Nyckelbegrepp och metoder - KTH

Ingenjörsmetodik IT & ME 

2011 

Repetion 

• F14 torsdag 13 okt, repetition av 

nyckelbegrepp och metoder i kursen 

inför tentamen 

• Ö7 torsdag 13 okt, fokus på gamla 

tentor 

1

Frågor från förra gången 

• Inlämingstiden för MATLAB delens 

rapport bestämd till tisdagen 18/10, 

kl 23.59 (svensk tid) 

• Tillåtna hjälpmedel på tentamen 

• ? 

Hjälpmedel vid tentamen är boken ’Ingenjörens verktyg’ av Grimvall, samt 

boken 

Introduction to Matlab (Pocket) av Etter, Dolores 2010 (ISBN 0136081231) 

, linjal och miniräknare. OBS! Ni måste ha med er egna hjälpmedel! Ni får 

ej låna böcker, kompendier eller miniräknare av varandra på tentamen! 

2

Kursplanens mål 

• Efter kursen ska studenten kunna redogöra 

för tekniska modeller med varierande 

komplexitet, från uppskattningar till 

datorbaserade algoritmer och effektivt 

kunna använda dessa modeller i sin 

ingenjörsroll. 

• Studenten ska kunna härleda eller ställa 

upp en modell från en problemtext genom 

att t.ex. använda dimensionsanalys av 

ingående parametrar. 

4

Kursplanens mål 

• Studenten ska kunna analysera kvaliteten 

på ett modelleringsresultat med avseende 

på osäkerheten i sina antaganden och i 

modellparametrarna. 

• Studenten ska kunna använda 

grundläggande statistiska begrepp och 

metoder som standardavvikelse och 

felfortplantning för analys av mätresultat. 

• Studenten ska kunna presentera sina 

modellresultat på ett strukturerat sätt, med 

tyngdpunkt på tydliga figurer och kurvor 

och enligt en given mall för en teknisk 

rapport. 

5

Mål 

• I kursplanen finns 5 mål redovisade 

• Kan examineras på många olika sätt men 

huvudsakligen skriftligt 

• Rapport, Tenta 

• Även vissa muntliga redovisningar vid 

labbar 

6

Mål 

• Målrelaterade betyg 

• 7-gradig betygsskala (A, B, C, D, E) 

godkänt (Fx, F) underkänt 

• Betyget sätts på tentamen 

• Labmomenten använder bara 

godkänd/underkänd. 

7

Krav 

• Tentamen onsdag 19 oktober eller 

vid omtentamen 2012-02-11 14-19 

• Godkända labbar och skriftliga 

uppgifter, först då registreras 

slutbetyget i LADOK. 

• Brister i labbar och skriftliga 

uppgifter kompletteras ’omedelbart 

efter rättning’. 

8

Diskussionuppgift på KTH 

Social 

• Skicka in rimliga svar på mer än 50% av de 

diskussioner som jag lägger ut. 

• Som rimligt svar räknas även en utförlig 

kommentar på en annan students uppgift. 

• Detta ger ca 5% bonus på tentan eller 

möjlighet till högre betygssteg exvis C istf 

B. 

• Jag sammanställer genom att söka igenom 

alla inlägg efter sista föreläsningen. 

9

funka@kth.se 

• http://www.kth.se/student/studentliv 

/funktionsnedsattning 

10

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 

Föreläsning 2 

• Enheter i SI-systemet Kap 1 

– Storhet /mätetal/enhet/symbol 

– Grundläggande enheter 7 st 

– Härledda enheter (många) 

– Andra enhetssystem 

• Dimensionsanalys Kap 6 

– Symboler 

– Kontroll/härledning av dimensionsenliga uttryck 

11

Mätetal och enheter 1.1 

12

7 st grundenheter 

Namn Beteckni Vad mäter man? 

ng 

Meter m Längd 

Kilogram kg Massa 

Sekund s Tid 

Ampere A Elektrisk ström 

Kelvin K Termodynamisk temperatur 

mol mol Substansmängd 

candela cd Ljusstyrka 

14

Definitioner 

Storhet Enhet Beteckning Definition 

Längd Meter m En meter är längden av det avstånd som ljus färdas i 

vakuum under ett tidsintervall av 1/299792458 sekund. 

Massa Kilogram kg Ett kilogram är massan för den internationella 

kilogramprototypen. 

Tid Sekund s En sekund är tidsvaraktigheten av 9192631770 perioder 

av den strålning som motsvarar den fysikaliska 

övergången mellan de två hyperfina nivåerna av cesium 

133 atomens grundnivå. 

