Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics
Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics
Exempelsamling - KTH Particle and Astroparticle Physics
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Exempelsamling</strong> i Modern fysik SH1009.<br />
VT2012<br />
Utformad av: Bengt Lund-Jensen och Mats Wallin<br />
Version: 12-01-18<br />
Avsnitt: (Notera att numreringen av kapitel inte är densamma som i kursboken)<br />
1. Relativitetsteori<br />
2. Partikelstruktur hos elektromagnetisk strålning<br />
3. Partiklars vågnatur<br />
4. Kvantmekanik: Schrödingerekvationen<br />
5. Kvantmekanik:<br />
6. Kvantmekanik i 3 dimensioner, väteatomen.<br />
7. Atomer och spinn<br />
8. Statistisk mekanik<br />
9. Molekylfysik<br />
10. Fasta material, halvledare<br />
11. Kärnfysik<br />
12. Bl<strong>and</strong>ade problem av tentakaraktär.<br />
13. Exempeltenta<br />
(Exempel markerade med (T) är av tentakaraktär, dvs de har eller skulle kunna ha<br />
varit problem på en tenta. )
Kap 1. Relativitetsteori<br />
Ex1:1. Myoner bildas i de övre luftlagren i skurar från kosmiska protoner. I<br />
t<br />
/<br />
myonens vilosystem är antalet myoner efter en tid t N N<br />
0e<br />
där N 0 är<br />
antalet vid t = 0 och är medellivstiden 2,2 s.<br />
a) Om myonerna bildas på 10 km höjd och har en hastighet av 0,98 c, hur<br />
stor <strong>and</strong>el når jordytan?<br />
b) Om klassisk mekanik gällde, hur stor <strong>and</strong>el skulle då ha nått jordytan?<br />
Ex1:2. En kosmolog observerar ljus från en avlägsen supernova. En speciell<br />
våglängd i det utsända ljusspektrat är 656,5 nm vilken utsänds av<br />
väteatomer.<br />
a) Kosmologen mäter våglängden för spektrallinjen till 1573 nm. Rör sig<br />
supernovan mot eller bort från jorden?<br />
b) Med vilken hastighet rör sig supernovan relativt jorden?<br />
c) Om den rör sig i motsatt riktning, vilken våglängd skulle då ha<br />
observerats på jorden?<br />
d) Om den svenske astronauten Christer Fuglesang hade haft en<br />
vätgaslampa med sig till rymdstationen som befinner sig på ca 400 km höjd<br />
över jordytan och färdas ett varv på 90 minuter, hur skulle den på jorden<br />
observerade våglängden förändras jämfört med den utsända?<br />
Ex1:3. (T) I ett partikelfysikexperiment skapades en stråle av K S 0 -mesoner. (S står<br />
för short pga kort livslängd jämfört med en annan variant, men detta har<br />
ingen betydelse för talet). I ca 69% av fallen sönderfaller K S 0 till + + - . I<br />
laboratoriet mäts energin hos +. . Högst uppmätt energi får + när<br />
sönderfallet sker så att dess riktning i sönderfallet är längs K S 0 -strålen<br />
riktning. Beräkna i ett sådant fall K S 0 hastighet i labbet om man i labbet har<br />
mätt kinetiska energin hos + till 2,00 GeV. Massorna för K S 0 , + och - är<br />
497.6, 139.6 respektive 139.6 MeV/c 2 .<br />
Ex1:4. (T) Antimateria har på senare år i små kvantiteter skapats vid CERN för<br />
studier av symmetri mellan materia och antimateria. När en antiproton<br />
träffar en proton i t.ex. restgaser annihilerar den. I ca 0.1 % av annihilationer<br />
i vila, dvs när de kinetiska energierna hos både proton och antiproton kan<br />
försummas, bildas endast K + och K - . (<br />
-<br />
p p K K ). Medellivstiden för K är<br />
1,2·10 -8 s. Beräkna medelsträckan kaonerna i dessa fall färdas i laboratoriet<br />
innan de sönderfaller. Massorna för protoner och de laddade kaonerna är<br />
938,3 respektive 494 MeV/c 2 .<br />
Ex1:5. (T) μ - i vila sönderfaller till e - och neutriner. Beräkna maximala hastigheten<br />
hos e - som bildas. Neutrinerna antas masslösa.<br />
Myonens massa =106 MeV/c 2 , elektronmassan = 0,511 MeV/c 2 . För att<br />
möjliggöra enkla beräkningar får elektronmassan försummas när den totala
energi elektronen får beräknas från myonens sönderfall. När dess hastighet<br />
bestäms får man däremot inte bortse från elektronmassan.<br />
Ex1:6. (T) I december 2006 tog rymdfärjan Discovery den svenske astronauten<br />
Christer Fuglesang till rymdstationen ISS. Christer har under lång tid<br />
medverkat i ett forskningsprojekt där man undersökt orsaken till ljusblixtar<br />
som astronauter ibl<strong>and</strong> observerar. Idag tror man att de beror på laddade<br />
kosmiska partiklar som växelverkar i näthinnan. Ursprungligen övervägde<br />
man också möjligheten att de berodde på s.k. Cherenkovljus, ett fenomen<br />
som kan liknas vid bogvågor från en båt eller ett flygplan som färdas<br />
snabbare är ljudet. Ljusets sänds ut i framåtriktningen med en vinkel som<br />
1<br />
ges av cos<br />
där v / c . Villkor för att överhuvud taget få ljus är<br />
n<br />
naturligtvis att cos 1. Om vi antar att ögat har samma brytningsindex<br />
som vatten, dvs 1,33, vilken kinetisk energi måste en proton ha för att ge en<br />
Cherenkovvinkel av =30°?<br />
Ex1:7. Antiprotoner kan skapas i reaktioner där protoner kolliderar med protoner i<br />
flyt<strong>and</strong>e väte. Reaktionen är p p p p p p , dvs både en ny proton<br />
och en antiproton skapas. Det flyt<strong>and</strong>e vätet befinner sig i vila i<br />
laboratoriesystemet. Beräkna den minsta kinetiska energi som inkomm<strong>and</strong>e<br />
protonstrålen kan ha för att reaktionen skall vara möjlig. (Tips: beakta<br />
masscentrumsystemet för inkomm<strong>and</strong>e proton och en proton i vätet).<br />
Protonmassan är 938,3 MeV/c 2 .
Kap 2. Partikelstruktur hos elektromagnetisk strålning<br />
Ex2:1. (T) I Imaging Compton Telescope (COMPTEL) som var en del av satelliten<br />
Compton Gamma Ray Observatory (1991-2000) använder man sig av<br />
Compton-spridning för att uppskatta energi och riktning hos infall<strong>and</strong>e<br />
gammastrålning. Beräkna inkomm<strong>and</strong>e gamma-fotonens energi och<br />
riktning relativt experimentets lodlinje då rekylelektronens kinetiska energi är<br />
2,88 MeV och den spridda fotonens energi mäts till 0,8 MeV med<br />
spridningsvinkeln 40º mot lodlinjen genom detektorn.<br />
Ex2:2.<br />
Gammastrålning med energi 100 MeV ger upphov till parbildning i<br />
växelverkan med en syreatom.<br />
a) Visa att en gammafoton inte kan ge upphov till elektron och positron om<br />
inte rekylen tas upp av något annat än elektron-positron-paret.<br />
b) Beräkna den energi som syrekärnan tillförs när den tar upp rekylen<br />
under förutsättning att elektronen och positronen delar lika på<br />
gammafotonens energi och att de båda har sina rörelsemänger i samma<br />
riktning som den ursprungliga fotonen. För att förenkla är det tillåtet att i<br />
beräkningen av elektronens och positronens rörelsemängd utgå från att<br />
energin bevaras utan att ta hänsyn till syreatomen. Fel<strong>and</strong>e rörelsemängd<br />
upptas därefter av syreatomen som får kinetisk energi. Var det rimligt att i<br />
1:a skedet försumma syreatomen när elektron-positronparets energi<br />
beräknades?<br />
Ex2:3<br />
Ex2:4<br />
Ex2:5<br />
(T) En metallyta som belyses med ljus med frekvensen 8,510 14 Hz sänder<br />
ut elektroner med en maximal kinetisk energi av 0,52 eV. När samma yta<br />
belyses med 1210 14 Hz blir elektronernas maximala kinetiska energi 1,97<br />
eV. Beräkna utträdesarbetet för denna metall samt bestäm Plancks<br />
konstant ur dessa data.<br />
(T) Comptonspridning kan användas både för att mäta riktning och energi<br />
hos fotoner i kärnfysikexperiment. För ett visst preparat mättes ett spektrum<br />
hos comptonspridda elektroner som tydligt motsvarade en i stort sett<br />
monokromatisk gamma-strålning. Den maximala elektronenergin mättes till<br />
170 keV. Beräkna våglängden för den inkomm<strong>and</strong>e monokromatiska<br />
strålningen.<br />
(T) Beräkna utträdesarbetet för en metall som gav en faktor 2 skillnad i<br />
maximal hastighet hos elektroner som frigjordes när metall bestrålades med<br />
ljus av våglängderna 0,35 m respektive 0,5 m.
Kap 3. Partiklars vågstruktur.<br />
Ex3:1. (T) Både neutroner, elektroner och röntgenstrålning kan användas för att<br />
undersöka kristallstruktur. T.ex. bestrålas en natriumkloridkristall med<br />
röntgenstrålning av våglängden 0,28 nm varvid 1:a diffraktionsmaximat<br />
inträffad då vinkeln mellan inkomm<strong>and</strong>e stråle och kristallytan liksom vinkeln<br />
mellan utgående stråle och kristallytan är 30.<br />
a) Beräkna vilken densitet NaCl förväntas ha.<br />
b) Vilken kinetisk energi måste neutroner ha för att deras de Broglie<br />
våglängd skall vara densamma.<br />
Ex3:2. För partikeln kan man i tabell läsa att massan är bestämd till m=771,10,9<br />
MeV/c 2 där bredden (full width half max) av fördelningen av uppmätta<br />
värden för massan anges till =149,2 MeV/c 2 . Använd denna information till<br />
att erhålla en uppskattning av partikelns medellivstid . (Tips: anta att<br />
fördelningens bredd motsvarar en osäkerhet i massan).<br />
Ex3:3. Positronium är ett bundet tillstånd motsvar<strong>and</strong>e att protonen i väte bytts ut<br />
mot en positron. Detta tillstånd är mycket kortlivat, men har observerats i<br />
naturen. Tyngdpunkten i systemet är inte centrerad i positronen. Man måste<br />
därför ersätta elektronmassan i beräkningar med den reducerade massan<br />
<br />
m<br />
m<br />
e<br />
e<br />
M<br />
M<br />
där m e är elektronmassan och M är positronmassan. Detta motsvarar att<br />
massan roterar kring systemets tyngdpunkt.<br />
a) Härled uttrycket för den reducerade massan.<br />
b) Beräkna energinivån för grundtillståndet och det första exciterade<br />
tillståndet hos positronium.<br />
Ex3:4. (T)<br />
(a) I ett dubbelspaltexperiment med neutroner är hastigheten 10 m/s,<br />
spaltseparationen d=1 mm, och avståndet till detektorerna D=10 m. Bestäm<br />
de Broglie våglängden och avståndet mellan interferensmaxima.<br />
(b) Tänk dig ett dubbelspaltexperiment med s<strong>and</strong>korn som väger 0.1 gram<br />
med hastighet 10 m/s. Anta att spaltseparationen är d=1 mm. Hur stort ska<br />
avståndet till detektorskärmen vara för att avståndet mellan<br />
intensitetsmaxima ska bli 1 mikrometer?
Ex3:5. (T) Anta att en elektron är instängs i en volym som motsvarar en väteatom,<br />
med diameter ca 1 Å. Uppskatta den minimala osäkerheten i elektronens<br />
rörelsemängd. Uppskatta ur denna elektronens kinetiska energi.<br />
Ex3:6. (T) En neutronstråle som kommer ur en kärnreaktor innehåller neutroner<br />
med olika energi. För att få neutroner med energi 0,05 eV skickas<br />
neutronstrålen genom en kristall vars atomplan är separerade med 0,20 nm.<br />
Vid vilken vinkel i förhåll<strong>and</strong>e till infallsriktningen kommer de önskade<br />
neutronerna att reflekteras?<br />
Ex3:7. Elektroner som leder ström i koppar har en kinetisk energi på ca 7 eV.<br />
Uppskatta deras de Broglie våglängd. Genom att jämföra den med<br />
avståndet mellan atomerna i Cu, avgör om vågegenskaperna är viktiga för<br />
ledning i koppar?<br />
Ex3:8. Uppskatta de Broglie våglängden hos syremolekyler i luft vid NTP. Jämför<br />
med medelavståndet mellan molekylerna i luft. Förklara varför rörelsen hos<br />
syre i luft vid NTP inte beror på de våglika egenskaperna hos molekylerna.<br />
Ex3:9<br />
(T) Neutroner från en reaktor kan användas för att studera kristallstruktur<br />
genom spridningsexperiment. I en reflexionsmätning fann man att<br />
neutroner med en rörelsemängd av 127 keV/c mot en NaCl-kristall hade ett<br />
reflexionsmaximum när vinkeln mellan inkomm<strong>and</strong>e och reflekterad stråle är<br />
178°. Bestäm avståndet mellan kristallplanen i NaCl.
Kap 4.<br />
Ex4:1. Visa att de reella vågfunktionerna<br />
( x,<br />
t)<br />
Acos(<br />
kx t)<br />
och ( x,<br />
t)<br />
Asin(<br />
kx t)<br />
inte är lösningar till Schrödingerekvationen för en fri partikel.<br />
Ex4:2. Visa att vågfunktionen<br />
i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
( x,<br />
t)<br />
Ae Ae<br />
där A är en godtycklig komplex konstant, löser Schrödingerekvationen för<br />
en fri partikel med massa m om<br />
2 2<br />
k<br />
<br />
<br />
2m<br />
Visa att denna våg kan skrivas<br />
it<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
2iAsin<br />
kxe<br />
Vilken sorts våg är detta?<br />
Ex4:3. (T) Vågfunktionen för en partikel i en endimensionell oändlig lådpotential<br />
med längden L ges av<br />
2 nx<br />
<br />
n<br />
( x)<br />
sin , n 1,2,3,...<br />
L L<br />
Bestäm sannolikheten att en partikel som är bunden i lådpotentialen hittas<br />
mellan 0 .45L<br />
och 0 .55L<br />
för grundtillståndet, n = 1, samt för det första<br />
exciterade tillståndet n = 2.<br />
Ex4:4. Studera en partikel i en oändlig lådpotential med bredd L i tillståndet<br />
enligt exempel Ex4:3. Beräkna väntevärdet x .<br />
n<br />
Ex4:5. Beräkna väntevärdet<br />
lådpotential med bredd L i tillståndet<br />
p hos rörelsemängden för en partikel i en oändlig<br />
<br />
n<br />
enligt exempel Ex4:3.
Ex4:6. Studera en partikel med massa m som beskrivs av den Gaussiska<br />
vågfunktionen<br />
2<br />
x <br />
( x)<br />
N exp<br />
<br />
<br />
2<br />
2a<br />
<br />
där N, a är konstanter. Visa att<br />
1<br />
(a) N <br />
a <br />
2<br />
2 a<br />
(b) x 0 och x <br />
2<br />
2<br />
2 <br />
(c) p 0 och p <br />
2<br />
2a<br />
(d) Visa att i detta tillstånd uppfyller osäkerheterna x, p<br />
Heisenbergs<br />
osäkerhetsprincip x p<br />
/ 2 som en likhet. Detta är alltså ett tillstånd med<br />
minimal osäkerhet.<br />
Ex4:7. Visa att kontinuitetsekvationen (dvs samma ekvation som beskriver<br />
laddningskonservation i elläran och partikeltalkonservation i diffusion) gäller<br />
på formen<br />
P<br />
j<br />
0<br />
t<br />
x<br />
2<br />
där sannolikhetstätheten är P( x,<br />
t)<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
och sannolikhetsströmtätheten<br />
definieras som<br />
j <br />
<br />
<br />
2mi<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
Ex4:8. Två tillstånd med bestämd energi E<br />
1<br />
och E<br />
1<br />
beskrivs av följ<strong>and</strong>e normerade<br />
vågfunktioner<br />
iE1t<br />
/ <br />
iE2t<br />
/ <br />
1<br />
( x,<br />
t)<br />
1(<br />
x)<br />
e<br />
och 2<br />
( x,<br />
t)<br />
<br />
2<br />
( x)<br />
e<br />
(a) Skriv ner en linjär superposition som representerar tillståndet där<br />
1 1<br />
väntevärdet för energin är<br />
2<br />
E1<br />
<br />
2<br />
E2<br />
.<br />
(b) Hitta osäkerheten i energi i detta tillstånd.<br />
(c) Visa att sannolikhetstätheten oscillerar i tiden. Vad är samb<strong>and</strong>et mellan<br />
osäkerheten i energi och oscillationsperioden?
Ex4:9. Studera vågfunktionerna hos en partikel i en endimensionell oändlig<br />
lådpotential med bredd L :<br />
<br />
n<br />
( x)<br />
N sin k x,<br />
0 x a<br />
med k n<br />
2<br />
n / L,<br />
n 1,2,3 ,....<br />
(a) Visa att funktionerna är normerade:<br />
dvs att dx 1<br />
<br />
n<br />
är uppfyllt med N 2 / L för alla värden på n .<br />
(b) Visa att funktionerna är ortogonala:<br />
<br />
<br />
*<br />
m<br />
dx n<br />
0, m n<br />
Kommentar: Egenskaperna (a),(b) kan skrivas tillsammans med hjälp av<br />
Kronecker-delta symbolen:<br />
<br />
dx <br />
*<br />
m<br />
n<br />
m,<br />
n<br />
1,<br />
m n<br />
<br />
0,<br />
m n<br />
Alltså utgör funktionerna ett ON system. Den gemensamma terminologin<br />
med vektoranalysen är ingen slump. Dessa funktioner utgör en ON bas för<br />
ett oängdligtdimensionellt linjärt vektorrum som kallas ett Hilbert-rum.<br />
Ex4:10. Visa i allmänna fallet att egenfunktioner som hör till olika energiegenvärden,<br />
E , till tidsberoende SE är ortogonala:<br />
m<br />
E n<br />
*<br />
m<br />
ndx <br />
m,<br />
n<br />
Anm: Man kan visa att egenfunktionerna till degenererade energinivåer,<br />
E , kan väljas så att de blir ortogonala.<br />
m<br />
E n<br />
Ex4:11. (T) En 50 eV elektron är bunden i en potentialbrunn vars väggar består av<br />
två tunna kondensatorer som vardera laddats till 200 V, och som har<br />
utgångshål genom vilka elektronen kan passera. Bestäm<br />
inträngningsdjupet.
Ex4:12. (T) En partikel med massa m är i grundtillståndet i en oändlig lådpotential<br />
som ges av<br />
<br />
x 0<br />
<br />
V (x) 0<br />
0 x L<br />
<br />
<br />
L x<br />
Lådan exp<strong>and</strong>erar plötsligt till 0 x 2L<br />
utan att partikelns tillstånd ändras.<br />
Beräkna sannolikheten att partikeln är i den exp<strong>and</strong>erade lådans<br />
grundtillstånd.<br />
Ex4:13. En allmän vågfunktion hos en partikel med massa m i en endimensionell<br />
oändlig lådpotential med bredden a kan skrivas<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
<br />
<br />
n1<br />
c ( x)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
iEnt<br />
/ <br />
2 2 2 2<br />
där <br />
n<br />
(x)<br />
är en egenfunktion med energi E n<br />
n / 2ma<br />
. Visa att<br />
2<br />
vågfunktionen återvänder till sin ursprungliga form efter tiden T 4ma<br />
/<br />
.<br />
Ex4:14. (T) Studera en partikel med massa m i en oändlig potentialbrunn med ett<br />
potentialsteg:<br />
<br />
x 0<br />
<br />
0 0 x a<br />
V ( x)<br />
<br />
V<br />
0<br />
a x b<br />
<br />
<br />
b x<br />
Bestäm formen på stationära lösningar till Schrödinger-ekvationen.<br />
Diskutera kontinuitetsvillkor på lösningarna och beskriv hur energinivåerna<br />
kan bestämmas (du behöver inte lösa ekvationerna numeriskt).<br />
Ex4:15. (T) Anta att en partikel med massa m attraheras av en ändlig<br />
potentialbrunn:<br />
V<br />
0<br />
<br />
x)<br />
V<br />
<br />
0<br />
(<br />
0<br />
x 0<br />
0 x L<br />
L x<br />
Studera bundna stationära lösningar till Schrödinger-ekvationen. Diskutera<br />
kontinuitetsvillkor på lösningarna och beskriv hur energinivåerna kan<br />
bestämmas (du behöver inte lösa ekvationerna numeriskt).<br />
Ex4:16. I partikelfysik diskuteras Z bosonen, som medierar (=förmedlar) den svaga<br />
växelverkan i atomkärnor. Osäkerheten i energin hos Z bosonen är<br />
E 2.5 GeV. Bestäm medellivslängden hos Z bosonen.
Ex4:17. Visa att väntevärdet hos rörelsemängden för en bunden partikel är lika med<br />
noll. Förklara!<br />
Ex4:18. En partikel i en potential V (x)<br />
har vågfunktionen<br />
ax<br />
Nxe<br />
0 x<br />
( x)<br />
<br />
0<br />
x 0<br />
Bestäm potentialen och energin.<br />
Ex4:19. Använd Heisenbergs osäkerhetsprincip för att härleda en undre gräns för<br />
energin hos den harmoniska oscillatorn.<br />
(a) Väntevärdet av energin är<br />
2<br />
p 1 2 2<br />
E m<br />
x<br />
2m<br />
2<br />
Visa att om positionen och rörelsemängden båda har väntevärde lika med<br />
noll, så blir<br />
2<br />
1 2 2<br />
E m<br />
( x)<br />
2<br />
8m(<br />
x)<br />
2<br />
(b) Visa att minimumvärdet hos<br />
2<br />
A 2 2<br />
B ( x)<br />
2<br />
( x)<br />
är lika med 2 AB .<br />
(c) Visa därmed att<br />
E<br />
1<br />
<br />
2<br />
Ex4:20. Hitta oscillationsamplituden A hos en klassisk oscillator med samma energi<br />
som en kvantpartikel i harmoniska oscillatorns grundtillstånd. Skriv ned ett<br />
uttryck för sannolikheten att hitta kvantpartikeln i det klassiskt förbjudna<br />
området x A .<br />
Ex4:21. Studera potentialen<br />
<br />
x 0<br />
V ( x)<br />
1<br />
2 2<br />
m x x 0<br />
2<br />
som beskriver en oscillator som kan sträckas men inte komprimeras.<br />
Genom att jämföra med lösningarna till harmoniska oscillatorn, konstruera<br />
energinivåerna och tillstånden med lägst energi.
Ex4:22. Vid tiden t 0 har en partikel i en harmonisk oscillatorpotential<br />
1 2 2<br />
V ( x)<br />
m<br />
x vågfunktionen<br />
2<br />
1<br />
( x,0)<br />
<br />
0<br />
( x)<br />
<br />
1(<br />
x)<br />
<br />
2<br />
där <br />
0<br />
( x),<br />
<br />
1(<br />
x)<br />
är de reella, ON vågfunktionerna för oscillatorns<br />
grundtillstånd och första exciterade tillstånd.<br />
(a) Ange ( x,<br />
t)<br />
vid tiden t .<br />
(b) Visa att ( x,<br />
t)<br />
är en normerad vågfunktion.<br />
(c) Visa att sannolikhetstätheten oscillerar med vinkelfrekvens .<br />
(d) Visa att positionsväntevärdet ges av<br />
x<br />
<br />
A<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
Acost<br />
där <br />
x<br />
dx<br />
Ex4:23. (T) Övergångar mellan angräns<strong>and</strong>e vibrationsnivåer i NO molekyler ger<br />
upphov till infraröd strålning med våglängd 5. 33<br />
m. Bestäm den<br />
elastiska konstanten k som beskriver styrkan i bindningarna mellan<br />
kärnorna i NO molekylen. Den reducerade massan för NO molekylen är<br />
7.46<br />
u.
Kap. 5<br />
Ex5:1<br />
(T) Bestäm reflektionskoefficienten för en 5eV elektron som kolliderar med<br />
ett potentialsteg där potentialen minskar med 2eV.<br />
Ex5:2 (T) Vilken <strong>and</strong>el av en stråle E 50eV elektroner passerar genom en<br />
V 200eV spänningsbarriär över ett avstånd på a 1nm?<br />
B<br />
Ex5:3<br />
Ex5:4<br />
Ex5:5<br />
Ex5:6<br />
Ex5:7<br />
Härled relationerna formlerna för transmissions och reflektionskoefficienten<br />
för reflektion från en rektangulär potentialbarriär.<br />
ikx<br />
En partikelstråle med vågfunktionen <br />
in<br />
e och energi E infaller mot ett<br />
potentialsteg på V 5E / 4 .<br />
(a) Bestäm det reflekterade tillståndet samt tillståndet som intränger i det<br />
klassiskt förbjudna området.<br />
(b) Bekräfta att reflektionskoefficienten är lika med ett.<br />
(a) En partikel med energi E befinner sig mellan två identiska<br />
potentialbarriärer med höjd V B<br />
E och bredd a . Kan detta vara ett<br />
bundet tillstånd? Förklara!<br />
(b) Studera som ett exempel vad som händer för en elektron mellan två<br />
barriärer med bredd a 2L,<br />
L 1Å, där L är avståndet melllan<br />
barriärerna, och E V B<br />
/ 2, V 10 eV.<br />
B<br />
(T) I ett STM undersöks en metallyta antar vi att avståndet mellan spetsen<br />
och ytan kan beskrivas som en kvadratisk potentialbarriär som ligger 3eV<br />
ovanför de tunnl<strong>and</strong>e elektronernas energi. Om separationen är L 0.2 nm,<br />
hur mycket skulle tunnelsannolikheten och därmed tunnlingsströmmen<br />
ändras pga. en 0.001 nm ändring i barriärbredden? Beh<strong>and</strong>la barriären som<br />
en bred barriär.<br />
Ehrenfests teorem säger att kvantmekaniska väntevärden uppfyller<br />
klassiska rörelseekvationer, och visar därmed hur den klassiska mekaniken<br />
uppkommer.<br />
(a) Visa samb<strong>and</strong>et mellan väntevärdena för position och rörelsemängd:<br />
d x<br />
m p<br />
dt<br />
(b) Visa motsvarigheten till Newtons rörelselag:<br />
d p dV<br />
<br />
dt dx<br />
Anm: I kvantmekaniken gäller dessa samb<strong>and</strong> enbart för väntevärdena, inte<br />
för de ingående operatorerna.
