Nyckelbegrepp och metoder - KTH
Nyckelbegrepp och metoder - KTH
Nyckelbegrepp och metoder - KTH
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Ingenjörsmetodik IT & ME<br />
2011<br />
Repetion<br />
• F14 torsdag 13 okt, repetition av<br />
nyckelbegrepp <strong>och</strong> <strong>metoder</strong> i kursen<br />
inför tentamen<br />
• Ö7 torsdag 13 okt, fokus på gamla<br />
tentor<br />
1
Frågor från förra gången<br />
• Inlämingstiden för MATLAB delens<br />
rapport bestämd till tisdagen 18/10,<br />
kl 23.59 (svensk tid)<br />
• Tillåtna hjälpmedel på tentamen<br />
• ?<br />
Hjälpmedel vid tentamen är boken ’Ingenjörens verktyg’ av Grimvall, samt<br />
boken<br />
Introduction to Matlab (Pocket) av Etter, Dolores 2010 (ISBN 0136081231)<br />
, linjal <strong>och</strong> miniräknare. OBS! Ni måste ha med er egna hjälpmedel! Ni får<br />
ej låna böcker, kompendier eller miniräknare av varandra på tentamen!<br />
2
Kursplanens mål<br />
• Efter kursen ska studenten kunna redogöra<br />
för tekniska modeller med varierande<br />
komplexitet, från uppskattningar till<br />
datorbaserade algoritmer <strong>och</strong> effektivt<br />
kunna använda dessa modeller i sin<br />
ingenjörsroll.<br />
• Studenten ska kunna härleda eller ställa<br />
upp en modell från en problemtext genom<br />
att t.ex. använda dimensionsanalys av<br />
ingående parametrar.<br />
4
Kursplanens mål<br />
• Studenten ska kunna analysera kvaliteten<br />
på ett modelleringsresultat med avseende<br />
på osäkerheten i sina antaganden <strong>och</strong> i<br />
modellparametrarna.<br />
• Studenten ska kunna använda<br />
grundläggande statistiska begrepp <strong>och</strong><br />
<strong>metoder</strong> som standardavvikelse <strong>och</strong><br />
felfortplantning för analys av mätresultat.<br />
• Studenten ska kunna presentera sina<br />
modellresultat på ett strukturerat sätt, med<br />
tyngdpunkt på tydliga figurer <strong>och</strong> kurvor<br />
<strong>och</strong> enligt en given mall för en teknisk<br />
rapport.<br />
5
Mål<br />
• I kursplanen finns 5 mål redovisade<br />
• Kan examineras på många olika sätt men<br />
huvudsakligen skriftligt<br />
• Rapport, Tenta<br />
• Även vissa muntliga redovisningar vid<br />
labbar<br />
6
Mål<br />
• Målrelaterade betyg<br />
• 7-gradig betygsskala (A, B, C, D, E)<br />
godkänt (Fx, F) underkänt<br />
• Betyget sätts på tentamen<br />
• Labmomenten använder bara<br />
godkänd/underkänd.<br />
7
Krav<br />
• Tentamen onsdag 19 oktober eller<br />
vid omtentamen 2012-02-11 14-19<br />
• Godkända labbar <strong>och</strong> skriftliga<br />
uppgifter, först då registreras<br />
slutbetyget i LADOK.<br />
• Brister i labbar <strong>och</strong> skriftliga<br />
uppgifter kompletteras ’omedelbart<br />
efter rättning’.<br />
8
Diskussionuppgift på <strong>KTH</strong><br />
Social<br />
• Skicka in rimliga svar på mer än 50% av de<br />
diskussioner som jag lägger ut.<br />
• Som rimligt svar räknas även en utförlig<br />
kommentar på en annan students uppgift.<br />
• Detta ger ca 5% bonus på tentan eller<br />
möjlighet till högre betygssteg exvis C istf<br />
B.<br />
• Jag sammanställer genom att söka igenom<br />
alla inlägg efter sista föreläsningen.<br />
9
funka@kth.se<br />
• http://www.kth.se/student/studentliv<br />
/funktionsnedsattning<br />
10
Ingenjörsmetodik IT & ME 2011<br />
Föreläsning 2<br />
• Enheter i SI-systemet Kap 1<br />
– Storhet /mätetal/enhet/symbol<br />
– Grundläggande enheter 7 st<br />
– Härledda enheter (många)<br />
– Andra enhetssystem<br />
• Dimensionsanalys Kap 6<br />
– Symboler<br />
– Kontroll/härledning av dimensionsenliga uttryck<br />
11
Mätetal <strong>och</strong> enheter 1.1<br />
12
7 st grundenheter<br />
Namn Beteckni Vad mäter man?<br />
ng<br />
Meter m Längd<br />
Kilogram kg Massa<br />
Sekund s Tid<br />
Ampere A Elektrisk ström<br />
Kelvin K Termodynamisk temperatur<br />
mol mol Substansmängd<br />
candela cd Ljusstyrka<br />
14
Definitioner<br />
Storhet Enhet Beteckning Definition<br />
Längd Meter m En meter är längden av det avstånd som ljus färdas i<br />
vakuum under ett tidsintervall av 1/299792458 sekund.<br />
Massa Kilogram kg Ett kilogram är massan för den internationella<br />