Elektrisk 

ström 

Termodynamisk 

temperatur 

Substansmängd 

ampere A En ampere är den elektriska ström som fås när kraften 

mellan två oändligt långa parallela ledningar i vakuum 

som separeras 1 meter och som har ett försumbart 

tvärsnitt, blir 2⋅10 -7 newton per meterlängd. 

kelvin K Kelvin som är enheten för den termodynamiska 

temperaturen är 1/273.15-del av den termodynamiska 

temperaturen av trippelpunkten för vatten. 

mol mol 6.023⋅10 23 molekyler 

Ljusstyrka candela cd En candela är ljusstyrkan, i en given riktning, av en 

ljuskälla som emitterar monokromatisk strålning vid 

frekvensen 540 × 10 12 hertz samt en strålningsstyrka i 

den riktningen av 1/683 watt per steradian. 

15

Härledda enheter 

Enhet Symbol Definition I grundenheterna Vad som mäts 

radian rad 1 rad=1 m/m=1 m·m -1 Planvinkel 

steradian sr 1 sr=1 m 2 /m 2 =1 m 2·m -2 Rymdvinkel 

hertz Hz 1 Hz=1 s -1 1 Hz=1 s -1 Frekvens 

newton N 1 N=1 kg·m/s 2 1 N=1 m·kg·s -2 Kraft 

joule J 1 J=1 N·m 1 J=1 m 2·kg·s -2 Energi 

watt W 1 W=1 J/s 1 W=1 m 2·kg·s -3 Effekt 

pascal Pa 1 Pa=1 N/m 2 1 Pa=1 m -1·kg·s -2 Tryck 

volt V 1 V=1 W/A 1 V=1 m 2·kg·s -3·A -1 Elektrisk spänning 

coulomb C 1 C=1 As 1 C=1 s·A Elektrisk laddning 

ohm Ω 1 Ω=1 V/A 1 Ω=1 m 2·kg·s -3·A -2 Resistans 

farad F 1 F=1 C/V 1 F=1 m -2·kg -1·s 4·A 2 Kapacitans 

henry H 1 H=1 Ωs 1 H=1 m 2·kg·s -2·A 2 Induktans 

siemens S 1 S=1 A/V=1 Ω -1 1 S=1 m -2 kg -1 s 3 A 2 Elektrisk konduktans 

weber Wb 1 Wb=1 Vs 1 Wb=1 m 2·kg·s -2·A -1 Magnetisk flöde 

tesla T 1 T=1 Wb/m 2 1 T=1 kg·s -2·A -1 Magnetisk flödestäthet 

grader Celsius o 

C 1 o C=1 K 1 o C=1 K TemperaturCelsius 

lumen lm 1 lm=1 cdsr 1 lm=1 m 2·m -2·cd Ljusflöde 

lux lx 1 lx=1 lm/m 2 1 lx=1 m 2·m -4·cd Luminans 

katal kat 1 kat=1 mol/s 1 kat=1 s -1·mol Katalytisk aktivitet 

becquerel Bq 1 Bq=1 s -1 1 Bq=1 s -1 Radioaktivitet 

gray Gy 1 Gy=1 J/kg 1 Gy=1 m 2·s -2 Absorberad dos av joniserad 

strålning 

sievert Sv 1 Sv=1 J/kg 1 Sv=1 m 2·s -2 Dosekvivalent 

17

Exempel härledda enheter 

newton N Kraft 

Newtons 2:a lag 

1 N=1 

kg·m/s 2 

1 N=1 

m·kg·s -2 

joule J Energi 

Arbetet x vägen 

1 J=1 N·m 1 J=1 

m2·kg·s-2 

watt W Effekt 

Energi / tid 

1 W=1 J/s 1 W=1 

m2·kg·s-3 

pascal Pa Tryck 

Kraft / yta 

1 Pa=1 

N/m 2 

1 Pa=1 m - 

1·kg·s -2 

18

Enheter i andra system 

• Främst i USA, Storbritanien 

• Skillnaden är bl.a. att längden mäts i något 

annat än meter 

• Även andra viktmått 

• I fysiken finns cgs-systemet 

http://en.wikipedia.org/wiki/Cgs 

• I högenergifysik sätts ljushastigheten till 1 

(enhetslöst) 

