Föreläsning 11

Föreläsning 11
Labinfo; Sammanfattning kvantmekanik;
(Bohr, Schrödingers katt, EPR-paradoxen, Bells olikhet;)
Röntgen;
Labbar:
•3 st vanliga labbar (5h), schemalagda. Labbrapport. Labbpek kommer att uppdateras under mars!!!
-AM36: Kärnfysik. I labben mäter man spektrum från några radioaktiva preparat, dels - dels
β-strålning. Man studerar därefter hur denna strålning absorberas (stoppas) i olika material. I labben
ingår även att aktivera silver med en stark neutronkälla och mäta halveringstiden hos de skapade silverisotoperna.
Felanalys speciellt för mätning av silvers halveringstid.
-ALS: ”Atomic and Laser Spectroscopy”. Atom- och molekyl-spektra mätes och förklaras.
-Röntgenstrålning (O-14): Spektra från ett röntgenrör mätes genom reflektion i kristall. Det
kalibrerade spektrat används därefter för att bestämma atomavstånd i okänd kristall samt absorbtion i
olika material.
•Projektlabb. Inte schemalagd. Lista på projekt kommer att publiceras på kursens web-sida. Motsvarar
en veckas arbete (1,5 hp). Projekten kan variera mycket. Meningen är att de skall vara forskningsnära.
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Kvantmekanik, sammanfattning.
Stationära tillstånd. Tidsoberoende SE:
U = ∞
Lådpotential:
U = ∞
2
2
d ψ( x)
U(
x)ψ(
x)
Eψ(
x)
2
2m
dx
E
n
2
n
L
2
2 2
2 nπx
iEt
/
, Ψ n(
x,
t)
sin e
π
2m
L
L
U = 0
0 L x
x
Normering:
2
Ψ( x , t ) dx 1
Ortogonala:
m
Ψ ( x ) Ψ ( x ) dx 0
n
då m n
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Bundna och obundna tillstånd.
Ett förenklat fall är följande potentialbrunn:
U = ∞
U = 0
, x 0
U( x)
U0
, 0 x L där U 0 > 0
0
, x L
U = -U 0
0 L
x
(Från detta förenklade fall kan vi dra slutsatser som senare kan appliceras på mer komplicerade potentialbrunnar i
t.ex. atomer och molekyler)
Lösningar skall uppfylla Schrödingerekvationen (SE):
d ψ( x )
ψ( x )
U
( x )ψ( x ) Eψ(
x )
2m
dx
Ĥ
2
2
2
Rand- och kontinuitetsvillkor:
ψ( x 0) 0
,
ψ( x L)
och
dψ( x L)
dx
kontinuerliga
Bundna tillstånd har E < U (x =∞) och kan inte nå x =∞ ψ(x =∞) = 0
Obundna tillstånd har E > U (x =∞) och kan nå x =∞ ψ(x =∞) ≠ 0
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Spridning mot potentialbarriär.
Potentialmodell (idealiserad):
U = U B
infallande
transmitterade
UB
, 0 x L
U ( x )
0
, för övrigt
reflekterade
U = 0
0 L x
x < 0: Infallande fritt partikeltillstånd med energi E
ψ( x ) Ae
ikx
Be
ikx
infallande reflekterad
intensitet: |A| 2 |B| 2
Inuti barriären 0 < x < L: (2 fall)
1)
2)
E
ψ
E
ψ
,
k
E
2m
Notera: U (x) =0 både för x < 0 och x > L ger samma k
2 2
α
UB
ψ'' αψ
, E UB
2m
Vi kan då definiera
iαx
iαx
C e De
2
F
Transmissionskoefficienten T
2
A
2 2
α
UB
ψ'' αψ , E UB
2
2m
B
Reflektionskoefficienten R
αx
αx
2
C e De
A
T + R = 1
ikx
ψ(
x ) Fe
intensitet: |F| 2
x > L: Transmitterad partikel
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
2
2

Tunnling
Bred barriär: L >> 1/α
2
F
T
2
A
2
2
α k
4
2
k
α
2
sinh (αL)
4
2 2
2
α k
2
2
k
α
2 2
2
B
R
2
A
L
2α
L
D C
B
2α
T
e
2
UB
e
1
sinh (αL)
1 T
2 2
2 α k
sinh (αL)
4
16E
U E
2
2
k
α
2 2
Kvantoscillatorn
Egenvärden :
E n
1
n
ω
2
b
ψn
( x ) n 2 n!
