här - Particle and Astroparticle Physics
här - Particle and Astroparticle Physics
här - Particle and Astroparticle Physics
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Exempelsamling i Modern fysik 5A1247.<br />
VT2007<br />
Utformad av: Bengt Lund-Jensen och Mats Wallin<br />
Version: 07-05-11<br />
Ändring sedan version 07-04-30:<br />
Tentaproblemsstatus kap 4-6 införd.<br />
Saknade lösningar kapitel 5 och 8 införda.<br />
Fler exempel i kapitel 8.<br />
Kapitel 12 (med fler exempel i senaste versionen) och 13 har tillkommit<br />
Korrigerade lydelser: 1:5, 4:7, 6:2<br />
Rättade lösningar 2:4, 3:2, 4:7, 4:11, 5:5, 6:3, 12:6<br />
Tack till de studenter som påpekat felen!<br />
Avsnitt: (Notera att numreringen kap 10-13 inte är densamma som i boken)<br />
1. Reltivitetsteori<br />
2. Partikelstruktur hos elektromagnetisk strålning<br />
3. Partiklars vågnatur<br />
4. Kvantmekanik: Schrödingerekvationen<br />
5. Kvantmekanik:<br />
6. Kvantmekanik i 3 dimensioner, väteatomen.<br />
7. Atomer och spinn<br />
8. Statistisk mekanik<br />
9. Molekylfysik<br />
10. Fasta material, halvledare<br />
11. Kärnfysik<br />
12. Bl<strong>and</strong>ade problem av tentakaraktär.<br />
13. Exempeltenta<br />
(Exempel markerade med (T) är av tentakarraktär, dvs de har eller skulle kunna<br />
ha varit problem på en tenta. )
Kap 1. Relativitetsteori<br />
Ex1:1. Myoner bildas i de övre luftlagren i skurar från kosmiska protoner. I<br />
−t<br />
/τ<br />
myonens vilosystem är antalet myoner efter en tid t<br />
N = N<br />
0e<br />
där N 0 är<br />
antalet vid t=0 och τ är medellivstiden 2,2 μs.<br />
a) Om myonerna bildas på 10 km höjd och har en hastighet av 0,98 c,<br />
hur stor <strong>and</strong>el når jordytan?<br />
b) Om klassisk mekanik gällde, hur stor <strong>and</strong>el skulle då ha nått<br />
jordytan?<br />
Ex1:2. En kosmolog observerar ljus från en avlägsen supernova. En speciell<br />
våglängd i det utsända ljusspektrat är 656,5 nm vilken utsänds av<br />
väteatomer.<br />
a) Kosmologen mäter våglängden för spektrallinjen till 1573 nm. Rör sig<br />
supernova mot eller bort från jorden?<br />
b) Med vilken hastighet rör sig supernovan relaitivt jorden?<br />
c) Om den rör sig i motsatt riktning, vilken våglängd skulle då ha<br />
observerats på jorden?<br />
d) Om den svenske astronauten Christer Fuglesang hade haft en<br />
vätgaslampa med sig till rymdstationen som befinner sig på ca 400 km<br />
höjd över jordytan och färdas ett varv på 90 minuter, hur skulle den på<br />
jorden observerade våglängden förändras jämfört med den utsända?<br />
Ex1:3. (T) I ett partikelfysikexperiment skapades en stråle av K S 0 -mesoner. (S<br />
står för short pga kort livslängd jämfört med en annan variant, men detta<br />
har ingen betydelse för talet). I ca 69% av fallen sönderfaller K S 0 till π + +<br />
π - . I laboratoriet mäts energin hos π +. . Högst uppmätt energi får π + när<br />
sönderfallet sker så att dess riktning i sönderfallet är längs K S 0 -strålen<br />
riktning. Beräkna i ett sådant fall K S 0 hastighet i labbet om man i labbet<br />
har mätt kinetiska energin hos π + till 2,00 GeV.<br />
Ex1:4. (T) Antimateria har på senare år i små kvantiteter skapats vid CERN för<br />
studier av symmetri mellan materia och antimateria. När en antiproton<br />
träffar en proton i t.ex. restgaser annihilerar den. I ca 0.1 % av<br />
annihilationer i vila, dvs när de kinetiska energierna hos både proton och<br />
antiproton kan försummas, bildas endast K + och K - . (<br />
+ -<br />
p + p → K + K ).<br />
Medellivstiden för K ± är 1,2·10 -8 s. Beräkna medelsträckan kaonerna i<br />
dessa fall färdas i laboratoriet innan de sönderfaller.<br />
Ex1:5. (T) μ - i vila sönderfaller till e - och neutriner. Beräkna maximala<br />
hastigheten hos e - som bildas. Neutrinerna antas masslösa.<br />
Myonens massa =106 MeV/c 2 , elektronmassan = 0,511 MeV/c 2 . För att<br />
möjliggöra enkla beräkningar får elektronmassan försummas när den<br />
energi elektronen får beräknas från myonens sönderfall. När dess<br />
hastighet bestäms får man däremot inte bortse från elektronmassan.
Ex1:6. (T) I december 2006 tog rymdfärjan Discovery den svenske astronauten<br />
Christer Fuglesang till rymdstationen ISS. Christer har under lång tid<br />
medverkat i ett forskningsprojekt där man undersökt orsaken till<br />
ljusblixtar som astronauter ibl<strong>and</strong> observerar. Idag tror man att de beror<br />
på laddade kosmiska partiklar som växelverkar i näthinnan.<br />
Ursprungligen övervägde man också möjligheten att de berodde på s.k.<br />
Cherenkovljus, ett fenomen som kan liknas vid bogvågor från en båt<br />
eller ett flygplan som färdas snabbare är ljudet. Ljusets sänds ut i<br />
1<br />
framåtriktningen med en vinkel θ som ges av cos θ = där β = v / c .<br />
βn<br />
Villkor för att överhuvud taget få ljus är naturligtvis att cos θ ≤ 1. Om vi<br />
antar att ögat har samma brytningsindex som vatten, dvs 1,33, vilken<br />
kinetisk energi måste en proton ha för att ge en Cherenkovvinkel av θ<br />
=30°?
Kap 2. Partikelstruktur hos elektromagnetisk strålning<br />
Ex2:1. (T) I Imaging Compton Telescope (COMPTEL) som var en del av<br />
satelliten Compton Gamma Ray Observatory (1991-2000) använder<br />
man sig av Compton-spridning för att uppskatta energi och riktning hos<br />
infall<strong>and</strong>e gammastrålning. Beräkna inkomm<strong>and</strong>e gamma-fotonens<br />
energi och riktning relativt experimentets lodlinje då rekylelektronens<br />
kinetiska energi är 2,88 MeV och den spridda fotonens energi mäts till<br />
0,8 MeV med spridningsvinkeln 40º mot lodlinjen genom detektorn.<br />
Ex2:2.<br />
Gammastrålning med energi 100 MeV ger upphov till parbildning i<br />
växelverkan med en syreatom.<br />
a) Visa att en gammafoton inte kan ge upphov till elektron och positron<br />
om inte rekylen tas upp av något annat än elektron-positron-paret.<br />
b) Beräkna den energi som syrekärnan tillförs när den tar upp rekylen<br />
under förutsättning att elektronen och positronen delar lika på<br />
gammafotonens energi och att de båda har sina rörelsemänger i samma<br />
riktning som den ursprungliga fotonen. För att förenkla är det tillåtet att i<br />
beräkningen av elektronens och positronens rörelsemängd utgå från att<br />
energin bevaras utan att ta hänsyn till syreatomen. Fel<strong>and</strong>e<br />
rörelsemängd upptas därefter av syreatomen som får kinetisk energi.<br />
Var det rimligt att i 1:a skedet försumma syreatomen när elektronpositronparets<br />
energi beräknades?<br />
Ex2:3<br />
Ex2:4<br />
Ex2:5<br />
(T) En metallyta som belyses med ljus med frekvensen 8,5⋅10 14 Hz<br />
sänder ut elektroner med en maximal kinetisk energi av 0,52 eV. När<br />
samma ytan belyses med 12⋅10 14 Hz blir elektronernas maxinmala<br />
kinetiska energi 1,97 eV. Beräkna utträdes för denna metall smat<br />
bestäm Plancks konstant ur dessa data.<br />
(T) Comptonspridning kan användas både för att mäta riktning och<br />
energi hos fotoner i kärnfysikexperiment. För ett visst preparat mättes ett<br />
spektrum hos comptonspridda elektroner som tydligt motsvarade en i<br />
stort sett monokromatisk gamma-strålning. Den maximala<br />
elektronenergin mättes till 170 keV. Beräkna våglängden för den<br />
inkomm<strong>and</strong>e monokromatiska strålningen.<br />
(T) Beräkna utträdesarbetet för en metall som gav en faktor 2 skillnad i<br />
maximal hastighet hos elektroner som frigjordes när metall bestrålades<br />
med ljus av våglängderna 0,35 μm respektive 0,5 μm.
Kap 3. Partiklars vågstruktur.<br />
Ex3:1. (T) Både neutroner, elektroner och röntgenstrålning kan användas för att<br />
undersöka kristallstruktur. T.ex. bestrålas en natriumkloridkristall med<br />
röntgenstrålning av våglängden 0,28 nm varvid 1:a diffraktionsmaximat<br />
inträffad då vinkeln mellan inkomm<strong>and</strong>e stråle och kristallytan liksom<br />
vinkeln mellan utgående stråle och kristallytan är 30°.<br />
a) Beräkna vilken densitet NaCl förväntas ha.<br />
b) Vilken kinetisk energi måste neutroner ha för att deras de Broglie<br />
våglängd skall vara densamma.<br />
Ex3:2. För partikeln ρ kan man i tabell läsa att massan är bestämd till<br />
m=771,1±0,9 MeV/c 2 där bredden (full width half max) av fördelningen<br />
av uppmätta värden för massan anges till Γ=149,2 MeV/c 2 . Använd<br />
denna information till att erhålla en uppskattning av partikelns<br />
medellivstid τ. (Tips: antag att fördelningens bredd motsvarar en<br />
osäkerhet i massan).<br />
Ex3:3. Positronium är ett bundet tillstånd motsvar<strong>and</strong>e att protonen i väte bytts<br />
ut mot en positron. Detta tillstånd är mycket kortlivat, men har<br />
observerats i naturen. Tyngspubnkten i systemet är inte centrerat i<br />
positronen. Man måste därför ersätta elektronmassan i beräkningar med<br />
den reducerade massan<br />
μ =<br />
m<br />
m<br />
e<br />
e<br />
⋅ M<br />
+ M<br />
där m e är elektronmassan och M är positronmassan. Detta motsvarar<br />
att massan μ roterar kring systemets tyngdpunkt.<br />
a) Härled uttrycket för den reducerade massan.<br />
b) Beräkna energinivån för grundtillståndet och det första exciterade<br />
tillståndet hos positronium.<br />
Ex3:4. (T)<br />
(a) I ett dubbelspaltexperiment med neutroner är hastigheten 10 m/s,<br />
spaltseparationen d=1 mm, och avståndet till detektorerna D=10 m.<br />
Bestäm de Broglie våglängden och avståndet mellan interferensmaxima.<br />
(b) Tänk dig ett dubbelspaltexperiment med s<strong>and</strong>korn som väger 0.1<br />
gram med hastighet 10 m/s. Antag att spaltseparationen är d=1 mm.<br />
Hur stort ska avståndet till detektorskärmen vara för att avståndet mellan<br />
intensitetsmaxima ska bli 1 mikrometer?
Ex3:8. (T) Antag att en elektron är instängs i en volym som motsvarar en<br />
väteatom, med diameter ca 1 Å. Uppskatta den minimala osäkerheten i<br />
elektronens rörelsemängd. Uppskatta ur denna elektronens kinetiska<br />
energi.<br />
Ex3:9. (T) En neutronstråle som kommer ur en kärnreaktor innehåller neutroner<br />
med olika energi. För att få neutroner med energi 0,05 eV skickas<br />
neutronstrålen genom en kristall vars atomplan är separerade med 0,20<br />
nm. Vid vilken vinkel i förhåll<strong>and</strong>e till infallsriktningen kommer de<br />
önskade neutronerna att reflekteras?<br />
Ex3:10. Elektroner som leder ström i koppar har en kinetisk energi på ca 7 eV.<br />
Uppskatta deras de Broglie våglängd. Genom att jämföra den med<br />
avståndet mellan atomerna i Cu, avgör om vågegenskaperna är viktiga<br />
för ledning i koppar?<br />
Ex3:11. Uppskatta de Broglie våglängden hos syremolekyler i luft vid NTP.<br />
Jämför med medelavståndet mellan molekylerna i luft. Förklara varför<br />
rörelsen hos syre i luft vid NTP inte beror på de våglika egenskaperna<br />
hos molekylerna.<br />
Ex3:9<br />
(T) Neutroner från en reaktor kan användas för att studera<br />
kristallstruktur genom spridningsexperiment. I en reflexionsmätning fann<br />
man att neutroner med en rörelsemängd av 127 keV/c mot en NaClkristall<br />
hade ett reflexionsmaximum när vinkeln mellan inkomm<strong>and</strong>e och<br />
reflekterad stråle är 178°. Bestäm avståndet mellan kristallplanen i NaCl.
Kap 4.<br />
Ex4:1. Visa att de reella vågfunktionerna<br />
Ψ ( x,<br />
t)<br />
= Acos(<br />
kx − ωt)<br />
och Ψ ( x,<br />
t)<br />
= Asin(<br />
kx − ωt)<br />
inte är lösningar till Schrödingerekvationen för en fri partikel.<br />
Ex4:2. Visa att vågfunktionen<br />
i(<br />
kx−ω t)<br />
−i(<br />
kx+ωt)<br />
Ψ ( x,<br />
t)<br />
= Ae − Ae<br />
där A är en godtycklig komplex konstant, löser Schrödingerekvationen<br />
för en fri partikel med massa m om<br />
2 2<br />
h k<br />
h ω =<br />
2m<br />
Visa att denna våg kan skrivas<br />
−iωt<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
= 2iAsin<br />
kxe<br />
Vilken sorts våg är detta?<br />
Ex4:3. (T) Vågfunktionen för en partikel i en endimensionell oändlig lådpotential<br />
med längden L ges av<br />
2 nπx<br />
ψ<br />
n<br />
( x)<br />
= sin , n = 1,2,3,...<br />
L L<br />
Bestäm sannolikheten att en partikel som är bunden i lådpotentialen<br />
hittas mellan 0 .45L<br />
och 0 .55L<br />
för grundtillståndet, n = 1, och för det första<br />
exciterade tillståndet n = 2.<br />
Ex4:4. Studera en partikel i en oändlig lådpotential med bredd L i tillståndet<br />
ψ enligt exempel Ex4:3. Beräkna väntevärdet 〈x〉<br />
.<br />
n<br />
Ex4:5. Beräkna väntevärdet 〈 p 〉 hos rörelsemängden för en partikel i en<br />
oändligt lådpotential med bredd L i tillståndet ψ<br />
n<br />
enligt exempel Ex4:3.
Ex4:6. Studera en partikel med massa m som beskrivs av den Gaussiska<br />
vågfunktionen<br />
2<br />
⎛ x ⎞<br />
ψ ( x)<br />
= N exp<br />
⎜ −<br />
⎟<br />
2<br />
⎝ 2a<br />
⎠<br />
där N, a är konstanter. Visa att<br />
1<br />
(a) N =<br />
a π<br />
2<br />
2 a<br />
(b) 〈x〉<br />
= 0 och 〈 x 〉 =<br />
2<br />
2<br />
2 h<br />
(c) 〈 p 〉 = 0 och 〈 p 〉 =<br />
2<br />
2a<br />
(d) Visa att i detta tillstånd uppfyller osäkerheterna Δ x, Δp<br />
Heisenbergs<br />
osäkerhetsprincip Δx Δp<br />
≥ h / 2 som en likhet. Detta är alltså ett tillstånd<br />
med minimal osäkerhet.<br />
Ex4:7. Visa att kontinuitetsekvationen (dvs samma ekvation som beskriver<br />
laddningskonservation i elläran och partikeltalkonservation i diffusion)<br />
gäller på formen<br />
∂P<br />
∂j<br />
+<br />
∂t<br />
∂x<br />
2<br />
där sannolikhetstätheten är P( x,<br />
t)<br />
= Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
och<br />
sannolikhetsströmtätheten definieras som<br />
j =<br />
ih<br />
⎡<br />
⎢Ψ<br />
2m<br />
⎣<br />
*<br />
∂Ψ ∂Ψ<br />
− Ψ<br />
∂x<br />
∂x<br />
*<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Ex4:8. Två tillstånd med bestämd energi E<br />
1<br />
och E<br />
1<br />
beskrivs av följ<strong>and</strong>e<br />
normerade vågfunktioner<br />
−iE1t<br />
/ h<br />
−iE2t<br />
/ h<br />
Ψ1<br />
( x,<br />
t)<br />
= ψ<br />
1(<br />
x)<br />
e<br />
och Ψ2<br />
( x,<br />
t)<br />
= ψ<br />
2<br />
( x)<br />
e<br />
(a) Skriv ner en linjär superposition som representerar tillståndet där<br />
1 1<br />
väntevärdet för energin är<br />
2<br />
E<br />
1<br />
+<br />
2<br />
E2<br />
.<br />
(b) Hitta osäkerheten i energi i detta tillstånd.<br />
(c) Visa att sannolikhetstätheten oscillerar i tiden. Vad är samb<strong>and</strong>et<br />
mellan osäkerheten i energi och oscillationsperioden?
Ex4:9. Studera vågfunktionerna hos en partikel i en endimensionell oändlig<br />
lådpotential med bredd L :<br />
ψ<br />
n<br />
( x)<br />
= N sin k x,<br />
0 < x < a<br />
med k n<br />
= 2 π n / L,<br />
n = 1,2,3,....<br />
(a) Visa att funktionerna är normerade:<br />
dvs att ψ dx = 1<br />
∫ ∞ −∞<br />
n<br />
är uppfyllt med N = 2 / L för alla värden på n .<br />
(b) Visa att funktionerna är ortogonala:<br />
∫ ∞ −∞<br />
ψ<br />
*<br />
mψ<br />
dx n<br />
= 0, m ≠ n<br />
Kommentar: Egenskaperna (a),(b) kan skrivas tillsammans med hjälp av<br />
Kronecker-delta symbolen:<br />
∫ ∞ −∞<br />
ψ ψ dx = δ<br />
*<br />
m<br />
n<br />
m,<br />
n<br />
⎧1,<br />
m = n<br />
= ⎨<br />
⎩0,<br />
m ≠ n<br />
Alltså utgör funktionerna ett ON system. Den gemensamma terminologin<br />
med vektoranalysen är ingen slump. Dessa funktioner utgör en ON bas<br />
för ett oängdligtdimensionellt linjärt vektorrum som kallas ett Hilbert-rum.<br />
Ex4:10. Visa i allmänna fallet att egenfunktioner som hör till olika<br />
energiegenvärden, E ≠ E , till tidsberoende SE är ortogonala:<br />
m<br />
n<br />
*<br />
∫ ∞ ψ mψ<br />
ndx = δ<br />
m,<br />
n<br />
−∞ Anm: Man kan visa att egenfunktionerna till degenererade energinivåer,<br />
E = , kan väljas så att de blir ortogonala.<br />
m<br />
E n<br />
Ex4:11. (T) En 50 eV elektron är i en potentialbrunn vars väggar består av två<br />
tunna kondensatorer som vardera laddats till 200 V, och som har<br />
utgångshål genom vilka elektronen kan passera (se figur 4.5 i boken på<br />
sidan 151). Bestäm inträngningsdjupet.
Ex4:12. (T) En partikel med massa m är i grundtillståndet i en oändlig<br />
lådpotential som ges av<br />
⎧∞<br />
x < 0<br />
⎪<br />
V (x) = ⎨0<br />
0 < x < L<br />
⎪<br />
⎩∞<br />
L < x<br />
Lådan exp<strong>and</strong>erar plötsligt till 0 < x < 2L<br />
utan att partikelns tillstånd<br />
ändras. Beräkna sannolikheten att partikeln är i den exp<strong>and</strong>erade lådans<br />
grundtillstånd.<br />
Ex4:13. En allmän vågfunktion hos en partikel med massa m i en<br />
endimensionell oändlig lådpotential med bredden L kan skrivas<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
=<br />
∑ ∞<br />
n=<br />
1<br />
c ψ ( x)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
−iE<br />
t / h<br />
2 2 2 2<br />
där ψ<br />
n<br />
(x)<br />
är en egenfunktion med energi E n<br />
= n π h / 2ma<br />
. Visa att<br />
vågfunktionen återvänder till sin ursprungliga form efter tiden<br />
2<br />
T = 4ma<br />
/πh .<br />
Ex4:14. (T) Studera en partikel med massa m i en oändlig potentialbrunn med<br />
ett potentialsteg:<br />
⎧∞<br />
x < 0<br />
⎪<br />
0 0 < x < a<br />
V ( x)<br />
= ⎨<br />
⎪V<br />
0<br />
a < x < b<br />
⎪<br />
⎩∞<br />
b < x<br />
Bestäm formen på stationära lösningar till Schrödinger-ekvationen.<br />
Diskutera kontinuitetsvillkor på lösningarna och beskriv hur<br />
energinivåerna kan bestämmas (du behöver inte lösa ekvationerna<br />
numeriskt).<br />
Ex4:15. (T) Antag att en partikel med massa m attraheras av en ändlig<br />
potentialbrunn:<br />
n<br />
V<br />
⎧0<br />
⎪<br />
x)<br />
= ⎨−V<br />
⎪<br />
⎩0<br />
(<br />
0<br />
x < 0<br />
0 < x < L<br />
L < x<br />
Studera bundna stationära lösningar till Schrödinger-ekvationen.<br />
Diskutera kontinuitetsvillkor på lösningarna och beskriv hur<br />
energinivåerna kan bestämmas (du behöver inte lösa ekvationerna<br />
numeriskt).
Ex4:16. I kapitel 11 som h<strong>and</strong>lar om partikelfysik diskuteras Z bosonen, en<br />
instabil gauge boson som medierar (=förmedlar) den svaga växelverkan<br />
i atomkärnor. Osäkerheten i energin hos Z bosonen är ΔE = 2. 5 GeV.<br />
Bestäm medellivslängden hos Z bosonen.<br />
Ex4:17. Visa att väntevärdet hos rörelsemängden för en bunden partikel är lika<br />
med noll. Förklara!<br />
Ex4:18. En partikel i en potential V (x)<br />
har vågfunktionen<br />
−ax<br />
⎧Nxe<br />
0 < x<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨<br />
⎩0<br />
x < 0<br />
Bestäm potentialen och energin.<br />
Ex4:19. Använd Heisenbergs osäkerhetsprincip för att härleda en undre gräns<br />
för energin hos den harmoniska oscillatorn.<br />
(a) Väntevärdet av energin är<br />
2<br />
p 1 2 2<br />
E = + mω<br />
x<br />
2m<br />
2<br />
Visa att om positionen och rörelsemängden båda har väntevärde lika<br />
med noll, så blir<br />
2<br />
h 1 2 2<br />
E ≥ + mω<br />
( Δx)<br />
2<br />
8m(<br />
Δx)<br />
2<br />
(b) Visa att minimumvärdet hos<br />
2<br />
A 2 2<br />
+ B ( Δx)<br />
2<br />
( Δx)<br />
är lika med 2 AB .<br />
(c) Visa därmed att<br />
E<br />
1<br />
≥ hω<br />
2<br />
Ex4:20. Hitta oscillationsamplituden A hos en klassisk oscillator med samma<br />
energi som en kvantpartikel i harmoniska oscillatorns grundtillstånd.<br />
Skriv ned ett uttryck för sannolikheten att hitta kvantpartikeln i det<br />
klassiskt förbjudna området x > A .<br />
Ex4:21. Studera potentialen<br />
⎪⎧∞<br />
x < 0<br />
V ( x)<br />
= ⎨1<br />
2 2<br />
mω x x > 0<br />
⎪⎩ 2<br />
som beskriver en oscillator som kan sträckas men inte komprimeras.<br />
Genom att jämföra med lösningarna till harmoniska oscillatorn,<br />
konstruera energinivåerna och tillstånden med lägst energi.
Ex4:22. Vid tiden t = 0 har en partikel i en harmonisk oscillatorpotential<br />
1 2 2<br />
V ( x)<br />
= mω<br />
x vågfunktionen<br />
2<br />
1<br />
Ψ ( x,0)<br />
= [ ψ<br />
0<br />
( x)<br />
+ ψ<br />
1(<br />
x)<br />
]<br />
2<br />
där ψ<br />
0<br />
( x),<br />
ψ<br />
1(<br />
x)<br />
är de reella, ON vågfunktionerna för oscillatorns<br />
grundtillstånd och första exciterade tillstånd.<br />
(a) Ange Ψ ( x,<br />
t)<br />
vid tiden t .<br />
(b) Visa att Ψ ( x,<br />
t)<br />
är en normerad vågfunktion.<br />
(c) Visa att sannolikhetstätheten oscillerar med vinkelfrekvens ω .<br />
(d) Visa att positionsväntevärdet ges av<br />
x<br />
= Acosωt<br />
där A = ∫ψ<br />
0<br />
xψ<br />
1dx<br />
∞<br />
−∞<br />
Ex4:23. (T) Övergångar mellan angräns<strong>and</strong>e vibrationsnivåer i NO molekyler ger<br />
upphov till infraröd strålning med våglängd λ = 5. 33μ<br />
m. Bestäm den<br />
elastiska konstanten k som beskriver styrkan i bindningarna mellan<br />
kärnorna i NO molekylen. Den reducerade massan för NO molekylen är<br />
7.46<br />
u.
Kap. 5<br />
5.1 (T) Bestäm reflektionskoefficienten för en 5eV elektron som kolliderar med ett<br />
potentialsteg där potentialen minskar med 2eV.<br />
5.2 (T) Vilken <strong>and</strong>el av en stråle E = 50eV elektroner passerar genom en<br />
V = 200eV spänningsbarriär över ett avstånd på a = 1nm?<br />
B<br />
5.3 Härled relationerna (5-8) i boken på sidan 201, samt (5.10) på sidan 206.<br />
ikx<br />
5.4 En partikelstråle med vågfunktionen ψ<br />
in<br />
= e och energi E infaller mot ett<br />
potentialsteg på V = 5E / 4 .<br />
(a) Bestäm det reflekterade tillståndet samt tillståndet som intränger i det<br />
klassiskt förbjudna området.<br />
(b) Bekräfta att reflektionskoefficienten är lika med ett.<br />
5.5 (a) En partikel med energi E befinner sig mellan två identiska<br />
potentialbarriärer med höjd V B<br />
> E och bredd a . Kan detta vara ett bundet<br />
tillstånd? Förklara!<br />
(b) Studera som ett exempel vad som händer för en elektron mellan två barriärer<br />
med bredd a = 2 L,<br />
L = 1Å, där L är avståndet melllan barriärerna, och<br />
E V B<br />
/ 2, V = 10 eV.<br />
=<br />
B<br />
5.6 (T) I ett STM undersöks en metallyta antar vi att avståndet mellan spetsen<br />
och ytan kan beskrivas som en kvadratisk potentialbarriär som ligger 3eV<br />
ovanför de tunnl<strong>and</strong>e elektronernas energi. Om separationen är L = 0.2 nm, hur<br />
mycket skulle tunnelsannolikheten och därmed tunnlingsströmmen ändras pga.<br />
en 0.001 nm ändring i barriärbredden? Beh<strong>and</strong>la barriären som en bred barriär.<br />
5.7 Ehrenfests teorem säger att kvantmekaniska väntevärden uppfyller klassiska<br />
rörelseekvationer, och visar därmed hur den klassiska mekaniken uppkommer.<br />
(a) Visa samb<strong>and</strong>et mellan väntevärdena för position och rörelsemängd:<br />
d x<br />
m =<br />
dt<br />
p<br />
(b) Visa motsvarigheten till Newtons rörelselag:<br />
d p<br />
dt<br />
=<br />
−<br />
dV<br />
dx<br />
Anm: I kvantmekaniken gäller dessa samb<strong>and</strong> enbart för väntevärdena, inte för<br />
de ingående operatorerna.
