Föreläsning 3
Föreläsning 3
Föreläsning 3
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Föreläsning 3:<br />
Rörelsemängd och energi<br />
Naturlagarna skall gälla i alla ”interial”system.<br />
Bl.a. gäller att:<br />
Energi och rörelsemängd bevaras i all växelverkan<br />
mu<br />
p =<br />
Relativistisk rörelsemängd: 2 2<br />
1 − ( u c )<br />
=<br />
γmu<br />
Där u är partikelns hastighetsvektor.<br />
Med |u| = βc fås p = mβγc<br />
d p<br />
Om vi utnyttjar att Newtons andra lag kan skrivas F = fås relativistiskt:<br />
dt<br />
d p d<br />
F = = ( γmu)<br />
Ur vilket vi kan beräkna accelerationen då F || u:<br />
dt dt<br />
d mu<br />
2 2 −3/2⎡<br />
⎛ 2u<br />
⎞ 2 2 ⎤ du<br />
F =<br />
= m( 1 − u c ) ⎢u<br />
⎜−<br />
⎟ + ( 1 − u c )<br />
dt 2 2<br />
2<br />
⎥<br />
u c<br />
⎣ ⎝ − 2c<br />
⎠<br />
⎦ dt<br />
2 2 3/ 2<br />
( 1 − u c )<br />
1 −<br />
( )<br />
du F<br />
a = =<br />
Extremfall: u = 0 ger a =F/m (Newton), u =c ger a = 0.<br />
dt m<br />
2 2 −3/2<br />
du<br />
( ) = m( 1 − u c )<br />
dt<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Relativistisk energi<br />
Om vi betraktar tillskott till kinetisk energi som utfört arbete för att accelerera från 0 till u kan<br />
dp<br />
vi integrera F dx, dvs dx från x 1<br />
där u = 0 till x 2<br />
där u = u, mha substitution dx = udt<br />
dt<br />
och att (du/dt ) udt= udu<br />
E<br />
kin<br />
= m∫<br />
udu<br />
u<br />
0 2<br />
mc<br />
=<br />
2 2 3/<br />
2 2<br />
[ 1 − ( u c )] 1 − ( u c )<br />
Einstein: viloenergi 2<br />
E = mc<br />
Total relativistisk energi:<br />
2<br />
E = γ mc = Ekin + mc<br />
2<br />
− mc<br />
Mha p = mβγc och lite räkning<br />
2<br />
2<br />
2<br />
E = p c + m<br />
2<br />
c<br />
4<br />
2<br />
2<br />
E kin<br />
=<br />
1 −<br />
mc<br />
2<br />
(<br />
2 2)<br />
u c<br />
− mc<br />
2<br />
För foton med massan 0:<br />
E = pc<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Relativistisk energi (forts)<br />
Invarianta massan M ändras inte under<br />
Lorentz-transformationen (karakteriserar en<br />
partikel i form av vilomassa)<br />
M =<br />
E<br />
2<br />
c<br />
− p<br />
2<br />
2<br />
c<br />
2<br />
I bevarad energi ingår summan av<br />
kinetisk energi och massenergi.<br />
Exempel: π + (partikel som består av upp-kvark och anti-ner-kvark) i vila sönderfaller:<br />
π + → μ + + ν μ<br />
I labbet har μ + kinetiska energi mätts till 4,3 MeV, dess vilomassa är 105,66 MeV/c 2 .<br />
Neutrinon kan betraktas som masslös.<br />
μ + : rörelsemängd ges ur p 2 c 2 = E 2 – m 2 c 4 där E =E kin<br />
+ mc 2 = 4,3 + 105,66 MeV = 109,96 MeV ger<br />
p ≈ 30,37 MeV/c.<br />
ν μ<br />
: massan = 0. Rörelsemängden bevaras och då π + var i vila, dvs p=0 måste neutrinen ha<br />
p ≈ 30,37 MeV/c motsatt riktat μ + rörelsemängd. ⇒ E ν<br />
=pc = 30,37 MeV.<br />
Invarianta massan: M = 1/c 2 ((∑E) 2 –(∑pc) 2 ) ½ = 1/c 2 ((109,96+30,37) 2 –0) ½ ≈ 140 MeV/c 2<br />
( ur tabell: 139,6 MeV/c 2 )<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Rumstiden<br />
(ingår kursivt)<br />
Inför fyrdimensionell rumstid: (x, y, z, ct ) (Minkowski rummet)<br />
Betrakta två händelser<br />
E 1<br />
och E 2<br />
med<br />
koordinater (x 1<br />
,t 1<br />
) och<br />
(x 2<br />
,t 2<br />
) enligt figur.<br />
Inför begreppet<br />
rumstidsintervall som<br />
(∆s) 2 = (c∆t ) 2 -(∆x) 2 =<br />
(c(t 2<br />
-t 1<br />
)) 2 –(x 2<br />
-x 1<br />
) 2<br />
Pss har vi i S´ systemet:<br />
(∆s´ ) 2 = (c∆t´ ) 2 -(∆x´ ) 2 = (c(t´2-t´1)) 2 –(x´2-x´1) 2<br />
men x´=γ( x –vt ) och t´= γ(t - vx/c 2<br />
)<br />
Efter insättning och omstuvning fås<br />
(∆s´ ) 2 = (c∆t´ ) 2 -(∆x´ ) 2 = (∆s) 2<br />
För att en händelse skall kunna<br />
orsaka en annan måste:<br />
(∆s) 2 > 0 (“timelike”)<br />
∆s är invariant under Lorentz-transformationen<br />
Med (∆s) 2 = 0 gäller att c∆t = |∆x| (“lightlike”)<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Rumstiden<br />