http://www2.slac.stanford.edu/vvc/theory/ 

relativity.html 

19

Användning av 

dimensionsanalys 

1. Kontroll av formler 

2. Härledning av formler 

20

Samband enheter & 

dimensioner 

Namn Symbol Symbol i 

dimensionsanalys 

Meter m L 

Kilogram kg 

M 

Sekund s T 

Ampere A I 

kelvin K Θ 

mol mol N 

candela cd J 

21

Dimension exempel 

dim(fart) = LT -1 

dim(laddning) = IT 

dim(rörelseenergi) = ML 2 T -2 

22

Viktiga regler 

• Termer som adderas eller 

subtraheras måste ha samma 

dimension 

• Argumentet i exponentialfunktioner, 

logaritmfunktioner och 

trigonometriska funktioner måste ha 

dimensionen 1 (vara dimensionslöst) 

• Derivator, integraler och 

differentialekvationer ingår också i 

dimensionsanalysen 

23

Dimensionsanalys 

• Varje term i en summa måste ha samma dimension 

• Dimensioner för faktorer i en produkt multipliceras 

• Vänsterledet och högerledet måste stämma överens 

s = s + vt + 

0 

at 

2 

2 

VL: dim(s)=L 

HL: dim(s 0 )=L 

HL: dim(vt)=(LT -1 )T=L 

HL: dim(at 2 /2)=(LT -2 )(T 2 )/(1)=L 

24

Dimensionsanalys 

• För derivator gäller att: 

df(x)/dx och f(x)/x 

har samma dimension 

• Exvis är dimensionen för hastighet = 

sträckan/tiden 

dim[v]=dim[ds/dt]=dim[s]/dim[t]= 

=L/T med symboler 

25

Vad är (teknisk) uppskattning? 

• ’Educated guess’ 

• Någon form av information behövs 

• Alternativt jämför med något man 

redan känner till för att ’slippa lösa 

problemet’ 

• Svara med ’storleksordning’, 

vanligtvis en tio-potens eller 2 x 

• Eller bestäm annan acceptabel 

noggrannhet i förväg 

Kap. 

2 

26

Uppskattningar 

1. Identifiera huvudbidragsgivaren 

2. Göra grova förenklingar 

3. Formulera de viktiga sambanden 

4. Utför snabba beräkningar 

5. Dra slutsatser och resonera kring 

resultat, rimligt eller ej 

En stegvis process, som styrs 

av resurser (tid, manpower) 

och tänkt 

användningsområde 

27

Typer av uppskattningar 

1. Storleksordning 

2. Skalning från kända fakta/värden 

3. Produkt av uppskattade värden 

4. Olikheter 

5. Summor av bidrag (med olika 

storleksordning) 

6. Egocentriska resonemang 

7. Ekonomi 

8. Vardagskunskap 

28


• Bokens avsnitt 2.2 inför begreppen 

typiskt värde eller karakteristiskt 

värde 

• Kan liknas t.ex. vid medelvärdet 

medan storleksordningen lite grovt 

kan sägas vara ’tio’-potensen 

• Prefixen bokens 2.3 kan användas 

som storleksindikator 

• exempel som nanovetenskap eller 

mikroelektronik 

29


• Bokens avsnitt 2.4 beskriver hur 

man kan göra en jämförelse med 

en viss faktor 

• ”elektronens och protonens massa 

skiljer sig åt med en faktor av 

storleksordning 2000” 

30

2. Skalning från kända 

fakta/värden 

• Exempel: Hur många barn föds varje 

sekund på jorden 

• Svar: Totala befolkningen är 6 miljarder 

(6x10 9 ), livslängden kanske 60 år. 

• Minst 6x10 9 /60 föds per år 

• 6x10 9 /60/365/24/3600 ≈ 3 per s 

• Behöver göra en oberoende 

uppskattning för att undersöka 

rimligheten 

• Kan i detta fall göras utifrån den kända 

befolkningsökningen på 1,2 % per år. 

31

3. Produkt av uppskattade 

värden 

• Bokens exempel: Finns det intelligent liv i 

universum? 

• Green Bank/Drake ekvationen – ALLA 

ingående värden är uppskattade = okända! 

32

3. Produkt av uppskattade 

värden 

• Men om några värden är bättre kända än 

övriga ska de inte avrundas för tidigt i 

uträkningen. 

33

4. Olikheter 

• Bokens exempel: Kan man täcka jorden 

med papper? 

• Tar ett känt värde för jordens landarea och 

faktoriserar detta 

4 2 9 

1,5 

⋅10 

m = 10 ⋅400⋅75⋅ 

( 

2 

5m ) 

’individer x dagar x tid x personlig åtgång’ 

• Måste nu jämföra detta med något konkret 

exempelvis en tidning med lämpligt antal 

sidor. 