Ex5:8<br />
Ex5:9<br />
Visa att för två Hermiteska operatorer  och Bˆ är<br />
<br />
ˆ<br />
<br />
A Bdx<br />
<br />
<br />
<br />
Visa med hjälp av detta att<br />
är reellt, och att<br />
är imaginärt.<br />
<br />
* ˆ<br />
* ˆ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
*<br />
<br />
<br />
*<br />
ˆ<br />
<br />
BAdx<br />
<br />
<br />
Aˆ<br />
Bˆ<br />
BA ˆ ˆ dx<br />
<br />
<br />
Aˆ<br />
Bˆ<br />
BA ˆ ˆ dx<br />
Fyll i de saknade stegen på föreläsningen i härledning av Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation. Låt ( x)<br />
(<br />
x)<br />
( x)<br />
, där ( x),<br />
(<br />
x),<br />
( x)<br />
är komplexa<br />
funktioner och är ett komplext tal. Eftersom<br />
så måste<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
( x)<br />
*<br />
dx<br />
<br />
2<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
dx 0<br />
*<br />
dx<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
2<br />
dx 0<br />
Eftersom denna olikhet gäller för alla värden på , så gäller den när ges<br />
av<br />
<br />
(a) Härled Schwarz olikhet<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
dx <br />
(b) Välj ( x)<br />
Aˆ<br />
,<br />
( x)<br />
Bˆ<br />
. Visa att<br />
(c) Visa att<br />
A<br />
2<br />
B<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
*<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
* ˆ ˆ<br />
B<br />
<br />
<br />
<br />
ˆ ˆ ˆ ˆ <br />
*<br />
<br />
AB BA<br />
<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
*<br />
dx<br />
ABdx<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
ˆ ˆ ˆ ˆ <br />
*<br />
<br />
AB BA<br />
<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
2
Kap. 6<br />
Ex6:1 (T) En ”klassisk” elektron rör sig i en cirkel med radie 1 mm och hastighet 10<br />
m/s.<br />
(a) Vad är värdet på banrörelsemängdsmomentkvanttalet l som ger ett<br />
kvantiserat banrörelsemängdsmoment som ligger nära det klassiska<br />
värdet?<br />
(b) Hur många disktreta värden på z komponenten är möjliga för detta<br />
banrörelsemängdsmoment?<br />
(c) Hur nära var<strong>and</strong>ra ligger dessa värden som en fraktion av<br />
banrörelsemängdsmomentet?<br />
Ex6:2 (T) Uppsplittringen av atomära energinivåer på grund av att atomen utsätts för<br />
ett pålagt magnetfält kallas Zeeman-effekt. Anta att magnetfältets styrka är<br />
B . Vad gäller fältets riktning så väljs alltid koordinatsystemet så att<br />
magnetfältet ligger längs z axeln. Orienteringsenergin hos en magnetisk<br />
dipol (dvs en liten magnet) är då Emag<br />
<br />
z<br />
B , där <br />
z<br />
är z komponenten hos<br />
det magnetiska momentet. Kvantmekaniskt ges dipolmomentets z<br />
komponent för elektronen, protonen, och neutronen av: g m ,<br />
79<br />
p<br />
2.<br />
N<br />
m<br />
j<br />
och <br />
n<br />
1. 95<br />
N<br />
m<br />
j<br />
, där L<strong>and</strong>és g-faktor är<br />
j(<br />
j 1)<br />
l(<br />
l 1)<br />
s(<br />
s 1)<br />
g 1<br />
2 j(<br />
j 1)<br />
samt Bohr-magnetonen och kärn-magnetonen ges av<br />
e<br />
24<br />
e<br />
27<br />
<br />
B<br />
9.274 10<br />
J/T <br />
N<br />
5.05 10<br />
J/T<br />
2me<br />
2m<br />
p<br />
För att bestämma dessa energier måste man bestämma de ingående<br />
kvanttalen j, m<br />
j<br />
. För protonen och neutronen är j 1/<br />
2, m<br />
j<br />
1/<br />
2 . För<br />
elektronen finns fler möjliga tillstånd. Banrörelsemängdsmomentets storlek<br />
och z komponent är L l( l 1)<br />
, Lz<br />
ml,<br />
ml<br />
l,<br />
l 1,...,<br />
l<br />
. Elektronspinnet,<br />
som är ett inre rörelsemängdsmoment och inte kommer från banrörelsen, är<br />
S s( s 1)<br />
,<br />
S z<br />
ms<br />
, där s 1/ 2 är spinnkvanttalet och m<br />
s<br />
1/ 2 . Dessa<br />
kan adderas för att få det totala rörelsemängdsmomentet<br />
J j( j 1)<br />
, J<br />
z<br />
m<br />
j,<br />
m<br />
j<br />
j,<br />
j 1,...,<br />
j . Det totala<br />
rörelsemängdsmomentkvanttalet kan anta flera värden:<br />
j l s, l s 1,...,<br />
l s . L<strong>and</strong>é faktorn för ett elektronspinn är g 2 och för<br />
elektronens banrörelse g 1. (Den extra faktorn 2 hos spinnet förklaras av<br />
Dirac-ekvationen, en relativistisk version av Schrödinger-ekvationen för<br />
elektroner, som studeras i avancerade kurser.) Studera grundtillståndet hos<br />
en väteatom i ett magnetfält på 0.5 T.<br />
e<br />
B<br />
j
(a) Om protonens magnetiska moment kan försummas, visa att<br />
grundtillståndsenergin splittras till två energinivåer. Bestäm<br />
energiskillnaden mellan nivåerna i eV.<br />
(b) Förklara att energinivåerna splittras upp ytterligare i två närligg<strong>and</strong>e<br />
energinivåer på grund av protonens magnetiska moment, om det externa<br />
fältet är tillräckligt stort. Bestäm storleken hos denna splittring i eV.<br />
Ex6:3 (T) Två partiklar med massa m är fastsatta på ändarna av en masslös stång<br />
med längd a . Systemet kan rotera fritt i tre dimensioner kring sitt<br />
masscentrum.<br />
(a) Ange ett uttryck för den klassiska kinetiska rotationsenergin, och visa att<br />
de kvantmekaniska energinivåerna för rotationen ges av<br />
2<br />
l(<br />
l 1)<br />
<br />
E l<br />
<br />
2<br />
ma med<br />
l 0,1,2,...<br />
(b) Vad är degenerationen hos den l te energinivån?<br />
(c) H 2 molekylen består av två protoner separerade med avståndet 0.075 nm.<br />
Vilken energi behövs för att excitera det första exciterade<br />
rotationstillståndet hos molekylen?<br />
2<br />
e<br />
Ex6:4 Studera en elektron i en Coulomb-potential V ( r)<br />
med vågfunktion<br />
4<br />
r<br />
r<br />
/ a<br />
( r)<br />
Ne Där a är en konstant.<br />
(a) Vad är elektronens banrörelsemängdsmoment?<br />
(b) Visa att väntevärdena av kinetiska och potentiella energin ges av<br />
2<br />
2<br />
<br />
e<br />
T och V <br />
2<br />
2mea<br />
4<br />
0a<br />
(c) Visa att väntevärdet av totala energin minimeras när a är lika med Bohrradien<br />
a<br />
0<br />
. Hitta detta minimivärde.<br />
r<br />
/ a0<br />
Ex6:5 Egenfunktionen till vätes grundtillstånd har formen <br />
1<br />
( r)<br />
N1e<br />
där a<br />
0<br />
är<br />
Bohr-radien, N<br />
1<br />
är en konstant och r är det radiella avståndet hos elektronen<br />
från kärnan.<br />
(a) Genom att normera integralen enligt<br />
<br />
<br />
0<br />
hitta värdet på konstanten<br />
N<br />
1 .<br />
Integralen<br />
2<br />
2<br />
<br />
1( r)<br />
4r<br />
dr 1<br />
<br />
<br />
0<br />
k<br />
ar<br />
k!<br />
dr <br />
a<br />
är användbar i detta och följ<strong>and</strong>e problem.<br />
(b) Givet att egenfunktionen till ett exciterat tillstånd har formen<br />
r<br />
e<br />
k 1<br />
0
2<br />
( r)<br />
N<br />
2<br />
(1 br)<br />
e<br />
r<br />
/ 2a0<br />
använd ortogonalitetsrelationen mellan <br />
1 och <br />
2 för att hitta värdet på<br />
konstanten b . Bestäm även normeringskonstanten<br />
N<br />
2 .<br />
(c) Plotta <br />
1 och <br />
2 .<br />
Ex6:6 (T) Genom att modifiera formlerna för väteatomen, skriv ner energinivåerna<br />
för en elektron med huvudkvanttalet n i en Coulomb-potential mellan en<br />
kärna med Z stycken protoner och kärnladdningen Ze och en elektron med<br />
laddning e ,<br />
2<br />
Ze<br />
V ( r)<br />
<br />
4<br />
0r<br />
(a) Vad blir joniseringsenergierna för en-elektronjonerna He <br />
2<br />
och Li ?<br />
(b) Försök förklara varför relativistiska korrektioner är viktigare för He <br />
och<br />
2<br />
Li än för väte.<br />
Ex6:7 Studera en elektron i tritium, som är en tung isotop av väte. Kärna har<br />
laddning e och bortsett från reducerade mass-effekter så har elektronen<br />
samma energinivåer och egenfunktioner som i vanligt väte. Tritiumkärnan är<br />
instabil och beta-sönderfaller varvid det bildas kärnor av 3 He. I en sådan<br />
process befinner sig plötsligt elektronen i en ny Coulomb-potential från en<br />
kärna med laddning 2 e . Anta att elektronen initialt är i tritiums grundtillstånd.<br />
Visa att sannolikheten att elektronen efter beta-sönderfallet är i<br />
<br />
grundtillståndet till He jonen är<br />
128 <br />
P <br />
6 <br />
a0<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
r<br />
2<br />
e<br />
2<br />
3r<br />
/ a<br />
<br />
0<br />
dr <br />
<br />
<br />
0.702
Ex6:8 Den radiella egenfunktionen<br />
R ( r)<br />
u(<br />
r)<br />
/ r<br />
med lägst energi hos en elektron<br />
med rörelsemängdsmoment L l( l 1) i en Coulomb-potential ges av<br />
n l 1 och<br />
l1<br />
r<br />
/( l1)<br />
a0<br />
u ( r Nr e<br />
n, l<br />
)<br />
där N är en konstant.<br />
(a) Visa att med normeringskravet<br />
så blir<br />
<br />
<br />
0<br />
R(<br />
r)<br />
2<br />
<br />
2<br />
r dr u(<br />
r)<br />
0<br />
2l3<br />
2<br />
dr 1<br />
2<br />
2 1<br />
N <br />
(<br />
l 1)<br />
a0<br />
(2l<br />
2)!<br />
(b) Visa att den mest sannolika radien hos tillståndet är<br />
2<br />
r ( l 1)<br />
a0<br />
(c) Visa att medelradien (dvs väntevärdet) i tillståndet är<br />
<br />
2 (2l<br />
3)( l 1)<br />
a0<br />
r r u(<br />
r)<br />
dr <br />
2<br />
0<br />
(d) Visa att medelvärdet av radien i kvadrat är<br />
2 2<br />
2 (2l<br />
4)(2l<br />
3)( l 1)<br />
a0<br />
r <br />
4<br />
(e) Visa att osäkerheten i radien r blir liten jämfört med r när l .<br />
(f) Visa att i gränsen l är den mest sannolika radien och medelvärdet av<br />
radien båda lika med den klassiska radien r c<br />
för en cirkulär bana hos en<br />
klassisk partikel med rörelsemängdsmomentet L . Den klassiska radien r c<br />
minimerar den effektiva potentiella energin<br />
2<br />
2<br />
L e<br />
( r)<br />
<br />
2<br />
2mr<br />
4<br />
r<br />
V eff 0
Kap 7: Atomer och spin<br />
Ex7:1 (T) Elektronspinnresonans (ESR) kan användas för identifiera atomer med<br />
oparade elektroner. När man lägger på ett magnetfält kan elektronerna pga<br />
spinn linjera sitt interna magnetiska moment med eller mot det elektriska<br />
fältet. Genom att absorbera en foton av rätt våglängd motsvar<strong>and</strong>e<br />
energiskillnaden mellan tillstånden kan elektronen gå från ett lägre till ett<br />
högre energitillstånd.<br />
a) Vilket magnetfält behövs om mikrovågor med frekvens 9.75 GHz sänds in<br />
mot provet för att elektronspinnet skall byta riktning (spin-flip)?<br />
b) Är elektronen urspungligen i spinn-upp eller spinn-ner tillståndet?<br />
Ex7:2 Betrakta en syreatom i grundtillståndet. Vilka värden på de olika kvanttalen<br />
har dess elektroner?<br />
Ex7:3 a) Härled ett uttryck för skalärprodukten L<br />
S<br />
<br />
uttryckt i kvanttalen j, l och s<br />
<br />
genom att utgå från . J L S<br />
b) Beräkna vinkeln mellan banrörelsemängdsmomentet och spinnet för<br />
<br />
tillstånden P 1/2 , P 3/2 och D 3/2 . Använd att L S | L || S | cos<br />
där θ är<br />
vinkeln mellan dem.<br />
Ex7:4 Tidigare tänkte man sig elektronen som en homogen roter<strong>and</strong>e laddad sfär<br />
(idag betraktas den som punktformig utan utbredning). Om elektronens radie<br />
är 310 -15 m ( 3 fm), beräkna ekvatorialhastigheten och jämför med<br />
ljushastigheten i vakuum.
Kap 8: Statistisk mekanik<br />
Ex8:1. (T)<br />
a) Beräkna förhåll<strong>and</strong>et mellan antalet väteatomer i första exciterade<br />
tillståndet och grundtillståndet vid rumstemperatur.<br />
b) Vilket är förhåll<strong>and</strong>et mellan antalet atomer i <strong>and</strong>ra exciterade tillståndet<br />
och grundtillståndet vid 100 000 K?<br />
Ex8:2. Ledningselektroner i en metall kan beh<strong>and</strong>las som en fermiongas. Koppar<br />
har en densitet av 8,9610 3 kg/m 3 och en ledningselektron per atom.<br />
a) Tillståndstätheten för ledningselektronerna ges av<br />
3 / 2<br />
dn 2me<br />
V 1/ 2<br />
D( E)<br />
E<br />
2 3<br />
dE 2<br />
Visa att fermienergi vid temperaturen T=0 ges av<br />
2 / 3<br />
2 2<br />
3 N <br />
EF<br />
<br />
där N/V är densiteten av ledningselektroner.<br />
me<br />
2<br />
2 V <br />
b) Beräkna fermienergin för ledningselektroner i koppar.<br />
c) Jämför fermienergin vid T=0 med termiska energin k B T vid<br />
rumstemperatur. Kan man förväntas kunna använda samma fermienergi<br />
vid rumstemperatur som vid T = 0 ?<br />
Ex8:3. Visa att Wiens förskjutningslag max T=hc/(4,965k B ) ges av Plancks<br />
strålningslag. (Exakt lösning är inte möjlig utan visa att värdet är tillräckligt<br />
nära).<br />
Ex8:4. Partiklar kan antas vara särskiljbara om avståndet mellan dem är mycket<br />
större än kvantosäkerheten i deras position (Heisenbergs obestämbarhet).<br />
3<br />
N <br />
a) Visa att detta villkor kan formuleras som <br />
1 för<br />
3 / 2<br />
V 8mk<br />
BT<br />
<br />
partiklar i termisk jämvikt vid temperatur T.<br />
b) Heliumatomer har spinn=0 och är bosoner. Är det tillräckligt att använda<br />
Maxwell-Boltzmannfördelningen för heliumgas vid normalt tryck och<br />
temperatur?<br />
c) Helium blir en vätska med densitet 0,145 g/cm 3 vid 4,2K och<br />
atmosfärstryck. Måste man då använda Bose-Einstein-fördelning?<br />
Ex8:5 (T) I ett skede av utvecklingen från Big-Bang var temperaturen 15000 K.<br />
Beräkna förhåll<strong>and</strong>et mellan väteatomer i det första exiterade tillståndet och<br />
grundtillståndet.
Ex8:6<br />
(T) Nobelpriset i fysik 2006 har tilldelats för studier av den kosmiska<br />
mikrovågsbakgrunden. Denna har sitt ursprung i det skede av big-bang där<br />
fotoner frikopplades från annan materia därför att fotonenergin inte längre<br />
var tillräcklig för att jonisera atomer och därför inte absorberades. Låt oss<br />
anta att denna fotonenergi motsvarar jonisationsenergin för grundtillståndet i<br />
väte, samt att den motsvarar den mest sannolika våglängden i<br />
strålningsspektrumet. Vilken temperatur på fotonstrålningen motsvarar<br />
denna energi?
KAP 9. Molekylfysik<br />
Ex9:1 (Ur Serway Moses <strong>and</strong> Moyer: Modern <strong>Physics</strong>) Ett alternativ till harmonisk<br />
växelverkan för att beskriva vibrationer i tvåatomiga molekyler är<br />
Morsepotentialen<br />
<br />
rR<br />
<br />
2 0<br />
U ( r)<br />
U<br />
0<br />
1<br />
e<br />
Parametrarna R 0 , U 0 och bestäms av anpassning till data.<br />
a) Visa att R 0 är jämviktsavståndet.<br />
b) Visa att potentialen på stort avstånd från jämviktstillståndet går mot U 0 .<br />
c) Visa att nära jämviktsavståndet (r ≈R 0 ) uppträder Morsepotentialen som<br />
potentialen för en harmonisk oscillator med K=m 2 =2U 0 2<br />
d) Det lägsta vibrationstillståndet för Morsepotentialen kan visas vara<br />
2<br />
1 <br />
E vib<br />
<br />
<br />
<br />
2 16U<br />
0<br />
Skapa ur detta ett uttryck för för molekylens dissociationsenergi.<br />
e) Använd resultaten ur c) och d) för att bestämma Morse-parametrarna U 0<br />
och för vätemolekylen. Använd de experimentella värdena 573 N/m<br />
respektive 4.52 eV för fjäderkonstanten och dissociationsenergin.<br />
(Uppmätt värde av R 0 för H 2 är 0,074 nm).<br />
Ex9:2 (T) Följ<strong>and</strong>e diagram visar spektrum för övergångar i HBr-molekyler. Beräkna<br />
kraftkonstanten för denna molekyl.<br />
Ex9:3. (T) I en spektroskopimätning på CO uppmättes tre linjer i mikrovågsområdet<br />
med våglängderna 2,58, 1,29 och 0.86 mm (inga <strong>and</strong>ra linjer däremellan).<br />
a) vilka övergångar motsvarar detta?<br />
b) Uppskatta bindningsavståndet i CO. (Tröghetsmomentet I CM = μR 0 2 där μ<br />
är reducerade massan. )
Ex9:4. (T) I en vätemolekyl H 2 byts ena väteatomen ut mot deuterium, dvs vi får<br />
molekylen HD. Eftersom elektronstrukturen är i det närmaste densamma kan<br />
man anta att bindningslängd och kraftkonstant inte ändras. Beräkna med vilka<br />
faktorer rotations- och vibrationsövergångar ändras.<br />
Ex9:5 (T) Figuren nedan ger en approximation till potentiella energien för H 2 + -<br />
molekylen som funktion av avståndet mellan protonerna. Beräkna med hjälp<br />
av figuren en grov uppskattning av energiskillnaden mellan de två lägsta<br />
vibrationstillstånden.<br />
(Tips: Kurvan kan mellan skärningspunkten med R-axeln vid R≈0.06 nm och<br />
R 0 ≈0.11 nm approximeras med en kurva av formen f (x) = A (x-R 0 ) 2 + B, där<br />
A och B är konstanter. Den reducerade massan μ ≈ 469,1 MeV/c 2 för H 2 + )<br />
Ex9:6<br />
(T) Fluorescens hos molekyler kan användas för att mäta förekomst och av<br />
vissa ämnen, t.ex. proteiner, genom att märka dessa med en<br />
fluorescer<strong>and</strong>e molekyl. Fluorescens innebär att man vid belysning med ljus<br />
av lämplig våglängd får en övergång till en högre elektronenerginivå och<br />
samtidigt en högre vibrationsnivå. Vibrationsnivån kommer att deexcitera<br />
genom växelverkningar med <strong>and</strong>ra molekyler (”värme” hos molekylen<br />
avges) till den lägsta nivån, varefter den exciterade elektronen återgår till<br />
grundnivån genom att utsända ljus med en längre våglängd, schematiskt<br />
indikerat i figuren (ur Serway, Moses & Moyer) nedan.<br />
T.ex. absorberar 6-Carboxyfluorescein ljus med våglängden 495 nm och<br />
emitterar ljus vid 520 nm. Om vi antar att förhåll<strong>and</strong>et mellan<br />
kraftkonstanten (fjäderkonstanten i N/m) och reducerade massan (kg) för
vibrationstillståndet är 3,32 10 28 s -2 , till vilket vibrationstillstånd<br />
(vibrationskvanttal) exciteras molekylen av det absorberade ljuset?<br />
Ex9:7<br />
(T) Raman-spridning kan användas för att identifiera föroreningar men även<br />
för att studera molekylinnehåll i damm på månen. Genom att bestråla med<br />
laser kommer man att kunna få spritt ljus som har karakteristiskt spektrum<br />
för olika molekyler. Låt oss som exempel tänka oss att vi studerar röken från<br />
en fabrik med hjälp av laserljus av våglängden 514,5 nm. Om vi antar att det<br />
spridda ljuset detekteras att ha våglängden 520 nm och att skillnaden bara<br />
beror på en övergång mellan l=2 och l=4, kan man beräkna<br />
tröghetsmomentet hos den molekyl som orsakar spridningen. Utför<br />
beräkningen och bestäm tröghetsmomentet för molekylen.
Kap 10. Fasta ämnen, halvledare<br />
Ex10:1 Silver har densiteten 10,510 3 kg/m 3 och resistiviteten 1,6010 -8 m (vid<br />
300K). Vi utgår från att varje silveratom bidrar med en ledningselektron<br />
samt att ledningselektronerna kan beskrivas som en Fermigas av fria<br />
elektroner med Fermienergin 5,48 eV,<br />
a) Beräkna medeltiden mellan kollisioner från resistiviteten.<br />
b) Beräkna fermihastigheten (E F =mv F 2 /2) och medelfria sträckan som en<br />
ledningselektron med denna hastighet färdas under tiden mellan<br />
kollisioner.<br />
c) Jämför medelfria sträckan med gitterkonstanten. Är det troligt att<br />
elektronerna kolliderar med varje atom?<br />
Ex10:2 (T) Silvers resistivitet är 1,6010 -8 m vid rumstemperatur, medan kisel har<br />
resistiviteten 10 m.<br />
a) Visa att skillnaden i resistivitet på storleksordningen när ges av<br />
b<strong>and</strong>gapet, 1,1 eV, för kisel.<br />
b) Beräkna förväntad resistivitet för germanium (0,7 eV b<strong>and</strong>gap) vid<br />
rumstemperatur.<br />
Ex10:3 Kisel har b<strong>and</strong>gapet 1,1 eV. Vilken är den längsta våglängd av ljus som<br />
skulle överföra en valenselektron till ledningsb<strong>and</strong>et?
Kap 11. Kärnfysik<br />
Ex11:1 Två kärnor med samma antal nukleoner (masstal) men olika antal protoner<br />
kallas isobarer. Spegelisobarer betecknar kärnor där dessutom antalet<br />
23<br />
23<br />
protoner och neutroner har bytts mellan kärnorna, t.ex.<br />
11<br />
Na och<br />
12<br />
Mg .<br />
Beräkna bindningsenergin per nukleon för dessa. Hur förklararas skillnaden?<br />
64<br />
64<br />
Ex11:2 (T) Beräkna bindningsenergin per nukleon för<br />
29<br />
Cu och<br />
30<br />
Zn med hjälp av<br />
vätskedroppsmodellen där parametrarna är (MeV) C 1 =15,8 C 2 =17,8 C 3 =0,71<br />
och C 4 =23,7. Jämför med de bindningsenergier som får ur massformeln.<br />
Ex11:3 (T) Den förre KGB-agenten Alex<strong>and</strong>er Litvinenko avled i slutet av 2006. Man<br />
antar att han har förgiftats med polonium-210. I Wikipedia kan man läsa<br />
följ<strong>and</strong>e om 210 Po:<br />
“Polonium-210 is an alpha emitter that has a half-life of 138.376 days. A milligram of 210 Po emits as<br />
many alpha particles as 5 grams of radium. A great deal of energy is released by its decay with half a<br />
gram quickly reaching a temperature above 750 K. A few curies (1 curie equals 37 gigabecquerels) of<br />
210 Po emit a blue glow which is caused by excitation of surrounding air. A single gram of 210 Po<br />
generates 140 watts of power. [9] Because it emits many alpha particles, which are stopped within a very<br />
short distance in dense media <strong>and</strong> release their energy, 210 Po has been used as a lightweight heat source<br />
to power thermoelectric cells in artificial satellites”<br />
Ur samma web-sida får man veta att Q-värdet för alfa-sönderfall av 210 Po är<br />
5,407 MeV och att dosekvivalent över ca 4 Sv ger 50% dödlighet. Beräkna hur<br />
stor mängd (hur många gram) av 210 Po som man behöver förtära för att få denna<br />
dödliga dos under förutsättning av att den relativa biologiska faktorn är 10, dvs<br />
att den absorberade dosen är 0,4 Gy, samt att dosen erhålls under 1 dygn.<br />
Ex11:4 (T) Hollywood verkar ibl<strong>and</strong> fascineras av fysik. I en film planerar skurken<br />
att spränga en bomb med radioaktivt material inuti Fort Knox för att ”smutsa<br />
ner” guldreserven så att den skulle bli oåtkomlig för viss tid. Konversationen<br />
mellan skurk och hjälte lyder:<br />
Skurken: ”The bomb is particularly dirty”.<br />
Hjälten: ”Cobalt <strong>and</strong> iodine?”<br />
Skurken: ”Yes”<br />
Hjälten: ”But, …. , then the gold will be radioctive for 57 years”.<br />
Skurken: “58 to be exact”.<br />
”Exakt” stämmer inte så bra med verkligheten, men är det ungefär den tid<br />
som man bör avstå från att gå in i guldvalvet? Gör en överslagsberäkning<br />
av bombens skadeverkningar genom att beräkna när stråldosen i valvet inte<br />
överstiger 50 mGy/timme (Gy = J/kg) för en normalstor person, givet att<br />
bomben innehöll 10 kg 60 Co och 10 kg 131 I. För att förenkla betraktar vi bara<br />
de dominer<strong>and</strong>e sönderfallskanalerna, samt att vi antar att en blydräkt<br />
stoppar elektroner från att penetrera. 131 I, med halveringstid 8,04 dagar, ger<br />
i de flesta fall en röntgenfoton med energin 365 keV. 60 Co vars halveringstid
är 1925 dagar, ger två gamma med energier 1173 respektive 1332 keV.<br />
Den 1 mm tjocka blydräkten antas förenklat ha absorptionskoefficienten 1,0<br />
respektive 0,5 cm -1 för fotonerna från 131 I respektive 60 Co.<br />
Ex11:5 (T) Vid en mätning av radioaktivitet av ett prov efter aktivering erhölls<br />
mätserien nedan.<br />
a) Hur många olika nukleider består provet minst av?<br />
b) Beräkna dessas halveringstider.<br />
c) Hur många kärnor av dessa nukleider fanns vid tiden t = 0?<br />
Tid (s) Antal<br />
ln (sönderfall/s)<br />
sönde<br />
rfall<br />
per s<br />
0 42065 10.647<br />
5 21262 9.9645<br />
10 10851 9.2920<br />
20 3023 8.0139<br />
30 1044 6.9511<br />
40 530.3 6.2734<br />
50 383.7 5.9500<br />
60 330.2 5.8000<br />
80 279.3 5.6322<br />
100 242.6 5.4915<br />
120 211.2 5.3528<br />
140 183.9 5.2142<br />
160 160.1 5.0756<br />
180 139.3 4.9370<br />
200 121.3 4.7983<br />
Ex11:6 (T) För att stoppa en kärnreaktor förs stavar av t.ex. bor-10 eller kadmium-<br />
113 med stort tvärsnitt för infångning av neutroner. Hur stor tjocklek av bor<br />
behövs för att stoppa 99% av neutronerna under antag<strong>and</strong>e att tvärsnittet är<br />
3835 barn, att bors densitet är 2460 kg/m 3 , att naturligt bor innehåller 20%<br />
bor-10 och att bor-11 inte bidrar?
Ex11:7 (T) Kärnkraftverk bygger att 235 U infångar en termisk neutron och sönderfaller<br />
därefter till två lättare kärnor samt i medeltal 2 neutroner. I Forsmark är<br />
nettoeffekten av de tre reaktorerna vardera ca 1 GW. Anta en verkningsgrad<br />
av 30% och utnyttja nedanstående figurer (ur Serway Moses och Moyer:<br />
Modern <strong>Physics</strong>) för att uppskatta antalet 235 U+n som fissionerar per sekund i<br />
en Forsmark-reaktor.<br />
Fördelning av söndefallsprodukter från 236 U *<br />
Ex11:8 (T) I samb<strong>and</strong> med terroristbekämpning vill man kunna avgöra om bagage<br />
eller containrar innehåller sprängämnen. Detta kan göras genom att söka<br />
efter ämnen med viss kombination av kol, syre och kväve. Ett sätt som<br />
studeras är att sända en neutronstråle med 14 MeV kinetisk energi mot den<br />
behållare som skall undersökas. Kärnor i de undersökta materialen kommer<br />
att absorbera neutroner varvid exciterade tillstånd bildas som sedan återgår<br />
till grundtillstånd genom att en och en neutron utsänds. Med hjälp av att -<br />
spektrum, som skiljer sig åt för olika substanser, kan därefter sprängämnen<br />
identifieras.<br />
Hur stor intensitet av 14 MeV neutroner, dvs antal neutroner per tids- och<br />
ytenhet, behövs för att kunna detektera minst 100 per s hos en kubisk låda<br />
med sidan 1 dm då detektionseffektiviteten är 30% (bl.a. pga begränsad<br />
rymdvinkel) och tvärsnittet för att en neutron ger ett exciterat kärntillstånd är<br />
i medel 0,4 b för de ingående atomerna?<br />
Densiteten hos det undersöka ämnet antas vara 1,5 kg/dm 3 och molvikten<br />
kan beräknas som medelvärdet av molvikten för kol, syre och kväve dvs<br />
14,04 g/mol.