kilogramprototypen.<br />
Tid Sekund s En sekund är tidsvaraktigheten av 9192631770 perioder<br />
av den strålning som motsvarar den fysikaliska<br />
övergången mellan de två hyperfina nivåerna av cesium<br />
133 atomens grundnivå.<br />
Elektrisk<br />
ström<br />
Termodynamisk<br />
temperatur<br />
Substansmängd<br />
ampere A En ampere är den elektriska ström som fås när kraften<br />
mellan två oändligt långa parallela ledningar i vakuum<br />
som separeras 1 meter <strong>och</strong> som har ett försumbart<br />
tvärsnitt, blir 2⋅10 -7 newton per meterlängd.<br />
kelvin K Kelvin som är enheten för den termodynamiska<br />
temperaturen är 1/273.15-del av den termodynamiska<br />
temperaturen av trippelpunkten för vatten.<br />
mol mol 6.023⋅10 23 molekyler<br />
Ljusstyrka candela cd En candela är ljusstyrkan, i en given riktning, av en<br />
ljuskälla som emitterar monokromatisk strålning vid<br />
frekvensen 540 × 10 12 hertz samt en strålningsstyrka i<br />
den riktningen av 1/683 watt per steradian.<br />
15
Härledda enheter<br />
Enhet Symbol Definition I grundenheterna Vad som mäts<br />
radian rad 1 rad=1 m/m=1 m·m -1 Planvinkel<br />
steradian sr 1 sr=1 m 2 /m 2 =1 m 2·m -2 Rymdvinkel<br />
hertz Hz 1 Hz=1 s -1 1 Hz=1 s -1 Frekvens<br />
newton N 1 N=1 kg·m/s 2 1 N=1 m·kg·s -2 Kraft<br />
joule J 1 J=1 N·m 1 J=1 m 2·kg·s -2 Energi<br />
watt W 1 W=1 J/s 1 W=1 m 2·kg·s -3 Effekt<br />
pascal Pa 1 Pa=1 N/m 2 1 Pa=1 m -1·kg·s -2 Tryck<br />
volt V 1 V=1 W/A 1 V=1 m 2·kg·s -3·A -1 Elektrisk spänning<br />
coulomb C 1 C=1 As 1 C=1 s·A Elektrisk laddning<br />
ohm Ω 1 Ω=1 V/A 1 Ω=1 m 2·kg·s -3·A -2 Resistans<br />
farad F 1 F=1 C/V 1 F=1 m -2·kg -1·s 4·A 2 Kapacitans<br />
henry H 1 H=1 Ωs 1 H=1 m 2·kg·s -2·A 2 Induktans<br />
siemens S 1 S=1 A/V=1 Ω -1 1 S=1 m -2 kg -1 s 3 A 2 Elektrisk konduktans<br />
weber Wb 1 Wb=1 Vs 1 Wb=1 m 2·kg·s -2·A -1 Magnetisk flöde<br />
tesla T 1 T=1 Wb/m 2 1 T=1 kg·s -2·A -1 Magnetisk flödestäthet<br />
grader Celsius o<br />
C 1 o C=1 K 1 o C=1 K TemperaturCelsius<br />
lumen lm 1 lm=1 cdsr 1 lm=1 m 2·m -2·cd Ljusflöde<br />
lux lx 1 lx=1 lm/m 2 1 lx=1 m 2·m -4·cd Luminans<br />
katal kat 1 kat=1 mol/s 1 kat=1 s -1·mol Katalytisk aktivitet<br />
becquerel Bq 1 Bq=1 s -1 1 Bq=1 s -1 Radioaktivitet<br />
gray Gy 1 Gy=1 J/kg 1 Gy=1 m 2·s -2 Absorberad dos av joniserad<br />
strålning<br />
sievert Sv 1 Sv=1 J/kg 1 Sv=1 m 2·s -2 Dosekvivalent<br />
17
Exempel härledda enheter<br />
newton N Kraft<br />
Newtons 2:a lag<br />
1 N=1<br />
kg·m/s 2<br />
1 N=1<br />
m·kg·s -2<br />
joule J Energi<br />
Arbetet x vägen<br />
1 J=1 N·m 1 J=1<br />
m2·kg·s-2<br />
watt W Effekt<br />
Energi / tid<br />
1 W=1 J/s 1 W=1<br />
m2·kg·s-3<br />
pascal Pa Tryck<br />
Kraft / yta<br />
1 Pa=1<br />
N/m 2<br />
1 Pa=1 m -<br />
1·kg·s -2<br />
18
Enheter i andra system<br />
• Främst i USA, Storbritanien<br />
• Skillnaden är bl.a. att längden mäts i något<br />
annat än meter<br />
• Även andra viktmått<br />
• I fysiken finns cgs-systemet<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Cgs<br />
• I högenergifysik sätts ljushastigheten till 1<br />
(enhetslöst)<br />
http://www2.slac.stanford.edu/vvc/theory/<br />
relativity.html<br />
19
Användning av<br />
dimensionsanalys<br />
1. Kontroll av formler<br />
2. Härledning av formler<br />
20
Samband enheter &<br />
dimensioner<br />
Namn Symbol Symbol i<br />
dimensionsanalys<br />
Meter m L<br />
Kilogram kg<br />
M<br />
Sekund s T<br />
Ampere A I<br />
kelvin K Θ<br />
mol mol N<br />
candela cd J<br />
21
Dimension exempel<br />
dim(fart) = LT -1<br />
dim(laddning) = IT<br />
dim(rörelseenergi) = ML 2 T -2<br />
22
Viktiga regler<br />
• Termer som adderas eller<br />
subtraheras måste ha samma<br />
dimension<br />
• Argumentet i exponentialfunktioner,<br />
logaritmfunktioner <strong>och</strong><br />
trigonometriska funktioner måste ha<br />
dimensionen 1 (vara dimensionslöst)<br />
• Derivator, integraler <strong>och</strong><br />
differentialekvationer ingår också i<br />
dimensionsanalysen<br />
23
Dimensionsanalys<br />
• Varje term i en summa måste ha samma dimension<br />
• Dimensioner för faktorer i en produkt multipliceras<br />
• Vänsterledet <strong>och</strong> högerledet måste stämma överens<br />