34

5. Summor av bidrag (med 

olika storleksordning) 

• Vad är den totala mängden vatten på jorden? 

Ursprung Volym (1000 km 3 ) 

Gammalt kompend. 

Grimvall 

Hav 1 370 000 1 300 000 

Grundvatten 60 000 10 000 

Polarisen 24 000 24 000 

Sjöar 280 90 

Floder 1 2 

Atmosfären 14 13 

Summa 1.4x10 6 1.3x10 6 

35

5. Summor av bidrag (med 

olika storleksordning) 

• Här har vi tillgång till två olika men inte 

helt oberoende faktakällor 

• Hur påverkar det resultatet? 

• Svar: mycket litet, varierar i andra siffran 

ett bidrag dominerar 

36

6. Egocentriska resonemang 

• Egocentriska resonemang 

• Var är den genomsnittliga 

pendlingstiden för en Kista-student? 

• Vad kostar samtlig kurslitteratur 

under dina 5 år på KTH? 

37

Läsanvisningar till kap 4, 5, 7 

• Kapitel 4 – Att sätta ett mått 

• Kapitel 5 – Räkneregler 

• Kapitel 7 – Approximationer och 

korrektioner 

4 Hela Som exempel, speciellt angående 

riskanalys 

6, 7, 8 

5 Delar 5.4 och 5.5 4, 5, 6, 7 

7 Delar 7.1 – 7.3 1 

39

4.1 Normering 

• Används för meningsfull jämförelse 

av data (priser, befolkning, trafik 

m.m.) 

• koppling till mer tekniskt innehåll i 

denna kurs 

• Titta på exemplet hållbar utveckling 

• http://en.wikipedia.org/wiki/Kyoto_P 

rotocol 

40

Civilingenjörsexamen 

• Civilingenjörsexamen Omfattning Civilingenjörsexamen uppnås efter att studenten fullgjort 

kursfordringar om 300 högskolepoäng. 

• Mål För civilingenjörsexamen skall studenten visa sådan kunskap och förmåga som krävs för att 

självständigt arbeta som civilingenjör. 

• Kunskap och förståelse För civilingenjörsexamen skall studenten - visa kunskap om det valda 

teknikområdets vetenskapliga grund och beprövade erfarenhet samt insikt i aktuellt forsknings- och 

utvecklingsarbete, och - visa såväl brett kunnande inom det valda teknikområdet, inbegripet kunskaper 

i matematik och naturvetenskap, som väsentligt fördjupade kunskaper inom vissa delar av området. 

• Färdighet och förmåga För civilingenjörsexamen skall studenten - visa förmåga att med helhetssyn 

kritiskt, självständigt och kreativt identifiera, formulera och hantera komplexa frågeställningar samt att 

delta i forsknings- och utvecklingsarbete och därigenom bidra till kunskapsutvecklingen, - visa förmåga 

att skapa, analysera och kritiskt utvärdera olika tekniska lösningar, - visa förmåga att planera och med 

adekvata metoder genomföra kvalificerade uppgifter inom givna ramar, - visa förmåga att kritiskt och 

systematiskt integrera kunskap samt visa förmåga att modellera, simulera, förutsäga och utvärdera 

skeenden även med begränsad information, - visa förmåga att utveckla och utforma produkter, 

processer och system med hänsyn till människors förutsättningar och behov och samhällets mål för 

ekonomiskt, socialt och ekologiskt hållbar utveckling, - visa förmåga till lagarbete och samverkan i 

grupper med olika sammansättning, och - visa förmåga att i såväl nationella som internationella 

sammanhang muntligt och skriftligt i dialog med olika grupper klart redogöra för och diskutera sina 

slutsatser och den kunskap och de argument som ligger till grund för dessa. 

• Värderingsförmåga och förhållningssätt För civilingenjörsexamen skall studenten - visa förmåga att göra 

bedömningar med hänsyn till relevanta vetenskapliga, samhälleliga och etiska aspekter samt visa 

medvetenhet om etiska aspekter på forsknings- och utvecklingsarbete, - visa insikt i teknikens 

möjligheter och begränsningar, dess roll i samhället och människors ansvar för hur den används, 

inbegripet sociala och ekonomiska aspekter samt miljö- och arbetsmiljöaspekter, och - visa förmåga att 

identifiera sitt behov av ytterligare kunskap och att fortlöpande utveckla sin kompetens. 