Kapitel 12: Bl<strong>and</strong>ade exempel av tentakaraktär. Bl<strong>and</strong>ningen är inte<br />
representativ för en normal tenta utan består av en del ”överblivna” exempel<br />
från äldre kurser att träna på. Det finns en klar slagsida mot exempel<br />
motsvar<strong>and</strong>e vissa kapitel i kursboken, medan en normal tenta har jämn<br />
fördelning över hela kursinnehållet.<br />
Ex12:1 (T) Rymdfarkoster skulle i princip kunna drivas mha solsegel. Även om det<br />
inte är realistiskt att tro att de duger vid mycket höga hastigheter kan vi<br />
studera hur effektivt det vore vid hastigheter nära ljusets. Tanken är att<br />
utnyttja fotonens rörelsemängdsöverföring mot ”spegelyta”. Spegelytan får<br />
approximeras som ideal (100% reflektion) riktad vinkelrätt mot ljuset.<br />
Beräkna överförd rörelsemängd per foton för ljus vid λ = 450 nm för de två<br />
fallen att vår rymdfarkost rör sig med v = 0,1 c respektive v = 0.9 c bort från<br />
stjärnan vars ljus skall driva den. (Tips: för att vara helt korrekt, tänk på att<br />
rörelsemängden bevaras även i spegelytan).<br />
Ex12:2 (T) För att kunna öka tillgänglig kollisionsenergi i partikelfysikexperiment i<br />
cirkulära acceleratorer studeras möjligheten att använda myoner i stället för<br />
elektroner. Ett problem är dock att myonerna sönderfaller. Myonens<br />
livslängd i vila är τ = 2,2 μs. I en tänkt accelerator, accelereras μ - till en<br />
energi av 1 TeV (= 1000 GeV). Efter hur lång tid har antalet myoner i strålen<br />
minskat med en faktor 4 pga sönderfall?<br />
Ex12:3 (T) . I PEP-II, B-factory, vid Stanfords Linear Accelerator Center (SLAC),<br />
kollideras elektroner med en kinetisk energi av 9 GeV med en motriktad<br />
positronstråle med 3,1 GeV kinetisk energi. Elektroner och positroner<br />
kommer att annihilera och nya partiklar kan skapas. Fördelen med<br />
asymmetrisk energi hos strålarna är att nya partiklar har högre hastighet i<br />
laboratoriet så att sönderfallet sker längre bort från kollisionspunkten. Bl.a.<br />
kan hadroner med b-kvarkar lättare identifieras.<br />
a) Beräkna maximal massa hos en ny partikel som kan skapas vid dessa<br />
e + e –kollisioner. (2p)<br />
b) ) Om vi antar att för en skapad B 0 -meson (består av d och anti-b kvark)<br />
gäller att =0.556, där är hastigheten i förhåll<strong>and</strong>e till<br />
ljushastigheten i vakuum och är Lorentz-faktorn, och vi vet att dess<br />
medellivstid är 1,5360.014 10 -12 s, beräkna medelsträckan den färdas i<br />
laboratoriet innan den sönderfaller. (3p)<br />
Ex12:4 (T) I en doktorsavh<strong>and</strong>ling som försvaras i morgon diskuteras en ny<br />
detektor tänkt att användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna<br />
detektor mäts -fotoner som passerat patienten från bestrålningen. I en av<br />
de studerade detektoruppställningarna uppskattades att det krävdes 8 mm<br />
av wolfram innan hälften av inkomm<strong>and</strong>e fotoner med 18 MeV energi har<br />
växelverkat.<br />
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 10 3 kg/m 3 .
a) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram. (3p)<br />
b) Detektorn består av ett antal 0.5 mm tjocka wolframplattor. Hut många<br />
plattor behövs för att 80% av de inkomm<strong>and</strong>e fotonerna skall ha<br />
växelverkat? (2p)<br />
Ex12:5 (T) I ett medium med brytningsindex n >1 är ljushastigheten c/n lägre än i<br />
vakuum. En partikel med hastighet v > c/n kan då i mediet orsaka<br />
utsänd<strong>and</strong>e av s.k. Cherenkovljus, ett fenomen som kan liknas bogvågor från<br />
en båt eller ett flygplan som färdas snabbare är ljudet. Ljusets sänds ut i<br />
1<br />
framåtriktningen med en vinkel som ges av cos<br />
där v / c .<br />
n<br />
I ett partikelfysikexperiment mätte man rörelsemängden för en partikel till<br />
8.20 GeV/c samtidigt som man fick Cherenkovljus med vinkeln =5° (cos <br />
=0.996) för en gasvolym med trycket anpassat så att brytningsindex n var<br />
1.0041. Beräkna partikelns massa.<br />
Ex12:6 (T) Följ<strong>and</strong>e diagram är en skiss av spektrum för övergångar i HBrmolekyler.<br />
a. Ange vibrations och rotationskvanttal för de olika linjerna<br />
b. Förklara varför det fattas en linje mitt i diagrammet<br />
c. Uppskatta med värden ur figuren bindningsavståndet.<br />
Ex12:7 En radiosändare med effekten 50 kW sänder på frekvensen 1 MHz. Vad är<br />
energin för varje utstrålat kvantum? Hur många kvanta utstrålas per period?<br />
Ex12:8 Vad är de Broglie-våglängden för en elektron som accelererats genom en<br />
potentialdifferens på 100 V?
Ex12:9 En partikel med massa m och energi E infaller från x 0 mot ett<br />
potentialsteg i x 0 som ges av<br />
0, x 0<br />
V ( x)<br />
<br />
V 0<br />
0, x 0<br />
Bestäm lösningen till tidsoberoende Schrödingerekvationen i fallet E V0<br />
.<br />
Ex12:10 Bestäm väntevärdena p och<br />
grundtillståndet<br />
<br />
1 2 2<br />
x<br />
/ 2a<br />
a<br />
e<br />
<br />
2<br />
p för en harmonisk oscillator i<br />
, a <br />
<br />
m<br />
Integrationshjälp:<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
e<br />
2<br />
ax<br />
dx <br />
2<br />
<br />
a<br />
3<br />
Ex12:11 Beräkna för den endimensionella harmoniska oscillatorn i grundtillståndet<br />
(a) medelvärdet av potentiell och kinetisk energi.<br />
(b) osäkerhetsprodukten ∆x∆p.<br />
Ex12:12 Visa att en lösning till Schrödinger-ekvationen för en fri partikel i tre<br />
dimensioner<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
E<br />
2 2 2<br />
2m<br />
x<br />
y<br />
z<br />
<br />
kan skrivas<br />
ik r<br />
( x,<br />
y,<br />
z)<br />
Ae<br />
Vad är samb<strong>and</strong>et mellan k k , k , k ) och energin E ?<br />
(<br />
x y z<br />
Ex12:13 Beräkna sannolikheten att hitta en elektron i grundtillståndet för väte på<br />
större avstånd från kärnan än Bohrradien.<br />
Grundtillståndet för väte:<br />
2 r<br />
/ a 1<br />
0<br />
( r,<br />
,<br />
)<br />
e<br />
3<br />
a 4<br />
0<br />
Ex12:14 Hur stor energi krävs för att jonisera en väteatom i n 3 -tillståndet?<br />
Ex12:15 Bestäm väntevärdena av kinetisk och potentiell energi för en väteatom i 2stillståndet,<br />
dvs n 2,<br />
l 0 .
Väteatomens 2s-tillstånd:<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
)<br />
,<br />
,<br />
( 0<br />
2<br />
/<br />
0<br />
3<br />
0<br />
200<br />
a<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Integrationshjälp: <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
1<br />
!<br />
k<br />
ar<br />
k<br />
a<br />
k<br />
dr<br />
e<br />
r
Kapitel 13 Exempeltenta<br />
Exempel-Tentamen i Modern Fysik, 5A1247,<br />
Hjälpmedel: 2 A4-sidor med egna anteckningar, Beta och fickkalkylator samt institutionens<br />
tabellblad utdelat under tentamen.<br />
Examinator: Bengt Lund-Jensen och Mats Wallin<br />
Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter<br />
tillkommer. För godkänt krävs preliminärt 16 p.<br />
1. I ett tabellverk kan man läsa att cτ = 491 μm för en B + -meson, där c är ljushastigheten i<br />
vakuum och τ är medellivslängden i partikelns vilosystem. Samtidigt finner man i<br />
beskrivningen från ett experiment att medelsträckan en B + -meson färdas innan den<br />
sönderfaller är 3 mm. Vilken rörelsemängd måste B + -mesonen ha i experimentet? (Bmesonens<br />
massa är 5279,00,5 MeV/c 2 ) (5p)<br />
2. En elektron med försumbar energi binds med en heliumkärna He 2 .<br />
Vilken våglängd har den emitterade fotonen? (5p)<br />
3. I en doktorsavh<strong>and</strong>ling som försvarades våren 2006 diskuteras en ny detektor tänkt att<br />
användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna detektor mäts -fotoner som passerat<br />
patienten från bestrålningen. I en av de studerade detektoruppställningarna uppskattades<br />
att det krävdes 8 mm av wolfram innan hälften av inkomm<strong>and</strong>e fotoner med 18 MeV<br />
energi har växelverkat.<br />
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 10 3 kg/m 3 .<br />
a) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram. (3p)<br />
b) Detektorn består av ett antal 0,5 mm tjocka wolframplattor. Hut många plattor behövs<br />
för att 80% av de inkomm<strong>and</strong>e fotonerna skall ha växelverkat? (2p)<br />
4. Krafterna mellan atomerna i en HCl-molekyl kan approximativt representeras av en<br />
fjäder med fjäderkonstanten 516 N/m. Detta innebär att atomerna kommer att utföra en<br />
harmonisk svängningsrörelse i förhåll<strong>and</strong>e till var<strong>and</strong>ra. Beräkna den lägsta och den näst<br />
lägsta energinivån för denna rörelse. (5p)<br />
5. Hur mycket förväntas ledningsförmågan i en halvledare med b<strong>and</strong>gapet 1 eV öka om<br />
temperaturen ökar från rumstemperatur, 300K, med 5 K till 305K? (5p)<br />
6. I atomärt väte finns en uppsplittering i energinivå pga upplinjering mellan protonens och<br />
elektronens spinn. Övergången resulterar i utsändade av radiovåg med 21 cm våglängd.<br />
Övergången är ”förbjuden” vilket gör att den är sällsynt, samt att det exiterade tillståndet<br />
är långlivat med livstid xxxx. I galaxer finns dock tillräckligt många vätaatomer för att<br />
vågor från denna övergång skall kunna observeras på jorden.<br />
a) Antag att medellivslängden motsvarar en tidsosäkerhet för tillståndet. Bestäm<br />
osäkerheten i energiskillnaden vid mätning av övergången. (1p).
) Vilken fotonenergi observeras om vågorna sänds ut från en galax med<br />
hastigheten 0,6c jämfört med jorden? (4p)<br />
7. En partikel med massa m rör sig i en endimensionell lådpotential som ges av<br />
<br />
x 0<br />
<br />
V (x) 0<br />
0 x a<br />
<br />
<br />
a x<br />
Vid tiden t 0 har vågfunktionen formen<br />
2 x<br />
4 3x<br />
<br />
sin<br />
sin<br />
<br />
3a<br />
a 3a<br />
a <br />
Bestäm (a) vågfunktionen och (b) väntevärdet av energin vid en senare tidpunkt t .<br />
8. Amplituden av protonens och neutronens magnetiska moment är uppmätta till 2,42μ n<br />
8<br />
respektive -1,66μ n , där kärnmagnetonen μ n ≈ 3,152 10 eV/T . I sk.k. ”magnetröntgen”<br />
(egentligen MRI, Magnetic Resonace Imaging) lägger man på ett fast magnetfält och ett<br />
osciller<strong>and</strong>e. Vid rätt frekvens, motsvar<strong>and</strong>e energiskillnaden mellan tillstånden, kan en<br />
väteatoms kärnspinn ändra upplinjering i förhåll<strong>and</strong>e till magnetfältet vilket i sin tur kan<br />
detekteras. Vilken frekvens måste det osciller<strong>and</strong>e magnetfältet vid resonas ha om det fasta<br />
magnetfältet är 1T? (5p)
Lösningsförslag.<br />
Ex1:1.<br />
a) Tiden (enligt vad vi observerar i labbet) som det tar myonerna att färdas 10<br />
4<br />
10km<br />
1,0 10<br />
m<br />
5<br />
km med en hastighet av 0.98 c är t <br />
3,4 10<br />
s .<br />
8<br />
c 0,98<br />
310<br />
m/s<br />
Enligt tidsdilatationen observerar vi att myonen har livstiden labb = där<br />
Lorentzfaktorn <br />
1<br />
<br />
1<br />
5, 025 Andelen som når jordytan<br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
1<br />
0,98<br />
N t / 34 /(5,0252,2)<br />
blir då e e 0,046 4,6%<br />
N<br />
0<br />
N t / 34 /(2,2)<br />
7<br />
b) Klassiskt: e e 1,9 10<br />
N<br />
0<br />
(Nästan inga jämfört med relativistiska fallet)<br />
Syfte med problemet: genomföra relativistisk beräkning och illustrera<br />
tidsdillatation i förhåll<strong>and</strong>e till klassisk beräkning<br />
Ex1:2.<br />
a) Våglängden ökar, ”rödförskjutning”, då källan rör sig bort från observatören.<br />
b) För doppler-skiftet gäller:<br />
<br />
<br />
2 <br />
1<br />
v / c 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
v / c 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
supernovan rör sig med hastigheten 0,70c<br />
2<br />
2<br />
1<br />
5,7411<br />
0,703 dvs<br />
5,7411<br />
1<br />
c) Med =0,70 fås dopplerskift för ett objekt som närmar sig till<br />
1<br />
v / c 1<br />
0,703<br />
656,5 656,5<br />
656,6 nm 274nm<br />
( alt.<br />
274nm)<br />
1<br />
v / c 1<br />
0,703<br />
1573<br />
d) Rörelse vinkelrätt mot observatör. Jordradien är ca 40000 km/2π6400 km.<br />
Christer antas befinna sig i en cirkulär bana med radie 6800 km. Hans<br />
hastighet är då 2π6,810 6 m/(9060s)7,9110 3 m/s.<br />
Detta ger<br />
gammafaktorn: <br />
1<br />
<br />
1<br />
10<br />
110<br />
. Ej<br />
2<br />
1<br />
<br />
5<br />
2<br />
1<br />
(2.6 10<br />
)<br />
mätbar rödförskjutning.
Ex1:3.<br />
0<br />
Energi och rörelsemängd bevaras. Detta gör att om vi beräknar i K S<br />
vilosystem, kommer + och - , pga att de har samma massa, dela lika på<br />
den tillgängliga energin i sönderfallet. Deras kinetiska energi blir då<br />
vardera: E k = m 0 K c 2 /2 - m + c 2 <br />
497.6/2 – 139.6 MeV = 109.2 MeV.<br />
I K 0 S vilosystem blir då + totala energi E=497.2/2 MeV = m + c 2 där<br />
1<br />
<br />
Ur detta kan nu hastigheten v beräknas:<br />
2<br />
1<br />
( v / c)<br />
2<br />
1 2139.6<br />
<br />
v c 1<br />
c 1<br />
0. 828c<br />
2<br />
<br />
497.2 <br />
Hastigheten för + i labbet beräknas på motsvar<strong>and</strong>e sätt där + totala<br />
energi i labbet nu blir E=2000 + 139.6 MeV = labb m + c 2 vilket ger<br />
2<br />
1 139.6 <br />
v labb<br />
c 1<br />
c 1<br />
0. 9979c<br />
2<br />
<br />
2139.6 <br />
Ur Lorentz-transformation av hastigheterna fås nu K 0 S hastighet. Välj<br />
system så att vi jämför labbet med + . I + system har K 0 S hastigheten riktad<br />
”mot” labb-observarören.<br />
Vi får då K 0 S hastighet<br />
<br />
u<br />
x<br />
v<br />
labb 0.828c<br />
0.997c<br />
u<br />
x<br />
<br />
<br />
0.9779c<br />
0. 978c<br />
<br />
2<br />
1<br />
( u v / c ) 1<br />
<br />
0.8280.997<br />
x<br />
labb<br />
Ex1:4<br />
Ex1:5<br />
Massa för protonen och antiprotonen är 938,3 MeV/c 2 medan kaonerna har<br />
massan 494 MeV/c 2 . Energins och rörelsemängdens bevar<strong>and</strong>e ger då att<br />
kaonerna delar lika på den tillgängliga kinetiska energin och får då vardera<br />
totala energin 938,3 MeV. Lorentzfaktorn γ blir då (E = γ mc 2 ) 938,3/494 ≈<br />
1,90<br />
2<br />
γ 1<br />
Detta ger att kaonernas hastighet är v c ≈ 0,850 c.<br />
2<br />
γ<br />
Med medellivstiden i labbet (korrigeras för tidsdillatationen) τ labb = γτ färdas<br />
då kaonerna i medel sträckan τ labb v = γτ v ≈ 1,90 · 1,2·10 -8 · 0,85 · 2,998 ·<br />
10 8 m ≈ 5,8 m<br />
Viloenergin hos μ - (m μ c 2 ) övergår till kinetisk energi hos elektronen och<br />
neutrinerna samt till elektronens vilomassa. Om vilomassorna bortses ifrån,<br />
kan elektronens kinetiska energi vara högst hälften av myonens viloenergi
eftersom rörelsemängden skall bevaras. Detta ger att elektronens totala<br />
energi är<br />
E e = ½ m μ c 2 + m e c 2 = γ m e c 2 vilket ger γ = m μ /(2m e ) + 1 104,3 ur vilket<br />
2<br />
1<br />
hastigheten ges av 0, 99995<br />
2<br />
<br />
1 1<br />
EX1:6 Den hastighet för vilken vi får =30° är 0, 868<br />
n cos<br />
3<br />
1,33<br />
2<br />
1 1<br />
Vilket ger en Lorentzfaktor <br />
2, 01<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0,868<br />
Totala energin för protonen är E= γmc 2 varav mc 2 är viloenergin.<br />
Kinetisk energi är då E kin = (γ -1)mc 2 (2,01-1) 938,3 MeV 948 MeV<br />
EX1:7<br />
I masscentrumsystemet måste tillräcklig energi finnas för att en proton och<br />
en antiproton skall kunna bildas. Minsta energi i masscentrumsystemet är<br />
då: E = 4m p c 2<br />
I alla system i likformig rörelse relativt var<strong>and</strong>ra gäller att<br />
2 2 2<br />
<br />
Ei<br />
<br />
pi<br />
c konst.<br />
dvs invariant (jmfr vilomassa).<br />
I labbsystemet<br />
I flyt<strong>and</strong>e vätet: E target =m p c 2 där m p är protonmassan, rörelsemängd = 0<br />
Inkommade ståles protonenergi: E beam , rörelsemängd = p beam .<br />
Vi får då att<br />
( E E<br />
m<br />
m<br />
2<br />
p<br />
2<br />
p<br />
2m<br />
target<br />
c<br />
c<br />
2<br />
p<br />
4<br />
4<br />
c<br />
E<br />
E<br />
4<br />
beam<br />
)<br />
2<br />
beam<br />
2<br />
beam<br />
2<br />
p<br />
2<br />
2m c E<br />
p<br />
E<br />
p<br />
2<br />
beam<br />
2<br />
2m c E<br />
p<br />
2<br />
beam<br />
<br />
beam<br />
<br />
beam<br />
c<br />
2<br />
16m<br />
7m c<br />
(4m c<br />
beam<br />
2<br />
p<br />
2<br />
p<br />
c<br />
4<br />
2<br />
)<br />
2<br />
2<br />
beam<br />
2<br />
2m c E<br />
p<br />
p<br />
p<br />
c<br />
2<br />
beam<br />
<br />
<br />
Kinetisk energi för strålpartikeln är: E kin =E beam -m p c 2 = 6 m p c 2
EX2:1<br />
Energin bevaras Inkomm<strong>and</strong>e fotonens energi E = 0,8 + 2,88 MeV ≈ 3,68<br />
MeV.<br />
Ex2:2<br />
Våglängd: λ = hc/E Vinkeln fås ur: (1-cosθ)h/m e c = hc/E spridd – hc/E<br />
cos θ = 1 + (1/E – 1/E spridd )m e c 2 = 1 + (1/3,68 – 1/0,8)·0,511 ≈ 1-0,5 = 0,5<br />
θ ≈ 60º dvs fotonen infaller med vinkeln 20º mod lodlinjen (riktat med den<br />
spridda fotonen i samma plan som denna och rekylelektronen)<br />
a) Visas genom att både energi och röreslemängd skall bevaras. För en<br />
foton gäller att E=pc, medan för elektronen gäller E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 . Del av<br />
energin går åt till elektronen och positronens massa vilket gör att inte både<br />
energi och rörelsemängd samtidigt kan bevaras. Ett sätt att se detta är genom<br />
att fysiken är densamma i olika koordinatsystem i likformig rörelse jämfört<br />
med var<strong>and</strong>ra. Vi kan därför transformera oss till ett system där, om<br />
parbildningen skedde enbart med en foton utan närvaro av atom, energin inte<br />
skulle räcka till för att bilda ett elektron-positron-par. I nävaro av kärna<br />
uppstår en ”kollision” där rörelsemängd och i viss mån energi överförs till<br />
kärnan. Om tillräcklig energi finns i kärnans volisystem, kommer tillräcklig<br />
energi (och rörelsemängd) också finnas i alla <strong>and</strong>ra koordinatsystem i<br />
likformig rörelse eftersom kärnan då har kinetisk energi.<br />
b) Fotonens energi fördelas lika på elektron och positron. För dessa gäller då<br />
eftersom energin bevaras att MeV<br />
2 50<br />
2<br />
Ee<br />
E <br />
. Ur E p<br />
e<br />
kan då rörelsemängden för elektronen och positronen beräknas:<br />
1 2<br />
2<br />
E <br />
2<br />
c<br />
2<br />
m<br />
2 4<br />
2<br />
p E m c 50 0,511 MeV / c 49,9974MeV / c<br />
e e<br />
c<br />
Fotonens rörelsemängd ges ur p = E/c = 100 MeV/c. Skillnad i rörelsemängd<br />
blir då: p<br />
p p p 100 2 49,9974 5,22KeV / c vilken upptas av<br />
e e<br />
syreatomen.<br />
Med massan för en syreatom<br />
2<br />
2<br />
15,9994u<br />
931.494MeV/(uc<br />
) 14,903GeV / c får vi en icke-relativistisk<br />
M O<br />
2<br />
p 5,22keV / c<br />
4<br />
kinetisk energi Ekin O<br />
<br />
9,1 10<br />
eV vilket är 13<br />
2<br />
2M<br />
o 2 14,903GeV / c<br />
storleksordningar mindre än inkomm<strong>and</strong>e fotonens energi och därmed<br />
försumbar.<br />
2<br />
2<br />
c<br />
4<br />
Ex2:3 E Kmax = hf – Φ ger h = (E Kmax2 –E Kmax1 )/(f 2 -f 1 ) ≈ 4,1·10 -15 eVs<br />
Φ = ½ (hf 2 –E Kmax2 +hf 1 -E Kmax1 ) ≈ 3,0 eV
Ex2:4 Maximal energiöverföring fås när den spridda fotonen är riktat mot den<br />
inkomm<strong>and</strong>e, dvs då spridningvinkeln vinkeln = . Då gäller att den spridda<br />
2h<br />
fotonens våglängd är ' 0 <br />
m c<br />
e<br />
Överförd energi, dvs elektronens kinetiska energi, är<br />
2<br />
hc hc hc hc mec0<br />
2h<br />
mec0<br />
2h<br />
c<br />
hf hf<br />
hc<br />
<br />
E<br />
h<br />
<br />
mec<br />
h<br />
<br />
0<br />
´' <br />
<br />
2<br />
0<br />
'<br />
0<br />
( 2 ) ( mec<br />
2h)<br />
<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
m c<br />
e<br />
e<br />
Detta stuvas om:<br />
<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2h<br />
2h<br />
c<br />
0<br />
<br />
2<br />
m c m c E<br />
e<br />
e<br />
e<br />
hc<br />
0 0<br />
<br />
m c<br />
e<br />
2<br />
<br />
h<br />
m<br />
2<br />
c<br />
2<br />
e<br />
2<br />
c<br />
4<br />
2 2<br />
2h<br />
c<br />
<br />
2<br />
m c E<br />
e<br />
e<br />
<br />
1240eV<br />
nm<br />
<br />
<br />
511keV<br />
1.240<br />
<br />
nm<br />
511 <br />
2<br />
2<br />
2 1.240<br />
<br />
<br />
nm<br />
511 170<br />
<br />
<br />
2<br />
0.0643nm<br />
Ex2:5 Ekvationenerna för de två fallen är:<br />
2<br />
2<br />
mv1<br />
mv2<br />
hf1<br />
och hf<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
hf1<br />
<br />
v1<br />
Förhåll<strong>and</strong>et mellan dem blir: 4<br />
2<br />
hf<br />
2<br />
<br />
v2<br />
Stuva om termerna och använd att f c<br />
<br />
hc 1 1 <br />
<br />
1,9 eV<br />
3 <br />
<br />
2<br />
1
Ex3:1 a) För röntgendiffraktion mellan olika kristallplan gäller att konstruktiv<br />
interferens erhålls då n 2d<br />
sin,<br />
n 1,2,3 ,... där d är avståndet mellan<br />
kristallplanen, och är vinkeln mellan infall<strong>and</strong>e stråle och kristallen yta.<br />
(Vi antar att ytan är ett kristallplan).<br />
0,28nm<br />
Vi får då för 1:a maximat: d 0,28nm<br />
<br />
2sin<br />
2sin 30<br />
Densiteten för NaCl: Vi antar att NaCl har sådan struktur att en volym d 3<br />
upptas av antingen en Na-jon eller en Cl-jon. I medeltal motsvarar detta en<br />
massa av<br />
(m Na + m Cl )/2 per d 3 .<br />
27<br />
( mNa<br />
mCl<br />
) (22,99 35,45) u 1,66<br />
10<br />
kg / u<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2,2110<br />
kg / m<br />
3 10<br />
3 3<br />
2d<br />
2 (2,8 10<br />
) m<br />
h<br />
b) De Broglie-våglängden: <br />
p<br />
Kinetiska energin för neutroner med =0,28 nm blir då:<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
p h h c (1240eV nm)<br />
Ekin <br />
0,0104 eV<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
2m<br />
2m<br />
2mc<br />
2 939,6 MeV (0,28 nm )<br />
Ex3:2 Osäkerheten i massan motsvarar osäkerheten i energin enligt<br />
problemlydelsen. Vi har då att E = mc 2 = 149,2 MeV. Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation ger då att<br />
<br />
E t<br />
där > motsvarar mätfel och = ger den fysikaliska gränsen.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Man kan visa ur definitionen av osäkerhet t<br />
t t och att livstid<br />
<br />
uppträder som en sannoliktet för att leva en tid t enligt e t<br />
, att t = :<br />
(Behöver inte göras här, utan man får förutsätta detta, dock visas det genom:<br />
<br />
<br />
2 t t <br />
<br />
<br />
t e <br />
2 2<br />
2 0<br />
<br />
te<br />
0<br />
2<br />
t<br />
t t <br />
<br />
<br />
t<br />
t<br />
<br />
e<br />
e<br />
0 0 <br />
)<br />
16<br />
6,582 10<br />
eVs<br />
24<br />
Heisenberg: t<br />
<br />
2,2 10<br />
s<br />
2E<br />
2 149,2MeV<br />
(Kommentar: mycket kort livstid. Sönderfaller med starkt sönderfall.)<br />
2<br />
Ex3:3 a) Härledning av reducerade massan i klassisk mekanik:<br />
Två partiklar med massorna m respektive M i punkterna r 1 och r 2
Påverkar var<strong>and</strong>ra med kraft F (motriktade).<br />
Newtons lagar ger: F mr <br />
och F M r<br />
1<br />
<br />
2<br />
Definiera den relativa positionen r r 1<br />
r2<br />
F F m M <br />
r<br />
r <br />
1 1<br />
1<br />
r2<br />
( ) F F <br />
m M m M mM <br />
mM<br />
mM<br />
Dvs vi har F r<br />
r <br />
där vilken är samma ekvation som<br />
m M<br />
m M<br />
för rörelsen av en partikel med massan (reducerade massan) runt öändligt<br />
massiv partikel. (Kan också visas kvantmekaniskt).<br />
b) Bohrmodellen (och Schrödingerekvationen) ger energinivåerna<br />
4<br />
4<br />
qe<br />
1 q En<br />
<br />
där<br />
e<br />
<br />
2 2 2<br />
13, 6eV för m<br />
2 2<br />
e<br />
24<br />
0<br />
n 24<br />
0<br />
<br />
m<br />
em<br />
e 1<br />
För positronium gäller att me<br />
m<br />
e<br />
m<br />
e<br />
2<br />
13,6 1<br />
1<br />
Energinivåerna blir då E n<br />
eV 6,8<br />
eV<br />
2<br />
2<br />
2 n<br />
n<br />
E1 6, 8 eV<br />
1<br />
E2 6,8<br />
eV 1,<br />
7eV<br />
2<br />
2<br />
Övergången har observerats experimentellt.<br />
Ex3:4 (a)<br />
<br />
h<br />
p<br />
6.6 10<br />
<br />
<br />
1.67 10<br />
34<br />
27<br />
39.5<br />
10<br />
nm<br />
D<br />
x <br />
d<br />
39.5 10<br />
<br />
<br />
10<br />
9<br />
3<br />
10<br />
0.4<br />
mm<br />
(b)<br />
p<br />
h<br />
<br />
<br />
<br />
10<br />
34<br />
6.6<br />
10<br />
31<br />
6.6 10<br />
4<br />
10<br />
m<br />
D<br />
x D <br />
d<br />
3<br />
dx 10 10<br />
<br />
6.6 10<br />
6<br />
31<br />
1.510<br />
21<br />
m<br />
Ex3:5<br />
Detta är en astronomisk längdskala, jämförbar med diametern hos<br />
21<br />
vintergatans skiva som är ca 100 000 ljusår, dvs ca 10 m.<br />
10 34<br />
<br />
24<br />
xp<br />
p p<br />
10<br />
kg m/s<br />
10<br />
x<br />
10
E kin<br />
<br />
2<br />
p<br />
2m<br />
<br />
24<br />
(10 )<br />
2 9 10<br />
2<br />
31<br />
510<br />
19<br />
J<br />
3.5 eV<br />
Ex3:6 <br />
34<br />
6.6 10<br />
0. 13 nm<br />
27<br />
19<br />
2 1.6<br />
10<br />
0.051.6<br />
10<br />
0.13<br />
arcsin arcsin 40 grader<br />
d 0.20<br />
Ex3:7 <br />
34<br />
6.6 10<br />
0. 465 nm<br />
31<br />
19<br />
2 9 10<br />
7 1.6<br />
10<br />
Gitterkonstanten hos Cu är 0.36nm vilket är jämförbart med . Elektronerna<br />
kommer därför att genomgå stark diffraktion i Cu gittret och måste<br />
beh<strong>and</strong>las kvantmekaniskt.<br />
Ex3:8 O atomen väger 16u<br />
och O 2 molekylen 32 u . Enligt ekvipartitionsteoremet blir<br />
kinetiska energin för rörelsen i x-led<br />
E<br />
2<br />
p<br />
k<br />
BT<br />
<br />
2 2m<br />
1 27<br />
21<br />
23<br />
kin<br />
p 2mEkin<br />
2 32 1.66<br />
10<br />
2 10<br />
1.46 10<br />
kg m /<br />
s<br />
34<br />
6.6 10<br />
0.045 nm<br />
p<br />
Denna längd är mycket mindre än syremolekylens diameter, som är ca 4 Å,<br />
vilket i sin tur är mycket mindre än det genomsnittliga avståndet mellan<br />
molekylerna i luft vid NTP, som är ca 30 Å. Detta motiverar en klassisk<br />
beh<strong>and</strong>ling av gasen.<br />
Kommentar: Avståndet mellan molekylerna i luft kan uppskattas med ett<br />
enkelt resonemang. Molekylvikten hos vatten, 18, är något mindre än hos luft,<br />
ca 29, så för ett överslag kan vi använda bekanta resultat hos vatten. Vatten<br />
har en densitet på ca 1000 kg/m 3 och ett avstånd mellan molekylerna på ca 3<br />
Å. En gas kan ha ~1000 gånger lägre densitet än en vätska, vilket stämmer<br />
bra med att luft har densitet 1.3 kg/m 3 . För att densiteten ska gå ner med en<br />
faktor 1000 måste avståndet mellan molekylerna öka med en faktor 10. Alltså<br />
bör avståndet mellan luftmolekyler vara ca 30Å.<br />
Noggrannare räkning: medelmolekylvikt<br />
27<br />
26<br />
29u= 29 1.6610<br />
4.810<br />
kg.
