Föreläsning 3

Föreläsning 3:
Rörelsemängd och energi
Naturlagarna skall gälla i alla ”interial”system.
Bl.a. gäller att:
Energi och rörelsemängd bevaras i all växelverkan
mu
p =
Relativistisk rörelsemängd: 2 2
1 − ( u c )
=
γmu
Där u är partikelns hastighetsvektor.
Med |u| = βc fås p = mβγc
d p
Om vi utnyttjar att Newtons andra lag kan skrivas F = fås relativistiskt:
dt
d p d
F = = ( γmu)
Ur vilket vi kan beräkna accelerationen då F || u:
dt dt
d mu
2 2 −3/2⎡
⎛ 2u
⎞ 2 2 ⎤ du
F =
= m( 1 − u c ) ⎢u
⎜−
⎟ + ( 1 − u c )
dt 2 2
2
⎥
u c
⎣ ⎝ − 2c
⎠
⎦ dt
2 2 3/ 2
( 1 − u c )
1 −
( )
du F
a = =
Extremfall: u = 0 ger a =F/m (Newton), u =c ger a = 0.
dt m
2 2 −3/2
du
( ) = m( 1 − u c )
dt
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Relativistisk energi
Om vi betraktar tillskott till kinetisk energi som utfört arbete för att accelerera från 0 till u kan
dp
vi integrera F dx, dvs dx från x 1
där u = 0 till x 2
där u = u, mha substitution dx = udt
dt
och att (du/dt ) udt= udu
E
kin
= m∫
udu
u
0 2
mc
=
2 2 3/
2 2
[ 1 − ( u c )] 1 − ( u c )
Einstein: viloenergi 2
E = mc
Total relativistisk energi:
2
E = γ mc = Ekin + mc
2
− mc
Mha p = mβγc och lite räkning
2
2
2
E = p c + m
2
c
4
2
2
E kin
=
1 −
mc
2
(
2 2)
u c
− mc
2
För foton med massan 0:
E = pc
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Relativistisk energi (forts)
Invarianta massan M ändras inte under
Lorentz-transformationen (karakteriserar en
partikel i form av vilomassa)
M =
E
2
c
− p
2
2
c
2
I bevarad energi ingår summan av
kinetisk energi och massenergi.
Exempel: π + (partikel som består av upp-kvark och anti-ner-kvark) i vila sönderfaller:
π + → μ + + ν μ
I labbet har μ + kinetiska energi mätts till 4,3 MeV, dess vilomassa är 105,66 MeV/c 2 .
Neutrinon kan betraktas som masslös.
μ + : rörelsemängd ges ur p 2 c 2 = E 2 – m 2 c 4 där E =E kin
+ mc 2 = 4,3 + 105,66 MeV = 109,96 MeV ger
p ≈ 30,37 MeV/c.
ν μ
: massan = 0. Rörelsemängden bevaras och då π + var i vila, dvs p=0 måste neutrinen ha
p ≈ 30,37 MeV/c motsatt riktat μ + rörelsemängd. ⇒ E ν
=pc = 30,37 MeV.
Invarianta massan: M = 1/c 2 ((∑E) 2 –(∑pc) 2 ) ½ = 1/c 2 ((109,96+30,37) 2 –0) ½ ≈ 140 MeV/c 2
( ur tabell: 139,6 MeV/c 2 )
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Rumstiden
(ingår kursivt)
Inför fyrdimensionell rumstid: (x, y, z, ct ) (Minkowski rummet)
Betrakta två händelser
E 1
och E 2
med
koordinater (x 1
,t 1
) och
(x 2
,t 2
) enligt figur.
Inför begreppet
rumstidsintervall som
(∆s) 2 = (c∆t ) 2 -(∆x) 2 =
(c(t 2
-t 1
)) 2 –(x 2
-x 1
) 2
Pss har vi i S´ systemet:
(∆s´ ) 2 = (c∆t´ ) 2 -(∆x´ ) 2 = (c(t´2-t´1)) 2 –(x´2-x´1) 2
men x´=γ( x –vt ) och t´= γ(t - vx/c 2
)
Efter insättning och omstuvning fås
(∆s´ ) 2 = (c∆t´ ) 2 -(∆x´ ) 2 = (∆s) 2
För att en händelse skall kunna
orsaka en annan måste:
(∆s) 2 > 0 (“timelike”)
∆s är invariant under Lorentz-transformationen
Med (∆s) 2 = 0 gäller att c∆t = |∆x| (“lightlike”)
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Rumstiden
(forts)
För att en händelse skall kunna
orsaka en annan måste:
(∆s) 2 > 0 (“timelike”)
Med (∆s) 2 = 0 gäller att c∆t = |∆x|
(“lightlike”)
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