• Självständigt arbete (examensarbete) För civilingenjörsexamen skall studenten inom ramen för 

kursfordringarna ha fullgjort ett självständigt arbete (examensarbete) om minst 30 högskolepoäng. 

• Övrigt För civilingenjörsexamen skall också de preciserade krav gälla som varje högskola själv 

bestämmer inom ramen för kraven i denna examensbeskrivning. 

41

Normering 

• Under the Protocol, 37 countries ("Annex I 

countries") commit themselves to a reduction 

of four greenhouse gases (GHG) (carbon 

dioxide, methane, nitrous oxide, sulphur 

hexafluoride) and two groups of gases 

(hydrofluorocarbons and perfluorocarbons) 

produced by them, and all member countries 

give general commitments. Annex I countries 

agreed to reduce their collective greenhouse 

gas emissions by 5.2% from the 1990 level. 

42

Gränsvärden 

• Exvis högsta tillåtna exponering 

• Utsläppsvolymer jfr Kyoto-exemplet 

• Dos-responssamband av två typer 

Tröskeldos 

Stokastiska skador 

43

Peer-instruction: Dos-responssamband 

• Vad skulle detta kunna motsvara i 

verkligheten? 

• Försök hitta andra exempel än 

bokens? Jobba gruppvis 2 eller 3 

44

Onormala händelser 

• Kan inte kvantifieras genom direkta 

mätdata 

• Exempel är naturkatastrofer och 

andra stora olyckor 

• Aktuellt detta år är återigen 

kärnkraftolyckan i Japan 

• Förra stora olyckan 1986 i Tjernobyl 

de flesta av er inte födda 

45

Kapitel 5 Räkneregler 

• Överslagsberäkningar 5.1-3 

• Små variationer 5.4 

• Metoder för att upptäcka fel 5.5 

46

Små variationer 

v = 2gh 

n 

( 1+ 

x) 

= 1+ 

nx 

1 2 

( 1+ 

0.01p) = 1+ 

0.005 p 

• Allmänt gäller: 

• Antag att 

fallhöjden h ökar 

med 6 %, hur 

mycket ökar då 

farten v? 

Q 

∝ 

q 

n 

liten ändring i 

q 

med 

p % 

ger en liten ändring i Q 

med 

pn % 

47

Specialfall och extremfall 

• En metod att (till en del) kontrollera 

en allmän lösning är att betrakta ett 

specialfall 

Exempel flygtid 

där 

med 

lösningen 

relativ lufthastighet 

är känd eller 

v och vindhastighet u 

lätt att erhålla 

Vilka specialfall finns till formeln nedan: 

• Vilka specialfall finns till 

andragradsekvationen? 

ax 

2 

+ bx 

+ 

c 

= 

0 

x 

1,2 

= 

− 

2 

b 

a 

± 

2 

b 

4a 

2 

− 

c 

a 

48

Vad menas med försumbar? 

• ”Ett batteri med försumbar inre 

resistans ansluts till en elektrisk 

krets” 

50

Exempel på första ordningens 

korrektion 

51

Exempel på andra ordningens 

korrektion 

• Exemplet med pendelfrekvensen som 

vi ”känner igen” 

http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/pendl.html 

52

Inledning matematiska 

modeller 

Mätdata/resultat 

förenkling 

Modell 

verifikation 

analys 

Förutsägelser 

förklaring/uttolkning 

Matematiska 

slutsatser 

54

Lagar och formler 

• Vi utgår ifrån matematiska samband 

av typen 

A = BC 

och diskturerar om de är 

approximativa eller helt ’sanna’ 

• Visar med exempel att det finns 

många andra situationer mellan 

ytterligheterna 

55


Fysikaliska 

teorier 

Definitioner 

Abstrakta begrepp 

Naturlag 

Approximation inom gränser 

Serieutveckling 

Approximation 

56


• Som exempel på approximation ges 

friktionslagen, sambandet mellan 

friktion- och normalkraften på 

formen: 

• F = μN 

• Oberoende av ex.vis kontaktarean, 

föremålets massa och med en 

konstant som inte kan variera 

57


• Som exempel på approximation 

mha serieutveckling ges Ohms lag: 

U = II 

• Men på formen: 

• I = f U = 

f 0 + U dd 

+U2 

d2f 

dd U=0 

dd2 U=0 

58


• Som exempel på approximation 

mha serieutveckling ges Ohms lag: 

U = II 

• Men på formen: 