π
1/2
Där H n är Hermitepolynom: H 0 =1, H 1 =2x, H 2 =4x 2 -2, H 3 =8x 3 -12x ...
Egenfunktionerna är ortonormala
H ( bx ) e
n
2 2
x
b /2
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Kvantmekanik i 3D.
2
2
Schrödinger ekv i 3D: Ψ( r , t)
U(
r )Ψ( r , t)
i
Ψ( r , t)
2m
t
Betrakta lådpotential i 3 dim.
Tidsoberoende Schrödinger ekv.
U = ∞
U = ∞
ψ(
x , y,
z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
U = 0
Lösningar:
0 L x
x
ψ n , n , n ( x , y,
z )
x
y
z
nx
πx
ny
πy
nz
πz
A sin sin sin
L L L
x
y
z
pss i y- och z-led.
Ger energinivåer:
E
n , n , n
n
x
Lx
2 2 2
π 2 2
x y z 2
2
ny
L
2
y
n
z
2
Lz
m
Degenererade tillstånd (dvs samma energi för olika kombinationer av kvanttalen n x , n y , n z ) möjliga
t.ex. om L x =L y =L z =L
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Väteatomen
Schrödingerekvationen:
Coulomb-potential
1 qe
U( r )
4πε 0 r
2
2
2
1 2 ψ
1 ψ
1 ψ 2
sin θ
m
r
2 2 2 2 2
r r
r
r sin θ θ
θ
r sin θ φ
E
U
ψ
0
Variabelseparation:
ψ(
r,
θ,φ) R ( r )Θ(θ)Φ(φ)
2
sin θ
R
2 R
r
r
r
sin θ
Θ
Θ
sin θ
θ θ
1
Φ
2
2 2 2
Φ 2mr
sin θ q
0
2
2
Φ
e
E
4πε
0r
Vi har nu tre ordinära differentialekvationer:
2
Φ
2
φ
1
sin θ
2
m Φ 0
2
Θ
m
sin θ 1
Θ 0
2
θ θ
sin θ
2
1 2 R
2
1
m q
0
2
2
e
r
E
2
4πε
R
r r r 0r
r
Kan visas att energinivåerna ges av
mqe
En
2
32π ε
4
2
0
n 1, 2, 3, ...
1
2 2
n
0, 1, 2, ..., n 1
m 0, 1, 2, ...,
2
qe
1
2
8πε a n
0
0
13,6
eV
2
n
n kalla huvudkvanttalet
l kallas bankvanttalet
magnetiska kvanttalet
Egenfunktioner:
ψ ( r,
θ,φ) Rn
,
( r ) Y
m
(θ,φ)
Rörelsemängdsmoment:
z-komponenten:
L
L z m
( 1)
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Spektrallinjer och elektronövergångar
När en elektron i ett exciterat tillstånd (n2) övergår till ett
tillstånd med lägre energi utsänds en foton med energin hf =E i – E f
där E i och E f är energinivån i ursprungs- respektive sluttillstånd.
T.ex. gäller för för övergången från n =3 till n =2 (Balmer-) att
fotonens energi är
1 1
hf E3 E2
13.6
eV
1,89eV
9 4
Våglängden för ljus i denna övergång:
c
f
hc
E foton
1240eV nm
656 nm
1,89eV
656nm är rött ljus. De lägre övergångarna i Balmer-serien ger
spektrallinjer i det synliga våglängdsomtrådet (ca 400-700 nm)
Ljus av rätt våglängd kan även orsaka excitation, dvs om
fotonenergin överenstämmer med en övergång från ett lägre
energitillstånd till ett högre. Detta ger absorbtionslinjer i spektrum.
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Väteliknande kärnor.
För väte har vi potentiella energin:
U ( r )
1
4
0
2
qe
r
Låt oss betrakta atomer vars kärnor har högre laddning, t.ex. He med Z =2 eller C med Z =6.
Om vi betraktar en elektron i en ej joniserad atom kommer övriga elektronerna att skärma
kärnladdningen.
