Tidsdiskreta LTI system - KTH

LINJÄRA DIFFERENSEKVATIONER
Många tidsdiskreta LTI-systemy[n] = h[n]∗x[n] kan beskrivas av en
differensekvation på formen
y[n]+a 1 y[n−1]+a 2 y[n−2]+···+a N y[n−N] =
b 0 x[n]+b 1 x[n−1]+b 2 x[n−2]+···++b M x[n−M]
Motsvarande överföringsfunktionH(z) = Z{h[n]} kan då skrivas
H II (z) = B(z)
A(z) = b 0 +b 1 z −1 +···+b M z −M
1+a 1 z −1 +···+a N z −N
kallas rationell överföringsfunktion.
◦ Nollställen tillH II (z): rötterna tillB(z) = 0
× Poler tillH II (z): rötterna tillA(z) = 0
Signaler & System II 1 Föreläsning 11
KAUSALITET
• Ett LTI-system är kausalt
⇐⇒
h[n] = 0, för allan < 0
⇐⇒
Konvergensområdet (ROC:n) har formen|z| >konstant.
• Ett LTI-system med rationell överföringsfunktion och polerp 1 ,p 2 , . . . ,p N är
kausalt om och endast om konvergensområdet är
|z| > max|p k |
k
inklusive “z = ∞”, dvsgrad{B(z)} ≤ grad{A(z)} måste gälla.
Signaler & System II 2 Föreläsning 11

STABILITET
• LTI-system är BIBO-stabila om och endast om enhetscirkeln ingår i
konvergensområdet =⇒ frekvensfunktionen H(ν) = F{h[n]} är
väldefinierad.
• Kausala LTI-system med rationell överföringsfunktion är BIBO-stabila om och
endast om alla poler ligger innanför enhetscirkeln.
Signaler & System II 3 Föreläsning 11
FIR↔IIR
FIR (Finite impulse response). Ett system sägs ha ändligt impulssvar (FIR) om
h[n] ≠ 0 för bara ändligt antaln.
IIR (Infinite impulse response). Ett system sägs ha oändligt impulssvar (IIR) om
h[n] ≠ 0 för oändligt mångan.
• Ett LTI-system med rationell överföringsfunktion, där alla poler ligger i origo är
FIR.
• Alla FIR-system är BIBO-stabila.
Signaler & System II 4 Föreläsning 11