• I = f U = 

f 0 + U dd 

+U2 

d2f 

dd U=0 dd2 U=0 

• Här finns en definition av 

resistansen: 

• R = ρρ 

A 

59


• Hookes lag är god approximation 

inom vissa gränser 

http://sv.wikipedia.org/wiki/Hookes lag 

60


• Newtons rörelseekvation är en 

naturlag 

• F = mm 

• Kan kombineras med en 

relativistisk massa på följande sätt 

• m = 

m 0 

1−v 2 ⁄ c 2 

61


• Definiera ett begrepp av typen 

’våglängd λ’ se boken för exakt 

formulering 

• Abstrakt begrepp kan man 

definiera med matematiska 

samband 

• Sambandet mellan frekvens och 

våglängd för en idealiserad våg är 

ett exempel på detta 

• c = λλ eeeee c = λλ 

62


• När storheter definieras genom en 

matematisk relation är relationen 

givetvis alltid sann 

• Vi jobbade med sådana definitioner 

i avsnittet om SI-enheterna 

• Ex: trycket p ges av kraften F 

jämnt fördelad över arean A 

• p = F/A 

63


• Fysikalis teorier exempelvis 

standramodellen som undersöks 

vid LHC i CERN 

64

Robusta modeller 

• Börjar med en definition: 

• ”En modell vars slutsatser inte beror 

känsligt på antaganden och 

parametervärden sägs vara robust” 

• Illustreras med en modell för 

golfklubba och golfboll 

• Ska undersöka dessa ekvationer… 

• Hur? Prova värden eller göra grafer i 

MATLAB! 

65

Robusta modeller 

• Undersök ekvation av typen: 

• v = 

M 

M+m 

1 + e u 

• Ändring i M +/- 10 % ger ändring i v 

med mindre än 1,5% 

66

Moores lag – exponentiell 

tillväxt (Grimvall 10.4) 

67

Sammanfattning 

• Kap 8 – se bilden 

• Kap 9 – begreppet robust modell 

• Ur kapitel 10 - Tillväxtexempel av 

typen Moore’s lag 

68

Mål (F11) 

• Grimvall 

• ”att kunna beskriva vilka begrepp som 

används inom mätdatabehandling” 

• ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till 

givna mätvärden” 

• ”kunna utföra statistiska beräkningar 

mha formelsamling” 

• MATLAB 

• ”use statistical functions, generate 

uniform and Gaussian random sequences” 

69


• Kurvanpassning som en del av 

problemlösning med datorer 

– Linjär anpassning 

– Interpolation 

70

Kurvanpassning läsanvisning 

• Material finns i Grimvall 10.1-3 samt 

i MATLAB boken 8.1-3 

• Kommer att följa en del av MATLABbokens 

exempel som även finns som 

’inbyggda exempel’ 

71

Motsvarande mål i Grimvall 

• Kunna analysera enkla 

’potensfunktioner’ med hjälp av linjär 

anpassning 

• Förstå matematiken bakom detta 

• På samma sätt kunna analysera 

exponentialfunktionen, relevant för 

en av labuppgifterna! 

72

Analysera enkla 

potensfunktioner 

• Vad menas med detta? 

• Lite matte: 

Q = aa r 

Q = Q r 

q 

q 0 

r 

llll = lllQ r − rrrrq 0 + rrrrr 

73

Definitioner 

• Illustration av interpolation vs. 

anpassning 

Temperature, degrees F 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

Best-fit Linear Estimate 

Datapunkter interpolerade 

Dito anpassade med spline 

Gissning på bästa linje 

y 2 

= 20 * x 

0 

-20 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 

Time, seconds 

74

Resultatet polynom grad 2-5 

• En anpassning måste inte alltid gå 

genom datapunkterna! 

• Men kan göra det ex.vis för polynom. 

150 

100 

50 

0 

0 1 2 3 4 5 

150 

100 

50 

0 

-50 

0 1 2 3 4 5 

150 

100 

50 

0 

-50 

0 1 2 3 4 5 

150 

100 

50 

0 

-50 

0 1 2 3 4 5 

75

Mått på en bra linje 

• Inför något som vi kallar 

kvadratsumman för avvikelserna 

>> tab=[x' y' y2' y'-y2' (y'-y2').^2] 

tab = 

0 0 0 0 0 

1 20 20 0 0 

2 60 40 20 400 

3 68 60 8 64 

4 77 80 -3 9 

5 110 100 10 100 

>> sum(tab(:,5)) 

ans = 

573 

76


1. Varför kvadratsumman? 

2. Kan vi göra detta värde mindre? 

3. För att man inte ska summera ihop 

positiva och negativa värden till 

något som är nära eller lika med 0 

4. Ja, med något som heter minsta 

kvadratmetoden, fungerar genom 

att derivera och söka nollställen till 

derivatan 

77


• Måste vi göra denna krångliga 

uträkning med derivator? 