5.8 Visa att för två Hermiteska operatorer  och Bˆ är<br />
Visa med hjälp av detta att<br />
är reellt, och att<br />
är imaginärt.<br />
∞<br />
ˆ<br />
⎛<br />
A BΨdx<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
∞<br />
* ˆ<br />
* ˆ<br />
∫ Ψ ∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
Ψ<br />
Ψ<br />
*<br />
*<br />
−∞<br />
( Aˆ<br />
Bˆ<br />
+ BA ˆ ˆ )<br />
( Aˆ<br />
Bˆ<br />
− BA ˆ ˆ )<br />
*<br />
ˆ<br />
⎞<br />
Ψ BAΨdx⎟<br />
⎠<br />
Ψdx<br />
Ψdx<br />
5.9 Fyll i de saknade stegen på föreläsningen i härledning av Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation. Låt φ ( x)<br />
= α(<br />
x)<br />
+ λβ ( x)<br />
, där φ ( x),<br />
α(<br />
x),<br />
β ( x)<br />
är komplexa<br />
funktioner och λ är ett komplext tal. Eftersom<br />
så måste<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
α dx<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
φ ( x)<br />
2<br />
dx ≥ 0<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
+ *<br />
* *<br />
*<br />
λ ∫α<br />
βdx<br />
+ λ ∫ β αdx<br />
+ λλ ∫<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞<br />
2<br />
β dx ≥ 0<br />
Eftersom denna olikhet gäller för alla värden på λ , så gäller den när λ ges av<br />
(a) Härled Schwarz olikhet<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
λ<br />
2<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
α dx<br />
(b) Välj α ( x)<br />
= Aˆ<br />
Ψ,<br />
β ( x)<br />
= Bˆ<br />
Ψ . Visa att<br />
(c) Visa att<br />
A<br />
2<br />
B<br />
2<br />
≥<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
A<br />
2<br />
∞<br />
∫<br />
*<br />
β dx = − β αdx<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
−∞<br />
β dx ≥<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
2 2<br />
* ˆ ˆ<br />
B<br />
≥<br />
∫<br />
−∞<br />
⎛ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎞<br />
*<br />
⎜<br />
AB + BA<br />
Ψ ⎟<br />
Ψ<br />
2<br />
dx<br />
⎝ ⎠<br />
*<br />
α βdx<br />
Ψ ABΨdx<br />
2<br />
+<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
2<br />
⎛ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎞<br />
*<br />
⎜<br />
AB − BA<br />
Ψ ⎟<br />
Ψ<br />
2<br />
dx<br />
⎝ ⎠<br />
2
Kap. 6<br />
Ex6.1 (T) En ”klassisk” elektron rör sig i en cirkel med radie 1 mm och hastighet<br />
10 m/s.<br />
(a) Vad är värdet på banrörelsemängdsmomentkvanttalet l som ger ett<br />
kvantiserat banrörelsemängdsmoment som ligger nära det klassiska<br />
värdet?<br />
(b) Hur många disktreta värden på z komponenten är möjliga för detta<br />
banrörelsemängdsmoment?<br />
(c) Hur nära var<strong>and</strong>ra ligger dessa värden som en fraktion av<br />
banrörelsemängdsmomentet?<br />
Ex6.2 (T) Uppsplittringen av atomära energinivåer på grund av att atomen utsätts<br />
för ett pålagt magnetfält kallas Zeeman-effekt. Anta att magnetfältets<br />
styrka är B . Vad gäller fältets riktning så väljs alltid koordinatsystemet så<br />
att magnetfältet ligger längs z axeln. Orienteringsenergin hos en<br />
magnetisk dipol (dvs en liten magnet) är då Emag<br />
= −μ<br />
z<br />
B , där μ z<br />
är z<br />
komponenten hos det magnetiska momentet. Kvantmekaniskt ges<br />
dipolmomentets z komponent för elektronen, protonen, och neutronen av:<br />
μe<br />
= −gμ<br />
Bm<br />
j<br />
, μ<br />
p<br />
= 2. 79μ<br />
N<br />
m<br />
j<br />
och μ<br />
n<br />
= −1. 95μ<br />
N<br />
m<br />
j<br />
, där L<strong>and</strong>és g-faktor är<br />
g = 1+<br />
j(<br />
j + 1) − l(<br />
l + 1) + s(<br />
s + 1)<br />
2 j(<br />
j + 1)<br />
samt Bohr-magnetonen och kärn-magnetonen ges av<br />
=<br />
eh<br />
m<br />
=<br />
−24<br />
μ<br />
B<br />
9.274 10 J/T<br />
2<br />
e<br />
⋅<br />
eh<br />
m<br />
−27<br />
μ<br />
N<br />
= = 5.05 ⋅10<br />
J/T<br />
2<br />
p<br />
För att bestämma dessa energier måste man bestämma de ingående<br />
kvanttalen j, m<br />
j<br />
. För protonen och neutronen är j = 1 / 2, m<br />
j<br />
= ± 1/ 2 . För<br />
elektronen finns fler möjliga tillstånd. Banrörelsemängdsmomentets storlek<br />
och z komponent är L = l( l + 1) h , Lz<br />
= mlh,<br />
ml<br />
= l,<br />
l −1,...,<br />
−l<br />
.<br />
Elektronspinnet, som är ett inre rörelsemängdsmoment och inte kommer<br />
från banrörelsen, är S = s( s + 1) h,<br />
S z<br />
= msh<br />
, där s = 1/ 2 är spinnkvanttalet<br />
och m<br />
s<br />
= ±1/ 2 . Dessa kan adderas för att få det totala<br />
rörelsemängdsmomentet J = j( j + 1) h , J<br />
z<br />
= m<br />
jh,<br />
m<br />
j<br />
= j,<br />
j −1,...,<br />
− j . Det<br />
totala rörelsemängdsmomentkvanttalet kan anta flera värden:<br />
j = l + s, l + s −1,...,<br />
l − s . L<strong>and</strong>é faktorn för ett elektronspinn är g = 2 och<br />
för elektronens banrörelse g = 1. Den extra faktorn 2 hos spinnet förklaras
av Dirac-ekvationen, som är en relativistisk version av Schrödingerekvationen<br />
för elektroner. Studera grundtillståndet hos en väteatom i ett<br />
magnetfält på 0.5 T.<br />
(a) Om protonens magnetiska moment kan försummas, visa att<br />
grundtillståndsenergin splittras till två energinivåer. Bestäm<br />
energiskillnaden mellan nivåerna i eV.<br />
(b) Förklara att energinivåerna splittras upp ytterligare i två närligg<strong>and</strong>e<br />
energinivåer på grund av protonens magnetiska moment, om det<br />
externa fältet är tillräckligt stort. Bestäm storleken hos denna splittring i<br />
eV.<br />
Ex6.3 (T) Två partiklar med massa m är fastsatta på ändarna av en masslös<br />
stång med längd a . Systemet kan rotera fritt i tre dimensioner kring sitt<br />
masscentrum.<br />
(a) Ange ett uttryck för den klassiska kinetiska rotationsenergin, och visa<br />
att de kvantmekaniska energinivåerna för rotationen ges av<br />
E l<br />
l(<br />
l + 1) h<br />
=<br />
2<br />
ma<br />
2<br />
med<br />
l = 0,1,2,...<br />
(b) Vad är degenerationen hos den l te energinivån?<br />
(c) H 2 molekylen består av två protoner separerade med avståndet 0.075<br />
nm. Vilken energi behövs för att excitera det första exciterade<br />
rotationstillståndet hos molekylen?<br />
2<br />
e<br />
Ex6.4 Studera en elektron i en Coulomb-potential V ( r)<br />
= − med<br />
4πε<br />
0r<br />
−r<br />
/ a<br />
vågfunktion ψ ( r)<br />
= Ne Där a är en konstant.<br />
(a) Vad är elektronens banrörelsemängdsmoment?<br />
(b) Visa att väntevärdena av kinetiska och potentiella energin ges av<br />
2<br />
2<br />
h<br />
e<br />
T = och V = −<br />
2<br />
2mea<br />
4πε<br />
0a<br />
(c) Visa att väntevärdet av totala energin minimeras när a är lika med<br />
Bohr-radien a<br />
0<br />
. Hitta detta minimivärde.<br />
−r<br />
/ a0<br />
Ex6.5 Egenfunktionen till vätes grundtillstånd har formen ψ<br />
1<br />
( r)<br />
= N1e<br />
där<br />
a<br />
0<br />
är Bohr-radien, N<br />
1<br />
är en konstant och r är det radiella avståndet hos<br />
elektronen från kärnan.<br />
(a) Genom att normera integralen enligt<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
hitta värdet på konstanten<br />
N<br />
1 .<br />
2<br />
2<br />
ψ<br />
1( r)<br />
4πr<br />
dr = 1
(Integralen<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
r<br />
k<br />
e<br />
−ar<br />
k!<br />
dr =<br />
a<br />
är användbar i detta och följ<strong>and</strong>e problem.)<br />
(b) Givet att egenfunktionen till ett exciterat tillstånd har formen<br />
k + 1<br />
ψ<br />
r<br />
= N<br />
+ br<br />
2<br />
( )<br />
2<br />
(1 )<br />
e<br />
−r<br />
/ 2a0<br />
använd ortogonalitetsrelationen mellan ψ<br />
1 och ψ<br />
2 för att hitta värdet<br />
på konstanten b . Bestäm även normeringskonstanten<br />
N<br />
2 .<br />
(c) Plotta ψ<br />
1 och ψ<br />
2 .<br />
Ex6.6 (T) Genom att modifiera formlerna för väteatomen, skriv ner<br />
energinivåerna för en elektron med huvudkvanttalet n i en Coulombpotential<br />
mellan en kärna med Z stycken protoner och kärnladdningen<br />
+ Ze och en elektron med laddning − e ,<br />
2<br />
Ze<br />
V ( r)<br />
= −<br />
4πε<br />
0r<br />
(a) Vad blir joniseringsenergierna för en-elektronjonerna He +<br />
2+<br />
och Li ?<br />
(b) Försök förklara varför relativistiska korrektioner är viktigare för He +<br />
2+<br />
och Li än för väte.<br />
Ex6.7 Studera en elektron i tritium, som är en tung isotop av väte. Kärna har<br />
laddning e och bortsett från reducerade mass-effekter så har elektronen<br />
samma energinivåer och egenfunktioner som i vanligt väte. Tritiumkärnan<br />
är instabil och beta-sönderfaller varvid det bildas kärnor av 3 He. I en<br />
sådan process befinner sig plötsligt elektronen i en ny Coulomb-potential<br />
från en kärna med laddning 2 e . Anta att elektronen initialt är i tritiums<br />
grundtillstånd. Visa att sannolikheten att elektronen efter beta-sönderfallet<br />
+<br />
är i grundtillståndet till He jonen är<br />
∞<br />
128 ⎡<br />
2<br />
P =<br />
6 ⎢∫<br />
r e<br />
a0<br />
⎣ 0<br />
2<br />
−3r<br />
/ a<br />
⎤<br />
0<br />
=<br />
dr⎥<br />
⎦<br />
0.702
Ex6.8 Den radiella egenfunktionen<br />
R ( r)<br />
= u(<br />
r)<br />
/ r<br />
med lägst energi hos en<br />
elektron med rörelsemängdsmoment L = l( l +1) h i en Coulomb-potential<br />
ges av n = l + 1 och<br />
l+<br />
1 −r<br />
/( l+<br />
1) a0<br />
u ( r = Nr e<br />
n, l<br />
)<br />
där N är en konstant.<br />
(a) Visa att med normeringskravet<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
R(<br />
r)<br />
2<br />
∞<br />
2<br />
r dr = ∫ u(<br />
r)<br />
0<br />
2<br />
dr = 1<br />
så blir<br />
2l+<br />
3<br />
2<br />
⎡ 2 ⎤ 1<br />
N = ⎢ ⎥<br />
⎣(<br />
l + 1) a0<br />
⎦ (2l<br />
+ 2)!<br />
(b) Visa att den mest sannolika radien hos tillståndet är<br />
2<br />
r = ( l + 1) a0<br />
(c) Visa att medelradien (dvs väntevärdet) i tillståndet är<br />
∞<br />
2 (2l<br />
+ 3)( l + 1) a0<br />
r = ∫ r u(<br />
r)<br />
dr =<br />
2<br />
0<br />
(d) Visa att medelvärdet av radien i kvadrat är<br />
2 2<br />
2 (2l<br />
+ 4)(2l<br />
+ 3)( l + 1) a0<br />
r =<br />
4<br />
(e) Visa att osäkerheten i radien Δ r blir liten jämfört med r när l → ∞ .<br />
(f) Visa att i gränsen l → ∞ är den mest sannolika radien och medelvärdet<br />
av radien båda lika med den klassiska radien r c<br />
för en cirkulär bana<br />
hos en klassisk partikel med rörelsemängdsmomentet L . Den<br />
klassiska radien r c<br />
minimerar den effektiva potentiella energin<br />
2<br />
2<br />
L e<br />
( r)<br />
= −<br />
2<br />
2mr<br />
4πε<br />
r<br />
V eff 0
Kap 7: Atomer och spin<br />
Ex7:1 (T) Elektronspinnresonans (ESR) kan användas för identifiera atomer med<br />
oparade elektroner. När man lägger på ett magnetfält kan elektronerna<br />
pga spinn linjera sitt interna magnetiska moment med eller mot det<br />
elektriska fältet. Genom att absorbera en foton av rätt våglängd<br />
motsvar<strong>and</strong>e energiskillnaden mellan tillstånden kan elektronen gå från ett<br />
lägre till ett högre energitillstånd.<br />
a) Vilket magnetfält behövs om mikrovågor med frekvens 9.75 GHz sänds<br />
in mot provet för att elektronspinnet skall byta riktning (spin-flip)?<br />
b) Är elektronen urspungligen i spinn-upp eller spinn-ner tillståndet?<br />
Ex7:2 Betrakta en syreatom i grundtillståndet. Vilka värden på de olika<br />
kvanttalen har dess elektroner?<br />
Ex7:3 a) Härled ett uttryck för skalärprodukten L<br />
r ⋅ S<br />
r<br />
uttryckt i kvanttalen j, l och<br />
r r r<br />
s genom att utgå från . J = L + S<br />
b) Beräkna vinkeln mellan banrörelsemängdsmomentet och spinnet för<br />
r r r r<br />
tillstånden P 1/2 , P 3/2 och D 3/2 . Använd att L ⋅ S = | L || S | cosθ<br />
där θ är<br />
vinkeln mellan dem.<br />
Ex7:4 Tidigare tänkte man sig elektronen som en homogen roter<strong>and</strong>e laddad sfär<br />
(idag betraktas den som punktformig utan utbredning). Om elektronens<br />
radie är 3⋅10 -15 m ( 3 fm), beräkna ekvatorialhastigheten och jämför med<br />
ljushastigheten i vakuum.
Kap 8: Statistisk mekanik<br />
Ex8:1. (T)<br />
a) Beräkna förhåll<strong>and</strong>et mellan antalet väteatomer i första exciterade<br />
tillståndet och grundtillståndet vid rumstemperatur.<br />
b) Vilket är förhåll<strong>and</strong>et mellan antalet atomer i <strong>and</strong>ra exciterade<br />
tillståndet och grundtillståndet vid 100 000 K?<br />
Ex8:2. Ledningselektroner i en metall kan beh<strong>and</strong>las som en fermiongas.<br />
Koppar har en densitet av 8,96⋅10 3 kg/m 3 och en ledningselektron per<br />
atom.<br />
a) Tillståndstätheten för ledningselektronerna ges av<br />
3 / 2<br />
dn 2me<br />
V 1/ 2<br />
D( E)<br />
= = E<br />
2 3<br />
dE π h 2<br />
Visa att fermienergi vid temperaturen T=0 ges av<br />
2 / 3<br />
2 2<br />
π h ⎡ 3 ⎛ N ⎞⎤<br />
EF<br />
= ⎢ ⎜ ⎟⎥<br />
där N/V är densiteten av<br />
me<br />
⎣2π<br />
2 ⎝ V ⎠⎦<br />
ledningselektroner.<br />
b) Beräkna fermienergin för ledningselektroner i koppar.<br />
c) Jämför fermienergin vid T=0 med termiska energin k B T vid<br />
rumstemperatur. Kan man förväntas kunna använda samma<br />
fermienergi vid rumstemperatur som vid T = 0 ?<br />
Ex8:3. Visa att Wiens förskjutningslag λ max T=hc/(4,965k B ) ges av Plancks<br />
strålningslag. (Exakt lösning är inte möjlig utan visa att värdet är<br />
tillräckligt nära).<br />
Ex8:4. Partiklar kan antas vara särskiljbara om avståndet mellan dem är mycket<br />
större än kvantosäkerheten i deras position (Heisenbergs<br />
obestämbarhet).<br />
3<br />
⎛ N ⎞ h<br />
a) Visa att detta villkor kan formuleras som ⎜ ⎟<br />
Ex8:5 (T) I ett skede av utvecklingen från Big-Bang var temperaturen 15000 K.<br />
Beräkna förhåll<strong>and</strong>et mellan väteatomer i det första exiterade tillståndet<br />
och grundtillståndet.<br />
Ex8:6<br />
(T) Nobelpriset i fysik 2006 har tilldelats för studier av den kosmiska<br />
mikrovågsbakgrunden. Denna har sitt ursprung i det skede av big-bang<br />
där fotoner frikopplades från annan materia därför att fotonenergin inte<br />
längre var tillräcklig för att jonisera atomer och därför inte absorberades.<br />
Låt oss anta att denna fotonenergi motsvarar jonisationsenergin för<br />
grundtillståndet i väte, samt att den motsvarar den mest sannolika<br />
våglängden i strålningsspektrumet. Vilken temperatur på<br />
fotonstrålningen motsvarar denna energi?
KAP 9. Molekylfysik<br />
Ex9:1 (Ur Serway Moses <strong>and</strong> Moyer: Modern <strong>Physics</strong>) Ett alternativ till<br />
harmonisk växelverkan för att beskriva vibrationer i tvåatomiga molekyler<br />
är Morsepotentialen<br />
−β<br />
( r−R<br />
)<br />
[ ] 2<br />
0<br />
U ( r)<br />
= U<br />
0<br />
1−<br />
e<br />
Parametrarna R 0 , U 0 och β bestäms av anpassning till data.<br />
a) Visa att R 0 är jämviktsavståndet.<br />
b) Visa att potentialen på stort avstånd från jämviktstillståndet går mot<br />
U 0 .<br />
c) Visa att nära jämviktsavståndet (r ≈R 0 ) uppträder Morsepotentialen<br />
som potentialen för en harmonisk oscillator med K=mω 2 =2U 0 β 2<br />
d) Det lägsta vibrationstillståndet för Morsepotentialen kan visas vara<br />
2<br />
1 ( ω)<br />
E vib<br />
= hω<br />
−<br />
h<br />
2 16U<br />
0<br />
Skapa ur detta ett uttryck för för molekylens dissociationsenergi.<br />
e) Använd resultaten ur c) och d) för att bestämma Morse-parametrarna<br />
U 0 och β för vätemolekylen. Använd de experimentella värdena 573<br />
N/m respektive 4.52 eV för fjäderkonstanten och dissociationsenergin.<br />
(Uppmätt värde av R 0 för H 2 är 0,074 nm).<br />
Ex9:2 (T) Följ<strong>and</strong>e diagram visar spektrum för övergångar i HBr-molekyler.<br />
Beräkna kraftkonstanten för denna molekyl.<br />
Ex9:3. (T) I en spektroskopimätning på CO uppmättes tre linjer i<br />
mikrovågsområdet med våglängderna 2,58, 1,29 och 0.86 mm (inga <strong>and</strong>ra<br />
linjer däremellan).<br />
a) vilka övergångar motsvarar detta?<br />
b) Uppskatta bindningsavståndet i CO. (Tröghetsmomentet I CM = μR 0 2 där<br />
μ är reducerade massan. )
Ex9:4. (T) I en vätemolekyl H 2 byts ena väteatomen ut mot deuterium, dvs vi får<br />
molekylen HD. Eftersom elektronstrukturen är i det närmaste densamma<br />
kan man anta att bindningslängd och kraftkonstant inte ändras. Beräkna<br />
med vilka faktorer rotations- och vibrationsövergångar ändras.<br />
Ex9:5 (T) Figuren nedan ger en approximation till potentiella energien för H 2 + -<br />
molekylen som funktion av avståndet mellan protonerna. Beräkna med<br />
hjälp av figuren en grov uppskattning av energiskillnaden mellan de två<br />
lägsta vibrationstillstånden.<br />
(Tips: Kurvan kan mellan skärningspunkten med R-axeln vid R≈0.06 nm<br />
och R 0 ≈0.11 nm approximeras med en kurva av formen f (x) = A (x-R 0 ) 2<br />
+ B, där A och B är konstanter. Den reducerade massan μ ≈ 469,1<br />
MeV/c 2 för H 2 + )<br />
Ex9:6<br />
(T) Fluorescens hos molekyler kan användas för att mäta förekomst och<br />
av vissa ämnen, t.ex. proteiner, genom att märka dessa med en<br />
fluorescer<strong>and</strong>e molekyl. Fluorescens innebär att man vid belysning med<br />
ljus av lämplig våglängd får en övergång till en högre elektronenerginivå<br />
och samtidigt en högre vibrationsnivå. Vibrationsnivån kommer att<br />
deexcitera genom växelverkningar med <strong>and</strong>ra molekyler (”värme” hos<br />
molekylen avges) till den lägsta nivån, varefter den exciterade<br />
elektronen återgår till grundnivån genom att utsända ljus med en längre<br />
våglängd, schematiskt indikerat i figuren (ur Serway, Moses & Moyer)<br />
nedan.
T.ex. absorberar 6-Carboxyfluorescein ljus med våglängden 495 nm<br />
och emitterar ljus vid 520 nm. Om vi antar att förhåll<strong>and</strong>et mellan<br />
kraftkonstanten (fjäderkonstanten i N/m) och reducerade massan (kg) för<br />
vibrationstillståndet är 3,32 ⋅ 10 28 s -2 , till vilket vibrationstillstånd<br />
(vibrationskvanttal) exciteras molekylen av det absorberade ljuset?<br />
Ex9:7<br />
(T) Raman-spridning kan användas för att identifiera föroreningar men<br />
även för att studera molekylinnehåll i damm på månen. Genom att<br />
bestråla med laser kommer man att kunna få spritt ljus som har<br />
karakteristiskt spektrum för olika molekyler. Låt oss som exempel tänka<br />
oss att vi studerar röken från en fabrik med hjälp av laserljus av<br />
våglängden 514,5 nm. Om vi antar att det spridda ljuset detekteras att<br />
ha våglängden 520 nm och att skillnaden bara beror på en övergång<br />
mellan l=2 och l=4, kan man beräkna tröghetsmomentet hos den<br />
molekyl som orsakar spridningen. Utför beräkningen och bestäm<br />
tröghetsmomentet för molekylen.
Kap 10. Fasta ämnen, halvledare<br />
Ex10:1 Silver har densiteten 10,5⋅10 3 kg/m 3 och resistiviteten 1,60⋅10 -8 Ωm (vid<br />
300K). Vi utgår från att varje silveratom bidrar med en ledningselektron samt att<br />
ledningselektronerna kan beskrivas som en Fermigas av fria elektroner med<br />
Fermienergin 5,48 eV,<br />
a) Beräkna medeltiden mellan kollisioner från resistiviteten.<br />
b) Beräkna fermihastigheten (E F =mv F 2 /2) och medelfria sträckan som en<br />
ledningselektron med denna hastighet färdas under tiden mellan<br />
kollisioner.<br />
c) Jämför medelfria sträckan med gitterkonstanten. Är det troligt att<br />
elektronerna kolliderar med varje atom?<br />
Ex10:2 (T) Silvers resistivitet är 1,60⋅10 -8 Ωm vid rumstemperatur, medan kisel<br />
har resistiviteten 10 Ωm.<br />
a) Visa att skillnaden i resistivitet på storleksordningen när ges av b<strong>and</strong>gapet,<br />
1,1 eV, för kisel.<br />
b) Beräkna förväntad resistivitet för germanium (0,7 eV b<strong>and</strong>gap) vid<br />
rumstemperatur.<br />
Ex10:3 Kisel har b<strong>and</strong>gapet 1,1 eV. Vilken är den längsta våglängd av ljus som<br />
skulle överföra en valenselektron till ledningsb<strong>and</strong>et?
Kap 11. Kärnfysik<br />
Ex11:1 Två kärnor med samma antal nukleoner (masstal) men olika antal<br />
protoner kallas isobarer. Spegelisobarer betecknar kärnor där dessutom<br />
23<br />
antalet protoner och neutroner har bytts mellan kärnorna, t.ex.<br />
11<br />
Na och<br />
23<br />
12<br />
Mg . Beräkna bindningsenergin per nukleon för dessa. Hur förklararas<br />
skillnaden?<br />
64<br />
64<br />
Ex11:2 (T) Beräkna bindningsenergin per nukleon för<br />
29<br />
Cu och<br />
30<br />
Zn med hjälp<br />
av vätskedroppsmodellen där parametrarna är (MeV) C 1 =15,8 C 2 =17,8<br />
C 3 =0,71 och C 4 =23,7. Jämför med de bindningsenergier som får ur<br />
massformeln.<br />
Ex11:3 (T) Den förre KGB-agenten Alex<strong>and</strong>er Litvinenko avled i slutet av 2006.<br />
Man antar att han har förgiftats med polonium-210. I Wikipedia kan man<br />
läsa följ<strong>and</strong>e om 210 Po:<br />
“Polonium-210 is an alpha emitter that has a half-life of 138.376 days. A milligram of 210 Po emits<br />
as many alpha particles as 5 grams of radium. A great deal of energy is released by its decay with<br />
half a gram quickly reaching a temperature above 750 K. A few curies (1 curie equals 37<br />
gigabecquerels) of 210 Po emit a blue glow which is caused by excitation of surrounding air. A<br />
single gram of 210 Po generates 140 watts of power. [9] Because it emits many alpha particles, which<br />
are stopped within a very short distance in dense media <strong>and</strong> release their energy, 210 Po has been<br />
used as a lightweight heat source to power thermoelectric cells in artificial satellites”<br />
Ur samma web-sida får man veta att Q-värdet för alfa-sönderfall av 210 Po är<br />
5,407 MeV och att dosekvivalent över ca 4 Sv ger 50% dödlighet. Beräkna<br />
hur stor mängd (hur många gram) av 210 Po som man behöver förtära för att få<br />
denna dödliga dos under förutsättning av att den relativa biologiska faktorn är<br />
10, dvs att den absorberade dosen är 0,4 Gy, samt att dosen erhålls under 1<br />
dygn.<br />
Ex11:4 (T) Hollywood verkar ibl<strong>and</strong> fascineras av fysik. I en film planerar<br />
skurken att spränga en bomb med radioaktivt material inuti Fort Knox för<br />
att ”smutsa ner” guldreserven så att den skulle bli oåtkomlig för viss tid.<br />
Konversationen mellan skurk och hjälte lyder:<br />
Skurken: ”The bomb is particularly dirty”.<br />
Hjälten: ”Cobalt <strong>and</strong> iodine?”<br />
Skurken: ”Yes”<br />
Hjälten: ”But, …. , then the gold will be radioctive for 57 years”.<br />
Skurken: “58 to be exact”.<br />
”Exakt” stämmer inte så bra med verkligheten, men är det ungefär den<br />
tid som man bör avstå från att gå in i guldvalvet? Gör en<br />
överslagsberäkning av bombens skadeverkningar genom att beräkna<br />
när stråldosen i valvet inte överstiger 50 mGy/timme (Gy = J/kg) för en<br />
normalstor person, givet att bomben innehöll 10 kg 60 Co och 10 kg 131 I.
För att förenkla betraktar vi bara de dominer<strong>and</strong>e sönderfallskanalerna,<br />
samt att vi antar att en blydräkt stoppar elektroner från att penetrera. 131 I,<br />
med halveringstid 8,04 dagar, ger i de flesta fall en röntgenfoton med<br />
energin 365 keV. 60 Co vars halveringstid är 1925 dagar, ger två gamma<br />
med energier 1173 respektive 1332 keV. Den 1 mm tjocka blydräkten<br />
antas förenklat ha absorptionskoefficienten 1,0 respektive 0,5 cm -1 för<br />
fotonerna från 131 I respektive 60 Co.<br />
Ex11:5 (T) Vid en mätning av radioaktivitet av ett prov efter aktivering erhölls<br />
mätserien nedan.<br />
a) Hur många olika nukleider består provet minst av?<br />
b) Beräkna dessas halveringstider.<br />
c) Hur många kärnor av dessa nukleider fanns vid tiden t = 0?<br />
Tid (s) Antal<br />
ln (sönderfall/s)<br />
sönde<br />
rfall<br />
per s<br />
0 42065 10.647<br />
5 21262 9.9645<br />
10 10851 9.2920<br />
20 3023 8.0139<br />
30 1044 6.9511<br />
40 530.3 6.2734<br />
50 383.7 5.9500<br />
60 330.2 5.8000<br />
80 279.3 5.6322<br />
100 242.6 5.4915<br />
120 211.2 5.3528<br />
140 183.9 5.2142<br />
160 160.1 5.0756<br />
180 139.3 4.9370<br />
200 121.3 4.7983<br />
Ex11:6 (T) För att stoppa en kärnreaktor förs stavar av t.ex. bor-10 eller kadmium-<br />
113 med stort tvärsnitt för infångning av neutroner. Hur stor tjocklek av bor<br />
behövs för att stoppa 99% av neutronerna under antag<strong>and</strong>e att tvärsnittet<br />
är 3835 barn, att bors densitet är 2460 kg/m 3 , att naturligt bor innehåller<br />
20% bor-10 och att bor-11 inte bidrar?<br />
Ex11:7 (T) Kärnkraftverk bygger att 235 U infångar en termisk neutron och<br />
sönderfaller därefter till två lättare kärnor samt i medeltal 2 neutroner. I<br />
Forsmark är nettoeffekten av de tre reaktorerna vardera ca 1 GW. Anta en<br />
verkningsgrad av 30% och utnyttja nedanstående figurer (ur Serway<br />
Moses och Moyer: Modern <strong>Physics</strong>) för att uppskatta antalet 235 U+n som
fissionerar per sekund i en Forsmark-reaktor.<br />
Fördelning av söndefallsprodukter från 236 U *<br />
Ex11:8 (T) I samb<strong>and</strong> med terroristbekämpning vill man kunna avgöra om<br />
bagage eller containrar innehåller sprängämnen. Detta kan göras genom<br />
att söka efter ämnen med viss kombination av kol, syre och kväve. Ett<br />
sätt som studeras är att sända en neutronstråle med 14 MeV kinetisk<br />
energi mot den behållare som skall undersökas. Kärnor i de undersökta<br />
materialen kommer att absorbera neutroner varvid exciterade tillstånd<br />
bildas som sedan återgår till grundtillstånd genom att en γ och en<br />
neutron utsänds. Med hjälp av att γ-spektrum, som skiljer sig åt för olika<br />
substanser, kan därefter sprängämnen identifieras.<br />
Hur stor intensitet av 14 MeV neutroner, dvs antal neutroner per tidsoch<br />
ytenhet, behövs för att kunna detektera minst 100 γ per s hos en<br />
kubisk låda med sidan 1 dm då detektionseffektiviteten är 30% (bl.a.<br />
pga begränsad rymdvinkel) och tvärsnittet för att en neutron ger ett<br />
exciterat kärntillstånd är i medel 0,4 b för de ingående atomerna?<br />
Densiteten hos det undersöka ämnet antas vara 1,5 kg/dm 3 och<br />
molvikten kan beräknas som medelvärdet av molvikten för kol, syre och<br />
kväve dvs 14,04 g/mol.
Kapitel 12: Bl<strong>and</strong>ade exempel av tentakaraktär. Bl<strong>and</strong>ningen är inte<br />
representativ för en normal tenta utan består av en del ”överblivna”<br />
exempel från äldre kurser att träna på. Det finns en klar slagsida mot<br />
exempel motsvar<strong>and</strong>e kapitel 1 och 10 i kursboken, medan en normal<br />
tenta har jämn fördelning över hela kursinnehållet.<br />
Ex12:1 (T) Rymdfarkoster skulle i princip kunna drivas mha solsegel. Även om<br />
det inte är realistiskt att tro att de duger vid mycket höga hastigheter kan<br />
vi studera hur effektivt det vore vid hastigheter nära ljusets. Tanken är<br />
att utnyttja fotonens rörelsemängdsöverföring mot ”spegelyta”.<br />
Spegelytan får approximeras som ideal (100% reflektion) riktad vinkelrätt<br />
mot ljuset. Beräkna överförd rörelsemängd per foton för ljus vid λ = 450<br />
nm för de två fallen att vår rymdfarkost rör sig med v = 0,1 c respektive v<br />
= 0.9 c bort från stjärnan vars ljus skall driva den. (Tips: för att vara helt<br />
korrekt, tänk på att rörelsemängden bevaras även i spegelytan).<br />
Ex12:2 (T) För att kunna öka tillgänglig kollisionsenergi i partikelfysikexperiment<br />
i cirkulära acceleratorer studeras möjligheten att använda myoner i<br />
stället för elektroner. Ett problem är dock att myonerna sönderfaller.<br />
Myonens livslängd i vila är τ = 2,2 μs. I en tänkt accelerator, accelereras<br />
μ - till en energi av 1 TeV (= 1000 GeV). Efter hur lång tid har antalet<br />
myoner i strålen minskat med en faktor 4 pga sönderfall?<br />
Ex12:3 (T) . I PEP-II, B-factory, vid Stanfords Linear Accelerator Center (SLAC),<br />
kollideras elektroner med en kinetisk energi av 9 GeV med en motriktad<br />
positronstråle med 3,1 GeV kinetisk energi. Elektroner och<br />
positroner kommer att annihilera och nya partiklar kan skapas. Fördelen<br />
med asymmetrisk energi hos strålarna är att nya partiklar har högre<br />
hastighet i laboratoriet så att sönderfallet sker längre bort från<br />
kollisionspunkten. Bl.a. kan hadroner med b-kvarkar lättare identifieras.<br />
a) Beräkna maximal massa hos en ny partikel som kan skapas vid<br />
dessa e + e –kollisioner. (2p)<br />
b) ) Om vi antar att för en skapad B 0 -meson (består av d och anti-b<br />
kvark) gäller att βγ =0.556, där β är hastigheten i förhåll<strong>and</strong>e till<br />
ljushastigheten i vakuum och γ är Lorentz-faktorn, och vi vet att dess<br />
medellivstid är 1,536±0.014 10 -12 s, beräkna medelsträckan den<br />
färdas i laboratoriet innan den sönderfaller. (3p)<br />
Ex12:4 (T) I en doktorsavh<strong>and</strong>ling som försvaras i morgon diskuteras en ny<br />
detektor tänkt att användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna<br />
detektor mäts γ-fotoner som passerat patienten från bestrålningen. I en<br />
av de studerade detektoruppställningarna uppskattades att det krävdes<br />
8 mm av wolfram innan hälften av inkomm<strong>and</strong>e fotoner med 18 MeV<br />
energi har växelverkat.<br />
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 ⋅ 10 3 kg/m 3 .
a) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram.<br />
(3p)<br />
b) Detektorn består av ett antal 0.5 mm tjocka wolframplattor. Hut<br />
många plattor behövs för att 80% av de inkomm<strong>and</strong>e fotonerna<br />
skall ha växelverkat? (2p)<br />
Ex12:5 (T) I ett medium med brytningsindex n >1 är ljushastigheten c/n lägre än i<br />
vakuum. En partikel med hastighet v > c/n kan då i mediet orsaka<br />
utsänd<strong>and</strong>e av s.k. Cherenkovljus, ett fenomen som kan liknas bogvågor<br />
från en båt eller ett flygplan som färdas snabbare är ljudet. Ljusets sänds<br />
1<br />
ut i framåtriktningen med en vinkel θ som ges av cos θ = där β = v / c .<br />
βn<br />
I ett partikelfysikexperiment mätte man rörelsemängden för en partikel till<br />
8.20 GeV/c samtidigt som man fick Cherenkovljus med vinkeln θ =5° (cos<br />
θ =0.996) för en gasvolym med trycket anpassat så att brytningsindex n<br />
var 1.0041. Beräkna partikelns massa.<br />
Ex12:6 (T) Följ<strong>and</strong>e diagram är en skiss av spektrum för övergångar i HBrmolekyler.<br />
a. Ange vibrations och rotationskvanttal för de olika linjerna<br />
b. Förklara varför det fattas en linje mitt i diagrammet<br />
c. Uppskatta med värden ur figuren bindningsavståndet.<br />
Ex12:7 En radiosändare med effekten 50 kW sänder på frekvensen 1 MHz. Vad<br />
är energin för varje utstrålat kvantum? Hur många kvanta utstrålas per<br />
period?