Vi betraktar istället en jon med bara en elektron kvar. Då gäller motsvarande uttryck som för väte men
med kärnladdningen Zq e
U ( r )
1
4
0
Zqe
r
2
På samma sätt som för väte kan nu energinivåerna beräknas:
2 2
me
Z qe
En
2
2 4
0
2
1
2
n
Z
2
13.6
2
n
eV
n 1,2,3...
1
Z
Radien: 2
Ex: He Z =2 ger E
r n
n a n 1,2,3 ...
1 =-54.4, r 1 =a 0 /2
0
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Utvikning: (orienterande, kommer inte specifikt att examineras på tentan)
Bohr-modellen; EPR-paradoxen; Schrödingers katt; Bells olikhet.
Att notera: Bohr-modellen var en första modell på rätt väg mot att förklara kvantiserade
energinivåer i atomer. Den kunde förklara spektrallinjerna.
Men: Det är inte den modell vi har idag. I dagens modell ges energinivåer av lösningar till
Schrödingerekvationen. Elektronerna rör sig inte i banor med viss radie utan som ett
moln med sannolikhetsfördelningar att hitta elektronerna och huvudenerginivåerna, för
vilka Bohr fick rätt uttryck, beror inte på rörelsemängdsmomentets kvantisering!!!
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Bohrs atommodell:
• Elektronen rör sig, påverkad av Coulombväxelverkan, i cirkulära banor kring kärnan
• Endast vissa banor är stabila. I dessa strålar elektronen inte ut energi.
• Strålning utsänds när elektroner byter från en bana i ett högre energitillstånd till en bana i ett lägre
tillstånd. Den utsända fotonens frekvens ges av energiskillnaden i tillstånden enligt E i – E f = hf
• Elektronens bana bestäms av att rörelsemängdmomentet är kvantiserat så att m e vr = nh där n =1,2...
Beräkna de tillåtna energitillstånden enligt Bohr:
Coulombpotentialen kring kärnan:
Kinetisk energi:
E
kin
mev
2
I stabil bana måste
Coulombkraften = ”centripetalkraften”
2
1 qe
U qV
4
r
1 q
4
r
Med Bohrs kvantisering kan nu tillåtna radier beräknas
0
2
e
2
0
2
mev
r
2
1
4
0
q
r
2
e
2
n
m r
e
2
3
2
n
rn
40
m q
e
2
2
e
n 1,2,3...
Bohr-radien:
a
2
0
40
2
m e q e
0,0529nm
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Energinivåerna kan nu beräknas:
E E
kin
U
mev
2
2
1
4
0
2
e
q
r
1
24
0
2
e
q
r
1
4
0
2
e
q
r
1
8
0
2
e
q
r
E
n
qe
8
a
0
2
0
1
2
n
n 1,2,3...
Lägsta energinivå, grundtillståndet, i väte:
E
1
1 qe
8
r
0
1
2
meq
2 4
511keV 1,440eV nm
2 2
2c
4
e
2
0
2
2
2
qe
40
1,440eV
nm
Exciterade tillstånd: 13.6
eV n 1,2,3
...
2
E n
6
1,059610
eV
2
2(197,3)
c
197,3eV
nm
13,6
eV
1
n
dvs samma energinivåer som erhölls med Schrödingerekv., men med fel storhet som kvantiserades.
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

EPR-paradoxen
Einstein, Padolsky & Rosen: (Phys Rev 47 (1935) 770-780)
“One is thus led to conclude that the description of reality as given by a wave function is not complete.”
Deras invändning är att i fall där ett två partiklar (kvantsystem) beskrivs av en gemensam
vågfunktion. Givet tillräcklig tid så att de två partiklarna inte längre kan anses växelverka med
varandra, kan man mäta egenskap hos en av partiklarna t.ex. position. I princip skulle man då kunna
mäta rörelsemängden med hög precision hos den andra partikeln och med hjälp av detta få både
potion och rörelsemängd med hög precision, i strid med Heisenbergs obestämbarhetsprincip.
Kvantmekaniken kräver ”spöklik” växelverkan på långa avstånd så att en mätning av position hos 1:a
partikeln gör att positionen hos partikel 2 blir bestämd men inte dess rörelsemängd.