s = s + vt +<br />
0<br />
at<br />
2<br />
2<br />
VL: dim(s)=L<br />
HL: dim(s 0 )=L<br />
HL: dim(vt)=(LT -1 )T=L<br />
HL: dim(at 2 /2)=(LT -2 )(T 2 )/(1)=L<br />
24
Dimensionsanalys<br />
• För derivator gäller att:<br />
df(x)/dx <strong>och</strong> f(x)/x<br />
har samma dimension<br />
• Exvis är dimensionen för hastighet =<br />
sträckan/tiden<br />
dim[v]=dim[ds/dt]=dim[s]/dim[t]=<br />
=L/T med symboler<br />
25
Vad är (teknisk) uppskattning?<br />
• ’Educated guess’<br />
• Någon form av information behövs<br />
• Alternativt jämför med något man<br />
redan känner till för att ’slippa lösa<br />
problemet’<br />
• Svara med ’storleksordning’,<br />
vanligtvis en tio-potens eller 2 x<br />
• Eller bestäm annan acceptabel<br />
noggrannhet i förväg<br />
Kap.<br />
2<br />
26
Uppskattningar<br />
1. Identifiera huvudbidragsgivaren<br />
2. Göra grova förenklingar<br />
3. Formulera de viktiga sambanden<br />
4. Utför snabba beräkningar<br />
5. Dra slutsatser <strong>och</strong> resonera kring<br />
resultat, rimligt eller ej<br />
En stegvis process, som styrs<br />
av resurser (tid, manpower)<br />
<strong>och</strong> tänkt<br />
användningsområde<br />
27
Typer av uppskattningar<br />
1. Storleksordning<br />
2. Skalning från kända fakta/värden<br />
3. Produkt av uppskattade värden<br />
4. Olikheter<br />
5. Summor av bidrag (med olika<br />
storleksordning)<br />
6. Egocentriska resonemang<br />
7. Ekonomi<br />
8. Vardagskunskap<br />
28
1. Storleksordning<br />
• Bokens avsnitt 2.2 inför begreppen<br />
typiskt värde eller karakteristiskt<br />
värde<br />
• Kan liknas t.ex. vid medelvärdet<br />
medan storleksordningen lite grovt<br />
kan sägas vara ’tio’-potensen<br />
• Prefixen bokens 2.3 kan användas<br />
som storleksindikator<br />
• exempel som nanovetenskap eller<br />
mikroelektronik<br />
29
1. Storleksordning<br />
• Bokens avsnitt 2.4 beskriver hur<br />
man kan göra en jämförelse med<br />
en viss faktor<br />
• ”elektronens <strong>och</strong> protonens massa<br />
skiljer sig åt med en faktor av<br />
storleksordning 2000”<br />
30
2. Skalning från kända<br />
fakta/värden<br />
• Exempel: Hur många barn föds varje<br />
sekund på jorden<br />
• Svar: Totala befolkningen är 6 miljarder<br />
(6x10 9 ), livslängden kanske 60 år.<br />
• Minst 6x10 9 /60 föds per år<br />
• 6x10 9 /60/365/24/3600 ≈ 3 per s<br />
• Behöver göra en oberoende<br />
uppskattning för att undersöka<br />
rimligheten<br />
• Kan i detta fall göras utifrån den kända<br />
befolkningsökningen på 1,2 % per år.<br />
31
3. Produkt av uppskattade<br />
värden<br />
• Bokens exempel: Finns det intelligent liv i<br />
universum?<br />
• Green Bank/Drake ekvationen – ALLA<br />
ingående värden är uppskattade = okända!<br />
32
3. Produkt av uppskattade<br />
värden<br />
• Men om några värden är bättre kända än<br />
övriga ska de inte avrundas för tidigt i<br />
uträkningen.<br />
33
4. Olikheter<br />
• Bokens exempel: Kan man täcka jorden<br />
med papper?<br />
• Tar ett känt värde för jordens landarea <strong>och</strong><br />
faktoriserar detta<br />
4 2 9<br />
1,5<br />
⋅10<br />
m = 10 ⋅400⋅75⋅<br />
(<br />
2<br />
5m )<br />
’individer x dagar x tid x personlig åtgång’<br />
• Måste nu jämföra detta med något konkret<br />
exempelvis en tidning med lämpligt antal<br />
sidor.<br />
34
5. Summor av bidrag (med<br />
olika storleksordning)<br />
• Vad är den totala mängden vatten på jorden?<br />
Ursprung Volym (1000 km 3 )<br />
Gammalt kompend.<br />
Grimvall<br />
Hav 1 370 000 1 300 000<br />
Grundvatten 60 000 10 000<br />
Polarisen 24 000 24 000<br />
Sjöar 280 90<br />
Floder 1 2<br />
Atmosfären 14 13<br />
Summa 1.4x10 6 1.3x10 6<br />
35
5. Summor av bidrag (med<br />
olika storleksordning)<br />
• Här har vi tillgång till två olika men inte<br />
helt oberoende faktakällor<br />
• Hur påverkar det resultatet?<br />
• Svar: mycket litet, varierar i andra siffran<br />
ett bidrag dominerar<br />
36
6. Egocentriska resonemang<br />
• Egocentriska resonemang<br />
• Var är den genomsnittliga<br />
pendlingstiden för en Kista-student?<br />
• Vad kostar samtlig kurslitteratur<br />
under dina 5 år på <strong>KTH</strong>?<br />
37
Läsanvisningar till kap 4, 5, 7<br />