Medelvolym per partikel är molekylvikten/densiteten:<br />
26<br />
26<br />
v<br />
0<br />
4.810<br />
/1.3 3.7 10<br />
m 3 .<br />
3<br />
Medelavståndet mellan partiklarna uppfyller v d d 33 Å.<br />
0<br />
<br />
Gas % by Volume % by Weight Parts per<br />
Million<br />
(by<br />
Volume)<br />
Chemical<br />
Symbol<br />
Molecular<br />
Weight<br />
Nitrogen 78.08 75.47 780805 N 2 28.01<br />
Oxygen 20.95 23.20 209450 O 2 32.00<br />
Argon 0.93 1.28 9340 Ar 39.95<br />
Carbon 0.038 0.0590 380 CO 2 44.01<br />
Dioxide<br />
Neon 0.0018 0.0012 18.21 Ne 20.18<br />
Helium 0.0005 0.00007 5.24 He 4.00<br />
Krypton 0.0001 0.0003 1.14 Kr 83.80<br />
Hydrogen 0.00005 Negligible 0.50 H 2 2.02<br />
Xenon 8.7 x 10 -6 0.00004 0.087 Xe 131.30<br />
Ex3:9 de Broglie-våglängden för neutronerna ges av<br />
h hc 1,24keVnm<br />
<br />
0,0976Å<br />
p 127keV<br />
127 keV<br />
För Braggspridning (n=1) gäller att 2d sin<br />
där räknas mot mellan<br />
infall<strong>and</strong>e stråle och materialet så att här blir 1°. Detta ger att<br />
0,0976<br />
d 2, 79Å<br />
2sin<br />
20,01745
Ex4:1<br />
2<br />
d<br />
<br />
2m<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
2<br />
k<br />
Acos(<br />
kx t)<br />
<br />
2m<br />
2<br />
<br />
Acos(<br />
kx t)<br />
i<br />
t<br />
Acos(<br />
kx t)<br />
iAsin(<br />
kx t)<br />
2<br />
d<br />
<br />
2m<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
2<br />
k<br />
Asin(<br />
kx t)<br />
<br />
2m<br />
2<br />
<br />
Asin(<br />
kx t)<br />
i<br />
t<br />
Asin(<br />
kx t)<br />
iAcos(<br />
kx t)<br />
dvs Acos(<br />
kx t)<br />
och Asin(<br />
kx t)<br />
är inte lösningar till Schrödingerekvationen<br />
för en fri partikel. Genom att addera ekvationerna ovan ser vi<br />
dock att den välbekanta plana vågen<br />
i(<br />
kxt)<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
Ae A cos( kx t)<br />
i sin( kx t)<br />
är en lösning.<br />
<br />
<br />
Ex4:2<br />
2 2<br />
i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
k i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
e <br />
Ae<br />
e <br />
2 2<br />
d<br />
A e<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
2m<br />
i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
i<br />
Ae<br />
e <br />
Ae<br />
e <br />
t<br />
För att få en lösning till Schrödinger-ekvationen för en fri partikel måste<br />
2 2<br />
k<br />
dessa ekvationer vara lika med var<strong>and</strong>ra, vilket är uppfyllt om .<br />
2m<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
A e<br />
i(<br />
kxt)<br />
i(<br />
kxt)<br />
ikx ikx<br />
it<br />
it<br />
e Ae<br />
e e<br />
2iAsin<br />
kxe<br />
Detta är en stående våg, dvs summan av likadana vågor fast med<br />
motriktade vågvektorer.<br />
2 nx<br />
Ex4:3. n<br />
( x)<br />
sin , n 1,2,3,...<br />
L L<br />
P<br />
x1,<br />
x2<br />
<br />
<br />
x2<br />
x1<br />
( x)<br />
n<br />
2<br />
dx <br />
2<br />
L<br />
<br />
x2<br />
x1<br />
sin<br />
2<br />
nx<br />
x<br />
dx <br />
L <br />
<br />
L<br />
2nx<br />
<br />
sin<br />
n<br />
L <br />
<br />
1<br />
2<br />
x2<br />
x1<br />
n 1:<br />
P x , x2<br />
1<br />
<br />
n 2 :<br />
, 2<br />
P x 1 x<br />
<br />
0.198<br />
0.0065<br />
Ex4:4.
x<br />
<br />
<br />
x <br />
n<br />
( x)<br />
2<br />
2<br />
dx <br />
L<br />
<br />
0<br />
L<br />
xsin<br />
2<br />
2 x x 2nx<br />
1<br />
sin <br />
L 4 4n<br />
/ L L 8( n<br />
/ L)<br />
2<br />
2<br />
nx<br />
dx <br />
L<br />
2nx<br />
<br />
cos <br />
L <br />
L<br />
0<br />
<br />
L<br />
2<br />
för alla värden på n .<br />
Ex4:5.<br />
p<br />
<br />
<br />
L<br />
*<br />
2 nx<br />
d<br />
n<br />
( x)<br />
pˆ<br />
n<br />
( x)<br />
dx sin <br />
L 0 L i dx<br />
L<br />
1 L d 2 nx<br />
2 nx<br />
<br />
sin dx sin<br />
L i<br />
0<br />
dx L iL <br />
L <br />
<br />
0<br />
nx<br />
sin<br />
dx <br />
L<br />
0<br />
för alla värden på n . Tolkning:<br />
n<br />
( n<br />
/ L)<br />
( n<br />
/ L)<br />
pn<br />
2mEn<br />
pmedel<br />
<br />
0<br />
L<br />
2<br />
Vågfunktionen beskriver alltså en stående våg, dvs en superposition av<br />
likadana vågor som fortskrider i motsatta riktningar, varför väntevärdet på<br />
rörelsemängden blir noll.
Ex4:6. Som förberedelse ska vi beräkna några jätteviktiga Gaussiska integraler:<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
2<br />
x<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
2<br />
x<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
<br />
<br />
2<br />
y<br />
<br />
2<br />
dy<br />
<br />
1/ 2<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
dxdy<br />
1/ 2<br />
x y<br />
e <br />
r<br />
1 r<br />
(gå till polära koordinater) d re dr 2<br />
<br />
e <br />
0<br />
En annan vanlig form av denna integral fås genom ett variabelbyte:<br />
2<br />
<br />
<br />
1/ 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
1/ 2<br />
<br />
e ax 2<br />
<br />
dx <br />
<br />
a<br />
Genom ett annat variabelbyte fås den normerade Gauss-fördelningen<br />
P(<br />
x)<br />
e<br />
2 2<br />
(<br />
xx<br />
) / 2<br />
0 2<br />
/ 2<br />
, som uppfyller normeringsvillkoret<br />
1 2 2<br />
( 0 ) / 2<br />
xx<br />
<br />
e<br />
<br />
2<br />
2<br />
dx 1<br />
och har väntevärde x x0<br />
. St<strong>and</strong>ardavvikelsen kan beräknas med ett<br />
trick:<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
e<br />
2<br />
ax<br />
dx <br />
d<br />
da<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
2<br />
ax<br />
dx <br />
d<br />
da<br />
<br />
a 2a<br />
3 / 2<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
1 2 2<br />
2 / 2<br />
2 x<br />
x e<br />
<br />
2<br />
dx <br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
2(1/ 2<br />
)<br />
2 3 / 2<br />
2<br />
<br />
(a)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
<br />
x<br />
/ a<br />
2<br />
dx N e dx N a<br />
1 välj<br />
<br />
2<br />
N<br />
<br />
a<br />
1<br />
<br />
(b)<br />
<br />
x<br />
x<br />
2<br />
dx 0<br />
2<br />
2 2<br />
eftersom x är udda och N exp x / 2a<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
N<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
e<br />
är jämn.<br />
<br />
2<br />
2(1/ a )<br />
1 <br />
<br />
3<br />
a 2 / a<br />
2<br />
2 2<br />
x<br />
/ a<br />
2<br />
a<br />
dx N<br />
<br />
3 / 2<br />
2<br />
(c)<br />
p <br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
d<br />
dx<br />
<br />
<br />
dx 0
eftersom är jämn och<br />
d / dx är udda.<br />
p<br />
2<br />
<br />
<br />
* <br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
dx<br />
2<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
* d <br />
dx <br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
d<br />
dx<br />
*<br />
<br />
<br />
d<br />
<br />
<br />
dx <br />
dx <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
*<br />
d<br />
dx<br />
d<br />
dx<br />
dx<br />
Den första integralen i sista ledet är 0 , om vågfunktionen och dess<br />
derivala försvinner i oändligheten. Kvar blir:<br />
p<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
e<br />
2<br />
a<br />
2 2<br />
x<br />
/ 2a<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx <br />
a<br />
2<br />
4<br />
x<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2a<br />
2<br />
(d)<br />
x<br />
p<br />
<br />
2<br />
a<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2a<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
Ex4:7.<br />
j<br />
x<br />
<br />
<br />
x<br />
*<br />
2<br />
2<br />
* * <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2mi<br />
x<br />
x<br />
2mi<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
Använd nu att uppfyller SE:<br />
2 2<br />
*<br />
<br />
i<br />
V <br />
2 i<br />
i<br />
t<br />
2m<br />
x<br />
t<br />
t<br />
*<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2m<br />
x<br />
*<br />
V<br />
*<br />
Vi får:<br />
j<br />
<br />
x<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
t<br />
t<br />
*<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
t<br />
Ex4:8. (a) Superpositionen har formen c<br />
11<br />
c22<br />
. Anta att , , är<br />
1 2<br />
normerade och att , 1 2<br />
är ortogonala. Då blir<br />
c<br />
<br />
<br />
*<br />
*<br />
c11<br />
c22<br />
dx<br />
c1<br />
1<br />
1dx<br />
c2<br />
1<br />
2dx<br />
<br />
1<br />
*<br />
*<br />
11<br />
c22<br />
1<br />
dx<br />
1<br />
c<br />
<br />
<br />
samt<br />
1 <br />
<br />
c<br />
<br />
*<br />
dx<br />
<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
*<br />
1<br />
1<br />
<br />
*<br />
c<br />
c c<br />
c <br />
1<br />
dx c<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
*<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
dx c<br />
*<br />
1<br />
c<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
*<br />
1<br />
dx <br />
dx c<br />
Kvantmekanikens sannolikhetspostulat säger nu att:<br />
<br />
2<br />
*<br />
2<br />
c<br />
1<br />
<br />
<br />
*<br />
2<br />
dx <br />
1<br />
c<br />
2<br />
1<br />
c<br />
2<br />
2
2 *<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
c dx är sannolikheten att systemet som är i tillståndet hittas<br />
i tillståndet <br />
1<br />
i en mätning av energin.<br />
*<br />
(Notera att expansionskoefficienten c1 1<br />
dx<br />
i allmänhet är ett<br />
komplext tal, och därför inte kan vara direkt mätbart.)<br />
Väntevärdet av energin ges av<br />
H<br />
c c E<br />
<br />
*<br />
1<br />
c<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
*<br />
Hdx<br />
<br />
1<br />
*<br />
1<br />
E c<br />
1<br />
2<br />
2<br />
E<br />
2<br />
<br />
( c <br />
dx c c<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
E<br />
1<br />
2<br />
*<br />
c ) ( c E c E <br />
<br />
2<br />
*<br />
2<br />
2<br />
dx c c E<br />
2<br />
1<br />
1<br />
*<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
) dx<br />
dx c c<br />
*<br />
1<br />
2<br />
E<br />
2<br />
<br />
dx<br />
*<br />
1<br />
2<br />
där vi i sista steget utnyttjat normeringen och ortogonaliteten hos<br />
vågfunktionerna.<br />
Tolkning:<br />
2<br />
2<br />
väntevärdet H är lika med c E c sannolikheten att vara i <br />
1<br />
1 1<br />
<br />
2<br />
E2<br />
gånger E<br />
1<br />
plus sannolikheten att vara i <br />
2<br />
gånger E<br />
2<br />
.<br />
Alltså kan vi välja c<br />
1<br />
c2<br />
1/ 2 .<br />
där vi i sista steget utnyttjat normeringen och ortogonaliteten hos<br />
vågfunktionerna. Alltså kan vi välja c c 1/ 2 .<br />
1 2<br />
<br />
(b)<br />
H<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
H<br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
* 2<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
( c11<br />
c22<br />
) ( c1E1<br />
1<br />
c2E2<br />
2<br />
) dx c1<br />
E1<br />
c2<br />
E2<br />
(c) Med<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
1 2 1 2 1 1 2<br />
2<br />
E H H E1<br />
E2<br />
E1<br />
E2<br />
E1<br />
E2<br />
E<br />
E1<br />
E2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
1 iE1t<br />
/ 1 iE2t<br />
/ <br />
2 1<br />
2 2<br />
e<br />
2<br />
e e fås<br />
iE1t<br />
/ <br />
1<br />
1<br />
2<br />
e<br />
2 2<br />
* iE1<br />
E2<br />
t<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
Re<br />
1<br />
2e<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
iE2t<br />
/ <br />
<br />
/ <br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
1<br />
*<br />
1<br />
1<br />
4<br />
<br />
e<br />
2<br />
1<br />
2<br />
E<br />
E<br />
t<br />
/ * iE<br />
E<br />
t<br />
i<br />
1<br />
2<br />
<br />
e<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
/ <br />
<br />
<br />
I den polära representationen blir<br />
*<br />
* i<br />
* iE1<br />
E2<br />
t<br />
/ *<br />
i0<br />
i E1<br />
E2<br />
e Re<br />
e Re e e<br />
t<br />
/ *<br />
<br />
cos E<br />
E <br />
1 2 1 2<br />
1 2<br />
1 2<br />
1 2<br />
0 1 2<br />
t / <br />
vilket ger:
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
2 2 *<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
cosE<br />
1<br />
E2<br />
t<br />
/ <br />
0<br />
<br />
Alltså oscillerar sannolikhetstätheten med vinkelfrekvens E1 E 2<br />
/ ,<br />
dvs med periodtid t 2 / E1 E2<br />
<br />
/ E<br />
. Alltså är t<br />
E<br />
<br />
. Detta<br />
är ett exempel på osäkerhetsrelationen för tid och energi, som säger att<br />
t E<br />
.<br />
Tolkning: osäkerheten i tid är den karakteristiska tiden för att tillståndet<br />
helt ska ha ändrat form jämfört med initialtillståndet.<br />
Ex4:9. (a)<br />
<br />
L<br />
2 2 nx<br />
<br />
n<br />
dx N sin<br />
dx<br />
L<br />
<br />
0<br />
Denna integral kan enkelt göras mha trigonometriska formler (se (b)).<br />
2<br />
Alternativt kan vi utnyttja följ<strong>and</strong>e trick. Integralen går över en period av sin<br />
funktionen, och måste ha samma värde som integralen över en period av<br />
2<br />
cos funktionen. Alltså blir integralen ovan lika med<br />
<br />
<br />
<br />
L<br />
2 1 2 nx<br />
2 nx<br />
<br />
sin<br />
cos <br />
2<br />
n<br />
dx N<br />
2<br />
<br />
dx N<br />
0 L L <br />
där vi använt trigonometriska ettan. Alltså kan vi välja<br />
värden på n .<br />
(b) Använd trigonometriska identiteten<br />
sin xsin<br />
y 1 2<br />
(cos( x y)<br />
cos( x y )) :<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
L 1<br />
2<br />
N 2 / L för alla<br />
L<br />
L<br />
* 2 mx<br />
nx<br />
2 1 ( m n)<br />
x<br />
( m n)<br />
m<br />
ndx<br />
N sin sin dx N cos<br />
cos<br />
L L 2 L<br />
L<br />
0<br />
0<br />
x<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
2<br />
1 L ( m n)<br />
x<br />
L ( m n)<br />
x<br />
<br />
sin<br />
sin<br />
2<br />
<br />
<br />
( )<br />
( )<br />
<br />
m n L m n L <br />
L<br />
0<br />
0<br />
Kommentar: Egenskaperna i (a) och (b) kan skrivas tillsammans med hjälp<br />
av Kronecker-delta symbolen:<br />
<br />
dx <br />
*<br />
m<br />
n<br />
m,<br />
n<br />
1,<br />
m n<br />
<br />
0,<br />
m n<br />
Alltså utgör funktionerna ett ON system. Den gemensamma terminologin<br />
med vektoranalysen är ingen slump. Dessa funktioner utgör en ON bas för<br />
ett oängdligtdimensionellt linjärt vektorrum som kallas ett Hilbert-rum.
Ex4:10. För att visa att egenfunktionerna är ortogonala utnyttjar vi att de löser<br />
tidsoberoende Schrödingerekvationen:<br />
2 2<br />
d <br />
n<br />
V<br />
n<br />
En<br />
2<br />
n<br />
2m<br />
dx<br />
För <br />
m<br />
tar vi komplexkonjugatet av SE (och utnyttjar att potentialen V (x)<br />
är<br />
reell)<br />
2 2 *<br />
d <br />
m * * *<br />
V<br />
2<br />
m<br />
Em<br />
m<br />
2m<br />
dx<br />
*<br />
Multiplicera den första ekvationen med <br />
m<br />
och den <strong>and</strong>ra med <br />
n<br />
och<br />
subtrahera:<br />
2<br />
2<br />
2 *<br />
<br />
* d <br />
<br />
n<br />
d <br />
m<br />
* *<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
<br />
n<br />
E<br />
n<br />
Em<br />
<br />
m<br />
n<br />
<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
dx dx <br />
2<br />
*<br />
d <br />
* d<br />
n<br />
d<br />
<br />
m<br />
* *<br />
<br />
m<br />
<br />
n<br />
E<br />
n<br />
Em<br />
<br />
m<br />
n<br />
2m<br />
dx<br />
<br />
dx dx<br />
<br />
<br />
<br />
Integrera, och antag att <br />
n<br />
(x)<br />
och <br />
m<br />
(x)<br />
är 0 i x :<br />
2 <br />
*<br />
<br />
d <br />
* d<br />
<br />
n<br />
d<br />
m<br />
* *<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
<br />
n<br />
dx En<br />
Em<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
ndx<br />
2m<br />
dx dx dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
* d<br />
n d<br />
m<br />
<br />
m <br />
n 0<br />
<br />
dx dx <br />
<br />
<br />
* *<br />
E<br />
E dx 0<br />
n<br />
m<br />
<br />
*<br />
2<br />
(a) Om m n så blir integralen ovan dx n<br />
n<br />
<br />
n<br />
dx 1, och alltså<br />
<br />
<br />
*<br />
måste En E n<br />
. Alltså är E<br />
n<br />
reellt, vilket skulle visas.<br />
(b) Om E E så blir<br />
Klart!<br />
n<br />
m<br />
<br />
<br />
m<br />
n<br />
*<br />
m n<br />
dx 0<br />
Ex4:11 Antag att elektronen har energi E och att potentialen är V 0 för 0 x L i<br />
potentialbrunnen, och V V0<br />
i det klassiskt förbjudna området utanför<br />
brunnen, där E V0<br />
. Schrödingerekvationen i områden x 0 utanför<br />
potentialbrunnen, ger:<br />
2 2<br />
2<br />
d <br />
d 2<br />
x<br />
2m(<br />
V0<br />
E)<br />
V0<br />
E<br />
<br />
( x)<br />
Ae , <br />
2<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
Alltså är inträngningsdjupet<br />
1/<br />
. Numeriskt:<br />
<br />
2 9.110<br />
(200 1.6<br />
10<br />
31<br />
19<br />
19<br />
10<br />
<br />
6.310<br />
m 1<br />
34<br />
1.055 10<br />
50 1.6<br />
10<br />
)
vilket ger 0. 16 Å.<br />
Ex4:12 Grundtillståndet innan expansionen är<br />
2 x<br />
( x)<br />
sin , 0 x L<br />
L L<br />
och (x) 0 för övrigt. Det nya grundtillståndet efter expansionen är<br />
x 2 x<br />
1 x<br />
( ) sin sin ,0 x L<br />
2L<br />
2L<br />
L 2L<br />
2<br />
och (x)<br />
0 för övrigt. Sannolikheten att partikeln i tillståndet samtidigt är i<br />
tillståndet ges av*<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
dx<br />
1<br />
<br />
2L<br />
2<br />
2<br />
<br />
L<br />
<br />
0<br />
2<br />
L<br />
L<br />
<br />
0<br />
x<br />
x<br />
sin sin dx<br />
L 2L<br />
x<br />
3x<br />
<br />
<br />
cos cos<br />
<br />
dx<br />
2L<br />
2L<br />
<br />
1<br />
<br />
2L<br />
2L<br />
2L<br />
<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
L<br />
1<br />
<br />
2L<br />
1<br />
<br />
2L<br />
2<br />
1<br />
2<br />
L<br />
<br />
0<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
<br />
cos<br />
cos<br />
dx<br />
L 2L<br />
L 2L<br />
<br />
2L<br />
x<br />
2L<br />
3x<br />
<br />
<br />
sin sin<br />
<br />
2L<br />
3<br />
2L<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
8L<br />
3<br />
32<br />
<br />
2<br />
9<br />
0.36<br />
L<br />
2<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
(Motivation av *: Beteckna energiegentillstånden med energi<br />
E<br />
n<br />
som<br />
2 2<br />
2L<br />
1<br />
n<br />
kn<br />
*<br />
<br />
n<br />
( x)<br />
sin kn<br />
x,<br />
kn<br />
, En<br />
, n 1,2,3,... <br />
m<br />
ndx<br />
<br />
L<br />
2L<br />
2m<br />
<br />
0<br />
Varje möjligt tillstånd hos systemet kan utvecklas i en Fourier-serie:<br />
( x)<br />
<br />
<br />
<br />
n0<br />
Normeringskravet ger:<br />
1 <br />
2L<br />
<br />
c <br />
n<br />
n<br />
*<br />
dx<br />
<br />
0<br />
2L<br />
<br />
0<br />
dx<br />
<br />
*<br />
n<br />
<br />
*<br />
cmcn<br />
m,<br />
n0<br />
2L<br />
Kvantmekanikens sannolikhetstolkning:<br />
c<br />
2<br />
n<br />
<br />
2L<br />
<br />
0<br />
*<br />
n<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
m0<br />
c<br />
2L<br />
<br />
*<br />
<br />
n<br />
mdx<br />
c<br />
<br />
m<br />
0<br />
*<br />
<br />
n<br />
mdx<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
mn<br />
dx<br />
är sannolikheten att en mätning av energin hos ett system<br />
i tillståndet ger svaret E<br />
n<br />
, dvs att systemet hittas i tillståndet <br />
n<br />
.<br />
vilket motiverar *. Notera att c<br />
n<br />
.är ett komplext tal som i sig inte direkt kan<br />
mätas. Jämför även med tal 4.8 ovan.)<br />
<br />
mn<br />
<br />
<br />
n0<br />
c<br />
2<br />
n<br />
n<br />
mn
Ex4:13<br />
(<br />
x,<br />
t T ) <br />
<br />
<br />
n1<br />
c ( x)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
iEn<br />
( tT<br />
) / <br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
c ( x)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
iEnt<br />
/ <br />
e<br />
iEnT<br />
/ <br />
EnT<br />
n <br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
( n / 2ma<br />
)(4ma<br />
/ )<br />
2<br />
2 iE<br />
T / i2n<br />
<br />
2n<br />
e e<br />
<br />
( x,<br />
t T ) (<br />
x,<br />
t)<br />
Ex4:14 Fall 1: Anta först att V0 E . Lösningen har formen<br />
0 x 0<br />
<br />
Asin<br />
kx 0 x a<br />
( x)<br />
<br />
B<br />
sin(<br />
b x)<br />
a x b<br />
<br />
0 b x<br />
som är konstruerad så att ( a)<br />
<br />
( b)<br />