Ex12:8 Vad är de Broglie-våglängden för en elektron som accelererats genom<br />
en potentialdifferens på 100 V?<br />
Ex12:9 En partikel med massa m och energi E infaller från x < 0 mot ett<br />
potentialsteg i x = 0 som ges av<br />
⎧ 0, x < 0<br />
V ( x)<br />
= ⎨<br />
⎩V 0<br />
> 0, x > 0<br />
Bestäm lösningen till tidsoberoende Schrödingerekvationen i fallet<br />
E < V 0<br />
.<br />
Ex12:10 Bestäm väntevärdena p och<br />
grundtillståndet<br />
ψ =<br />
1 2 2<br />
a<br />
e<br />
π<br />
−x<br />
/ 2a<br />
2<br />
p för en harmonisk oscillator i<br />
, a =<br />
h<br />
mω<br />
Integrationshjälp:<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
x<br />
2<br />
e<br />
2<br />
−ax<br />
dx =<br />
2<br />
π<br />
a<br />
3<br />
Ex12:11 Beräkna för den endimensionella harmoniska oscillatorn i<br />
grundtillståndet<br />
(a) medelvärdet av potentiell och kinetisk energi.<br />
(b) osäkerhetsprodukten ∆x∆p.<br />
Ex12:12 Visa att en lösning till Schrödinger-ekvationen för en fri partikel i tre<br />
dimensioner<br />
2 2 2 2<br />
h ⎛ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ ⎞<br />
−<br />
⎜ + +<br />
⎟ = EΨ<br />
2 2 2<br />
2m<br />
⎝ ∂x<br />
∂y<br />
∂z<br />
⎠<br />
kan skrivas<br />
ik ⋅r<br />
Ψ ( x,<br />
y,<br />
z)<br />
= Ae<br />
Vad är samb<strong>and</strong>et mellan k = k , k , k ) och energin E ?<br />
(<br />
x y z<br />
Ex12:13 Beräkna sannolikheten att hitta en elektron i grundtillståndet för väte på<br />
större avstånd från kärnan än Bohrradien.<br />
Grundtillståndet för väte:<br />
2 −r<br />
/ a 1<br />
0<br />
Ψ ( r,<br />
θ,<br />
φ)<br />
= e<br />
3<br />
a 4π<br />
0
Ex12:14 Hur stor energi krävs för att jonisera en väteatom i n = 3 -tillståndet?<br />
Ex12:15 Bestäm väntevärdena av kinetisk och potentiell energi för en väteatom i<br />
2s-tillståndet, dvs n = 2 , l = 0 .<br />
Väteatomens 2s-tillstånd:<br />
1 ⎛ r ⎞ 1<br />
Ψ<br />
r / 2a0<br />
200<br />
( r,<br />
θ,<br />
φ)<br />
=<br />
−<br />
1 e<br />
3<br />
⎜ −<br />
2a<br />
2a<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠ 4π<br />
∞<br />
Integrationshjälp: ∫ r<br />
0<br />
k<br />
e<br />
−ar<br />
0<br />
k!<br />
dr =<br />
a<br />
k + 1
Kapitel 13 Exempeltenta<br />
Exempel-Tentamen i Modern Fysik, 5A1247,<br />
Hjälpmedel: 2 A4-sidor med egna anteckningar, Beta och fickkalkylator samt<br />
institutionens tabellblad utdelat under tentamen.<br />
Examinator: Bengt Lund-Jensen och Mats Wallin<br />
Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. Poäng från inlämningsuppgifter<br />
tillkommer. För godkänt krävs preliminärt 16 p.<br />
1. I ett tabellverk kan man läsa att cτ = 491 μm för en B + -meson, där c är ljushastigheten<br />
i vakuum och τ är medellivslängden i partikelns vilosystem. Samtidigt finner man i<br />
beskrivningen från ett experiment att medelsträckan en B + -meson färdas innan den<br />
sönderfaller är 3 mm. Vilken rörelsemängd måste B + -mesonen ha i experimentet?<br />
(B-mesonens massa är 5279,0±0,5 MeV/c 2 ) (5p)<br />
2. En elektron med försumbar energi binds med en heliumkärna He 2 + .<br />
Vilken våglängd har den emitterade fotonen? (5p)<br />
3. I en doktorsavh<strong>and</strong>ling som försvarades våren 2006 diskuteras en ny detektor tänkt att<br />
användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna detektor mäts γ-fotoner som<br />
passerat patienten från bestrålningen. I en av de studerade detektoruppställningarna<br />
uppskattades att det krävdes 8 mm av wolfram innan hälften av inkomm<strong>and</strong>e fotoner<br />
med 18 MeV energi har växelverkat.<br />
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 ⋅ 10 3 kg/m 3 .<br />
a) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram. (3p)<br />
b) Detektorn består av ett antal 0,5 mm tjocka wolframplattor. Hut många plattor<br />
behövs för att 80% av de inkomm<strong>and</strong>e fotonerna skall ha växelverkat? (2p)<br />
4. Krafterna mellan atomerna i en HCl-molekyl kan approximativt representeras av en<br />
fjäder med fjäderkonstanten 516 N/m. Detta innebär att atomerna kommer att utföra<br />
en harmonisk svängningsrörelse i förhåll<strong>and</strong>e till var<strong>and</strong>ra. Beräkna den lägsta och<br />
den näst lägsta energinivån för denna rörelse. (5p)<br />
5. Hur mycket förväntas ledningsförmågan i en halvledare med b<strong>and</strong>gapet 1 eV öka om<br />
temperaturen ökar från rumstemperatur, 300K, med 5 K till 305K? (5p)<br />
6. I atomärt väte finns en uppsplittering i energinivå pga upplinjering mellan protonens<br />
och elektronens spinn. Övergången resulterar i utsändade av radiovåg med 21 cm<br />
våglängd. Övergången är ”förbjuden” vilket gör att den är sällsynt, samt att det<br />
exiterade tillståndet är långlivat med livstid xxxx. I galaxer finns dock tillräckligt<br />
många vätaatomer för att vågor från denna övergång skall kunna observeras på<br />
jorden.
a) Antag att medellivslängden motsvarar en tidsosäkerhet för tillståndet. Bestäm<br />
osäkerheten i energiskillnaden vid mätning av övergången. (1p).<br />
b) Vilken fotonenergi observeras om vågorna sänds ut från en galax med<br />
hastigheten 0,6c jämfört med jorden? (4p)<br />
7. En partikel med massa m rör sig i en endimensionell lådpotential som ges av<br />
⎧∞<br />
x < 0<br />
⎪<br />
V (x) = ⎨0<br />
0 < x < a<br />
⎪<br />
⎩∞<br />
a < x<br />
Vid tiden t = 0 har vågfunktionen formen<br />
2 ⎛ πx<br />
⎞ 4 ⎛ 3πx<br />
⎞<br />
Ψ = sin⎜<br />
⎟ + sin⎜<br />
⎟<br />
3a<br />
⎝ a ⎠ 3a<br />
⎝ a ⎠<br />
Bestäm (a) vågfunktionen och (b) väntevärdet av energin vid en senare tidpunkt t .<br />
8. Amplituden av protonens och neutronens magnetiska moment är uppmätta till 2,42μ n<br />
−8<br />
respektive -1,66μ n , där kärnmagnetonen μ n ≈ 3,152 ⋅ 10 eV/T . I sk.k. ”magnetröntgen”<br />
(egentligen MRI, Magnetic Resonace Imaging) lägger man på ett fast magnetfält och ett<br />
osciller<strong>and</strong>e. Vid rätt frekvens, motsvar<strong>and</strong>e energiskillnaden mellan tillstånden, kan en<br />
väteatoms kärnspinn ändra upplinjering i förhåll<strong>and</strong>e till magnetfältet vilket i sin tur<br />
kan detekteras. Vilken frekvens måste det osciller<strong>and</strong>e magnetfältet vid resonas ha om<br />
det fasta magnetfältet är 1T? (5p)
Lösningsförslag.<br />
Ex1:1.<br />
a) Tiden (enligt vad vi observerar i labbet) som det tar myonerna att färdas<br />
10 km med en hastighet av 0.98 c är<br />
4<br />
10km<br />
1,0 ⋅10<br />
m<br />
−5<br />
t = =<br />
≈ 3,4 ⋅10<br />
s .<br />
8<br />
c 0,98 ⋅ 3⋅10<br />
m/s<br />
Enligt tidsdilatationen observerar vi att myonen har livstiden τ labb = γτ där<br />
1 1<br />
Lorentzfaktorn γ = = ≈ 5, 025 Andelen som når<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
β 1−<br />
0,98<br />
N −t / γτ − 2,2)<br />
jordytan blir då 34 /(5,025 ⋅<br />
= e = e ≈ 0,046 ≈ 4,6%<br />
N<br />
0<br />
N −t / τ −34 /(2,2)<br />
−7<br />
b) Klassiskt: = e = e ≈ 1,9 ⋅10<br />
N<br />
0<br />
(Nästan inga jämfört med relativistiska fallet)<br />
Syfte med problemet: genomföra relativistisk beräkning och illustrera<br />
tidsdillatation i förhåll<strong>and</strong>e till klassisk beräkning<br />
Ex1:2.<br />
a) Våglängden ökar, ”rödförskjutning”, då källan rör sig bort från<br />
observatören.<br />
b) För doppler-skiftet gäller:<br />
⎛ λ′<br />
⎞<br />
2 ⎜ ⎟<br />
1+<br />
v / c 1+<br />
β ⎛ λ′<br />
⎞ ⎝ λ<br />
λ′<br />
= λ ⇒ = ⇒ =<br />
⎠<br />
⎜ ⎟ β<br />
1−<br />
v / c 1−<br />
β ⎝ λ ⎠ ⎛ λ′<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ λ ⎠<br />
dvs supernovan rör sig med hastigheten 0,70c<br />
2<br />
2<br />
−1<br />
5,741−1<br />
≈ ≈ 0,703<br />
5,741+<br />
1<br />
+ 1<br />
c) Med β =0,70 fås dopplerskift för ett objekt som närmar sig till<br />
1−<br />
v / c 1−<br />
0,703<br />
656,5 ⋅ 656,5<br />
λ′ = λ = 656,6 nm ≈ 274nm<br />
( alt.<br />
≈ 274nm)<br />
1+<br />
v / c 1+<br />
0,703<br />
1573<br />
d) Rörelse vinkelrätt mot observatör. Jordradien är ca 40000 km/2π≈6400<br />
km. Christer antas befinna sig i en cirkulär bana med radie 6800 km.<br />
Hans hastighet är då 2π⋅6,8⋅10 6 m/(90⋅60s)≈7,91⋅10 3 m/s.<br />
Detta ger gammafaktorn: γ =<br />
1<br />
=<br />
1<br />
−10<br />
≈ 1+<br />
10 .<br />
2<br />
1−<br />
β<br />
−5<br />
2<br />
1−<br />
(2.6 ⋅10<br />
)<br />
Ej mätbar rödförskjutning.
Ex1:3.<br />
0<br />
Energi och rörelsemängd bevaras. Detta gör att om vi beräknar i K S<br />
vilosystem, kommer π + och π - , pga att de har samma massa, dela lika på<br />
den tillgängliga energin i sönderfallet. Deras kinetiska energi blir då<br />
vardera: E k = m 0 K c 2 /2 - m + π c 2 ≈<br />
497.6/2 – 139.6 MeV = 109.2 MeV.<br />
I K 0 S vilosystem blir då π + totala energi E=497.2/2 MeV = γ m + π c 2 där<br />
1<br />
γ =<br />
Ur detta kan nu hastigheten v beräknas:<br />
2<br />
1−<br />
( v / c)<br />
2<br />
1 ⎛ 2⋅139.6<br />
⎞<br />
v = c 1−<br />
≈ c 1−<br />
≈ 0. 828c<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
γ ⎝ 497.2 ⎠<br />
Hastigheten för π + i labbet beräknas på motsvar<strong>and</strong>e sätt där π + totala<br />
energi i labbet nu blir E=2000 + 139.6 MeV = γ labb m + π c 2 vilket ger<br />
2<br />
1 ⎛ 139.6 ⎞<br />
v labb<br />
= c 1−<br />
≈ c 1−<br />
≈ 0. 9979c<br />
2<br />
⎜ ⎟<br />
γ ⎝ 2139.6 ⎠<br />
Ur Lorentz-transformation av hastigheterna fås nu K 0 S hastighet. Välj<br />
system så att vi jämför labbet med π + . I π + system har K 0 S hastigheten<br />
riktad ”mot” labb-observarören.<br />
Vi får då K 0 S hastighet<br />
′<br />
u<br />
x<br />
+ vπ<br />
labb − 0.828c<br />
+ 0.997c<br />
u<br />
x<br />
=<br />
=<br />
≈ 0.9779c<br />
≈ 0. 978c<br />
′<br />
2<br />
1+<br />
( u v / c ) 1+<br />
( − 0.828⋅0.997)<br />
x<br />
π labb<br />
Ex1:4<br />
Ex1:5<br />
Massa för protonen och antiprotonen är 938,3 MeV/c 2 medan kaonerna<br />
har massan 494 MeV/c 2 . Energins och rörelsemängdens bevar<strong>and</strong>e ger<br />
då att kaonerna delar lika på den tillgängliga kinetiska energin och får då<br />
vardera totala energin 938,3 MeV. Lorentzfaktorn γ blir då (E = γ mc 2 )<br />
938,3/494 ≈ 1,90<br />
2<br />
γ − 1<br />
Detta ger att kaonernas hastighet är v = c ≈ 0,850 c.<br />
2<br />
γ<br />
Med medellivstiden i labbet (korrigeras för tidsdillatationen) τ labb = γτ<br />
färdas då kaonerna i medel sträckan τ labb v = γτ v ≈ 1,90 · 1,2·10 -8 ·<br />
0,85 · 2,998 · 10 8 m ≈ 5,8 m<br />
Viloenergin hos μ - (m μ c 2 ) övergår till kinetisk energi hos elektronen och<br />
neutrinerna samt till elektronens vilomassa. Om vilomassorna bortses<br />
ifrån, kan elektronens kinetiska energi vara högst hälften av myonens
viloenergi eftersom rörelsemängden skall bevaras. Detta ger att<br />
elektronens totala energi är<br />
E e = ½ m μ c 2 + m e c 2 = γ m e c 2 vilket ger γ = m μ /(2m e ) + 1 ≈ 104,3 ur<br />
vilket hastigheten ges av β =<br />
2<br />
γ −1<br />
≈ 0, 99995<br />
2<br />
γ<br />
1 1<br />
EX1:6 Den hastighet β för vilken vi får θ =30° är β = ≈ ≈ 0, 868<br />
n cosθ<br />
3<br />
1,33⋅<br />
2<br />
Vilket ger en Lorentzfaktor γ =<br />
1 1<br />
≈<br />
2<br />
2<br />
1−<br />
β 1−<br />
0,868<br />
≈ 2, 01<br />
Totala energin för protonen är E= γmc 2 varav mc 2 är viloenergin.<br />
Kinetisk energi är då E kin = (γ -1)mc 2 ≈ (2,01-1)⋅ 938,3 MeV≈ 948 MeV
EX2:1<br />
Energin bevaras ⇒ Inkomm<strong>and</strong>e fotonens energi E = 0,8 + 2,88 MeV ≈<br />
3,68 MeV.<br />
Ex2:2<br />
Våglängd: λ = hc/E ⇒ Vinkeln fås ur: (1-cosθ)h/m e c = hc/E spridd – hc/E<br />
cos θ = 1 + (1/E – 1/E spridd )m e c 2 = 1 + (1/3,68 – 1/0,8)·0,511 ≈ 1-0,5 = 0,5<br />
⇒ θ ≈ 60º dvs fotonen infaller med vinkeln 20º mod lodlinjen (riktat med<br />
den spridda fotonen i samma plan som denna och rekylelektronen)<br />
a) Visas genom att både energi och röreslemängd skall bevaras. För en<br />
foton gäller att E=pc, medan för elektronen gäller E 2 =p 2 c 2 +m 2 c 4 . Del av<br />
energin går åt till elektronen och positronens massa vilket gör att inte både<br />
energi och rörelsemängd samtidigt kan bevaras. Ett sätt att se detta är<br />
genom att fysiken är densamma i olika koordinatsystem i likformig rörelse<br />
jämfört med var<strong>and</strong>ra. Vi kan därför transformera oss till ett system där,<br />
om parbildningen skedde enbart med en foton utan närvaro av atom,<br />
energin inte skulle räcka till för att bilda ett elektron-positron-par. I nävaro<br />
av kärna uppstår en ”kollision” där rörelsemängd och i viss mån energi<br />
överförs till kärnan. Om tillräcklig energi finns i kärnans volisystem,<br />
kommer tillräcklig energi (och rörelsemängd) också finnas i alla <strong>and</strong>ra<br />
koordinatsystem i likformig rörelse eftersom kärnan då har kinetisk energi.<br />
b) Fotonens energi fördelas lika på elektron och positron. För dessa<br />
gäller då eftersom energin bevaras att E = = MeV<br />
2 = 50<br />
e + E −<br />
. Ur<br />
e<br />
2 2 2 2 4<br />
E = p c + m c kan då rörelsemängden för elektronen och positronen<br />
beräknas:<br />
1 2<br />
2<br />
E γ<br />
e<br />
/<br />
2<br />
( Δp) ( 5,22keV / c)<br />
2 4<br />
2<br />
p ± = E ± − m c = 50 − 0,511 MeV / c = 49,9974MeV / c<br />
e e<br />
c<br />
Fotonens rörelsemängd ges ur p = E/c = 100 MeV/c. Skillnad i<br />
rörelsemängd blir då: Δp<br />
= pγ<br />
− p + − p − = 100 − 2 ⋅ 49,9974 = 5,22KeV<br />
e<br />
vilken upptas av syreatomen.<br />
Med massan för en syreatom<br />
2<br />
2<br />
M O<br />
= 15,9994u<br />
⋅931.494MeV/(uc<br />
) = 14,903GeV / c får vi en icke-<br />
−4<br />
relativistisk kinetisk energi Ekin O<br />
= =<br />
≈ 9,1 ⋅10<br />
eV<br />
2<br />
2M<br />
o 2 ⋅14,903GeV / c<br />
vilket är 13 storleksordningar mindre än inkomm<strong>and</strong>e fotonens energi och<br />
därmed försumbar.<br />
2<br />
c<br />
Ex2:3 E Kmax = hf – Φ ger h = (E Kmax2 –E Kmax1 )/(f 2 -f 1 ) ≈ 4,1·10 -15 eVs<br />
Φ = ½ (hf 2 –E Kmax2 +hf 1 -E Kmax1 ) ≈ 3,0 eV
Ex2:4 Maximal energiöverföring fås när den spridda fotonen är riktat mot den<br />
inkomm<strong>and</strong>e, dvs då spridningvinkeln vinkeln θ = π. Då gäller att den<br />
2h<br />
spridda fotonens våglängd är λ ' = λ0 +<br />
m c<br />
Överförd energi, dvs elektronens kinetiska energi, är<br />
2<br />
hc hc hc hc ⎛ mecλ0<br />
+ 2h<br />
− mecλ0<br />
⎞ 2h<br />
c<br />
hf hf<br />
hc<br />
=<br />
= E<br />
h<br />
⎜<br />
mec<br />
h<br />
⎟<br />
0<br />
− ´' = − = − =<br />
λ<br />
2<br />
0<br />
λ'<br />
λ0<br />
⎝ λ ( + 2 ) ⎠ ( mec<br />
+ 2h)<br />
+<br />
0<br />
λ0<br />
λ0<br />
λ<br />
λ<br />
0<br />
0<br />
m c<br />
e<br />
e<br />
e<br />
Detta stuvas om:<br />
λ<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
2h<br />
2h<br />
c<br />
hc<br />
+ λ0<br />
− = 0 ⇒ λ<br />
2<br />
0<br />
= −<br />
m c m c E<br />
m c<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
2<br />
±<br />
h<br />
m<br />
2<br />
c<br />
2<br />
e<br />
2<br />
c<br />
4<br />
2 2<br />
2h<br />
c<br />
+<br />
2<br />
m c E<br />
e<br />
e<br />
≈<br />
1240eV<br />
⋅ nm<br />
≈ −<br />
+<br />
511keV<br />
⎛1.240<br />
⎞<br />
⎜ nm⎟<br />
⎝ 511 ⎠<br />
2<br />
2<br />
⎛ 2 ⋅1.240<br />
⎞<br />
+<br />
⎜ nm<br />
511 170<br />
⎟<br />
⎝ ⋅ ⎠<br />
2<br />
≈ 0.0643nm<br />
Ex2:5 Ekvationenerna för de två fallen är:<br />
2<br />
2<br />
mv1<br />
mv2<br />
hf<br />
1<br />
− φ = och hf<br />
2<br />
−φ =<br />
2<br />
2<br />
2<br />
hf1<br />
− φ v1<br />
Förhåll<strong>and</strong>et mellan dem blir: = = 4<br />
2<br />
hf − φ v<br />
Stuva om termerna och använd att f = c<br />
λ<br />
hc ⎛ 1 1 ⎞<br />
φ =<br />
≈ 1,9 eV<br />
3 ⎜ −<br />
⎟<br />
⎝ λ2<br />
λ1<br />
⎠<br />
2<br />
2
Ex3:1 a) För röntgendiffraktion mellan olika kristallplan gäller att konstruktiv<br />
interferens erhålls då nλ = 2 d sinθ,<br />
n = 1,2,3 ,... där d är avståndet mellan<br />
kristallplanen, och θ är vinkeln mellan infall<strong>and</strong>e stråle och kristallen yta.<br />
(Vi antar att ytan är ett kristallplan).<br />
λ 0,28nm<br />
Vi får då för 1:a maximat: d = = = 0,28nm<br />
o<br />
2sinθ<br />
2sin 30<br />
Densiteten för NaCl: Vi antar att NaCl har sådan struktur att en volym d 3<br />
upptas av antingen en Na-jon eller en Cl-jon. I medeltal motsvarar detta<br />
en massa av<br />
(m Na + m Cl )/2 per d 3 .<br />
ρ<br />
( m<br />
+ m<br />
2d<br />
)<br />
(22,99 + 35,45) u⋅1,66<br />
⋅10<br />
2 ⋅ (2,8 ⋅10<br />
) m<br />
kg / u<br />
−27<br />
Na Cl<br />
3<br />
= ≈<br />
≈ 2,21⋅10<br />
kg /<br />
3 −10<br />
3 3<br />
h<br />
b) De Broglie-våglängden: λ =<br />
p<br />
Kinetiska energin för neutroner med λ=0,28 nm blir då:<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
p h h c (1240eV ⋅ nm)<br />
Ekin = = ≈ ≈<br />
≈<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
2m<br />
2mλ<br />
2mc<br />
λ 2 ⋅939,6MeV<br />
⋅ (0,28 nm )<br />
m<br />
3<br />
0,0104 eV<br />
Ex3:2 Osäkerheten i massan motsvarar osäkerheten i energin enligt<br />
problemlydelsen. Vi har då att ΔE = mc 2 = 149,2 MeV. Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation ger då att<br />
h<br />
ΔE Δt<br />
≥ där > motsvarar mätfel och = ger den fysikaliska gränsen.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Man kan visa ur definitionen av osäkerhet Δt<br />
= < t > − < t > och att<br />
t τ<br />
e −<br />
livstid uppträder som en sannoliktet för att leva en tid t enligt<br />
= τ :<br />
(Behöver inte göras här, utan man får förutsätta detta, dock visas det<br />
genom:<br />
∞<br />
∞<br />
2 − t ⎛ − t ⎞<br />
τ<br />
τ<br />
∫ t e ⎜ ⎟<br />
2 2<br />
2 0<br />
⎜<br />
∫te<br />
0<br />
⎟ 2<br />
( Δt<br />
) =< t > − < t > = − ⎜ ⎟ = τ<br />
∞<br />
∞<br />
− t<br />
τ ⎜ − t<br />
τ ⎟<br />
∫ e<br />
∫ e<br />
0 ⎝ 0 ⎠<br />
)<br />
−16<br />
h 6,582 ⋅10<br />
eVs<br />
−24<br />
Heisenberg: Δt<br />
= =<br />
≈ 2,2 ⋅10<br />
s<br />
2ΔE<br />
2 ⋅149,2MeV<br />
(Kommentar: mycket kort livstid. Sönderfaller med starkt sönderfall.)<br />
2<br />
, att Δt
Ex3:3 a) Härledning av reducerade massan i klassisk mekanik:<br />
Två partiklar med massorna m respektive M i punkterna r 1 och r 2<br />
Påverkar var<strong>and</strong>ra med kraft F (motriktade).<br />
Newtons lagar ger: F = mr & 1<br />
och − F = M&<br />
r<br />
2<br />
Definiera den relativa positionen r = r 1<br />
− r2<br />
& F F ⎛ ⎞ ⎛ m + M ⎞<br />
r<br />
= && r − &&<br />
1 1<br />
1<br />
r2<br />
= − ( − ) = F ⎜ + ⎟ = F ⎜ ⎟<br />
m M ⎝ m M ⎠ ⎝ mM ⎠<br />
mM<br />
mM<br />
Dvs vi har F = & r<br />
= μr &<br />
där μ = vilken är samma ekvation<br />
m + M<br />
m + M<br />
som för rörelsen av en partikel med massan μ (reducerade massan) runt<br />
öändligt massiv partikel. (Kan också visas kvantmekaniskt).<br />
b) Bohrmodellen (och Schrödingerekvationen) ger energinivåerna<br />
4<br />
4<br />
μqe<br />
1 μq En<br />
= −<br />
⋅ där<br />
e<br />
=<br />
2 2 2<br />
13, 6eV för μ = m<br />
2 2<br />
e<br />
2( 4πε<br />
0<br />
) h n 2( 4πε<br />
0<br />
) h<br />
m<br />
em<br />
e 1<br />
För positronium gäller att μ = = me<br />
m<br />
e<br />
+ m<br />
e<br />
2<br />
13,6 1<br />
1<br />
Energinivåerna blir då E n<br />
= − ⋅ eV = −6,8<br />
⋅ eV<br />
2<br />
2<br />
2 n<br />
n<br />
E1 = −6, 8 eV<br />
1<br />
E2 = −6,8<br />
⋅ eV = −1,<br />
7eV<br />
2<br />
2<br />
Övergången har observerats experimentellt.<br />
Ex3:4 (a)<br />
λ<br />
h 6.6 ⋅10<br />
=<br />
p 1.67 ⋅10<br />
−34<br />
=<br />
−27<br />
⋅10<br />
= 39.5<br />
nm<br />
x<br />
λD<br />
39.5 ⋅10<br />
=<br />
d 10<br />
−9<br />
=<br />
−3<br />
⋅10<br />
= 0.4<br />
mm<br />
(b)<br />
= p<br />
h<br />
λ<br />
=<br />
−34<br />
6.6<br />
⋅10<br />
−31<br />
= 6.6 ⋅10<br />
−4<br />
10<br />
⋅10<br />
m<br />
x<br />
λD<br />
d<br />
dx<br />
λ<br />
10 ⋅10<br />
6.6 ⋅10<br />
−3<br />
−6<br />
= ⇒ D = =<br />
−31<br />
= 1.5 ⋅10<br />
21<br />
m<br />
Detta är en astronomisk längdskala, jämförbar med diametern hos<br />
21<br />
vintergatans skiva som är ca 100 000 ljusår, dvs ca 10 m.
Ex3:5<br />
ΔxΔp<br />
≈<br />
h 10 −<br />
Δx<br />
10<br />
2<br />
−24<br />
2<br />
p (10 )<br />
= = = 5⋅10<br />
−31<br />
2m<br />
2 ⋅9<br />
⋅10<br />
−34<br />
24<br />
h ⇒ p ≈ Δp<br />
≈ = = 10 kg m/s<br />
−10<br />
E kin<br />
−19<br />
J = 3.5 eV<br />
Ex3:6 λ =<br />
−34<br />
6.6 ⋅10<br />
= 0. 13 nm<br />
−27<br />
−19<br />
2 ⋅1.6<br />
⋅10<br />
⋅ 0.05⋅1.6<br />
⋅10<br />
λ 0.13<br />
θ = arcsin = arcsin = 40 grader<br />
d 0.20<br />
Ex3:7 λ =<br />
−34<br />
6.6 ⋅10<br />
= 0. 465 nm<br />
−31<br />
−19<br />
2 ⋅9<br />
⋅10<br />
⋅ 7 ⋅1.6<br />
⋅10<br />
Gitterkonstanten hos Cu är 0.36nm vilket är jämförbart med λ .<br />
Elektronerna kommer därför att genomgå stark diffraktion i Cu gittret och<br />
måste beh<strong>and</strong>las kvantmekaniskt.<br />
Ex3:8 O atomen väger 16u<br />
och O 2 molekylen 32 u . Enligt ekvipartitionsteoremet<br />
blir kinetiska energin för rörelsen i x-led<br />
1 23<br />
2<br />
p<br />
−27<br />
−21<br />
−<br />
Ekin = k<br />
BT<br />
= ⇒ p = 2mEkin<br />
= 2 ⋅32<br />
⋅1.66<br />
⋅10<br />
⋅ 2 ⋅10<br />
= 1.46 ⋅10<br />
kg m / s<br />
2 2m<br />
−34<br />
6.6 ⋅10<br />
λ = = 0.045 nm<br />
p<br />
Denna längd är mycket mindre än syremolekylens diameter, som är ca 4<br />
Å, vilket i sin tur är mycket mindre än det genomsnittliga avståndet mellan<br />
molekylerna i luft vid NTP, som är ca 30 Å. Detta motiverar en klassisk<br />
beh<strong>and</strong>ling av gasen.<br />
Kommentar: Avståndet mellan molekylerna i luft kan uppskattas med ett<br />
enkelt resonemang. Molekylvikten hos vatten, 18, är något mindre än hos<br />
luft, ca 29, så för ett överslag kan vi använda bekanta resultat hos vatten.<br />
Vatten har en densitet på ca 1000 kg/m 3 och ett avstånd mellan<br />
molekylerna på ca 3 Å. En gas kan ha ~1000 gånger lägre densitet än en<br />
vätska, vilket stämmer bra med att luft har densitet 1.3 kg/m 3 . För att<br />
densiteten ska gå ner med en faktor 1000 måste avståndet mellan<br />
molekylerna öka med en faktor 10. Alltså bör avståndet mellan<br />
luftmolekyler vara ca 30Å.
Noggrannare räkning: medelmolekylvikt<br />
−27<br />
−26<br />
29u= 29× 1.66×<br />
10 = 4.8×<br />
10 kg.<br />
Medelvolym per partikel är molekylvikten/densiteten:<br />
−26<br />
−26<br />
v<br />
0<br />
= 4.8×<br />
10 /1.3 = 3.7 × 10 m 3 .<br />
3<br />
Medelavståndet mellan partiklarna uppfyller v = d ⇒ d 33 Å.<br />
0<br />
=<br />
Gas % by Volume % by Weight Parts per<br />
Million (by<br />
Volume)<br />
Chemical<br />
Symbol<br />
Molecular<br />
Weight<br />
Nitrogen 78.08 75.47 780805 N 2 28.01<br />
Oxygen 20.95 23.20 209450 O 2 32.00<br />
Argon 0.93 1.28 9340 Ar 39.95<br />
Carbon 0.038 0.0590 380 CO 2 44.01<br />
Dioxide<br />
Neon 0.0018 0.0012 18.21 Ne 20.18<br />
Helium 0.0005 0.00007 5.24 He 4.00<br />
Krypton 0.0001 0.0003 1.14 Kr 83.80<br />
Hydrogen 0.00005 Negligible 0.50 H 2 2.02<br />
Xenon 8.7 x 10 -6 0.00004 0.087 Xe 131.30<br />
Ex3:9 de Broglie-våglängden för neutronerna ges av<br />
h hc 1,24keVnm<br />
λ = = ≈<br />
≈ 0,0976Å<br />
p 127keV<br />
127 keV<br />
För Braggspridning (n=1) gäller att λ = 2d sinθ<br />
där θ räknas mot mellan<br />
infall<strong>and</strong>e stråle och materialet så att θ här blir 1°. Detta ger att<br />
λ 0,0976<br />
d = = ≈ 2, 79Å<br />
2sinθ<br />
2⋅0,01745
Ex4:1<br />
2<br />
h d<br />
−<br />
2m<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
2<br />
h k<br />
Acos(<br />
kx − ωt)<br />
= +<br />
2m<br />
2<br />
∂<br />
Acos(<br />
kx − ωt)<br />
≠ ih<br />
∂t<br />
Acos(<br />
kx − ωt)<br />
= ihωAsin(<br />
kx − ωt)<br />
2<br />
h d<br />
−<br />
2m<br />
dx<br />
2<br />
2<br />
2<br />
h k<br />
Asin(<br />
kx −ωt)<br />
= +<br />
2m<br />
2<br />
∂<br />
Asin(<br />
kx −ωt)<br />
≠ ih<br />
∂t<br />
Asin(<br />
kx −ωt)<br />
= −ihωAcos(<br />
kx −ωt)<br />
dvs Acos(<br />
kx − ωt)<br />
och Asin(<br />
kx − ωt)<br />
är inte lösningar till Schrödingerekvationen<br />
för en fri partikel. Genom att addera ekvationerna ovan ser vi<br />
dock att den välbekanta plana vågen<br />
i(<br />
kx−ωt<br />
)<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
= Ae = A cos( kx − ωt)<br />
+ i sin( kx − ωt)<br />
är en lösning.<br />
( )<br />
Ex4:2<br />
2 2<br />
i(<br />
kx−ωt)<br />
−i(<br />
kx+<br />
ωt)<br />
h k i(<br />
kx−ωt)<br />
−i(<br />
kx+<br />
ωt)<br />
( − e ) = A( e − e )<br />
2 2<br />
h d<br />
− A e<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
2m<br />
∂ i(<br />
kx−ωt<br />
) −i(<br />
kx+<br />
ωt<br />
)<br />
i(<br />
kx−ωt<br />
) −i(<br />
kx+<br />
ωt<br />
)<br />
ih<br />
A( e − e ) = hωA( e − e )<br />
∂t<br />
För att få en lösning till Schrödinger-ekvationen för en fri partikel måste<br />
dessa ekvationer vara lika med var<strong>and</strong>ra, vilket är uppfyllt om<br />
2 2<br />
h k<br />
h ω = .<br />
2m<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
=<br />
i(<br />
kx−ωt)<br />
−i(<br />
kx+<br />
ωt)<br />
ikx −ikx<br />
−iωt<br />
−iωt<br />
( − e ) = A( e − e ) e = 2iAsin<br />
kxe<br />
A e<br />
Detta är en stående våg, dvs summan av likadana vågor fast med<br />
motriktade vågvektorer.<br />
2 nπx<br />
Ex4:3. Ψn<br />
( x)<br />
= sin , n = 1,2,3 ,...<br />
L L<br />
P<br />
x1,<br />
x2<br />
2<br />
L<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x2<br />
= ∫ Ψn<br />
( x)<br />
dx =<br />
x ∫<br />
1<br />
x1<br />
sin<br />
2<br />
nπx<br />
⎡ x 1 2nπx<br />
⎤<br />
dx = sin<br />
L ⎢ −<br />
⎣ L 2nπ<br />
L ⎥ ⎦<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1<br />
n<br />
n<br />
= 1:<br />
P x 1 , x2<br />
=<br />
= 2 : P x 1 , x2<br />
=<br />
0.198<br />
0.0065
Ex4:4.<br />
=<br />
〈 〉 = ∫ ∞ 2<br />
2<br />
x x Ψn<br />
( x)<br />
dx =<br />
−∞<br />
L<br />
∫<br />
0<br />
L<br />
xsin<br />
2<br />
2 ⎡ x x 2nπx<br />
1<br />
⎢ − sin −<br />
L ⎣ 4 4nπ<br />
/ L L 8( nπ<br />
/ L)<br />
2<br />
2<br />
nπx<br />
dx =<br />
L<br />
2nπx<br />
⎤<br />
cos ⎥<br />
L ⎦<br />
L<br />
0<br />
=<br />
L<br />
2<br />
för alla värden på n .<br />
Ex4:5.<br />
⎛ ⎞<br />
〈 〉 = ∫ ∞ L<br />
*<br />
2 nπx<br />
h d nπx<br />
p Ψn<br />
( x)<br />
pˆ<br />
Ψn<br />
( x)<br />
dx = ∫ sin ⎜ ⎟sin<br />
dx =<br />
−∞<br />
L<br />
0<br />
L ⎝ i dx ⎠ L<br />
L<br />
1 h L d 2 nπx<br />
h ⎡ 2 nπx<br />
⎤<br />
= ∫ sin dx = sin = 0<br />
L i<br />
0<br />
dx L iL ⎢ ⎥<br />
⎣ L ⎦<br />
0<br />
för alla värden på n . Tolkning:<br />
nπh<br />
( + nπh<br />
/ L)<br />
+ ( −nπh<br />
/ L)<br />
pn<br />
= ± 2 mEn<br />
= ± ⇒ pmedel<br />
=<br />
= 0<br />
L<br />
2<br />
Vågfunktionen beskriver alltså en stående våg, dvs en superposition av<br />
likadana vågor som fortskrider i motsatta riktningar, varför väntevärdet<br />
på rörelsemängden blir noll.
Ex4:6. Som förberedelse ska vi beräkna några jätteviktiga Gaussiska integraler:<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
e<br />
2<br />
−x<br />
1/ 2<br />
= ∞ 2 ∞ 2<br />
⎡ −x<br />
− y<br />
dx<br />
⋅ ⎤<br />
⎢⎣ ∫ e dx ∫ e dy<br />
⎥⎦ ∫∫<br />
−∞<br />
−∞<br />
⎡<br />
⎢⎣<br />
∫<br />
2π<br />
∞<br />
0<br />
∫<br />
2 2<br />
( x + y )<br />
dxdy<br />
1/ 2<br />
−<br />
= [ e ] =<br />
−r<br />
1 −r<br />
(gå till polära koordinater) = d φ re dr = 2π<br />
[ − e ] = π<br />
0<br />
En annan vanlig form av denna integral fås genom ett variabelbyte:<br />
2<br />
⎤<br />
⎥⎦<br />
1/ 2<br />
⎡<br />
⎢⎣<br />
2<br />
2<br />
∞<br />
0<br />
⎤<br />
⎥⎦<br />
1/ 2<br />
∫ ∞ −<br />
e ax 2<br />
−∞<br />
dx =<br />
π<br />
a<br />
Genom ett annat variabelbyte fås den normerade Gauss-fördelningen<br />
P(<br />
x)<br />
2 2<br />
−(<br />
x−x0 ) / 2 σ<br />
2<br />
= e / 2πσ<br />
, som uppfyller normeringsvillkoret<br />
1 2 2<br />
( 0 ) / 2<br />
∫ ∞ − x−x<br />
σ<br />
e<br />
−∞<br />
2<br />
2πσ<br />
dx = 1<br />
och har väntevärde x = x0<br />
. St<strong>and</strong>ardavvikelsen kan beräknas med ett<br />
trick:<br />
∞<br />
2<br />
2 d ∞ 2<br />
−ax<br />
ax d π π<br />
x e dx = −<br />
−<br />
∫<br />
e dx = − =<br />
−∞<br />
3 / 2<br />
da<br />
∫−∞<br />
da a 2a<br />
⇒<br />
x<br />
2<br />
−<br />
x<br />
2<br />
=<br />
1 2 2<br />
2 / 2σ<br />
2 ∫ ∞ −x<br />
x e<br />
−∞<br />
2πσ<br />
dx =<br />
1<br />
2<br />
2πσ<br />
π<br />
2(1/ 2σ<br />
)<br />
2 3 / 2<br />
2<br />
= σ<br />
(a)<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
2 2<br />
2 2<br />
−x<br />
/ a<br />
2 2<br />
ψ dx = N ∫ e dx = N πa<br />
= 1 ⇒ välj<br />
−∞<br />
N<br />
=<br />
a<br />
1<br />
π<br />
(b)<br />
〈 x〉<br />
= ∫ ∞ xψ<br />
dx = 0<br />
−∞<br />
2<br />
2 2<br />
eftersom x är udda och = N exp( − x / 2a<br />
)<br />
∞<br />
2 2<br />
〈 x 〉 = N ∫<br />
−∞<br />
x<br />
2<br />
e<br />
2<br />
ψ är jämn.<br />
π<br />
2<br />
2(1/ a )<br />
1 π<br />
=<br />
3<br />
a π 2 / a<br />
2<br />
2 2<br />
−x<br />
/ a<br />
2<br />
a<br />
dx = N<br />
=<br />
3 / 2<br />
2<br />
(c)<br />
⎛ 〈 p 〉 = ∫ ∞ ψ ⎜ − ih<br />
−∞<br />
⎝<br />
d<br />
dx<br />
⎞<br />
⎟ψ<br />
dx = 0<br />
⎠
eftersom ψ är jämn och<br />
∞<br />
−∞<br />
2<br />
d ψ / dx är udda.<br />
∞<br />
2<br />
2<br />
*<br />
⎛ ⎞<br />
⎡ ⎤<br />
〈<br />
2 〉 =<br />
* d<br />
∫ ⎜ −<br />
* d ψ<br />
d * dψ<br />
dψ<br />
dψ<br />
p ψ ih<br />
⎟ ψdx<br />
= −h<br />
∫ψ<br />
dx = − h ∫ ⎢ψ<br />
⎥<br />
dx + h<br />
2<br />
∫ dx<br />
⎝ dx ⎠<br />
dx<br />
dx ⎣ dx ⎦ dx dx<br />
−∞<br />
∞<br />
2<br />
−∞<br />
∞<br />
2<br />
−∞<br />
Den första integralen i sista ledet är = 0 , om vågfunktionen och dess<br />
derivala försvinner i oändligheten. Kvar blir:<br />
∞<br />
2 2<br />
2 2 ⎛ x 2 2<br />
x / 2a<br />
⎞ h<br />
〈<br />
2<br />
p 〉 = h ⎜ −<br />
−<br />
∫ e dx = x =<br />
2<br />
⎟<br />
4<br />
−∞⎝<br />
a ⎠ a<br />
2<br />
h<br />
2a<br />
2<br />
(d)<br />
Δx<br />
Δp<br />
=<br />
2<br />
a<br />
2<br />
⋅<br />
2<br />
h<br />
2a<br />
2<br />
=<br />
h<br />
2<br />
Ex4:7.<br />
∂j<br />
∂x<br />
=<br />
*<br />
2<br />
2<br />
∂ ih<br />
⎡<br />
* ∂Ψ ∂Ψ ⎤ ih<br />
⎡<br />
* ∂ Ψ ∂ Ψ<br />
⎢Ψ<br />
− Ψ ⎥ = ⎢Ψ<br />
− Ψ<br />
2<br />
2<br />
∂x<br />
2m<br />
⎣ ∂x<br />
∂x<br />
⎦ 2m<br />
⎣ ∂x<br />
∂x<br />
*<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
Använd nu att Ψ uppfyller SE:<br />
∂Ψ<br />
ih<br />
∂t<br />
2 2<br />
h ∂ Ψ ⎛ ∂Ψ ⎞<br />
= − + VΨ ⇒<br />
2<br />
⎜ih<br />
⎟<br />
2m<br />
∂x<br />
⎝ ∂t<br />
⎠<br />
*<br />
∂Ψ<br />
= −ih<br />
∂t<br />
*<br />
2 2<br />
h ∂ Ψ<br />
= −<br />
2<br />
2m<br />
∂x<br />
*<br />
+ VΨ<br />
*<br />
Vi får :<br />
∂j<br />
∂x<br />
= Ψ<br />
*<br />
∂Ψ ∂Ψ<br />
+ Ψ<br />
∂t<br />
∂t<br />
*<br />
∂<br />
=<br />
∂t<br />
Ψ<br />
2<br />
∂ρ<br />
=<br />
∂t<br />
Ex4:8. (a) Superpositionen har formen Ψ = c<br />
1Ψ1<br />
+ c2Ψ2<br />
. Anta att Ψ , Ψ , Ψ är<br />
1 2<br />
normerade och att Ψ , Ψ 1 2<br />
är ortogonala. Då blir<br />
∫<br />
∫<br />
*<br />
*<br />
( c1Ψ1<br />
+ c2Ψ2<br />
) dx = c1<br />
Ψ1<br />
Ψ1dx<br />
+ c2<br />
Ψ1<br />
Ψ2dx<br />
1<br />
Ψ = c Ψ + Ψ ⇒ Ψ Ψ = Ψ<br />
=<br />
*<br />
*<br />
1 1<br />
c2<br />
2 1<br />
dx<br />
1<br />
c<br />
∫<br />
∫<br />
samt<br />
1 =<br />
=<br />
c<br />
∫<br />
*<br />
Ψ Ψdx<br />
=<br />
2<br />
1<br />
∫<br />
Ψ<br />
*<br />
1<br />
1<br />
∫<br />
*<br />
( c Ψ + c Ψ ) ( c Ψ + c Ψ )<br />
1<br />
Ψ dx + c<br />
1<br />
2<br />
2<br />
∫<br />
2<br />
Ψ<br />
*<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Ψ dx + c<br />
*<br />
1<br />
c<br />
2<br />
2<br />
∫<br />
Ψ<br />
2<br />
*<br />
1<br />
dx =<br />
Ψ dx + c<br />
2<br />
*<br />
2<br />
c<br />
1<br />
∫<br />
Ψ<br />
*<br />
2<br />
Ψ dx =<br />
1<br />
c<br />
2<br />
1<br />
+<br />
c<br />
2<br />
2<br />
Kvantmekanikens sannolikhetspostulat säger nu att:
2 *<br />
1 ∫ Ψ1<br />
Ψ<br />
2<br />
c = dx är sannolikheten att systemet som är i tillståndet Ψ<br />
hittas i tillståndet Ψ<br />
1<br />
i en mätning av energin.<br />
*<br />
(Notera att expansionskoefficienten c1 = ∫ Ψ1<br />
Ψdx<br />
i allmänhet är ett<br />
komplext tal, och därför inte kan vara direkt mätbart.)<br />
Väntevärdet av energin ges av<br />
H<br />
= c c E<br />
=<br />
*<br />
1<br />
c<br />
=<br />
1<br />
2<br />
1<br />
∫<br />
1∫<br />
*<br />
Ψ HΨdx<br />
=<br />
1<br />
*<br />
1<br />
E + c<br />
2<br />
2<br />
1<br />
E<br />
2<br />
∫<br />
( c Ψ<br />
Ψ Ψ dx + c c<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
E<br />
1<br />
2<br />
*<br />
+ c Ψ ) ( c E Ψ + c E Ψ<br />
∫<br />
2<br />
*<br />
2<br />
2<br />
Ψ Ψ dx + c c E<br />
2<br />
1<br />
1<br />
*<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
∫<br />
2<br />
2<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
) dx<br />
Ψ Ψ dx + c c<br />
*<br />
1<br />
2<br />
E<br />
2<br />
∫<br />
Ψ Ψ dx<br />
*<br />
1<br />
2<br />
där vi i sista steget utnyttjat normeringen och ortogonaliteten hos<br />
vågfunktionerna.<br />
Tolkning:<br />
2<br />
2<br />
väntevärdet H är lika med c E c = sannolikheten att vara i<br />
1 1<br />
+<br />
2<br />
E2<br />
Ψ<br />
1<br />
gånger E<br />
1<br />
plus sannolikheten att vara i Ψ<br />
2<br />
gånger E<br />
2<br />
.<br />
Alltså kan vi välja c<br />
1<br />
= c2<br />
= 1/ 2 .<br />
där vi i sista steget utnyttjat normeringen och ortogonaliteten hos<br />
vågfunktionerna. Alltså kan vi välja c = c 1/ 2 .<br />
1 2<br />
=<br />
(b)<br />
= ∫ ∫<br />
2<br />
* 2<br />
* 2<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
H Ψ H Ψdx<br />
= ( c1Ψ1<br />
+ c2Ψ2<br />
) ( c1E1<br />
Ψ1<br />
+ c2E2<br />
Ψ2<br />
) dx = c1<br />
E1<br />
+ c2<br />
E2<br />
(c) Med<br />
Ψ<br />
=<br />
2 2<br />
2<br />
1 2 1 2 1 1 2<br />
2<br />
( ΔE) = H − H = E1<br />
+ E2<br />
− ( E1<br />
+ E2<br />
) = ( E1<br />
− E2<br />
) ⇒ ΔE<br />
= E1<br />
− E2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
=<br />
Ψ =<br />
1<br />
2<br />
1 −iE1t<br />
/ h 1 −iE2t<br />
/ h<br />
2 1<br />
2 2<br />
ψ e<br />
1<br />
2<br />
ψ e + ψ e fås<br />
−iE1t<br />
/ h<br />
1<br />
2<br />
ψ e<br />
2 2<br />
* i( E1<br />
−E2<br />
) t<br />
[ ψ<br />
1<br />
+ ψ<br />
1<br />
] + Reψ<br />
1ψ<br />
2e<br />
+<br />
2<br />
/ h<br />
[ ]<br />
2<br />
2<br />
−iE2t<br />
/ h<br />
=<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2 2 * i( E1<br />
−E2<br />
) t / h * −i( E1<br />
−E2<br />
) t / h<br />
[ ψ<br />
1<br />
+ ψ<br />
1<br />
+ ψ<br />
1ψ<br />
2e<br />
+ ψ<br />
2ψ<br />
1e<br />
]<br />
1<br />
2<br />
=<br />
I den polära representationen blir<br />
*<br />
* iφ<br />
* i( E1<br />
−E2<br />
) t / h *<br />
iφ0<br />
i E1<br />
−E2<br />
ψ ψ = ψ ψ e ⇒ Reψ<br />
ψ e = ψ ψ Re e e<br />
( ) t / h *<br />
[ ] [ ] = ψ ψ cos ( E − E )<br />
1 2 1 2<br />
1 2<br />
1 2<br />
1 2<br />
[ 0 1 2<br />
t / h + φ<br />
vilket ger:
Ψ<br />
2<br />
=<br />
1<br />
2<br />
2 2 *<br />
[<br />
1<br />
+ ψ<br />
1<br />
] + ψ<br />
1ψ<br />
2<br />
cos ( E<br />
1<br />
− E2<br />
) t<br />
[ / h φ ]<br />
ψ +<br />
0<br />
Alltså oscillerar sannolikhetstätheten med vinkelfrekvens<br />
ω = E1 − E 2<br />
/ h , dvs med periodtid Δ t = 2π<br />
h / E1 − E2<br />
= πh<br />
/ ΔE<br />
. Alltså<br />
är Δt<br />
ΔE<br />
= πh<br />
. Detta är ett exempel på osäkerhetsrelationen för tid<br />
och energi, som säger att Δt ΔE<br />
≈ h .<br />
Tolkning: osäkerheten i tid är den karakteristiska tiden för att<br />
tillståndet helt ska ha ändrat form jämfört med initialtillståndet.<br />
Ex4:9. (a)<br />
∞<br />
L<br />
2 2 nπx<br />
∫ ψ<br />
n<br />
dx = N ∫ sin dx<br />
L<br />
−∞<br />
0<br />
Denna integral kan enkelt göras mha trigonometriska formler (se (b)).<br />
Alternativt kan vi utnyttja följ<strong>and</strong>e trick. Integralen går över en period av<br />
2<br />
sin funktionen, och måste ha samma värde som integralen över en<br />
2<br />
period av cos funktionen. Alltså blir integralen ovan lika med<br />
∞<br />
1 L<br />
2 ⎛ 2 nπx<br />
2 nπx<br />
⎞ 1<br />
∫ ψ = ⎜sin<br />
+ cos ⎟ =<br />
2<br />
n<br />
dx N<br />
= 1<br />
2<br />
∫<br />
dx N L<br />
2<br />
−∞<br />
0 ⎝ L L ⎠<br />
där vi använt trigonometriska ettan. Alltså kan vi välja N = 2 / L för alla<br />
värden på n .<br />
(b) Använd trigonometriska identiteten<br />
sin x sin y = 1 2<br />
(cos( x − y)<br />
− cos( x + y )) :<br />
∞<br />
⎛ ( m − n)<br />
πx<br />
( m + n πx<br />
⎞<br />
⎝ L<br />
L ⎠<br />
2<br />
2<br />
∫ ψ<br />
mψ<br />
ndx<br />
= N ∫ sin sin dx = N ∫ ⎜cos<br />
− cos ⎟dx<br />
=<br />
−∞<br />
L<br />
L<br />
* mπx<br />
nπx<br />
1<br />
)<br />
0<br />
L<br />
L<br />
2<br />
0<br />
=<br />
N<br />
2<br />
1 ⎡ L ( m − n)<br />
πx<br />
L ( m + n)<br />
πx<br />
⎤<br />
sin<br />
sin<br />
2<br />
⎢<br />
−<br />
( )<br />
( )<br />
⎥<br />
⎣ m − n π L m + n π L ⎦<br />
L<br />
0<br />
= 0<br />
Kommentar: Egenskaperna i (a) och (b) kan skrivas tillsammans med<br />
hjälp av Kronecker-delta symbolen:<br />
∫ ∞ −∞<br />
ψ ψ dx = δ<br />
*<br />
m<br />
n<br />
m,<br />
n<br />
⎧1,<br />
m = n<br />
= ⎨<br />
⎩0,<br />
m ≠ n<br />
Alltså utgör funktionerna ett ON system. Den gemensamma terminologin<br />
med vektoranalysen är ingen slump. Dessa funktioner utgör en ON bas<br />
för ett oängdligtdimensionellt linjärt vektorrum som kallas ett Hilbert-rum.
Ex4:10. För att visa att egenfunktionerna är ortogonala utnyttjar vi att de löser<br />
tidsoberoende Schrödingerekvationen:<br />
2 2<br />
h d ψ<br />
n<br />
− + Vψ<br />
n<br />
= Enψ<br />
2<br />
n<br />
2m<br />
dx<br />
För ψ<br />
m<br />
tar vi komplexkonjugatet av SE (och utnyttjar att potentialen<br />
V (x) är reell)<br />
2 2 *<br />
d ψ<br />
m * * *<br />
− h + Vψ<br />
2<br />
m<br />
= Emψ<br />
m<br />
2m<br />
dx<br />
*<br />
Multiplicera den första ekvationen med ψ<br />
m<br />
och den <strong>and</strong>ra med ψ<br />
n<br />
och<br />
subtrahera:<br />
2<br />
2<br />
2 *<br />
h ⎛<br />
* d ψ<br />
⎞<br />
n<br />
d ψ<br />
m<br />
* *<br />
− ⎜<br />
⎟<br />
ψ<br />
m<br />
−ψ<br />
n<br />
= ( En<br />
− Em<br />
) ψ<br />
mψ<br />
n<br />
⇒<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
⎝ dx dx ⎠<br />
2<br />
*<br />
d ⎛<br />
* dψ<br />
n<br />
dψ<br />
⎞<br />
m<br />
* *<br />
− h ⎜ψ<br />
m<br />
ψ ⎟<br />
n<br />
= ( En<br />
− Em<br />
) ψ<br />
mψ<br />
n<br />
2m<br />
dx<br />
−<br />
dx dx<br />
⎝<br />
⎠<br />
Integrera, och antag att ψ<br />
n<br />
(x)<br />
och ψ<br />
m<br />
(x)<br />
är = 0 i x = ±∞ :<br />
2 ∞<br />
*<br />
∞<br />
h d ⎛<br />
* dψ<br />
⎞<br />
n<br />
dψ<br />
m<br />
* *<br />
− ∫<br />
⎜ψ<br />
−<br />
⎟<br />
m<br />
ψ<br />
n<br />
dx = ( En<br />
− Em<br />
)<br />
−∞ ⎝<br />
⎠<br />
−∞<br />
∫ ψ<br />
mψ<br />
ndx<br />
2m<br />
dx dx dx<br />
144444<br />
244444<br />
3<br />
⎡<br />
*<br />
∞<br />
⎤<br />
* dψ<br />
n dψ<br />
m<br />
= ⎢ψ<br />
m −ψ<br />
n ⎥ = 0<br />
⎢⎣<br />
dx dx ⎥⎦<br />
−∞<br />
⇒<br />
* *<br />
( E − E ) ψ ψ dx = 0<br />
n<br />
∫ ∞ m<br />
−∞<br />
*<br />
2<br />
(a) Om m = n så blir integralen ovan ∫ ψ dx nψ<br />
n<br />
= ∫ ψ<br />
n<br />
dx = 1, och<br />
−∞<br />
−∞<br />
*<br />
alltså måste E<br />
n<br />
= E n<br />
. Alltså är E<br />
n<br />
reellt, vilket skulle visas.<br />
(b) Om E ≠ E så blir<br />
Klart!<br />
n<br />
m<br />
∫ ∞ −∞<br />
∞<br />
m<br />
n<br />
*<br />
ψ mψ n<br />
dx = 0<br />
4.11 Antag att elektronen har energi E och att potentialen är V = 0 för 0 < x < L i<br />
potentialbrunnen, och V = V0<br />
i det klassiskt förbjudna området utanför brunnen,<br />
där E < V0<br />
. Schrödingerekvationen i områden x < 0 utanför potentialbrunnen,<br />
ger:<br />
2 2<br />
2<br />
h d ψ<br />
d ψ 2<br />
+ κx<br />
2m(<br />
V0<br />
− E)<br />
− + V0ψ<br />
= Eψ<br />
⇒ = κ ψ ⇒ψ<br />
( x)<br />
= Ae , κ =<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
dx<br />
h<br />
Alltså är inträngningsdjupet δ = 1/<br />
κ . Numeriskt:<br />
∞
2 ⋅9.1⋅10<br />
(200 ⋅1.6<br />
⋅10<br />
−31<br />
−19<br />
−19<br />
10<br />
κ = = 6.3⋅10<br />
m −1<br />
−34<br />
vilket ger δ = 0. 16 Å.<br />
1.055⋅10<br />
4.12 Grundtillståndet innan expansionen är<br />
− 50 ⋅1.6<br />
⋅10<br />
2 πx<br />
ψ ( x ) = sin , 0 < x < L<br />
L L<br />
och ψ (x) = 0 för övrigt. Det nya grundtillståndet efter expansionen är<br />
x 2 πx<br />
1 πx<br />
ϕ ( ) = sin = sin ,0 < x < L<br />
2L<br />
2L<br />
L 2L<br />
2<br />
och ϕ(x)<br />
= 0 för övrigt. Sannolikheten att partikeln i tillståndet ψ samtidigt är i<br />
tillståndet ϕ ges av*<br />
)<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
ϕ ψdx<br />
2<br />
L<br />
2<br />
2 πx<br />
πx<br />
2 1 ⎡ ⎛ πx<br />
πx<br />
⎞ ⎛ πx<br />
πx<br />
⎞⎤<br />
= ∫sin<br />
sin dx = ∫ ⎢cos⎜<br />
− ⎟ − cos⎜<br />
+<br />
2<br />
⎟<br />
2 2<br />
⎥dx<br />
L L L L ⎣ ⎝ L 2L<br />
⎠ ⎝ L 2L<br />
⎠⎦<br />
L<br />
0<br />
1 ⎡ πx<br />
3πx<br />
⎤<br />
= ∫ ⎢<br />
cos − cos<br />
2<br />
2 ⎣ 2 2 ⎥<br />
dx<br />
L L L ⎦<br />
0<br />
1<br />
=<br />
2L<br />
2L<br />
2L<br />
+<br />
π 3π<br />
2<br />
L<br />
0<br />
1<br />
=<br />
2L<br />
1<br />
=<br />
2L<br />
2<br />
⎡2L<br />
πx<br />
2L<br />
3πx<br />
⎤<br />
⎢<br />
sin − sin<br />
⎣ π 2L<br />
3π<br />
2L<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2 2<br />
8L<br />
3π<br />
32<br />
=<br />
2<br />
9π<br />
0.36<br />
L<br />
2<br />
0<br />
=<br />
2<br />
=<br />
(Motivation av *: Beteckna energiegentillstånden med energi<br />
E<br />
n<br />
som<br />
2 2<br />
2L<br />
1<br />
nπ<br />
n<br />
*<br />
ϕ<br />
n<br />
( x)<br />
= sin kn<br />
x,<br />
kn<br />
= , En<br />
= , n = 1,2,3,... ⇒ ϕ<br />
mϕ<br />
ndx<br />
=<br />
L<br />
2L<br />
2m<br />
∫<br />
0<br />
h<br />
k<br />
δ<br />
mn<br />
Varje möjligt tillstånd hos systemet kan utvecklas i en Fourier-serie:<br />
ψ ( x)<br />
∞<br />
2L<br />
∞ 2L<br />
= *<br />
∑cnϕ<br />
n<br />
⇒ ∫ϕ<br />
nψdx<br />
= ∑c<br />
∫ m<br />
n=<br />
0<br />
0<br />
m=<br />
0 0<br />
*<br />
ϕ<br />
nϕ<br />
mdx<br />
= c<br />
14243<br />
δ<br />
mn<br />
n<br />
Normeringskravet ger:
1 =<br />
2L<br />
∫<br />
*<br />
ψ ψdx<br />
=<br />
0<br />
∞<br />
*<br />
∑cm<br />
m,<br />
n=<br />
0<br />
2L<br />
∫<br />
*<br />
cn<br />
ϕ<br />
nϕ<br />
mdx<br />
=<br />
0<br />
14243<br />
δ<br />
mn<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
0<br />
c<br />
n<br />
2<br />
Kvantmekanikens sannolikhetstolkning:<br />
c<br />
2<br />
n<br />
=<br />
2L<br />
∫<br />
0<br />
*<br />
n<br />
2<br />
ϕ ψdx<br />
är sannolikheten att en mätning av energin hos ett system i<br />
tillståndet ψ ger svaret<br />
E<br />
n<br />
, dvs att systemet hittas i tillståndet ϕ<br />
n<br />
.<br />
vilket motiverar *. Notera att c<br />
n<br />
.är ett komplext tal som i sig inte direkt kan mätas.<br />
Jämför även med tal 4.8 ovan.)<br />
4.13<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t + T ) =<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
c ψ ( x)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
−iE<br />
( t+<br />
T ) / h<br />
n<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
n=<br />
1<br />
c ψ ( x)<br />
e<br />
n<br />
n<br />
−iE<br />
t / h<br />
n<br />
e<br />
−iE<br />
T / h<br />
n<br />
EnT<br />
n h<br />
h<br />
2 2 2 2 2<br />
( n π h / 2ma<br />
)(4ma<br />
/ πh)<br />
2<br />
2 −iE<br />
T / −i2n<br />
=<br />
= 2n<br />
π ⇒ e = e<br />
h<br />
⇒ Ψ( x,<br />
t + T ) = Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
Ex4:14 Fall 1: Anta först att V<br />
0<br />
< E . Lösningen har formen<br />
⎧ 0 x < 0<br />
⎪<br />
Asin<br />
kx 0 < x < a<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨<br />
⎪Bsinκ(<br />
b − x)<br />
a < x < b<br />
⎪<br />
⎩ 0 b < x<br />
som är konstruerad så att ψ ( a)<br />
= ψ ( b)<br />
= 0 . Energin uppfyller<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
h k h κ<br />
2 2 2 h w<br />
E = = + V0<br />
⇒ k = κ + w , = V0<br />
(1)<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
Kontinuitetsvillkor:<br />
Asin<br />
ka = Bsinκ(<br />
b − a)<br />
kAcos<br />
ka = −κB<br />
cosκ(<br />
b − a)<br />
⇒ k cot ka = −κ cotκ(<br />
b − a)<br />
(2)<br />
Energinivåerna bestäms nu genom att lösa ekvationssystemet (1),(2)<br />
numeriskt.<br />
Fall 2: Anta nu att 0 < E < V0<br />
. Lösningen har formen<br />
π<br />
= 1
⎧ 0 x < 0<br />
⎪<br />
Asin<br />
kx 0 < x < a<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨<br />
⎪Bsinhκ<br />
( b − x)<br />
a < x < b<br />
⎪<br />
⎩ 0 b < x<br />
som är konstruerad så att ψ ( a)<br />
= ψ ( b)<br />
= 0 . Energin uppfyller<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
h k h κ<br />
2 2 2 h w<br />
E = = − + V0<br />
⇒ k + κ = w , = V0<br />
(3)<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
Kontinuitetsvillkor:<br />
Asin<br />
ka = Bsinhκ(<br />
b − a)<br />
kAcos<br />
ka = −κB<br />
coshκ(<br />
b − a)<br />
⇒ k cot ka = −κ cothκ(<br />
b − a)<br />
(4)<br />
Energinivåerna bestäms nu genom att lösa ekvationssystemet (3),(4)<br />
numeriskt.<br />
Ex4:15 Studera en lösning med energi E som uppfyller −V<br />
0<br />
< E < 0 . Flytta<br />
koordinatsystemet så att potentialbrunnen ligger i det symmetriska<br />
intervallet − a < x < a, a = L / 2 , vilket ger ett ekvivalent problem fast med<br />
mycket enklare räkningar: de sökta lösningarna måste nu vara antingen<br />
jämna eller udda funktioner. Jämna lösningar har formen:<br />
Udda lösningar:<br />
κx<br />
⎧Ae<br />
⎪<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨B<br />
cos kx<br />
⎪ −κx<br />
⎩Ae<br />
x < −a<br />
− a < x < a<br />
a < x<br />
κx<br />
⎧− Ae x < −a<br />
⎪<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨Bsin<br />
kx − a < x < a<br />
⎪ −κx<br />
⎩Ae<br />
a < x<br />
I båda fallen är<br />
2 2 2 2<br />
2 2<br />
h κ h k<br />
2 2 2 h w<br />
E = − = −V0<br />
⇒ k + κ = w , = V<br />
2m<br />
2m<br />
2m<br />
Börja med de jämna lösningarna. Kontinuitetsvillkor:<br />
−κa<br />
B cos ka = Ae<br />
− kBsin<br />
ka = −κAe<br />
k tan ka = κ<br />
(2)<br />
− κa<br />
0<br />
(1)<br />
Ekvationerna (1),(2) kan nu lösas numeriskt pss som i<br />
föreläsningsanteckningarna. Fallet när lösningen är en udda funktion är<br />
precis analogt med problemet med en halvoändlig potentialbrunn som<br />
löstes på föreläsningen.
Ex4:16 Osäkerhetsrelationen för energi och tid ger en uppskattning av<br />
medellivstiden τ :<br />
−34<br />
1⋅10<br />
−25<br />
= 2.5 ⋅10<br />
9<br />
−19<br />
h<br />
ΔEτ = h ⇒ τ = =<br />
sekunder<br />
ΔE<br />
2.5 ⋅10<br />
⋅1.6<br />
⋅10<br />
Ex4:17 Som vi har sett i problemen ovan så kan vågfunktionen för<br />
endimensionella bundna tillstånd alltid väljas reell. Detta kan man visa<br />
gäller allmänt. Därför blir<br />
p<br />
∞<br />
= ∫<br />
−∞<br />
ψ *<br />
⎛ ∂ ⎞<br />
⎜−<br />
ih ⎟ψ<br />
dx = − ih ⋅(reellt tal)<br />
⎝ ∂x<br />
⎠<br />
Eftersom p är reellt och integralen ovan är komplex så måste p = 0 .<br />
(Observera att detta inte gäller för obundna tillstånd som plana vågor,<br />
ikx<br />
ψ = e .) Resultatet illustrerar att bundna tillstånd är stående vågor som<br />
består av vågor som fortskrider i + riktningen, och sedan reflekteras<br />
tillbaka i – riktningen i sin helhet, och på så sätt går fram och tillbaka.<br />
Därför måste medelvärdet av rörelsemängden vara noll.<br />
Ex4:18 En partikel i en potential V (x)<br />
har vågfunktionen<br />
−ax<br />
⎧Nxe<br />
0 < x<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨<br />
⎩0<br />
x < 0<br />
Bestäm potentialen och energin.<br />
2 2<br />
h d<br />
− ψ ( x)<br />
+ V ( x)<br />
ψ ( x)<br />
= Eψ<br />
( x)<br />
⇒<br />
2<br />
2m<br />
dx<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
h d h d<br />
−ax<br />
h<br />
2 −ax<br />
− ψ ( x)<br />
= − N(1<br />
− ax)<br />
e = − N(<br />
−2a<br />
+ a x)<br />
e =<br />
2<br />
2m<br />
dx 2m<br />
dx<br />
2m<br />
2<br />
h ⎛ 2a<br />
2 ⎞<br />
= − ⎜−<br />
+ a ⎟ψ<br />
( x)<br />
= ( E −V<br />
( x))<br />
ψ ( x)<br />
⇒<br />
2m<br />
⎝ x ⎠<br />
2<br />
h ⎛ 2a<br />
2 ⎞<br />
E −V<br />
( x)<br />
= − ⎜−<br />
+ a ⎟<br />
2m<br />
⎝ x ⎠<br />
Genom att kräva att potentialen ska gå mot noll i oändligheten kan vi nu<br />
avläsa att<br />
2 2<br />
h a<br />
E = −<br />
2m<br />
2<br />
h 2a<br />
V ( x)<br />
= − ,0 < x<br />
2m<br />
x<br />
V ( x)<br />
= ∞,<br />
x < 0
Ex4:19 (a) Om både position och rörelsemängd har väntevärde lika med noll så<br />
h<br />
kan Heisenbergs osäkerhetsprincip Δx Δp<br />
≥ skrivas:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 h<br />
2 h<br />
x p ≥ ⇒ p ≥ . Väntevärdet av energin kan därför<br />
2<br />
4 4 x<br />
uppskattas enligt:<br />
E<br />
=<br />
p<br />
2<br />
2m<br />
+<br />
1<br />
2<br />
m<br />
h<br />
8m<br />
x<br />
2<br />
2 2<br />
ω x ≥ +<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
mω<br />
x<br />
2<br />
(b) Minimera<br />
2<br />
A<br />
( Δx)<br />
2<br />
2 2<br />
+ B ( Δx)<br />
:<br />
2<br />
d ⎛ A<br />
d x<br />
⎜<br />
Δ ⎝ ( Δx)<br />
2<br />
A<br />
( Δx)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+ B ( Δx)<br />
2<br />
+ B ( Δx)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎞ 2A<br />
⎟ = −<br />
⎠ ( Δx)<br />
2<br />
A<br />
= + B<br />
A/<br />
B<br />
2<br />
3<br />
2<br />
+ 2B<br />
Δx<br />
= 0 ⇒ ( Δx)<br />
A/<br />
B = 2AB<br />
2<br />
=<br />
A<br />
B<br />
⇒<br />
(c)<br />
E<br />
≥ 2AB<br />
= 2<br />
2<br />
h<br />
8m<br />
1<br />
2<br />
2<br />
mω<br />
= 2<br />
2 2<br />
h ω<br />
16<br />
1<br />
= hω<br />
2
Kap 5<br />
5.1 Anta att potentialsteget ligger vid x = 0. Energin hos inkomm<strong>and</strong>e elektronen<br />
är E = 5eV. Potentialen är V ( x)<br />
= 0, x < 0 och V ( x)<br />
= V0 = −2<br />
eV, x > 0. Lösningen<br />
har formen<br />
ikx −ikx<br />
ψ ( x)<br />
= Ae + Be för < 0<br />
x och<br />
ψ =<br />
iκx<br />
( x)<br />
Ce för x > 0<br />
Insättning i tidsoberoende Schrödingerekvationen ger<br />
2 2<br />
h k<br />
2mE<br />
x < 0 : ψ = Eψ<br />
⇒ k =<br />
2m<br />
h<br />
h 2 2<br />
κ<br />
2m(<br />
E −<br />
0<br />
)<br />
x > 0 : ψ + V<br />
V<br />
0ψ<br />
= Eψ<br />
⇒ κ =<br />
2m<br />
h<br />
Kontinuitetsvillkor hos ψ och dψ i x = 0 dx<br />
:<br />
A + B = C<br />
ikA − ikB = iκ C ⇒ kA − kB = κC<br />
På föreläsningen diskuterades tunnling, där vågtalet k är samma för det<br />
inkomm<strong>and</strong>e och utgående tillståndet, och då skulle transmissionskoefficienten<br />
2<br />
C<br />
ges av T = . Men i det aktuella fallet har inkomm<strong>and</strong>e och utgående tillstånd<br />
2<br />
A<br />
olika vågtal, k , κ , och vi får då i stället<br />
T<br />
=<br />
C<br />
A<br />
2<br />
2<br />
κ<br />
k<br />
(vilket motiveras i kursboken på sidan 197). För att bestämma<br />
transmissionskoefficienten eliminerar vi B :<br />
2kA = ( k + κ ) C ⇒<br />
T<br />
=<br />
C<br />
A<br />
2<br />
2<br />
2<br />
κ 4k<br />
=<br />
k ( k + κ)<br />
2<br />
κ<br />
4<br />
κ<br />
=<br />
k<br />
k ⎛ κ ⎞<br />
⎜1<br />
+ ⎟<br />
⎝ k ⎠<br />
2<br />
4<br />
=<br />
⎛<br />
⎜1<br />
+<br />
⎝<br />
E −V<br />
E<br />
E<br />
0<br />
E −V<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
=<br />
4<br />
1−<br />
x<br />
( 1+<br />
1−<br />
x ) 2
där x = V0<br />
/ E . På likn<strong>and</strong>e sätt bestäms reflektionskoefficienten genom att<br />
eliminera C :<br />
R =<br />
B<br />
A<br />
2<br />
2<br />
k<br />
k<br />
( κ − k)<br />
A + ( k + κ ) B = 0 ⇒<br />
2<br />
⎛ κ ⎞<br />
⎛ E −V<br />
1 1<br />
2 ⎜ − ⎟<br />
⎜<br />
( k )<br />
−<br />
− κ k<br />
E<br />
= =<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎝<br />
2<br />
2<br />
( k + κ)<br />
⎛ κ ⎞ ⎛<br />
1<br />
E −V<br />
⎜ + ⎟ ⎜1<br />
k<br />
+<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ E<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
=<br />
2<br />
( 1−<br />
1−<br />
x )<br />
( 1+<br />
1−<br />
x ) 2<br />
Alltså blir:<br />
T<br />
=<br />
4<br />
1−<br />
x<br />
( 1+<br />
1−<br />
x )<br />
, R =<br />
2<br />
( 1−<br />
1−<br />
x ) V0<br />
x =<br />
2<br />
( 1+<br />
1−<br />
x ) E<br />
2<br />
,<br />
(Kontroll:<br />
T + R =<br />
4<br />
1−<br />
x + ( 1−<br />
1−<br />
x )<br />
2<br />
( 1+<br />
1−<br />
x )<br />
2<br />
=<br />
4<br />
1−<br />
x +<br />
[ 1−<br />
2 1−<br />
x + (1 − x)<br />
] 1+<br />
2 1−<br />
x + (1<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( 1+<br />
1−<br />
x ) ( 1+<br />
1−<br />
x )<br />
− x)<br />
= 1<br />
OK!)<br />
I det aktuella problemet är x = −2 / 5 vilket ger T = 0 .993, R = 0. 007 .<br />
5.2 Använd resultaten för tunnling genom en bred potentialbarriär som<br />
konstruerades på föreläsningen.<br />
κ a =<br />
−31<br />
−19<br />
2m(<br />
VB<br />
− E)<br />
2 ⋅ (9.1⋅10<br />
) ⋅ (200 − 50) ⋅1.6<br />
⋅10<br />
−9<br />
a =<br />
⋅10<br />
−34<br />
h<br />
1.055⋅10<br />
= 62.6<br />
T<br />
16E(<br />
V − E)<br />
16 ⋅ 50 ⋅ (200 − 50)<br />
−<br />
= e<br />
V<br />
B −2κa<br />
−2⋅62.6<br />
e =<br />
= 1.16 ⋅10<br />
2 2<br />
B<br />
200<br />
54<br />
Låt oss jämföra med resultatet från den exakta formeln, som ges i kursboken på<br />
sidan 206. Med x E / V = 50 / 200 blir<br />
=<br />
B
T<br />
=<br />
sinh<br />
2<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
2mV<br />
−<br />
= 1.16 ⋅10<br />
(1 − x)<br />
⎤<br />
a⎥<br />
+ 4x(1<br />
− x)<br />
⎥⎦<br />
4x(1<br />
x)<br />
−54<br />
B<br />
h<br />
dvs samma resultat.<br />
För att bekräfta att det är rimligt att beh<strong>and</strong>la barriären som bred beräknar vi<br />
elektronens de Broglie våglängd inuti barriären:<br />
λ =<br />
h<br />
p<br />
h<br />
= =<br />
hκ<br />
h<br />
=<br />
2m(<br />
V − E)<br />
B<br />
2 ⋅ 9.1⋅10<br />
−31<br />
6.63⋅10<br />
−34<br />
⋅ (200 − 50) ⋅1.6<br />
⋅10<br />
−19<br />
= 1.0 ⋅10<br />
dvs en tiondel av barriärbredden. Alltså är det motiverat att betrakta barriären<br />
som bred.<br />
−10<br />
m<br />
5.3 Börja med (5-8), dvs inkomm<strong>and</strong>e partiklar har energi ovanför barriären:<br />
E > U 0<br />
(använd bokens beteckningar). Lösningarna är<br />
ψ ( x)<br />
= Ae<br />
ψ ( x)<br />
= Ce<br />
ψ ( x)<br />
= Fe<br />
ikx<br />
ik ' x<br />
ikx<br />
−<br />
+ Be<br />
+ De<br />
, L < x<br />
ikx<br />
−ik<br />
' x<br />
, x < 0<br />
,0 < x < L<br />
där<br />
h 2 2 2 2<br />
k h k'<br />
2mE<br />
2m(<br />
E −<br />
0<br />
)<br />
E = = + U<br />
0<br />
⇒ k = , k'<br />
=<br />
U .<br />
2m<br />
2m<br />
h<br />
h<br />
Kontinuitetsvillkor:<br />
ψ ( x = 0) kontinuerlig: A + B = C + D<br />
(1)<br />
d ψ ( x = 0) / dx kontinuerlig: kA − kB = k'<br />
C − k'<br />
D (2)<br />
ψ ( x = L) kontinuerlig:<br />
d ψ ( x = L)<br />
/ dx kontinuerlig:<br />
ik ' L − ik ' L<br />
Ce + De =<br />
Fe<br />
ikL<br />
k Ce − k De = kFe<br />
ik ' L<br />
− ik ' L ikL<br />
' '<br />
(4)<br />
(3)<br />
Eliminera B från (1),(2):<br />
Eliminera A från (1),(2):<br />
Eliminera D från (3),(4):<br />
Eliminera C från (3),(4):<br />
2kA = ( k + k')<br />
C + ( k − k'<br />
) D (5)<br />
2 kB = ( k − k')<br />
C + ( k + k'<br />
) D (6)<br />
2k ' Ce )<br />
2<br />
ik ' L<br />
ikL<br />
= ( k + k'<br />
Fe<br />
(7)<br />
−ik<br />
' L<br />
k ' De = −(<br />
k − k'<br />
)<br />
Fe<br />
ikL<br />
(8)<br />
2<br />
2<br />
( k + k')<br />
i(<br />
k −k<br />
') L ( k − k')<br />
i(<br />
k + k ') L<br />
(5),(7),(8) ger: 2 kA = ( k + k')<br />
C + ( k − k')<br />
D = Fe − Fe ⇒<br />
2k'<br />
2k'
[ ] [ ]<br />
[ ]<br />
[ ]<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
4<br />
4<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
'<br />
2<br />
'<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
1<br />
1<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
)<br />
'<br />
/(<br />
'<br />
4<br />
'<br />
4<br />
)<br />
'<br />
(<br />
4sin<br />
)<br />
'<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
)<br />
'<br />
(<br />
4sin<br />
')<br />
(<br />
)<br />
'<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
2(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
)<br />
2<br />
(<br />
)<br />
'<br />
(<br />
)<br />
'<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
'<br />
16<br />
')<br />
(<br />
')<br />
(<br />
'<br />
16<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
T<br />
R<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
kk<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
L<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
e<br />
e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
e<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
A<br />
F<br />
T<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
L<br />
ik<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
−<br />
+<br />
=<br />
=<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
+<br />
+<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
+<br />
⋅<br />
−<br />
−<br />
+<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
+<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
−<br />
Klart!<br />
Ekvationerna (5-10) kan konstrueras direkt ur (5-8). Observera att i fallet 0<br />
U<br />
E <<br />
blir lösningen<br />
x<br />
L<br />
Fe<br />
x<br />
L<br />
x<br />
De<br />
Ce<br />
x<br />
x<br />
Be<br />
Ae<br />
x<br />
ikx<br />
x<br />
x<br />
ikx<br />
ikx<br />
<<br />
=<br />
<<br />
<<br />
+<br />
=<br />
<<br />
+<br />
=<br />
−<br />
−<br />
,<br />
)<br />
(<br />
,0<br />
)<br />
(<br />
0<br />
,<br />
)<br />
(<br />
ψ<br />
ψ<br />
ψ<br />
α<br />
α<br />
där<br />
'<br />
)<br />
(<br />
2<br />
,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ik<br />
E<br />
m U<br />
mE<br />
k<br />
U<br />
m<br />
m<br />
k<br />
E =<br />
−<br />
=<br />
=<br />
⇒<br />
+<br />
= −<br />
=<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
α<br />
α<br />
. Alltså fås<br />
lösningen (5-10) ur (5-8) genom att byta<br />
'<br />
ik mot α . Detta ger<br />
)<br />
(<br />
sinh<br />
)<br />
'<br />
(<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
L<br />
L<br />
k<br />
α<br />
= osv. Klart!!<br />
5.4 (a) Lösningen har formen<br />
0<br />
,<br />
)<br />
(<br />
0<br />
,<br />
)<br />
(<br />
><br />
=<br />
<<br />
+<br />
=<br />
−<br />
−<br />
x<br />
Ce<br />
x<br />
x<br />
Be<br />
Ae<br />
x<br />
x<br />
ikx<br />
ikx<br />
α<br />
ψ<br />
ψ<br />
där<br />
2<br />
4<br />
/<br />
2<br />
1)<br />
4<br />
(5 /<br />
2<br />
)<br />
(<br />
2<br />
,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
k<br />
mE<br />
mE<br />
E<br />
m V<br />
mE<br />
k<br />
V<br />
m<br />
m<br />
k<br />
E =<br />
=<br />
−<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
⇒<br />
+<br />
= −<br />
=<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
α<br />
α<br />
Kontinuitetsvillkor:
Bestäm<br />
B, C :<br />
A + B = C<br />
ikA − ikB = −αC<br />
2<br />
α + ik k / 2 + ik 1+<br />
2i<br />
(1 + 2i)<br />
− 3 + 4i<br />
( α + ik)<br />
A + ( α − ik)<br />
B = 0 ⇒ B = A = A = A = A = A<br />
α − ik k / 2 − ik 1−<br />
2i<br />
1+<br />
4 5<br />
2ik<br />
2ik<br />
4i<br />
4 4(2 − i)<br />
8 − 4i<br />
2ikA<br />
= ( ik −α)<br />
C ⇒ C = A = A = A = A = A = A<br />
ik −α<br />
ik − k / 2 2i<br />
−1<br />
2 + i 4 + 1 5<br />
Lösningen blir:<br />
ψ ( x)<br />
=<br />
ψ ( x)<br />
=<br />
⎛ ikx − 3 + 4i<br />
−<br />
A⎜<br />
e + e<br />
⎝ 5<br />
8 − 4i<br />
−αx<br />
A e , x > 0<br />
5<br />
ikx<br />
⎞<br />
⎟,<br />
x < 0<br />
⎠<br />
(b) Reflektionskoefficienten blir<br />
R =<br />
B<br />
A<br />
2<br />
2<br />
=<br />
( α + ik)<br />
( α − ik)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
α + k<br />
=<br />
2<br />
α + k<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
5.5 (a) Detta kan inte vara ett bundet tillstånd eftersom partikeln till slut kommer<br />
att tunnla ut genom en av barriärerna, och då bli obunden.<br />
(b) Vi kan uppskatta tiden innan partikeln tunnlat ut ur brunnen med följ<strong>and</strong>e<br />
resonemang, som är nära besläktat med analysen av radioaktivt sönderfall.<br />
Studera en partikel med energin E < V . Uppskatta hastigheten:<br />
B<br />
2mE<br />
E < VB<br />
⇒ k = ⇒ p = hk<br />
h<br />
=<br />
2mE<br />
⇒ v =<br />
p<br />
m<br />
=<br />
2E<br />
m<br />
Antag nu en semiklassisk bild där elektronen studsar fram och tillbaks mellan<br />
potentialväggarna med separation L , med tiden t = L / v = L m / 2E<br />
för att<br />
komma från ena väggen till den <strong>and</strong>ra. Sönderfallskonstanten λ , som är<br />
inversen av livstiden, λ = 1/<br />
τ , för elektronen i potentialbrunnen är lika med<br />
försöksfrekvensen för att tunnla genom barriären, som är<br />
υ = 1 / t = v / L = 2E<br />
/ m / L försök per sekund, multiplicerat med<br />
tunnlingssannolikheten som är
T<br />
16E(<br />
VB<br />
− E)<br />
−2<br />
=<br />
e<br />
2<br />
V<br />
B<br />
κa<br />
, κ =<br />
2m(<br />
V<br />
B<br />
h<br />
− E)<br />
för en bred barriär med bredd a . Alltså blir livstiden<br />
1<br />
τ = =<br />
λ<br />
t<br />
T<br />
= L<br />
m<br />
2E<br />
⎡16E(<br />
V<br />
⋅ ⎢<br />
⎣ V<br />
B<br />
2<br />
B<br />
−1<br />
− E)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎛<br />
exp⎜+<br />
2<br />
⎜<br />
⎝<br />
2m(<br />
V<br />
h<br />
B<br />
− E)<br />
⎞<br />
a⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
För en elektron med a = 2 L,<br />
L = 1Å, E V B<br />
/ 2, V = 10 eV blir<br />
τ = 10<br />
−31<br />
9.1⋅10<br />
2 ⋅ 5⋅1.6<br />
⋅10<br />
=<br />
B<br />
−1<br />
⎡16<br />
⋅ 5(10 − 5) ⎤<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎢<br />
⎥<br />
exp + 2<br />
2<br />
⎣ 10 ⎦ ⎜<br />
⎝<br />
−15<br />
τ = 2 ⋅10<br />
s<br />
2 ⋅ 9.1⋅10<br />
⋅ (10 − 5) ⋅1.6<br />
⋅10<br />
−31<br />
−19<br />
−10<br />
−11<br />
⋅ 2 ⋅10<br />
−19<br />
−34<br />
1.055 ⋅10<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
5.6 För en bred barriär använder vi approximationen<br />
T<br />
16E(<br />
VB<br />
− E)<br />
−2<br />
=<br />
e<br />
2<br />
V<br />
B<br />
κa<br />
, κ =<br />
2m(<br />
V<br />
h<br />
B<br />
− E)<br />
−2<br />
a<br />
som är giltig när e κ
Mätbara kvantiteter representeras av Hermiteska operatorer, dvs operatorer Â<br />
som uppfyller<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
Ψ<br />
∞<br />
( Ψ ) dx = ( Aˆ<br />
Ψ )<br />
ˆ *<br />
Ψ dx för alla vågfunktioner Ψ , Ψ 1 2<br />
*<br />
1<br />
A<br />
2<br />
1 2<br />
−∞<br />
∫<br />
(a) Använd rörelsemängdsoperatorn<br />
tidsberoende Schrödingerekvationen<br />
∂<br />
pˆ<br />
= −ih<br />
, som är Hermitesk, och<br />
∂x<br />
∂Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
ih<br />
∂t<br />
2<br />
2<br />
⎛ pˆ<br />
⎞ h ∂<br />
=<br />
⎜−<br />
+ V ( xˆ)<br />
( x,<br />
t)<br />
= −<br />
2m<br />
⎟ Ψ<br />
⎝<br />
⎠ 2m<br />
2<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
+ V ( x)<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
2<br />
∂x<br />
för att bestämma tidsderivatan av positionsväntevärdet:<br />
⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥<br />
d x d<br />
m<br />
⎢ *<br />
⎥<br />
*<br />
⎛ ∂Ψ ⎞<br />
*<br />
m m x t x x t dx ⎢<br />
⎛ ∂Ψ ⎞<br />
=<br />
i x x i dx<br />
dt dt<br />
∫ Ψ(<br />
, ) Ψ(<br />
, ) =<br />
i<br />
∫<br />
⎥ =<br />
⎢<br />
⎜ h<br />
t<br />
⎟ Ψ + Ψ ⎜ h ⎟<br />
h ⎝ ∂<br />
⎝ ∂t<br />
⎥<br />
⎢<br />
14243 ⎠<br />
⎠<br />
*<br />
⎥<br />
⎛ ∂Ψ ⎞<br />
⎢ −⎜<br />
ih<br />
⎟<br />
⎥<br />
⎣ ⎝ ∂t<br />
⎠<br />
⎦<br />
2 2 *<br />
2 2<br />
m ⎡ ⎛ h ∂ Ψ<br />
h<br />
⎞⎤<br />
*<br />
⎞<br />
*<br />
⎛ ∂ Ψ<br />
= ⎢<br />
V xΨ + Ψ x<br />
V ⎥dx<br />
=<br />
i<br />
∫ −<br />
⎜−<br />
+ Ψ<br />
⎣ m x<br />
⎟<br />
⎜−<br />
+ Ψ<br />
m x<br />
⎟<br />
2<br />
2<br />
h ⎝ 2 ∂ ⎠ ⎝ 2 ∂ ⎠⎦<br />
⎡<br />
⎤<br />
*<br />
*<br />
ih<br />
∂ ⎡∂Ψ<br />
* ∂Ψ ⎤ ih<br />
x x<br />
x x dx<br />
⎢∂Ψ<br />
∂<br />
* ∂ ∂Ψ<br />
= −<br />
+<br />
Ψ − Ψ<br />
⎥<br />
∫ ⎢ Ψ − Ψ ⎥<br />
dx =<br />
2 ∂x<br />
x<br />
x ⎢ ∂x<br />
{ ∂x<br />
{ ∂x<br />
∂x<br />
⎥<br />
⎣ ∂<br />
∂<br />
∫<br />
⎦ 2<br />
1444 44 244444<br />
3 ⎢⎣<br />
= 1<br />
= 1<br />
⎥⎦<br />
ih<br />
=<br />
2<br />
∫<br />
⎡∂Ψ<br />
⎢<br />
⎣ ∂x<br />
*<br />
Ψ − Ψ<br />
( a):<br />
= 0<br />
*<br />
∂Ψ ⎤ 1<br />
⎥dx<br />
=<br />
∂x<br />
⎦ 2<br />
∫<br />
*<br />
*<br />
*<br />
( pΨ) Ψdx<br />
+ Ψ pΨdx<br />
= Ψ pΨdx<br />
= p<br />
14243<br />
*<br />
( b):<br />
= ∫ Ψ pΨdx<br />
I (a) har vi antagit att Ψ( x , t)<br />
→ 0 för x → ∞ , och i (b) utnyttjat att<br />
rörelsemängdsoperatorn pˆ är en Hermitesk operator.<br />
(b)<br />
1<br />
2<br />
∫<br />
∫
d p<br />
dt<br />
1<br />
=<br />
ih<br />
1<br />
=<br />
ih<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
=<br />
d<br />
dt<br />
∫<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
2<br />
⎡ ⎛ ( pˆ<br />
Ψ)<br />
⎢−<br />
⎜<br />
⎣ ⎝ 2m<br />
1<br />
2<br />
1<br />
pˆ<br />
Ψ(<br />
x,<br />
t)<br />
dx =<br />
ih<br />
+ VΨ<br />
⎞<br />
⎟ pˆ<br />
Ψ + Ψ<br />
⎠<br />
2 *<br />
* 3<br />
∫ [ − ( pˆ<br />
Ψ)<br />
pˆ<br />
Ψ + Ψ ( pˆ<br />
Ψ)<br />
]<br />
⎡ ⎛ ∂Ψ<br />
⎢−<br />
⎜−<br />
ih<br />
⎣ ⎝ ∂t<br />
1<br />
dx +<br />
m 144444<br />
244444<br />
3 ih<br />
* 1<br />
Ψ ( pV ˆ ) Ψdx<br />
=<br />
ih<br />
*<br />
*<br />
( a):<br />
= 0<br />
∫<br />
*<br />
∫<br />
* ⎛ ∂V<br />
⎞<br />
Ψ ⎜−<br />
⎟Ψdx<br />
=<br />
⎝ ∂x<br />
⎠<br />
*<br />
2<br />
⎛ pˆ<br />
Ψ ⎞⎤<br />
pˆ<br />
⎜ + VΨ<br />
⎥dx<br />
=<br />
m<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⎠⎦<br />
∫<br />
∂V<br />
−<br />
∂x<br />
*<br />
⎡<br />
⎢−VΨ<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎞<br />
⎟ pˆ<br />
Ψ + Ψ<br />
⎠<br />
*<br />
*<br />
*<br />
pˆ<br />
Ψ + Ψ (<br />
⎛ ∂Ψ ⎞⎤<br />
pˆ<br />
⎜ih<br />
⎟⎥dx<br />
=<br />
⎝ ∂t<br />
⎠⎦<br />
pV ˆ Ψ<br />
213<br />
( b):<br />
= ( pV ˆ ) Ψ+ V ( pˆ<br />
Ψ)<br />
⎤<br />
) ⎥dx<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
I (a) har vi utnyttjat att rörelsemängdsoperatorn är Hermitesk, vilket tillåter oss att<br />
successivt flytta pˆ från första faktorn till <strong>and</strong>ra i integralen:<br />
I (b) har vi utnyttjat:<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
2 *<br />
* 2<br />
∫ ( pˆ<br />
Ψ) pˆ<br />
Ψdx<br />
= ∫ ( pˆ<br />
Ψ) pˆ<br />
Ψdx<br />
= ∫<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞<br />
Ψ<br />
*<br />
3<br />
pˆ<br />
Ψdx<br />
pˆ<br />
VΨ<br />
= −ih<br />
∂V<br />
VΨ = −ih<br />
x ∂x<br />
∂<br />
∂<br />
Ψ − ihV<br />
∂Ψ<br />
∂x<br />
= ( pV ˆ ) Ψ + V ( pˆ<br />
Ψ)<br />
5.8 Flytta först  och sedan Bˆ till första faktorn:<br />
Detta ger:<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
ˆ ˆ<br />
⎛<br />
*<br />
( BAΨ)<br />
Ψdx<br />
= ⎜<br />
14243<br />
((<br />
ˆ *<br />
ˆ *<br />
) )<br />
⎝<br />
BAΨ<br />
Ψ<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
* *<br />
* ˆ<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
=<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
dvs reellt. Pss blir<br />
Ψ<br />
∫<br />
−∞<br />
⎞<br />
*<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx⎟<br />
⎠<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
( AB ˆ ˆ + BA ˆ ˆ )<br />
⎛<br />
*<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
( Aˆ<br />
Ψ)<br />
Bˆ<br />
Ψdx<br />
=<br />
*<br />
=<br />
Ψdx<br />
=<br />
∞<br />
∞<br />
∫<br />
∫<br />
−∞<br />
−∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
Ψ BA ˆ ˆΨdx<br />
⇒<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx<br />
+<br />
*<br />
⎞<br />
*<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx⎟<br />
⎠<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
⎛<br />
= 2 Re⎜<br />
⎝<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
Ψ BA ˆ ˆΨdx<br />
=<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
ˆ<br />
⎞<br />
Ψ BAΨdx⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
*<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx⎟<br />
⎠
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
Ψ<br />
dvs imaginärt.<br />
∞<br />
∞<br />
*<br />
∞<br />
( )<br />
⎟ ⎞<br />
⎜ ⎛<br />
⎟ ⎞<br />
⎜ ⎛<br />
Aˆ Bˆ<br />
− BA ˆ ˆ<br />
*<br />
Ψdx<br />
= ∫ Ψ AB ˆ ˆ<br />
*<br />
Ψdx<br />
− ∫ Ψ AB ˆ ˆ<br />
*<br />
Ψdx<br />
= 2Im ∫ Ψ AB ˆ ˆΨdx<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞ ⎠<br />
*<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎝<br />
5.9 Fyll i de saknade stegen på föreläsningen i härledning av Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation. Låt φ ( x)<br />
= α(<br />
x)<br />
+ λβ ( x)<br />
, där φ ( x),<br />
α(<br />
x),<br />
β ( x)<br />
är komplexa<br />
funktioner och λ är ett komplext tal. Eftersom<br />
så måste<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
φ ( x)<br />
2<br />
dx ≥ 0<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
α dx<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
+ *<br />
* *<br />
*<br />
λ ∫α<br />
βdx<br />
+ λ ∫ β αdx<br />
+ λλ ∫<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞<br />
2<br />
β dx ≥ 0<br />
Eftersom denna olikhet gäller för alla värden på λ , så gäller den när λ ges av<br />
(a) Schwarz olikhet:<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
⇒<br />
⇒<br />
2<br />
α dx + λ<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
α dx<br />
2<br />
α dx<br />
∞<br />
−∞<br />
∞<br />
∞<br />
−∞<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
α βdx<br />
+ λ<br />
2<br />
β dx + λ<br />
2<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
*<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∫<br />
−∞<br />
β<br />
2<br />
λ<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
*<br />
β αdx<br />
+ λλ<br />
dx<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
*<br />
β dx = − β αdx<br />
∞<br />
*<br />
−∞<br />
∞<br />
2<br />
∞<br />
*<br />
−∞<br />
−∞<br />
∞<br />
2<br />
∞<br />
2<br />
*<br />
*<br />
= ∫α<br />
βdx<br />
= ∫α<br />
βdx<br />
−∞<br />
−∞<br />
∫<br />
*<br />
α βdx<br />
+ λ<br />
β dx ≥ 0, λ<br />
∫<br />
∫<br />
β<br />
2<br />
dx<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
β dx = −<br />
*<br />
β αdx<br />
+ λ<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
β αdx<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
*<br />
β dx − β αdx<br />
α βdx<br />
− β αdx<br />
βα dx + β αdx<br />
βα dx ≥ 0<br />
−∞ −∞<br />
−∞ −∞<br />
−∞ −∞<br />
144244<br />
3 144244<br />
3 144244<br />
3<br />
⇒<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
α dx<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
β dx ≥<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
α βdx<br />
(b) Välj α ( x)<br />
= Aˆ<br />
Ψ,<br />
β ( x)<br />
= Bˆ<br />
Ψ . Schwarz olikhet ger:<br />
2<br />
β dxλ<br />
∞<br />
∫<br />
∞<br />
2<br />
*<br />
= ∫α<br />
βdx<br />
−∞<br />
2<br />
∞<br />
*<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
β dx ≥ 0
(c)<br />
∞<br />
2<br />
∞<br />
∫ Aˆ<br />
Ψ dx ∫ Bˆ<br />
Ψ dx ≥<br />
−∞<br />
−∞<br />
14243 14243<br />
∞ *<br />
= ( ˆΨ<br />
) ˆΨ<br />
=<br />
= ˆ 2<br />
A A dx<br />
B<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
*<br />
= ∫ Ψ ˆ 2<br />
A Ψdx=<br />
−∞<br />
= ˆ 2<br />
A<br />
A<br />
2<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
2 2<br />
* ˆ ˆ<br />
B<br />
≥<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
*<br />
( Aˆ<br />
Ψ) Bˆ<br />
Ψdx<br />
⇒<br />
Ψ ABΨdx<br />
2<br />
A<br />
2<br />
B<br />
2<br />
= (5.8) =<br />
≥<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
≥<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
*<br />
Ψ AB ˆ ˆΨdx<br />
⎛ ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
* AB BA ⎞<br />
⎜<br />
−<br />
Ψ ⎟<br />
Ψdx<br />
2<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
2<br />
=<br />
⎡ ⎛<br />
= ⎢Re⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝<br />
⎛ ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
* AB BA ⎞<br />
⎜<br />
+<br />
Ψ ⎟<br />
Ψdx<br />
2<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
[ A,<br />
B]<br />
4<br />
+<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
* ˆ ˆ<br />
⎞⎤<br />
Ψ ABΨdx⎟<br />
⎥<br />
⎠⎥⎦<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
2<br />
2<br />
⎡ ⎛<br />
+ ⎢Im⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝<br />
⎛ ˆ ˆ ˆ ˆ<br />
* AB BA ⎞<br />
⎜<br />
−<br />
Ψ ⎟<br />
Ψdx<br />
2<br />
⎝ ⎠<br />
2<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
* ˆ ˆ<br />
⎞⎤<br />
Ψ ABΨdx⎟<br />
⎥<br />
⎠⎥⎦<br />
2<br />
=<br />
2<br />
2<br />
För osäkerheterna ( Δ A) = ( ΔA) = A − A , ΔA<br />
= A − A<br />
ˆ<br />
2<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
2<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
ˆ<br />
, osv, fås<br />
2<br />
( ΔA<br />
) ( ΔB)<br />
2<br />
2<br />
[ ΔAˆ,<br />
ΔBˆ<br />
] [ Aˆ,<br />
Bˆ<br />
]<br />
≥<br />
4<br />
Δ AΔB<br />
≥<br />
=<br />
[ A ˆ,<br />
B ˆ]<br />
2<br />
4<br />
2<br />
⇒<br />
vilket kallas generaliserade Heisenbergs osäkerhetsrelation. Valet<br />
xˆ<br />
, pˆ<br />
= ih<br />
ger ”vanliga” osäkerhetsrelationen: [ ] ⇒<br />
Δx<br />
Δp<br />
h<br />
≥<br />
2<br />
Aˆ = xˆ,<br />
Bˆ<br />
=<br />
pˆ
Kap. 6<br />
6.1 (a) Det klassiska värdet på rörelsemängdsmomentet är<br />
−31<br />
−3<br />
−33<br />
L = r × p = rp = mvr = 9.1⋅10<br />
⋅10<br />
⋅10<br />
= 9.1⋅10<br />
kg m 2 /s<br />
Kvantmekaniskt blir<br />
rmv =<br />
1<br />
l = − +<br />
2<br />
L = l( l +1) h . Sätt dessa lika:<br />
⎡rmv⎤<br />
l(<br />
l + 1) h ⇒ l(<br />
l + 1) = ⎢<br />
⎣ h ⎥<br />
⎦<br />
1<br />
4<br />
+<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
rmv<br />
h<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
1<br />
= − +<br />
2<br />
2<br />
⇒<br />
−<br />
1 ⎡ 9.1⋅10<br />
+ ⎢<br />
4 ⎣1.055⋅10<br />
33<br />
−34<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
≈ 86<br />
(b)<br />
L z<br />
= mh , m = −l,...,<br />
l ger 2 l + 1 = 173 olika värden.<br />
(c)<br />
L z<br />
Δ<br />
L<br />
=<br />
h<br />
l(<br />
l + 1) h<br />
=<br />
1<br />
l(<br />
l + 1)<br />
= 0.012<br />
6.2 (a) I grundtillståndet är banrörelsemomentskvanttalet lika med noll, och totala<br />
1<br />
rörelsemängdskvanttalet j = s =<br />
2<br />
. Alltså fås två energinivåer:<br />
E = ± m g B<br />
Energisplittring:<br />
s<br />
−24<br />
−24<br />
−24<br />
μ<br />
B<br />
B = ± μ<br />
B<br />
= ± 9.27 ⋅10<br />
⋅ 0.5 = ± 9.27 ⋅10<br />
⋅ 0.5 = ± 4.6 ⋅10<br />
J<br />
−5<br />
= ± 2.9 ⋅10<br />
eV<br />
ΔE<br />
= 2sg<br />
−5<br />
μ<br />
B<br />
B = 5.8 ⋅10<br />
eV<br />
(b) Protonens magnetiska moment kan ha komponenten längs det pålagda fältet som kan<br />
vara antingen med eller motriktat, vilket ger en uppsplittring av energin i två nivåer.<br />
Dessa nivåer är<br />
E = −m<br />
B<br />
−27<br />
−27<br />
j<br />
⋅ 2.79 ⋅ μ<br />
N<br />
= ± 0.5 ⋅ 2.79 ⋅ 5.05 ⋅10<br />
⋅ 0.5 = 3.5 ⋅10<br />
J<br />
−8<br />
= ± 2.2 ⋅10<br />
eV<br />
Splittringen är<br />
ΔE<br />
= 2m<br />
−8<br />
j<br />
⋅ 2.79 ⋅ μ<br />
N<br />
B = 4.4 ⋅10<br />
eV
6.3 (a) I stället för att räkna på två partiklar med vardera massa m som sitter på<br />
avståndet a och roterar runt tyngdpunkten, så studerar vi ett ekvivalent<br />
system med en partikel med massa ( 2m ) som snurrar med hastighet v i<br />
en cirkelrörelse med radien a / 2 . Dessa system har samma energi som<br />
1 2 2<br />
ges av E =<br />
2<br />
( 2m)<br />
v = mv . Uttryck detta i kvadraten på<br />
rörelsemängdsmomentet. Vektorprodukten mellan position och<br />
⎛ a ⎞<br />
L<br />
rörelsemängd har L = r × p = r p = ⎜ ⎟(2m)<br />
v ⇒ v = eftersom<br />
⎝ 2 ⎠<br />
ma<br />
vektorerna är ortogonala. Detta ger<br />
L<br />
m a<br />
2<br />
2<br />
E = mv = m =<br />
2 2<br />
2<br />
L<br />
ma<br />
2<br />
Detta är den klassiska rotationsenergin. Den kvantmekaniska<br />
Hamiltonoperatorn blir<br />
H ˆ =<br />
Lˆ2<br />
ma<br />
2<br />
2<br />
Eftersom egenvärdena till rörelsemängden i kvadrat är l(<br />
l + 1) h , l = 0,1,2 ,...<br />
så blir energiegenvärdena<br />
E l<br />
2<br />
l(<br />
l + 1) h<br />
= med l = 0,1,2 ,...<br />
2<br />
ma<br />
(b) För ett visst värde på l kan m anta värdena m = −l, −l<br />
+ 1,..., l −1,<br />
l vilket<br />
är 2 l + 1 värden. Degenerationen är alltså 2 l + 1.<br />
(c) Excitationsenergin till första exciterade tillståndet är<br />
ΔE<br />
= E<br />
2<br />
2<br />
1(1<br />
+ 1) h 2h<br />
−21<br />
1<br />
− E0<br />
= − 0 = = 2.37 × 10<br />
2<br />
2<br />
ma<br />
ma<br />
J = 0. 015 eV<br />
Ex6:4 Normeringskonstanten<br />
1<br />
N = bestäms i problemet 6.5, och där<br />
3<br />
πa<br />
∞<br />
k −ar<br />
k!<br />
härleds även integralen ∫ r e dr = som behövs i detta problem.<br />
k + 1<br />
a<br />
0<br />
(a) Vågfunktionen har inget vinkelberoende, dvs är proportionell mot<br />
klotfunktionen
0<br />
Y<br />
0<br />
, så banrörelsemängdsmoment är noll.<br />
(b) Väntevärdet av kinetiska energin:<br />
h<br />
1<br />
h<br />
2<br />
2<br />
*<br />
2 3<br />
r / a ⎡ 2 r / a ⎤ 2<br />
T = ∇ d r =<br />
−<br />
−<br />
∫ψ<br />
⎜<br />
e r e r drd<br />
3<br />
2<br />
2m<br />
⎟ ψ<br />
a<br />
⎜<br />
2m<br />
⎟ ⎜<br />
r r ⎢ r ⎥<br />
⎟ Ω =<br />
⎝ e ⎠ π<br />
∫<br />
⎝ e ⎠ ⎝ ⎣ ⎦⎠<br />
2 ∞<br />
2<br />
1 ⎛ h ⎞ ⎡ 2r<br />
r ⎤<br />
=<br />
2r<br />
/ a<br />
4<br />
e dr<br />
3<br />
2<br />
a<br />
⎜ −<br />
−<br />
2m<br />
⎟ π ⎢−<br />
+ ⎥ =<br />
π<br />
∫<br />
⎝ e ⎠ a<br />
0 ⎣ a ⎦<br />
2<br />
2<br />
4 ⎛ h ⎞⎡<br />
2 1 1 2 h<br />
= =<br />
3 ⎢−<br />
+<br />
2 2 3<br />
2<br />
a<br />
⎜ −<br />
2m<br />
⎟<br />
e<br />
a (2 / a)<br />
a (2 / a)<br />
2mea<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
⎠⎣<br />
(uträkning av derivatan:<br />
2<br />
∂ ⎡ ∂ −r<br />
/ a ⎤ ∂ ⎡ r<br />
r e = ⎢ − e<br />
∂r<br />
⎢ r ⎥<br />
⎣ ∂ ⎦ ∂r<br />
⎣ a<br />
⎞<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎛ −<br />
2<br />
2 −r<br />
/ a 2 −r<br />
/ a<br />
= − + e<br />
2<br />
Väntevärdet av potentiella energin:<br />
2<br />
2 −2r<br />
/ a<br />
*<br />
⎛ e ⎞<br />
3 1 ⎛ e ⎞ e<br />
V =<br />
2<br />
∫ψ<br />
⎜ − ψd<br />
r<br />
r drd<br />
3<br />
4πε<br />
r<br />
⎟ =<br />
0 πa<br />
⎜ −<br />
4πε<br />
⎟∫<br />
Ω =<br />
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠ r<br />
2 ∞<br />
2<br />
2<br />
1 ⎛ e ⎞<br />
2r<br />
/ a 4 ⎛ e ⎞ 1 e<br />
= 4π<br />
re dr<br />
= −<br />
3<br />
=<br />
3<br />
2<br />
πa<br />
⎜ −<br />
−<br />
4πε<br />
⎟<br />
∫<br />
0<br />
a<br />
⎜ −<br />
4πε<br />
⎟<br />
⎝ ⎠<br />
0 a 4<br />
0a<br />
0<br />
⎝ ⎠ (2 / ) πε<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
r<br />
a<br />
(c) Minimera väntevärdet av totala energin<br />
2<br />
2<br />
h e<br />
E = T + V = − :<br />
2<br />
2m a 4πε<br />
a<br />
e 0<br />
⎞<br />
r<br />
a<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎛<br />
1<br />
∂<br />
∂<br />
)<br />
∂<br />
∂<br />
⎞<br />
dE<br />
da<br />
h<br />
= −<br />
m a<br />
e<br />
4πε<br />
h<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
+ = 0 ⇒ a = a<br />
2<br />
0<br />
=<br />
3<br />
2<br />
e<br />
4πε<br />
0a<br />
e m e<br />
E<br />
0<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
h ⎛ e m ⎞<br />
e e ⎛ e m ⎞<br />
e<br />
⎛ e ⎞ me<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
e<br />
4<br />
0h<br />
−<br />
4<br />
= −<br />
0<br />
4<br />
0h<br />
⎜<br />
4<br />
⎟<br />
πε πε πε πε<br />
0<br />
2h<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎝<br />
⎠<br />
Detta är grundtillståndsenergin hos väte.<br />
6.5 (a) Börja med att härleda integralen<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
k<br />
r e<br />
−ar<br />
dr =<br />
k!<br />
a<br />
k + 1
Ett snitsigt alternativ till partiell integration är följ<strong>and</strong>e.<br />
⇒<br />
=<br />
=<br />
= ∫<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
a<br />
ar<br />
d<br />
e<br />
dr<br />
e<br />
x<br />
ar<br />
ar 1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
a<br />
a<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
re<br />
dr<br />
e<br />
da<br />
d<br />
ar<br />
ar<br />
=<br />
= −<br />
=<br />
−<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1<br />
a<br />
a<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
dr<br />
re<br />
da<br />
d<br />
ar<br />
ar<br />
=<br />
= −<br />
=<br />
−<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
4<br />
4<br />
3<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2 !<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
da<br />
d<br />
ar<br />
ar<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
= −<br />
=<br />
−<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
osv. Klart!<br />
Normeringsintegralen blir:<br />
1<br />
N<br />
)<br />
(2 /<br />
2<br />
4<br />
N<br />
4<br />
N<br />
4<br />
)<br />
(<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
3<br />
0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0 =<br />
=<br />
=<br />
= ∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
a<br />
a<br />
dr<br />
r<br />
e<br />
dr<br />
r<br />
r<br />
a<br />
r<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
Välj därför<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1<br />
a<br />
N<br />
π<br />
= .<br />
(b) Ortogonalitet:<br />
∝<br />
+<br />
= ∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
0<br />
2<br />
2<br />
/<br />
/<br />
2<br />
*<br />
1<br />
0<br />
2<br />
2<br />
*<br />
1<br />
0<br />
0 )<br />
(1<br />
4<br />
N<br />
N<br />
)4<br />
(<br />
)<br />
( dr<br />
r<br />
e<br />
br<br />
e<br />
dr<br />
r<br />
r<br />
r<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
ψ<br />
0<br />
)<br />
2<br />
(3 /<br />
6<br />
)<br />
2<br />
(3 /<br />
2<br />
)<br />
( 4<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
3 /<br />
3<br />
2 0 =<br />
+<br />
=<br />
+<br />
∝ ∫<br />
∞<br />
−<br />
a<br />
b<br />
a<br />
dr<br />
e<br />
br<br />
r<br />
a<br />
r<br />
0<br />
0<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3 /<br />
a<br />
a<br />
b<br />
−<br />
=<br />
= −<br />
⇒<br />
Normering:<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
= ∫<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
0<br />
/<br />
4<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
/<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
N<br />
2<br />
1<br />
1<br />
4<br />
N<br />
4<br />
)<br />
( dr<br />
e<br />
r<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
dr<br />
r<br />
e<br />
r<br />
a<br />
dr<br />
r<br />
r<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
π<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
5<br />
0<br />
2<br />
0<br />
4<br />
0<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2 8<br />
N<br />
4<br />
24<br />
6<br />
2<br />
4<br />
N<br />
1/<br />
24<br />
2<br />
1<br />
1/<br />
6<br />
1<br />
1/<br />
2<br />
4<br />
N<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
π<br />
π<br />
π =<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
−<br />
=<br />
Välj<br />
3<br />
0<br />
2<br />
8<br />
1<br />
a<br />
N<br />
π<br />
= .
(c) I stället för att plotta ψ<br />
1<br />
och ψ<br />
2<br />
är det bekvämt plotta funktionerna u( r)<br />
= rψ<br />
( r)<br />
,<br />
2<br />
eftersom sannolikheten att hitta elektronen i r , r + dr är ψ ( r)<br />
4πr<br />
dr = u(<br />
r)<br />
4πdr<br />
. Sätt<br />
a<br />
0<br />
= 1 i figuren. Grundtillståndet (röda kurvan) motsvarar ψ<br />
1<br />
som saknar nod. Första<br />
exciterade tillståndet (gröna kurvan) motsvarar ψ<br />
2<br />
som har en nod.<br />
2<br />
2<br />
Radiella sannolikhetstätheten<br />
2<br />
u (r) plottas i nästa figur.
6.6 Vätes energinivåer är<br />
E<br />
n<br />
= −<br />
m e<br />
4<br />
e<br />
2 2 2<br />
2(4πε<br />
0<br />
) h n<br />
Med kärnladdning e → Ze (elektronladdningen är oförändrad: − e ) kommer<br />
energinivåerna att ersättas av<br />
E<br />
n<br />
= −<br />
m<br />
Z<br />
e<br />
2 4<br />
e<br />
2 2 2<br />
2(4πε<br />
0<br />
) h n<br />
(a) He + har Z = 2 och dess joniseringsenergi blir<br />
Li 2+<br />
har Z = 3 vilket ger<br />
2<br />
Z ⋅13.6<br />
= 54.4 eV<br />
2<br />
Z ⋅13.6<br />
= 122.4 eV
(b) Medelavståndet till kärnan är effektiva Bohrradien, som modifieras enligt<br />
a<br />
0<br />
=<br />
4πε<br />
0 h 4πε<br />
h<br />
2<br />
e m<br />
2<br />
2<br />
0<br />
→ a0<br />
=<br />
2<br />
e Ze m e<br />
För H är a<br />
0<br />
= 0. 529 Å. För He + blir a<br />
0<br />
= 0. 265 Å, och för Li 2+<br />
blir a<br />
0<br />
= 0. 176 Å.<br />
Eftersom elektronbanans radie blir mindre kommer dess hastighet att öka enligt<br />
osäkerhetsprincipen. Därför blir hastigheten mer relativistisk, och relativistiska<br />
korrektioner till energinivåerna blir viktigare.<br />
Kommentar: Den viktigaste relativistiska effekten är spin-ban kopplingen, som<br />
uppkommer på grund av följ<strong>and</strong>e effekt. I en klassisk bild, där elektronen cirkulerar runt<br />
kärnan, kan vi i stället från elektronens vilosystem anse den positivt laddade kärnan som<br />
en cirkuler<strong>and</strong>e ström. Elektronen omges därför av en cirkuler<strong>and</strong>e elektrisk ström, och<br />
denna genererar ett magnetfält som elektronen känner av. Detta magnetfält kopplar till<br />
elektronspinnet och ger upphov till ett bidrag till energin. Man kan visa att denna energi<br />
är<br />
E<br />
LS<br />
2<br />
Ze<br />
2<br />
8πε m c<br />
=<br />
2 3<br />
0 e<br />
r<br />
L ⋅ S<br />
Denna korrektion till energin blir viktigare (=större) för större värden på Z . Detta är en<br />
relativistisk effekt eftersom elektronspinn är en relativistisk effekt, som förutsägs av den<br />
relativistiska Dirac-ekvationen.<br />
6.7 Vågfunktionen innan sönderfallet är<br />
1<br />
ψ ( r)<br />
=<br />
π a<br />
3<br />
0<br />
e<br />
−r<br />
/ a<br />
0<br />
Efter sönderfallet är<br />
a0<br />
a0<br />
a<br />
0<br />
→ = och vågfunktionen<br />
Z 2<br />
2 2<br />
ϕ ( r)<br />
=<br />
π a<br />
3<br />
0<br />
e<br />
−2r<br />
/ a<br />
0<br />
Hur ska vi ställa upp problemet? Låt oss med ett grundlägg<strong>and</strong>e kvantmekaniskt<br />
argument påminna om hur man kommer fram till sannolikheten att hitta en partikel i ett<br />
visst tillstånd i något annat tillstånd. Anta att vi har en vågfunktion som kan skrivas<br />
*<br />
ψ = c1 ψ<br />
1<br />
+ c2ψ<br />
2<br />
, c1<br />
= ∫ψ<br />
ψ<br />
1dx
där ψ ,ψ antas vara ortonormala: *<br />
1 2<br />
ψ ψ dx 0<br />
∫<br />
1 2<br />
=<br />
. Normeringsvillkor:<br />
=<br />
2<br />
2 2<br />
2 2<br />
* *<br />
*<br />
∫ ψ = c1<br />
∫ ψ<br />
1<br />
dx + c2<br />
∫ ψ<br />
2<br />
dx + c1<br />
c2<br />
∫ψ<br />
1ψ<br />
2dx<br />
+ c2c<br />
∫ 1<br />
1 dx ψ ψ dx = c + c<br />
*<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Alltså är sannolikheten att en partikel i tillståndet ψ är i tillståndet ψ lika med<br />
1<br />
c<br />
2<br />
2<br />
*<br />
1<br />
= ∫ψ<br />
ψ<br />
1dx<br />
Åter till det aktuella problemet. Om vi anser att sönderfallet sker plötsligt så stannar<br />
elektronen kvar i det gamla grundtillståndet. Sannolikheten elektronen samtidigt finns i<br />
det nya grundtillståndet är<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
2<br />
2<br />
⎡<br />
⎤ ∞<br />
2<br />
∞<br />
⎡<br />
⎤ ⎡<br />
⎤<br />
* 2 2 2 1<br />
−2r<br />
/ a0 −r<br />
/ a 2 128<br />
0<br />
−3r<br />
/ a0<br />
2<br />
ϕ ( r)<br />
ψ ( r)4πr<br />
dr = ⎢ ⋅ ⋅ 4π<br />
⎥ ⎢∫<br />
e e r dr⎥<br />
=<br />
6 ⎢∫<br />
e r dr⎥<br />
⎢<br />
3 3<br />
⎥<br />
⎣ πa<br />
0<br />
πa<br />
0 ⎦ ⎣ 0<br />
⎦ a0<br />
⎣ 0 ⎦<br />
128 ⎡ 2<br />
=<br />
6 ⎢<br />
a0<br />
⎣(3 / a<br />
0<br />
)<br />
3<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
= 128⋅<br />
3<br />
2<br />
6<br />
= 0.702<br />
2<br />
=<br />
Ex6:8<br />
(a) Normering:<br />
∞<br />
∞<br />
∞<br />
2 2<br />
2<br />
2 2( l+<br />
1) −2r<br />
/( l+<br />
1) a<br />
2 (2l<br />
+ 2)!<br />
0<br />
∫ R( r)<br />
r dr = ∫ u(<br />
r)<br />
dr = N ∫ r e dr = N<br />
= 1 ⇒<br />
2l+<br />
3<br />
(2 /( l + 1) a )<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
N<br />
2<br />
⎡ 2<br />
= ⎢<br />
⎣(<br />
l + 1) a<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2l+<br />
3<br />
1<br />
(2l<br />
+ 2)!<br />
(b) Den mest sannolika radien hos tillståndet maximerar sannolikheten:<br />
d u<br />
dr<br />
2<br />
dr<br />
e<br />
dr<br />
⎛ 2( l + 1) 2<br />
=<br />
⎜ −<br />
⎝ r ( l + 1) a<br />
2<br />
r = ( l + 1) a<br />
2( l+<br />
1) −2r<br />
/( l+<br />
1) a0<br />
2( l+<br />
1) −2r<br />
/( l+<br />
1) a0<br />
~ e<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
⎟r<br />
⎠<br />
= 0 ⇒<br />
(c) Väntevärdet hos radien blir
=<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
r u(<br />
r)<br />
⎡ 2<br />
= ⎢<br />
⎣(<br />
l + 1) a<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
⎡ 2<br />
dr = ⎢<br />
⎣(<br />
l + 1) a<br />
2l+<br />
3<br />
2l+<br />
3<br />
1 (2l<br />
+ 3)!<br />
(2l<br />
+ 2)! (2 /( l + 1) a )<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(d) Väntevärdet hos radien i kvadrat blir<br />
r<br />
⎡ 2<br />
= ⎢<br />
⎣(<br />
l + 1) a<br />
u(<br />
r)<br />
0<br />
2l+<br />
3<br />
⎡ 2<br />
dr = ⎢<br />
⎣(<br />
l + 1) a<br />
1 (2l<br />
+ 4)!<br />
(2l<br />
+ 2)! (2 /( l + 1) a )<br />
1<br />
(2l<br />
+ 2)!<br />
0<br />
0<br />
2l+<br />
4<br />
1<br />
(2l<br />
+ 2)!<br />
2l+<br />
5<br />
∞<br />
∫<br />
0<br />
rr<br />
2( l+<br />
1)<br />
e<br />
−2r<br />
/( l+<br />
1) a0<br />
(2l<br />
+ 3)( l + 1) a<br />
=<br />
2<br />
∞<br />
2l+<br />
3<br />
∞<br />
2 2 2<br />
⎤<br />
2 2( l+<br />
1) −2r<br />
/( l+<br />
1) a0<br />
=<br />
∫<br />
0<br />
r<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(e) Visa att osäkerheten i radien<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
∫<br />
0<br />
r<br />
r<br />
e<br />
0<br />
dr =<br />
dr =<br />
2<br />
(2l<br />
+ 4)(2l<br />
+ 3)( l + 1) a<br />
=<br />
4<br />
Δ r blir liten jämfört med r när<br />
2<br />
0<br />
l → ∞ .<br />
Δr<br />
r<br />
=<br />
r<br />
r<br />
−<br />
r<br />
2<br />
=<br />
r<br />
r<br />
2<br />
−<br />
=<br />
2<br />
(2l<br />
+ 4)(2l<br />
+ 3)( l + 1) a<br />
1 2 2<br />
(2l<br />
+ 3) ( l + 1) a<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
/ 4<br />
/ 4<br />
−1<br />
=<br />
=<br />
2l<br />
+ 4<br />
−1<br />
=<br />
2l<br />
+ 3<br />
1<br />
2l<br />
+ 3<br />
→ 0, l → ∞<br />
(f) Hitta den klassiska radien r c<br />
genom att minimera den effektiva<br />
potentiella energin<br />
dVeff<br />
( r)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
d ⎛ L e ⎞ L e<br />
4πε<br />
0L<br />
=<br />
r<br />
2<br />
3<br />
2<br />
c 2<br />
dr dr<br />
⎜ −<br />
0<br />
2mr<br />
4πε<br />
0r<br />
⎟ = − + = ⇒ =<br />
⎝<br />
⎠ mr 4πε<br />
0r<br />
e m<br />
Kvoten mellan den mest sannolika radien och den klassiska radien:<br />
r<br />
rc<br />
2<br />
( l + 1) a<br />
=<br />
2<br />
4πε<br />
L / e<br />
0<br />
l(<br />
l + 1) h<br />
=<br />
2<br />
L<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
e m(<br />
l + 1)<br />
=<br />
2<br />
m 4πε<br />
L<br />
( l + 1) h<br />
+<br />
2<br />
L<br />
2<br />
0<br />
2<br />
4πε<br />
0h<br />
2<br />
e m<br />
( l + 1) h<br />
= 1+<br />
l(<br />
l + 1) h<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( l + 1) h<br />
=<br />
2<br />
L<br />
=<br />
1<br />
= 1+<br />
→ 1, l → ∞<br />
l<br />
Kvoten mellan väntevärdet hos radien och den klassiska radien:<br />
2<br />
2
rc<br />
(2l<br />
+ 3)( l + 1) a<br />
=<br />
2<br />
(2l<br />
+ 3)( l + 1) h<br />
=<br />
2<br />
2L<br />
2<br />
0<br />
2<br />
e m<br />
×<br />
4πε<br />
L<br />
0<br />
2<br />
2l(<br />
l + 1) h<br />
=<br />
2<br />
2L<br />
2<br />
(2l<br />
+ 3)( l + 1) 4πε<br />
0h<br />
=<br />
×<br />
2<br />
2 e m<br />
3( l + 1) h<br />
+<br />
2<br />
2L<br />
2<br />
3( l + 1) h<br />
= 1+<br />
2l(<br />
l + 1) h<br />
2<br />
2<br />
e m<br />
×<br />
4πε<br />
L<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
=<br />
3<br />
= 1+<br />
2l<br />
→ 1, l → ∞<br />
Detta visar att både den mest sannolika radien och medelvärdet hos<br />
radien blir lika med den klassiska radien då l → ∞ , för en partikel i en<br />
Coulomb-potential med huvudkvanttalet n = l + 1 och<br />
rörelsemängdsmomentet L = l( l +1) h .
Kap 7<br />
Ex7:1 a) Energin för magnetisk dipol i B-fält: U = −μ<br />
⋅ B<br />
För e - qe<br />
: μ = −g<br />
S där gyromagnetiska faktorn g e e ≈2 och S är<br />
2me<br />
rörelsemängdsmomentet från spinnet (och q e är enhetsladdningen)<br />
B definierar då den axeln längs vilken vi projicerar spinnet,<br />
för elektronen som är en spinn-½ partikel.<br />
S<br />
z<br />
1<br />
= ± h<br />
2<br />
Energiskillnad:<br />
Δ E = g<br />
e<br />
q<br />
e<br />
2m<br />
e<br />
⎛ 1<br />
B⎜<br />
⎝ 2<br />
⎛ − ⎜ −<br />
⎝<br />
1 ⎞⎞<br />
qe<br />
⎟⎟h = g<br />
e<br />
Bh<br />
2 ⎠⎠<br />
2me<br />
Foton har E=hf<br />
B<br />
1<br />
g<br />
2m<br />
q<br />
hf<br />
h<br />
⎧ h ⎫ = ⎨ = 2π<br />
⎬ =<br />
⎩h<br />
⎭<br />
=<br />
e<br />
e e<br />
≈<br />
−<br />
1<br />
2<br />
1<br />
g<br />
−31<br />
4π<br />
⋅9,109<br />
⋅10<br />
kg ⋅9,75⋅10<br />
19<br />
1,602 ⋅10<br />
C<br />
e<br />
4π<br />
m<br />
9<br />
s<br />
q<br />
e<br />
−1<br />
e<br />
f<br />
≈ 0,35T<br />
b) U = ( positiv konst.)<br />
⋅ S<br />
z<br />
dvs högst energi då spinnet är riktat med B-<br />
fältet.<br />
Elektronens spinn är urspungligen riktat mot magnetfältet och blir efter<br />
spinn-flip där energi tillförs riktat med magnetfältet.<br />
Ex7:2 Syreatom har Z=8, dvs 8 elektroner.<br />
I grundtillståndet:<br />
Skal n l Möjliga m l Antal e - som Antal e - i Spinn<br />
får plats syre<br />
1s 1 0 0 2 2 ↑↓<br />
2s 2 0 0 2 2 ↑↓<br />
2p 2 1 -1,0,1 6 4 ↑↓ ↑ ↑<br />
Syres elektronkonfiguration: 1s 2 2s 2 2p 4
2<br />
2<br />
Ex7:3 a) J = L + S betrakta | J | = | L + S | som kommer att innehålla<br />
skalärprodukten L ⋅ S som en term:<br />
2<br />
2 2<br />
| J | = J ⋅ J = L + S ⋅ L + S = L ⋅ L + S ⋅ S + 2L<br />
⋅ S = | L | + | S | + 2L<br />
⋅ S<br />
⇒<br />
( ) ( )<br />
2 2 2<br />
( | J | − | L | − | S | )<br />
1<br />
L ⋅ S =<br />
2<br />
Detta operatoruttryck får nu verka på ett tillstånd ψ:<br />
1 2 2 2 1<br />
2<br />
( L ⋅ S ) ψ = ( | J | − | L | − | S | ) ψ = ( j(<br />
j + 1) − l ( l + 1) − s(<br />
s + 1) ) h ψ<br />
2<br />
2<br />
b) Samtidigt gället att L ⋅ S = | L | ⋅ | S | cosθ<br />
där θ är vinkel mellan de två.<br />
⎛ 1<br />
⎞<br />
⎜ ( j(<br />
j + 1) − l(<br />
l + 1) − s(<br />
s + 1) )<br />
L ⋅ S<br />
⎛ L ⋅ S ⎞<br />
⎟<br />
cosθ<br />
= ⇒ θ = arccos⎜<br />
⎟ = arccos⎜<br />
2<br />
⎟<br />
| L | ⋅ | S |<br />
⎝ | L | ⋅ | S | ⎠ ⎜ l(<br />
l + 1) s(<br />
s + 1) ⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
P 1/2 : ( ½ betyder j=½ , P står för l=1 )<br />
θ =<br />
⎛ 1 ⎛ 1 3 1 3 ⎞ ⎞<br />
⎜ ⎜ ( ) −1(2)<br />
− ( ) ⎟ ⎟<br />
2 2 2 2 2<br />
⎛<br />
arccos<br />
⎜ ⎝<br />
⎠ ⎟ = arccos⎜<br />
3<br />
−<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 2<br />
⎟ ⎝<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
2 ⎞<br />
o<br />
⎟ ≈ 145<br />
3<br />
⎠<br />
P 3/2 : (3/2 betyder j=3/2 , P står för l=1 )<br />
θ =<br />
⎛ 1 ⎛ 3 5 1 3 ⎞ ⎞<br />
⎜ ⎜ ( ) −1(2)<br />
− ( ) ⎟ ⎟<br />
2 2 2 2 2<br />
⎛<br />
arccos<br />
⎜ ⎝<br />
⎠ ⎟<br />
= arccos⎜<br />
⎜<br />
3 ⎟<br />
⎝<br />
⎜ 2<br />
⎟<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
1<br />
6<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
≈<br />
o<br />
66<br />
D 3/2 : ( 3/2 betyder j=3/2 , D står för l=2 )<br />
θ =<br />
⎛ 1 ⎛ 3 5 1 3 ⎞ ⎞<br />
⎜ ⎜ ( ) − 2(3) − ( ) ⎟ ⎟<br />
2 2 2 2 2<br />
⎛<br />
arccos<br />
⎜ ⎝<br />
⎠ ⎟ = arccos⎜<br />
3<br />
−<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 6<br />
⎟ ⎝<br />
⎝<br />
2 ⎠<br />
3 ⎞<br />
o<br />
⎟ ≈ 135<br />
6<br />
⎠<br />
Ex7:4 Enligt klassisk mekanik är rörelsemängdsmomentet L = I ⋅ω<br />
där I är<br />
tröghetmomentet och ω vinkelfrekvensen (med riktning definierad av<br />
rotationsaxeln).
För en sfär med radie r i rotation runt axeln genom centrum gäller:<br />
2<br />
2mr<br />
I =<br />
5<br />
L<br />
Med ω = fås att hastigheten på ytan vid ekvatorn är:<br />
r<br />
2πr<br />
ω<br />
v = = 2πf<br />
= 2πr<br />
= rω<br />
=<br />
T<br />
2π<br />
r<br />
I<br />
L =<br />
{ L gesav spinn = 1/2}<br />
5<br />
=<br />
2m r<br />
5<br />
3<br />
−34<br />
10<br />
≈<br />
1,054 ⋅10<br />
Js ≈ 8,4 ⋅10<br />
m/s ≈ 278 c<br />
−31 −15<br />
2 ⋅9,109<br />
⋅10<br />
kg ⋅3⋅10<br />
m 2<br />
e<br />
1 ⎛ 1 ⎞<br />
⎜ + 1⎟h<br />
2 ⎝ 2 ⎠<br />
Vi vet att e - är mindre än 3 fm. Spinnet kan inte förklaras med klassisk<br />
effekt.