• Kapitel 4 – Att sätta ett mått<br />
• Kapitel 5 – Räkneregler<br />
• Kapitel 7 – Approximationer <strong>och</strong><br />
korrektioner<br />
4 Hela Som exempel, speciellt angående<br />
riskanalys<br />
6, 7, 8<br />
5 Delar 5.4 <strong>och</strong> 5.5 4, 5, 6, 7<br />
7 Delar 7.1 – 7.3 1<br />
39
4.1 Normering<br />
• Används för meningsfull jämförelse<br />
av data (priser, befolkning, trafik<br />
m.m.)<br />
• koppling till mer tekniskt innehåll i<br />
denna kurs<br />
• Titta på exemplet hållbar utveckling<br />
• http://en.wikipedia.org/wiki/Kyoto_P<br />
rotocol<br />
40
Civilingenjörsexamen<br />
• Civilingenjörsexamen Omfattning Civilingenjörsexamen uppnås efter att studenten fullgjort<br />
kursfordringar om 300 högskolepoäng.<br />
• Mål För civilingenjörsexamen skall studenten visa sådan kunskap <strong>och</strong> förmåga som krävs för att<br />
självständigt arbeta som civilingenjör.<br />
• Kunskap <strong>och</strong> förståelse För civilingenjörsexamen skall studenten - visa kunskap om det valda<br />
teknikområdets vetenskapliga grund <strong>och</strong> beprövade erfarenhet samt insikt i aktuellt forsknings- <strong>och</strong><br />
utvecklingsarbete, <strong>och</strong> - visa såväl brett kunnande inom det valda teknikområdet, inbegripet kunskaper<br />
i matematik <strong>och</strong> naturvetenskap, som väsentligt fördjupade kunskaper inom vissa delar av området.<br />
• Färdighet <strong>och</strong> förmåga För civilingenjörsexamen skall studenten - visa förmåga att med helhetssyn<br />
kritiskt, självständigt <strong>och</strong> kreativt identifiera, formulera <strong>och</strong> hantera komplexa frågeställningar samt att<br />
delta i forsknings- <strong>och</strong> utvecklingsarbete <strong>och</strong> därigenom bidra till kunskapsutvecklingen, - visa förmåga<br />
att skapa, analysera <strong>och</strong> kritiskt utvärdera olika tekniska lösningar, - visa förmåga att planera <strong>och</strong> med<br />
adekvata <strong>metoder</strong> genomföra kvalificerade uppgifter inom givna ramar, - visa förmåga att kritiskt <strong>och</strong><br />
systematiskt integrera kunskap samt visa förmåga att modellera, simulera, förutsäga <strong>och</strong> utvärdera<br />
skeenden även med begränsad information, - visa förmåga att utveckla <strong>och</strong> utforma produkter,<br />
processer <strong>och</strong> system med hänsyn till människors förutsättningar <strong>och</strong> behov <strong>och</strong> samhällets mål för<br />
ekonomiskt, socialt <strong>och</strong> ekologiskt hållbar utveckling, - visa förmåga till lagarbete <strong>och</strong> samverkan i<br />
grupper med olika sammansättning, <strong>och</strong> - visa förmåga att i såväl nationella som internationella<br />
sammanhang muntligt <strong>och</strong> skriftligt i dialog med olika grupper klart redogöra för <strong>och</strong> diskutera sina<br />
slutsatser <strong>och</strong> den kunskap <strong>och</strong> de argument som ligger till grund för dessa.<br />
• Värderingsförmåga <strong>och</strong> förhållningssätt För civilingenjörsexamen skall studenten - visa förmåga att göra<br />
bedömningar med hänsyn till relevanta vetenskapliga, samhälleliga <strong>och</strong> etiska aspekter samt visa<br />
medvetenhet om etiska aspekter på forsknings- <strong>och</strong> utvecklingsarbete, - visa insikt i teknikens<br />
möjligheter <strong>och</strong> begränsningar, dess roll i samhället <strong>och</strong> människors ansvar för hur den används,<br />
inbegripet sociala <strong>och</strong> ekonomiska aspekter samt miljö- <strong>och</strong> arbetsmiljöaspekter, <strong>och</strong> - visa förmåga att<br />
identifiera sitt behov av ytterligare kunskap <strong>och</strong> att fortlöpande utveckla sin kompetens.<br />
• Självständigt arbete (examensarbete) För civilingenjörsexamen skall studenten inom ramen för<br />
kursfordringarna ha fullgjort ett självständigt arbete (examensarbete) om minst 30 högskolepoäng.<br />
• Övrigt För civilingenjörsexamen skall också de preciserade krav gälla som varje högskola själv<br />
bestämmer inom ramen för kraven i denna examensbeskrivning.<br />
41
Normering<br />
• Under the Protocol, 37 countries ("Annex I<br />
countries") commit themselves to a reduction<br />