0. Energin uppfyller<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
k <br />
2 2 2 w<br />
E V0<br />
k w , V0<br />
(1)<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
Kontinuitetsvillkor:<br />
Asin<br />
ka Bsin(<br />
b a)<br />
kAcos<br />
ka B<br />
cos(<br />
b a)<br />
k cot ka cot(<br />
b a)<br />
(2)<br />
Energinivåerna bestäms nu genom att lösa ekvationssystemet (1),(2)<br />
numeriskt.<br />
Fall 2: Anta nu att 0 E V0<br />
. Lösningen har formen<br />
0 x 0<br />
<br />
Asin<br />
kx 0 x a<br />
( x)<br />
<br />
Bsinh(<br />
b x)<br />
a x b<br />
<br />
0 b x<br />
som är konstruerad så att ( a)<br />
<br />
( b)<br />
0. Energin uppfyller<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
k <br />
2 2 2 w<br />
E V0<br />
k w , V0<br />
(3)<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
Kontinuitetsvillkor:<br />
Asin<br />
ka Bsinh(<br />
b a)<br />
kAcos<br />
ka B<br />
cosh(<br />
b a)<br />
k cot ka coth(<br />
b a)<br />
(4)<br />
Energinivåerna bestäms nu genom att lösa ekvationssystemet (3),(4)<br />
numeriskt.<br />
<br />
1
Ex4:15 Studera en lösning med energi E som uppfyller V<br />
0<br />
E 0 . Flytta<br />
koordinatsystemet så att potentialbrunnen ligger i det symmetriska<br />
intervallet a x a, a L / 2 , vilket ger ett ekvivalent problem fast med<br />
mycket enklare räkningar: de sökta lösningarna måste nu vara antingen<br />
jämna eller udda funktioner. Jämna lösningar har formen:<br />
Udda lösningar:<br />
x<br />
Ae<br />
<br />
( x)<br />
B<br />
cos kx<br />
x<br />
<br />
Ae<br />
x a<br />
a x a<br />
a x<br />
x<br />
Ae x a<br />
<br />
( x)<br />
Bsin<br />
kx a x a<br />
x<br />
<br />
Ae a x<br />
I båda fallen är<br />
2 2 2 2<br />
2<br />
k<br />
2 2 2 w<br />
E V0<br />
k w ,<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
Börja med de jämna lösningarna. Kontinuitetsvillkor:<br />
a<br />
B cos ka Ae<br />
kBsin<br />
ka Ae<br />
k tan ka <br />
(2)<br />
a<br />
2<br />
V<br />
0<br />
(1)<br />
Ekvationerna (1),(2) kan nu lösas numeriskt pss som i<br />
föreläsningsanteckningarna. Fallet när lösningen är en udda funktion är<br />
precis analogt med problemet med en halvoändlig potentialbrunn som<br />
löstes på föreläsningen.<br />
Ex4:16 Osäkerhetsrelationen för energi och tid ger en uppskattning av<br />
medellivstiden :<br />
34<br />
110<br />
25<br />
2.5 10<br />
9<br />
19<br />
<br />
E <br />
sekunder<br />
E<br />
2.510<br />
1.6<br />
10<br />
Ex4:17 Som vi har sett i problemen ovan så kan vågfunktionen för endimensionella<br />
bundna tillstånd alltid väljas reell. Detta kan man visa gäller allmänt. Därför<br />
blir<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
i <br />
dx i (reellt tal)<br />
x<br />
<br />
Eftersom p är reellt och integralen ovan är komplex så måste p 0 .<br />
(Observera att detta inte gäller för obundna tillstånd som plana vågor,
ikx<br />
e .) Resultatet illustrerar att bundna tillstånd är stående vågor som<br />
består av vågor som fortskrider i + riktningen, och sedan reflekteras tillbaka<br />
i – riktningen i sin helhet, och på så sätt går fram och tillbaka. Därför måste<br />
medelvärdet av rörelsemängden vara noll.<br />
Ex4:18 En partikel i en potential V (x)<br />
har vågfunktionen<br />
ax<br />
Nxe<br />
0 x<br />
( x)<br />
<br />
0<br />
x 0<br />
Bestäm potentialen och energin.<br />
2 2<br />
d<br />
( x)<br />
V<br />
( x)<br />
( x)<br />
E<br />
( x)<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
d d<br />
ax<br />
<br />
2 ax<br />
( x)<br />
N(1<br />
ax)<br />
e N(<br />
2a<br />
a x)<br />
e <br />
2<br />
2m<br />
dx 2m<br />
dx<br />
2m<br />
2<br />
2a<br />
2 <br />
<br />
a <br />
( x)<br />
( E V<br />
( x))<br />
( x)<br />
<br />
2m<br />
x <br />
2<br />
2a<br />
2 <br />
E V<br />
( x)<br />
<br />
a <br />
2m<br />
x <br />
Genom att kräva att potentialen ska gå mot noll i oändligheten kan vi nu<br />
avläsa att<br />
2 2<br />
a<br />
E <br />
2m<br />
2<br />
2a<br />
V ( x)<br />
,0 x<br />
2m<br />
x<br />
V ( x)<br />
,<br />
x 0<br />
<br />
Ex4:19 (a) Om både position och rörelsemängd har väntevärde lika med noll så kan<br />
<br />
Heisenbergs osäkerhetsprincip x p<br />
skrivas:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 <br />
2 <br />
x p p . Väntevärdet av energin kan därför<br />
2<br />
4 4 x<br />
uppskattas enligt:<br />
E<br />
<br />
p<br />
2<br />
2m<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m<br />
x<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
8m<br />
x<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m<br />
x<br />
2
2<br />
A<br />
(b) Minimera<br />
( x)<br />
2<br />
2 2<br />
B ( x)<br />
:<br />
2<br />
d A<br />
d x<br />
<br />
( x)<br />
2<br />
A<br />
( x)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
B ( x)<br />
2<br />
B ( x)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2A<br />
<br />
( x)<br />
2<br />
A 2<br />
B A/<br />
B 2AB<br />
A/<br />
B<br />
3<br />
2<br />
2B<br />
x<br />
0 ( x)<br />
2<br />
<br />
A<br />
B<br />
<br />
(c)<br />
E<br />
2AB<br />
2<br />
2<br />
<br />
8m<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
16<br />
1<br />
<br />
2<br />
Ex 4:20 Använd villkoret att den klassiska totala energin ska vara lika med<br />
kvantmekaniska grundtilllståndsenergin. I vändpunkten är all energi<br />
potentiell:<br />
E<br />
1 2<br />
2<br />
m<br />
A<br />
2 <br />
A <br />
2<br />
m<br />
1 2 2<br />
x / 2a<br />
Med e , a <br />
a <br />
klassiskt förbjudna området<br />
<br />
, blir sannolikheten att hitta partikeln i det<br />
m<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
P x A <br />
A 2<br />
/ m<br />
<br />
2 / m<br />
a / m<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
A<br />
<br />
<br />
2<br />
x<br />
2 / m<br />
2<br />
dx <br />
<br />
<br />
A<br />
dx erfc(2<br />
2 2<br />
dx <br />
a <br />
/ m<br />
)<br />
<br />
<br />
A<br />
e<br />
2 2<br />
x / a<br />
dx <br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
A / a<br />
2<br />
x<br />
dx <br />
erfc är den komplementära error-funktionen.<br />
Ex 4:21 Potentialen är precis samma som för den harmoniska oscillatorn för x>0.<br />
För x
Ex 4:22<br />
(a)<br />
<br />
<br />
<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
1<br />
0 )<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
,<br />
(<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
t<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(b)<br />
<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
,<br />
(<br />
0<br />
0<br />
*<br />
1<br />
/<br />
)<br />
(<br />
0<br />
1<br />
*<br />
0<br />
/<br />
)<br />
(<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
*<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
dx<br />
t<br />
x<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(c)<br />
<br />
<br />
<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
,<br />
(<br />
0<br />
*<br />
1<br />
/<br />
)<br />
(<br />
1<br />
*<br />
0<br />
/<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
*<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
x<br />
x<br />
e<br />
x<br />
x<br />
e<br />
x<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
t<br />
x<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Från lösningen till harmoniska oscillatorn vet vi att )<br />
n(x<br />
är reella, vilket ger<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
)<br />
)cos(<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
/<br />
)<br />
(<br />
)cos<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
,<br />
(<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
/<br />
)<br />
(<br />
/<br />
)<br />
(<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
t<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
t<br />
E<br />
E<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
e<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
t<br />
x<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
där det sista ledet följer ur<br />
<br />
2)<br />
( 1/<br />
n<br />
E n .<br />
(d)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
e<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
t<br />
x<br />
x<br />
x<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
t<br />
iE<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
)<br />
,<br />
(<br />
0<br />
*<br />
1<br />
/<br />
)<br />
(<br />
1<br />
*<br />
0<br />
/<br />
)<br />
(<br />
0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
0<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
*<br />
/<br />
1<br />
/<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
där de två första integralerna är noll eftersom integr<strong>and</strong>erna är udda.<br />
Utnyttja nu återigen att att )<br />
n(x<br />
är reella:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
A<br />
t<br />
A<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
x<br />
e<br />
e<br />
x<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
t<br />
E<br />
E<br />
i<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
,<br />
cos<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
/<br />
)<br />
(<br />
/<br />
)<br />
( 0<br />
1<br />
0<br />
1
Ex 4:23<br />
1549 N/m<br />
10<br />
5.33<br />
10<br />
3<br />
2<br />
10<br />
1.66<br />
7.46<br />
2<br />
2<br />
2<br />
6<br />
8<br />
27<br />
2<br />
foton<br />
vibration<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
c<br />
k<br />
c<br />
k<br />
hc<br />
pc<br />
E<br />
k<br />
E
Kap 5<br />
Ex5:1 Anta att potentialsteget ligger vid x 0. Energin hos inkomm<strong>and</strong>e elektronen<br />
är E 5eV. Potentialen är V ( x)<br />
0, x 0 och V ( x)<br />
V0 2<br />
eV, x 0.<br />
Lösningen har formen<br />
ikx ikx<br />
ix<br />
( x)<br />
Ae Be för x 0 och ( x)<br />
Ce för x 0<br />
Insättning i tidsoberoende Schrödingerekvationen ger<br />
2 2<br />
k<br />
2mE<br />
x 0 : E<br />
k <br />
2m<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2m(<br />
E <br />
0<br />
)<br />
x 0 : V<br />
V<br />
0<br />
E<br />
<br />
2m<br />
<br />
Kontinuitetsvillkor hos och d i x 0 : dx<br />
A B C<br />
ikA ikB iC<br />
kA kB C<br />
2<br />
C <br />
För att bestämma transmissionskoefficienten T eliminerar vi B :<br />
2<br />
A k<br />
2kA ( k ) C <br />
E V0<br />
2<br />
2<br />
4<br />
C<br />
4<br />
4k<br />
k<br />
E 4 1<br />
x<br />
T <br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
A k ( k )<br />
k <br />
2<br />
1<br />
1 x 2<br />
1<br />
E V<br />
<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
k <br />
E<br />
<br />
där x V0<br />
/ E . På likn<strong>and</strong>e sätt bestäms reflektionskoefficienten genom att<br />
eliminera C :<br />
( k)<br />
A ( k ) B 0 <br />
2<br />
2<br />
<br />
E V<br />
<br />
0<br />
2<br />
2 1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
B k ( k )<br />
E<br />
k<br />
1<br />
1<br />
x <br />
R <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
A k ( k )<br />
<br />
1<br />
1 x 2<br />
1<br />
E V<br />
<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
k <br />
E<br />
<br />
Alltså blir:<br />
4<br />
T <br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
x V0<br />
x <br />
2<br />
1<br />
1<br />
x E<br />
1<br />
x<br />
, R <br />
,<br />
2<br />
1<br />
x
(Kontroll:<br />
4<br />
T R <br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
x 1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
1<br />
x <br />
1<br />
2 1<br />
x (1 x)<br />
1<br />
2 1<br />
x (1<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
x 1<br />
1<br />
x <br />
x)<br />
1<br />
OK!)<br />
I det aktuella problemet är x 2 / 5 vilket ger T 0.993,<br />
R 0. 007 .<br />
Ex5:2 Använd resultaten för tunnling genom en bred potentialbarriär som<br />
konstruerades på föreläsningen.<br />
a <br />
31<br />
19<br />
2m(<br />
VB<br />
E)<br />
2 (9.110<br />
) (200 50) 1.6<br />
10<br />
9<br />
a <br />
10<br />
34<br />
<br />
1.05510<br />
62.6<br />
16E(<br />
VB<br />
E)<br />
2a<br />
16 50<br />
(200 50) 262.6<br />
54<br />
T <br />
e <br />
e 1.16 10<br />
2 2<br />
VB<br />
200<br />
Låt oss jämföra med resultatet från den exakta formeln, som ges i kursboken<br />
på sidan 205. Med x E / VB<br />
50 / 200 blir<br />
4x(1<br />
x)<br />
54<br />
T <br />
1.16 10<br />
2mV<br />
(1 ) <br />
2<br />
B<br />
x<br />
sinh <br />
a<br />
4x(1<br />
x)<br />
<br />
<br />
dvs samma resultat.<br />
För att bekräfta att det är rimligt att beh<strong>and</strong>la barriären som bred beräknar vi<br />
elektronens de Broglie våglängd inuti barriären:<br />
34<br />
h h h<br />
6.6310<br />
10<br />
<br />
<br />
1.0 10<br />
m<br />
p <br />
31<br />
19<br />
2m(<br />
VB<br />
E)<br />
2 9.110<br />
(200 50) 1.6<br />
10<br />
dvs en tiondel av barriärbredden. Alltså är det motiverat att betrakta barriären<br />
som bred.<br />
Ex5:3 Börja med fallet då den inkomm<strong>and</strong>e partikeln har energi ovanför barriären:<br />
E . Lösningarna har formen<br />
U 0<br />
( x)<br />
Ae<br />
( x)<br />
Ce<br />
( x)<br />
Fe<br />
ikx<br />
ik ' x<br />
ikx<br />
Be<br />
De<br />
, L x<br />
ikx<br />
ik<br />
' x<br />
, x 0<br />
,0 x L<br />
där<br />
2 2 2 2<br />
k k'<br />
2mE<br />
2m(<br />
E <br />
0<br />
)<br />
E U<br />
0<br />
k , k'<br />
<br />
U .<br />
2m<br />
2m
Kontinuitetsvillkor:<br />
( 0)<br />
x<br />
kontinuerlig: D<br />
C<br />
B<br />
A<br />
<br />
<br />
(1)<br />
dx<br />
x<br />
d /<br />
( 0)<br />
kontinuerlig: D<br />
k<br />
C<br />
k<br />
kB<br />
kA<br />
'<br />
'<br />
<br />
<br />
(2)<br />
( L)<br />
x <br />
kontinuerlig:<br />
ikL<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
Fe<br />
De<br />
Ce<br />
<br />
<br />
<br />
'<br />
'<br />
(3)<br />
dx<br />
L<br />
x<br />
d /<br />
)<br />
( <br />
kontinuerlig:<br />
ikL<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
kFe<br />
De<br />
k<br />
Ce<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
'<br />
'<br />
'<br />
' (4)<br />
Eliminera B från (1),(2):<br />
D<br />
k<br />
k<br />
C<br />
k<br />
k<br />
kA )<br />
'<br />
(<br />
')<br />
(<br />
2 <br />
<br />
<br />
(5)<br />
Eliminera A från (1),(2):<br />
D<br />
k<br />
k<br />
C<br />
k<br />
k<br />
kB )<br />
'<br />
(<br />
')<br />
(<br />
2 <br />
<br />
<br />
(6)<br />
Eliminera D från (3),(4):<br />
ikL<br />
L<br />
ik<br />
Fe<br />
k<br />
k<br />
Ce<br />
k )<br />
'<br />
(<br />
'<br />
2<br />
'<br />
<br />
(7)<br />
Eliminera C från (3),(4):<br />
ikL<br />
L<br />
ik<br />
Fe<br />
k<br />
k<br />
De<br />
k )<br />
'<br />
(<br />
'<br />
2<br />
'<br />
<br />
<br />
<br />
(8)<br />
(5),(7),(8) ger:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
L<br />
k<br />
k<br />
i<br />
L<br />
k<br />
k<br />
i<br />
Fe<br />
k<br />
k<br />
k<br />
Fe<br />
k<br />
k<br />
k<br />
D<br />
k<br />
k<br />
C<br />
k<br />
k<br />
kA<br />
')<br />
(<br />
2<br />
')<br />
(<br />
2<br />
'<br />
2<br />
')<br />
(<br />
'<br />
2<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
1<br />
1<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
4sin<br />
)<br />
'<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
)<br />
'<br />
(<br />
4sin<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
2(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
)<br />
2<br />
(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
'<br />
16<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
T<br />
R<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
kk<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
e<br />
e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
A<br />
F<br />
T<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Klart!<br />
Fallet då 0<br />
U<br />
E kan konstrueras direkt ur lösningen ovan. I detta fall har<br />
lösningen formen<br />
x<br />
L<br />
Fe<br />
x<br />
L<br />
x<br />
De<br />
Ce<br />
x<br />
x<br />
Be<br />
Ae<br />
x<br />
ikx<br />
x<br />
x<br />
ikx<br />
ikx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
)<br />
(<br />
,0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
,<br />
)<br />
(
2 2 2 2<br />
k <br />
2mE<br />
2m(<br />
U<br />
0<br />
E)<br />
där E U<br />
0<br />
k , <br />
2m<br />
2m<br />
<br />
<br />
den sökta lösningen genom att byta ik ' mot . Detta ger<br />
2<br />
2<br />
sin ( k'<br />
L)<br />
sinh ( L)<br />
osv.<br />
ik'<br />
. Alltså fås<br />
Ex5:4 (a) Lösningen har formen<br />
( x)<br />
Ae<br />
ikx<br />
Be<br />
ikx<br />
, x 0<br />
där<br />
2<br />
k<br />
E <br />
2m<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2m<br />
V<br />
( x)<br />
Ce<br />
x<br />
, x 0<br />
2mE<br />
2m(<br />
V E)<br />
k , <br />
<br />
<br />
<br />
2mE(5 / 4 1)<br />
<br />
<br />
2mE<br />
/ 4<br />
<br />
<br />
k<br />
2<br />
Kontinuitetsvillkor:<br />
Bestäm<br />
B, C :<br />
A B C<br />
ikA ikB C<br />
2<br />
ik k / 2 ik 1<br />
2i<br />
(1 2i)<br />
3 4i<br />
( ik)<br />
A ( ik)<br />
B 0 B A A A A A<br />
ik k / 2 ik 1<br />
2i<br />
1<br />
4 5<br />
2ik<br />
2ik<br />
4i<br />
4 4(2 i)<br />
8 4i<br />
2ikA<br />
( ik )<br />
C C A A A A A A<br />
ik <br />
ik k / 2 2i<br />
1<br />
2 i 4 1<br />
5<br />
Lösningen blir:<br />
ikx 3 4i<br />
<br />
( x)<br />
A<br />
e e<br />
5<br />
8 4i<br />
x<br />
( x)<br />
A e , x 0<br />
5<br />
(b) Reflektionskoefficienten blir<br />
ikx<br />
<br />
,<br />
x 0<br />
<br />
R <br />
B<br />
A<br />
2<br />
2<br />
<br />
( ik)<br />
( ik)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
k<br />
k<br />
2<br />
2<br />
1<br />
Ex5:5 (a) Detta kan inte vara ett bundet tillstånd eftersom partikeln till slut kommer<br />
att tunnla ut genom en av barriärerna, och då bli obunden.<br />
(b) Vi kan uppskatta tiden innan partikeln tunnlat ut ur brunnen med följ<strong>and</strong>e<br />
resonemang, som är nära besläktat med analysen av radioaktivt sönderfall.<br />
Studera en partikel med energin E V . Uppskatta hastigheten:<br />
B
2mE<br />
p 2E<br />
E VB<br />
k p k<br />
2mE<br />
v <br />
<br />
m m<br />
Antag nu en semiklassisk bild där elektronen studsar fram och tillbaks mellan<br />
potentialväggarna med separation L , med tiden t L / v L m / 2E<br />
för att<br />
komma från ena väggen till den <strong>and</strong>ra. Sönderfallskonstanten , som är<br />
inversen av livstiden, 1/<br />
, för elektronen i potentialbrunnen är lika med<br />
försöksfrekvensen för att tunnla genom barriären, som är<br />
1/<br />
t v / L 2E<br />
/ m / L försök per sekund, multiplicerat med<br />
tunnlingssannolikheten som är<br />
16E(<br />
V ) 2<br />
2m(<br />
V E)<br />
B<br />
E a<br />
B<br />
<br />
T <br />
e , <br />
2<br />
VB<br />
<br />
för en bred barriär med bredd a . Alltså blir livstiden<br />
1<br />
<br />
<br />
t<br />
T<br />
L<br />
m<br />
2E<br />
16E(<br />
V<br />
<br />
V<br />
B<br />
2<br />
B<br />
1<br />
E)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
exp<br />
2<br />
<br />
<br />
2m(<br />
V<br />
<br />
B<br />
E)<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
För en elektron med a 2L,<br />
L 1Å, E V B<br />
/ 2, V 10 eV blir<br />
10<br />
31<br />
9.110<br />
2 5 1.6<br />
10<br />
1<br />
16<br />
5(10 5) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
exp 2<br />
2<br />
10 <br />
<br />
15<br />
2 10<br />
s<br />
B<br />
2 9.110<br />
(10 5) 1.6<br />
10<br />
31<br />
19<br />
10<br />
11<br />
2 10<br />
19<br />
34<br />
1.05510<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ex5:6 För en bred barriär använder vi approximationen<br />
16E(<br />
V ) 2<br />
2m(<br />
V<br />
B<br />
E a<br />
T <br />
e , <br />
2<br />
VB<br />
<br />
2<br />
a<br />
som är giltig när e 1.<br />
B<br />
E)<br />
Ändringen i tunnlingssannolikheten om L ändras med L är<br />
dT<br />
T<br />
T<br />
L<br />
( 2 ) TL<br />
2L<br />
dL<br />
T<br />
Numeriskt:<br />
2 9.110<br />
31.6<br />
10<br />
1.05510<br />
T<br />
9<br />
2 9 10<br />
0.00110<br />
T<br />
31<br />
19<br />
9<br />
<br />
9 10<br />
m 1<br />
34<br />
9<br />
0.02<br />
En ändring av tunnlingsavståndet med L 0. 001nm ger alltså en fullt mätbar<br />
2% ändring av tunnlingssannolikheten, dvs en 2% ändring i<br />
tunnlingsströmmen.
