 4 0
0 0 1
⎤
⎦ ν = 0.5 (13.33)

Ovan ⇒
⇒
⎡
B e = 1 ⎣
2A α
DB e =
K e =
⎡
E ⎣
6A α
⎡
Et
12A α ⎢
⎣
−5 0 2 0 3 0
0 −1 0 −5 0 6
−1 −5 −5 2 6 3
⎤
⎦
−20 −2 8 −10 12 12
−10 −4 4 −20 6 24
−1 −5 −5 2 6 3
− − − − − −
− − − − −
− − − −
− − −
72 54
153
⎤
⎥
⎦
⎤
⎦
Lös följande system
[
Et 72 54
12A α 54 153
{
u3
v 3
}
] { } {
u3 P
=
v 3 0
= 12P A [
α 153 −54
Et · 8100 −54 72
}
] { 1
0
}
SVAR:
{ }
u3
= P { 153
v 3 50Et −54
}