of four greenhouse gases (GHG) (carbon<br />
dioxide, methane, nitrous oxide, sulphur<br />
hexafluoride) and two groups of gases<br />
(hydrofluorocarbons and perfluorocarbons)<br />
produced by them, and all member countries<br />
give general commitments. Annex I countries<br />
agreed to reduce their collective greenhouse<br />
gas emissions by 5.2% from the 1990 level.<br />
42
Gränsvärden<br />
• Exvis högsta tillåtna exponering<br />
• Utsläppsvolymer jfr Kyoto-exemplet<br />
• Dos-responssamband av två typer<br />
Tröskeldos<br />
Stokastiska skador<br />
43
Peer-instruction: Dos-responssamband<br />
• Vad skulle detta kunna motsvara i<br />
verkligheten?<br />
• Försök hitta andra exempel än<br />
bokens? Jobba gruppvis 2 eller 3<br />
44
Onormala händelser<br />
• Kan inte kvantifieras genom direkta<br />
mätdata<br />
• Exempel är naturkatastrofer <strong>och</strong><br />
andra stora olyckor<br />
• Aktuellt detta år är återigen<br />
kärnkraftolyckan i Japan<br />
• Förra stora olyckan 1986 i Tjernobyl<br />
de flesta av er inte födda<br />
45
Kapitel 5 Räkneregler<br />
• Överslagsberäkningar 5.1-3<br />
• Små variationer 5.4<br />
• Metoder för att upptäcka fel 5.5<br />
46
Små variationer<br />
v = 2gh<br />
n<br />
( 1+<br />
x)<br />
= 1+<br />
nx<br />
1 2<br />
( 1+<br />
0.01p) = 1+<br />
0.005 p<br />
• Allmänt gäller:<br />
• Antag att<br />
fallhöjden h ökar<br />
med 6 %, hur<br />
mycket ökar då<br />
farten v?<br />
Q<br />
∝<br />
q<br />
n<br />
liten ändring i<br />
q<br />
med<br />
p %<br />
ger en liten ändring i Q<br />
med<br />
pn %<br />
47
Specialfall <strong>och</strong> extremfall<br />
• En metod att (till en del) kontrollera<br />
en allmän lösning är att betrakta ett<br />
specialfall<br />
Exempel flygtid<br />
där<br />
med<br />
lösningen<br />
relativ lufthastighet<br />
är känd eller<br />
v <strong>och</strong> vindhastighet u<br />
lätt att erhålla<br />
Vilka specialfall finns till formeln nedan:<br />
• Vilka specialfall finns till<br />
andragradsekvationen?<br />
ax<br />
2<br />
+ bx<br />
+<br />
c<br />
=<br />
0<br />
x<br />
1,2<br />
=<br />
−<br />
2<br />
b<br />
a<br />
±<br />
2<br />
b<br />
4a<br />
2<br />
−<br />
c<br />
a<br />
48
Vad menas med försumbar?<br />
• ”Ett batteri med försumbar inre<br />
resistans ansluts till en elektrisk<br />
krets”<br />
50
Exempel på första ordningens<br />
korrektion<br />
51
Exempel på andra ordningens<br />
korrektion<br />
• Exemplet med pendelfrekvensen som<br />
vi ”känner igen”<br />
http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/pendl.html<br />
52
Inledning matematiska<br />
modeller<br />
Mätdata/resultat<br />
förenkling<br />
Modell<br />
verifikation<br />
analys<br />
Förutsägelser<br />
förklaring/uttolkning<br />
Matematiska<br />
slutsatser<br />
54
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Vi utgår ifrån matematiska samband<br />
av typen<br />
A = BC<br />
<strong>och</strong> diskturerar om de är<br />
approximativa eller helt ’sanna’<br />
• Visar med exempel att det finns<br />
många andra situationer mellan<br />
ytterligheterna<br />
55
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
Fysikaliska<br />
teorier<br />
Definitioner<br />
Abstrakta begrepp<br />
Naturlag<br />
Approximation inom gränser<br />
Serieutveckling<br />
Approximation<br />
56
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Som exempel på approximation ges<br />
friktionslagen, sambandet mellan<br />
friktion- <strong>och</strong> normalkraften på<br />
formen:<br />
• F = μN<br />
• Oberoende av ex.vis kontaktarean,<br />
föremålets massa <strong>och</strong> med en<br />
konstant som inte kan variera<br />
57
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Som exempel på approximation<br />
mha serieutveckling ges Ohms lag:<br />
U = II<br />
• Men på formen:<br />
• I = f U =<br />
f 0 + U dd<br />
+U2<br />
d2f<br />
dd U=0<br />
dd2 U=0<br />
58
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Som exempel på approximation<br />
mha serieutveckling ges Ohms lag:<br />
U = II<br />
• Men på formen:<br />
• I = f U =<br />
f 0 + U dd<br />
+U2<br />
d2f<br />
dd U=0 dd2 U=0<br />
• Här finns en definition av<br />
resistansen:<br />
• R = ρρ<br />