Ex5:7 I följ<strong>and</strong>e problem ska vi utnyttja ett av kvantmekanikens postulat:<br />
Mätbara kvantiteter representeras av Hermiteska operatorer, dvs<br />
operatorer  som uppfyller<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
1<br />
<br />
dx<br />
Aˆ<br />
<br />
A ˆ *<br />
2<br />
1<br />
2dx<br />
för alla vågfunktioner , 1 2<br />
<br />
<br />
(a) Använd rörelsemängdsoperatorn<br />
tidsberoende Schrödingerekvationen<br />
<br />
pˆ<br />
i<br />
, som är Hermitesk, och<br />
x<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
i<br />
t<br />
2<br />
2<br />
pˆ<br />
h <br />
<br />
<br />
V<br />
( xˆ)<br />
( x,<br />
t)<br />
<br />
2m<br />
<br />
<br />
2m<br />
2<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
V<br />
( x)<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
2<br />
x<br />
för att bestämma tidsderivatan av positionsväntevärdet:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d x d<br />
m<br />
*<br />
<br />
*<br />
<br />
*<br />
m m x t x x t dx <br />
<br />
<br />
i x x i dx<br />
dt dt<br />
(<br />
, ) (<br />
, ) <br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
2 2 *<br />
2 2<br />
m h <br />
h<br />
<br />
*<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
V x x<br />
V dx<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
m x<br />
<br />
<br />
<br />
m x<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
*<br />
*<br />
i<br />
<br />
* i<br />
x x<br />
x x dx<br />
<br />
<br />
* <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx <br />
2 x<br />
x<br />
x x<br />
<br />
x <br />
x x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
i<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
*<br />
<br />
( a):<br />
0<br />
*<br />
1<br />
dx<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
*<br />
*<br />
*<br />
p dx<br />
pdx<br />
pdx<br />
p<br />
<br />
*<br />
( b):<br />
<br />
pdx<br />
I (a) har vi antagit att ( x , t)<br />
0 för x , och i (b) utnyttjat att<br />
rörelsemängdsoperatorn pˆ är en Hermitesk operator.<br />
1<br />
2
(b)<br />
d p<br />
dt<br />
1<br />
<br />
i<br />
1<br />
<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
dt<br />
2<br />
( pˆ<br />
)<br />
<br />
<br />
2m<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
1<br />
pˆ<br />
(<br />
x,<br />
t)<br />
dx <br />
i<br />
V<br />
<br />
pˆ<br />
<br />
<br />
2 *<br />
* 3 1<br />
( pˆ<br />
)<br />
pˆ<br />
( pˆ<br />
)<br />
dx <br />
m <br />
<br />
i<br />
* 1<br />
( pV ˆ ) dx<br />
<br />
i<br />
*<br />
*<br />
( a):<br />
0<br />
<br />
*<br />
* V<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
x<br />
<br />
*<br />
2<br />
pˆ<br />
<br />
pˆ<br />
V<br />
dx<br />
<br />
m<br />
<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
i<br />
t<br />
<br />
V<br />
<br />
x<br />
*<br />
<br />
V<br />
<br />
<br />
<br />
pˆ<br />
<br />
<br />
*<br />
*<br />
*<br />
pˆ<br />
(<br />
<br />
pˆ<br />
i<br />
dx<br />
<br />
t<br />
<br />
pV ˆ <br />
<br />
( b):<br />
(<br />
pV ˆ ) V<br />
( pˆ<br />
)<br />
<br />
) dx<br />
<br />
<br />
<br />
I (a) har vi utnyttjat att rörelsemängdsoperatorn är Hermitesk, vilket tillåter oss<br />
att successivt flytta pˆ från första faktorn till <strong>and</strong>ra i integralen:<br />
<br />
<br />
<br />
2 *<br />
* 2<br />
pˆ<br />
pˆ<br />
dx<br />
pˆ<br />
pˆ<br />
dx<br />
<br />
<br />
I (b) har vi utnyttjat:<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
3<br />
pˆ<br />
dx<br />
pˆ<br />
V<br />
i<br />
V<br />
V i<br />
x x<br />
<br />
<br />
iV<br />
<br />
x<br />
( pV ˆ ) V<br />
( pˆ<br />
)<br />
5.8 Flytta först  och sedan Bˆ till första faktorn:<br />
Detta ger:<br />
<br />
<br />
<br />
ˆ ˆ<br />
<br />
*<br />
( BA)<br />
dx<br />
<br />
<br />
*<br />
(<br />
ˆ ˆ *<br />
) <br />
<br />
BA<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
* ˆ ˆ *<br />
* ˆ<br />
ABˆ<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
( A)<br />
Bˆ<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
ˆ<br />
<br />
BAdx<br />
<br />
dvs reellt.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
AB ˆ ˆdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
AB ˆ ˆdx<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
BA ˆ ˆdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
AB ˆ ˆdx<br />
<br />
*<br />
<br />
*<br />
AB ˆ ˆdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 Re<br />
<br />
*<br />
BA ˆ ˆdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
AB ˆ ˆdx
Pss blir<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dvs imaginärt.<br />
*<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Aˆ Bˆ<br />
BA ˆ ˆ<br />
*<br />
dx<br />
AB ˆ ˆ<br />
*<br />
dx<br />
AB ˆ ˆ<br />
*<br />
dx<br />
2Im AB ˆ ˆdx<br />
<br />
<br />
Ex5:9 Fyll i de saknade stegen på föreläsningen i härledning av Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation. Låt ( x)<br />
(<br />
x)<br />
( x)<br />
, där ( x),<br />
(<br />
x),<br />
( x)<br />
är komplexa<br />
funktioner och är ett komplext tal. Eftersom<br />
så måste<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
( x)<br />
*<br />
dx<br />
<br />
2<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
dx 0<br />
*<br />
dx<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
2<br />
dx 0<br />
Eftersom denna olikhet gäller för alla värden på , så gäller den när ges<br />
av<br />
(a) Schwarz olikhet:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
dx<br />
<br />
2<br />
dx <br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
*<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
*<br />
dx<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx <br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
*<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
dx<br />
dx 0, <br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
*<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx <br />
*<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
dx<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
dx dx<br />
dx<br />
dx<br />
dx dx<br />
dx 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
*<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
*<br />
<br />
<br />
2<br />
dx 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
dx<br />
2
(b) Välj ( x)<br />
Aˆ<br />
,<br />
( x)<br />
Bˆ<br />
. Schwarz olikhet ger:<br />
(c)<br />
A<br />
2<br />
B<br />
2<br />
(5.8) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
Aˆ<br />
dx Bˆ<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
<br />
ˆ 2<br />
A A dx<br />
B<br />
<br />
<br />
<br />
*<br />
ˆ 2<br />
A dx<br />
<br />
ˆ 2<br />
A<br />
*<br />
AB ˆ ˆdx<br />
ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
* AB BA <br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
<br />
2<br />
A<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
* ˆ ˆ<br />
<br />
B<br />
<br />
Re<br />
<br />
<br />
ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
* AB BA <br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
<br />
2<br />
A,<br />
B<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
*<br />
Aˆ<br />
Bˆ<br />
dx<br />
<br />
ABdx<br />
* ˆ ˆ<br />
<br />
ABdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
Im<br />
<br />
<br />
ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
* AB BA <br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
* ˆ ˆ<br />
<br />
ABdx<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
För osäkerheterna <br />
A A A A , A<br />
A A<br />
ˆ<br />
2<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
2<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
, osv, fås<br />
2<br />
A<br />
B<br />
2<br />
2<br />
Aˆ,<br />
Bˆ<br />
Aˆ,<br />
Bˆ<br />
<br />
<br />
4<br />
AB<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
A ˆ,<br />
B ˆ<br />
<br />
4<br />
2<br />
<br />
vilket kallas generaliserade Heisenbergs osäkerhetsrelation. Valet<br />
Aˆ<br />
xˆ,<br />
Bˆ<br />
pˆ<br />
ger ”vanliga” osäkerhetsrelationen: xˆ<br />
, pˆ<br />
i<br />
<br />
x<br />
p<br />
<br />
<br />
2
Kap. 6<br />
Ex6:1 (a) Det klassiska värdet på rörelsemängdsmomentet är<br />
31<br />
3<br />
33<br />
L r p rp mvr 9.110<br />
10<br />
10<br />
9.110<br />
kg m 2 /s<br />
Kvantmekaniskt blir<br />
rmv <br />
1<br />
l <br />
2<br />
1<br />
4<br />
L <br />
l( l 1) . Sätt dessa lika:<br />
rmv<br />
l(<br />
l 1)<br />
l(<br />
l 1)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
rmv<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
1 9.110<br />
<br />
4 1.05510<br />
33<br />
34<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
86<br />
(b)<br />
L z<br />
m , m l,...,<br />
l ger 2l 1<br />
173 olika värden.<br />
(c)<br />
<br />
L<br />
L z<br />
<br />
<br />
l(<br />
l 1)<br />
<br />
<br />
1<br />
l(<br />
l 1)<br />
0.012<br />
Ex6:2 (a) I grundtillståndet är banrörelsemomentskvanttalet lika med noll, och totala<br />
1<br />
rörelsemängdskvanttalet j s . Alltså fås två energinivåer:<br />
2<br />
E m<br />
g<br />
s<br />
B <br />
Energisplittring:<br />
B <br />
<br />
<br />
<br />
24<br />
24<br />
24<br />
<br />
B<br />
<br />
B<br />
9.27 10 0.5 9.27 10 0.5 4.6 10 J<br />
5<br />
2.9<br />
10<br />
eV<br />
E<br />
2sg<br />
5<br />
<br />
B<br />
B 5.810<br />
eV<br />
(b) Protonens magnetiska moment kan ha komponenten längs det pålagda<br />
fältet som kan vara antingen med eller motriktat, vilket ger en uppsplittring<br />
av energin i två nivåer. Dessa nivåer är<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
E m<br />
27<br />
27<br />
j<br />
2.79 <br />
N<br />
B 0.5<br />
2.79 5.05<br />
10<br />
0.5 3.5 10<br />
J<br />
8<br />
2.2<br />
10<br />
eV<br />
Splittringen är<br />
8<br />
E<br />
2m<br />
j<br />
2.79 <br />
N<br />
B 4.4 10<br />
eV<br />
Ex6:3 (a) I stället för att räkna på två partiklar med vardera massa m som sitter på<br />
avståndet a och roterar runt tyngdpunkten, så studerar vi ett ekvivalent
system med en partikel med massa ( 2m ) som snurrar med hastighet v i<br />
en cirkelrörelse med radien a / 2 . Dessa system har samma energi som<br />
1 2 2<br />
ges av E <br />
2<br />
( 2m)<br />
v mv . Uttryck detta i kvadraten på<br />
rörelsemängdsmomentet. Vektorprodukten mellan position och<br />
a <br />
L<br />
rörelsemängd har L r p r p (2m)<br />
v v eftersom<br />
2 <br />
ma<br />
vektorerna är ortogonala. Detta ger<br />
E mv<br />
2<br />
2<br />
L<br />
m<br />
2<br />
m a<br />
2<br />
<br />
2<br />
L<br />
ma<br />
2<br />
Detta är den klassiska rotationsenergin. Den kvantmekaniska<br />
Hamiltonoperatorn blir<br />
ˆ2<br />
ˆ L<br />
H <br />
2<br />
ma<br />
2<br />
Eftersom egenvärdena till rörelsemängden i kvadrat är l(<br />
l 1)<br />
, l 0,1,2 ,...<br />
så blir energiegenvärdena<br />
2<br />
l(<br />
l 1)<br />
<br />
E l<br />
med l 0,1,2 ,...<br />
2<br />
ma<br />
(b) För ett visst värde på l kan m anta värdena m l, l<br />
1,...,<br />
l 1,<br />
l vilket är<br />
2l 1 värden. Degenerationen är alltså 2l 1.<br />
(c) Excitationsenergin till första exciterade tillståndet är<br />
E<br />
E<br />
2<br />
2<br />
1(1<br />
1)<br />
2<br />
21<br />
1<br />
E0<br />
0 2.37 10<br />
2<br />
2<br />
ma<br />
ma<br />
J 0. 015 eV<br />
Ex6:4 Normeringskonstanten<br />
N <br />
1<br />
bestäms i problemet 6.5, och där härleds<br />
3<br />
a<br />
<br />
k ar<br />
k!<br />
även integralen r e dr som behövs i detta problem.<br />
k 1<br />
a<br />
0<br />
(a) Vågfunktionen har inget vinkelberoende, dvs är proportionell mot<br />
klotfunktionen<br />
Y , så banrörelsemängdsmoment är noll.<br />
0<br />
0<br />
(b) Väntevärdet av kinetiska energin:
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
/<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
*<br />
2<br />
)<br />
(2 /<br />
2<br />
1<br />
)<br />
(2 /<br />
1<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
m a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
m<br />
a<br />
dr<br />
e<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
m<br />
a<br />
drd<br />
r<br />
e<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
e<br />
m<br />
a<br />
r<br />
d<br />
m<br />
T<br />
e<br />
e<br />
a<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
e<br />
e<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(uträkning av derivatan:<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
r<br />
e<br />
r<br />
r<br />
r<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
)<br />
Väntevärdet av potentiella energin:<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
a<br />
dr<br />
re<br />
e<br />
a<br />
drd<br />
r<br />
r<br />
e<br />
e<br />
a<br />
r<br />
d<br />
r<br />
e<br />
V<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
0<br />
/<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
2<br />
/<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
3<br />
0<br />
2<br />
*<br />
4<br />
)<br />
(2 /<br />
1<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
1<br />
4<br />
1<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(c) Minimera väntevärdet av totala energin<br />
a<br />
e<br />
m a<br />
V<br />
T<br />
E<br />
e 0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
:<br />
e m e<br />
e<br />
a<br />
a<br />
a<br />
e<br />
m a<br />
da<br />
dE<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
3<br />
2<br />
4<br />
0<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
m<br />
e<br />
m<br />
e<br />
e<br />
m<br />
e<br />
m<br />
E<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Detta är grundtillståndsenergin hos väte.<br />
Ex6:5 (a) Börja med att härleda integralen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
1<br />
!<br />
k<br />
ar<br />
k<br />
a<br />
k<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
Ett snitsigt alternativ till partiell integration är följ<strong>and</strong>e.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
a<br />
ar<br />
d<br />
e<br />
dr<br />
e<br />
x<br />
ar<br />
ar 1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
a<br />
a<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
re<br />
dr<br />
e<br />
da<br />
d<br />
ar<br />
ar<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1<br />
a<br />
a<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
dr<br />
re<br />
da<br />
d<br />
ar<br />
ar
d<br />
da<br />
<br />
<br />
0<br />
r<br />
<br />
2 ar<br />
3 ar<br />
d 2 2 3 3!<br />
e dr r e dr <br />
3 4 4<br />
da<br />
0<br />
a a a<br />
osv. Klart!<br />
Normeringsintegralen blir:<br />
<br />
<br />
0<br />
( r)<br />
1<br />
2<br />
4r<br />
2<br />
dr <br />
N<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
4<br />
e<br />
0<br />
2r<br />
/ a<br />
2 2<br />
2<br />
0 2<br />
3<br />
r dr N1<br />
4<br />
N1<br />
a0<br />
1<br />
3<br />
(2 / a )<br />
0<br />
Välj därför<br />
N<br />
1<br />
<br />
1<br />
.<br />
a<br />
3<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
(b) Ortogonalitet:<br />
<br />
<br />
*<br />
2<br />
*<br />
r<br />
/ a0 r<br />
/ 2a0<br />
2<br />
( r)<br />
( r)4r<br />
dr N N 4<br />
e (1 br)<br />
e r dr <br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
( 3 r<br />
2 6<br />
)<br />
3 / 2a<br />
b<br />
r br e dr <br />
3<br />
(3 / 2a<br />
) (3 / 2a<br />
)<br />
4<br />
0<br />
2<br />
2 0 <br />
3 / 2a<br />
b <br />
3<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
1<br />
<br />
2a<br />
Normering:<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
r<br />
/ a 2<br />
2<br />
2 1 3 1<br />
0<br />
4 r<br />
/ a0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
( r)<br />
4r<br />
dr N<br />
2<br />
4<br />
1 r e r dr N<br />
2<br />
4<br />
r r<br />
<br />
<br />
r e dr<br />
2a<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
a<br />
0<br />
0<br />
<br />
2a0<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2 1 6 1 24 <br />
2 3 24<br />
2 3<br />
N<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
N<br />
3<br />
4<br />
5 2<br />
4a<br />
0 2<br />
6 N<br />
2<br />
8a<br />
0<br />
<br />
<br />
1/ a a<br />
0 0 1/ a 2a<br />
0 0 1/ a <br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
0<br />
Välj<br />
N<br />
2<br />
<br />
1<br />
.<br />
8a<br />
3<br />
0<br />
(c) I stället för att plotta <br />
1<br />
och <br />
2<br />
är det bekvämt plotta funktionerna<br />
u( r)<br />
r<br />
( r)<br />
, eftersom sannolikheten att hitta elektronen i r, r dr är<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( r)<br />
4r<br />
dr u(<br />
r)<br />
4dr<br />
. Sätt a<br />
0<br />
1 i figuren. Grundtillståndet (röda kurvan)<br />
motsvarar <br />
1<br />
som saknar nod. Första exciterade tillståndet (gröna kurvan)<br />
motsvarar <br />
2<br />
som har en nod.
Radiella sannolikhetstätheten u (r) plottas i nästa figur.<br />
2
Ex:6.6 Vätes energinivåer är<br />
E<br />
n<br />
<br />
m e<br />
4<br />
e<br />
2 2 2<br />
2(4<br />
0<br />
) n<br />
Med kärnladdning e Ze (elektronladdningen är oförändrad: e ) kommer<br />
energinivåerna att ersättas av<br />
2 4<br />
meZ<br />
e<br />
En<br />
<br />
2 2 2<br />
2(4<br />
) n<br />
(a) He har Z 2 och dess joniseringsenergi blir<br />
2<br />
Li<br />
har Z 3 vilket ger<br />
2<br />
Z 13.6<br />
54.4 eV<br />
2<br />
Z 13.6<br />
122.4 eV<br />
(b) Medelavståndet till kärnan är effektiva Bohrradien, som modifieras enligt<br />
0<br />
a<br />
0<br />
<br />
4<br />
0 4<br />
<br />
2<br />
e m<br />
2<br />
2<br />
0<br />
a0<br />
<br />
2<br />
e Ze m e<br />
För H är a<br />
0<br />
0. 529 Å. För He 2<br />
blir a<br />
0<br />
0. 265 Å, och för Li blir<br />
a 0.176<br />
0<br />
Å. Eftersom elektronbanans radie blir mindre kommer dess<br />
hastighet att öka enligt osäkerhetsprincipen. Därför blir hastigheten mer<br />
relativistisk, och relativistiska korrektioner till energinivåerna blir viktigare.<br />
Kommentar: Den viktigaste relativistiska effekten är spin-ban kopplingen,<br />
som uppkommer på grund av följ<strong>and</strong>e effekt. I en klassisk bild, där<br />
elektronen cirkulerar runt kärnan, kan vi i stället från elektronens<br />
vilosystem anse den positivt laddade kärnan som en cirkuler<strong>and</strong>e ström.<br />
Elektronen omges därför av en cirkuler<strong>and</strong>e elektrisk ström, och denna<br />
genererar ett magnetfält som elektronen känner av. Detta magnetfält<br />
kopplar till elektronspinnet och ger upphov till ett bidrag till energin. Man<br />
kan visa att denna energi är<br />
E<br />
LS<br />
2<br />
Ze<br />
2<br />
8 m c<br />
<br />
2 3<br />
0 e<br />
r<br />
L S<br />
Denna korrektion till energin blir viktigare (=större) för större värden på Z .<br />
Detta är en relativistisk effekt eftersom elektronspinn är en relativistisk<br />
effekt, som förutsägs av den relativistiska Dirac-ekvationen.
Ex6:7 Vågfunktionen innan sönderfallet är<br />
1 r<br />
/ a0<br />
( r)<br />
e<br />
<br />
3<br />
a0<br />
a0<br />
a0<br />
Efter sönderfallet är a0<br />
och vågfunktionen<br />
Z 2<br />
2 2 2r<br />
/ a0<br />
( r)<br />
e<br />
<br />
3<br />
a0<br />
Hur ska vi ställa upp problemet? Låt oss med ett grundlägg<strong>and</strong>e<br />
kvantmekaniskt argument påminna om hur man kommer fram till<br />
sannolikheten att hitta en partikel i ett visst tillstånd i något annat tillstånd.<br />
Anta att vi har en vågfunktion som kan skrivas<br />
<br />
c<br />
1<br />
*<br />
1<br />
<br />
1<br />
c2<br />
2<br />
, c1<br />
<br />
dx<br />
*<br />
där 1, antas vara ortonormala:<br />
2<br />
<br />
1<br />
2dx<br />
0 . Normeringsvillkor:<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
1 dx c dx c dx c c dx c c dx c c<br />
*<br />
1<br />
2<br />
<br />
*<br />
1<br />
2<br />
*<br />
2<br />
1<br />
<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Alltså är sannolikheten att en partikel i tillståndet är i tillståndet lika med<br />
1<br />
c<br />
2<br />
1<br />
<br />
*<br />
dx<br />
1<br />
2<br />
Åter till det aktuella problemet. Om vi anser att sönderfallet sker plötsligt så<br />
stannar elektronen kvar i det gamla grundtillståndet. Sannolikheten<br />
elektronen samtidigt finns i det nya grundtillståndet är<br />
<br />
<br />
0<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
* 2 2 2 1<br />
2r<br />
/ a0 r<br />
/ a 2 128<br />
0<br />
3r<br />
/ a0<br />
2<br />
( r)<br />
( r)4r<br />
dr 4<br />
<br />
e e r dr<br />
<br />
6 <br />
e r dr<br />
<br />
3 3<br />
<br />
a<br />
0<br />
a<br />
0 0<br />
a0<br />
0 <br />
128 2<br />
<br />
6 <br />
a0<br />
(3 / a<br />
0<br />
)<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
128<br />
3<br />
2<br />
6<br />
0.702<br />
2<br />
<br />
Ex6:8 (a) Normering:<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
2 2( l1)<br />
2r<br />
/( l1)<br />
a<br />
2 (2l<br />
2)!<br />
0<br />
R ( r)<br />
r dr u(<br />
r)<br />
dr N r e dr N<br />
1 <br />
2l3<br />
(2 /( l 1)<br />
a )<br />
0<br />
0<br />
N<br />
2<br />
0<br />
2<br />
<br />
(<br />
l 1)<br />
a<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2l3<br />
1<br />
(2l<br />
2)!<br />
0
(b) Den mest sannolika radien hos tillståndet maximerar sannolikheten:<br />
d u<br />
dr<br />
2<br />
dr<br />
e<br />
dr<br />
2( l 1)<br />
2<br />
<br />
<br />
r ( l 1)<br />
a<br />
2<br />
r ( l 1)<br />
a<br />
<br />
r<br />
<br />
2( l1)<br />
2r<br />
/( l1)<br />
a0<br />
2( l1)<br />
2r<br />
/( l1)<br />
a0<br />
~ e<br />
0<br />
0<br />
0 <br />
(c) Väntevärdet hos radien blir<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
r u(<br />
r)<br />
2<br />
<br />
(<br />
l 1)<br />
a<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
dr <br />
(<br />
l 1)<br />
a<br />
2l3<br />
2l3<br />
1 (2l<br />
3)!<br />
(2l<br />
2)! (2 /( l 1)<br />
a )<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
(d) Väntevärdet hos radien i kvadrat blir<br />
r<br />
2<br />
<br />
(<br />
l 1)<br />
a<br />
u(<br />
r)<br />
0<br />
2l3<br />
2<br />
dr <br />
(<br />
l 1)<br />
a<br />
1 (2l<br />
4)!<br />
(2l<br />
2)! (2 /( l 1)<br />
a )<br />
1<br />
(2l<br />
2)!<br />
0<br />
2l4<br />
1<br />
(2l<br />
2)!<br />
2l5<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
rr<br />
2( l1)<br />
e<br />
2r<br />
/( l1)<br />
a0<br />
(2l<br />
3)( l 1)<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
2l3<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
2 2( l1)<br />
2r<br />
/( l1)<br />
a0<br />
<br />
<br />
0<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
(e) Visa att osäkerheten i radien<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
r<br />
r<br />
e<br />
0<br />
dr <br />
dr <br />
2<br />
(2l<br />
4)(2l<br />
3)( l 1)<br />
a<br />
<br />
4<br />
r blir liten jämfört med r när<br />
2<br />
0<br />
l .<br />
r<br />
r<br />
<br />
r<br />
r<br />
<br />
r<br />
2<br />
<br />
r<br />
r<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
1 (2l<br />
4)(2l<br />
3)( l 1) a0<br />
<br />
2 2<br />
(2l<br />
3) ( l 1)<br />
a<br />
2 / 4<br />
0<br />
/ 4<br />
1<br />
<br />
<br />
2l<br />
4<br />
1<br />
<br />
2l<br />
3<br />
1<br />
2l<br />
3<br />
0, l <br />
(f) Hitta den klassiska radien r c<br />
genom att minimera den effektiva potentiella<br />
energin<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
dVeff<br />
( r)<br />
d L e L e<br />
4<br />
0L<br />
<br />
r<br />
2<br />
3<br />
2<br />
c 2<br />
dr dr<br />
<br />
0<br />
2mr<br />
4<br />
0r<br />
<br />
<br />
mr 4<br />
0r<br />
e m<br />
Kvoten mellan den mest sannolika radien och den klassiska radien:<br />
2
rc<br />
2<br />
( l 1)<br />
a<br />
<br />
2<br />
4<br />
L / e<br />
0<br />
l(<br />
l 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
L<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
e m(<br />
l 1)<br />
<br />
2<br />
m 4<br />
L<br />
( l 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
L<br />
2<br />
0<br />
2<br />
4<br />
0<br />
2<br />
e m<br />
( l 1)<br />
<br />
1<br />
l(<br />
l 1)<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( l 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
L<br />
<br />
1<br />
1<br />
1, l <br />
l<br />
Kvoten mellan väntevärdet hos radien och den klassiska radien:<br />
r<br />
rc<br />
(2l<br />
3)( l 1)<br />
a<br />
<br />
2<br />
(2l<br />
3)( l 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
2L<br />
2<br />
0<br />
2<br />
e m<br />
<br />
4<br />
L<br />
0<br />
2<br />
2l(<br />
l 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
2L<br />
2<br />
(2l<br />
3)( l 1)<br />
4<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
2 e m<br />
3( l 1)<br />
<br />
<br />
2<br />
2L<br />
2<br />
3( l 1)<br />
<br />
1<br />
2l(<br />
l 1)<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
e m<br />
<br />
4<br />
L<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1<br />
<br />
3<br />
2<br />
1, l <br />
l<br />
Detta visar att både den mest sannolika radien och medelvärdet hos<br />
radien blir lika med den klassiska radien då l , för en partikel i en<br />
Coulomb-potential med huvudkvanttalet n l 1<br />
och<br />
rörelsemängdsmomentet L l( l 1) .
Kap 7<br />
Ex7:1 a) Energin för magnetisk dipol i B-fält: U <br />
B<br />
För e - qe<br />
: g<br />
S där gyromagnetiska faktorn g e e ≈2 och S är<br />
2me<br />
rörelsemängdsmomentet från spinnet (och q e är enhetsladdningen)<br />
B definierar då den axeln längs vilken vi projicerar spinnet,<br />
elektronen som är en spinn-½ partikel.<br />
1<br />
S<br />
z<br />
för<br />
2<br />
Energiskillnad:<br />
E g<br />
e<br />
q<br />
e<br />
2m<br />
e<br />
1<br />
B<br />
2<br />
<br />
<br />
1 <br />
qe<br />
g<br />
e<br />
B<br />
2 <br />
2me<br />
Foton har E=hf<br />
B <br />
1<br />
g<br />
e<br />
2m<br />
q<br />
e<br />
e<br />
hf<br />
<br />
h<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
g<br />
e<br />
4<br />
m<br />
31<br />
9<br />
1 4<br />
9,109 10<br />
kg 9,75 10<br />
s<br />
<br />
19<br />
2 1,602 10<br />
C<br />
q<br />
e<br />
1<br />
e<br />
f<br />
0,35T<br />
b) U ( positiv konst.)<br />
S<br />
z<br />
dvs högst energi då spinnet är riktat med B-<br />
fältet.<br />
Elektronens spinn är urspungligen riktat mot magnetfältet och blir efter<br />
spinn-flip där energi tillförs riktat med magnetfältet.<br />
Ex7:2 Syreatom har Z=8, dvs 8 elektroner.<br />
I grundtillståndet:<br />
Skal n l Möjliga m l Antal e - som Antal e - i Spinn<br />
får plats syre<br />
1s 1 0 0 2 2 ↑↓<br />
2s 2 0 0 2 2 ↑↓<br />
2p 2 1 -1,0,1 6 4 ↑↓ ↑ ↑<br />
Syres elektronkonfiguration: 1s 2 2s 2 2p 4
2<br />
2<br />
Ex7:3 a) J L S betrakta | J | | L S | som kommer att innehålla<br />
skalärprodukten L S som en term:<br />
2<br />
| J | J J L S L S L L S S 2L<br />
S<br />
<br />
|<br />
<br />
<br />
|<br />
L |<br />
1 2 2 2<br />
L S J | | L | | S |<br />
2<br />
Detta operatoruttryck får nu verka på ett tillstånd ψ:<br />
1 2 2 2 1<br />
L S | J | | L | | S | j(<br />
j 1)<br />
(<br />
1)<br />
s(<br />
s 1)<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
| S |<br />
2<br />
2L<br />
S<br />
2<br />
<br />
b) Samtidigt gället att L S | L | | S | cos<br />
där är vinkel mellan de två.<br />
1<br />
<br />
j(<br />
j 1)<br />
(<br />
1)<br />
s(<br />
s 1)<br />
<br />
L S<br />
L S <br />
<br />
cos<br />
arccos<br />
arccos<br />
2<br />
<br />
| L | | S |<br />
| L | | S | (<br />
1)<br />
s(<br />
s 1)<br />
<br />
<br />
<br />
P 1/2 : ( ½ betyder j=½ , P står för l=1 )<br />
<br />
1 1 3 1 3 <br />
( ) 1(2)<br />
( ) <br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
arccos<br />
<br />
arccos<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 <br />
2 <br />
<br />
145<br />
3<br />
<br />
P 3/2 : (3/2 betyder j=3/2 , P står för l=1 )<br />
<br />
1 3 5 1 3 <br />
( ) 1(2)<br />
( ) <br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
arccos<br />
<br />
<br />
arccos<br />
<br />
3 <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 <br />
1<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
66<br />
D 3/2 : ( 3/2 betyder j=3/2 , D står för l=2 )<br />
<br />
1 3 5 1 3 <br />
( ) 2(3) ( ) <br />
2 2 2 2 2<br />
<br />
arccos<br />
<br />
arccos<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
2 <br />
3 <br />
<br />
135<br />
6<br />
<br />
Ex7:4 Enligt klassisk mekanik är rörelsemängdsmomentet L I <br />
där I är<br />
tröghetmomentet och vinkelfrekvensen (med riktning definierad av<br />
rotationsaxeln).
2mr<br />
För en sfär med radie r i rotation runt axeln genom centrum gäller: I <br />
5<br />
L<br />
Med fås att hastigheten på ytan vid ekvatorn är:<br />
r<br />
2r<br />
<br />
v 2f<br />
2r<br />
r<br />
<br />
T<br />
2<br />
r<br />
L <br />
I<br />
<br />
L gesav spinn 1/2<br />
<br />
5<br />
<br />
2m r<br />
5<br />
3<br />
34<br />
10<br />
<br />
1,054 10<br />
Js 8,4 10<br />
m/s 278 c<br />
31 15<br />
2 9,109 10<br />
kg 310<br />
m 2<br />
e<br />
1 1 <br />
1<br />
2 2 <br />
Vi vet att e - är mindre än 3 fm. Spinnet kan inte förklaras med klassisk<br />
effekt.<br />
2
Kap 8<br />
Ex8:1 a) Väteatomerna är klassiskt särskiljbara partiklar (tillräckligt låg densitet i en<br />
gas att de i princip går att följa) Maxwell-Boltzmann-statistik.<br />
Sannolikheten att en elektron har energi mellan E och E+dE ges av<br />
tillståndstätheten multiplicerat med fördelningsfunktionen, normerat till rätt<br />
totala antal elektroner:<br />
1<br />
P(<br />
E)<br />
D(<br />
E)<br />
N(<br />
E)<br />
M B<br />
dE<br />
N<br />
där D(E) är tillståndstätheten och N(E) är födelningsfunktionen,<br />
E<br />
/ kBT<br />
här Maxwell-Boltzmann-fördelning: N(<br />
E)<br />
M B<br />
Ae där A är en<br />
normeringskonstant.<br />
13,6<br />
Energinivåer i väte: En eV<br />
2<br />
n<br />
För grundtillståndet, n=1, gäller att det kan ha två elektroner (olika spinn) <br />
D(E) =2 (vi bortser från eventuell normeringsfaktor eftersom vi kommer att ha samma<br />
faktor för det exciterade tillståndet och vi skall jämföra förhåll<strong>and</strong>en).<br />
Det första exciterade tillståndet, n=2, kan ha l=0 elller l=1 vilket ger 4<br />
gånger så många möjliga tillstånd som i grundtillståndet (l=1 kan ha tre<br />
olika värden på m l )<br />
Det <strong>and</strong>ra exciterade tillståndet har degerenationsgrad 2(4+5)=18<br />
Förhåll<strong>and</strong>et blir då:<br />
E<br />
/ k T<br />
1 1 <br />
2 B<br />
P ( E<br />
k T<br />
m<br />
) D(<br />
E<br />
B<br />
m<br />
) N(<br />
Em<br />
) Normeringsfaktorer<br />
D(<br />
Em<br />
) e D(<br />
Em<br />
) 13,6<br />
/<br />
2 2<br />
n m<br />
<br />
e<br />
<br />
<br />
<br />
E1<br />
/ kBT<br />
P(<br />
En<br />
) D(<br />
En<br />
) N(<br />
En<br />
) tar ut var <strong>and</strong>ra D(<br />
En<br />
) e D(<br />
En<br />
)<br />
<br />
där k B T skall uttryckas i eV<br />
1 <br />
( <br />
5<br />
13,61<br />
<br />
<br />
/(8,61710<br />
300)<br />
171<br />
P E<br />
P(<br />
E<br />
)<br />
)<br />
8<br />
2<br />
2<br />
4 <br />
<br />
a) T=300 K : e<br />
10 0<br />
1<br />
P E<br />
P(<br />
E<br />
)<br />
)<br />
18<br />
2<br />
3<br />
9 <br />
1,<br />
b) T=100 000K: e<br />
9 e 2, 2<br />
<br />
1 <br />
( <br />
5<br />
13,61<br />
<br />
<br />
/(8,61710<br />
100000)<br />
40<br />
1<br />
(Temperaturen skall jämföras med solytans, som är ca 6000 K.)<br />
Ex8:2 a)Totala antalet elektroner ges av<br />
N<br />
<br />
<br />
0<br />
dn<br />
dE<br />
(boken använder D(E) för dn/dE och N(E) F-D för f FD )<br />
Vid T=0 är f FD =1 då E E F och f FD =0 då E > E F .<br />
f<br />
FD<br />
dE
N<br />
E<br />
F<br />
EF<br />
3 / 2<br />
dn<br />
2 4me<br />
V<br />
3 /<br />
3 / 2<br />
dE 4m<br />
E<br />
2 2 F<br />
dE<br />
0 3<br />
2<br />
lös ut E F<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
4m<br />
3<br />
3 / 2<br />
e<br />
2<br />
N<br />
V<br />
<br />
<br />
<br />
2 / 3<br />
2<br />
<br />
<br />
m<br />
e<br />
2<br />
3<br />
<br />
2<br />
2<br />
N<br />
V<br />
<br />
<br />
<br />
2 / 3<br />
b) Vi behöver N/V (densitet av ledningselektroner). Varje atom bidrar en<br />
elektron. Med densiteten och atommassan m Cu får vi:<br />
3 3<br />
N 8,96<br />
10<br />
kg/m<br />
28 3<br />
<br />
8,49 10<br />
m<br />
-27<br />
V 63,546u 1,6605<br />
10<br />
kg/u<br />
m Cu<br />
2<br />
34<br />
(1,055 10<br />
Js) 3<br />
28<br />
2<br />
18<br />
1,1310<br />
E F<br />
<br />
8,49 10<br />
m 1,1310<br />
J <br />
31<br />
<br />
9,109 10<br />
kg 2<br />
2 <br />
1,602 10<br />
c) k<br />
BT<br />
( T 300K)<br />
0, 02525eV<br />
EF<br />
Vid ökad temperatur minskar EF<br />
något. Här är k B T så liten att ändringen som är mindre än k B T kan<br />
försummas.<br />
2 / 3<br />
18<br />
19<br />
J<br />
J/eV<br />
7,0eV<br />
Ex8:3 Plancks strålningslag:<br />
dE 1<br />
<br />
5<br />
d<br />
<br />
1<br />
/ k T<br />
e hc B<br />
1<br />
Max då derivatan m.a.p. är noll:<br />
5<br />
<br />
6<br />
e<br />
1 e<br />
7<br />
<br />
( e<br />
e<br />
<br />
hc<br />
( e<br />
hc / kB<br />
/ kBT<br />
1<br />
hc / kBT<br />
hc / kBT<br />
hc / kBT<br />
1 <br />
<br />
5<br />
1<br />
<br />
( e<br />
1)<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
<br />
1)<br />
<br />
<br />
hc<br />
k<br />
BT<br />
hc<br />
k<br />
B<br />
hc / k<br />
5<br />
<br />
6<br />
T e<br />
5 0<br />
1 <br />
2<br />
1)<br />
e<br />
BT<br />
<br />
1<br />
hc / kBT<br />
hc / kBT<br />
0<br />
1<br />
hc 1 <br />
0<br />
2<br />
<br />
k T <br />
B<br />
x<br />
hc e <br />
Sätt x ger 5<br />
k<br />
BT<br />
<br />
( 1)<br />
x<br />
x<br />
e <br />
hc<br />
hc<br />
4,965<br />
max<br />
<br />
maxk<br />
BT<br />
4, 965k<br />
BT<br />
vilket löses numeriskt: x ≈4,965<br />
Ex8:4
a) xp<br />
x<br />
men<br />
2 2p<br />
<br />
p<br />
<br />
2<br />
<br />
p<br />
2<br />
p <br />
2<br />
p<br />
2<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
2 p<br />
2<br />
<br />
Med<br />
p<br />
2 <br />
Ekin ~ k<br />
BT<br />
får vi p<br />
2 ~ 2mk<br />
BT<br />
2m<br />
Särskiljbarhet kan uttryckas som att avståndet mellan partiklar är mycket<br />
större än osäkerheten i deras position.<br />
Avstånd mellan partiklar L 1<br />
1/ 3<br />
N <br />
<br />
V <br />
1/ 3<br />
V <br />
L x<br />
<br />
<br />
2 2mk<br />
T N 2 2mk<br />
T<br />
V<br />
N<br />
<br />
<br />
8(2mk<br />
3<br />
B<br />
T )<br />
B<br />
3 / 2<br />
<br />
N<br />
V<br />
<br />
8(2mk<br />
3<br />
B<br />
T )<br />
3 / 2<br />
B<br />
1<br />
b) N/V fås ur allmänna gaslagen.<br />
N p<br />
100kPa<br />
25 <br />
pV Nk<br />
B<br />
T <br />
2,47 10<br />
m<br />
19 V k T 0,02525eV<br />
1,602<br />
10<br />
J / eV<br />
B<br />
3<br />
34<br />
3<br />
N <br />
25<br />
(1,054 10<br />
)<br />
2,47 10<br />
3 / 2<br />
V 8(2mk<br />
)<br />
27<br />
BT<br />
82<br />
4 1,66<br />
10<br />
0,025251,602<br />
10<br />
vilket är helt klart
n<br />
E2<br />
/ k<br />
2<br />
2 ( ) / 8 2 BT<br />
g Ae g<br />
5<br />
E1<br />
E2<br />
k BT<br />
( 13.63.4eV)<br />
/(8.61710<br />
eV/K)(15000K) 7.89<br />
3<br />
<br />
e e<br />
4e<br />
1,5 10<br />
<br />
E1<br />
/ k BT<br />
1<br />
g1Ae<br />
g1<br />
2<br />
n<br />
Ex8:6 Bindningsenergi för grundtillståndet i väte = 13,6 eV, vilket motsvarar ljus med<br />
våglängden = hc/E 1240 eVnm/13,6 eV 91,2 nm.<br />
Wiens förskjutningslag max T = 2,89810 -3 mK ger att detta motsvarar<br />
T2,89810 -3 mK/91,210 -9 m 32 800 K.