• För många vanliga fall kan vi hitta 

färdiga formler, fungerar även på 

miniräknare när man lägger in (x-,yvärden) 

• Titta på matlabs polyfit och polyval 

funktioner 

• Dessa har principen om minsta 

kvadratsumman inbyggd 

78

Sammanfattning 

Ni ska nu kunna: 

’perform linear and cubic spline interpolation’ 

’calculate the best-fit straight line and polynomial to 

a set of data points’ 

’use the basic fitting tool’ 

Kunna analysera enkla ’potensfunktioner’ med hjälp 

av linjär anpassning 

Förstå matematiken bakom detta 

På samma sätt kunna analysera 

exponentialfunktionen, relevant för en av 

labuppgifterna! 

79

Ingenjörsmetodik IT & ME 2011 


• Sammansatt fel (Gauss regel) 

• Felanalys och noggrannhetsanalys 

• Mätvärden och mätfel 

• Medelvärde, standardavvikelse och 

standardosäkerher (statistik) 

81

Läsanvisningar till böckerna 

• MATLAB delar av kap 3 (3.4 & 3.5) 

• Grimvall Kap 11.2 

82

Mål enligt böckerna 

• Grimvall 

• ”att kunna beskriva vilka begrepp som 

används inom mätdatabehandling” 

• ”att förstå hur dessa begrepp relaterar till 

givna mätvärden” 

• ”kunna utföra statistiska beräkningar 

mha formelsamling” 

• MATLAB 

• ”use statistical functions, generate 

uniform and Gaussian random sequences” 

83

Kopplingen till gymnasiematten 

• Dagens föreläsning – ’Gauss formel’ 

för sammanlagda mätosäkerheter 

använder partiella derivator för att 

studera inverkan av olika variablers 

osäkerhet på slutresultatet 

• EXEMPEL – om både hastigheten och 

körsträckan är okända är det svårt 

att beräkna tiden att nå målet! 

84

Exempel Gauss formel 

• Formeln beskriver: 

ett litet fel i funktionen F p.g.a osäkerhet i 

de uppmätta värdena x och y 

• Osäkerheten betecknas 

∆ x, 

∆y 

• Det värde vi sätter in är oftast det 

’uppskattade’ mätfelet standardosäkerheten 

u som fås genom statistisk behandling av 

’många’ uppmätta värden 

⎛ F F 

∆ F = ∂ ⎞ 

⎜ ∆x⎟ 

+ ⎛ ⎜ 

∂ ∆y 

⎞ 

⎟ 

⎝ ∂x 

⎠ ⎝ ∂y 

⎠ 

2 

2 

u 

c 

⎛⎛ 

∂f 

⎞ 

⎜ 

⎜ ⎟ 

⎝⎝ 

∂x 

⎠ 

( f ) = ⎜ u( x) ⎟ + ⎜⎜ 

⎟ u( y) 

x= 

x 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎛⎛ 

∂f 

⎞ 

⎜ 

⎝⎝ 

∂y 

⎠ 

y= 

y 

0 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

2 

85

Exempel Gauss formel 

• Finns två formler som är användbara om man är 

’osäker’ på partiella derivator, funkar nästan 

alltid! 

• För en summa av potenser 

• För en produkt av potenser 

2 

( 

a−1 ) ( 

b−1 

Aax ) 

1 

∆x1 Bbx2 ∆x2 

∆ F = + 

∆F 

F 

2 

2 

⎛ ∆x 

⎞ ⎛ 

1 

∆x 

⎞ 

2 

= ⎜ a ⎟ + ⎜b ⎟ 

x 

1 x 

2 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Definition av relativt fel, 

enhetslöst men procent % 

ger ett lätthanterligt svar 

2 

86

Hur kan Gauss formel 

användas 

• För en ingenjör gäller att kraven på 

’produkten’ måste uppfyllas 

• Detta ska göras på ett sätt som är 

pålitligt och inte för komplicerat 

87

Mätvärden och mätfel 

• Vad mäter vi? 

• Fysikaliska storheter: Strömmar, 

spänningar, temperaturer 

• Mer komplicerade storheter som 

överföringshastighet, bit error rate 

• En ingenjör vill oftast testa sin 

konstruktion, fungerar enligt kraven eller 

inte? Se radiokretsexemplet ovan! 

• I produktion vill man undersöka kvaliteten 

88


• Nu går vi in på hur man behandlar resultaten 

från ’många’ mätningar med statistik 

1. Grunden är att man använder medelvärden 

för att uppskatta ett så kallat sant värde 

2. Standardavvikelsen talar om hur 

mätvärdet varierar 

3. Standardosäkerheten talar om hur 

medelvärdet varierar 

89


• Tre möjliga typer av mätfel 

1. Grova fel, felavläsning 

2. Systematiska fel, ex.vis något med 

mätutrustningen som varierar med 

temperatur 

3. Slumpmässiga fel, kortvariga variationer 

Fråga: Om mätområdet på USB-loggern 

var inställt på 30 V istf 3 V vilken typ av 

fel fick man då? 

90


• Skillnaden mellan ’precision’ och 

’noggrannhet’ illustrerar konceptet med 

medelvärde och sant värde 

91


• Standardavvikelsen talar om hur 

mätvärdet varierar 

• Jämförelsen görs med medelvärdet eller 

det sanna värdet µ 

• Vi ser från formeln att det spelat stor roll 

hur många (antalet n) mätningar vi gjort 

2 

σ 

1 

n 

n 

= ∑ i 

− 

1 

( x x ) 

2 

n 

1 

s = σ = ∑ xi 

− x 

n −1 

1 

( ) 

2 

92


• Om vi vill veta hur medelvärdet varierar 

kan vi också använda standardavvikelsen 

• Vi definierar ett nytt samband som kallas 

standardosäkerheten 

• Även här spelar antalet n mätningar roll 

u 

= 

s 

n 

där s beräknas på samma sätt som tidigare 

93

Normalfördelningen 

Figur 4.3 

1 

0.8 

Gaussfördelningen 

µ 

f(x) 

0.6 

0.4 

µ-σ 

µ+σ 

0.2 

µ-2σ 

µ-3σ 

0 

-2 -1 0 1 2 3 

x 

µ+2σ 

µ+3σ 

• Man kan dela in området (arean) 

under kurvan och ange ’procenttal’ 

för deras respektive sannolikhet 

94

Normalfördelningen 

• Sannolikheten att hitta µ i intervallet 

zσ 

(ett sigma) är: 

µ + σ 

µ + σ 

( µ σ , µ − σ ) = f ( x) dx = 2 f ( x) dx −1 

= 0. 682 

P + ∫ ∫ 

(4.8) 

µ −σ 

Detta kan jämföras med sannolikheten att hitta ett sant värde i intervallet 

( µ 2 σ ) < < ( µ + 2σ 

) 

− x (två sigma) som är: 

−∞ 

percentage within CI 

1σ 68.2689492% 

1.645σ 90% 

1.960σ 95% 

2σ 95.4499736% 

2.576σ 99% 

3σ 99.7300204% 

P 

µ + 2σ 

µ + 2σ 

( µ 2σ 

, µ − 2σ 

) = f ( x) dx = 2 f ( x) dx −1 

= 0. 954 

+ ∫ ∫ 

µ −2σ 

http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation 

−∞ 

3.2906 

σ 

99.9% 

4σ 99.993666% 

5σ 99.9999426697% 

6σ 99.9999998027% 

7σ 99.999 999 999 7440% 

95

2 

Histogrammet vs. 

stapeldiagram 

• >> hist(theta) 

1 

0 

44.5 45 45.5 46 

96

Exempel 

• Ta data från följande gamla 

tentauppgift 

Mätning Värde 

1 2,01 

2 2,02 

3 4,00 

4 3,99 

5 2,00 

6 1,98 

7 4,01 

8 4,02 

9 2,00 

10 4,00 

a) Kan man säga att medelvärdet för 

dessa 10 värden är en bra uppskattning 

av det sanna värdet för denna mätning? 

Motivera med en figur (3 p)! 

b) Beräkna standardavvikelsen för de 4 

första värdena samt för alla 10 värden 

(2 p). 

97

Slut för i år 

• Sista gången kursen går i denna 

form, fortsätter för IT i annat/förnyat 

format men inte för ME 

• Ordinarie tentamen nu på onsdag 

• Omtentamen, 2012-02-11 14-19 

98

Nyckelbegrepp och metoder - KTH

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?