A<br />
59
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Hookes lag är god approximation<br />
inom vissa gränser<br />
http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes lag<br />
60
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Newtons rörelseekvation är en<br />
naturlag<br />
• F = mm<br />
• Kan kombineras med en<br />
relativistisk massa på följande sätt<br />
• m =<br />
m 0<br />
1−v 2 ⁄ c 2<br />
61
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Definiera ett begrepp av typen<br />
’våglängd λ’ se boken för exakt<br />
formulering<br />
• Abstrakt begrepp kan man<br />
definiera med matematiska<br />
samband<br />
• Sambandet mellan frekvens <strong>och</strong><br />
våglängd för en idealiserad våg är<br />
ett exempel på detta<br />
• c = λλ eeeee c = λλ<br />
62
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• När storheter definieras genom en<br />
matematisk relation är relationen<br />
givetvis alltid sann<br />
• Vi jobbade med sådana definitioner<br />
i avsnittet om SI-enheterna<br />
• Ex: trycket p ges av kraften F<br />
jämnt fördelad över arean A<br />
• p = F/A<br />
63
Lagar <strong>och</strong> formler<br />
• Fysikalis teorier exempelvis<br />
standramodellen som undersöks<br />
vid LHC i CERN<br />
64
Robusta modeller<br />
• Börjar med en definition:<br />
• ”En modell vars slutsatser inte beror<br />
känsligt på antaganden <strong>och</strong><br />
parametervärden sägs vara robust”<br />
• Illustreras med en modell för<br />
golfklubba <strong>och</strong> golfboll<br />
• Ska undersöka dessa ekvationer…<br />
• Hur? Prova värden eller göra grafer i<br />
MATLAB!<br />
65
Robusta modeller<br />
• Undersök ekvation av typen:<br />
• v =<br />
M<br />
M+m<br />
1 + e u<br />
• Ändring i M +/- 10 % ger ändring i v<br />
med mindre än 1,5%<br />
66
Moores lag – exponentiell<br />
tillväxt (Grimvall 10.4)<br />
67
Sammanfattning<br />
• Kap 8 – se bilden<br />
• Kap 9 – begreppet robust modell<br />
• Ur kapitel 10 - Tillväxtexempel av<br />
typen Moore’s lag<br />
68
Mål (F11)<br />
• Grimvall<br />
• ”att kunna beskriva vilka begrepp som<br />
används inom mätdatabehandling”<br />
• ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till<br />
givna mätvärden”<br />
• ”kunna utföra statistiska beräkningar<br />
mha formelsamling”<br />
• MATLAB<br />
• ”use statistical functions, generate<br />
uniform and Gaussian random sequences”<br />
69
Föreläsning 10<br />
• Kurvanpassning som en del av<br />
problemlösning med datorer<br />
– Linjär anpassning<br />
– Interpolation<br />
70
Kurvanpassning läsanvisning<br />
• Material finns i Grimvall 10.1-3 samt<br />
i MATLAB boken 8.1-3<br />
• Kommer att följa en del av MATLABbokens<br />
exempel som även finns som<br />
’inbyggda exempel’<br />
71
Motsvarande mål i Grimvall<br />
• Kunna analysera enkla<br />
’potensfunktioner’ med hjälp av linjär<br />
anpassning<br />
• Förstå matematiken bakom detta<br />
• På samma sätt kunna analysera<br />
exponentialfunktionen, relevant för<br />
en av labuppgifterna!<br />
72
Analysera enkla<br />
potensfunktioner<br />
• Vad menas med detta?<br />
• Lite matte:<br />
Q = aa r<br />
Q = Q r<br />
q<br />
q 0<br />
r<br />
llll = lllQ r − rrrrq 0 + rrrrr<br />
73
Definitioner<br />
• Illustration av interpolation vs.<br />
anpassning<br />
Temperature, degrees F<br />
120<br />
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
Best-fit Linear Estimate<br />
Datapunkter interpolerade<br />
Dito anpassade med spline<br />
Gissning på bästa linje<br />
y 2<br />
= 20 * x<br />
0<br />
-20<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5<br />
Time, seconds<br />
74
Resultatet polynom grad 2-5<br />
• En anpassning måste inte alltid gå<br />
genom datapunkterna!<br />
• Men kan göra det ex.vis för polynom.<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
0 1 2 3 4 5<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
0 1 2 3 4 5<br />
150<br />
100<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
0 1 2 3 4 5<br />
75
Mått på en bra linje<br />
• Inför något som vi kallar<br />
kvadratsumman för avvikelserna<br />
>> tab=[x' y' y2' y'-y2' (y'-y2').^2]<br />
tab =<br />
0 0 0 0 0<br />
1 20 20 0 0<br />
2 60 40 20 400<br />
3 68 60 8 64<br />
4 77 80 -3 9<br />
5 110 100 10 100<br />
>> sum(tab(:,5))<br />
ans =<br />
573<br />
76
Mått på en bra linje<br />
1. Varför kvadratsumman?<br />
2. Kan vi göra detta värde mindre?<br />
3. För att man inte ska summera ihop<br />
positiva <strong>och</strong> negativa värden till<br />
något som är nära eller lika med 0<br />
4. Ja, med något som heter minsta<br />
kvadratmetoden, fungerar genom<br />
att derivera <strong>och</strong> söka nollställen till<br />
derivatan<br />
77
Mått på en bra linje<br />
• Måste vi göra denna krångliga<br />
uträkning med derivator?<br />
• För många vanliga fall kan vi hitta<br />
färdiga formler, fungerar även på<br />
miniräknare när man lägger in (x-,yvärden)<br />
• Titta på matlabs polyfit <strong>och</strong> polyval<br />
funktioner<br />
• Dessa har principen om minsta<br />
kvadratsumman inbyggd<br />
78
Sammanfattning<br />
Ni ska nu kunna:<br />
’perform linear and cubic spline interpolation’<br />
’calculate the best-fit straight line and polynomial to<br />
a set of data points’<br />
’use the basic fitting tool’<br />
Kunna analysera enkla ’potensfunktioner’ med hjälp<br />
av linjär anpassning<br />
Förstå matematiken bakom detta<br />
På samma sätt kunna analysera<br />
exponentialfunktionen, relevant för en av<br />
labuppgifterna!<br />
79
Ingenjörsmetodik IT & ME 2011<br />
Föreläsning 11<br />
• Sammansatt fel (Gauss regel)<br />
• Felanalys <strong>och</strong> noggrannhetsanalys<br />
• Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Medelvärde, standardavvikelse <strong>och</strong><br />
standardosäkerher (statistik)<br />
81
Läsanvisningar till böckerna<br />
• MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5)<br />
• Grimvall Kap 11.2<br />
82
Mål enligt böckerna<br />
• Grimvall<br />
• ”att kunna beskriva vilka begrepp som<br />
används inom mätdatabehandling”<br />
• ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till<br />
givna mätvärden”<br />
• ”kunna utföra statistiska beräkningar<br />
mha formelsamling”<br />
• MATLAB<br />
• ”use statistical functions, generate<br />
uniform and Gaussian random sequences”<br />
83
Kopplingen till gymnasiematten<br />
• Dagens föreläsning – ’Gauss formel’<br />
för sammanlagda mätosäkerheter<br />
använder partiella derivator för att<br />
studera inverkan av olika variablers<br />
osäkerhet på slutresultatet<br />
• EXEMPEL – om både hastigheten <strong>och</strong><br />
körsträckan är okända är det svårt<br />
att beräkna tiden att nå målet!<br />
84
Exempel Gauss formel<br />
• Formeln beskriver:<br />
ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i<br />
de uppmätta värdena x <strong>och</strong> y<br />
• Osäkerheten betecknas<br />
∆ x,<br />
∆y<br />
• Det värde vi sätter in är oftast det<br />
’uppskattade’ mätfelet standardosäkerheten<br />
u som fås genom statistisk behandling av<br />
’många’ uppmätta värden<br />
⎛ F F<br />
∆ F = ∂ ⎞<br />
⎜ ∆x⎟<br />
+ ⎛ ⎜<br />
∂ ∆y<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎝ ∂x<br />
⎠ ⎝ ∂y<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
u<br />
c<br />
⎛⎛<br />
∂f<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜ ⎟<br />
⎝⎝<br />
∂x<br />
⎠<br />
( f ) = ⎜ u( x) ⎟ + ⎜⎜<br />
⎟ u( y)<br />
x=<br />
x<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
⎛⎛<br />
∂f<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎝⎝<br />
∂y<br />
⎠<br />
y=<br />
y<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
85
Exempel Gauss formel<br />
• Finns två formler som är användbara om man är<br />
’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan<br />
alltid!<br />
• För en summa av potenser<br />
• För en produkt av potenser<br />
2<br />
(<br />
a−1 ) (<br />
b−1<br />
Aax )<br />
1<br />
∆x1 Bbx2 ∆x2<br />
∆ F = +<br />
∆F<br />
F<br />
2<br />
2<br />
⎛ ∆x<br />
⎞ ⎛<br />
1<br />
∆x<br />
⎞<br />
2<br />
= ⎜ a ⎟ + ⎜b ⎟<br />
x<br />
1 x<br />
2<br />
⎝ ⎠ ⎝ ⎠<br />
Definition av relativt fel,<br />
enhetslöst men procent %<br />
ger ett lätthanterligt svar<br />
2<br />
86
Hur kan Gauss formel<br />
användas<br />
• För en ingenjör gäller att kraven på<br />
’produkten’ måste uppfyllas<br />
• Detta ska göras på ett sätt som är<br />
pålitligt <strong>och</strong> inte för komplicerat<br />
87
Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Vad mäter vi?<br />
• Fysikaliska storheter: Strömmar,<br />
spänningar, temperaturer<br />
• Mer komplicerade storheter som<br />
överföringshastighet, bit error rate<br />
• En ingenjör vill oftast testa sin<br />
konstruktion, fungerar enligt kraven eller<br />
inte? Se radiokretsexemplet ovan!<br />
• I produktion vill man undersöka kvaliteten<br />
88
Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Nu går vi in på hur man behandlar resultaten<br />
från ’många’ mätningar med statistik<br />
1. Grunden är att man använder medelvärden<br />
för att uppskatta ett så kallat sant värde<br />
2. Standardavvikelsen talar om hur<br />
mätvärdet varierar<br />
3. Standardosäkerheten talar om hur<br />
medelvärdet varierar<br />
89
Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Tre möjliga typer av mätfel<br />
1. Grova fel, felavläsning<br />
2. Systematiska fel, ex.vis något med<br />
mätutrustningen som varierar med<br />
temperatur<br />
3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer<br />
Fråga: Om mätområdet på USB-loggern<br />
var inställt på 30 V istf 3 V vilken typ av<br />
fel fick man då?<br />
90
Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Skillnaden mellan ’precision’ <strong>och</strong><br />
’noggrannhet’ illustrerar konceptet med<br />
medelvärde <strong>och</strong> sant värde<br />
91
Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Standardavvikelsen talar om hur<br />
mätvärdet varierar<br />
• Jämförelsen görs med medelvärdet eller<br />
det sanna värdet µ<br />
• Vi ser från formeln att det spelat stor roll<br />
hur många (antalet n) mätningar vi gjort<br />
2<br />
σ<br />
1<br />
n<br />
n<br />
= ∑ i<br />
−<br />
1<br />
( x x )<br />
2<br />
n<br />
1<br />
s = σ = ∑ xi<br />
− x<br />
n −1<br />
1<br />
( )<br />
2<br />
92
Mätvärden <strong>och</strong> mätfel<br />
• Om vi vill veta hur medelvärdet varierar<br />
kan vi också använda standardavvikelsen<br />
• Vi definierar ett nytt samband som kallas<br />
standardosäkerheten<br />
• Även här spelar antalet n mätningar roll<br />
u<br />
=<br />
s<br />
n<br />
där s beräknas på samma sätt som tidigare<br />
93
Normalfördelningen<br />
Figur 4.3<br />
1<br />
0.8<br />
Gaussfördelningen<br />
µ<br />
f(x)<br />
0.6<br />
0.4<br />
µ-σ<br />
µ+σ<br />
0.2<br />
µ-2σ<br />
µ-3σ<br />
0<br />
-2 -1 0 1 2 3<br />
x<br />
µ+2σ<br />
µ+3σ<br />
• Man kan dela in området (arean)<br />
under kurvan <strong>och</strong> ange ’procenttal’<br />
för deras respektive sannolikhet<br />
94
Normalfördelningen<br />
• Sannolikheten att hitta µ i intervallet<br />
zσ<br />
(ett sigma) är:<br />
µ + σ<br />
µ + σ<br />
( µ σ , µ − σ ) = f ( x) dx = 2 f ( x) dx −1<br />
= 0. 682<br />
P + ∫ ∫<br />
(4.8)<br />
µ −σ<br />
Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet<br />
( µ 2 σ ) < < ( µ + 2σ<br />
)<br />
− x (två sigma) som är:<br />
−∞<br />
percentage within CI<br />
1σ 68.2689492%<br />
1.645σ 90%<br />
1.960σ 95%<br />
2σ 95.4499736%<br />
2.576σ 99%<br />
3σ 99.7300204%<br />
P<br />
µ + 2σ<br />
µ + 2σ<br />
( µ 2σ<br />
, µ − 2σ<br />
) = f ( x) dx = 2 f ( x) dx −1<br />
= 0. 954<br />
+ ∫ ∫<br />
µ −2σ<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation<br />
−∞<br />
3.2906<br />
σ<br />
99.9%<br />
4σ 99.993666%<br />
5σ 99.9999426697%<br />
6σ 99.9999998027%<br />
7σ 99.999 999 999 7440%<br />
95
2<br />
Histogrammet vs.<br />
stapeldiagram<br />
• >> hist(theta)<br />
1<br />
0<br />
44.5 45 45.5 46<br />
96
Exempel<br />
• Ta data från följande gamla<br />
tentauppgift<br />
Mätning Värde<br />
1 2,01<br />
2 2,02<br />
3 4,00<br />
4 3,99<br />
5 2,00<br />
6 1,98<br />
7 4,01<br />
8 4,02<br />
9 2,00<br />
10 4,00<br />
a) Kan man säga att medelvärdet för<br />
dessa 10 värden är en bra uppskattning<br />
av det sanna värdet för denna mätning?<br />
Motivera med en figur (3 p)!<br />
b) Beräkna standardavvikelsen för de 4<br />
första värdena samt för alla 10 värden<br />
(2 p).<br />
97
Slut för i år<br />
• Sista gången kursen går i denna<br />
form, fortsätter för IT i annat/förnyat<br />
format men inte för ME<br />
• Ordinarie tentamen nu på onsdag<br />
• Omtentamen, 2012-02-11 14-19<br />
98