Kap 9. Molekylfysik.<br />
Ex9:1 Vibrationer i tvåatomig molekyl kan beskrivas av Morsepotentialen<br />
<br />
rR<br />
<br />
2 0<br />
U ( r)<br />
U<br />
0<br />
1<br />
e<br />
a) Jämviktsavståndet motsvarar ett minimum för potentialen (naturen strävar<br />
alltid efter lägsta energistillståndet).<br />
Minimum:<br />
dU ( r)<br />
<br />
( rR<br />
)<br />
( 0 )<br />
( 0 )<br />
2U<br />
0<br />
e 1<br />
0 1<br />
0 <br />
rR<br />
<br />
rR<br />
e e 0 r R 0<br />
dr<br />
<br />
b) Potentialen på långt avstånd: U ( r )<br />
U<br />
0<br />
1<br />
e U<br />
01<br />
0 U<br />
0<br />
c) Nära R 0 kan vi serieutveckla Morse-potentialen<br />
Taylor-utveckling kring a:<br />
f '( a)<br />
f ''( a)<br />
2<br />
3<br />
f ( x)<br />
f ( a)<br />
( x a)<br />
( x a)<br />
((<br />
x a)<br />
)<br />
1!<br />
2!<br />
dU<br />
2U<br />
0<br />
dr<br />
dU ( r R<br />
dr<br />
2<br />
d U dU<br />
<br />
2<br />
dr dr<br />
2<br />
d U ( r R<br />
dr<br />
2<br />
e<br />
0<br />
)<br />
( r R<br />
<br />
0<br />
0<br />
)<br />
<br />
1 e<br />
( r R<br />
<br />
( rR0<br />
) <br />
( rR0<br />
)<br />
2 <br />
( rR0<br />
) <br />
( rR0<br />
)<br />
2U<br />
e<br />
1<br />
e <br />
2U<br />
e 2e<br />
1<br />
0<br />
0<br />
)<br />
2U<br />
0<br />
2<br />
<br />
Taylorutvecklingen blir då:<br />
2<br />
2U<br />
0<br />
2<br />
3<br />
2<br />
U ( r)<br />
0 0( r R ) ( r R0<br />
) ( r R0<br />
) U<br />
0<br />
( r R<br />
2<br />
0<br />
)<br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
2<br />
0 0<br />
)<br />
Detta liknar potentialen för en harmonisk oscillator med x = r - R 0 :<br />
U<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
2 1 2 2<br />
K<br />
m<br />
<br />
m<br />
2<br />
( x)<br />
Kx<br />
x<br />
Identifiera termer:<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
m<br />
x<br />
2<br />
2<br />
U x<br />
0<br />
2<br />
<br />
K<br />
2<br />
m<br />
2U<br />
0<br />
2<br />
<br />
d) Potentialen i jämviktsläget U(R 0 ) är 0. På oändligt avstånd motsvar<strong>and</strong>e<br />
två fria atomer är potentialen U 0 . Lägsta energistillståndet har en energi ≠<br />
0. Dissociationsenergin är den energi som måste tillföras en molekyl (i<br />
grundtillståndet) för dess energi skall överstiga ”potentialbarriären”, dvs
potentialen för fria atomer. Dissocioations energi är därmed skillnaden<br />
mellan potentialen i ∞ (U 0 ) och lägsta energinivån.<br />
E<br />
diss<br />
U<br />
0<br />
E<br />
vib<br />
<br />
( )<br />
Evib(0)<br />
<br />
(0) 2 16U<br />
<br />
enligt lydelsen<br />
0<br />
2<br />
<br />
<br />
U<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
( )<br />
<br />
2 16U<br />
0<br />
2<br />
e) Givet K = 573 N/m och E diss = 4,52 eV, beräkna U 0 och . Enklast att<br />
använda elektronvolt mm som enheter.<br />
K = 573 Nm/m 2 / 1,60210 -19 J/eV ≈ 3,5710 21 eV/m 2<br />
Vi använder uttrycket för dissociationsenergin för att skapa ett uttryck för<br />
U 0 .<br />
U<br />
2<br />
0<br />
U<br />
<br />
U<br />
0 E<br />
2<br />
0<br />
diss<br />
<br />
E<br />
<br />
4 2<br />
diss<br />
<br />
E<br />
<br />
4 2<br />
diss<br />
( )<br />
<br />
16<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
E<br />
<br />
4 2<br />
E<br />
2<br />
diss<br />
4<br />
2<br />
0<br />
diss<br />
E<br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
diss<br />
<br />
<br />
<br />
( )<br />
<br />
16<br />
2<br />
<br />
får ur K<br />
m<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
K<br />
m<br />
där m är den reducerade massan.<br />
m<br />
m<br />
m<br />
H<br />
H<br />
m<br />
m<br />
H<br />
H<br />
<br />
m<br />
2<br />
H<br />
2<br />
1,0079u<br />
931,5( MeV / c ) / u<br />
<br />
2<br />
<br />
K<br />
m<br />
≈ 469,4 MeV/c 2 eV<br />
6,582 10<br />
16<br />
eVs 2,757810<br />
6<br />
m<br />
1<br />
2,99810<br />
8<br />
ms<br />
1<br />
0,544<br />
2<br />
0,544 4,52 4,52 4,52 0,544<br />
U<br />
0<br />
<br />
2,40 2,39 4, 79eV<br />
4 2 4 4<br />
(Lösning 0,01 eV är ofysikalisk)<br />
<br />
K<br />
2U<br />
0<br />
<br />
3,5710<br />
24,79<br />
21<br />
2,7310<br />
10<br />
m<br />
1
Ex9:2 Övergångarna motsvarar en ändring av vibrationskvanttalet en enhet<br />
samtidigt med ett antal olika rotationsövergångar vardera med 1. En<br />
övergång i mitten ”saknas”. Denna motsvarar 0 och ger då energin för<br />
vibrationsövergången: 0.317 eV.<br />
Vi har då att E <br />
. Den söka kraftkonstanten ges av<br />
2<br />
2 E<br />
<br />
K <br />
<br />
<br />
Där den reduducerade massan för HBr är<br />
m mBr<br />
.0079 79.904<br />
<br />
0.9953u<br />
1.660510<br />
m m 1.0079 79.904<br />
Vi får<br />
H 1 27<br />
27<br />
H<br />
Br<br />
E<br />
K <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
0 27<br />
.317eV <br />
<br />
-16<br />
<br />
6.582 10<br />
eV s<br />
<br />
1.65310<br />
kg / u 1.65310<br />
kg <br />
383 N/m<br />
kg<br />
Ex9:3 Fotonenergier: E=hc/λ = 1240 eV nm 0,481, 0,961, och 1,442 meV<br />
Vilka övergångar? De låga energiskillnaderna tyder på övergångar i<br />
rotationstillstånd.<br />
2<br />
<br />
För dessa gäller: E rot <br />
1<br />
2ICM<br />
Om lägsta övergången var l=1 l=0 blir då efterfölj<strong>and</strong>e l=2 1 och l=3 <br />
2.<br />
Vi provar om denna ansats kan vara rätt.<br />
Eftersom tröghetsmomentet är detsamma påverkas förhåll<strong>and</strong>et mellan<br />
fotonenergierna endast av skillnaderna från termerna l(l+1).<br />
10: 1(1+1) – 0(0+1) = 2<br />
21: 2(2+1) – 1(1+1) = 4<br />
32: 3(3+1) – 2(2+1) = 6<br />
Dvs förhåll<strong>and</strong>et mellan energierna skall vara 1, 2 och 3.<br />
Prova: 2*0,481≈ 0,962 meV och 3*0,481 ≈ 1,443 meV. Stämmer bra!!<br />
Vi får då för<br />
2ICM<br />
<br />
1<br />
2 <br />
1<br />
l+1 l : <br />
2<br />
<br />
ΔErot<br />
Om vi tar medelvärdet för de tre övergångarna får vi:<br />
I CM = ħ 2 · ½ ·1/3 (6/1,442 + 4/0,961 + 2/0,481) · 10 3 eV -1 ≈ 9,01·10 -28 eV s 2<br />
Den reducerade massan:<br />
m 12,000 15,995<br />
<br />
C mO<br />
μ<br />
<br />
u 6,86u <br />
mC<br />
mO<br />
12,000 15,995<br />
2<br />
2<br />
1u<br />
931,5 MeV/c <br />
6,39GeV /c
Ger då att bindningslängden är:<br />
8<br />
2<br />
2.998 10<br />
m 0.11 nm<br />
28<br />
9,01 10 <br />
R 0 <br />
<br />
9<br />
6,39 10<br />
<br />
2<br />
Ex9:4 Rotationsenergier ges av E<br />
rot<br />
(<br />
1)<br />
där tröghetsmomentet I CM =μR 0<br />
2ICM<br />
där bindningsavståndet R 0 inte ändras men däremot den reducerade massan μ.<br />
För väte gäller att μ HH = 0,5 m H medan det för HD gäller att μ HD (12)/(1+2) m H<br />
= 2/3 m H<br />
HH<br />
Rotationsenergierna ändras då med en faktor 3<br />
0,5/ 2 0, 75<br />
<br />
1<br />
Vibrationsenergierna ges av E<br />
vib<br />
( ) <br />
där K där<br />
2<br />
kraftkonstanten K inte ändras. Förändringsfaktor blir då<br />
HH<br />
0,75<br />
0,87<br />
<br />
HD<br />
HD<br />
Ex9:5 Nära jämviktspunkten kan potentialen för vibrationsenergier approximeras<br />
med potentialen för en harmonisk oscillator: U( R) = U(R 0 ) + ½ k (R-R 0 ) 2 .<br />
Ur figuren får vi att U(R 0 ) ≈ -2,7 eV, vilket tillsammans med att U( 0,06 nm) ≈<br />
0 ger att k ≈ 2· 2,7 / ( 0, 05) 2 eV/nm 2 . För låga vibrationsenergier gäller E vib<br />
= (v + ½ ) ħω, där ω=√(k/μ). Efterfrågad energiskillnad blir ħω = ħ√(k/μ) ≈<br />
197,3√(2,16·10 3 /4,691·10 8 ) eV ≈ 0,42 eV.<br />
Ex9:6 Skillnaden i fotonenergi hos absorberad och emitterad foton utgör<br />
nivåskillnaden i vibrationsenergi:<br />
hc hc 1240eVnm<br />
1240eVnm<br />
ΔE<br />
vib <br />
<br />
0, eV<br />
λabs<br />
λemit<br />
495nm<br />
520nm<br />
12<br />
Energiskillnaden mellan olika vibrationsnivåer ges av ħω där ω 2 = K/μ=<br />
3,3210 28 s -2 enligt talets lydelse. Detta<br />
ger ħω 6,58210 -16 eV1,8210 14 s -1 0,12 eV. Excitationen sker alltså till det<br />
näst lägsta vibrationstillståndet (v = 1).<br />
Ex9:7 Skillnad i energi mellan inkomm<strong>and</strong>e och spritt ljus är<br />
ger E =1240/514.5 - 1240/520 24 meV.<br />
E<br />
<br />
hc hc<br />
<br />
<br />
l2 l4<br />
vilket
2<br />
<br />
Med E<br />
rot<br />
(<br />
1)<br />
där I CM är tröghetsmomentet, fås energiskillnaden till<br />
2I<br />
E<br />
rot<br />
<br />
<br />
2I<br />
2<br />
CM<br />
CM<br />
<br />
I<br />
(<br />
2)( 3) (<br />
1)<br />
<br />
2<br />
3<br />
2<br />
CM<br />
l2<br />
7<br />
<br />
I<br />
2<br />
CM<br />
Detta ger ett tröghetsmoment av<br />
2<br />
<br />
16<br />
2<br />
I<br />
CM<br />
7 (6.58210<br />
) / 2410<br />
E<br />
7 3<br />
rot<br />
eVs 2<br />
1.26410 -30 eVs 2 1.60210 -19 J/eV 2.0210 -49 kgm 2
Kap 10. Fasta ämnen, halvledare<br />
Ex10:1 Konduktiviteten σ (=1/resistiviteten) ges av j= σE där j är strömtätheten och<br />
2<br />
qe<br />
e<br />
E det elektriska fältet. Men där q e är elementarladdningen, e är<br />
me<br />
densiteten av ledningselektroner och är medeltiden mellan kollisioner.<br />
me<br />
Detta ger: .<br />
2<br />
q <br />
densitet<br />
atomvikt<br />
e<br />
e<br />
3 3<br />
10,5 10<br />
kg / m<br />
28 3<br />
5,86 10<br />
m<br />
-27<br />
<br />
e<br />
<br />
107,868u 1,66<br />
10<br />
kg/u<br />
a)<br />
31<br />
me 9,1094<br />
10<br />
kg<br />
14<br />
<br />
3,78 10<br />
s<br />
2 -8<br />
-19 2<br />
28 3<br />
qe<br />
e<br />
1,6 10<br />
m1,602<br />
10<br />
C<br />
5,86<br />
10<br />
m<br />
b)<br />
Fermihastigheten: vF <br />
2EF<br />
2 5,48ev<br />
3<br />
6<br />
<br />
4,6310<br />
c 1,39 10<br />
m / s<br />
2<br />
me<br />
0,51MeV<br />
/ c<br />
6<br />
14<br />
8<br />
Fria medelväglängden: L vF<br />
<br />
1,39 10<br />
m / s 3,78<br />
10<br />
s 5,27 10<br />
m<br />
c) Antag att varje silveratom upptar volymen d 3 där d är avståndet mellan<br />
närligg<strong>and</strong>e atomer i ett kubiskt gitter. Antalet atomer per m 3 är enligt ovan<br />
5,8610 28 3 28<br />
vilket ger d 1/ 5,86 10<br />
10<br />
2,6 10<br />
m .<br />
Vi ser att L är ca 200 gånger större, dvs elektronerna kolliderar inte med<br />
varje atomerna, utan snarare med oregelbundenheter i gittret eller<br />
vibrationer.<br />
Parantes pga att boken inte härleder formler på ett självklart sätt:<br />
Härledning av varför<br />
v<br />
drift<br />
q<br />
E <br />
e<br />
:<br />
m<br />
e<br />
Ledningselektronerna utan pålagt elektriskt fält rör sig i slumpmässig<br />
riktning mellan kollisioner med en hastighet v. (Kollisionerna sker klassikt<br />
mot atomerna i gittret, och kvantmekaniskt mot vibrationskvanta eller<br />
oregelbundenheter/föroreningar i gittret). När ett elektriskt fält läggs på<br />
kommer elektronerna att ha en rörelse överlagrad den slumpmässiga med<br />
en hastighet v drift mot det elektriska fältet. v är betydligt större än v drift .<br />
Mellan varje kollision färdas en elektron sträckan s pga elektriska fältets<br />
acceleration enligt<br />
Medelsträckan ges då av<br />
2<br />
q E t<br />
s (kraften från det elektriska fältet är ju q e E).<br />
m 2<br />
e <br />
e<br />
2<br />
q t<br />
e<br />
E<br />
s .<br />
m 2<br />
e
Man kan visa att antalet elektroner som kolliderar undet tidsintervallet t till<br />
t+dt ges av exponetialfördelningen<br />
t<br />
/<br />
Ne<br />
n(<br />
t)<br />
.<br />
<br />
Där är meddeltiden mellan kollisioner (visa gärna själv att =).<br />
<br />
1 2 t<br />
/ <br />
2<br />
t Ne<br />
0<br />
2<br />
Vi kan nu beräkna t <br />
2<br />
Detta ger att<br />
<br />
1 t<br />
/ <br />
Ne<br />
v<br />
drift<br />
VSV.<br />
s<br />
<br />
t<br />
2<br />
qe<br />
E qe<br />
E<br />
<br />
m m<br />
e<br />
e<br />
0<br />
Ex10:2 I en metall ligger ferminivån i ledningsb<strong>and</strong>et, medan den i en halvledare<br />
ligger i mitten av b<strong>and</strong>gapet.<br />
Halvledare:<br />
Vid T=0 gäller att valensb<strong>and</strong>et är fyllt medan ledningsb<strong>and</strong>et är tomt.<br />
För vår överslagsberäkning antar vi att tillståndstätheten är i det närmaste<br />
konstant = D i valens och ledningsb<strong>and</strong> men självfallet = 0 i b<strong>and</strong>gapet.<br />
Antalet exciterade elektroner ges då av:<br />
<br />
<br />
1<br />
Egap<br />
/ 2<br />
Nex<br />
D N(<br />
E)<br />
FDdE<br />
D <br />
dE Dk<br />
E E k T<br />
BT<br />
ln(1 e<br />
( F ) / B<br />
e 1<br />
<br />
1<br />
EF<br />
E<br />
2<br />
Egap<br />
/ 2kBT<br />
k<br />
T E <br />
Dk Te<br />
B<br />
gag<br />
gap<br />
B<br />
1<br />
EF<br />
E<br />
2<br />
gag<br />
Totala antalet elektroner i valens och ledningsb<strong>and</strong> N kan uppskattas från<br />
antalet i valensb<strong>and</strong>et vid T = 0. Med konstant D och valensb<strong>and</strong>ets bredd<br />
N<br />
ex<br />
k<br />
BT<br />
Egap<br />
/ 2kBT<br />
E V fås e Ungefärligen motsvar<strong>and</strong>e faktor som k B T/E V<br />
N EV<br />
Egap<br />
/ 2kBT<br />
finns för metall så att skillnaden blir faktorn: e vilket vid T =300 K<br />
och E gap =1,1 eV blir<br />
e<br />
Egap<br />
/ 2kBT<br />
e<br />
5<br />
1,1/(28,61710<br />
300)<br />
5,8 10<br />
10<br />
<br />
Förhåll<strong>and</strong>et mellan resistiviteterna är<br />
10<br />
faktor 3 skillnad mot faktorn från b<strong>and</strong>gapet.<br />
8<br />
1,8<br />
10<br />
9<br />
1,8 10<br />
dvs bara ca en<br />
k T<br />
B<br />
)
Gör vi samma sak för germanium med b<strong>and</strong>gap 0,7 eV får vi:<br />
5<br />
0,7 /(28,61710<br />
300)<br />
6<br />
e 1,3 10<br />
dvs en faktor 2,410 3 större, varför vi förväntar oss<br />
motsvar<strong>and</strong>e faktor lägre resistivitet än för kisel, dvs 410 -3 m.<br />
Ex10:3 För att överföra en elektron från valens- till ledningsb<strong>and</strong>et måste<br />
fotonenergi vara minst lika stor som b<strong>and</strong>gapet, dvs 1,1 eV. Detta ger:<br />
hc 1240eV<br />
nm<br />
<br />
1127nm<br />
vilket är lång ut i det infraröda området.<br />
E 1.1 eV<br />
Kortare våglängd ger högre foton-energi.
Kap 11. Kärnfysik<br />
Ex11:1 Vi beräknar bindningsenergin mha masskillnadsformeln:<br />
E ZM Nm M<br />
bind<br />
23<br />
11<br />
Na :<br />
<br />
H<br />
E<br />
bind<br />
<br />
n<br />
<br />
A<br />
<br />
11 M<br />
H<br />
12mn<br />
M<br />
Na(23)<br />
111,007825<br />
12<br />
1,008665 – 22,989767 931,494 MeV <br />
186,57MeV<br />
Per nukleon: 186,57/23 ≈8,11 MeV/nukleon<br />
23<br />
12<br />
Mg :<br />
Ebind<br />
12 M<br />
H<br />
11m<br />
n<br />
M<br />
Na(23)<br />
<br />
<br />
12 1,007825<br />
111,008665 – 22.994124 931,494 MeV <br />
181,73MeV<br />
Per nukleon: 181,73/23 ≈7,90 MeV/nukleon<br />
Tämligen lika bindningsenergi, vilket innebär att bindningskraften från<br />
stark växelverkan är i stort sett densamma för neutroner och protoner,<br />
men protonerna ger upphov till viss repulsion vilken gör att 23 Mg har<br />
lägre bindningsenergi per nukleon är 23 Na.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ex11:2 Vi beräkna bindningsenergin per nukleon först mha vätskedroppsmodelln,<br />
därefter med masskillnadformeln.<br />
64<br />
Cu<br />
29<br />
:<br />
64<br />
30<br />
Zn :<br />
Z<br />
1 N<br />
Z <br />
2 / 3 Z<br />
E bind<br />
<br />
1A<br />
C2<br />
A C3<br />
C4<br />
<br />
1/ 3<br />
A<br />
A<br />
2 / 3 29 28 35<br />
29<br />
15,8 64 17,8<br />
64 0,71 23,7 <br />
1/ 3<br />
64<br />
64<br />
1011,2 284,8 0,71<br />
203 23,7 0,5625 <br />
568, 9C<br />
MeV<br />
Per nukleon: 568,9/64≈ 8,89 MeV/nukleon<br />
E<br />
bind<br />
<br />
<br />
29 M<br />
H<br />
35mn<br />
M<br />
Cu(64)<br />
558,0MeV<br />
Per nukleon: 558,0/64≈8,72 MeV/nukleon<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
MeV<br />
29 1,007825<br />
35 1,008665 – 63.9297642 931,494 MeV
E bind<br />
A C A<br />
5C<br />
1<br />
2<br />
2 / 3<br />
C<br />
2<br />
Z<br />
1 N<br />
Z <br />
Z<br />
A<br />
1/ 3<br />
C<br />
2 / 3 30 29<br />
15,8 64 17,8<br />
64 0,71 23,7 <br />
1/ 3<br />
64<br />
1011,2 284,8 0,71<br />
217,5 23,7 0,25 <br />
566, MeV<br />
Per nukleon: 566,5/64≈ 8,85 MeV/nukleon<br />
E<br />
bind<br />
<br />
<br />
30 M<br />
H<br />
34mn<br />
M<br />
Zn(64)<br />
559,1MeV<br />
Per nukleon: 559,1/64≈8,74 MeV/nukleon<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
A<br />
<br />
<br />
34 30<br />
64<br />
<br />
2<br />
MeV<br />
30 1,007825<br />
34 1,008665 – 63.92914 931,494 MeV <br />
<br />
64 Zn har högre bindningsenergi än 64 Cu, trots att den har en proton mer.<br />
Detta förklaras av att 64 Zn har ett jämnt antal av både protoner och neutroner<br />
vilket ger ett hårdare bundet tillstånd. Vätskedropsmodellen tar inte hänsyn till<br />
detta. Vätskedroppsmodellen förutsäger dock bindningsenergin i dessa fall<br />
inom 2%.<br />
I verkligheten har vätskedroppsmodellen ännu en term för just jämna<br />
respektive udda antal neutroner och protoner.<br />
<br />
Ex11:3 Om vi beräknar från Q-värdet: 1g av 210 Po som sönderfaller ger en avgiven<br />
energi av Q*N A /M po där poloniumatomens massa M po antas vara 210 u. Under<br />
1 dag sönderfaller en <strong>and</strong>el av 1-e -1/138 av poloniumkärnorna 0,00722<br />
1 g polonium avger då under det först dygnet<br />
E 0,007225,407 MeV6,02210 23 /2101,1110 26 eV. Dödlig absorberad dos<br />
är 0,4 Gy, dvs 0,4 J/(kg kroppsvikt). För en kroppsvikt om 100 kg motsvarar<br />
det 40 J vilket gör att det krävs 40J/(1,1110 26 eV 1,60210 -19 J/eV) g 210 Po <br />
2.25 μg.<br />
Utgick vi istället från informationen att 1 g 210 Po get 140W, får vi under 1 dygn<br />
att 1g ger 3600s 24 140 J/s 1,2110 7 J. 40 J motsvarar då 40/1,2110 7 <br />
3,3 μg.<br />
Hur rimlig är approximationen att vi bara räknar under det första dygnet?<br />
Egentligen är det fel eftersom poloniet knappast har försvunnit ut ur kroppen<br />
så fort. En del atomer blir kvar, en del kommer ut med avföring och kanske<br />
urin. Med en halveringtid om 138 dagar bör man räkna med betydligt längre<br />
tid. Det är också tveksamt att räkna på hela kroppsvikten. Om man förtär<br />
210 Po kommer huvuddelen av strålningen att avges i mer begränsad<br />
kroppsvolym som där kan ge upphov till dödlig skada.