För den intresserade (överkurs):
Mha fyrvektorer kan nu Lorentztransformastionen skrivas på matrisform:
För rörelsemängd och energi fås:
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Allmänna relativitetsteorin
mgm´
g
Gravitation (från Newtonsk mekanik): Fg = G
massa attraherande egenskap i gravitation
2
r
Samtidigt har vi massa som tröghetsegenskap mot förändring av hastighet: ∑ F = mi
a
G är vald så att m g
och m i
är lika.
Einstein (1916) i allmänna relativitetsteorin.
• Samma naturlagar gäller för alla observatörer i vilket referenssystem som helst vare sig det är
accelererande eller ej.
• I närheten av varje punkt är gravitationsfältet ekvivalent med ett accelererande referenssystem
utan gravitationsfält.
Gravitationen ⇒ krökning av rumstiden.
(a) och (d), gravitation
(b) och (c), kraft, ingen gravitation
(a) = (b)
(c) = (d)
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Gravitationens påverkan på ljus
Ur E =mc 2 och E = hf får vi att ljus har en effektiv tröghetsmassa m eff
=hf/c 2 (även om fotonen är masslös, dvs vilomassa=0)
Ljus bör därför böjas av kring mobjekt med hög massa, t.ex. solen.
Detta har observerats!
Även gravitationella linser i form av utslocknade
stjärnor i halon kring galaxer har observerats
(MACHO = MAssive Compact Halo Object)
(men inte i den omfattning att mängden av massa i halon
kan förklaras.
Kanske är WIMP =Weakly Interacting Massive Particle
Förklaringen. Se sista föreläsningen)
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Gravitationens påverkan på ljus (forts)
Studera ljus från massiv stjärna. Vid ytan är ljusets frekvens f.
Vad är frekvensen f ´ på mycket stort avstånd?
Använd energibetraktelse. Potentiella energin pga gravitationen
på stjärnans yta vid radie R s
(om =0 vid ∞) = -GMm/R s
men m
=hf /c 2 .
hf ´ −0
= hf −
GM ⎛hf
⎞
⎜ ⎟
R 2
s ⎝ c ⎠
⇒
f ´
⎛ ⎞
⎜ GM
f 1 − ⎟
⎜ ⎟
⎝ Rs
c ⎠
=
2
Exempel:
Stjärna med solens massa = 1,99·10 30 kg
och jordens radie = 6,37·10 6 m
Om GM /R s
c 2 > 1: Inget ljus kan slippa ut.
⇓
Svart hål
f ´ −f
∆f
GM
= = − =
f f R
= −
2
sc
−11
2 2 30
( 6,67 ⋅10
Nm /kg )( 1,99 ⋅10
kg)
6
8 2
( 6,37 ⋅10
m)( 3,00 ⋅10
⋅ / s )
≈ −2,31
⋅10
Gör t.ex. att ljus med våglängd 300 nm
skiftas till till 300,07 nm.
Gravitationellt rödskift
−31
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Gravitationsvågor
Allmänna relativitetsteorin tillåter en vågliknande till
gravitationsfältet på motsvarande sätt som
elektromagnetismen.
Partikelekvivalent: gravitonen, masslös
Problem: mycket svagare än elektromagnetisk
växelverkan. Extremt svår att detektera. Indirekt
bevis från pulsarer. ”Katastrofisk händelse” t.ex.
supernova skulle kunna ge detekterbar signal på
jorden.
Princip för detektion: stång expanderas i viss riktning
och komprimeras i vinkelräta riktningen pga
gravitationsvåg. Mätes med interferometer.
VIRGO
utanför Pisa
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH

Virgo
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH