Tentamen ETE115 Ellära och elektronik för F och N, 2009- 06-02 1 2

Tentamen ETE115 Ellära och elektronik för F och N, 2009-
06-02
Till˚atna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori och elektronik. Observera att uppgifterna inte är
ordnade i sv˚arighetsordning. Alla lösningar skall ges tydliga motiveringar.
1
Johan har fyra halvd˚aliga 1.5 V batterier och skall till dessa koppla in en glödlampa som enligt
beskrivning förbrukar 3 W vid 1.5 V spänning. Genom att använda en voltmeter och en resistans
av 5 Ω lyckas Johan mäta upp att samtliga batterier har en inre resistans av 0.75 Ω och
tomg˚angsspänningen 1.5 V.
a) Beskriv hur Johan kan mäta upp den inre resistansen och tomg˚angsspänningen. Rita enkla
kretsscheman. Voltmetern kan representeras av en kvadrat med en plus- och minuspol.
b) Genom att koppla in batterierna p˚a rätt sätt kan Johan f˚a lampan att lysa med full effekt,
dvs s˚a att den förbrukar 3 W. Beskriv hur Johan har kopplat batterierna och lampan och rita ett
kretsschema för kopplingen.
Ledning: Alla siffervärden är valda s˚a att man inte behöver kalkylator för att lösa uppgiften.
2
Omr˚adet mellan inner- och ytterledaren i en koaxialkabel är fyllt med ett material vars konduktivitet
är σ. Koaxialkabelns innerledare har ytterradien a och dess ytterledare har innerradien b.
Kabelns längd L är mycket större än b.
Antag att vi driver en ström I fr˚an innerledaren till ytterledaren.
a) Rita en figur över koaxialkabelns tvärsnitt och rita ut strömtäthetens riktning i n˚agra olika
punkter mellan inner- och ytterledaren.
b) Bestäm strömtätheten J(r) i alla punkter mellan inner- och ytterledare.
c) Bestäm spänningen V (a) − V (b) mellan inner- och ytterledare.
d) Bestäm resistansen R mellan inner- och ytterledaren.
1

3
v(t)
+
-
i(t)
Spänningskällan ger en fyrkantpuls med spänningen
⎧
⎪⎨ 0 t < 0
v(t) = V0 0 ≤ t ≤ T
⎪⎩
0 t > T
där V0 > 0 och pulslängden T är mycket större än RC.
a) Bestäm i(t) för 0 ≤ t ≤ T .
b) Bestäm i(t) för t ≥ T .
C
R
2
C
R

4
a
Zab
b
Z 0
`
Z L
200 Zab
150
100
50
f /
Re
0
0
-50
Im
1 2 3
En last ZL är kopplad till en transmissionsledning med karakteristisk impedans Z0 och längd ℓ. Man
mäter impedansen Zab mellan nodparet ab för att bestämma ZL, Z0, och ℓ. Figuren visar real- och
imaginärdelen av den uppmätta impedansen Zab (enhet Ω) som funktion av v˚agtalet β = 2πf/v
(enhet m −1 ), där f betecknar frekvensen och v fashastigheten i transmissionsledningen.
3
¯/m
-1

a) Bestäm lastens impedans ZL.
b) Bestäm längden ℓ.
c) Bestäm den karakteristisk impedansen Z0.
Motivera resultaten.
Transmissionsledningen kan anses vara förlustfri.
5
Figuren visar en ’common drain’ förstärkare med
en NMOS-transistor. Likspänningskällan VDD och
motst˚anden R1, R2, RS är valda s˚a att transistorn är
i mättnadsomr˚adet. Insignalen vin(t) = Vin cos(ωt) är
vald s˚a att |Vin| ≪ VDD och s˚a att kopplingskapacitansernas
impedanser kan försummas. Tröskelspänningen
Vt ≪ VDD och konstanten K för transistorn är kända.
+ - vin
a) Rita kretsschemat för likspänningen VDD (storsignalschemat).
b) Bestäm ekvationerna för de tv˚a kurvor i {VGS, ID}-planet vars skärningspunkt ger arbetspunkten,
dvs VGSQ och IDQ.
c) Skissa de tv˚a kurvor i {VGS, ID}-planet vars skärningspunkt ger arbetspunkten, dvs VGSQ och
IDQ.
d) Vilken effekt utvecklas i motst˚anden R1, R2, Rs, likspänningskällan och transistorn. Alla resistanser,
spänningen VDD och arbetspunkten (VGSQ, IDQ) antas kända.
6
V 1
+
¡
I
b
a
1
sC
1
-
2
+
R t
-
R1
C
R2
+
G
RS
1 4
sC
R R
Figuren visar en krets med tv˚a operationsförstärkare. Impedansen Zab kan bestämmas med nodanalys
i tre noder.
a) Ange de tre noder där KCL skall användas, motivera?
4
3
5
D
S
R
C
+
RL
vut
-
+
VDD -