I wikipedia-sidan kan man läsa vidare:<br />
“The fatal dose (LD50, the dose that leads to 50% risk of death) for acute radiation exposure is generally<br />
about 4 Sv [5]. One Bq of 210 Po (i.e., an amount that produces one decay per second) causes a radiation<br />
dose of 0.51 µSv if ingested 210 Po, <strong>and</strong> 2.5 µSv if inhaled [17] . Since 210 Po radiates 166 TBq per gram [17] , a<br />
fatal 4 Sv dose can be caused by ingesting 8 MBq (200 microcurie), about 50 nanogram, or inhaling 1.6<br />
MBq (40 microcurie), about 10 ng. One gram of 210 Po could thus in theory poison 100 millon people. In<br />
addition to the acute effects, short-term radiation exposure carries a long-term risk of death from cancer<br />
of approximately 8% per Sv [6].<br />
In rats a dose of 1.45 MBq/kg (8.7 ng/kg) of 210 Po tends to cause death in about 30 days [18] . By this<br />
measure, 210 Po is 400,000 times more toxic than hydrogen cyanide [7].<br />
The maximum allowable body burden for ingested polonium is only 1,100 Bq (0.03 microcurie), which<br />
is equivalent to a particle weighing only 6.8 picograms. The maximum permissible concentration for<br />
airborne soluble polonium compounds is about 7,500 Bq/m 3 (2 × 10 -11 µCi/cm 3 ). The biological half-life<br />
of polonium in humans is 30 to 50 days. [19]<br />
Notably the death in 2006 of Alex<strong>and</strong>er Litvinenko has been announced as probably due to<br />
210 Po poisoning. [20] ”<br />
Ex11:4 131 I antas ha molvikten 131 g 50 kg 131 I innehåller N 0I = 10/0,131 ·<br />
6,022·10 23 kärnor. Pss innehåller 50 kg 60 Co N 0Co = 10/0,060 · 6,022·10 23<br />
kärnor.<br />
Effekten av den skydd<strong>and</strong>e blydräkten:<br />
För sönderfall från 131 I: 1 mm bly stoppar (1-e -0.1 ) = 9,5% av fotonerna.<br />
Genomsnittligt bidrag blir då 0.905 · 365 keV = 330,3 keV ≈ 5,29·10 -14 J per<br />
sönderfall.<br />
Från 60 Co: 1 mm bly stoppar (1-e -0,05 ) ≈ 4,9 %.<br />
Genomsnittligt bidrag: 0,951 · (1173 + 1332) keV ≈ 3,82·10 -13 J<br />
Eftersom vi gör en överslagsberäkning och en timme
Detta problem innehåller rätt många beräkningar. Diverse mindre slarvfel<br />
innebar inte poängavdrag på tentan. Andra approximationer än de ovan<br />
accepteras om de motiveras på ett korrekt sätt.<br />
Ex11:5 Genom att rita upp ett diagram av logaritmen som funktion av tiden ser man<br />
att det rör sig om två distinka sönderfallskonstanter. Genom att betraka<br />
antal sönderfall per tidsenhet vid 100 respektive 200 s syns tydligt att den<br />
ena halveringstiden är nära 100 s. Mha sönderfallskonstanten<br />
ln 2<br />
3<br />
6.9310<br />
s -1 kan bidraget från sönderfallen från av komponenten<br />
T<br />
1/ 2<br />
med den längre halveringstiden vid 0, 5, 10 och 20 s beräknas med<br />
R = R 0 e -t där R 0 485.2 till 485, 469, 453 och 422 vilket ger att<br />
sönderfallsraten av den kortlivade nukleiden är 41580, 20793, 10398,<br />
2601. Av detta ser man att den kortlivade nukleiden har en halveringstid<br />
som är nära 5 s.<br />
R <br />
ln<br />
2601 <br />
<br />
ln<br />
<br />
0 41580<br />
Sönderfallskonstanten är<br />
R<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0. 1386 .<br />
t<br />
20<br />
Vid tiden t = 0 förväntas vi ha N 0 = R 0 / kärnot av vardera nukleiden dvst<br />
totalt N 41580/0.1386 + 485.2/0.00693 300000 + 70000 3,70 10 5<br />
kärnor<br />
Ex11:6 Bor’s molvikt är 10.811 kg/kmol. I 1m 3 bor finns då 2460/10,811 kmol <br />
227·6,022·10 26 boratomer. Antalet bor-10 kärnor per volymsenhet är då<br />
n0,2·227·6,022·10 26 .<br />
Linjära absorbtionskoefficienten blir då μ = σn där tvärsnittet σ =3835 b =<br />
3835·10 -28 m 2 vilket ger μ 0,2·227·6,022·10 26·3835·10 -28 m -1 10485 m -1 =<br />
10,485 mm -1 .<br />
För att 99% skall stoppas krävs då att e -μx = 0,01 vilket ger att<br />
x = -ln(0,01)·1/μ 4,605/10,485 mm 0,44 mm<br />
Ex11:7 Ur den första figuren ser man 236 U har en bindningsenergi av ca 7,2 MeV per<br />
nukleon. Ur den <strong>and</strong>ra figuren ser man att de vanligaste<br />
sönderfallsprodukterna har massnummer kring 140 och 95. Eftersom två<br />
neutroner frigörs finns 236-2=234 nukleoner som dessa sönderfallsprodukter<br />
skall dela på. Vi väljer då att använda 139 resp 95 nukleoner i de två<br />
fragmenten. Bindningsenergierna för dessa är ca 8,0 resp 8,4 MeV per<br />
nukleon. Q-värdet för reaktionen blir då: 139*8,0 + 95*8,4 – 236*7,2 200<br />
MeV. Varje 236 U-sönderfall ger sålunda ca 200 MeV = 3,2*10 -11 J. Antalet
nödvändiga sönderfall per sekund vid 30% verkningsgrad blir då<br />
N=1*10 9 /(0,3*3,2*10 -11 ) 10 20 . Detta motsvarar ca 235/(6*0,3)*10 -3 0,130 g<br />
235 U som förbrukas per sekund.<br />
Ex11:8 Antalet kärnor per volymsenhet, n, av det undersökta ämnet ges av<br />
densiteten delat med molvikten:<br />
n = 1,5 10 3 kg/m 3 / 14,04 kg/kmol 6,022 10 26 kärnor/kmol 6,4310 28<br />
kärnor/m 3<br />
Om antalet infall<strong>and</strong>e neutroner är N 0 kommer efter sträckan x,<br />
N 0 (1-e -nx ) neutroner att ha absorberats, där är tvärsnittet. Med 30%<br />
effektivitet krävs för att få 100 per dm 2 och s att N 0 100/(0.3(1-e -nx )) <br />
100/(0,3 (1- e -0,410-286,4310280,1 ) 1470 neutroner/(sdm 2 )
Kap12.<br />
Ex12:1 Rörelsemängden hos en foton ges av p = E/c = hf/c = h/λ<br />
Dopplerskiftet vid rörelse bort från ljuskällan ges av<br />
1 β<br />
fobs<br />
fkälla<br />
där β = v/c. Detta ger motsvar<strong>and</strong>e relation för<br />
1 β<br />
rörelsemängden.<br />
p källa = h/450 nm = (4,136·10 -15 eVs · 2,998·10 8 m/s) /(450·10 -9 m · c) = 2.75<br />
eV/c<br />
Pga att ljus reflekteras med samma våglängd som det inföll, blir<br />
överföringen av rörelsemängd dubbelt så stor som det infall<strong>and</strong>e ljusets<br />
rörelsemängd.<br />
Vi får då vid<br />
β =0.1: p trans = 2 · sqrt(0.9/1.1) · 2,75 eV/c ≈ 4,79 eV/c<br />
β = 0.9: p trans = 2 · sqrt(0.1/1.9) · 2,75 eV/c ≈ 1,26 eV/c<br />
Mao mindre rörelsemängdsöverföring vid högre hastighet.<br />
Ex12:2 För accelererad myon gäller att E = γmc 2 . Antalet myoner har minskat med<br />
en faktor 4 efter 2 halveringstider, dvs vid T = 2 ln2 ·τ labb där τ labb pga<br />
tidsdillationen är γτ <br />
E<br />
1000 6<br />
T 2ln2 τ 2 0,693 2,2 10<br />
s 29 ms<br />
2<br />
mc<br />
0,106<br />
Ex12:3 a) <br />
E 2 pc<br />
2<br />
<br />
summan av rörelsemängderna = 0, dvs<br />
är invariant. I masscentrumsystemet för e + e - är<br />
E cm <br />
<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
<br />
E <br />
pc<br />
(9 3,1) (9 3.1) GeV 10,6 GeV<br />
b) Medellivstiden i laboratorie-systemet måste korrigeras för tidsdilatation, dvs<br />
den blir τ där τ är medellivstiden i vilosystemet. Hastigheten partikeln<br />
färdas med är c. Medelsträckan som B 0 -mesonen färdas blir då cτ =<br />
0,556 2,99810 8 m/s 1,53610 -12 s 256 μm.<br />
Ex12:4 Linjära absorbtionskoefficienten fås som μ =ln2/L 1/2 där L 1/2 är<br />
halvvärdestjockleken. Ur detta fås tvärsnittet som σ = μ/n där n är antal<br />
wolframatomer per volymsenhet.
n = densitet N A /molvikt<br />
= 19,310 3 kg/m 3 6,02210 23 atomer/mol / 0,1834 kg/mol 6,3410 28 m -3<br />
a) Detta ger σ = ln2/( L 1/2 n) = 0,693/(810 -3 m 6,3410 28 m -3 ) <br />
13,7 10 -28 m 2 =14 b<br />
b) Sök x så att e -μx = (1-0,80) = 0,20 ger<br />
x = - (ln0,2/ln2) L 1/2 1.609/0.693 8 mm 18,6 mm,<br />
dvs det behövs 37 plattor<br />
1<br />
Ex12:5 Ur Cherenkovformeln fås att 0. 9999164 . Relativistisk<br />
ncos<br />
1<br />
rörelsemängd ges av p mc<br />
där . Detta ger att massan är<br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
p 1<br />
<br />
m <br />
c<br />
myon.<br />
8.2GeV<br />
/ c 0.012930<br />
2<br />
<br />
0.106GeV<br />
/ c . Partikeln bör vara en<br />
0.9999164c<br />
Ex12:6 a) Energierna kring 0.3 eV tyder på en vibrationsövergång med överlagrade<br />
rorationsövergångar. Troligaste vibrationsövergången är från =1 till =0. Vi<br />
antar att spektrumet är ett absorbtionsspektrum. Rotationsövergångar till<br />
vänster om ”hålet” vid ca 0,317 eV är övergångar där<br />
rörelsemängdsmomenskvanttalet l minskar med en enhet och den första<br />
linjen vid 0,315 eV är från l =1 till 0, därefter från l =2 till 1 osv. Till höger<br />
ökar l med en enhet, dvs linjen vid 0,3188 eV är övergången l =0 till 1,<br />
därefter l =1 till 2 vid 0,3205 eV osv.<br />
b) Fotonen har spinn = 1. Eftersom totala rörelsemängdsmomentet skall<br />
bevaras kräver övergången att ∆l = 1.
c) Energiskillnad för övergång mellan l-1 till l ges av:<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
E<br />
E<br />
1<br />
E<br />
(<br />
1)<br />
(<br />
1)<br />
<br />
<br />
2I<br />
I<br />
CM<br />
Energin ∆E räknas från energin för vibrationsövergången. Energiskillnaden<br />
2<br />
<br />
mellan varje linje till vänster (även höger) om ”hålet” motsvarar då . Vi<br />
I<br />
CM<br />
har att I CM = μR 2 0 där μ är den reducerade massan och R 0 atomavståndet.<br />
1,00794 79,904<br />
<br />
u 0.995u<br />
1,00794 79,904<br />
<br />
I<br />
2<br />
CM<br />
fås ur figuren till (0.315 – 0.299)/7 eV≈ 2,3 meV<br />
CM<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
I<br />
CM c 1 (197,3)<br />
R0 <br />
<br />
nm 1,4 Å<br />
2 2<br />
3<br />
6<br />
c<br />
2,3 10<br />
0,995 931,5<br />
10<br />
(Att det inte är helt perfekt syns i figuren eftersom avståndet mellan linjer till<br />
vänster resp. höger om ”hålet” inte är lika. Detta orsakas av att<br />
rotationsnivåerna inte är exakt desamma i de två vibrationstillstånden).<br />
Ex12:7<br />
E <br />
hf<br />
6.610<br />
28<br />
J<br />
Antal kvanta per period är lika med energin per period genom energin per<br />
kvantum:<br />
(utstrålad energi per sekund) (tiden för en period i sekunder) / (energin<br />
3 6<br />
28<br />
25<br />
per kvantum) = ( 50 10<br />
) (10 ) /(6.6 10<br />
) 7.5810<br />
2 2 2 2 2<br />
k (2<br />
) h<br />
h<br />
Ex12:8 E 100 eV 0. 12<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
2mE<br />
nm<br />
Ex12:9 Lösningarna har formen<br />
ikx<br />
Ae<br />
Be<br />
( x)<br />
x<br />
Ce ,<br />
där<br />
2 2 2 2<br />
k <br />
E V0<br />
k <br />
2m<br />
2m<br />
Kontinuitetskrav i x 0:<br />
A B C<br />
ikx<br />
( A B)<br />
k C<br />
,<br />
x 0<br />
x 0<br />
2mE,<br />
<br />
2m(<br />
V<br />
0<br />
E)
Dividera ekvationerna, lös ut<br />
C<br />
B, och förenkla:<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
B<br />
A<br />
C<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
k<br />
k<br />
A<br />
k<br />
k<br />
B<br />
E<br />
V<br />
x<br />
x<br />
k<br />
B<br />
A<br />
B<br />
A<br />
k<br />
B<br />
A<br />
B<br />
A<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1)<br />
(1<br />
1<br />
2<br />
1)<br />
(1<br />
2<br />
1)<br />
(1<br />
1)<br />
(<br />
1<br />
1)<br />
(1<br />
)<br />
/<br />
(<br />
1<br />
)<br />
/<br />
(1<br />
/<br />
1<br />
/<br />
1<br />
1,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ex12:10<br />
0<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
3<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
xe<br />
a<br />
i<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
e<br />
a<br />
i<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
i<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
p<br />
p<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
eftersom integr<strong>and</strong>en är en udda function.<br />
2<br />
2<br />
6<br />
4<br />
2<br />
2<br />
/<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
*<br />
2<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
a<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
a<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
x<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
i<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
p<br />
p<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ex12:11<br />
0<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
*<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
xe<br />
a<br />
dx<br />
xe<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
eftersom integr<strong>and</strong>en är en udda function.<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
6<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
*<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x
Enligt föregående problem är<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0,<br />
a<br />
p<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
(a) Väntevärdet av kinetiska och potentiella energin:<br />
4<br />
4<br />
/<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
/<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m<br />
m<br />
a<br />
m<br />
x<br />
m<br />
m<br />
m<br />
ma<br />
a<br />
m<br />
m<br />
p<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
E OK!<br />
(b)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
a<br />
p<br />
x<br />
a<br />
p<br />
p<br />
p<br />
a<br />
x<br />
x<br />
x<br />
Alltså uppfyller harmoniska oscillatorns grundtillstånd Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
p<br />
x som en likhet.<br />
Ex12:12<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
z<br />
y<br />
x<br />
r<br />
ik<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
ik<br />
y<br />
ik<br />
x<br />
ik<br />
r<br />
ik<br />
k<br />
k<br />
k<br />
m<br />
m<br />
k<br />
E<br />
E<br />
m<br />
k<br />
Ae<br />
k<br />
k<br />
k<br />
m<br />
e<br />
e<br />
Ae<br />
z<br />
y<br />
x<br />
m<br />
Ae<br />
z<br />
y<br />
x<br />
m<br />
z<br />
y<br />
x<br />
m<br />
z<br />
y<br />
x
Ex12:13<br />
Vi kommer att behöva följ<strong>and</strong>e integral:<br />
aq<br />
aq<br />
q<br />
ar<br />
aq<br />
aq<br />
q<br />
ar<br />
aq<br />
q<br />
ar<br />
q<br />
ar<br />
e<br />
a<br />
a<br />
q<br />
a<br />
q<br />
e<br />
a<br />
a<br />
q<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
e<br />
a<br />
a<br />
q<br />
a<br />
e<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
re<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
dr<br />
e<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Vi får nu, med<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
1<br />
2<br />
)<br />
,<br />
,<br />
( 0<br />
/<br />
3<br />
0<br />
a<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
<br />
<br />
:<br />
0.68<br />
5<br />
)<br />
(2 /<br />
2<br />
)<br />
(2 /<br />
2<br />
2 /<br />
4<br />
4<br />
1<br />
4<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
1<br />
/<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e<br />
e<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
a<br />
r<br />
d<br />
dr<br />
r<br />
a<br />
r<br />
P<br />
a<br />
a<br />
r<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Ex12:14 Joniseringsenergin är<br />
1.51<br />
3<br />
13.6<br />
3<br />
)<br />
2(4<br />
0 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
4<br />
3 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
me<br />
E<br />
E<br />
E n eV<br />
Ex12:15 Väntevärdet av potentiella energin är<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
0<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
/<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
/<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
16<br />
1/<br />
6<br />
4<br />
1<br />
1/<br />
2<br />
1<br />
1/<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
4<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
4<br />
0<br />
0<br />
a<br />
e<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
e<br />
dr<br />
e<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
r<br />
a<br />
e<br />
dr<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
r<br />
a<br />
e<br />
r<br />
e<br />
V<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Kinetiska energin fås ur:<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
0<br />
0<br />
2<br />
32<br />
16<br />
2<br />
)<br />
(4<br />
2 a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
V<br />
E<br />
T<br />
V<br />
T<br />
E
Kap 13. Exempeltentamen<br />
1. I ett tabellverk kan man läsa att cτ = 491 μm för en B + -meson, där c är ljushastigheten i<br />
vakuum och τ är medellivslängden i partikelns vilosystem. Samtidigt finner man i<br />
beskrivningen från ett experiment att medelsträckan en B + -meson färdas innan den<br />
sönderfaller är 3 mm. Vilken rörelsemängd måste B + -mesonen ha i experimentet? (Bmesonens<br />
massa är 5279,00,5 MeV/c 2 ) (5p)<br />
Lösning: Rörelsemängd som vi mäter i labbet är p = mγc, där mesonen färdas med<br />
hastighet c. γ är Lorentz-faktorn. Tidsdillatation ger att vi i labbet då mäter en<br />
meddelivstid av γτ vilket ger medesträcka inna sönderfall L= γcτ. Ur detta fås att<br />
γ=L/cτ dvs är p = mγc = mc L/cτ 5279 * 3/0,491 MeV/c 32 GeV/c<br />
2. En elektron med försumbar energi binds med en heliumkärna He 2 .<br />
Vilken våglängd har den emitterade fotonen? (5p)<br />
Lösning:<br />
Den emitterade fotonens energi är samma som minus joniseringsenergin. Med<br />
kärnladdningstalet Z 2 fås:<br />
2 4<br />
mZ e<br />
E En 1 <br />
4 13.6<br />
54.4 eV<br />
2 2<br />
2(4<br />
0<br />
) <br />
Detta motsvarar den emitterade fotonvåglängden<br />
hc hc<br />
E 228 Å<br />
E<br />
3. I en doktorsavh<strong>and</strong>ling som försvarades våren 2006 diskuteras en ny detektor tänkt att<br />
användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna detektor mäts -fotoner som passerat<br />
patienten från bestrålningen. I en av de studerade detektoruppställningarna uppskattades<br />
att det krävdes 8 mm av wolfram innan hälften av inkomm<strong>and</strong>e fotoner med 18 MeV<br />
energi har växelverkat.<br />
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 10 3 kg/m 3 .<br />
c) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram. (3p)<br />
d) Detektorn består av ett antal 0,5 mm tjocka wolframplattor. Hut många plattor behövs<br />
för att 80% av de inkomm<strong>and</strong>e fotonerna skall ha växelverkat? (2p)<br />
Lösning: Linjära absorbtionskoefficienten fås ur μ =ln2/L 1/2 där L 1/2 är halvvärdestjockleken.<br />
Ur detta fås tvärsnittet som σ = μ/n där n är antal wolframatomer per<br />
volymsenhet. n = densitet N A /molvikt<br />
= 19,310 3 kg/m 3 6,02210 23 atomer/mol / 0,1834 kg/mol 6,3410 28 m -3<br />
a) Detta ger σ = ln2/( L 1/2 n) = 0,693/(810 -3 m 6,3410 28 m -3 ) 13,7 10 28 m <br />
14 b<br />
b) Sök x så att e -μx = (1-0,80) = 0,20 ger<br />
x = - (ln0,2/ln2) L 1/2 1.609/0.693 8 mm 18,6 mm,<br />
dvs det behövs 37 plattor
4. Krafterna mellan atomerna i en HCl-molekyl kan approximativt representeras av en<br />
fjäder med fjäderkonstanten 516 N/m. Detta innebär att atomerna kommer att utföra en<br />
harmonisk svängningsrörelse i förhåll<strong>and</strong>e till var<strong>and</strong>ra. Beräkna den lägsta och den näst<br />
lägsta energinivån för denna rörelse. (5p)<br />
Lösning:<br />
Schrödingerekvationen för den relativa rörelsen blir<br />
2 2<br />
d 1 2 2<br />
m<br />
x E<br />
2<br />
2<br />
dx 2<br />
2 k<br />
<br />
<br />
Energinivåerna i vibrationsrörelsen ges därför av harmoniska oscillatorlösningen:<br />
E ( n <br />
1)<br />
2<br />
, n <br />
n<br />
0,1,2,...<br />
Numeriskt:<br />
m1m2<br />
1<br />
35.5<br />
27<br />
u 1.61510<br />
m m 1<br />
35.5<br />
1<br />
2<br />
k<br />
<br />
1<br />
20<br />
E0 <br />
2<br />
2.9810<br />
J = 186 meV<br />
k<br />
E1 (1 <br />
10<br />
<br />
1<br />
20<br />
) 3E<br />
2<br />
0<br />
8.95<br />
J = 558 meV<br />
5. Hur mycket förväntas ledningsförmågan i en halvledare med b<strong>and</strong>gapet 1 eV öka om<br />
temperaturen ökar från rumstemperatur, 300K, med 5 K till 305K? (5p)<br />
Lösning:<br />
Ledningförmågan motsvarar antal elektroner i ledningb<strong>and</strong>et vilket ges av<br />
N<br />
exciterade<br />
<br />
<br />
E<br />
E 1/<br />
2E<br />
F<br />
E 0,5E<br />
F<br />
top<br />
<br />
(<br />
E)<br />
f<br />
<br />
<br />
gap<br />
gap<br />
e<br />
FD<br />
dE<br />
( EE<br />
) / k T<br />
F<br />
( E)<br />
dE <br />
B<br />
k<br />
1<br />
B<br />
Te<br />
E<br />
gap<br />
/ 2k<br />
T<br />
där tillståndstätheten (E) kan antas vara konstant över den del av ledningsb<strong>and</strong>et där<br />
fördelningsfunktionen ger ett inte försumbart bidrag.<br />
Förhåll<strong>and</strong>et blir då:<br />
B
N<br />
N<br />
<br />
exciterade<br />
exciterade<br />
305<br />
300<br />
e<br />
e<br />
Svar: Ökningen är 39%<br />
(305K)<br />
<br />
(300K)<br />
1/<br />
28,6210<br />
<br />
1/<br />
28,6210<br />
<br />
5<br />
5<br />
305<br />
300<br />
k<br />
k<br />
<br />
B<br />
B<br />
305<br />
300<br />
305 e<br />
300 e<br />
e<br />
E<br />
E<br />
1/ 28,6210<br />
<br />
gap<br />
gap<br />
5<br />
/ 2k<br />
/ 2k<br />
B<br />
B<br />
( 1 <br />
300<br />
305K<br />
300K<br />
1 )<br />
305<br />
<br />
1,39<br />
6. I atomärt väte finns en uppsplittering i energinivå pga upplinjering mellan protonens och<br />
elektronens spinn. Övergången resulterar i utsändade av radiovåg med 21 cm våglängd.<br />
Övergången är ”förbjuden” vilket gör att den är sällsynt, samt att det exiterade tillståndet<br />
är långlivat med livstid av ungefär 10 5 år. I galaxer finns dock tillräckligt många<br />
vätaatomer för att vågor från denna övergång skall kunna observeras på jorden.<br />
a) Antag att medellivslängden motsvarar en tidsosäkerhet för tillståndet. Bestäm<br />
osäkerheten i energiskillnaden vid mätning av övergången. (1p).<br />
b) Vilken fotonenergi observeras om vågorna sänds ut från en galax med<br />
hastigheten 0,1c jämfört med jorden? (4p)<br />
Lösning:<br />
a) 10 5 år motsvarar 10 5 365243600≈310 12 s.<br />
Heisenbergs osäkerhetsrelation ger: E t<br />
dvs vi får<br />
2<br />
16<br />
6,582 10<br />
eVs<br />
28<br />
E<br />
<br />
110<br />
eV<br />
12<br />
2t<br />
2 310<br />
b) Dopplerskift:<br />
<br />
<br />
obs<br />
källa<br />
1<br />
1<br />
v<br />
c<br />
v<br />
c<br />
21cm<br />
<br />
1<br />
0,1<br />
1<br />
0,1<br />
hc eV nm<br />
Fotonenergin ges av E<br />
1240 0,9<br />
6<br />
<br />
5,34 10<br />
eV<br />
0,21m<br />
1,1<br />
(Fotnot: Notera att energiändringen hos fotonerna pga dopplerskiftet<br />
≈510 -7 eV, är avsevärt mycket större än energiosäkerheten pga tillståndets<br />
livstid)<br />
7. En partikel med massa m rör sig i en endimensionell lådpotential som ges av<br />
<br />
x 0<br />
<br />
V (x) 0<br />
0 x a<br />
<br />
<br />
a x<br />
Vid tiden t 0 har vågfunktionen formen
2 x<br />
4 3x<br />
<br />
sin<br />
sin<br />
<br />
3a<br />
a 3a<br />
a <br />
Bestäm (a) vågfunktionen och (b) väntevärdet av energin vid en senare tidpunkt t .<br />
Lösning:<br />
(a) Energiegenfunktionerna och energiegenvärdena ges av<br />
2 nx<br />
iEnt<br />
/<br />
<br />
n<br />
( x,<br />
t)<br />
sin<br />
e<br />
a a <br />
2 2 2 2<br />
kn<br />
n<br />
<br />
En<br />
<br />
2m<br />
2m<br />
a <br />
n 1,2,...<br />
Vågfunktionen vid t 0 kan därför skrivas:<br />
2 x<br />
4 3x<br />
1 2<br />
( x,0)<br />
sin<br />
sin<br />
<br />
1(<br />
x,0)<br />
<br />
3<br />
( x,0)<br />
3a<br />
a 3a<br />
a 3 3<br />
Notera att vågfunktionen är normerad. Vågfunktionen vid t 0 blir:<br />
1 2<br />
2 x<br />
iE / 4 3<br />
1t<br />
x<br />
<br />
x,<br />
t)<br />
<br />
1(<br />
x,<br />
t)<br />
<br />
3(<br />
x,<br />
t)<br />
sin<br />
e<br />
sin<br />
e<br />
3 3 3a<br />
a 3a<br />
a <br />
E<br />
iE3t<br />
/ <br />
(<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2ma<br />
, E<br />
3<br />
2 2<br />
9<br />
<br />
<br />
2<br />
2ma<br />
(b) Eftersom vågfunktionen är normerad blir väntevärdet av energin vid tiden t :<br />
<br />
E<br />
<br />
<br />
1 *<br />
E1<br />
<br />
1<br />
1dx<br />
E3<br />
3<br />
<br />
1<br />
E1<br />
2E3<br />
<br />
3 3<br />
*<br />
Hdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
E1<br />
2E3<br />
E<br />
3 3<br />
1<br />
<br />
1(<br />
x,<br />
t)<br />
<br />
3<br />
<br />
*<br />
<br />
3<br />
3dx<br />
E<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
1 <br />
<br />
2<br />
3 2ma<br />
2 <br />
<br />
3(<br />
x,<br />
t)<br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
3<br />
0<br />
*<br />
<br />
<br />
E<br />
<br />
1<br />
*<br />
<br />
3<br />
1dx<br />
E<br />
<br />
1<br />
<br />
1(<br />
x,<br />
t)<br />
E<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 9<br />
19 <br />
<br />
2<br />
2<br />
3 2ma<br />
3 2ma<br />
dvs tidsoberoende, vilket är ett exempel på energikonservation.<br />
<br />
<br />
0<br />
3<br />
*<br />
<br />
1<br />
3dx<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
3(<br />
x,<br />
t)<br />
dx<br />
<br />
3
8. Vätekärnan består av en proton vilken har spinnet ½. Om vi jämför amplituden med<br />
projektionen längs z-axeln får vi att i amplituden finns en faktor √(1/2(3/2)= (√3)/2,<br />
medan projektionen har motsvar<strong>and</strong>e faktor = ½.<br />
För protonen får vi då att μ z = (1/√3)2,42 μ n .<br />
Energiskillnad: E 2<br />
z<br />
B<br />
8<br />
E<br />
2 B 2 2,42 3,152 10<br />
eV/T 1T<br />
Frekvensen blir då: f z<br />
<br />
21,3MHz <br />
15<br />
h h 3 4.136 10<br />
eV s