SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2013 ... - KTH

6 SF1626 Flervariabelanalys — Lösningsförslag till tentamen 2013-01-10
6. Låt h(x, y) = xe −(x2 +y 2) .
a) Bestäm andra ordningens Taylorpolynom till h(x, y) i punkten (x, y) = (1, 2).
(2 p)
b) Använd Taylorutvecklingen i deluppgift a för att bestämma ett approximativt värde
till h(1.1, 1.9). Använd att e −5 ≈ 6,74 × 10 −3 . (2 p)
Lösning.
a) Vi har att
h ′ x(x, y) = e −(x2 +y 2) − 2x 2 e −(x2 +y 2) ,
h ′ y(x, y) = −2xye −(x2 +y 2) ,
h ′′ xx(x, y) = −2xe −(x2 +y 2) − 4xe −(x2 +y 2) + 4x 3 e −(x2 +y 2) ,
h ′′ xy(x, y) = −2ye −(x2 +y 2) + 4x 2 ye −(x2 +y 2) ,
h ′′
yy(x, y) = −2xe −(x2 +y 2) + 4xy 2 e −(x2 +y 2) ,
och uträknade i punkten (x, y) = (1, 2) får vi
h(1, 2) = e −5 , h ′ x(1, 2) = −e −5 , h ′ y(1, 2) = −4e −5 ,
h ′′ xx(1, 2) = −2e −5 , h ′′ xy(1, 2) = 4e −5 , h ′′
yy(1, 2) = 14e −5 .
Andra ordningens Taylorutveckling kring punkten (1, 2) blir därför
h(1 + h, 2 + k) = e −5( 1 − h − 4k + 1 2 (−2h2 + 2 · 4hk + 14k 2 ) ) + R.T.
= e −5 (1 − h − 4k − h 2 + 4hk + 7k 2 ) + R.T.
och vi kan avläsa att andra ordningens Taylorpolynom är
e −5 (1 − h − 4k − h 2 + 4hk + 7k 2 ).
b) Med Taylorpolynomet i deluppgift a får vi approximationen
h(1.1, 1.9) = h(1 + 0.1, 2 − 0.1)
≈ e −5 (1 − 0.1 + 0.4 − 0.01 − 0.04 + 0.07)
= 1.32 e −5
≈ 1.32 · 6.74 × 10 −3
≈ 8.9 × 10 −3 .
Detta värde stämmer med det exakta värde till två värdesiffror.
Svar:
a) e −5 (1 − h − 4k − h 2 + 4hk + 7k 2 )
b) 1.32 e −5 ≈ 8.9 × 10 −3
□