Kap 8<br />
Ex8:1 a) Väteatomerna är klassiskt särskiljbara partiklar (tillräckligt låg densitet i<br />
en gas att de i princip går att följa) ⇒ Maxwell-Boltzmann-statistik.<br />
Sannolikheten att en elektron har energi mellan E och E+dE ges av<br />
tillståndstätheten multiplicerat med fördelningsfunktionen, normerat till<br />
rätt totala antal elektroner:<br />
1<br />
P(<br />
E)<br />
= D(<br />
E)<br />
⋅ N(<br />
E)<br />
M −B<br />
dE<br />
N<br />
där D(E) är tillståndstätheten och N(E) är födelningsfunktionen,<br />
−E<br />
/ kBT<br />
här Maxwell-Boltzmann-fördelning: N(<br />
E)<br />
M − B<br />
= Ae där A är en<br />
normeringskonstant.<br />
13,6<br />
Energinivåer i väte: En = − eV<br />
2<br />
n<br />
För grundtillståndet, n=1, gäller att det kan ha två elektroner (olika<br />
spinn) ⇒ D(E) =2 (vi bortser från eventuell normeringsfaktor eftersom vi kommer att<br />
ha samma faktor för det exciterade tillståndet och vi skall jämföra förhåll<strong>and</strong>en).<br />
Det första exciterade tillståndet, n=2, kan ha l=0 elller l=1 vilket ger 4<br />
gånger så många möjliga tillstånd som i grundtillståndet (l=1 kan ha tre<br />
olika värden på m l )<br />
Det <strong>and</strong>ra exciterade tillståndet har degerenationsgrad 2(4+5)=18<br />
Förhåll<strong>and</strong>et blir då:<br />
−E<br />
/ k T<br />
⎛ 1 1 ⎞<br />
2 B<br />
P ( E<br />
k T<br />
m<br />
) D(<br />
E<br />
B<br />
m<br />
) N(<br />
Em<br />
) ⎧Normeringsfaktorer<br />
⎫ D(<br />
Em<br />
) e D(<br />
Em<br />
) −13,6⎜<br />
− ⎟ /<br />
2 2<br />
⎝ n m<br />
=<br />
e<br />
⎠<br />
⎨<br />
⎬ = ⋅ = ⋅<br />
−E1<br />
/ kBT<br />
P(<br />
En<br />
) D(<br />
En<br />
) N(<br />
En<br />
) tar ut var <strong>and</strong>ra D(<br />
En<br />
) e D(<br />
En<br />
)<br />
⎩<br />
där k B T skall uttryckas i eV<br />
P<br />
⎛ 1 ⎞<br />
( −<br />
5<br />
13,6⎜1<br />
−<br />
−<br />
E<br />
⎟ /(8,617⋅10<br />
⋅300)<br />
171<br />
)<br />
)<br />
8<br />
2<br />
2<br />
⎝ 4 ⎠<br />
−<br />
a) T=300 K : = ⋅ e<br />
≈ 10 ≈ 0<br />
P(<br />
E<br />
1<br />
P E<br />
P(<br />
E<br />
)<br />
)<br />
18<br />
2<br />
3<br />
⎝ 9 ⎠<br />
−1,<br />
b) T=100 000K: = ⋅ e<br />
≈ 9 ⋅ e ≈ 2, 2<br />
⎭<br />
⎛ 1 ⎞<br />
( −<br />
5<br />
13,6⎜1<br />
−<br />
−<br />
⎟ /(8,617⋅10<br />
⋅100000)<br />
40<br />
1<br />
(Temperaturen skall jämföras med solytans, som är ca 6000 K.)<br />
Ex8:2 a)Totala antalet elektroner ges av<br />
N<br />
∞<br />
= ∫<br />
0<br />
dn<br />
dE<br />
(boken använder D(E) för dn/dE och N(E) F-D för f FD )<br />
Vid T=0 är f FD =1 då E ≤ E F och f FD =0 då E > E F .<br />
f<br />
FD<br />
dE
N<br />
E<br />
F<br />
EF<br />
3 / 2<br />
dn<br />
2 4me<br />
V<br />
3 /<br />
3 / 2<br />
dE = 4m<br />
E<br />
2 2 F<br />
dE<br />
0 3π<br />
h 2<br />
= ∫ lös ut E F<br />
⎛<br />
2<br />
⎜<br />
3π<br />
h<br />
=<br />
⎝ 4m<br />
3<br />
3 / 2<br />
e<br />
2<br />
N<br />
V<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 / 3<br />
2<br />
π h<br />
=<br />
m<br />
e<br />
2<br />
⎛ 3<br />
⎜<br />
⎝ 2π<br />
2<br />
N<br />
V<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 / 3<br />
b) Vi behöver N/V (densitet av ledningselektroner). Varje atom bidrar<br />
en elektron. Med densiteten ρ och atommassan m Cu får vi:<br />
3 3<br />
N ρ 8,96<br />
⋅10<br />
kg/m<br />
28 −3<br />
= =<br />
= 8,49 ⋅10<br />
m<br />
-27<br />
V 63,546u ⋅1,6605⋅10<br />
kg/u<br />
m Cu<br />
2<br />
−34<br />
π (1,055 ⋅10<br />
Js) ⎛ 3<br />
−28<br />
⎞ −2<br />
−18<br />
1,13⋅10<br />
E F<br />
= ⎜ 8,49 ⋅10<br />
⎟ m ≈ 1,13⋅10<br />
J =<br />
−31<br />
−<br />
9,109 ⋅10<br />
kg ⎝ 2π<br />
2 ⎠<br />
1,602 ⋅10<br />
c) k<br />
BT<br />
( T = 300K)<br />
≈ 0, 02525eV<br />
h h<br />
a) ΔxΔp<br />
≥ ⇒ Δx<br />
≥ men<br />
2 2Δp<br />
( Δp)<br />
2<br />
=<<br />
p<br />
2<br />
> − < p ><br />
2<br />
≤ < p<br />
2<br />
><br />
⇒ Δx<br />
≥<br />
h<br />
2 < p<br />
2<br />
><br />
Med<br />
< p<br />
2 ><br />
< Ekin >= ~ k<br />
BT<br />
får vi < p<br />
2 > ~ 2mk<br />
BT<br />
2m<br />
Särskiljbarhet kan uttryckas som att avståndet mellan partiklar är mycket<br />
större än osäkerheten i deras position.<br />
Avstånd mellan partiklar L = 1<br />
1/ 3<br />
⎛ N ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ V ⎠<br />
1/ 3<br />
h ⎛ V ⎞ h<br />
L >> Δx<br />
≥<br />
⇒ ⎜ ⎟ >><br />
2 2mk<br />
T ⎝ N ⎠ 2 2mk<br />
T<br />
V<br />
N<br />
h<br />
>><br />
8(2mk<br />
3<br />
B<br />
T )<br />
B<br />
3 / 2<br />
⇒<br />
N<br />
V<br />
h<br />
8(2mk<br />
3<br />
B<br />
T )<br />
3 / 2<br />
B<br />
Förhåll<strong>and</strong>et mellan antal elektroner i de två stillstånden ges därefter av:<br />
n<br />
n<br />
−E2<br />
/ k<br />
2<br />
2 ( ) / 8 2 BT<br />
g Ae g<br />
−5<br />
E1<br />
−E2<br />
k BT<br />
( −13.6+<br />
3.4eV) /(8.617⋅10<br />
eV/K)(15000K) −7.89<br />
−<br />
1<br />
=<br />
g Ae<br />
1<br />
−E<br />
/ k T<br />
1<br />
B<br />
=<br />
g<br />
1<br />
e<br />
≈ e<br />
2<br />
≈ 4e<br />
≈ 1,5 ⋅10<br />
3<br />
Ex8:6 Bindningsenergi för grundtillståndet i väte = 13,6 eV, vilket motsvarar ljus<br />
med våglängden λ = hc/E ≈ 1240 eV⋅nm/13,6 eV ≈ 91,2 nm.<br />
Wiens förskjutningslag λ max T = 2,898⋅10 -3 m⋅K ger att detta motsvarar<br />
T≈2,898⋅10 -3 m⋅K/91,2⋅10 -9 m ≈ 32 800 K.
Kap 9. Molekylfysik.<br />
Ex9:1 Vibrationer i tvåatomig molekyl kan beskrivas av Morsepotentialen<br />
−β<br />
( r−R<br />
)<br />
[ ] 2<br />
0<br />
U ( r)<br />
= U<br />
0<br />
1−<br />
e<br />
c) Jämviktsavståndet motsvarar ett minimum för potentialen (naturen<br />
strävar alltid efter lägsta energistillståndet).<br />
Minimum:<br />
dU ( r)<br />
−β<br />
( r−R<br />
)<br />
( 0 )<br />
( 0 )<br />
2U<br />
0<br />
e ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 −β<br />
r−R<br />
−β<br />
r−R<br />
= β − e = ⇒ − e = 0 ⇒ r = R 0<br />
dr<br />
2<br />
2<br />
0<br />
1−<br />
e = U 1−<br />
0<br />
U ( r → ∞)<br />
= U<br />
= U<br />
e) Nära R 0 kan vi serieutveckla Morse-potentialen<br />
Taylor-utveckling kring a:<br />
f '( a)<br />
f ''( a)<br />
2<br />
3<br />
f ( x)<br />
= f ( a)<br />
+ ( x − a)<br />
+ ( x − a)<br />
+ Ο((<br />
x − a)<br />
)<br />
1!<br />
2!<br />
−∞<br />
d) Potentialen på långt avstånd: [ ]<br />
0[ ]<br />
0<br />
dU<br />
= 2U<br />
0<br />
dr<br />
dU ( r = R<br />
dr<br />
2<br />
d U dU<br />
=<br />
2<br />
dr dr<br />
2<br />
d U ( r = R<br />
dr<br />
2<br />
β e<br />
0<br />
)<br />
− β ( r − R<br />
=<br />
0<br />
0<br />
)<br />
− β ( r − R 0 )<br />
( 1 − e )<br />
−β<br />
( r−R0<br />
) −β<br />
( r−R0<br />
)<br />
2 −β<br />
( r−R0<br />
) −β<br />
( r−R0<br />
)<br />
[ 2U<br />
βe<br />
( 1−<br />
e )] = 2U<br />
β e ( 2e<br />
−1)<br />
0<br />
0<br />
)<br />
2<br />
= 2U<br />
β<br />
0<br />
Taylorutvecklingen blir då:<br />
2<br />
2U<br />
0β<br />
2<br />
3<br />
2<br />
U ( r)<br />
= 0 + 0( r − R ) + ( r − R0<br />
) + Ο ( r − R0<br />
) = U<br />
0β<br />
( r − R<br />
2<br />
0<br />
( )<br />
2<br />
0 0<br />
)<br />
Detta liknar potentialen för en harmonisk oscillator med x = r - R 0 :<br />
U<br />
1<br />
=<br />
2<br />
=<br />
2 1 2 2<br />
{ K = mω } = mω<br />
2<br />
( x)<br />
Kx<br />
x<br />
Identifiera termer:<br />
1<br />
2<br />
ω<br />
β<br />
ω<br />
2 2<br />
2 2<br />
2<br />
m x = U<br />
0<br />
x ⇒ K = m =<br />
2<br />
2<br />
2U<br />
β<br />
f) Potentialen i jämviktsläget U(R 0 ) är 0. På oändligt avstånd<br />
motsvar<strong>and</strong>e två fria atomer är potentialen U 0 . Lägsta<br />
energistillståndet har en energi ≠ 0. Dissociationsenergin är den<br />
energi som måste tillföras en molekyl (i grundtillståndet) för dess<br />
energi skall överstiga ”potentialbarriären”, dvs potentialen för fria<br />
0
atomer. Dissocioations energi är därmed skillnaden mellan potentialen<br />
i ∞ (U 0 ) och lägsta energinivån.<br />
E<br />
diss<br />
= U<br />
0<br />
− E<br />
vib<br />
⎧ hω<br />
( hω)<br />
⎪Evib(0)<br />
= −<br />
(0) = ⎨ 2 16U<br />
⎪<br />
⎩enligt<br />
lydelsen<br />
0<br />
2<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ = U<br />
⎪<br />
⎭<br />
0<br />
hω<br />
( hω)<br />
− +<br />
2 16U<br />
0<br />
2<br />
g) Givet K = 573 N/m och E diss = 4,52 eV, beräkna U 0 och β. Enklast att<br />
använda elektronvolt mm som enheter.<br />
K = 573 Nm/m 2 / 1,602⋅10 -19 J/eV ≈ 3,57⋅10 21 eV/m 2<br />
Vi använder uttrycket för dissociationsenergin för att skapa ett uttryck<br />
för U 0 .<br />
U<br />
2<br />
0<br />
⇒ U<br />
⎛ hω<br />
−U<br />
0 ⎜ + E<br />
⎝ 2<br />
0<br />
⎛ hω<br />
E<br />
= ⎜ +<br />
⎝ 4 2<br />
diss<br />
⎛ hω<br />
E<br />
= ⎜ +<br />
⎝ 4 2<br />
diss<br />
diss<br />
⎞ ( hω)<br />
⎟ +<br />
⎠ 16<br />
⎞<br />
⎟ ±<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ ±<br />
⎠<br />
⎛ hω<br />
E<br />
⎜ +<br />
⎝ 4 2<br />
E<br />
2<br />
diss<br />
4<br />
2<br />
= 0<br />
diss<br />
E<br />
+<br />
diss<br />
4<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
hω<br />
( hω)<br />
−<br />
16<br />
2<br />
=<br />
ω får ur { mω 2 }<br />
K = ⇒ω<br />
=<br />
K<br />
m<br />
där m är den reducerade massan.<br />
m<br />
m<br />
m<br />
H<br />
H<br />
⋅ m<br />
+ m<br />
H<br />
H<br />
=<br />
m<br />
2<br />
H<br />
2<br />
1,0079u<br />
⋅931,5(<br />
MeV / c ) / u<br />
≈<br />
2<br />
⇒ hω = h<br />
K<br />
m<br />
= ≈ 469,4 MeV/c 2 eV<br />
≈ 6,582 ⋅10<br />
−16<br />
eVs ⋅2,7578<br />
⋅10<br />
6<br />
m<br />
−1<br />
⋅ 2,998 ⋅10<br />
8<br />
ms<br />
−1<br />
≈ 0,544<br />
2<br />
⎛ 0,544 4,52 ⎞ 4,52 4,52 ⋅ 0,544<br />
U<br />
0<br />
= ⎜ + ⎟ ± +<br />
= 2,40 ± 2,39 ≈ 4, 79eV<br />
⎝ 4 2 ⎠ 4 4<br />
(Lösning 0,01 eV är ofysikalisk)<br />
β<br />
K<br />
2U<br />
21<br />
10 −1<br />
= ≈ ≈ 2,73⋅10<br />
m<br />
0<br />
3,57⋅10<br />
2⋅4,79
Ex9:2 Övergångarna motsvarar en ändring av vibrationskvanttalet en enhet<br />
samtidigt med ett antal olika rotationsövergångar vardera med Δl = ± 1.<br />
En övergång i mitten ”saknas”. Denna motsvarar Δl = 0 och ger då<br />
energin för vibrationsövergången: ≈ 0.317 eV.<br />
Vi har då att ΔE = hω<br />
. Den söka kraftkonstanten ges av<br />
2<br />
2 ⎛ ΔE<br />
⎞<br />
K = ( ω) μ = ⎜ ⎟ μ<br />
⎝ h ⎠<br />
Där den reduducerade massan för HBr är<br />
mH ⋅ mBr<br />
1.0079<br />
⋅ 79.904<br />
−27<br />
−27<br />
μ = =<br />
≈ 0.9953u<br />
⋅1.6605<br />
⋅10<br />
kg / u ≈ 1.653⋅10<br />
kg<br />
m + m 1.0079 + 79.904<br />
Vi får<br />
H<br />
Br<br />
⎛ ΔE<br />
K = ⎜<br />
⎝ h<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
0 −27<br />
⎛ .317eV ⎞<br />
μ ≈ ⎜<br />
-16<br />
⎟<br />
⎝ 6.582 ⋅10<br />
eV ⋅s<br />
⎠<br />
⋅1.653⋅10<br />
kg ≈<br />
383 N/m<br />
Ex9:3 Fotonenergier: E=hc/λ = 1240 eV nm ⇒ 0,481, 0,961, och 1,442 meV<br />
Vilka övergångar? De låga energiskillnaderna tyder på övergångar i<br />
rotationstillstånd.<br />
h<br />
2ICM<br />
För dessa gäller: E = l( l + 1)<br />
rot<br />
2<br />
Om lägsta övergången var l=1 → l=0 blir då efterfölj<strong>and</strong>e l=2 → 1 och l=3<br />
→ 2.<br />
Vi provar om denna ansats kan vara rätt.<br />
Eftersom tröghetsmomentet är detsamma påverkas förhåll<strong>and</strong>et mellan<br />
fotonenergierna endast av skillnaderna från termerna l(l+1).<br />
1→0: 1(1+1) – 0(0+1) = 2<br />
2→1: 2(2+1) – 1(1+1) = 4<br />
3→2: 3(3+1) – 2(2+1) = 6<br />
Dvs förhåll<strong>and</strong>et mellan energierna skall vara 1, 2 och 3.<br />
Prova: 2*0,481≈ 0,962 meV och 3*0,481 ≈ 1,443 meV. Stämmer bra!!<br />
Vi får då för<br />
2ICM<br />
( l + 1)( l + 2) − l( l + 1)<br />
l+1 → l : =<br />
2<br />
h<br />
∆Erot<br />
Om vi tar medelvärdet för de tre övergångarna får vi:<br />
I CM = ħ 2 · ½ ·1/3 (6/1,442 + 4/0,961 + 2/0,481) · 10 3 eV -1 ≈ 9,01·10 -28 eV<br />
s 2
Den reducerade massan:<br />
m 12,000 ⋅ 15,995<br />
=<br />
C mO<br />
μ<br />
=<br />
u ≈ 6,86u =<br />
mC<br />
+ mO<br />
12,000 + 15,995<br />
Ger då att bindningslängden är:<br />
( 8<br />
) 2<br />
2.998 ⋅ 10<br />
m 0.11 nm<br />
−28<br />
9,01 ⋅ 10 ×<br />
R 0 =<br />
≈<br />
9<br />
6,39 ⋅ 10<br />
2<br />
2<br />
{ 1u = 931,5 MeV/c } ≈ 6,39GeV /c<br />
h<br />
Ex9:4 Rotationsenergier ges av E<br />
rot<br />
= l(<br />
l + 1)<br />
där tröghetsmomentet I CM<br />
2ICM<br />
=μR 2 0 där bindningsavståndet R 0 inte ändras men däremot den reducerade<br />
massan μ. För väte gäller att μ HH = 0,5 m H medan det för HD gäller att μ HD ≈<br />
(1⋅2)/(1+2) m H = 2/3 m H<br />
μHH<br />
Rotationsenergierna ändras då med en faktor ≈ 3⋅<br />
0,5/ 2 ≈ 0, 75<br />
μ<br />
1<br />
Vibrationsenergierna ges av E<br />
vib<br />
= ( ν + ) hω<br />
där ω = K μ där<br />
2<br />
kraftkonstanten K inte ändras. Förändringsfaktor blir då<br />
μ HH<br />
≈ 0,75<br />
≈ 0,87<br />
μ<br />
HD<br />
HD<br />
Ex9:5 Nära jämviktspunkten kan potentialen för vibrationsenergier<br />
approximeras med potentialen för en harmonisk oscillator: U( R) = U(R 0 )<br />
+ ½ k (R-R 0 ) 2 .<br />
Ur figuren får vi att U(R 0 ) ≈ -2,7 eV, vilket tillsammans med att U( 0,06 nm)<br />
≈ 0 ger att k ≈ 2· 2,7 / ( 0, 05) 2 eV/nm 2 . För låga vibrationsenergier<br />
gäller E vib = (v + ½ ) ħω, där ω=√(k/μ). Efterfrågad energiskillnad blir ħω =<br />
ħ√(k/μ) ≈ 197,3√(2,16·10 3 /4,691·10 8 ) eV ≈ 0,42 eV.<br />
Ex9:6 Skillnaden i fotonenergi hos absorberad och emitterad foton utgör<br />
nivåskillnaden i vibrationsenergi:<br />
hc hc 1240eVnm<br />
1240eVnm<br />
∆E<br />
vib = − =<br />
−<br />
≈ 0, eV<br />
λabs<br />
λemit<br />
495nm<br />
520nm<br />
12<br />
Energiskillnaden mellan olika vibrationsnivåer ges av ħω där ω 2 = K/μ=<br />
3,32⋅10 28 s -2 enligt talets lydelse.<br />
Detta ger ħω≈ 6,582⋅10 -16 eV⋅1,82⋅10 14 s -1 ≈ 0,12 eV. Excitationen sker<br />
alltså till det näst lägsta vibrationstillståndet (v = 1).
hc hc<br />
Ex9:7 Skillnad i energi mellan inkomm<strong>and</strong>e och spritt ljus är ΔE<br />
= −<br />
λl=2 λl=4<br />
vilket ger ΔE =1240/514.5 - 1240/520 ≈ 24 meV.<br />
2<br />
h<br />
Med E<br />
rot<br />
= l(<br />
l + 1)<br />
där I CM är tröghetsmomentet, fås energiskillnaden<br />
2ICM<br />
till<br />
2<br />
2<br />
2<br />
h<br />
h<br />
7h<br />
ΔErot<br />
= ((<br />
l + 2)( l + 3) − l(<br />
l + 1) ) = ( 2l<br />
+ 3)<br />
=<br />
2I<br />
I<br />
I<br />
CM<br />
CM<br />
l=<br />
2<br />
CM<br />
Detta ger ett tröghetsmoment av<br />
2<br />
h<br />
−16<br />
2<br />
I<br />
CM<br />
= ≈ 7 ⋅(6.582⋅10<br />
) / 24⋅10<br />
ΔE<br />
7 − 3<br />
rot<br />
eVs 2<br />
≈ 1.264⋅10 -30 eVs 2 ⋅ 1.602⋅10 -19 J/eV ≈ 2.02⋅10 -49 kgm 2
Kap 10. Fasta ämnen, halvledare<br />
Ex10:1 Konduktiviteten σ (=1/resistiviteten) ges av j= σ⋅E där j är strömtätheten<br />
2<br />
qe<br />
ρeτ<br />
och E det elektriska fältet. Men σ = där q e är elementarladdningen, ρ e är<br />
me<br />
densiteten av ledningselektroner och τ är medeltiden mellan kollisioner.<br />
σ ⋅ me<br />
Detta ger: τ = .<br />
2<br />
q ⋅ ρ<br />
ρ<br />
e<br />
densitet<br />
= atomvikt<br />
e<br />
e<br />
3 3<br />
10,5⋅10<br />
kg / m<br />
28 −3<br />
≈ 5,86 ⋅10<br />
m<br />
-27<br />
=<br />
107,868u ⋅1,66<br />
⋅10<br />
kg/u<br />
a)<br />
−31<br />
σ ⋅ me 9,1094<br />
⋅10<br />
kg<br />
−14<br />
τ = =<br />
≈ 3,78 ⋅10<br />
s<br />
2 -8<br />
-19 2<br />
28 −3<br />
qe<br />
⋅ ρe<br />
1,6 ⋅10<br />
Ω ⋅ m⋅( 1,602 ⋅10<br />
C)<br />
⋅5,86<br />
⋅10<br />
m<br />
b)<br />
2EF<br />
2 ⋅5,48ev<br />
−3<br />
6<br />
Fermihastigheten: vF = ≈<br />
≈ 4,63⋅10<br />
c ≈ 1,39 ⋅10<br />
m / s<br />
2<br />
me<br />
0,51MeV<br />
/ c<br />
6<br />
−14<br />
−8<br />
Fria medelväglängden: L = vF<br />
⋅τ<br />
≈ 1,39 ⋅10<br />
m / s ⋅3,78⋅10<br />
s ≈ 5,27 ⋅10<br />
m<br />
c) Antag att varje silveratom upptar volymen d 3 där d är avståndet mellan<br />
närligg<strong>and</strong>e atomer i ett kubiskt gitter. Antalet atomer per m 3 är enligt ovan<br />
5,86⋅10 28 3 28<br />
−10<br />
vilket ger d = 1/ 5,86 ⋅10<br />
≈ 2,6 ⋅10<br />
m .<br />
Vi ser att L är ca 200 gånger större, dvs elektronerna kolliderar inte med<br />
varje atomerna, utan snarare med oregelbundenheter i gittret eller<br />
vibrationer.<br />
Parantes pga att boken inte härleder formler på ett självklart sätt:<br />
Härledning av varför<br />
v<br />
drift<br />
q<br />
E τ<br />
e<br />
= :<br />
m<br />
e<br />
Ledningselektronerna utan pålagt elektriskt fält rör sig i slumpmässig riktning<br />
mellan kollisioner med en hastighet v. (Kollisionerna sker klassikt mot atomerna i<br />
gittret, och kvantmekaniskt mot vibrationskvanta eller<br />
oregelbundenheter/föroreningar i gittret). När ett elektriskt fält läggs på kommer<br />
elektronerna att ha en rörelse överlagrad den slumpmässiga med en hastighet<br />
v drift mot det elektriska fältet. v är betydligt större än v drift . Mellan varje kollision<br />
färdas en elektron sträckan s pga elektriska fältets acceleration enligt<br />
2<br />
q E t<br />
s = (kraften från det elektriska fältet är ju q e E).<br />
m 2<br />
e<br />
⋅<br />
e<br />
Medelsträckan ges då av<br />
2<br />
q t<br />
e<br />
⋅ E<br />
s = .<br />
m 2<br />
e
Man kan visa att antalet elektroner som kolliderar undet tidsintervallet t till t+dt<br />
ges av exponetialfördelningen<br />
−t<br />
/τ<br />
Ne<br />
n(<br />
t)<br />
= .<br />
τ<br />
Där τ är meddeltiden mellan kollisioner (visa gärna själv att =τ).<br />
∞<br />
1 2 −t<br />
/ τ<br />
2<br />
τ ∫ t Ne<br />
0<br />
2<br />
Vi kan nu beräkna t =<br />
= 2τ<br />
Detta ger att<br />
∞<br />
1 −t<br />
/ τ<br />
τ ∫ Ne<br />
v<br />
drift<br />
VSV.<br />
s<br />
=<br />
t<br />
2<br />
qe<br />
⋅ E τ qe<br />
⋅ E<br />
= = τ<br />
m τ m<br />
e<br />
e<br />
0<br />
Ex10:2 I en metall ligger ferminivån i ledningsb<strong>and</strong>et, medan den i en halvledare<br />
ligger i mitten av b<strong>and</strong>gapet.<br />
Halvledare:<br />
Vid T=0 gäller att valensb<strong>and</strong>et är fyllt medan ledningsb<strong>and</strong>et är tomt.<br />
För vår överslagsberäkning antar vi att tillståndstätheten är i det närmaste<br />
konstant = D i valens och ledningsb<strong>and</strong> men självfallet = 0 i b<strong>and</strong>gapet.<br />
Antalet exciterade elektroner ges då av:<br />
∞<br />
∞<br />
1<br />
−Egap<br />
/ 2<br />
Nex<br />
= D ∫ N(<br />
E)<br />
F−DdE<br />
= D ∫<br />
dE = Dk<br />
E E k T<br />
BT<br />
ln(1 + e<br />
( − F ) / B<br />
e + 1<br />
=<br />
1<br />
EF<br />
+ E<br />
2<br />
−Egap<br />
/ 2kBT<br />
{ k T
Ex10:3 För att överföra en elektron från valens- till ledningsb<strong>and</strong>et måste<br />
fotonenergi vara minst lika stor som b<strong>and</strong>gapet, dvs 1,1 eV. Detta ger:<br />
hc 1240eV<br />
⋅ nm<br />
λ = =<br />
≈ 1127nm<br />
vilket är lång ut i det infraröda området.<br />
E 1.1 eV<br />
Kortare våglängd ger högre foton-energi.
Kap 11. Kärnfysik<br />
Ex11:1 Vi beräknar bindningsenergin mha masskillnadsformeln:<br />
E = ZM + Nm − M<br />
bind<br />
23<br />
11<br />
Na :<br />
[ ]<br />
E<br />
=<br />
bind<br />
H<br />
n<br />
A<br />
[ M + 12m<br />
− M ]<br />
=<br />
Na<br />
11<br />
H n (23)<br />
[ 11⋅1,007825<br />
+ 12 ⋅1,008665 – 22,989767]<br />
= 186,57MeV<br />
Per nukleon: 186,57/23 ≈8,11 MeV/nukleon<br />
23<br />
12<br />
Mg :<br />
Ebind<br />
= [ 12 M<br />
H<br />
+ 11m<br />
n<br />
− M<br />
Na(23)<br />
] =<br />
=<br />
[ 12 ⋅1,007825<br />
+ 11⋅1,008665 – 22.994124]<br />
=<br />
⋅931,494 MeV =<br />
⋅931,494 MeV =<br />
= 181,73MeV<br />
Per nukleon: 181,73/23 ≈7,90 MeV/nukleon<br />
Tämligen lika bindningsenergi, vilket innebär att bindningskraften från stark<br />
växelverkan är i stort sett densamma för neutroner och protoner, men protonerna<br />
ger upphov till viss repulsion vilken gör att 23 Mg har lägre bindningsenergi per<br />
nukleon är 23 Na.<br />
Ex11:2 Vi beräkna bindningsenergin per nukleon först mha<br />
vätskedroppsmodelln, därefter med masskillnadformeln.<br />
64<br />
Cu<br />
29<br />
:<br />
64<br />
30<br />
Zn :<br />
( Z −1) ( N − Z )<br />
2 / 3 Z<br />
E bind<br />
=<br />
1A<br />
− C2<br />
A − C3<br />
− C4<br />
=<br />
1/ 3<br />
A<br />
A<br />
2 / 3 29 ⋅ 28<br />
= 15,8 ⋅ 64 −17,8<br />
⋅ 64 − 0,71 − 23,7 ⋅<br />
1/ 3<br />
64<br />
64<br />
≈ 1011,2 − 284,8 − 0,71⋅<br />
203 − 23,7 ⋅ 0,5625 ≈<br />
≈ 568, 9C<br />
MeV<br />
Per nukleon: 568,9/64≈ 8,89 MeV/nukleon<br />
E<br />
=<br />
bind<br />
[ M + 35m<br />
− M ]<br />
29<br />
H n (64)<br />
=<br />
Cu<br />
[ 29 ⋅1,007825<br />
+ 35⋅1,008665 – 63.9297642]<br />
= 558,0MeV<br />
Per nukleon: 558,0/64≈8,72 MeV/nukleon<br />
=<br />
2<br />
( 35 − 29)<br />
2<br />
MeV<br />
≈<br />
⋅931,494 MeV =
E bind<br />
= A − C A<br />
5C<br />
1<br />
2<br />
2 / 3<br />
− C<br />
2<br />
( Z −1) ( N − Z )<br />
Z<br />
A<br />
1/ 3<br />
− C<br />
2 / 3 30 ⋅ 29<br />
= 15,8 ⋅ 64 −17,8<br />
⋅ 64 − 0,71 − 23,7 ⋅<br />
1/ 3<br />
64<br />
≈ 1011,2 − 284,8 − 0,71⋅<br />
217,5 − 23,7 ⋅ 0,25 ≈<br />
≈ 566, MeV<br />
Per nukleon: 566,5/64≈ 8,85 MeV/nukleon<br />
E<br />
=<br />
bind<br />
[ M + 34m<br />
− M ]<br />
=<br />
Zn<br />
30<br />
H n (64)<br />
[ 30 ⋅1,007825<br />
+ 34 ⋅1,008665 – 63.92914]<br />
= 559,1MeV<br />
Per nukleon: 559,1/64≈8,74 MeV/nukleon<br />
3<br />
=<br />
4<br />
A<br />
( 34 − 30)<br />
64<br />
=<br />
2<br />
MeV<br />
⋅931,494 MeV =<br />
64 Zn har högre bindningsenergi än 64 Cu, trots att den har en proton mer. Detta<br />
förklaras av att 64 Zn har ett jämnt antal av både protoner och neutroner vilket ger<br />
ett hårdare bundet tillstånd. Vätskedropsmodellen tar inte hänsyn till detta.<br />
Vätskedroppsmodellen förutsäger dock bindningsenergin i dessa fall inom 2%.<br />
I verkligheten har vätskedroppsmodellen ännu en term för just jämna respektive<br />
udda antal neutroner och protoner.<br />
≈<br />
Ex11:3 Om vi beräknar från Q-värdet: 1g av 210 Po som sönderfaller ger en<br />
avgiven energi av Q*N A /M po där poloniumatomens massa M po antas vara<br />
210 u. Under 1 dag sönderfaller en <strong>and</strong>el av 1-e -1/138 av poloniumkärnorna<br />
≈ 0,00722<br />
1 g polonium avger då under det först dygnet<br />
E ≈ 0,00722⋅5,407 MeV⋅6,022⋅10 23 /210≈1,11⋅10 26 eV. Dödlig absorberad<br />
dos är 0,4 Gy, dvs 0,4 J/(kg kroppsvikt). För en kroppsvikt om 100 kg<br />
motsvarar det 40 J vilket gör att det krävs 40J/(1,11⋅10 26 eV ⋅ 1,602⋅10 -19<br />
J/eV) g 210 Po ≈ 2.25 μg.<br />
Utgick vi istället från informationen att 1 g 210 Po get 140W, får vi under 1<br />
dygn att 1g ger 3600s ⋅24⋅ 140 J/s ≈ 1,21⋅10 7 J. 40 J motsvarar då<br />
40/1,21⋅10 7 ≈ 3,3 μg.<br />
Hur rimlig är approximationen att vi bara räknar under det första dygnet?<br />
Egentligen är det fel eftersom poloniet knappast har försvunnit ut ur<br />
kroppen så fort. En del atomer blir kvar, en del kommer ut med avföring<br />
och kanske urin. Med en halveringtid om 138 dagar bör man räkna med<br />
betydligt längre tid. Det är också tveksamt att räkna på hela kroppsvikten.<br />
Om man förtär 210 Po kommer huvuddelen av strålningen att avges i mer<br />
begränsad kroppsvolym som där kan ge upphov till dödlig skada.
I wikipedia-sidan kan man läsa vidare:<br />
“The fatal dose (LD50, the dose that leads to 50% risk of death) for acute radiation exposure is<br />
generally about 4 Sv [5]. One Bq of 210 Po (i.e., an amount that produces one decay per second)<br />
causes a radiation dose of 0.51 µSv if ingested 210 Po, <strong>and</strong> 2.5 µSv if inhaled [17] . Since 210 Po radiates<br />
166 TBq per gram [17] , a fatal 4 Sv dose can be caused by ingesting 8 MBq (200 microcurie), about<br />
50 nanogram, or inhaling 1.6 MBq (40 microcurie), about 10 ng. One gram of 210 Po could thus in<br />
theory poison 100 millon people. In addition to the acute effects, short-term radiation exposure<br />
carries a long-term risk of death from cancer of approximately 8% per Sv [6].<br />
In rats a dose of 1.45 MBq/kg (8.7 ng/kg) of 210 Po tends to cause death in about 30 days [18] . By this<br />
measure, 210 Po is 400,000 times more toxic than hydrogen cyanide [7].<br />
The maximum allowable body burden for ingested polonium is only 1,100 Bq (0.03 microcurie),<br />
which is equivalent to a particle weighing only 6.8 picograms. The maximum permissible<br />
concentration for airborne soluble polonium compounds is about 7,500 Bq/m 3 (2 × 10 -11 µCi/cm 3 ).<br />
The biological half-life of polonium in humans is 30 to 50 days. [19]<br />
Notably the death in 2006 of Alex<strong>and</strong>er Litvinenko has been announced as probably<br />
due to 210 Po poisoning. [20] ”<br />
Ex11:4 131 I antas ha molvikten 131 g ⇒ 50 kg 131 I innehåller N 0I = 10/0,131 ·<br />
6,022·10 23 kärnor. Pss innehåller 50 kg 60 Co N 0Co = 10/0,060 ·<br />
6,022·10 23 kärnor.<br />
Effekten av den skydd<strong>and</strong>e blydräkten:<br />
För sönderfall från 131 I: 1 mm bly stoppar (1-e -0.1 ) = 9,5% av fotonerna.<br />
Genomsnittligt bidrag blir då 0.905 · 365 keV = 330,3 keV ≈ 5,29·10 -14 J<br />
per sönderfall.<br />
Från 60 Co: 1 mm bly stoppar (1-e -0,05 ) ≈ 4,9 %.<br />
Genomsnittligt bidrag: 0,951 · (1173 + 1332) keV ≈ 3,82·10 -13 J<br />
Eftersom vi gör en överslagsberäkning och en timme
Detta problem innehåller rätt många beräkningar. Diverse mindre slarvfel<br />
innebar inte poängavdrag på tentan. Andra approximationer än de ovan<br />
accepteras om de motiveras på ett korrekt sätt.<br />
Ex11:5 Genom att rita upp ett diagram av logaritmen som funktion av tiden ser<br />
man att det rör sig om två distinka sönderfallskonstanter. Genom att<br />
betraka antal sönderfall per tidsenhet vid 100 respektive 200 s syns<br />
tydligt att den ena halveringstiden är nära 100 s. Mha<br />
ln 2<br />
−3<br />
sönderfallskonstanten λ = ≈ 6.93⋅10<br />
s -1 kan bidraget från<br />
T<br />
1/ 2<br />
sönderfallen från av komponenten med den längre halveringstiden vid 0,<br />
5, 10 och 20 s beräknas med<br />
R = R 0 e -λt där R 0 ≈ 485.2 till 485, 469, 453 och 422 vilket ger att<br />
sönderfallsraten av den kortlivade nukleiden är 41580, 20793, 10398,<br />
2601. Av detta ser man att den kortlivade nukleiden har en halveringstid<br />
som är nära 5 s.<br />
⎛ R ⎞<br />
− ln<br />
⎛ 2601 ⎞<br />
⎜<br />
⎟ − ln⎜<br />
⎟<br />
0 41580<br />
Sönderfallskonstanten är<br />
⎝ R<br />
λ =<br />
⎠<br />
≈<br />
⎝ ⎠<br />
≈ 0. 1386 .<br />
t<br />
20<br />
Vid tiden t = 0 förväntas vi ha N 0 = R 0 /λ kärnot av vardera nukleiden<br />
dvst totalt N ≈ 41580/0.1386 + 485.2/0.00693 ≈ 300000 +<br />
70000 ≈ 3,70 10 5 kärnor<br />
Ex11:6 Bor’s molvikt är 10.811 kg/kmol. I 1m 3 bor finns då 2460/10,811 kmol ≈<br />
227·6,022·10 26 boratomer. Antalet bor-10 kärnor per volymsenhet är då<br />
n≈0,2·227·6,022·10 26 .<br />
Linjära absorbtionskoefficienten blir då μ = σn där tvärsnittet σ =3835 b =<br />
3835·10 -28 m 2 vilket ger μ ≈ 0,2·227·6,022·10 26·3835·10 -28 m -1 ≈ 10485 m -1<br />
= 10,485 mm -1 .<br />
För att 99% skall stoppas krävs då att e -μx = 0,01 vilket ger att<br />
x = -ln(0,01)·1/μ ≈ 4,605/10,485 mm ≈ 0,44 mm<br />
Ex11:7 Ur den första figuren ser man 236 U har en bindningsenergi av ca 7,2 MeV<br />
per nukleon. Ur den <strong>and</strong>ra figuren ser man att de vanligaste<br />
sönderfallsprodukterna har massnummer kring 140 och 95. Eftersom två<br />
neutroner frigörs finns 236-2=234 nukleoner som dessa<br />
sönderfallsprodukter skall dela på. Vi väljer då att använda 139 resp 95<br />
nukleoner i de två fragmenten. Bindningsenergierna för dessa är ca 8,0<br />
resp 8,4 MeV per nukleon. Q-värdet för reaktionen blir då: 139*8,0 +
95*8,4 – 236*7,2 ≈ 200 MeV. Varje 236 U-sönderfall ger sålunda ca 200<br />
MeV = 3,2*10 -11 J. Antalet nödvändiga sönderfall per sekund vid 30%<br />
verkningsgrad blir då N=1*10 9 /(0,3*3,2*10 -11 ) ≈ 10 20 . Detta motsvarar ca<br />
235/(6*0,3)*10 -3 ≈0,130 g 235 U som förbrukas per sekund.<br />
Ex11:8 Antalet kärnor per volymsenhet, n, av det undersökta ämnet ges av<br />
densiteten delat med molvikten:<br />
n = 1,5 ⋅10 3 kg/m 3 / 14,04 kg/kmol ⋅ 6,022 ⋅10 26 kärnor/kmol ≈ 6,43⋅10 28<br />
kärnor/m 3<br />
Om antalet infall<strong>and</strong>e neutroner är N 0 kommer efter sträckan x,<br />
N 0 (1-e -nσx ) neutroner att ha absorberats, där σ är tvärsnittet. Med 30%<br />
effektivitet krävs för att få 100 γ per dm 2 och s att N 0 ≥ 100/(0.3⋅(1-e -nσx ))<br />
≈ 100/(0,3 ⋅ (1- e -0,4⋅10-28⋅6,43⋅1028⋅0,1 ) ≈ 1470 neutroner/(s⋅dm 2 )
Kap12.<br />
Ex12:1 Rörelsemängden hos en foton ges av p = E/c = hf/c = h/λ<br />
Dopplerskiftet vid rörelse bort från ljuskällan ges av<br />
1 − β<br />
fobs<br />
= fkälla<br />
där β = v/c. Detta ger motsvar<strong>and</strong>e relation för<br />
1 + β<br />
rörelsemängden.<br />
p källa = h/450 nm = (4,136·10 -15 eVs · 2,998·10 8 m/s) /(450·10 -9 m · c) =<br />
2.75 eV/c<br />
Pga att ljus reflekteras med samma våglängd som det inföll, blir<br />
överföringen av rörelsemängd dubbelt så stor som det infall<strong>and</strong>e ljusets<br />
rörelsemängd.<br />
Vi får då vid<br />
β =0.1: p trans = 2 · sqrt(0.9/1.1) · 2,75 eV/c ≈ 4,79 eV/c<br />
β = 0.9: p trans = 2 · sqrt(0.1/1.9) · 2,75 eV/c ≈ 1,26 eV/c<br />
Mao mindre rörelsemängdsöverföring vid högre hastighet.<br />
Ex12:2 För accelererad myon gäller att E = γmc 2 . Antalet myoner har minskat<br />
med en faktor 4 efter 2 halveringstider, dvs vid T = 2 ln2 ·τ labb där τ labb<br />
pga tidsdillationen är γτ ⇒<br />
E<br />
1000 −6<br />
T = 2ln 2 ⋅ τ = 2 ⋅ 0,693 ⋅ ⋅ 2,2 ⋅10<br />
s = 29 ms<br />
2<br />
mc<br />
0,106<br />
r<br />
är invariant. I masscentrumsystemet för e + e - är<br />
summan av rörelsemängderna = 0, dvs<br />
Ex12:3 a) ( ∑E ) 2 − ( ∑ pc<br />
) 2<br />
r<br />
E cm = ∑<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
( ∑E<br />
) − ( pc<br />
) = (9 + 3,1) − (9 − 3.1) GeV ≈ 10,6 GeV<br />
b) Medellivstiden i laboratorie-systemet måste korrigeras för tidsdilatation,<br />
dvs den blir γτ där τ är medellivstiden i vilosystemet. Hastigheten<br />
partikeln färdas med är βc. Medelsträckan som B 0 -mesonen färdas blir<br />
då βγcτ = 0,556 ⋅ 2,998⋅10 8 m/s ⋅ 1,536⋅10 -12 s ≈ 256 μm.<br />
Ex12:4 Linjära absorbtionskoefficienten fås som μ =ln2/L 1/2 där L 1/2 är<br />
halvvärdestjockleken. Ur detta fås tvärsnittet som σ = μ/n där n är antal<br />
wolframatomer per volymsenhet.
n = densitet ⋅ N A /molvikt<br />
= 19,3⋅10 3 kg/m 3 ⋅ 6,022⋅10 23 atomer/mol / 0,1834 kg/mol ≈ 6,34⋅10 28 m -3<br />
a) Detta ger σ = ln2/( L 1/2 ⋅ n) = 0,693/(8⋅10 -3 m ⋅ 6,34⋅10 28 m -3 )<br />
≈ 13,7 ⋅ 10 -28 m 2 =14 b<br />
b) Sök x så att e -μx = (1-0,80) = 0,20 ger<br />
x = - (ln0,2/ln2) ⋅ L 1/2 ≈ 1.609/0.693 ⋅ 8 mm ≈ 18,6 mm,<br />
dvs det behövs 37 plattor<br />
1<br />
Ex12:5 Ur Cherenkovformeln fås att β = ≈ 0. 9999164 . Relativistisk<br />
ncosθ<br />
1<br />
rörelsemängd ges av p = mβγc<br />
där γ = . Detta ger att massan är<br />
2<br />
1−<br />
β<br />
2<br />
p 1−<br />
β<br />
m =<br />
βc<br />
myon.<br />
8.2GeV<br />
/ c ⋅0.012930<br />
2<br />
≈<br />
≈ 0.106GeV<br />
/ c . Partikeln bör vara en<br />
0.9999164c<br />
Ex12:6 a) Energierna kring 0.3 eV tyder på en vibrationsövergång med<br />
överlagrade rorationsövergångar. Troligaste vibrationsövergången är<br />
från υ=1 till υ=0. Vi antar att spektrumet är ett absorbtionsspektrum.<br />
Rotationsövergångar till vänster om ”hålet” vid ca 0,317 eV är<br />
övergångar där rörelsemängdsmomenskvanttalet l minskar med en<br />
enhet och den första linjen vid 0,315 eV är från l =1 till 0, därefter från<br />
l =2 till 1 osv. Till höger ökar l med en enhet, dvs linjen vid 0,3188 eV<br />
är övergången l =0 till 1, därefter l =1 till 2 vid 0,3205 eV osv.<br />
b) Fotonen har spinn = 1. Eftersom totala rörelsemängdsmomentet skall<br />
bevaras kräver övergången att Δl = ±1.
c) Energiskillnad för övergång mellan l-1 till l ges av:<br />
2<br />
2<br />
h<br />
h<br />
ΔE<br />
= El−<br />
1<br />
− El<br />
= {(<br />
l −1)<br />
l − l(<br />
l + 1)<br />
} = − l<br />
2I<br />
I<br />
CM<br />
Energin ΔE räknas från energin för vibrationsövergången.<br />
Energiskillnaden mellan varje linje till vänster (även höger) om ”hålet”<br />
2<br />
h<br />
motsvarar då . Vi har att I CM = μR 2 0 där μ är den reducerade<br />
I<br />
CM<br />
1,00794 ⋅ 79,904<br />
massan och R 0 atomavståndet. μ =<br />
u = 0.995u<br />
1,00794 + 79,904<br />
h<br />
I<br />
2<br />
CM<br />
fås ur figuren till (0.315 – 0.299)/7 eV≈ 2,3 meV<br />
CM<br />
⇒<br />
2 2<br />
2<br />
I<br />
CM h c 1 (197,3)<br />
R0 =<br />
≈ ⋅<br />
nm ≈ 1,4 Å<br />
2 2<br />
−3<br />
6<br />
h μc<br />
2,3 ⋅10<br />
0,995⋅931,5<br />
⋅10<br />
(Att det inte är helt perfekt syns i figuren eftersom avståndet mellan linjer<br />
till vänster resp. höger om ”hålet” inte är lika. Detta orsakas av att<br />
rotationsnivåerna inte är exakt desamma i de två vibrationstillstånden).<br />
Ex12:7<br />
E = hω<br />
= hf<br />
= 6.6 × 10<br />
−28<br />
J<br />
Antal kvanta per period är lika med energin per period genom energin<br />
per kvantum:<br />
(utstrålad energi per sekund) × (tiden för en period i sekunder) / (energin<br />
3 −6<br />
−28<br />
25<br />
per kvantum) = ( 50×<br />
10 ) × (10 ) /(6.6 × 10 ) = 7.58×<br />
10<br />
2 2 2 2 2<br />
h k h (2π<br />
) h<br />
h<br />
Ex12:8 E = 100 eV = = = ⇒ λ = = 0. 12<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
2mλ<br />
2mλ<br />
2mE<br />
nm<br />
Ex12:9 Lösningarna har formen<br />
ikx −ikx<br />
⎧Ae<br />
+ Be , x < 0<br />
ψ ( x)<br />
= ⎨ −κx<br />
⎩ Ce , x > 0<br />
där<br />
2 2 2 2<br />
h k h κ<br />
E = = − + V0<br />
⇒ k = 2mE,<br />
κ =<br />
2m<br />
2m<br />
Kontinuitetskrav i x = 0:<br />
A + B = C<br />
( A − B)<br />
k = Cκ<br />
2m(<br />
V<br />
0<br />
− E)
Dividera ekvationerna, lös ut<br />
C<br />
B, och förenkla:<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
B<br />
A<br />
C<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
x<br />
x<br />
A<br />
k<br />
k<br />
A<br />
k<br />
k<br />
B<br />
E<br />
V<br />
x<br />
x<br />
k<br />
B<br />
A<br />
B<br />
A<br />
k<br />
B<br />
A<br />
B<br />
A<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
+<br />
=<br />
+<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
−<br />
−<br />
=<br />
+<br />
−<br />
=<br />
=<br />
−<br />
=<br />
=<br />
+<br />
−<br />
⇒<br />
=<br />
+<br />
−<br />
2<br />
1)<br />
(1<br />
1<br />
2<br />
1)<br />
(1<br />
2<br />
1)<br />
(1<br />
1)<br />
(<br />
1<br />
1)<br />
(1<br />
)<br />
/<br />
(<br />
1<br />
)<br />
/<br />
(1<br />
/<br />
1<br />
/<br />
1<br />
1,<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
κ<br />
κ<br />
κ<br />
κ<br />
κ<br />
κ<br />
Ex12:10<br />
0<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
3<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
*<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
−<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
dx<br />
xe<br />
a<br />
i<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
e<br />
a<br />
i<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
i<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
p<br />
p<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
π<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
ψ<br />
h<br />
h<br />
h<br />
eftersom integr<strong>and</strong>en är en udda function.<br />
2<br />
2<br />
6<br />
4<br />
2<br />
2<br />
/<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
*<br />
2<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
a<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
a<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
a<br />
x<br />
x<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
i<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
p<br />
p<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
+<br />
−<br />
= −<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
ψ<br />
Ex12:11<br />
0<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
2<br />
/<br />
*<br />
=<br />
=<br />
=<br />
= ∫<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
dx<br />
xe<br />
a<br />
dx<br />
xe<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
ψ<br />
eftersom integr<strong>and</strong>en är en udda function.<br />
2<br />
1/<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
ˆ<br />
2<br />
6<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
2<br />
/<br />
2<br />
*<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
a<br />
a<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
a<br />
dx<br />
e<br />
x<br />
e<br />
a<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
a<br />
x<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−∞<br />
π<br />
π<br />
π<br />
π<br />
ψ<br />
ψ
Enligt föregående problem är<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0,<br />
a<br />
p<br />
p<br />
h<br />
=<br />
=<br />
(a) Väntevärdet av kinetiska och potentiella energin:<br />
4<br />
4<br />
/<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
/<br />
4<br />
4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
m<br />
m<br />
a<br />
m<br />
x<br />
m<br />
m<br />
m<br />
ma<br />
a<br />
m<br />
m<br />
p<br />
2<br />
0<br />
hω<br />
=<br />
⇒ E OK!<br />
(b)<br />
( )<br />
( )<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
h<br />
h<br />
h<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
Δ<br />
⇒ Δ<br />
=<br />
−<br />
=<br />
Δ<br />
=<br />
−<br />
=<br />
Δ<br />
a<br />
a<br />
p<br />
x<br />
a<br />
p<br />
p<br />
p<br />
a<br />
x<br />
x<br />
x<br />
Alltså uppfyller harmoniska oscillatorns grundtillstånd Heisenbergs<br />
osäkerhetsrelation<br />
2<br />
h<br />
≥<br />
Δ<br />
Δ<br />
p<br />
x som en likhet.<br />
Ex12:12<br />
( )<br />
( )<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
z<br />
y<br />
x<br />
r<br />
ik<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
ik<br />
y<br />
ik<br />
x<br />
ik<br />
r<br />
ik<br />
k<br />
k<br />
k<br />
m<br />
m<br />
k<br />
E<br />
E<br />
m<br />
k<br />
Ae<br />
k<br />
k<br />
k<br />
m<br />
e<br />
e<br />
Ae<br />
z<br />
y<br />
x<br />
m<br />
Ae<br />
z<br />
y<br />
x<br />
m<br />
z<br />
y<br />
x<br />
m<br />
z<br />
y<br />
x<br />
+<br />
+<br />
=<br />
=<br />
⇒<br />
Ψ<br />
Ψ =<br />
=<br />
=<br />
−<br />
−<br />
−<br />
= −<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
= −<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
= −<br />
⎟ Ψ =<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
+<br />
∂<br />
∂<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h<br />
h
Ex12:13<br />
Vi kommer att behöva följ<strong>and</strong>e integral:<br />
aq<br />
aq<br />
q<br />
ar<br />
aq<br />
aq<br />
q<br />
ar<br />
aq<br />
q<br />
ar<br />
q<br />
ar<br />
e<br />
a<br />
a<br />
q<br />
a<br />
q<br />
e<br />
a<br />
a<br />
q<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
e<br />
a<br />
a<br />
q<br />
a<br />
e<br />
da<br />
d<br />
dr<br />
re<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
dr<br />
e<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
+<br />
=<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
= −<br />
⇒<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
=<br />
= −<br />
⇒<br />
=<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡ −<br />
=<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
3<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Vi får nu, med<br />
π<br />
φ<br />
θ<br />
4<br />
1<br />
2<br />
)<br />
,<br />
,<br />
( 0<br />
/<br />
3<br />
0<br />
a<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
−<br />
=<br />
Ψ :<br />
0.68<br />
5<br />
)<br />
(2 /<br />
2<br />
)<br />
(2 /<br />
2<br />
2 /<br />
4<br />
4<br />
1<br />
4<br />
)<br />
,<br />
,<br />
(<br />
)<br />
(<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
1<br />
/<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
2<br />
2<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
=<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
+<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
Ω<br />
=<br />
Ω Ψ<br />
=<br />
><br />
−<br />
−<br />
=<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
e<br />
e<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
d<br />
dr<br />
e<br />
r<br />
a<br />
r<br />
d<br />
dr<br />
r<br />
a<br />
r<br />
P<br />
a<br />
a<br />
r<br />
a 43<br />
42<br />
1 π<br />
φ<br />
θ<br />
Ex12:14 Joniseringsenergin är<br />
1.51<br />
3<br />
13.6<br />
3<br />
)<br />
2(4<br />
0 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
0<br />
4<br />
3 =<br />
=<br />
+<br />
=<br />
−<br />
= =<br />
∞<br />
h<br />
πε<br />
me<br />
E<br />
E<br />
E n eV<br />
Ex12:15 Väntevärdet av potentiella energin är<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
0<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
/<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
2<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
/<br />
2<br />
0<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
16<br />
1/<br />
6<br />
4<br />
1<br />
1/<br />
2<br />
1<br />
1/<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
4<br />
2<br />
1<br />
4<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
4<br />
0<br />
0<br />
a<br />
e<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
e<br />
dr<br />
e<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
r<br />
a<br />
e<br />
dr<br />
r<br />
e<br />
a<br />
r<br />
r<br />
a<br />
e<br />
r<br />
e<br />
V<br />
a<br />
r<br />
a<br />
r<br />
πε<br />
πε<br />
πε<br />
πε<br />
πε<br />
= −<br />
=<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
= =<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
+<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
= =<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ −<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
= ⎛ −<br />
−<br />
= ∫<br />
∫<br />
∞<br />
−<br />
∞<br />
−<br />
Kinetiska energin fås ur:<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
4<br />
0<br />
0<br />
2<br />
32<br />
16<br />
2<br />
)<br />
(4<br />
2 a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
a<br />
e<br />
V<br />
E<br />
T<br />
V<br />
T<br />
E<br />
πε<br />
πε<br />
πε<br />
=<br />
+<br />
= −<br />
−<br />
=<br />
⇒<br />
+<br />
=
Kap 13. Exempeltentamen<br />
1. I ett tabellverk kan man läsa att cτ = 491 μm för en B + -meson, där c är ljushastigheten<br />
i vakuum och τ är medellivslängden i partikelns vilosystem. Samtidigt finner man i<br />
beskrivningen från ett experiment att medelsträckan en B + -meson färdas innan den<br />
sönderfaller är 3 mm. Vilken rörelsemängd måste B + -mesonen ha i experimentet?<br />
(B-mesonens massa är 5279,0±0,5 MeV/c 2 ) (5p)<br />
Lösning: Rörelsemängd som vi mäter i labbet är p = mγβc, där mesonen färdas med<br />
hastighet βc. γ är Lorentz-faktorn. Tidsdillatation ger att vi i labbet då mäter en<br />
meddelivstid av γτ vilket ger medesträcka inna sönderfall L= γβcτ. Ur detta fås att<br />
γβ=L/cτ dvs är p = mγβc = mc L/cτ ≈ 5279 * 3/0,491 MeV/c ≈ 32 GeV/c<br />
2. En elektron med försumbar energi binds med en heliumkärna He 2 + .<br />
Vilken våglängd har den emitterade fotonen? (5p)<br />
Lösning:<br />
Den emitterade fotonens energi är samma som minus joniseringsenergin. Med<br />
kärnladdningstalet Z = 2 fås:<br />
2 4<br />
mZ e<br />
E = −En = 1<br />
= +<br />
= 4 ⋅13.6<br />
= 54.4 eV<br />
2 2<br />
2(4πε<br />
0<br />
) h<br />
Detta motsvarar den emitterade fotonvåglängden<br />
hc hc<br />
E = ⇒ λ = = 228 Å<br />
λ E<br />
3. I en doktorsavh<strong>and</strong>ling som försvarades våren 2006 diskuteras en ny detektor tänkt att<br />
användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna detektor mäts γ-fotoner som<br />
passerat patienten från bestrålningen. I en av de studerade detektoruppställningarna<br />
uppskattades att det krävdes 8 mm av wolfram innan hälften av inkomm<strong>and</strong>e fotoner<br />
med 18 MeV energi har växelverkat.<br />
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 ⋅ 10 3 kg/m 3 .<br />
c) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram. (3p)<br />
d) Detektorn består av ett antal 0,5 mm tjocka wolframplattor. Hut många plattor<br />
behövs för att 80% av de inkomm<strong>and</strong>e fotonerna skall ha växelverkat? (2p)<br />
Lösning: Linjära absorbtionskoefficienten fås ur μ =ln2/L 1/2 där L 1/2 är halvvärdestjockleken.<br />
Ur detta fås tvärsnittet som σ = μ/n där n är antal wolframatomer per<br />
volymsenhet. n = densitet ⋅ N A /molvikt<br />
= 19,3⋅10 3 kg/m 3 ⋅ 6,022⋅10 23 atomer/mol / 0,1834 kg/mol ≈ 6,34⋅10 28 m -3<br />
a) Detta ger σ = ln2/( L 1/2 ⋅ n) = 0,693/(8⋅10 -3 m ⋅ 6,34⋅10 28 m -3 ) ≈ 13,7 ⋅ 10 28 m ≈<br />
14 b<br />
b) Sök x så att e -μx = (1-0,80) = 0,20 ger<br />
x = - (ln0,2/ln2) ⋅ L 1/2 ≈ 1.609/0.693 ⋅ 8 mm ≈ 18,6 mm,<br />
dvs det behövs 37 plattor
4. Krafterna mellan atomerna i en HCl-molekyl kan approximativt representeras av en<br />
fjäder med fjäderkonstanten 516 N/m. Detta innebär att atomerna kommer att utföra<br />
en harmonisk svängningsrörelse i förhåll<strong>and</strong>e till var<strong>and</strong>ra. Beräkna den lägsta och<br />
den näst lägsta energinivån för denna rörelse. (5p)<br />
Lösning:<br />
Schrödingerekvationen för den relativa rörelsen blir<br />
2 2<br />
h d ψ 1 2 2<br />
− + mω<br />
x ψ = Eψ<br />
2<br />
2μ<br />
dx 2<br />
2 k<br />
ω =<br />
μ<br />
Energinivåerna i vibrationsrörelsen ges därför av harmoniska oscillatorlösningen:<br />
E = ( n +<br />
1 ) 2<br />
, n =<br />
n<br />
h ω 0,1,2,...<br />
Numeriskt:<br />
= m1m2<br />
1⋅<br />
35.5<br />
−27<br />
μ = = 1.615×<br />
10<br />
m + m 1+<br />
35.5<br />
u<br />
1<br />
2<br />
k<br />
μ<br />
1<br />
−20<br />
E0 =<br />
2<br />
h = 2.98×<br />
10 J = 186 meV<br />
k<br />
E1 = (1 + E 10<br />
μ<br />
1<br />
−20<br />
2)<br />
h = 3<br />
0<br />
= 8.95×<br />
J = 558 meV<br />
5. Hur mycket förväntas ledningsförmågan i en halvledare med b<strong>and</strong>gapet 1 eV öka om<br />
temperaturen ökar från rumstemperatur, 300K, med 5 K till 305K? (5p)<br />
Lösning:<br />
Ledningförmågan motsvarar antal elektroner i ledningb<strong>and</strong>et vilket ges av<br />
N<br />
exciterade<br />
=<br />
≈ ρ<br />
E<br />
E + 1/ 2E<br />
F<br />
E + 0,5⋅E<br />
F<br />
top<br />
∫<br />
ρ(<br />
E)<br />
⋅<br />
∞<br />
∫<br />
gap<br />
gap<br />
e<br />
f<br />
FD<br />
dE<br />
( E−E<br />
) / k T<br />
F<br />
( E)<br />
⋅ dE ≈<br />
B<br />
≈ ρ ⋅ k<br />
+ 1<br />
B<br />
Te<br />
−E<br />
gap<br />
/ 2k<br />
T<br />
där tillståndstätheten ρ(E) kan antas vara konstant över den del av ledningsb<strong>and</strong>et<br />
där fördelningsfunktionen ger ett inte försumbart bidrag.<br />
Förhåll<strong>and</strong>et blir då:<br />
B
N<br />
N<br />
≈<br />
exciterade<br />
exciterade<br />
305<br />
300<br />
e<br />
e<br />
Svar: Ökningen är 39%<br />
(305K)<br />
≈<br />
(300K)<br />
−1/<br />
2⋅8,6210<br />
⋅<br />
−1/<br />
2⋅8,6210<br />
⋅<br />
−5<br />
−5<br />
⋅305<br />
⋅300<br />
ρ ⋅ k<br />
ρ ⋅ k<br />
≈<br />
B<br />
B<br />
305<br />
300<br />
⋅ 305 ⋅ e<br />
⋅ 300 ⋅ e<br />
e<br />
−E<br />
−E<br />
1/ 2⋅8,6210<br />
⋅<br />
gap<br />
gap<br />
−5<br />
/ 2k<br />
/ 2k<br />
B<br />
B<br />
( 1 −<br />
300<br />
305K<br />
300K<br />
1 )<br />
305<br />
≈<br />
≈ 1,39<br />
6. I atomärt väte finns en uppsplittering i energinivå pga upplinjering mellan protonens<br />
och elektronens spinn. Övergången resulterar i utsändade av radiovåg med 21 cm<br />
våglängd. Övergången är ”förbjuden” vilket gör att den är sällsynt, samt att det<br />
exiterade tillståndet är långlivat med livstid av ungefär 10 5 år. I galaxer finns dock<br />
tillräckligt många vätaatomer för att vågor från denna övergång skall kunna<br />
observeras på jorden.<br />
a) Antag att medellivslängden motsvarar en tidsosäkerhet för tillståndet. Bestäm<br />
osäkerheten i energiskillnaden vid mätning av övergången. (1p).<br />
b) Vilken fotonenergi observeras om vågorna sänds ut från en galax med<br />
hastigheten 0,1c jämfört med jorden? (4p)<br />
Lösning:<br />
a) 10 5 år motsvarar 10 5 ⋅365⋅24⋅3600≈3⋅10 12 s.<br />
Heisenbergs osäkerhetsrelation ger: ΔE Δt<br />
≥ h dvs vi får<br />
2<br />
−16<br />
h 6,582 ⋅10<br />
eVs<br />
−28<br />
ΔE<br />
≥ ≈<br />
≈ 1⋅10<br />
eV<br />
12<br />
2Δt<br />
2 ⋅3⋅10<br />
b) Dopplerskift:<br />
v<br />
1+<br />
λ =<br />
c<br />
obs<br />
λ källa<br />
= 21cm<br />
⋅<br />
v<br />
1−<br />
c<br />
1+<br />
0,1<br />
1−<br />
0,1<br />
hc eV nm<br />
Fotonenergin ges av E<br />
1240 ⋅ 0,9<br />
6<br />
= ≈<br />
≈ 5,34 ⋅10<br />
− eV<br />
λ 0,21m<br />
1,1<br />
(Fotnot: Notera att energiändringen hos fotonerna pga dopplerskiftet<br />
≈5⋅10 -7 eV, är avsevärt mycket större än energiosäkerheten pga tillståndets<br />
livstid)<br />
7. En partikel med massa m rör sig i en endimensionell lådpotential som ges av<br />
⎧∞<br />
x < 0<br />
⎪<br />
V (x) = ⎨0<br />
0 < x < a<br />
⎪<br />
⎩∞<br />
a < x
Vid tiden t = 0 har vågfunktionen formen<br />
2 ⎛ πx<br />
⎞ 4 ⎛ 3πx<br />
⎞<br />
Ψ = sin⎜<br />
⎟ + sin⎜<br />
⎟<br />
3a<br />
⎝ a ⎠ 3a<br />
⎝ a ⎠<br />
Bestäm (a) vågfunktionen och (b) väntevärdet av energin vid en senare tidpunkt t .<br />
Lösning:<br />
(a) Energiegenfunktionerna och energiegenvärdena ges av<br />
2 ⎛ nπx<br />
⎞ −iEnt<br />
/ h<br />
ψ<br />
n<br />
( x,<br />
t)<br />
= sin⎜<br />
⎟e<br />
a ⎝ a ⎠<br />
2 2 2 2<br />
h kn<br />
h ⎛ nπ<br />
⎞<br />
En<br />
= = ⎜ ⎟<br />
2m<br />
2m<br />
⎝ a ⎠<br />
n = 1,2,...<br />
Vågfunktionen vid t = 0 kan därför skrivas:<br />
2 ⎛ πx<br />
⎞ 4 ⎛ 3πx<br />
⎞ 1 2<br />
Ψ ( x,0)<br />
= sin⎜<br />
⎟ + sin⎜<br />
⎟ = ψ<br />
1(<br />
x,0)<br />
+ ψ<br />
3<br />
( x,0)<br />
3a<br />
⎝ a ⎠ 3a<br />
⎝ a ⎠ 3 3<br />
Notera att vågfunktionen är normerad. Vågfunktionen vid t = 0 blir:<br />
1 2<br />
2 ⎛ πx<br />
⎞ −iE / 4 3<br />
1t<br />
h ⎛ πx<br />
⎞<br />
Ψ x,<br />
t)<br />
= ψ<br />
1(<br />
x,<br />
t)<br />
+ ψ<br />
3<br />
( x,<br />
t)<br />
= sin⎜<br />
⎟e<br />
+ sin⎜<br />
⎟e<br />
3 3 3a<br />
⎝ a ⎠ 3a<br />
⎝ a ⎠<br />
E<br />
1<br />
(<br />
3<br />
2 2<br />
h π<br />
=<br />
2<br />
2ma<br />
, E<br />
3<br />
2 2<br />
9h<br />
π<br />
=<br />
2<br />
2ma<br />
−iE<br />
t / h<br />
(b) Eftersom vågfunktionen är normerad blir väntevärdet av energin vid tiden t :<br />
E<br />
=<br />
∫<br />
1 *<br />
= E1<br />
ψ<br />
1ψ<br />
1dx<br />
+ E3<br />
3 14243<br />
∫<br />
= 1<br />
E1<br />
2E3<br />
= +<br />
3 3<br />
*<br />
Ψ HΨdx<br />
=<br />
∫<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
3<br />
E1<br />
2E3<br />
= + E1<br />
3 3<br />
1<br />
ψ<br />
1(<br />
x,<br />
t)<br />
+<br />
3<br />
∫<br />
*<br />
ψ<br />
3ψ<br />
3dx<br />
+ E<br />
14243<br />
= 1<br />
2 ⎞<br />
ψ<br />
3<br />
( x,<br />
t)<br />
⎟<br />
3<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= 0<br />
*<br />
⎛<br />
⎜<br />
E<br />
⎝<br />
1<br />
*<br />
ψ<br />
3ψ<br />
1dx<br />
+ E<br />
14243<br />
1<br />
ψ<br />
1(<br />
x,<br />
t)<br />
+ E<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 h π 2 9h<br />
π 19 h π<br />
= ⋅ + ⋅ = ⋅<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3 2ma<br />
3 2ma<br />
3 2ma<br />
dvs tidsoberoende, vilket är ett exempel på energikonservation.<br />
∫<br />
∫<br />
= 0<br />
3<br />
*<br />
ψ<br />
1ψ<br />
3dx<br />
=<br />
14243<br />
2 ⎞<br />
ψ<br />
3(<br />
x,<br />
t)<br />
⎟dx<br />
=<br />
3<br />
⎠
8. Vätekärnan består av en proton vilken har spinnet ½. Om vi jämför amplituden<br />
med projektionen längs z-axeln får vi att i amplituden finns en faktor √(1/2(3/2)=<br />
(√3)/2, medan projektionen har motsvar<strong>and</strong>e faktor = ½.<br />
För protonen får vi då att μ z =± (1/√3)⋅2,42 μ n .<br />
Energiskillnad: Δ E = 2μ<br />
z<br />
B<br />
−8<br />
ΔE<br />
2μ B 2 ⋅ 2,42 ⋅ 3,152 ⋅10<br />
eV/T ⋅1T<br />
Frekvensen blir då: f = = z<br />
≈<br />
≈ 21,3MHz ⋅<br />
−15<br />
h h 3 ⋅ 4.136 ⋅10<br />
eV ⋅ s