En möjlighet vore ”gömda” variabler, dvs partiklarna visste sina tillstånd från början men vi fick inte
veta förrän vi mätte på någon av partiklarna.
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Schrödingers katt
Köpenhamnstolkningen av kvantmekanik vsäger att alla tillstånd som en vågfunktion
beskriver existerar samtidigt och att inte förrän vi stör systemet (mäter) fås ett av
tillstånden. Man säger att vågfunktionen kollapsar. Schrödinger ville illusterar hur denna
tolkning i ett vardagsfenomen leder till absurditeter.
Schrödinger föreslog ett
tankeexperiment med en katt i
en stängd låda med en anordning
av ett radioaktivt preparat med
låg sönderfallsfrekvens som
fyrar av en anordning som
krossar en flaska med giftgas.
Katten kan vara i två tillstånd,
levande eller död. I den
kvantmekaniska tolkningen är
katten både levande och död
(för oss utanför lådan). Inte
förrän vi öppnar, dvs stör
systemet, är den antingen eller.
Vågfunktionen kollapsar!
(Från Wikipedia: Dhatfield)
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Bells olikhet.
Vi har nu två möjligheter för ett kopplat system av två tillstånd: gömda variabler eller kvantmekanisk
tolkning. Vilken är rätt?
Tänk ett kopplat system av två partiklar (t.ex. fotoner) som skapades kopplat ur ett singletttillstånd
där de färdas iväg från varanda. De beskrivs av en gemensam vågfunktion. Denna typ av
koppling kallas “entanglement”.
John Bell (teoretiker, verksam bl.a. på CERN) föreslog ett test där spinnriktningen mättes för de två
partiklarna.
Bell visade att teorier med “gömda” variabler gav ett visst
resultat (räta linjen i figur) medan den kvantmekaniska olkningen
gav ett annat (prickad kurva).
Mätningar, bl.a. av Clauser och Freedman (1972) och Alain
Aspect (1981) stöder den kvantmekaniska tolkningen.
Kvantmekaniken gör det möjligt att skicka information över
stora avstånd med oändlig hastighet. Man måste bara skicka ut
partiklar i kopplat system först. Dessa kan inte färdas snabbare
än ljus i vakuum!
Andra möjliga framtida tillämpningar av kvantmekanik:
• Kvantdatorer
• Kvantkrytering
(Slut på utvikning)
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Röntgenstrålning
Fru Röntgens hand,
december 1895
Röntgenstrålning kan genereras genom att
accelererade elektroner får träffa ett strålmål av
metall. Elektronen kommer att växelverka
elektromagnetisk med atomer i metallen och
förlora energi som sänds ut i form av
röntgenstrålning.
Processen sker i princip i form av s.k.
bromsstrålning. (E och p skall ju bevaras foton).
Maximal fotonenergi vid ”frontalkollision” där hela
elektronens kinetiska energi övergår till en foton.
Detta ger minsta våglängd λ min =(hc)/E e
I övrigt ett kontinuum med toppar motsvarande
energinivåskillnader hos strålmålets atomer.
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Linjerna i röntgenspektrat ges av övergångar i atomen.
Specifikt gällar att K α är en övergång från L- till K-”skalet”
L
K
M
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH
Jämför två röntgenrör. Ett med koppar och ett med guld som anodmetall.
Cu har atomnummer 29, Au har 79
Vilket alternativ är rätt?
1) Våglängden för K α fotoner i Cu-fallet har längre våglängd än för Au
2) Våglängden för K α fotoner är lika för både Cu och Au
3) Våglängden för K α fotoner i Cu-fallet har kortare våglängd än för Au
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH

Linjerna i röntgenspektrat ges av övergångar i atomen.
Specifikt gällar att K α är en övergång från L- till K-”skalet”
L
K
M
Resonemangsmässigt kan man anse att om K-skalet ”saknar”
en elektron skärmar den kvarvarande elektronen kärnans
laddning för en elektron i L-skalet så att den senare ”ser”
laddningen (Z-1).
Energin för K α -strålningen kommer på att vara (Z-1) 2
Detta stämmer hyfsat bra med experimentella data.
SH1009, Modern fysik, VT2013, KTH