Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs F
Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs F
Tentamen i SG1113 Mekanik, fortsättningskurskurs F
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Institutionen för <strong>Mekanik</strong><br />
Nicholas Apazidis<br />
tel: 790 7148<br />
epost: nap@mech.kth.se<br />
hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/<br />
F-fk-090602<br />
<strong>Tentamen</strong> i <strong>SG1113</strong> <strong>Mekanik</strong>, <strong>fortsättningskurskurs</strong> F<br />
Varje uppgift ger högst 3 poäng. Hjälpmedel: papper & penna, linjal.<br />
Skrivtid: 4h. OBS! Uppgifterna 1- 8 skall inlämnas på separata papper.<br />
Lycka till!<br />
Problemdelen<br />
1)<br />
2)<br />
ey<br />
ez<br />
ex<br />
B<br />
b<br />
O<br />
l<br />
45 o<br />
l<br />
ω<br />
l<br />
v<br />
C<br />
A<br />
Armen OA med längden b roterar med en konstant<br />
vinkelhastighet ω<br />
0<br />
kring den fixa änden O. Den<br />
andra änden A, är länkad till en hävstång AB med<br />
längden l. Änden B av hävstången driver en kolv<br />
som kan glida i en horisontell cylinder. Bestäm<br />
kolvens acceleration a B<br />
i ögonblicket då OA är<br />
horisontell och AB bildar vinkeln 45° med horisontalen.<br />
En kvadratisk ram tillverkad av fyra homogena<br />
stänger vardera med längden l glider på ett glatt<br />
horisontellt underlag. Ramen roterar med vinkelhastigheten<br />
ω . Bestäm hastigheten v av ramens<br />
mittpunkt C så att ramens translationsenergi blir<br />
lika med dess rotationsenergi.<br />
3)<br />
4)<br />
R<br />
x x 1 2<br />
B<br />
x<br />
P<br />
En homogen cirkulär cylinder med radien R och<br />
massan m kan rulla på en vagn med lika massa.<br />
Vagnen i sin tur rullar fritt på en horisontell yta.<br />
Ett rep som är lindat kring cylinderna påverkas av<br />
en konstant horisontell kraft P som gör att systemet<br />
kommer i rörelse. Förutsatt att cylindern rullar utan<br />
att slira på vagnen bestäm accelerationerna av cylinderns<br />
och vagnens masscentra, x&&<br />
1<br />
resp x&&<br />
2<br />
.<br />
k k En homogen stång AB med massan m och längden l<br />
kan röra sig friktionsfritt i ett vertikalplan enligt<br />
figuren. Änden A av stången är fäst i en två lätta<br />
<br />
fjädrar vardera med fjäderkonstanten k. Fjädrarna<br />
är ospända då stången är vertikal. Uppställ rörelseekvationen<br />
för stången, linearisera denna samt be-<br />
l<br />
stäm perioden τ för små svängningar kring jämviktsläget.<br />
V.g. vänd!
Teorihälften<br />
5) a. Härled uttrycket för tidsderivatan av enhetsvektorn e&<br />
x'<br />
av det rörliga koordinatsystemet.<br />
(1p)<br />
b.<br />
z´ <br />
R<br />
<br />
x´ y´<br />
Flygplanet med massan m i figuren flyger längs sydnord<br />
meridianen i rakt nordlig riktning med en konstant<br />
fart (hastighetsbelopp) v relativt jorden.<br />
Bestäm till belopp och riktning och som funktion av<br />
latitudvinkeln θ tröghetskrafterna F sp<br />
och F cor<br />
som<br />
verkar på flygplanet i det jordfixa koordinatsystemet<br />
angivna i figuren. Jordens radie R och vinkelhastighet<br />
ω anses vara givna. Bestäm vidare varje tröghetskrafts<br />
största och minsta belopp samt motsvarande<br />
värden på latitudvinkeln.<br />
(2p)<br />
6) a.<br />
y<br />
z<br />
G<br />
R<br />
x<br />
Betrakta cirkelskivan med massan m och radien R och bestäm<br />
I<br />
z<br />
, I<br />
x<br />
samt I<br />
y<br />
för det valda koordinatsystemet.<br />
(1p)<br />
b. Betrakta ett partikelsystem och härled uttrycket för kinetiska energins T två delar. (1p)<br />
c.<br />
l<br />
En horisontell arm OC med längden L roterar<br />
A<br />
G<br />
ω B med vinkelhastigheten ω<br />
0<br />
1<br />
kring en vertikal axel<br />
C<br />
O<br />
L<br />
genom O. Stången AB med massan m och längden<br />
l roterar i sin tur med en absolut (relativt det fixa<br />
ω1<br />
rummet) vinkelhastighet ω0<br />
kring en vertikal axel<br />
CG genom stångens masscentrum G. Bestäm<br />
stången AB:s kinetiska energi T.<br />
(1p)<br />
7) a. Utgå från momentekvationen med avseende på ett partikelsystems masscentrum G och härled<br />
momentekvationen på formen i vilken rörelsemängdsmomentet beräknas med avseende på G<br />
och kraftmomentet med avseende på en godtycklig punkt A.<br />
(1p)<br />
b. Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt O och härled uttrycket för kroppens rörelsemängdsmoment<br />
med avseende på den fixa punkten L<br />
O<br />
.<br />
(1p)<br />
c. Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt, inför ett kroppsfixt huvudaxelsystem,<br />
Oxyz och härled x-, y- och z – komponenterna av Eulers dynamiska ekvationer<br />
(1p)<br />
8) a. Definiera vad menas med variationen δq() t av en generaliserad koordinat q(). t (1p)<br />
b. Formulera Hamiltons variationsprincip. (1p)<br />
c. Härled Lagranges ekvationer från Hamiltons variationsprincip. (1p)