) Ange nodanalysekvationerna för de tre noderna.
c) Bestäm impedansen Zab = V1/I.
Noderna är numrerade 1 till 5 med tillhörande nodpotentialer Vn, n = 1, ..., 5. Operationsförstärkarna
kan anses vara ideala och resistansen R och kapacitansen C är kända. Spänningskällan ges av
v1(t) = Re{V1e jωt }.
5

Lösningsförslag
1
a) Johan mäter först upp tomg˚angsspänningarna genom att koppla in voltmetern direkt p˚a ett
batteri i taget. Därefter bestämmer Johan de inre resistanserna. Detta gör han genom att koppla
in 5 Ω motst˚andet till vardera batteri och mäta spänningen över motst˚andet. Spänningsdelning ger
Därmed ges den inre resistansen av
Vuppmätt =
5
1.5 V
Ri + 5
� �
1.5
Ri = 5
− 1
Vuppmätt
b) Glödlampan ger 3 W vid 1.5 V spänning. Det gäller allts˚a att f˚a 1.5 V över lampan. Lampan
ger effekten P = 3 W vid 1.5 V vilket ger lampans resistans
Man kan d˚a koppla enligt figuren.
R i
1.5V
R i
1.5V
Rlampa =
+
-
+
-
2Ri
3V
+
-
Ri
3V
R i
1.5V
R i
1.5V
2Ri
3V
+
-
+
-
V 2
P
+
-
+
-
= 1.52
3
Rlampa
Rlampa
Rlampa
= 0.75 Ω
Eftersom Ri = Rlampa f˚ar vi spänningen 1.5 V över glödlampan och därmed förbrukar den 3 W.
6

2
a) Strömtätheten är riktad radiellt ut fr˚an symmetriaxeln.
b) J(rc) = I
2πrcL ˆrc där ˆrc är enhetsvektorn som pekar i radiell led.
c) Det elektriska fältet ges av E(rc) = σ −1 J(rc) =
Spänningen ges av
d) R =
3
V (b) − V (a)
I
� b
V (a) − V (b) =
= 1
2πσL ln(b/a)
a
I
2πσrcL ˆrc.
E(rc) · ˆrc drc = I
2πσL ln(b/a)
a) För 0 < t < T är dioden framspänd och kan ersättas med en kortslutning. Kretsen blir d˚a
en vanlig RC-krets som laddas upp av en spänning V0. Detta ger spänningen över den undre
kondensatorn
� �
−t/τ
vc(t) = V0 1 − e , 0 < t < T
där τ = RC. Strömmen ges av
i(t) = C dvc(t)
dt
= V0
R e−t/τ , 0 < t < T
b) Vi antar nu att T ≫ τ. Det gör att den undre kondensatorn är uppladdad till spänningen V0
vid tiden t = T . För t > T är dioden backspänd och vi f˚ar den övre kretsen i figuren. Man kan
bestämma strömmen med Laplacetransformering eller direkt i tidsplanet. Inför först tiden ˜t = t−T
och bestäm vc(t) för ˜t > 0.
Lösning med Laplacetransformering
Eftersom vc = V0 för ˜t = 0 kan vi ersätta den under kondensatorn med en kondensator i serie med
en spänningskälla vilket leder till den undre kretsen i figuren.
7

Ur denna f˚ar vi strömmen
i(t)
I(s)
C
R
+ -
v
c
(t)
R
1
sC
- +
V0
s
V0
V0C
I(s) = −
= −
s(2R + 2/(sC)) 2(1 + sCR)
Motsvarande tidsberoende ström är (se formelsamling)
där τ = RC. Detta ger
Om ˜t ersätts med t − T f˚as
Lösning i tidsplanet
C
R
1
sC
i(t) = − V0
2R e−˜t/τ , 0 < t < T
i(t) = − V0
2R e−˜t/τ
i(t) = − V0
2R e−(t−T )/RC , t > T
För t > T kan vi seriekoppla de b˚ada motst˚anden till en resistans 2R och de b˚ada kondensatorerna
till en kapacitansen C/2. Begynnelsvillkoret vid t = T är att kapacitansen C/2 är uppladdad till
spänningen −V0, se figur (man inser detta om man använder Theveninekvivalenten för kondensatorerna.)
Standardmetoden för att behandla urladdning av kondensatorer ger att spänningen över
kapacitansen C/2 blir
Strömmen ges av
−(t−T )/RC
vc(t) = −V0e
i(t) = − C dvc(t) V0
= −
2 dt 2R e−(t−T )/RC , t > T
8
R

4
Impedansen ges av
a) För β = 0 f˚ar vi Zab = ZL = 50 Ω.
ZL cos(βℓ) + jZ0 sin(βℓ)
Zab = Zin = Z0
Z0 cos(βℓ) + jZL sin(βℓ)
b) Zab är periodisk, dvs Zab(β) = Zab(β + 1 m −1 ). Enligt impedanstransformeringen är därmed
2ℓ = 2π m, och ℓ = π m.
c) Det enklaste är att använda kvartv˚agstransformatorn (2βℓ = π eller β = 0.5 m −1 ) där 200 Ω =
Zab = Z 2 0/ZL som ger Z0 = 100 Ω.
5
R
R
1
2
0
I 1
G
+
VGS -
D
S
I D
R
a) Kretsschemat visas i figuren.
S
I DD
+
VDD -
20
G
S
V
R
10
I DQ
I [mA]
D
0
GS
0 2 4 V 5
G [V]
b) Arbetspunkten, Q, för transistorn kan bestämmas med belastningslinjen. KVL längs slingan i
figuren ger
VG − VGS − IDRS = 0
där
R2
VG = VDD
R1 + R2
är potentialen i G. Sambandet i mättnadsomr˚adet är
ID = K(VGS − Vt) 2
Lösningen av ekvationssystemet ger arbetspunkten IDQ, VGSQ.
c) Se figur.
Vt
Q
V GSQ
d) Strömmen genom R1ochR2 är I1 = VDD/(R1 + R2) vilket ger effektutvecklingen
p1 = R1I 2 V
1 = R1
2 DD
(R1 + R2) 2 och p2 = R2I 2 1 = R2
Strömmen genom Rs är IDQ vilket ger
ps = RsI 2 DQ
9
V 2 DD
(R1 + R2) 2
V
(1)

Strömmen genom spänningskällan ges av IDD = −I1 − IDQ som ger
pDD = VDDIDD = − V 2 DD
− VDDIDQ
R1 + R2
Slutligen genom energikonservering (eller eftersom IG = 0)
pNMOS = VDSQIDQ
Observera att transistorn förbrukar energi pNMOS > 0.
6
De ideala operationsförstärkarna ger först att V1 = V3 = V5.
a) Nodanalys i noderna 1, 3, 5. Noderna 2 och 4 m˚aste undvikas eftersom vi inte vet strömmarna
som g˚ar ut fr˚an operationsförstärkarna. Anledningen till att de inte behövs är att de ersätts
med villkoren att spänningen över ing˚angen p˚a vardera OP är noll och att strömmen in i
de inverterande och icke-inverterande ing˚angarna är noll.
b) nod 1.
nod 3
nod 5
−I + V1 − V2
1/sC
V1 − V2
R
+ V1 − V4
1/sC
= 0
= 0
V1 − 0
R + V1 − V4
= 0
R
c) Lös ekvationssystemet ovan. Nod 5 ger V4 = 2V1. Detta sätts in i nod 3
och slutligen i nod 1
som ger impedansen
(1 + sRC)V1 − V2 − sRCV4 = (1 − sRC)V1 − V2 = 0
I = sC(V1 − V2) = s 2 RC 2 V1
Zab = V1/I =
10
1
s 2 RC 2