(forts)<br />
För att en händelse skall kunna<br />
orsaka en annan måste:<br />
(∆s) 2 > 0 (“timelike”)<br />
Med (∆s) 2 = 0 gäller att c∆t = |∆x|<br />
(“lightlike”)<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
För den intresserade (överkurs):<br />
Mha fyrvektorer kan nu Lorentztransformastionen skrivas på matrisform:<br />
För rörelsemängd och energi fås:<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Allmänna relativitetsteorin<br />
mgm´<br />
g<br />
Gravitation (från Newtonsk mekanik): Fg = G<br />
massa attraherande egenskap i gravitation<br />
2<br />
r<br />
Samtidigt har vi massa som tröghetsegenskap mot förändring av hastighet: ∑ F = mi<br />
a<br />
G är vald så att m g<br />
och m i<br />
är lika.<br />
Einstein (1916) i allmänna relativitetsteorin.<br />
• Samma naturlagar gäller för alla observatörer i vilket referenssystem som helst vare sig det är<br />
accelererande eller ej.<br />
• I närheten av varje punkt är gravitationsfältet ekvivalent med ett accelererande referenssystem<br />
utan gravitationsfält.<br />
Gravitationen ⇒ krökning av rumstiden.<br />
(a) och (d), gravitation<br />
(b) och (c), kraft, ingen gravitation<br />
(a) = (b)<br />
(c) = (d)<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Gravitationens påverkan på ljus<br />
Ur E =mc 2 och E = hf får vi att ljus har en effektiv tröghetsmassa m eff<br />
=hf/c 2 (även om fotonen är masslös, dvs vilomassa=0)<br />
Ljus bör därför böjas av kring mobjekt med hög massa, t.ex. solen.<br />
Detta har observerats!<br />
Även gravitationella linser i form av utslocknade<br />
stjärnor i halon kring galaxer har observerats<br />
(MACHO = MAssive Compact Halo Object)<br />
(men inte i den omfattning att mängden av massa i halon<br />
kan förklaras.<br />
Kanske är WIMP =Weakly Interacting Massive Particle<br />
Förklaringen. Se sista föreläsningen)<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Gravitationens påverkan på ljus (forts)<br />
Studera ljus från massiv stjärna. Vid ytan är ljusets frekvens f.<br />
Vad är frekvensen f ´ på mycket stort avstånd?<br />
Använd energibetraktelse. Potentiella energin pga gravitationen<br />
på stjärnans yta vid radie R s<br />
(om =0 vid ∞) = -GMm/R s<br />
men m<br />
=hf /c 2 .<br />
hf ´ −0<br />
= hf −<br />
GM ⎛hf<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
R 2<br />
s ⎝ c ⎠<br />
⇒<br />
f ´<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ GM<br />
f 1 − ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ Rs<br />
c ⎠<br />
=<br />
2<br />
Exempel:<br />
Stjärna med solens massa = 1,99·10 30 kg<br />
och jordens radie = 6,37·10 6 m<br />
Om GM /R s<br />
c 2 > 1: Inget ljus kan slippa ut.<br />
⇓<br />
Svart hål<br />
f ´ −f<br />
∆f<br />
GM<br />
= = − =<br />
f f R<br />
= −<br />
2<br />
sc<br />
−11<br />
2 2 30<br />
( 6,67 ⋅10<br />
Nm /kg )( 1,99 ⋅10<br />
kg)<br />
6<br />
8 2<br />
( 6,37 ⋅10<br />
m)( 3,00 ⋅10<br />
⋅ / s )<br />
≈ −2,31<br />
⋅10<br />
Gör t.ex. att ljus med våglängd 300 nm<br />
skiftas till till 300,07 nm.<br />
Gravitationellt rödskift<br />
−31<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Gravitationsvågor<br />
Allmänna relativitetsteorin tillåter en vågliknande till<br />
gravitationsfältet på motsvarande sätt som<br />
elektromagnetismen.<br />
Partikelekvivalent: gravitonen, masslös<br />
Problem: mycket svagare än elektromagnetisk<br />
växelverkan. Extremt svår att detektera. Indirekt<br />
bevis från pulsarer. ”Katastrofisk händelse” t.ex.<br />
supernova skulle kunna ge detekterbar signal på<br />
jorden.<br />
Princip för detektion: stång expanderas i viss riktning<br />
och komprimeras i vinkelräta riktningen pga<br />
gravitationsvåg. Mätes med interferometer.<br />
VIRGO<br />
utanför Pisa<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Virgo<br />
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH