Kompendium för kursen 732G81 Statistik för internationella ... - IDA
Kompendium för kursen 732G81 Statistik för internationella ... - IDA
Kompendium för kursen 732G81 Statistik för internationella ... - IDA
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Kompendium</strong> för <strong>kursen</strong><br />
<strong>732G81</strong> <strong>Statistik</strong> för<br />
<strong>internationella</strong> ekonomprogrammet<br />
Eva Leander<br />
Claudia Libiseller<br />
Bearbetat av Stig Danielsson (2007) och Karl Wahlin (2008 och 2009)<br />
Institutionen för Datavetenskap<br />
Avdelningen för statistik<br />
Linköpings Universitet
Innehållsförteckning<br />
INNEHÅLLSFÖRTECKNING 2<br />
1. OM TABELLER, MEDELTAL OCH STANDARDVÄGNING 4<br />
1.1 VÄGDA MEDELTAL 4<br />
1.2 TVÅVÄGSINDELADE FREKVENSTABELLER 7<br />
1.3 TREVÄGSINDELADE FREKVENSTABELLER 10<br />
1.4 TVÅVÄGSINDELADE MEDELTALSTABELLER 10<br />
1.5 STANDARDVÄGNING 12<br />
1.6 LITE TERMINOLOGI 13<br />
2. OM VARIABELTRANSFORMATIONER 15<br />
2.1 LINJÄR VARIABELTRANSFORMATION 15<br />
2.2 SUMMOR OCH DIFFERENSER AV SLUMPVARIABLER 15<br />
3. OM STATISTISKA UNDERSÖKNINGAR – INFÖR OCH UNDER PROJEKTET 16<br />
3.1 DEL I: OM VARIABLER, POPULATIONER OCH STICKPROV 16<br />
3.1.1 VARIABLER 16<br />
3.1.2 POPULATION OCH STICKPROV 19<br />
3.1.3 URVALSRAMAR OCH DERAS PROBLEM 20<br />
3.1.4 HUR DRA STICKPROV? 21<br />
3.1.5 OBUNDET SLUMPMÄSSIGT URVAL 21<br />
3.1.6 STRATIFIERAT URVAL 22<br />
3.1.7 HUR STORT STICKPROV BÖR VI DRA? 22<br />
3.1.8 LATHUND FÖR STICKPROVSMETODER 23<br />
3.2 DEL II: DATAANALYS 23<br />
3.2.1 TYPVÄRDE 23<br />
3.2.2 MEDIAN 24<br />
3.2.3 KVARTILER OCH KVARTILAVSTÅND 24<br />
3.2.4 MEDELVÄRDEN, ANDELAR OCH KONFIDENSINTERVALL VID OSU 24<br />
3.2.5 MEDELVÄRDEN, ANDELAR OCH KONFIDENSINTERVALL VID STRATIFIERAT URVAL 27<br />
3.2.6 KORRELATION (ENDAST VID METRISK SKALA PÅ BÄGGE VARIABLERNA!) 28<br />
3.2.7 REGRESSION (ENDAST VID METRISK SKALA PÅ BÄGGE VARIABLERNA!) 28<br />
3.2.8 KORSTABELLER (ENDAST VID NOMINAL- ELLER ORDINALSKALA!) 28<br />
3.2.9 CHITVÅ-TEST (ENDAST VID NOMINAL- ELLER ORDINALSKALA!) 30<br />
3.3 DEL III: ENKÄTENS KONSTRUKTION OCH KODNING 32<br />
3.3.1 ATT FORMULERA ETT FRÅGEFORMULÄR 32<br />
3.3.2 KODNING 33<br />
3.3.3 KODNING AV SAKNADE SVAR 35<br />
3.3.4 BORTFALL 35<br />
3.3.5 KORT OM ANALYS AV INSAMLAT DATAMATERIAL 37<br />
3.4 SAMMANFATTNINGSVIS: ATT GÖRA EN STATISTISK UNDERSÖKNING 38<br />
2
4. SEMINARIEUPPGIFTER 41<br />
4.1 SEMINARIUM 1 41<br />
4.2 SEMINARIUM 2 43<br />
4.3 SEMINARIUM 3 45<br />
4.4 SEMINARIUM 4 47<br />
4.5 SEMINARIUM 5 49<br />
5. INLÄMNINGSUPPGIFTER 51<br />
6. ÖVNINGSUPPGIFTER 65<br />
6.1 FACIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTER 73<br />
7. ORDLISTA 75<br />
Observera att detta föreläsningsunderlag är en sammanställning av författarnas<br />
egna anteckningar. Det kan därför finnas fel i text och formler, och underlaget kan<br />
inte användas som källitteratur eftersom det inte är fackgranskat eller publicerat.<br />
För projektet inom denna kurs skull är det dock okej!<br />
3
Linköpings universitet<br />
MAI/<strong>Statistik</strong><br />
Eva Leander<br />
1. Om tabeller, medeltal och standardvägning<br />
Här följer ett antal sidor som behandlar tabeller, vägda medeltal och standardvägning.<br />
Avsnittet om vägda medeltal förbereder för avsnittet om standardvägning som är en viktig<br />
och mycket användbar metod för tabellanalys när man vill analysera data från olika<br />
grupper, där det finns ”störande” variabler.<br />
1.1 Vägda medeltal<br />
Betrakta följande exempel. Man har registrerat antalet syskon, y, för vart och ett av de 8<br />
barnen i en barngrupp i syftet att beräkna medelantalet syskon per barn. Följande resultat<br />
erhölls:<br />
Anna 2<br />
Lena 2<br />
Jan 0<br />
Karin 1<br />
Pia 0<br />
Lotta 2<br />
Per 1<br />
Ann 2<br />
Materialet kan också framställas i en frekvenstabell:<br />
y Absolut frekvens<br />
Relativ frekvens = summa absolut frekvens/totalantalet<br />
undersökta barn<br />
0 2 0.25<br />
1 2 0.25<br />
2 4 0.50<br />
Medelantalet syskon per barn (detta brukar kallas det aritmetiska medelvärdet) tecknas<br />
vanligen µ och beräknas:<br />
(1)<br />
µ =<br />
2 + 2 + 0 + 1+<br />
0 + 2 + 1+<br />
2<br />
8<br />
vilket istället kan skrivas<br />
4
(2)<br />
0 + 0 + 1+<br />
1+<br />
2 + 2 + 2 + 2<br />
µ =<br />
8<br />
=<br />
2 ⋅ 0 + 2 ⋅1+<br />
4 ⋅ 2<br />
8<br />
=<br />
2 2 4<br />
⋅ 0 + ⋅1+<br />
⋅ 2 = 0.25⋅0<br />
+ 0.25⋅1+<br />
0.50⋅<br />
2 = 1.25<br />
8 8 8<br />
Här kan man se att det i aritmetiska medelvärdet i materialet dels kan ses som medelvärdet<br />
av de 8 observationerna (ekvation 1) och dels som ett vägt medelvärde av de tre variabelvärden<br />
0, 1 och 2 (ekvation 2). Dessa tre värden vägs ihop med vikter proportionella<br />
mot antalet personer med respektive syskonantal.<br />
Det värdet kan tecknas<br />
µ = ω ⋅ + ω ⋅1+<br />
ω ⋅ 2<br />
↓<br />
1<br />
0.25<br />
0<br />
2 3<br />
↓<br />
0.25<br />
↓<br />
0.50<br />
där vikterna ω<br />
1, ω2<br />
och ω<br />
3<br />
är hämtade ur frekvenstabellen. Vi kan notera att summan av<br />
vikterna är 1.<br />
Vi skall se att µ kan beräknas som ett vägt medelvärde också på ett annat sätt.<br />
Medeltalet för flickorna, som vi betecknar µ F , beräknas som<br />
µ<br />
F<br />
=<br />
summan av flickornas y − värden<br />
=<br />
antalet flickor<br />
2 + 2 + 1+<br />
0 + 2 + 2<br />
= 1.5<br />
6<br />
Ur uttrycket ovan kan man lösa ut<br />
Summan av flickornas y-värden = antalet flickor<br />
∑ y = ⋅ µ<br />
F<br />
i<br />
N F<br />
På motsvarande sätt beräknas för pojkarna<br />
F<br />
⋅ µ<br />
F<br />
eller enklare<br />
∑ yi<br />
P 0 + 1<br />
µ<br />
P<br />
= = = 0.5 och summan av pojkarnas y-värden, ∑ y<br />
i<br />
= N P<br />
⋅ µ<br />
P<br />
N 2<br />
P<br />
P<br />
Vi beräknar nu µ, medelvärdet i hela materialet, igen<br />
5
summan av alla y − värden 2 + 2 + 0 + 1+<br />
0 + 2 + 1+<br />
2<br />
µ =<br />
=<br />
=<br />
N<br />
8<br />
∑ yi<br />
∑ yi<br />
F<br />
6444<br />
74448<br />
P<br />
}<br />
2 + 2 + 1+<br />
0 + 2 + 2 + 0 + 1 9 + 1 6 ⋅ µ<br />
F<br />
+ 2 ⋅ µ<br />
P<br />
= =<br />
=<br />
8<br />
8 8<br />
6 2<br />
µ<br />
F<br />
+ µ<br />
P<br />
= 0.75µ<br />
F<br />
+ 0.25µ<br />
P<br />
=<br />
8 8<br />
0.75⋅1.5<br />
+ 0.25⋅<br />
0.5 = 1.25<br />
↓<br />
Relativa<br />
frekvensen<br />
flickor<br />
↓<br />
Relativa<br />
frekvensen<br />
pojkar<br />
Vi ser att µ här utgör ett vägt medelvärde av flickornas medeltal 1.5 och pojkarnas medeltal<br />
0.5 med vikter proportionella mot antalet flickor respektive pojkar. Medelvärdet i<br />
hela materialet om 8 barn -totalmedelvärdet µ- kan alltså ses som en kompromiss mellan<br />
medelvärdena i materialets delar -de betingade medelvärdena µ F och µ P . Eftersom andelen<br />
flickor är mycket större än andelen pojkar blir “flickvikten” mycket större än “pojkvikten”<br />
och detta leder till att totalmedelvärdet ligger mycket närmare flickmedeltalet än<br />
pojkmedeltalet.<br />
Sammanfattningsvis kan det aritmetiska medelvärdet i ett material med N observationer<br />
på en variabel ses som<br />
i) summan av samtliga observationer dividerad med N, något som skulle kunna<br />
kallas det ovägda medelvärdet av materialets observationer<br />
ii)<br />
iii)<br />
ett vägt medelvärde av samtliga olika variabelvärden i materialet med vikter<br />
proportionella mot antalet observationer med respektive värde<br />
ett vägt medelvärde av medelvärdena i materialets delar -de betingade medelvärdena-<br />
med vikter proportionella mot antalet observationer i respektive del.<br />
Generellt gäller om vägda medeltal, vare sig det handlar om ett vägt medeltal av materialets<br />
k stycken värden<br />
ω y + ω y + ... + ω<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
k y k<br />
eller ett vägt medeltal av medeltalen i materialets l stycken delar<br />
ω<br />
1<br />
µ<br />
1<br />
+ ω2µ<br />
2<br />
+ ... + ω l<br />
µ l<br />
6
att summan av vikterna ω<br />
i<br />
skall vara 1 och att ingen vikt får vara negativ.<br />
Detta avsnitt handlar om hur man skapar och tolkar två- och trevägsindelade tabeller.<br />
Det kan också ses som en förberedelse för nästa del som handlar om standardvägning.<br />
Vi arbetar även fortsättningsvis med ett mycket enkelt exempel.<br />
Vi tänker oss att de 40 barnen, som är inskrivna vid ett fritidshem, beskrivs med avseende<br />
på de tre variablerna kön (u), ålder (x) och veckopeng (y) på sätt som antyds nedan:<br />
Barn nr Kön Ålder Veckopeng<br />
1 P 6 10<br />
2 F 8 12<br />
3 P 8 15<br />
4 F 9 18<br />
. . . .<br />
. . . .<br />
. . . .<br />
39 P 10 15<br />
40 P 7 12<br />
Vi kan beskriva hur de 40 barnen fördelar sig på ålder enligt<br />
Tabell 1. Barn fördelade på ålder<br />
Ålder Antal Procent<br />
6 6 15<br />
7 10 25<br />
8 10 25<br />
9 8 20<br />
10 6 15<br />
Totalt 40 100<br />
1.2 Tvåvägsindelade frekvenstabeller<br />
Kanske vill vi jämföra flickor och pojkar med avseende på ålder. Man kan då utgå från<br />
nedanstående tvåvägsindelade frekvenstabell med absoluta frekvenser:<br />
7
Tabell 2. Barn fördelade på kön och ålder<br />
Ålder Flickor<br />
antal<br />
Pojkar<br />
antal<br />
Samtliga<br />
antal<br />
6 1 5 6<br />
7 2 8 10<br />
8 4 6 10<br />
9 5 3 8<br />
10 4 2 6<br />
Totalt 16 24 100<br />
Ur tabellen framgår t ex att av de 10 stycken 8-åringarna är 4 flickor medan 6 är pojkar,<br />
och att det finns dubbelt så många 10-åriga flickor (4 stycken) som 10-åriga pojkar (2<br />
stycken).<br />
Om man vill jämföra flickornas åldersfördelning med pojkarnas måste man emellertid<br />
också ta hänsyn till att pojkarna är betydligt fler än flickorna. Detta gör man lämpligen<br />
genom att överföra ovanstående tabell till nedan givna tvåvägsindelade frekvenstabell<br />
med relativa frekvenser (här i procent).<br />
Tabell 3. Barn fördelade på kön och ålder<br />
Ålder Flickor<br />
procent<br />
Pojkar<br />
procent<br />
Samtliga<br />
procent<br />
6 6 21 15<br />
7 13 33 25<br />
8 25 25 25<br />
9 31 13 20<br />
10 25 8 15<br />
Totalt 100 100 100<br />
Ur tabellen framgår att åldersfördelningarna är mycket olika för könen. Detta ser man lätt<br />
om man gör “radvisa” jämförelser. T ex gäller att andelen 6-åringar bland pojkarna är<br />
mer än 3 ggr så stor som bland flickorna, (21% jmf 6%). Bland flickorna är andelen barn<br />
under 8 mindre än 20% medan motsvarande andel bland pojkarna ar större än 50%. Andelen<br />
8-åringar är lika stor (25%) bland båda könen medan de 4 stycken 10-åriga flickorna<br />
utgör en mer än 3 ggr så stor andel som de 2 stycken 10-åriga pojkarna (25% jmf 8%).<br />
Sammanfattningsvis tenderar flickorna att vara äldre medan pojkarna i större utsträckning<br />
är yngre. Detta slår igenom i medeltalen för ålder som här betecknas med variabelbeteckningen<br />
med en “ribba” över (x-bar).<br />
8
1 2 4 5 4<br />
X F<br />
= ⋅ 6 + ⋅ 7 + ⋅8<br />
+ ⋅ 9 + ⋅10<br />
=<br />
16 16 16 16 16<br />
0.06 ⋅ 6 + 0.13⋅<br />
7 + 0.25⋅8<br />
+ 0.31⋅<br />
9 + 0.25 ⋅10<br />
= 8.56<br />
↑ ↑ ↑ ↑ ↑<br />
6% 13% 25% 31% 25%<br />
från tabell<br />
3<br />
X<br />
P<br />
= 0 .21⋅<br />
6 + 0.33⋅<br />
7 + 0.25⋅8<br />
+ 0.13⋅9<br />
+ 0.08⋅10<br />
= 7.54<br />
Flickorna är alltså i genomsnitt (aritmetiskt medelvärde) drygt ett år äldre än pojkarna.<br />
Nu övergår vi till problemet att jämföra könen med avseende på veckopeng.<br />
Vi kan tänka oss att först betrakta en tvåvägsindelad frekvenstabell eller -ännu enklareatt<br />
jämföra medelveckopengen för könen. Beräkning av aritmetiskt medelvärde med avseende<br />
på veckopeng ger<br />
Y<br />
F<br />
= 16.56 kronor respektive Y<br />
P<br />
= 15.67 kronor,<br />
dvs flickorna har i medeltal lite högre veckopeng än pojkarna.<br />
Om vi önskar något mer detaljerad information betraktar vi tvåvägsindelade frekvenstabeller<br />
med variabeln veckopeng klassindelad. Om man vill nöja sig med en mycket grov<br />
klassindelning kan man betrakta nedanstående tabeller.<br />
Tabell 4. Barn fördelade på kön och ålder – antal<br />
Veckopeng Flickor Pojkar<br />
Under 16:50 9 17<br />
16:50 eller mer 7 17<br />
Totalt 16 24<br />
Tabell 5. Barn fördelade på kön och ålder – procent<br />
Veckopeng Flickor Pojkar<br />
Under 16:50 56 71<br />
16:50 eller mer 44 29<br />
Totalt 100 100<br />
Man jämför radvis procenttalen i tabell 5 och finner att andelen med låg veckopeng (här<br />
under 16:50) är högre bland pojkarna än bland flickorna medan andelen med hög veckopeng<br />
är högre bland flickorna än pojkarna. (Ett annat val av klassgräns kunde ha gett en<br />
annan bild.)<br />
Båda de valda sätten att beskriva materialet ger alltså vid handen att flickorna har högre<br />
veckopeng än pojkarna.<br />
9
1.3 Trevägsindelade frekvenstabeller<br />
I det aktuella materialet har vi förutom kunskap om kön och veckopeng även information<br />
om åldern för varje barn. Att åldern är en faktor som har stor betydelse för veckopengens<br />
storlek torde vara ovedersägligt. Låt oss därför ta hänsyn till åldern när vi analyserar<br />
sambandet mellan kön och veckopeng.<br />
Problemet är då att beskriva tre variabler samtidigt. Man kan här välja att göra trevägsindelade<br />
frekvenstabeller, t ex som nedan<br />
Tabell 6. Barn i olika ålder fördelade på kön och veckopeng – procent<br />
Veckopeng 6-åringar 7-åringar 10-åringar<br />
Flickor Pojkar Flickor Pojkar … Flickor Pojkar<br />
Under 16:50 100 100 100 75 … 25 0<br />
16:50 eller mer 0 0 0 25 … 75 100<br />
Totalt 100 100 100 100 … 100 100<br />
Vi kan uppfatta denna trevägsindelade tabell som 5 tvåvägsindelade tabeller (en för 6-<br />
åringar, en för 7-åringar, osv) där man jämför flickor och pojkar med avseende på veckopeng.<br />
Man gör radvisa jämförelser av procenttalen inom varje åldersgrupp. Härav kan man<br />
möjligen ana att andelen pojkar med högre veckopeng (16:50 eller mer) är lika stor eller<br />
större än motsvarande andel bland flickorna för samtliga åldrar.<br />
Den trevägsindelade frekvenstabellen är i detta fall mindre lämplig. Den delar de facto in<br />
totalt 40 personer i 20 grupper. Tabellen blir svåröverskådlig, många “celler” blir tomma<br />
eller nästan tomma och procenttalen baseras i flera fall på en eller ett par individer.<br />
1.4 Tvåvägsindelade medeltalstabeller<br />
Ett bättre alternativ är att bilda en tvåvägsindelad medeltalstabell enligt nedan:<br />
Tabell 7. Genomsnittlig veckopeng för barn i olika åldrar – kronor<br />
Ålder Flickor Pojkar<br />
6 10.0 13.0<br />
7 13.0 14.0<br />
8 14.0 16.0<br />
9 17.0 19.0<br />
10 22.0 23.0<br />
Samtliga 16.56 15.67<br />
Av praktiska skäl är materialet konstruerat så att samtliga betingade medeltal antar heltalsvärden.<br />
Totalmedeltalen är däremot icke heltal.<br />
10
Tabellen konstrueras så att man räknar ut det aritmetiska medelvärdet av veckopengarna<br />
för alla barn av visst kön och viss ålder och för in på därför avsedd plats i tabellen. T ex<br />
fanns 4 stycken 10-åriga flickor (jmf tabell 2). Dessa har följande veckopengar: 20 kr, 22<br />
20 + 22 + 22 + 24<br />
kr, 22 kr, 24 kr och alltså i medeltal = 22 kr.<br />
4<br />
En jämförelse mellan könen med hjälp av tabellen ger vid handen att flickorna i genomsnitt<br />
har lägre veckopeng än pojkarna för samtliga åldrar. Ändå har vi tidigare funnit att<br />
flickorna har högre genomsnittlig veckopeng än pojkarna (16.56 jmf 15.67). Alltså ger<br />
jämförelse av totalmedeltalet en annan bild av sambandet mellan kön och veckopeng än<br />
en jämförelse mellan de betingade medeltalen. Orsaken till denna skenbara anomali utreds<br />
i det följande.<br />
Den genomsnittliga veckopengen för de 16 flickorna kan ses som ett vägt medeltal av de<br />
olika åldrarnas medelveckopeng - de betingade medeltalen. ω<br />
F1<br />
= vikten för 6-åringar,<br />
ω<br />
F 2<br />
= vikten för 7-åringar osv<br />
YF<br />
=<br />
F<br />
ω<br />
F1 ⋅10 + ωF<br />
2<br />
⋅13<br />
+ ω<br />
F 3<br />
⋅14<br />
+ ωF<br />
4<br />
⋅17<br />
+ ω<br />
5<br />
⋅ 22<br />
Den genomsnittliga veckopengen för de 24 pojkarna kan på motsvarande sätt ses som ett<br />
vägt medeltal av pojkarnas betingade medeltal<br />
YP<br />
=<br />
P<br />
ω<br />
P1 ⋅13 + ω<br />
P2<br />
⋅14<br />
+ ωP3<br />
⋅16<br />
+ ω<br />
P4<br />
⋅19<br />
+ ω<br />
5<br />
⋅ 23<br />
Både bland flickorna och bland pojkarna är de betingade medeltalen högre ju högre ålder.<br />
Viktsystemen ωFi<br />
respektive ω<br />
Pi<br />
hämtas från åldersfördelningen för flickorna respektive<br />
pojkarna i tabell 3 (barn fördelade på kön och ålder, uttryckt i procent), dvs<br />
och<br />
ω<br />
F1<br />
= 0.06 ω<br />
F 2<br />
= 0. 13 ω = 0. F 3<br />
25 ω<br />
F 4<br />
= 0. 31 ω = 0. F 5<br />
25<br />
ω<br />
P1<br />
= 0.21 ω<br />
P2<br />
= 0. 33 ω = 0. P3<br />
25 ω<br />
P4<br />
= 0. 13 ω = 0. P5<br />
08<br />
Sålunda blir de två totalmedeltalen<br />
Y<br />
F<br />
= 0.06 · 10 + 0.13 · 13 + 0.25 · 14 + 0.31 · 17 + 0.25 · 22 = 16.56<br />
Y<br />
P<br />
= 0.21 · 13 + 0.33 · 14 + 0.25 · 16 + 0.13 · 19 + 0.08 · 23 = 15.67<br />
11
Skälet till att flickornas totalmedeltal blir högre än pojkarnas är alltså att flickorna har<br />
höga vikter där det är högre veckopeng (äldre barn) medan pojkarna har höga vikter där<br />
det är låg veckopeng (yngre barn).<br />
Att skillnaden mellan totalmedeltalen har blivit som den blivit beror i hög grad på att<br />
flickorna är äldre än pojkarna. Om man vill ge ett mått på skillnaden i veckopeng mellan<br />
flickor och pojkar för barn i samma ålder, blir skillnaden mellan totalmedeltalen här<br />
missvisande. I nästa avsnitt kommer en metod för att konstruera ett bättre mått.<br />
Nu kommer vi till standardvägning och vi anknyter direkt till det tidigare exemplet med<br />
barnen och deras veckopengar.<br />
1.5 Standardvägning<br />
Låt oss göra ett tankeexperiment. I en annan barngrupp uppvisar barnen samma genomsnittliga<br />
veckopeng för varje kombination kön och ålder som i vårt exempel. Emellertid<br />
fördelar sig såväl flickor som pojkar på ålder enligt tabell 8:<br />
Tabell 8. Genomsnittlig veckopeng (kronor) och åldersfördelning (procent) för en<br />
grupp barn<br />
Ålder Genomsnittlig veckopeng<br />
Åldersfördelning<br />
(procent)<br />
(kronor)<br />
Flickor Pojkar Flickor Pojkar<br />
6 10 13 15 15<br />
7 13 14 25 25<br />
8 14 16 25 25<br />
9 17 19 20 20<br />
10 22 23 15 15<br />
Samtliga 14.95 16.70 100 100<br />
Totalmedelvärden för könen Y<br />
F<br />
och Y<br />
P<br />
:<br />
Y<br />
F<br />
= 0.15 · 10 + 0.25 · 13 + 0.25 · 14 + 0.20 · 17 + 0.15 · 22 = 14.95<br />
Y<br />
P<br />
= 0.15 · 13 + 0.25 · 14 + 0.25 · 16 + 0.20 · 19 + 0.15 · 23 = 16.70<br />
Skillnaden mellan könen kan skrivas<br />
Y P<br />
− Y F<br />
= 0.15(13 −10)<br />
+ 0.25(14 −13)<br />
+ 0.25(16 −14)<br />
+ 0.20(19 −17)<br />
+ 0.15(23 − 22) =<br />
0.15⋅<br />
3 + 0.25⋅1+<br />
0.25⋅<br />
2 + 0.20 ⋅ 2 + 0.15⋅1<br />
= 1.75<br />
12
och vi kan notera att resultatet är ett vägt medeltal av de i tabellen observerade radskillnaderna,<br />
något som känns ”rimligt och rättvist”. Detta beror på att pojkar och flickor har<br />
samma åldersfördelning.<br />
Noteras kan att just de valda ”vikterna” (0.15, 0.25, 0.25, 0.20, 0.15) motsvarar den totala<br />
åldersfördelningen i vårt tidigare exempel med de 40 barnen, jmf tabell 3.<br />
I praktiken arbetar man ofta just på detta sätt. Om könen fördelar sig mycket olika på ålder<br />
(som i vårt exempel med de 40 barnen) bildar man standardvägda medeltal, där man<br />
på det sätt vi gjorde ovan beräknar de totalmedeltal, som skulle uppstått om både pojkar<br />
och flickor fördelat sig på ålder som samtliga barn i materialet gör och vi hade fått fram<br />
samma medeltalstabell som den vi har observerat.<br />
Om, som i vårt exempel, samtliga radskillnader har samma tecken, kommer detta tecken<br />
att synas också i skillnaden mellan de standardvägda medeltalen.<br />
1.6 Lite terminologi<br />
Om vi vill undersöka vilken betydelse kön har för veckopengens storlek utgör ”veckopeng”<br />
beroende variabel eller resultatsvariabel, medan kön är undersökningsvariabel. Åldern,<br />
som vi konstanthåller genom att vi gör jämförelser inom varje åldersgrupp, utgör<br />
standardiseringsvariabel eller kontrollvariabel.<br />
I de olika tabeller vi har sett i detta kapitel har vi genomgående låtit vår undersökningsvariabel<br />
dela in materialet i tabellkolumner. Indelning i rader i tabellen bestäms av den beroende<br />
variabeln i frekvenstabeller (jmf t ex tabellerna 4, 5, 6) och av standardiseringsvariablerna<br />
i medeltalstabeller.<br />
Vid beräkningen av standardvägda medeltal på föregående sida valde vi samtliga barns<br />
fördelning på ålder som standardfördelning Det förekommer att man hämtar sina standardvikter<br />
från någon annan standardfördelning. T ex kan man beräkna standardvägda<br />
medeltal baserade på att både flickor och pojkar fördelar sig på ålder som flickorna gör,<br />
dvs använda flickornas åldersfördelning som standardfördelning.<br />
Antag att vi vill jämföra veckopengen för pojkar och flickor i samma ålder och även sortera<br />
med hänsyn till ”förekomst av äldre syskon”. I så fall kan vi bilda en tabell på följande<br />
form:<br />
13
Genomsnittlig veckopeng<br />
Ålder Har äldre syskon Flickor Pojkar<br />
. . . .<br />
7 Nej 11 12<br />
7 Ja 15 16<br />
8 Nej 12 15<br />
. . . .<br />
och arbeta på den på liknande sätt som ovan. Varje ålderskategori hade då delats upp i två<br />
delar och vi hade fått 2 standardiseringsvariabler (kontrollvariabler) nämligen ålder och<br />
”förekomst av äldre syskon”.<br />
1.7 Uppgift<br />
På ett medelstort företag sammanställer man på personalavdelningen uppgifter om de anställdas<br />
sjukfrånvaro. Man finner att under föregående verksamhetsår var den genomsnittliga<br />
sjukfrånvaron bland kvinnorna 6.77 dagar och bland männen 8.90 dagar. Med<br />
ledning av nedanstående medeltalstabell kan man närmare analysera statistiken över sjukfrånvaro.<br />
Tabellen redovisar den genomsnittliga sjukfrånvaron bland männen och kvinnorna<br />
i företaget med uppdelning på ”arbetsplats” och ålder.<br />
Genomsnittlig sjukfrånvaro 1999 i antal dagar (antal anställda anges inom parantes):<br />
Arbetsplats Ålder Kvinnor Män<br />
Avdelning I Yngre 6.2 (40) 6.4 (15)<br />
Äldre 5.4 (110) 5.5 (35)<br />
Avdelning II Yngre 9.4 (50) 9.9 (400)<br />
Äldre 7.6 (50) 8.1 (300)<br />
Totalt 6.77 (250) 8.90 (750)<br />
a) Jämför kvinnors sjukfrånvaro med männens med hjälp av standardvägning. Standardvikterna<br />
skall hämtas från samtliga anställdas fördelning på arbetsplats och ålder.<br />
b) Jämför resultaten i a) med den bild man får om man jämför kvinnor och män i hela företaget<br />
(6.77 respektive 8.90 dagar). Förklara vad som orsakar skillnaden.<br />
Svar<br />
a) Standardvägda medeltal för kvinnorna 8.01 och för männen 8.44.<br />
14
2. Om variabeltransformationer<br />
2.1 Linjär variabeltransformation<br />
Om<br />
Y<br />
= a + b ⋅ X<br />
där<br />
• a och b är vilka konstanter som helst<br />
• X har väntevärde µ<br />
X<br />
2<br />
• X har varians σ<br />
X<br />
och alltså standardavvikelse σ<br />
X<br />
så gäller att<br />
µ<br />
Y<br />
= a + b ⋅ µ<br />
X<br />
σ<br />
2<br />
Y<br />
= b<br />
2<br />
⋅σ<br />
2<br />
X<br />
σ<br />
Y<br />
=<br />
σ<br />
2<br />
Y<br />
2.2 Summor och differenser av slumpvariabler<br />
Om en slumpvariabel, W, utgör summan av (eller differensen mellan) två oberoende<br />
slumpvariabler U och Z, enligt<br />
W = U +<br />
eller<br />
Z<br />
W<br />
= U − Z<br />
så gäller att<br />
σ = σ + σ<br />
2<br />
W<br />
2<br />
U<br />
2<br />
Z<br />
15
3. Om statistiska undersökningar – inför och under projektet<br />
Statistiska undersökningar handlar om att kontakta ett stort antal personer, vanligtvis genom<br />
enkäter, och till varje person ställa frågor med ett antal i förväg konstruerade svarsalternativ<br />
för att sedan med statistiska metoder bearbeta och dra slutsatser från denna information.<br />
Centrala begrepp är population och stickprov – vi drar ett stickprov, kontaktar<br />
dessa individer och använder deras svar för att dra slutsatser om populationen.<br />
Vad karaktäriserar då en statistisk undersökning? Den första och uppenbara faktorn är att<br />
vi använder oss av siffror, och därmed kan vi upptäcka och dra slutsatser från mycket<br />
små skillnader som uppträder i materialet. Vi kan även ställa upp hypoteser och på statistisk<br />
väg testa dessa hypoteser mot data vi samlat in. Dessutom har vi möjlighet att kvantifiera<br />
samband mellan olika faktorer, det vill säga ta reda på hur starka sambanden är och<br />
hur mycket de olika faktorerna påverkar varandra.<br />
Inom ramen för projektarbetet kommer ni att få pröva på metodiken för att göra en enkätundersökning,<br />
samt få en inblick i svårigheter och potentiella felkällor med detta undersökningsupplägg.<br />
Vi kommer också att få lära oss, genom att studera varandras arbeten,<br />
att kritiskt tolka resultaten av redan gjorda statistiska undersökningar.<br />
Det följande materialet är uppbyggt i tre delar. I den första delen diskuteras populationer,<br />
stickprov och variabler, och det beskrivs vilka statistiska metoder som bör användas beroende<br />
på vilken studiedesign vi väljer. Den andra delen hänvisar kortfattat till de metoder<br />
som beskrivs i kursboken. Den tredje delen beskriver metodiken för att genomföra en<br />
statistisk undersökning. I filen Exempel på statistisk rapport på kurshemsidan finns enkät<br />
och rapport från en studie av östgötars e-handelsvanor. Från denna kan ni hämta idéer<br />
och få konkreta tips på enkätkonstruktion, studiedesign och rapportupplägg.<br />
3.1 Del I: Om variabler, populationer och stickprov<br />
3.1.1 Variabler<br />
Vi börjar med att fundera kring begreppet variabel. Vad är en variabel? Jo, förstås något<br />
som varierar, och vi vet ungefär vilka utfallen kan tänkas bli men inte vilket. Att fråga sig<br />
om det ska bli krona eller klave när vi singlar slant är exempel på en variabel: antingen<br />
blir det krona eller så blir det klave, men vi vet inte på förhand vilket det blir. När vi arbetar<br />
med en enkät är varje fråga en variabel. I det följande kommer orden fråga och variabel<br />
att användas omväxlande beroende på sammanhanget, men håll hela tiden i bakhuvudet<br />
att vi i sammanhanget av statistiska undersökningar betraktar orden variabel och<br />
fråga som synonymer.<br />
Det finns två typer av variabler.<br />
16
1. Kvalitativa variabler. Kvalitativa variabler är variabler som inte har något numeriskt<br />
värde: det går inte att på ett naturligt sätt beskriva variabeln med siffror.<br />
Exempel på kvalitativa variabler: kön, nationalitet, om man har husdjur eller ej.<br />
2. Kvantitativa variabler. Kvantitativa variabler är variabler som antar siffervärden.<br />
Här skiljer vi på<br />
- diskreta kvantitativa variabler: variabler som endast kan anta heltalsvärden<br />
samt på<br />
- kontinuerliga kvantitativa variabler: variabler som kan mätas med<br />
många decimalers noggrannhet.<br />
Exempel på kvantitativa variabler: antalet syskon (diskret), en persons längd och vikt<br />
(kontinuerliga).<br />
Med utgångspunkt från vilken typ av variabel vi har (kvantitativ eller kvalitativ) så finns<br />
det olika skalor (eller mätnivåer som det också kallas), för vilka vi konstruerar svarsalternativen<br />
för frågorna. Varför behöver vi veta detta? Jo, det avgör vilka statistiska metoder<br />
vi har möjlighet att använda oss av när vi ska analysera svaren vi fått på frågan. Det<br />
finns tre olika skalor:<br />
1. Nominalskala:<br />
när vi bara kan betrakta svaren som olika grupper. Till denna skala hör endast<br />
kvalitativa variabler. Hur ska vi då veta om vi har att göra med nominalskala? Det<br />
är ofta väldigt enkelt att inse: om svaren helt uppenbart inte har med siffror att<br />
göra, och det inte finns någon logisk rangordning av svarsalternativen.<br />
Exempel: kön, bostadsområde, politisk uppfattning, Ja/Nej-frågor<br />
Exempel: Har du träningskort i Campushallen?<br />
( )Ja ( )Nej<br />
2. Ordinalskala:<br />
när vi betraktar svaren som grupper, men kan rangordna dem. Svarsalternativen<br />
har alltså en inbördes storleksordning, men avstånden kan ändå vara olika mellan<br />
svarsalternativen. Till denna skala hör både kvalitativa och kvantitativa variabler.<br />
Exempel: attityder till olika påståenden, frekvenser (i ord) för olika aktiviteter (t<br />
ex hur ofta man reser till Göteborg)<br />
Exempel: Hur ofta besöker du Campushallen?<br />
( )Varje dag ( )Några gånger i veckan ( )Några gånger i månaden ( )Mer sällan<br />
3. Metrisk skala (kallas även intervallskala):<br />
för kvantitativa variabler, det vill säga när svaren erhålls i siffror. Avstånd kan<br />
mätas mellan svarsalternativen.<br />
Exempel: Frågor med svarsalternativ där ett numeriskt värde skall anges (Hur<br />
lång är du? __________), frågor med svar i intervall av likadan storlek<br />
Exempel: Hur många av förra veckans dagar tränade du på Campushallen?<br />
17
( )0 ( )1 ( )2 ( )3 ( )4 ( )5 ( )6 ( )7<br />
För respektive mätnivå, finns det olika statistiska metoder för att analysera resultaten på<br />
frågan. Närmare bestämt gäller följande (OBS: Beroende på när du läser det här har du<br />
kanske inte hunnit lära dig vad var och en av dessa metoder innebär, men jag kommer att<br />
gå igenom dem på föreläsningarna innan de behöver användas! I kompendiet finns också<br />
djupa förklaringar av vart och ett av dem som du kan använda för självstudier, se del II).<br />
Nominalskala:<br />
1. Typvärde<br />
2. Andelar<br />
3. Konfidensintervall för andelar<br />
4. Hypotesprövning för andelar<br />
5. Chi-tvåtest<br />
Ordinalskala:<br />
1. Median<br />
2. Kvartiler<br />
3. Kvartilavstånd<br />
4. Andelar<br />
5. Konfidensintervall för andelar<br />
6. Hypotesprövning för andelar<br />
7. Chi-tvåtest<br />
Metrisk skala:<br />
1. Medeltal<br />
2. Standardavvikelse<br />
3. Median<br />
4. Kvartiler<br />
5. Kvartilavstånd<br />
6. Andelar<br />
7. Konfidensintervall för medelvärde<br />
8. Konfidensintervall för andelar<br />
9. Hypotesprövning för medelvärde<br />
10. Hypotesprövning för andelar<br />
11. Korrelationskoefficient<br />
12. Regressionsanalys<br />
Vi sammanfattar:<br />
18
FRÅGA<br />
KVALITATIVA<br />
SVARSALTERNATIV<br />
KVANTITATIVA<br />
SVARSALTERNATIV<br />
Nominalskala<br />
Ordinalskala<br />
Ordinalskala<br />
Metrisk skala<br />
Förutom dessa typer av svarsalternativ ska vi också komma ihåg öppna frågor, det vill<br />
säga frågor utan givna svarsalternativ. Öppna frågor är svåra att analysera på statistisk<br />
väg, så istället nöjer man sig oftast med att göra en sammanställning av vilka svar man<br />
fått. Trots detta är det ofta lämpligt att ha med i alla fall en öppen fråga i en enkät, för att<br />
kunna täcka in alla åsikter och minska risken att förvrida undersökningen i en viss riktning.<br />
3.1.2 Population och stickprov<br />
Låt oss nu definiera begreppen population och stickprov. En population är en samling<br />
individer (eller någon annan enhet) som på ett tydligt sätt kan avgränsas, och som vi vill<br />
dra slutsatser om. Exempel på populationer är alla som bor i Linköping eller alla som besökt<br />
ICA Maxi den senaste veckan. Den population som vi vill undersöka kallas målpopulation.<br />
De individer som det faktiskt finns ett register över, och som vi vet att det finns<br />
en teoretisk chans att vi kan få tag i, kallas rampopulation. Men vi kan inte undersöka<br />
alla individer i rampopulationen, eftersom somliga inte går att få tag i, andra inte vill svara<br />
och framförallt är det väldigt dyrt att göra en stor undersökning. Istället väljer vi ut en<br />
delmängd ur populationen: vi drar ett stickprov.<br />
Population<br />
Stickprov<br />
19
3.1.3 Urvalsramar och deras problem<br />
Som vi inser är målpopulation och rampopulation sällan identiska. Det register som definierar<br />
rampopulationen kallas med statistiskt språkbruk för urvalsram. Det inses att register<br />
knappast kan hållas ständigt uppdaterade, och därför finns det skillnader/problem med<br />
urvalsramen jämfört med målpopulationen. De vanligaste problem som kan inträffa är<br />
övertäckning, undertäckning och replikat.<br />
Övertäckning<br />
Om urvalsramen innehåller enheter (individer) som inte tillhör målpopulationen kallas<br />
dessa övertäckning. Exempel är personer i ett register som har flyttat, avlidit, utgått ur en<br />
förening och liknande. Om urvalsramen utgörs av en lokal, kan det i lokalen vid tidpunkten<br />
för vår studie vistas personer som inte tillhör den population som vi vill undersöka.<br />
Problemet är inte så allvarligt som det låter, eftersom vi genom att ställa lämpliga frågor i<br />
enkäten enkelt kan identifiera ”främmande” individer i det urval som tas. När de väl är<br />
identifierade kan vi helt enkelt plocka bort de enkäterna, och justera den totala stickprovsstorleken.<br />
Värre är det om en mycket stor andel av urvalet utgörs av övertäckning. I<br />
sådana fall är ram- och målpopulation så skilda att en ny urvalsram krävs.<br />
Undertäckning<br />
Undertäckning är motsatsen till övertäckning, det vill säga att det finns individer i målpopulationen<br />
som saknas i urvalsramen.<br />
Undertäckning uppstår lika naturligt som övertäckning, men är ett mycket allvarligare<br />
problem eftersom det kan inte upptäckas under själva undersökningen. Undertäckning<br />
kan därför bara förebyggas genom att välja en så pass uppdaterad urvalsram att problemet<br />
minimeras.<br />
Undertäckning kan bedömas vara ett mindre bekymmer om det finns anledning att tro att<br />
den del av populationen som inte kommer med i urvalet kan förväntas ha samma åsikter<br />
som de som finns i urvalsramen. Försiktighet gäller dock vid sådana överväganden.<br />
Replikat<br />
Det finns fler ramproblem än de nämnda. Bland annat är det ganska vanligt att urvalsramen<br />
innehåller replikat av enheter.<br />
Exempel: Om vi avser att studera en population av hushåll, men väljer en urvalsram som<br />
består av individer inser vi att det finns risk att vi väljer två personer som tillhör samma<br />
hushåll.<br />
Risken för replikat är viktig att känna till när undersökningar planeras.<br />
20
3.1.4 Hur dra stickprov?<br />
Så, då inställer sig naturligt frågan, hur ska vi dra stickprovet ur populationen för att det<br />
ska bli så representativt som möjligt, det vill säga spegla populationen så väl som möjligt?<br />
Det finns många olika sätt som alla har sina fördelar och nackdelar. Vi inriktar oss<br />
mot urval som är av typen sannolikhetsurval. Med detta menas att vi tar slumpen till hjälp<br />
för att göra urval som är så lika populationen som möjligt.<br />
Vi kommer att gå igenom två metoder för att dra urval i denna kurs: obundet slumpmässigt<br />
urval och stratifierat urval men i sammanhanget nämns också systematiskt urval<br />
samt på stan-urval.<br />
3.1.5 Obundet slumpmässigt urval<br />
Obundet slumpmässigt urval (OSU) är den absolut vanligaste metoden för att dra stickprov.<br />
Denna princip bygger på att alla individer i populationen har lika stor sannolikhet att bli<br />
utvalda i stickprovet, och den sannolikheten är stickprovsstorleken/populationsstorleken<br />
(där stickprovsstorleken betecknas n och populationsstorleken N, dvs sannolikheten att en<br />
viss individ blir utvald är n/N).<br />
Exempel: Om vi tänker oss alla i ett klassrum som vår population, och vi vill undersöka<br />
genomsnittsvikten. Att väga alla studenter i klassrummet skulle ta längre tid än vad vi<br />
har, så då kan det ju vara lämpligt med ett stickprov om säg, 20 personer. Det enklaste<br />
sättet att göra ett OSU skulle då vara att skriva ned allas namn på lappar, lägga dem i en<br />
låda och dra 20 lappar ur lådan. Då har slumpen valt ut 20 personer åt oss och alla har<br />
lika stor chans att bli utvalda. Risken för att resultaten ska bli snedvridna är minimerad.<br />
I anslutning till OSU bör även nämnas systematiskt urval. Metoden bygger på att vi har<br />
en förteckning över individer, och att vi sedan bestämmer oss för att exempelvis plocka<br />
ut var femte individ från den listan. Metoden förutsätter givetvis att vi har en god förteckning<br />
som alla individer finns med på.<br />
Exempel: Låt oss utgå från klasslistan för populationen i föregående exempel. Antag att<br />
det finns 120 namn på listan. Vi vill fortfarande ha ett urval om 20 personer, så vi börjar<br />
exempelvis på plats nummer fyra på listan och plockar sedan ut individen på plats nummer<br />
fyra, plats nummer åtta, plats nummer tolv och så vidare, tills vi har fått 20 personer.<br />
På stan-urval är också en variant på OSU. Detta är den urvalsmetod som vi oftast kommer<br />
i kontakt med. Principen för ett på stan-urval är att vi aktivt söker upp respondenterna,<br />
exempelvis genom att stå på en välfylld gata och tillfråga folk som passerar förbi. Här<br />
gäller det dock att dra sig till minnes idén med sannolikhetsurval, och ta slumpen till<br />
21
hjälp. Detta kan vi göra genom att exempelvis tillfråga var tionde person som passerar<br />
oss. Syftet med detta är förstås att göra ett urval bland alla individer som passerar förbi,<br />
inte bara de som ser vänliga ut och som verkar ha tid. Ytterligare att tänka på är att dela<br />
ut enkäterna vid några olika tidpunkter, för att undvika att bara få en viss sorts respondenter.<br />
Om vår population är alla boende i Linköping, och vi delar ut enkäter på en affärsgata<br />
under dagtid får vi en övervikt av pensionärer, barnfamiljer och arbetslösa i urvalet. Om<br />
vår population är studerande vid Linköpings Universitet och vi delar ut enkäter utanför<br />
C-huset får vi mest med teknologer och studerande vid filosofiska fakulteten men få lärare<br />
eller hälsostuderande.<br />
I samband med projektet kommer det (högst antagligen) vara ett på stan-urval ni genomför,<br />
exempelvis med populationen ekonomstuderande vid Linköpings Universitet och urvalsram<br />
de studenter som befinner sig i klassrummet när ni går dit för att dela ut enkäter.<br />
3.1.6 Stratifierat urval<br />
Låt oss nu utgå från en population som på ett tydligt sätt kan delas upp i grupper med avseende<br />
på den egenskap som vi är intresserade av att undersöka (detta kallas för en heterogen<br />
population, till skillnad från den population som vi drog OSU ur som istället kallas<br />
homogen). Dessa grupper kallas strata, och ett OSU görs sedan ur varje strata. Detta är<br />
principen för stratifierat urval, och syftet är att minska standardavvikelsen, vilket i sin tur<br />
ger smalare konfidensintervall och därmed säkrare slutsatser.<br />
Hur görs då indelningen i strata? Har vi information från en tidigare studie kan det förstås<br />
vara värdefullt, eller så får vi använda sunt förnuft. Om vi exempelvis vill studera inkomstnivåer<br />
skulle det kunna vara en god idé att stratifiera med avseende på om individen<br />
bor i villa, bostadsrätt eller hyresrätt, eller med avseende på i vilket av stadens områden<br />
individen bor. På det sättet kan vi komma fram till lämpliga sätt att dela upp populationen.<br />
Exempel: I vårt exempel med vikter i klassrummet skulle vi kunna tänka oss att vi delar<br />
upp studenterna i klassrummet i kvinnor och män, och sedan gör vi om idén med namn i<br />
en låda fast med en separat låda för kvinnor och en för män, med 10 lappar i varje. Detta<br />
att vi delar upp populationen i kvinnor och män kallas att vi delar upp den i två strata.<br />
3.1.7 Hur stort stickprov bör vi dra?<br />
Hur stort stickprov som bör dras är en mycket komplex fråga som avgörs av faktorer såsom<br />
krav på maximal osäkerhet, kostnader, tillgänglig tid osv. Generellt gäller att man<br />
inte bör göra ett urval om mindre än 100 enheter. Syftet med detta är att ett mindre urval<br />
än så kommer att vara mycket svårt att analysera, då de statistiska metoder vi tar upp här<br />
annars inte kommer att fungera.<br />
22
Merarbetet att dela ut fler enkäter understiger vida de problem vi måste lösa om vi gjort<br />
en för liten undersökning.<br />
För projektets skull rekommenderar jag att ni får in svar på minst 100 enkäter.<br />
3.1.8 Lathund för stickprovsmetoder<br />
Kan vi undersöka<br />
hela populationen?<br />
Ja<br />
Nej<br />
Gör en<br />
totalundersökning<br />
Hurdan är<br />
populationen?<br />
Homogen<br />
Heterogen<br />
Har vi något<br />
register över<br />
populationen?<br />
Stratifierat<br />
urval<br />
Ja<br />
Nej<br />
Vet vi något<br />
om<br />
spridningen i<br />
populationen?<br />
Systematiskt<br />
urval<br />
OSU<br />
Ja<br />
Nej<br />
Neymanallokering<br />
Proportionell<br />
allokering<br />
3.2 Del II: Dataanalys<br />
3.2.1 Typvärde<br />
Typvärdet är det vanligaste värdet, det vill säga det alternativ som flest har valt på den<br />
aktuella frågan. Engelsk benämning är mode och vi kallar ibland måttet för modalvärde.<br />
Vi får fram det helt enkelt genom att räkna antalet svar på respektive svarsalternativ för<br />
en fråga, och det svarsalternativ som fått flest kryss är typvärdet.<br />
23
3.2.2 Median<br />
Medianen är det mittersta värdet när vi har storleksordnat alla värden. Medianens position<br />
kan räknas ut genom där n är antalet observationer (observera att ekvationen<br />
n +1<br />
2<br />
inte ger medianens värde, utan endast på vilken plats i datamaterialet vi hittar den!).<br />
Mer om medianen hittar vi i kursbokens kapitel 2.<br />
3.2.3 Kvartiler och kvartilavstånd<br />
Kvartiler är mått på spridningen.<br />
• Första (eller nedre) kvartil: medianen i den första halvan av de storleksordnade<br />
värdena<br />
• Tredje (eller övre) kvartil: medianen i den andra halvan av de storleksordnade<br />
värdena<br />
• Kvartilavstånd: differensen mellan tredje och första kvartil<br />
Mer om kvartiler hittar vi i kursbokens kapitel 2.<br />
3.2.4 Medelvärden, andelar och konfidensintervall vid OSU<br />
Låt oss anta att vi gjort ett OSU och vill analysera resultaten på en fråga. Det finns två<br />
typer av parametrar vi kan räkna på när vi har gjort ett stickprov:<br />
• medelvärden (när vi har metriska svarsalternativ) och<br />
• andelar (när vi har nominala eller ordinala svarsalternativ).<br />
För både medelvärden och andelar kan vi beräkna punktskattningar (stickprovsmedelvärdet<br />
respektive stickprovsandelen är punktskattningar av det sanna populationsmedelvärdet<br />
respektive populationsandelen) och konfidensintervall (när vi lägger ett osäkerhetsintervall<br />
kring punktskattningen, för att kunna uttala oss med statistisk säkerhet om hur väl<br />
parametern vi räknat fram från stickprovet stämmer med populationen). Vi använder oss<br />
av begreppen populationsstatistikor (det okända sanna värdet på en parameter som vi<br />
hade fått fram om vi undersökt alla individer i hela populationen) och stickprovsstatistikor<br />
(det värde på en parameter som vi fått från stickprovet).<br />
24
Tabell med i statistisk litteratur vanligt förekommande beteckningar på populations- och<br />
stickprovsstatistikor<br />
Typ<br />
Populationsstatistika<br />
Stickprovsstatistika<br />
(resultat från stickprovet)<br />
(okänd sanning)<br />
Medelvärde µ x<br />
Andel p pˆ<br />
Varians (för medelvärde)<br />
Standardavvikelse<br />
(för medelvärde)<br />
2<br />
σ<br />
σ<br />
Exempel på medelvärden: Om vi vill undersöka vilken genomsnittslängden på studenterna<br />
i ett klassrum är, då räknar vi på medelvärden.<br />
Exempel på andelar: Om vi vill veta hur stor andel av personerna i ett klassrum som är<br />
kvinnor, då räknar vi på andelar.<br />
Medelvärden och konfidensintervall<br />
Medelvärden och tillhörande konfidensintervall beräknas som följer. Kom ihåg att vi endast<br />
kan beräkna medelvärden när vi har metriska svarsalternativ på en fråga.<br />
• Punktskattning för medelvärde:<br />
∑ x<br />
x =<br />
n<br />
• Standardfel 1 för medelvärde:<br />
2<br />
s ⎛ n<br />
SE = ⎜1<br />
−<br />
n ⎝ N<br />
• Konfidensintervall för medelvärde:<br />
2<br />
s ⎛ n<br />
x ± z ⎜1<br />
−<br />
n ⎝ N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Här känner vi igen z som tabellvärdet från normalfördelningen. Jag har här valt att uttrycka<br />
formlerna med z istället för t (tabellvärdet från t-fördelningen) trots att σ är<br />
okänd. Anledningen till att jag tar mig denna frihet är att t-fördelningen konvergerar mot<br />
(övergår i) normalfördelningen när stickprovsstorleken är stor (titta i t-tabellen så ser ni<br />
det!), och i de sammanhang vi kommer att använda dessa formler kommer n att vara stor<br />
nog för att detta ska gälla. Fördelen med denna förenkling är förstås att vi slipper fundera<br />
över antalet frihetsgrader i t-fördelningen.<br />
2<br />
s<br />
s<br />
1 Standardfel (i kursboken standard error) är det mått på standardavvikelse som vi använder när vi baserar<br />
skattningen på ett stickprov. I uttrycket för standardfelet ingår s, som är den vanliga standardavvikelsen.<br />
25
s, som ingår i standardfelet (se fotnot) är stickprovsstandardavvikelsen och beräknas som<br />
1<br />
2<br />
s = ∑(<br />
x − x)<br />
.<br />
n −1<br />
⎛ n ⎞<br />
Delen ⎜1 − ⎟ kallas för ändlighetskorrektion. Den ingår i ekvationen för att justera för<br />
⎝ N ⎠<br />
hur stor andel av populationen som vårt stickprov utgör. Ju större stickprovet är relativt<br />
populationen, desto säkrare blir förstås våra slutsatser. Det är inte alltid vi inkluderar ändlighetskorrektionen<br />
i beräkningen: i kursboken görs det exempelvis inte. Jag har valt att<br />
inkludera den i dessa ekvationer därför att (i) det är bra att känna till den och (ii) när ni<br />
arbetar med projektet kan ni prova på att använda den i praktiken (om ni känner populationsstorleken!)<br />
och se hur mycket den påverkar beräkningarna. När ska vi då använda<br />
den? Om N (= populationsstorleken) är känd så skadar det inte att inkludera ändlighetskorrektionen,<br />
annars använder vi den inte!<br />
Andelar och konfidensintervall<br />
Andelar kan vi beräkna när en fråga har ordinala eller nominala svarsalternativ:<br />
• Punktskattning för andel:<br />
antal _ som _ uppfyller _ egenskap<br />
pˆ =<br />
totalantalet<br />
• Standardfel för andel:<br />
pˆ(1<br />
− pˆ)<br />
⎛<br />
SE = ⎜1<br />
−<br />
n ⎝<br />
n<br />
N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
• Konfidensintervall för andel:<br />
pˆ(1<br />
− pˆ)<br />
⎛<br />
pˆ<br />
± z ⎜1<br />
−<br />
n ⎝<br />
n<br />
N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
där z är tabellvärde från normalfördelningen 2 .<br />
Information om<br />
• medelvärden, varians och standardavvikelse hittar vi i kursbokens kapitel 2<br />
• konfidensintervall för medelvärden i kapitel 14<br />
• andelar i kursbokens kapitel 20<br />
• konfidensintervall för medelvärden i kapitel 20.<br />
2 Kom ihåg att vi alltid, oavsett stickprovsstorlek, använder normalfördelningen när vi arbetar med andelar!<br />
26
3.2.5 Medelvärden, andelar och konfidensintervall vid stratifierat urval<br />
Låt oss nu anta att populationen är indelad i L strata med stratumstorlekarna N 1 , N 2 ,…,N L<br />
där N 1 + N 2 + … + N L = N (det vill säga, summan av de individuella stratumstorlekarna<br />
är den totala populationsstorleken). Enklaste fallet är då L = 2 och nedan redovisas teorin<br />
för detta.<br />
Så snart vi har gjort en uppdelning av populationen i L = 2 strata kan vi göra stickprov<br />
med hjälp av OSU från respektive strata. Närmare bestämt väljer vi med slumpens hjälp<br />
ut n 1 individer från stratum 1 (t ex n 1 män) och n 2 individer från stratum 2 (t ex n 2 kvinnor).<br />
I det första urvalet får vi medelvärdet x1och standardavvikelsen s 1 samt andelen ˆp<br />
1.<br />
I det andra urvalet får vi medelvärdet x2<br />
och standardavvikelsen s 2 samt andelen ˆp<br />
2<br />
.<br />
Baserat på denna information kan vi nu väga samman informationen från de två strata till<br />
en punktskattning av medelvärde för hela populationen, en punktskattning av andel för<br />
hela populationen samt korresponderande konfidensintervall:<br />
• Punktskattning av medelvärde:<br />
N1<br />
N<br />
2<br />
x STR<br />
= x1<br />
+ x2<br />
N N<br />
• Standardfel för medelvärde:<br />
2 2<br />
⎛ N1<br />
⎞ s ⎛<br />
⎜ ⎟<br />
1<br />
n<br />
=<br />
⎜ −<br />
1<br />
SE STR<br />
1<br />
⎝ N ⎠ n1<br />
⎝ N1<br />
⎞ ⎛ N<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝ N<br />
2<br />
⎞ ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
s<br />
n<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝ N<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
• Konfidensintervall för medelvärde 3 :<br />
x STR<br />
± z<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2<br />
N1<br />
⎞ ⎟<br />
N ⎠<br />
s<br />
n<br />
2<br />
1<br />
1<br />
⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝ N<br />
1<br />
1<br />
⎞ ⎛ N<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝ N<br />
2<br />
⎞ ⎟<br />
⎠<br />
2<br />
s<br />
n<br />
2<br />
2<br />
2<br />
⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝ N<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
• Punktskattning av andel:<br />
N N<br />
1 2<br />
pˆ<br />
ˆ ˆ<br />
STR<br />
= p1<br />
+ p2<br />
N N<br />
• Standardfel för andel:<br />
SE STR<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
N<br />
N<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
pˆ<br />
1(1<br />
− pˆ<br />
1)<br />
⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
n1<br />
⎝ N<br />
1<br />
1<br />
⎞ ⎛ N<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝ N<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
pˆ<br />
2<br />
(1 − pˆ<br />
n<br />
2<br />
2<br />
) ⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝ N<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
3 Återigen använder jag här z, dvs normalfördelningen. Detta baserat på samma argument som på sidan 25.<br />
27
• Konfidensintervall för andel:<br />
ˆ<br />
p STR<br />
± z<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
N<br />
N<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
pˆ<br />
1(1<br />
− pˆ<br />
1)<br />
⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
n1<br />
⎝ N<br />
1<br />
1<br />
⎞ ⎛ N<br />
⎟ + ⎜<br />
⎠ ⎝ N<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
pˆ<br />
2<br />
(1 − pˆ<br />
n<br />
2<br />
2<br />
) ⎛ n<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝ N<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Hur stort stickprov ska vi dra ur respektive strata?<br />
Hur ska vi då, när vi står inför att planera en undersökning, bestämma hur många individer<br />
som ska väljas ut ur respektive strata? Detta kallas för att välja allokering.<br />
Ofta väljer man proportionell allokering, där då stickprovsstorleken ur respektive strata<br />
baseras på hur stora strata är. Ur precisionssynpunkt bäst blir det dock om man även tar<br />
hänsyn till stratumspridningarna.<br />
Grovt sett kan man satsa på följande regler:<br />
• fler observationer ur större strata än ur mindre<br />
• fler observationer ur strata med större stratumvarians än ur strata med mindre<br />
stratumvarians<br />
• fler observationer ur strata där det är billigare att göra observationer än ur strata<br />
där det är dyrare att göra observationer.<br />
I situationer, där observationskostnaden är densamma i alla strata uppnås optimal allokering<br />
(minsta möjliga varians för punktskattningen) om urvalet allokeras proportionellt<br />
mot produkten av stratumstorlek och stratumstandardavvikelse. Om kostnaden för att<br />
göra observationer varierar kraftigt mellan olika strata bör hänsyn tas även till den, om<br />
optimal allokering skall uppnås.<br />
3.2.6 Korrelation (endast vid metrisk skala på bägge variablerna!)<br />
Om vi har två variabler med metrisk skala, kan vi ibland vilja beräkna korrelationskoefficienten<br />
mellan dem (kapitel 4 i kursboken).<br />
3.2.7 Regression (endast vid metrisk skala på bägge variablerna!)<br />
Vi kan också tänka oss att vi vill göra en regression av sambandet mellan två (metriska)<br />
variabler. Mer om regression kan vi läsa i kursbokens kapitel 5.<br />
3.2.8 Korstabeller (endast vid nominal- eller ordinalskala!)<br />
Hittills (korrelation och regression) har vi diskuterat hur vi kan analysera sambandet mellan<br />
två variabler på metrisk skala. Nu ska vi övergå till metoder för att analysera sambandet<br />
mellan två (kvalitativa) variabler som är på nominalskala eller ordinalskala.<br />
28
En korstabell (eller tvåvägstabell som det också kallas) är ungefär vad det låter som: på<br />
ena axeln i tabellen har vi de olika klasserna för den ena variabeln, på den andra axeln har<br />
vi klasserna för den andra variabeln. Anledningen till att det heter tvåvägstabell är just att<br />
vi har en tabell för två variabler. Inne i tabellen presenteras sedan antalet individer i varje<br />
grupp.<br />
Exempel:<br />
Borde SVT reklamfinansieras? 1198 slumpmässigt utvalda personer tillfrågades om detta.<br />
Samtidigt noterades om den svarande var kvinna eller man.<br />
Män<br />
Kvinnor<br />
Negativa 410 373<br />
Positiva 120 295<br />
Men detta är inte all information vi kan få från en tvåvägstabell – vi kan också ta fram<br />
vad som kallas marginalfördelningarna! Om vi summerar totalen för respektive variabel<br />
får vi fram marginalfördelningarna.<br />
Exempel (forts):<br />
Män Kvinnor Totalt<br />
Negativa 410 373 783<br />
Positiva 120 295 415<br />
Totalt 530 668 1198<br />
Ofta är dock procent ett bättre mått än absoluta tal för oss.<br />
Exempel (forts):<br />
Män Kvinnor Totalt<br />
Negativa 410 (77%) 373 (56%) 783<br />
Positiva 120 (23%) 295 (44%) 415<br />
Totalt 530 (100%) 668 (100%) 1198<br />
Vi noterar att vi lika gärna skulle ha kunnat räkna ut procentsatserna på andra axeln.<br />
Detta är ett logiskt övervägande – vilken blir lättast att tolka?<br />
Närmare bestämt konstaterar vi att procentsatserna som summerar till 100% för kvinnor<br />
och män kallas betingade fördelningar.<br />
Hur undersöker vi då om det finns något samband mellan två kvalitativa variabler? För<br />
kvantitativa variabler var det ju enkelt, tack vare att vi kunde rita scatterplottar eller genom<br />
att beräkna korrelationskoefficienten. För kvalitativa variabler handlar det istället<br />
om att beräkna procentsatser och dra slutsatser utifrån dem. Vi kan i detta sammanhang<br />
ofta vara hjälpta av att rita diagram för att undersöka svarsfördelningen mellan olika<br />
grupper.<br />
29
90<br />
%<br />
80<br />
Negativa<br />
70<br />
60<br />
Negativa<br />
50<br />
Positiva<br />
40<br />
30<br />
20<br />
Positiva<br />
10<br />
0<br />
Män<br />
Kvinnor<br />
Fig: Ska SVT reklamfinansieras? Diagrammet baserat på svar från 1198 slumpmässigt<br />
utvalda personer.<br />
Från detta diagram ser vi tydligt att en övervägande del av såväl kvinnorna som männen<br />
är negativa till reklamfinansiering av SVT, men att andelen negativa bland männen är<br />
större än bland kvinnorna.<br />
3.2.9 Chitvå-test (endast vid nominal- eller ordinalskala!)<br />
Tänk er att vi har en tvåvägstabell, och att vi vill göra ett test för att undersöka om det<br />
finns någon statistiskt signifikant skillnad mellan de olika grupperna. Vi använder oss då<br />
av chitvå-test (eller χ 2 -test som det också betecknas).<br />
Precis som vid andra test börjar vi med att ställa upp hypoteser.<br />
H 0 : det finns inga skillnader mellan grupperna/ inget samband finns mellan grupperna<br />
H 1 : skillnader finns/ samband finns<br />
Testvariabeln ser ut som följer:<br />
2 ( observerad _ frekvens − förväntad _<br />
χ = ∑<br />
förväntad _ frekvens<br />
frekvens)<br />
2<br />
30
Vi kan alltså tänka oss chi-tvåtestet som en jämförelse mellan vilka värden vi observerat<br />
och vilka värden vi hade kunnat förvänta oss om inga skillnader hade funnits mellan<br />
grupperna. Stora värden på testvariabeln är då ett bevis mot nollhypotesen.<br />
Vad är då observerad och förväntad frekvens? Jo, de beräknas för varje cell i tabellen<br />
som<br />
Förväntad frekvens = (radtotal*kolumntotal)/total<br />
Vi fortsätter med samma exempel.<br />
Exempel (fortsättning):<br />
Finns det statistiskt signifikanta skillnader mellan kvinnor och män i fråga om hur SVT<br />
ska finansieras på 5% signifikansnivå?<br />
H 0 : Inga skillnader finns mellan kvinnor och män i fråga om SVT:s finansiering<br />
H 1 : Skillnader finns<br />
Män Kvinnor Total<br />
Negativa 410 (530*783)/1198 373 437 783<br />
= 346<br />
Positiva 120 184 295 231 415<br />
Total 530 668 1198<br />
(Förväntade frekvenser med fetstil).<br />
Chi-två-värdet kan då räknas ut som<br />
2<br />
χ<br />
(410 − 346)<br />
=<br />
346<br />
2<br />
(373 − 437)<br />
+<br />
437<br />
2<br />
(295 − 231)<br />
+ ... +<br />
231<br />
2<br />
= 61.2<br />
Hur vet vi om nollhypotesen ska förkastas eller ej?<br />
Vi måste då använda oss av en chitvåtabell (kursboken sidan 692), alternativt tittar vi på<br />
p-värdet från utskriften om vi gjort testet i Excel eller Minitab. Som vi ser i en chitvåtabell<br />
definieras chitvåfördelningen av antalet frihetsgrader. Dessa räknar vi ut som<br />
(antalet rader - 1) * (antalet kolumner - 1).<br />
Exempel (fortsättning):<br />
(2-1)(2-1) = 1 Vi hittar värdet 3,84<br />
61,2 > 3,84 => H 0 kan förkastas! Det finns följaktligen signifikanta skillnader mellan<br />
grupperna.<br />
När kan vi då använda chitvåtestet? Kravet är att<br />
1. max 20% av de förväntade frekvenserna är mindre än 5 och<br />
2. att alla förväntade frekvenser är större än 1.<br />
31
Om dessa krav inte uppfylls, vilket ofta inträffar när vi har en enkät med många svarsalternativ<br />
men få respondenter, måste vi slå samman flera svarsalternativ.<br />
3.3 Del III: Enkätens konstruktion och kodning<br />
3.3.1 Att formulera ett frågeformulär<br />
Filen Exempel på statistisk rapport på kurshemsidan innehåller en exempelenkät. Ha<br />
denna i åtanke när du läser följande kapitel.<br />
Nedan följer 11 minnesregler för utformning av enkäter. Tänk dock på att det inte finns<br />
en enda strategi för att utforma en enkät. Varje enkät är unik och intimt kopplad till problemställningen.<br />
1. Eftersträva enkelhet i frågorna. Tänk på att skriva korta frågor.<br />
2. Håll nere antalet frågor. Man tröttnar fort på att fylla i enkäter.<br />
3. Ställ bara frågor som konkretiserar problemställningen. Ställ aldrig några onödiga<br />
frågor, och ställ heller aldrig fler bakgrundsfrågor (kön, ålder, och liknande) än<br />
vad som verkligen behövs.<br />
4. Formulera varje fråga så tydligt som möjligt. Var nästintill naiv i språket.<br />
5. Se till att det finns svarsalternativ för samtliga tänkbara åsikter på varje fråga.<br />
Detta kräver ofta ett alternativ av typen ”Vet ej”.<br />
6. Använd minst en fråga med öppet svarsalternativ. Syftet med detta är naturligtvis<br />
att respondenten ska få möjlighet att ”skriva av sig”. Vi kan även hantera denna<br />
information statistiskt: om flera respondenter skrivit samma sak kan vi beräkna<br />
andelen som gett detta svar.<br />
7. Undvik att be respondenten att rangordna alternativ (frågor av typen sätt en etta<br />
på det tvättmedel du helst köper, en tvåa på det som du näst helst köper osv).<br />
Tänk igenom om ni själva verkligen kan rangordna de alternativ som ges. Det är<br />
ofta svårt. Dessutom krånglar rangordning till de statistiska analyserna.<br />
8. Undvik att låta respondenten ”hoppa” för mycket i enkäten (du som svarat ”Nej”<br />
på fråga 12, gå till fråga 15). Dela hellre upp enkäten så att man successivt ”betar<br />
av” respondenterna efter hur de indelas av enkätfrågorna.<br />
9. Formulera alltid frågorna neutralt. Undvik ledande frågor!<br />
32
10. Undvik hypotetiska frågor. Det är svårt för en respondent att sätta sig in i en situation<br />
på det sätt ni som undersökare vill.<br />
11. Vid frågor som rör attityder, se till att skalan alltid går åt samma håll (t ex alltid<br />
från positivt till negativt).<br />
Till en enkät skall alltid följeinformation finnas. Till postenkäter bifogas ett introduktionsbrev<br />
eller följebrev av vilket skall framgå:<br />
• Vem som har skickat enkäten (och på vems uppdrag)<br />
• Vad undersökningen handlar om<br />
• Varför det finns identifikationsnummer (om sådana finns. Identifikationsnummer<br />
används ofta vid postenkäter, för att vi ska veta vilka som har besvarat enkäten<br />
och vilka som behöver få en påminnelse).<br />
• Var, när och hur man kan ta del av resultaten av undersökningen<br />
• Vem man skall vända sig till (namn och telefonnummer) om man har problem att<br />
fylla i enkäten.<br />
Webbenkäter kan förses med motsvarande introduktionsbrev och vid telefonintervjuer<br />
eller på-stanundersökningar ges muntlig information av liknande slag.<br />
Generellt är principen för konstruktion av frågeformulär att vi börjar med enkla bakgrundsfrågor.<br />
Tänk i detta sammanhang också på att aldrig utlova anonymitet i studien –<br />
för det kan vi aldrig garantera. Däremot kan och bör vi se till att de ifyllda enkäterna hanteras<br />
konfidentiellt, och detta kan vi också skriva i introduktionsbrevet.<br />
För projektet i denna kurs skull är det lagom med cirka 10-12 frågor, inklusive några<br />
bakgrundsfrågor.<br />
3.3.2 Kodning<br />
Det finns olika skolor för hur man kodar besvarade enkäter, och den som kodar har<br />
mycket stora valmöjligheter. Börja alltid, när ni sitter med bunten med ifyllda enkäter<br />
framför er, med att tilldela varje enkät ett löpnummer. Detta löpnummer skriver<br />
vi också in i första kolumnen i Excel när vi kodar. På så sätt är det lätt att gå tillbaka och<br />
spåra eventuella fel.<br />
Nedan följer ett antal exempel på frågor, och hur dessa på ett lämpligt sätt kodas.<br />
Exempel 1: Fråga med endast två svarsalternativ.<br />
Äger du något motorfordon?<br />
( ) Ja ( ) Nej<br />
En fråga av denna typ kodas bäst som 1 och 0: 1 för ja och 0 för nej. Generellt gäller för<br />
frågor med endast två svarsalternativ att de lämpligtvis kodas med 0 och 1 (dvs inte med<br />
1 och 2, som en stor del av litteraturen föreslår).<br />
33
Exempel 2: Fråga med många svarsalternativ, men det är endast tillåtet att fylla i ett<br />
enda svarsalternativ på frågan.<br />
Hur reser du oftast till Göteborg idag?<br />
( ) Med buss och byten mellan olika bussar<br />
( ) Med tåg och byten mellan olika tåg<br />
( ) Med buss och tåg och lämpliga byten<br />
( ) Med bil (egen bil eller samåkning med andra)<br />
( ) Med flyg<br />
( ) På annat sätt än ovanstående<br />
Koda alternativen med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6.<br />
Exempel 3: Fråga med många svarsalternativ, där det är tillåtet att fylla i flera alternativ.<br />
Hur reser du till Göteborg idag? (Flera svarsalternativ får ges)<br />
( ) Med buss<br />
( ) Med tåg<br />
( ) Med bil (egen bil eller samåkning)<br />
( ) Med flyg<br />
( ) På annat sätt än ovanstående<br />
Här är det lämpligt att låta varje svarsalternativ utgöra en egen kolumn i Excel när vi<br />
kodar, och om respondenten valt ett specifikt alternativ får det koden 1, annars koden 0.<br />
Exempel 4: Attitydfrågor ges ofta med svarsskalor av typen<br />
Mycket positiv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mycket negativ<br />
Instämmer inte alls ( ) ( ) ( ) ( ) Instämmer helt och hållet<br />
Svarsstegen kodas med värdena 1, 2, 3,… beroende på hur många skalsteg som finns. I<br />
anslutning till denna typ av svarsalternativ bör vi tänka på att alltid ha ett udda antal rutor,<br />
fem brukar vara lagom. Syftet med detta är att vi vill ha ett neutralt mittalternativ.<br />
Exempel 5: Frekvensfrågor<br />
Jag reser till Göteborg<br />
( ) mindre än en gång per år<br />
( ) 1-6 gånger per år<br />
( ) nästan varje månad<br />
( ) 1-3 gånger per månad<br />
( ) 1-3 gånger per vecka<br />
( ) varje dag eller nästan varje dag<br />
Svarsstegen kodas med värdena 1, 2, 3, ... beroende på hur många skalsteg som finns.<br />
Exempel 6: Som tidigare konstaterats bör frågor där vi ber respondenten att rangordna<br />
svarsalternativ undvikas men om vi ändå väljer sådana svarsalternativ gäller: I frågan<br />
34
skall tydligt framgå hur ranger skall sättas, dvs vad ”1” står för och vad t ex ”5” står för<br />
om det är fem svarsalternativ. Sedan kodar vi helt enkelt så som respondenten har skrivit.<br />
Exempel 7: Hur gammal är du? ______________<br />
Här blir koden helt enkelt den ålder som respondenten uppgett.<br />
3.3.3 Kodning av saknade svar<br />
Om svar saknas på en fråga där respondenten förutsätts svara brukar koden i de flesta statistiska<br />
dataprogram vara *. Programmen kan nämligen hantera denna kod och bortser<br />
automatiskt från detta svar vid statistiska beräkningar. I Excel som vi använder är emellertid<br />
den bästa metoden att helt enkelt lämna cellen tom. Om vi kopierar över materialet<br />
till Minitab ersätts de tomma cellerna automatiskt med *.<br />
Om svar saknas på en fråga där respondenten inte förutsätts svara (kallas legalt bortfall)<br />
sätts en speciell bortfallskod. Denna väljer man ofta till ett stort negativt tal som ligger<br />
långt borta från de vanliga siffrorna man kodar med. Ett vanligt exempel är av någon anledning<br />
värdet −49.<br />
Exempel:<br />
Fråga 4: Reser du med buss när du reser till Göteborg?<br />
( ) Ja ( ) Nej<br />
Fråga 5: Om du svarat Nej på föregående fråga, fortsätt till fråga 6<br />
Vilket bussbolag reser du oftast med vid starten från Linköping?<br />
( ) WeekendBus ( ) CrossSwede ( ) Annat, nämligen ____________<br />
Om respondenten svarat Nej på fråga 4 skall inget svar ges på fråga 5. Bortfallet är då<br />
legalt och kodas med −49<br />
3.3.4 Bortfall<br />
I undersökningar där vi baserar analysen på data insamlade via enkäter eller intervjuer –<br />
t ex opinionsundersökningar och olika typer av marknadsundersökningar – uppstår så<br />
gott som alltid bortfall. Bortfall uppstår genom att personer, som utvalts att ingå i undersökningen,<br />
ej ger upphov till användbara svar. Vanligen tänker man i första hand på det<br />
som skulle kunna kallas totalbortfallet, d v s icke inlämnade enkäter eller intervjuer som<br />
ej kunnat genomföras.<br />
Vi skiljer på två typer av bortfall:<br />
35
1. Totalbortfall: Enkäten har inte besvarats alls<br />
2. Partiellt bortfall (kallas också informulärsbortfall): En eller flera av frågorna på<br />
enkäten har inte besvarats<br />
Bortfall är ett stort problem som kan förskjuta slutsatserna från vår undersökning på ett<br />
allvarligt sätt. Noggrant planerade undersökningar där dimensionering av urvalsstorlek<br />
gjorts enligt konstens alla regler och förberedelser för långtgående analyser finns kan falla<br />
helt och hållet till följd av stort totalbortfall. Bortfall inträffar ofta på frågor av känslig<br />
karaktär.<br />
Bortfall mäts i termen svarsprocent, vilket definieras som<br />
Totalt _ antal _ som _ s var at<br />
S var sprocent =<br />
× 100<br />
Totala _ antalet _ enheter _ i _ det_ ursprungliga _ urvalet<br />
Bortfallsprocenten blir då förstås 100 – svarsprocenten.<br />
Vad är då stort bortfall?<br />
Inga tumregler finns egentligen, men bortfall över 20% brukar ge stora problem.<br />
Varför är bortfall ett problem?<br />
Först kan vi se att bortfall inte vore något allvarligt problem om de som inte svarar liknar<br />
dom som svarar ur för undersökningen viktiga frågor. Emellertid finns det ofta anledning<br />
att tro att så inte är fallet. Vi tar ett par enkla exempel:<br />
• Man vill uppskatta den potentiella marknaden för en ny produkt med hjälp av en<br />
marknadsundersökning av enkättyp. Det visar sig att 40 % av dem, som svarar<br />
uppger att de har behov av den nya produkten. Om detta resultat kunde appliceras<br />
på populationen konsumenter (antag att det handlar om 100 tusen) skulle god<br />
lönsamhet kunna uppnås för den nya produkten. Emellertid är det ett stort antal<br />
av de utvalda personerna som avstår från att svara. Erfarenheten talar för att icke<br />
intresserade är överrepresenterade bland dem som inte svarar.<br />
• Man vill uppskatta den genomsnittliga alkoholkonsumtionen bland vuxna med<br />
hjälp av en enkätundersökning. Mycket talar för att storkonsumenterna i större<br />
utsträckning än andra kommer att avstå från att svara och att man därför får en<br />
underskattning om man applicerar svararnas uppgifter på hela populationen.<br />
Vad kan vi göra åt bortfall?<br />
Ja, först försöker man förstås få bortfallet litet genom en god planering och ett noggrant<br />
genomförande av undersökningen. Det är viktigt med ett bra och tydligt frågeformulär,<br />
som inte är alltför långt, och ett bra följebrev. Och man bör i normalfallet försöka göra<br />
påminnelser, åtminstone en gång.<br />
36
Men vad gör man sedan när man ändå har fått ett bortfall. Nedan följer ett antal tänkbara<br />
åtgärder från mindre lämpliga till mer lämpliga.<br />
• Vanligt är att man låtsas som det regnar och helt bortser från bortfallet, efter ett<br />
konstaterande av typen att ”bortfallet är bara xx % och eftersom svarandeprocenten<br />
alltså är hög så anser vi att resultaten är statistiskt korrekta” (eller något liknande).<br />
Detta är nästan alltid olämpligt, om inte bortfallet är väldigt litet.<br />
• Man ersätter den icke svarande med en mer svarsbenägen (kallas ibland för substitution).<br />
Detta är oftast det sätt man använder när man gör ett på stan-urval.<br />
• Man undersöker hur bortfallet ser ut med avseende på kända faktorer och funderar<br />
kring vilken effekt det kan tänkas ha. Låt oss som exempel anta att man vill undersöka<br />
dagens attityd till avveckling av kärnkraften med hjälp av en postenkät.<br />
Låt oss också anta att man genom tidigare undersökningar funnit att kvinnor är<br />
mer positiva till en snabb avveckling än män. Om männen blir kraftigt överrepresenterade<br />
i bortfallet skulle man kanske snarast luta åt slutsatsen att den skattning<br />
vi får när vi ser på enbart de svarande snarast är en överskattning av andelen positiva.<br />
• Man gör kalkyler med hjälp av antaganden om bortfallet. Ett exempel ges i övning<br />
4:b och i inlämningsuppgift 9).<br />
• Man försöker skaffa information från bortfallet med mer krävande metoder t ex<br />
genom personlig intervju sedan man misslyckats att få svar via postenkät. Man<br />
väljer då ut en mindre del av bortfallet slumpmässigt och sätter till alla klutar för<br />
att få svar: Om man exempelvis vill skatta medelvärdet i en population med ett<br />
konfidensintervall så låter man det lilla urvalet ur bortfallet representera hela bortfallet<br />
och genom vägning (tänk stratifiering!) bildar man en punktskattning och en<br />
felmarginal, där alltså hänsyn tas till bortfallet.<br />
3.3.5 Kort om analys av insamlat datamaterial<br />
Analys av enkätdata kan göras på flera nivåer. En ”komplexitetsgradering” av dessa är<br />
följande:<br />
1. Tabeller, diagram och beskrivande mått<br />
2. Konfidensintervall/hypotesprövning för intressanta storheter (medeltal, andelar,<br />
totalsummor)<br />
3. Jämförelser mellan parametrar med konfidensintervall/hypotesprövning<br />
4. Analys av samband mellan olika frågor på ordinal- eller nominalskala genom χ2-<br />
test<br />
5. Analys av samband mellan olika frågor på metrisk skala med korrelationsmått och<br />
regressionsanalys<br />
37
3.4 Sammanfattningsvis: att göra en statistisk undersökning<br />
Grovt sett, skulle vi kunna säga att det finns 11 steg att gå igenom när vi ska göra en statistisk<br />
undersökning.<br />
1. Första steget när vi ska göra en statistisk undersökning, liksom vid varje typ av<br />
studie, är att formulera syfte. Syftet kan vi sedan bryta ned i några konkreta punkter,<br />
som utgör vår problemformulering. Detta kallas operationalisering.<br />
För att lyckas med en statistisk undersökning, ställs höga krav på frågorna vi ställer.<br />
Närmare bestämt måste vi<br />
• Konstruera frågor som alla kan besvara<br />
• Konstruera svarsalternativ som tolkas entydigt<br />
• Välja skalor på svarsalternativen så att tillräcklig information erhålls<br />
Alla undersökta enheter (individer) hanteras på samma sätt: vi är inte intresserade<br />
av vad en specifik individ tycker eftersom vi vill dra slutsatser om populationen.<br />
Kontakten med individerna sker genom likadana enkäter, i motsats till den kvalitativa<br />
ansatsens djupintervjuer där varje intervju blir unik och där inriktningen<br />
under intervjuns gång kan ändras.<br />
2. Definiera målpopulation för undersökningen och omsätt målpopulationen i en<br />
rampopulation, som utgörs av de individer som vi faktiskt vet existerar och som<br />
vi kan få tag i. Rampopulationen kan exempelvis vara ett register såsom folkbokföringen.<br />
3. Välj om undersökningen skall göras som totalundersökning, där samtliga enheter<br />
i populationen skall ingå, eller som en urvalsundersökning, i vilken endast ett urval<br />
av enheter undersöks. Detta är oftast en kostnadsfråga, samt en fråga om det<br />
faktiskt är möjligt att få tag i alla individer som ingår i rampopulationen.<br />
Om vi bestämmer oss för en urvalsundersökning, vilket är det vanligaste, så måste<br />
vi välja urvalsdesign med utgångspunkt från målpopulationens utseende.<br />
§ Homogen målpopulation Ł OSU<br />
§ Heterogen målpopulation Ł Stratifiering<br />
Vi måste också välja stickprovsstorlek. Denna bestämts framförallt av tillgänglig<br />
tid och budget, men i egenskap av att vara den som genomför undersökningen är<br />
det dessutom viktigt att väga in hur stor precision vi vill uppnå i slutsatserna, det<br />
vill säga bredd hos konfidensintervallen.<br />
4. Välj mätinstrument för frågor:<br />
• Postenkät (”+”: billig, enkel, ”−”: tidskrävande, stor bortfallsrisk)<br />
• Webbenkät (”+”: billig, snabb, ”−”: svårigheter med population)<br />
• Telefonintervju (”+”: snabb, ”−”: dyr)<br />
• Besöksintervju (”+”: säker, ”−”: mycket dyr)<br />
• På stan-undersökning (”+”: billig, enkel, snabb, ”-”: svårt att hantera bortfall)<br />
38
5. Utforma frågeformuläret. I detta steg av undersökningen vill vi göra om abstrakta<br />
begrepp och funderingar till något mätbart.<br />
Börja med att fundera på vilken typ av analyser som vi vill kunna göra. Vill vi<br />
göra hypotesprövning och dra slutsatser genom konfidensintervall? Då krävs det<br />
att vi har frågor som passar till detta. Framförallt gäller att om vi vill kunna göra<br />
regressionsanalyser för att hitta samband, så måste vi skapa frågor där den svarande<br />
själv får skriva in siffror. Hypotesprövningar och konfidensintervall kan vi<br />
bilda utifrån kvalitativa variabler, men då måste vi komma ihåg att vi ska räkna på<br />
andelar.<br />
Vi måste också fundera över undersökningens inriktning:<br />
• Explorativ (för kunskapsbildning på området)<br />
• Deskriptiv (för kartläggning av fakta och enkla samband)<br />
• Förklarande (för detaljinformation om samband)<br />
• Prediktiv (för att skapa underlag för prognoser)<br />
Vi lägger sedan till bakgrundsfrågor om enheterna, som behövs för att samband<br />
skall kunna analyseras (t ex kön, ålder, bostadsort etc.). Lägg inte till bakgrundsfrågor<br />
som inte skall användas!<br />
Slutligen prövar vi vårt frågeformulär på ett litet antal försökspersoner – vi gör en<br />
så kallad pilotstudie.<br />
6. Genomför datainsamling.<br />
7. Koda svaren i enkäterna enligt en kodningsmall och mata in svaren på fil i ett datorprogram<br />
(Excel, Minitab etc.). Lämpligt format är att varje enhet (individ) motsvarar<br />
en rad och varje fråga/delfråga en kolumn.<br />
8. Analysera data statistiskt med utgångspunkt från vilken skala respektive fråga har.<br />
Gör tabeller, diagram, punktskattningar, konfidensintervall, χ2-test, ev, korrelationsberäkningar<br />
och enkla regressionsmodeller.<br />
Givet att vi inte gjort en totalundersökning, är det här viktigt att komma ihåg att vi<br />
faktiskt räknar på resultaten av ett stickprov, men vill dra slutsatser om en population.<br />
9. Analysera resultaten med den referensram som utarbetats för problemområdet.<br />
10. Sammanfatta resultaten av analyserna i konkreta slutsatser och ge förslag till<br />
handlingsprogram utifrån slutsatserna.<br />
11. Ge självkritik<br />
Som vi noterar av ovanstående, ligger en mycket stor del – huvuddelen – av arbetet med<br />
en statistisk undersökning i förberedelser innan datainsamlingen sker. Detta kommer sig<br />
39
av att vi arbetar med standardiserade frågeformulär, som gör det oerhört viktigt att alla<br />
svarsalternativ finns med redan från början.<br />
40
4. Seminarieuppgifter<br />
Kapitelindelningen ansluter till veckobreven (1, 2 o.s.v.) Observera att de numeriska<br />
uppgifterna i normalfallet är påhittade av författaren om det inte tydligt framgår att data<br />
hämtats från en extern källa. Detta gäller för övrigt såväl seminarie- som inlämningsoch<br />
övningsuppgifter.<br />
4.1 Seminarium 1<br />
Uppgift 1:A<br />
Här presenteras data rörande hushållsstorlek (antal personer i hushållet) för de 40 hushåll<br />
som bor i ett visst villaområde:<br />
2 6 4 6 3 4 4 4 4 4 3 7 4 4 5 5 2<br />
5 3 3 5 3 4 5 5 3 6 2 4 4 3 5 1 4<br />
5 4 5 1 5 4<br />
1. Beskriv materialet i en enkel frekvenstabell med såväl absoluta, som relativa frekvenser<br />
och absoluta och relativa kumulerade frekvenser.<br />
2. Beskriv materialet i ett stolpdiagram.<br />
3. Beskriv materialet i ett lådagram.<br />
4. Beräkna medelvärde, varians och standardavvikelse i materialet.<br />
5. Beräkna andelen observationer som är större än 5. Beräkna också andelen observationer<br />
som är större än eller lika med 5.<br />
6. Approximera fördelningen med en normalfördelning med medelvärde och standardavvikelse<br />
som i det faktiska materialet. Beräkna nu utifrån normalfördelningen andelen<br />
av observationerna, som har värden som är större än 5 (med hjälp av normalfördelningstabellen<br />
i boken) respektive större än eller lika med 5. Jämför med resultatet<br />
enligt pkt 5.<br />
7. Som i föregående uppgift men beräkna andelen av observationerna, som har värden<br />
som är mindre än 4 respektive motsvarande andel som har värden mindre än eller lika<br />
med 4. Jämför med motsvarande andelar i det faktiska datamaterialet.<br />
8. I de två föregående punkterna har man jämfört det faktiska datamaterialet med den<br />
approximerande normalfördelningen. Fundera kring vad som egentligen är problemet<br />
och försök tänka ut något sätt att hantera det.<br />
9. Beräkna (med hjälp av normalfördelningsapproximationen) den 90:e percentilen i materialet<br />
(använd alltså normalfördelningstabellen). Jämför med värdet på 90:e percentilen<br />
som man får om man räknar på de 40 observationerna.<br />
Här presenteras nu elförbrukningen i 1000-tal kilowattimmar för de 40 hushållen från A.<br />
9 27 16 22 14 24 24 22 19 21 14 31 19 18 22 15 11<br />
16 13 17 22 14 17 15 24 15 32 12 26 21 22 31 10 25<br />
22 16 12 10 19 11<br />
41
10. Beskriv materialet av elförbrukningsobservationer i ett stam- och blad-diagram.<br />
11. Beräkna medianen.<br />
12. Klassindela materialet i fem klasser och beskriv det klassindelade materialet i en tabell<br />
och i ett histogram.<br />
Uppgift 1:B<br />
Tio slumpmässigt utvalda högskolestuderande med praktikarbete sommaren 2007 beskrivs<br />
med avseende på X: antal studieår vi högskola och Y: månadslön under sommaren<br />
i tkr<br />
Följande data föreligger (x,y):<br />
Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
(1, 11) (2, 11) (2, 14) (3, 12) (3, 14) (3, 16) (4, 13) (4,14) (4,15) (4, 18)<br />
1. Beskriv materialet i ett spridningsdiagram.<br />
2. Beräkna a respektive b enligt regressionsekvationen y = a + bx .<br />
3. Rita in regressionslinjen i diagrammet.<br />
4. Beräkna korrelationskoefficienten r mellan x och y.<br />
5. Bestäm ”förklaringsgraden” (r-kvadrat).<br />
6. Ta fram residualerna och beskriv dem på lämpligt sätt.<br />
7. Sammanfatta vad man kan säga om sambandet mellan studietid och månadslön.<br />
Uppgift 1:C<br />
Man har i en kommun gjort en studie av kostnaderna för färdtjänst. I kommunen finns<br />
3800 färdtjänstberättigade personer. Personerna delas in i sex grupper efter kön och var i<br />
kommunen som man bor. I tabellen nedan redovisas den genomsnittliga kostnaden per<br />
person för färdtjänst under en vecka under hösten i år.<br />
Genomsnittlig kostnad per person den aktuella veckan<br />
Boende Kvinnor Män<br />
Centralt i tätorten 82 kr 80 kr<br />
I utkanten av tätorten 130 kr 120 kr<br />
På landet 162 kr 160 kr<br />
Av tabellen nedan framgår hur de 3800 personerna fördelar sig på de sex grupperna.<br />
Boende Kvinnor Män<br />
Centralt i tätorten 1700 280<br />
I utkanten av tätorten 500 220<br />
På landet 300 800<br />
Totalt 2500 1300<br />
1. Beskriv var och en av de två tabellerna med avseende på om den är en frekvens- eller<br />
en kvottabell, respektive hur mångvägsindelad den är.<br />
2. Beskriv med hjälp av den andra tabellen marginalfördelningen för boende med såväl<br />
absoluta som relativa frekvenser.<br />
3. Beskriv de betingade fördelningarna för boende bland kvinnor respektive bland män<br />
med relativa frekvenser. Respektive kolumn skall alltså summera till 100 procent.<br />
42
4. Beräkna med hjälp av uppgifterna i de båda tabellerna den genomsnittliga kostnaden<br />
för färdtjänst (medeltalet) för kvinnor respektive för män under den aktuella veckan.<br />
5. Beräkna standardvägda medeltal för färdtjänstkostnaden för män respektive kvinnor<br />
den aktuella veckan. Använd standardvikter proportionella mot totala antalet personers<br />
fördelning på boende.<br />
Ledning: Innebörden i detta är att man tänker sig att såväl kvinnorna som männen fördelar sig på<br />
boende som samtliga 3800 personer tillsammans. Läs mer i kompendiet sid 1-14.<br />
6. Jämför kostnaden för kvinnor och män med ledning av dels de båda medeltalen från<br />
4 och dels de båda standardvägda medeltalen från 5 ovan. Försök att förklara varför<br />
de båda könsjämförelserna blir olika.<br />
4.2 Seminarium 2<br />
Uppgift 2:A<br />
Givet är en population med sex element med följande värden på variabeln X:<br />
2 4 4 6 10 16<br />
1. Beräkna medelvärde och standardavvikelse i populationen.<br />
Tänk er nu att man gör ett slumpmässigt urval om n=2 element ur populationen, med lika<br />
sannolikheter och med återläggning mellan dragningarna och bildar urvalsmedeltalet x .<br />
2. Ta fram samplingfördelningen för x genom att dra alla möjliga urval om n=2 enligt<br />
beskrivningen ovan.<br />
3. Beskriv samplingfördelningen i ett stolpdiagram.<br />
4. Beräkna medelvärde och standardavvikelse i samplingfördelningen.<br />
Ledning: Tanken är alltså att man skall räkna ut medelvärde och standardavvikelse bland de x - värden<br />
som man tagit fram i pkt 2 ovan.<br />
5. Undersök/visa att de relationer mellan populationsparametrarna och motsvarande parametrar<br />
i samplingfördelningen för x som enligt litteratur bör gälla faktiskt också<br />
gäller.<br />
6. Är x en unbiased estimator av populationsmedelvärdet?<br />
Uppgift 2:B<br />
Man kastar en röd sexsidig tärning med sidor markerade på ”vanligt” sätt med ett, två,<br />
tre, fyra, fem respektive sex ögon och registrerar antalet ögon upp. Följande händelser<br />
definieras:<br />
A: Minst 4 ”ögon” upp (4, 5, 6) och B: Udda antal ”ögon” upp (1, 3, 5).<br />
Ledning: Använd Dig gärna av Venn-diagram, när Du skall ta ställning till de följande frågorna.<br />
1. Beskriv försökets utfallsrum och de båda händelserna.<br />
2. Bestäm sannolikheterna P(A) och P(B).<br />
3. Bestäm sannolikheterna för komplementhändelserna ”icke-A” och ”icke-B”.<br />
Ledning: Lägg märke till att ”icke-A” är lika med ”Högst tre ögon upp” medan ”icke-B” motsvarar<br />
”Jämnt antal ögon upp”.<br />
43
4. Är A och B oförenliga (disjoint) händelser? Undersök.<br />
5. Är A och B oberoende (independent) händelser? Undersök.<br />
6. Bilda nu slumpvariabeln X som ”antal ögon i ett kast” och beskriv dess sannolikhetsfördelning<br />
i en tabell och i ett diagram.<br />
7. Beräkna förväntat värde/väntevärde (medeltal), varians och standardavvikelse för<br />
slumpvariabeln X.<br />
Man kastar nu två tärningar, vår tidigare röda och en likadan men grön. Beteckna antalet<br />
ögon upp på röd tärning med X och antalet ögon upp på grön tärning med Y. Man bildar<br />
slumpvariabeln ”summan av antalet ögon upp på de två tärningarna” W, d.v.s. W=X+Y<br />
och definierar händelsen C: minst 10 ögon upp.<br />
8. Beskriv försökets utfallsrum och händelsen och bestäm sannolikheten för händelsen<br />
C.<br />
9. Beräkna väntevärde (medelvärde), varians och standardavvikelse för slumpvariabeln<br />
W.<br />
Uppgift 2:C<br />
Vår population utgörs av samtliga småföretag. Vi studerar kostnaderna för sjukfrånvaro,<br />
varabeln X, under en viss period (i tusental kronor). Vi tror att den genomsnittliga kostnaden<br />
(µ) är 60 tkr per företag och att standardavvikelsen (σ) är 16 tkr och arbetar därför<br />
med följande antagande: Det gäller faktiskt att (µ = 60 och σ = 16).<br />
1. Vi gör Obundet Slumpmässigt Urval (OSU, engelska SRS) om n = 400 företag ur<br />
den mycket stora populationen och beräknar urvalsmedeltalet, x . Vad kan vi säga<br />
om fördelningen (samplingfördelningen) för x (enligt Centrala gränsvärdessatsen,<br />
Central limit theorem)?<br />
2. Vad blir väntevärde (medelvärde) och standardavvikelse i samplingfördelningen<br />
för x .<br />
3. Hur stor är sannolikheten att vårt observerade värde på x hamnar mellan 58.43<br />
och 61.57?<br />
4. Om det skulle visa sig att vårt antagande är felaktigt, hur skulle då resultaten under<br />
punkterna 1-3 påverkas?<br />
Uppgift 2:D<br />
Ett livsmedelsföretag saluför bland annat nötkärnor i 100-gramspåsar. Nötpåsarna levereras<br />
till grossist i lådor om 1200 påsar. En grossist mottar en låda nötpåsar. Låt påsvikten<br />
betecknas med X. Vi antar att de 1200 påsvikterna i lådan kan betraktas som N(100, 1.5).<br />
1. Beräkna hur stor andel av nötpåsarna som väger mindre än 99 gram.<br />
2. Hur stor är chansen att en slumpmässigt vald nötpåse ur lådan väger mindre än 99<br />
gram.<br />
3. Om grossisten slumpmässigt väljer två nötpåsar ur lådan, hur stor är då chansen att<br />
båda väger mindre än 99 gram.<br />
Vi återgår till företaget som saluför nötkärnorna. Man har där ett behov av att kontrollera<br />
44
att produktionsprocessen fungerar bra och genomför följande kontrollåtgärd. Ur varje<br />
låda<br />
som skall säljas väljer man slumpmässigt 10 påsar bland de 1200 och beräknar medelvikten,<br />
x . Om x avviker från µ (100 gram) med mer än 1 gram så kasseras hela lådan.<br />
Ledning: Vi antar här liksom i pkt 3. ovan, att vi kan betrakta resultaten av de olika dragningarna som<br />
oberoende observationer. Här är detta antagande mer tveksamt än i pkt 3. Varför?<br />
4. Beräkna chansen att en låda kasseras givet att det faktiskt gäller att µ = 100 g och σ =<br />
1.5 g.<br />
Företaget vill inte förkasta mer än högst 2 % av de korrekta lådorna (µ =100 och σ = 1.5).<br />
Vi har sett (föregående uppgift) att om man kräver att avvikelsen skall vara högst 1 gram<br />
så kommer en högre andel att förkastas.<br />
5. Beräkna storleken på den avvikelse som man måste acceptera om högst 2% av de<br />
korrekta lådorna skall förkastas.<br />
Samtidigt som man vill ha en liten chans (risk) att förkasta en korrekt låda så vill man att<br />
chansen skall vara hög att förkasta en låda som inte är korrekt. Antag att i en låda är<br />
µ =103 g och σ =1.5 g. Lådan är alltså ej korrekt eftersom µ är för stort.<br />
6. Hur stor är chansen att man skall kassera lådan om det tidigare kravet om en avvikelse<br />
på högst 1 gram gäller.<br />
Ledning: Man kasserar alltså lådan om medelvikten av de 10 utvalda påsarna är mindre än 99 gram<br />
eller mer än 101 gram.<br />
7. Hur stor är risken att lådan i punkten ovan inte kommer att förkastas.<br />
4.3 Seminarium 3<br />
Uppgift 3:A<br />
Vi återvänder nu till den population med sex element som användes i uppgift 2:A. Vi delar<br />
nu in populationen i två strata (delar/delpopulationer) med de fyra minsta värdena,<br />
nämligen 2 4 4 6, i ett stratum och de två största, 10 16, i ett. Tänk er sedan att man väljer<br />
ett element ur vart och ett av de båda strata och bildar medeltalet av de båda observationerna.<br />
1. Ta fram samplingfördelningen för medelvärdet av de två observationerna genom att<br />
bilda alla möjliga kombinationer av ett element ur stratum 1 och ett element ur stratum<br />
2. Beskriv samplingfördelningen i ett stolpdiagram.<br />
2. Beräkna medelvärde och standardavvikelse i den nya samplingfördelningen.<br />
3. Jämför samplingfördelningen med den som togs fram i uppgift 2:A 3).<br />
45
Uppgift 3:B<br />
Vi har en population bestående av samtliga småföretag (här definierat som företag med<br />
mindre än 10 anställda, N=ca 560 000) där vi studerar kostnaderna för sjukfrånvaro under<br />
en viss period (i tusental kronor). Vi gör ett obundet slumpmässigt urval (OSU) om n =<br />
1400 företag ur den mycket stora populationen och beräknar medelvärdet i urvalet, x ,<br />
som visar sig vara lika med 61.5. Vi antar att vi egendomligt nog vet att standardavvikelsen<br />
i hela populationen, σ, är 26.<br />
1. Beräkna ett approximativt 95-%igt konfidensintervall för µ.<br />
2. Pröva hypotesen att µ = 60 mot hypotesen att µ är skild från 60. Sikta på 5 % signifikansnivå<br />
(risknivå) . Ta fram testvariabel och kritiskt värde (signifikansgräns).<br />
3. Beräkna också P-värdet för testet ovan.<br />
4. Vad förändras om alternativhypotesen i stället är att µ är större än 60?<br />
Antag nu att urvalet (OSU) bestod av n = 16 företag i stället för n = 1400 och att urvalsmedeltalet<br />
var 61.5 precis som ovan. Antagandet om standardavvikelsen i populationen<br />
gäller även här.<br />
5. Hur skulle svaren under de fyra förra frågorna påverkas om vi haft den mindre urvalsstorleken<br />
i stället för den större?<br />
Låt oss nu tänka oss att vi släpper det något orealistiska antagandet att vi känner populationens<br />
standardavvikelse. I stället utnyttjar vi informationen från vårt urval om n = 1400<br />
företag ur populationen. Urvalet antas ha gett medeltalet 61.5 tkr och standardavvikelsen<br />
24.8 tkr.<br />
6. Beräkna ett approximativt 95 %-igt konfidensintervall för µ.<br />
Antag nu att vi erhållit samma resultat som användes i punkten 6 ovan, men att urvalet<br />
bestod av bara n = 16 observationer OSU.<br />
7. Beräkna återigen ett approximativt 95 %-igt konfidensintervall för µ.<br />
Antag nu att vi i stället skulle ha stratifierat (delat upp) populationen i två strata (delar) ett<br />
innehållande 400 000 "enmansföretag" (stratum 1) och ett innehållande 160 000 företag<br />
med mellan 1 och 9 anställda (stratum 2). Vi betecknar medelvärdet i stratum 1 med µ(1)<br />
och medelvärdet i stratum 2 med µ(2).<br />
8. Bestäm medelvärdet, µ, i hela populationen om 560 000 småföretag.<br />
Ur stratum 1 väljer man nu 1000 företag (OSU) och oberoende av detta väljer man 400<br />
företag (OSU) ur stratum 2. För de sammanlagt 1400 utvalda företagen registreras kostnaden<br />
för sjukfrånvaro under den aktuella perioden. Antag att vi erhåller följande resultat:<br />
urval ur stratum 1: n(1)=1000, x (1) = 30 tkr, urval ur stratum 2: n(2)= 400, x (2) =<br />
136 tkr.<br />
46
9. Bilda en punktskattning för µ, där vi låter µ(1) skattas med x (1) och µ(2) med x (2)<br />
och sedan väger ihop de båda skattningarna på samma sätt som vi gjorde i punkt 8.<br />
10. Hur stor andel av företagen har vi valt till urvalen ur stratum 1 respektive ur stratum<br />
2?<br />
Vi skall nu utnyttja reglerna för linjära variabeltransformationer och reglerna för variansen<br />
för en summa av oberoende slumpvariabler (kapitel 2) för att bilda standardavvikelsen<br />
för punktskattningen i punkt 9. Vi antar också att vi (konstigt nog) vet att standardavvikelsen<br />
bland de 400 tusen enmansföretagen är 10 tkr och att standardavvikelsen bland<br />
de 160 tusen flermansföretagen är 30 tkr.<br />
11. Bilda standardavvikelsen för punktskattningen (medelfel, eng: standard error) enligt<br />
punkt 9.<br />
12. Bilda med hjälp av punktskattningen och medelfelet ett 95-%-igt konfidensintervall<br />
för µ.<br />
13. Om vi i stället valt 700 företag ur vardera stratumet och råkat få just de medeltal som<br />
vi fick förut (30 respektive 136), vad skulle då bli annorlunda jämfört med konfidensintervallet<br />
ovan. Bilda konfidensintervall och utred skillnaden.<br />
14. Jämför längden på de fyra konfidensintervall som beräknats i punkterna 1, 6, 12 och<br />
13 ovan.<br />
4.4 Seminarium 4<br />
Uppgift 4:A<br />
Man genomför – i tre olika situationer - ett slumpmässigt försök som blir antingen lyckat<br />
(med sannolikheten p) eller misslyckat (med sannolikheten 1-p). Man definierar slumpvariabeln<br />
S = 1 för lyckat försök och S=0 för misslyckat. Försöket upprepas 4 gånger och<br />
slumpvariabeln X = antalet lyckade försök. X är en binomialfördelad variabel.<br />
Här följer de tre situationerna<br />
• Ett symmetriskt mynt kastas. Lyckat försök är krona medan klave är misslyckat.<br />
• En vanlig symmetrisk sexsidig tärning kastas. Högst två ögon upp är lyckat försök<br />
medan tre eller fler ögon upp är misslyckat.<br />
• Ur en påse med 50 godisbitar varav 20 sura och 30 söta väljs slumpmässigt en bit. Söt<br />
godisbit betraktas som lyckat utfall på försöket.<br />
Genomför för var och en av de tre situationerna följande:<br />
1. Bestäm sannolikhetsfördelningen för X, beskriv den i ett stolpdiagram och beräkna<br />
sannolikheten att X antar värdet 3 eller högre.<br />
2. Beräkna medelvärde (väntevärde) och standardavvikelse för X.<br />
Antag nu att man väljer 12 godisbitar ur en stor låda med 5000 bitar varav 2000 sura och<br />
47
3000 söta. X betecknar antalet söta (antalet lyckade försök) bland de 12.<br />
3. Bestäm medelvärde och standardavvikelse i sannolikhetsfördelningen för X.<br />
Vi bildar nu variabeln<br />
. Bestäm medelvärde och standardavvikelse i sannolikhetsfördelningen<br />
för pˆ .<br />
p ˆ =<br />
X<br />
n<br />
4. Beräkna sannolikheten att pˆ antar ett värde som är högst 0.25.<br />
5. Skissa på ungefär hur sannolikhetsfördelningen för pˆ kan tänkas se ut. Approximera<br />
fördelningen med en lämplig normalfördelning. Bestäm approximativt sannolikheten<br />
för att pˆ antar ett värde som är högst 0.25.<br />
Uppgift 4:B<br />
Man vill undersöka (den vuxna) befolkningens inställning till det svenska medlemskapet<br />
i EU. Bland 120 tillfrågade slumpmässigt utvalda personer uppger 48 att de är negativa<br />
till det svenska medlemskapet.<br />
1. Bilda ett approximativt 95-%igt konfidensintervall för p (andelen i hela populationen<br />
som är negativa till det svenska medlemskapet).<br />
2. Pröva hypotesen att 45 % av populationen är negativa till det svenska medlemskapet.<br />
Fundera på hur alternativhypotesen rimligen bör formuleras.<br />
3. Om man i stället valt 1200 personer (OSU) och 480 sagt sig vara negativa till det<br />
svenska medlemskapet, hur skulle då testet under 2 ovan påverkas?<br />
Uppgift 4:C<br />
En vara säljs i tre olika typer av enkilosförpackningar, typerna A, B och C. Man undrar<br />
om tonåringars preferenser för olika förpackningar skiljer sig från vad som gäller för äldre<br />
personer. Bland 200 slumpmässigt valda tonåringar är preferenserna följande: 88 personer<br />
föredrar A, 58 personer föredrar B, 54 personer föredrar C.<br />
Bland 300 slumpmässigt valda äldre personer ser preferenserna ut som följer: 162 personer<br />
föredrar A, 72 personer föredrar B och 66 föredrar C.<br />
1. Bilda en flerfältstabell med absoluta frekvenser med en kolumn för yngre och en för<br />
äldre personer och tre rader, en för varje förpackningstyp. Tabellen skall alltså visa<br />
hur de 500 personerna fördelar sig på ålder och preferens.<br />
2. Bilda en motsvarande tabell med den procentuella fördelningen för vardera åldersgruppen<br />
(kolumnerna summerar till 100 % var). Bedöm om det finns någon skillnad<br />
mellan åldersgrupperna när det gäller preferenser för förpackningstyp.<br />
3. Analysera frågeställningen med hjälp av chi-två-test. Formulera hypoteser, beräkna<br />
förväntade frekvenser och observerat värde på testvariabeln, ange risknivå (signifikansnivå)<br />
- välj nivå själva - och dra slutsats.<br />
48
4.5 Seminarium 5<br />
Uppgift 5:A<br />
Året innan (säg år t-1) gjordes en liknande undersökning som den som gjordes nu (år t) i<br />
uppgift 3:B. Man undersökte då – det tidigare året - ett urval (OSU) av 1250 småföretag<br />
och fick ett urvalsmedelvärde om 58 tkr och en standardavvikelse i urvalet om 17.2 tkr.<br />
a) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga sjukfrånvarokostnaden<br />
det tidigare året (år t-1). Jämför också detta konfidensintervall med det som gjordes<br />
under 3:B 1. Vad - i princip - skiljer dem åt?<br />
b) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för skillnaden i genomsnittlig sjukfrånvarokostnad<br />
mellan innevarande år (år t) och året före (år t-1). Vi antar då att undersökningen<br />
från uppgift 3:B gav till resultat urvalsmedelvärdet 61.5 tkr och standardavvikelsen i<br />
urvalet 24.8 tkr.<br />
c) Undersök om det kan anses fastställt att den genomsnittliga kostnaden i populationen<br />
är högre i år (år t) än förra året (år t-1). Formulera hypoteser, bilda testvariabel, välj<br />
risk-/signifikansnivå och beräkna kritiskt värde. Ta också ställning via testets P-<br />
värdet.<br />
Vi tänker oss nu en alternativuppläggning av undersökningen sådan att vi valde ut (OSU)<br />
ett antal företag förra året, tog reda på deras sjukfrånvarokostnader under en viss period<br />
och därefter undersökte samma företag ett år senare och tog reda på motsvarande kostnader<br />
i år. Vi tänker oss ett urval om bara 12 företag (för att underlätta räknandet) med följande<br />
resultat:<br />
Företag nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Kostnad år 1 28 27 58 88 65 88 39 69 82 32 29 43<br />
Kostnad år 2 36 34 66 94 70 86 44 78 84 36 35 45<br />
d) Ta ställning till samma hypotes som ovan (5:A 3).<br />
Ledning: Tänk igenom vad som i princip skiljer de båda undersökningsuppläggningarna åt.<br />
Uppgift 5:B<br />
Vi anknyter till uppgiften 4:B, som handlade om inställningen till det svenska EUmedlemskapet.<br />
Man ville där undersöka (den vuxna) befolkningens inställning. Bland<br />
120 tillfrågade slumpmässigt utvalda personer uppgav 48 att de var negativa till det<br />
svenska medlemskapet.<br />
En opinionsundersökning riktad till ett slumpmässigt urval (OSU) om 1080 personer för<br />
ett år sedan visade att andelen som då var negativa till det svenska medlemskapet var<br />
35.5 %.<br />
1. Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för skillnaden i andelen ”EU-negativa” i dag<br />
jämfört med för ett år sedan.<br />
2. Undersök med hjälp av ett signifikanstest om andelen ”EU-negativa” bland den vux-<br />
49
na befolkningen i dag är högre än motsvarande andel för ett år sedan.<br />
Uppgift 5:C<br />
Vi använder här samma datamaterial som i uppgift 1:B och som handlar om tio slumpmässigt<br />
utvalda högskolestuderande med praktikarbete under sommaren som beskrivs<br />
med avseende på X: antal studieår vi högskola och Y: månadslön under sommaren i tkr.<br />
Följande data föreligger (x,y):<br />
Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
(1, 11) (2, 11) (2, 14) (3, 12) (3, 14) (3, 16) (4, 13) (4,14) (4,15) (4, 18)<br />
Ta fram spridningsdiagrammet och beräkningarna från uppgift 1:B.<br />
1. Pröva hypotesen β=0 med ett dubbelsidigt test på 5 % signifikansnivå.<br />
2. Gör ett 95%igt konfidensintervall för den genomsnittliga månadslönen för personer<br />
med 3 års högskolestudier.<br />
3. Gör ett prediktionsintervall för en ny observation med antalet studieår (X) lika<br />
med 3 år.<br />
4. Gör nu ett prediktionsintervall för en ny observation med antalet studieår (X) lika<br />
med 5 år. Jämför intervallet med intervallet under föregående punkt.<br />
5. Antag att personerna 1, 4, 5 samt 7 och 8 är studerande vid medellånga vårdutbildningar<br />
medan övriga personer är studerande vid tekniska högskolor. Konstruera<br />
en tredje variabel, Z, som en indikator- (dummy-) variabel som skiljer fakulteterna<br />
åt.<br />
6. Beskriv i ett vanligt spridningsdiagram sambandet mellan de tre variablerna genom<br />
att använda olika symboler för de med z=1 respektive z=0. Vad tycks fakultet<br />
betyda?<br />
7. Beskriv i symboltermer den modell som skulle kunna användas för att analysera<br />
sambandet mellan både studietid och fakultet å den ena sidan och månadslön å<br />
den andra.<br />
50
5. Inlämningsuppgifter<br />
Inlämningsuppgift 1<br />
I den studentägda bokhandeln vid en högskola arbetar fyra heltidsanställda personer (som<br />
dock har flextid) samt ett antal studenter, som arbetar mellan 2 och 10 timmar per vecka<br />
under terminstid. Under en majvecka noterade man följande arbetstider för de 16 personer<br />
som arbetat den aktuella veckan, och dessa 16 tider (i timmar) utgör vårt datamaterial:<br />
42, 36, 39, 35, 8, 10, 8, 5, 7, 6, 2, 9, 8, 8, 9, 8<br />
a) Beräkna medelvärde och median i datamaterialet. Förklara varför de båda måtten skiljer<br />
sig åt på det sätt som de gör.<br />
b) Beräkna standardavvikelsen i datamaterialet.<br />
c) Beskriv datamaterialet i ett lådagram.<br />
d) Beräkna medelarbetstiden bland de 4 heltidsanställda (de fyra första personerna) respektive<br />
bland de 12 timanställda. Bilda sedan medelarbetstiden bland samtliga som<br />
ett vägt medelvärde av de båda medelarbetstiderna.<br />
Inlämningsuppgift 2<br />
Sextio studenter registreras en viss termin på en fristående 20-poängskurs i statistik. Kursen<br />
är uppbyggd av fyra 5-poängsmoduler, som tenteras en och en. Efter en termin kan<br />
man därmed ha uppnått högst 20 poäng på <strong>kursen</strong>, och minst 0 (om man inte klarat någon<br />
av de fyra modulerna). Vid terminens slut sammanfattas resultaten med avseende på antal<br />
avklarade poäng för de 60 studenterna enligt tabellen nedan:<br />
Antal poäng Antal personer, som uppnått vidstående antal poäng<br />
0 6<br />
5 8<br />
10 10<br />
15 16<br />
20 20<br />
a) Beräkna medelantalet avklarade poäng per registrerad student.<br />
b) Beräkna standardavvikelsen bland de 60 poängtalen.<br />
c) Beskriv studieresultaten för de 60 studenterna i ett lådagram.<br />
De ekonomiska resurser som institutionen disponerar för att ge den aktuella <strong>kursen</strong> baseras<br />
på två storheter, nämligen så kallade ”Helårsstudenter” (HÅS) och ”Helårsprestationer”<br />
(HÅP). En person som är registrerad på kurser omfattande 20 poäng under en termin<br />
motsvarar en halv HÅS medan en total prestation om 20 poäng under en termin motsvarar<br />
en halv HÅP. Antag att en hel HÅS utgör 7 tkr och att en hel HÅP utgör 12 tkr.<br />
d) Beräkna det belopp som institutionen kan disponera för att genomföra den aktuella<br />
<strong>kursen</strong>.<br />
51
Inlämningsuppgift 3<br />
På studentcentrum vid en mindre högskola har man efter antagningen en hösttermin,<br />
sammanställt statistik över antal sökande uppdelat i antal antagna och antal som ej antagits<br />
för vartdera könet och för de olika utbildningsprogrammen. Som exempel presenteras<br />
här data för två utbildningsprogram, ett ingenjörsprogram (med 330 platser) och ett psykologprogram<br />
med 55 platser, se tabellen på nästa sida.<br />
Utbildningsprogram Kön Får plats Får ej plats<br />
Ingenjörsutbildning Kvinnor 90 10<br />
Ingenjörsutbildning Män 240 60<br />
Psykologutbildning Kvinnor 50 100<br />
Psykologutbildning Män 5 45<br />
a) Beräkna procentandelen som får plats bland de 250 kvinnorna respektive bland de<br />
350 männen. Vilket av könen har högst andel antagna?<br />
b) Bilda en tvåvägsindelad tabell med två kolumner och två rader svarande mot de två<br />
könen (kolumner) och de två utbildningsprogrammen (rader). I varje ruta anges<br />
procentandelen antagna.<br />
c) Kommentera resultaten och försök förklara varför det blir som det blir. Jämför härvid<br />
resultaten från a) och b).<br />
Inlämningsuppgift 4<br />
De tolv boende i ett litet serviceboende beskrivs här med avseende på hur stort hjälpbehovet<br />
(hjälp med städning, inköp, personlig omvårdnad etc) bedömts vara i timmar per vecka och hur<br />
väl de boende trivs samt kön och ålder.<br />
Person nr Kön Ålder Hjälpbehov, tim/vecka Trivsel i boendet<br />
1 k 76 2 god<br />
2 m 82 6 god<br />
3 m 93 11 dålig<br />
4 k 98 10 dålig<br />
5 k 87 3 dålig<br />
6 m 81 3 god<br />
7 k 79 3 god<br />
8 k 95 14 dålig<br />
9 k 88 8 dålig<br />
10 m 81 2 god<br />
11 m 81 10 god<br />
12 k 79 12 god<br />
a) Beskriv hur de boende fördelar sig på ålder i ett stam-och-blad-diagram<br />
b) Beskriv i ett punkt- eller stolpdiagram hur de boende fördelar sig på hjälpbehov.<br />
c) Beskriv sambandet mellan kön och trivsel i boendet i en tvåvägsindelad<br />
frekvenstabell.<br />
d) Trivs män eller kvinnor bäst? Kan skillnaden mellan könen snarare vara ett<br />
uttryck för skillnaden mellan åldrar? Försök att utreda.<br />
52
Inlämningsuppgift 5<br />
Vid en vårdcentral finns 16 personer anställda. Deras månadslöner för april ett<br />
visst år i tusental kronor ges, tillsammans med uppgift om ålder och kön nedan:<br />
Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Lön, tkr 15 17 17 31 26 20 24 16 20 18 26 30 30 26 34 22<br />
Ålder 21 26 23 32 39 22 43 57 63 42 28 32 47 44 59 49<br />
Kön k k k k k k k k k k m m m m m m<br />
a) Beräkna medellönen för samtliga anställda i september.<br />
b) Beräkna fyra medellöner, nämligen för männen respektive för kvinnorna liksom för<br />
de yngre (under 40 år) respektive de äldre (40 år eller mer). Beräkna också skillnaden<br />
i medellön mellan män och kvinnor respektive mellan äldre och yngre.<br />
c) Bilda en tabell särskilt lämpad att jämföra de yngre och äldre med avseende<br />
på lön så att man också kan se skillnaden mellan könen. Lämpligen gör man då en<br />
fyrfältstabell med två kolumner, en för yngre och en för äldre, och två rader, en för<br />
kvinnor och en för män. I varje ruta placeras medelvärdet för den aktuella gruppen<br />
samt antalet personer.<br />
d) Beräkna skillnaden i medellön mellan yngre och äldre bland männen och bland kvinnorna.<br />
Jämför dessa skillnader med skillnaden mellan åldersgrupperna i b).<br />
e) Vilka tjänar egentligen genomsnittligt bäst, yngre eller äldre. Utred frågan.<br />
f) Kan man hävda att det föreligger lönediskriminering av kvinnorna på vårdcentralen?<br />
Skulle slutsatsen förändras om Du fick veta att personerna nr 4, 5, 11, 12, 13,<br />
14 och 15 är läkare och/eller chefer medan de övriga är annan vårdpersonal och administrativ<br />
personal? Formulera några tankar.<br />
Inlämningsuppgift 6<br />
Studerande från tre olika utbildningsprogram har skrivit en och samma tentamensskrivning<br />
i engelska. Provet bedöms med vanlig tregradig skala, U, G och VG. De tre betygsnivåerna<br />
fördelar sig procentuellt över de tre programmen enligt tabellen:<br />
Betygsnivåer fördelade över program, procent<br />
Betyg Program 1 Program 2 Program 3 Summa<br />
Underkänd 40 40 20 100<br />
Godkänd 53 35 12 100<br />
Väl godkänd 42 36 22 100<br />
Du skall för vart och ett av följande fem påståenden ange om det är sant eller falskt med<br />
en liten motivering.<br />
Påståenden: Ur tabellen ovan kan följande utläsas:<br />
a) Bland de underkända är andelen studerande som kommer från program 2 dubbelt så<br />
stor som andelen som kommer från program 3.<br />
b) Bland de godkända är andelen studerande som kommer från program 1 cirka 34 %<br />
högre än andelen som kommer från program 2.<br />
c) I program 3 är andelen studerande som är väl godkända större än andelen som är underkända.<br />
53
d) Totalt sett kommer 45 % av eleverna från program 1, 37 % från program 2 och 18 %<br />
från program 3.<br />
e) Det är totalt sett ett mindre antal studerande från program 3 jämfört med de skrivande<br />
från de båda övriga programmen.<br />
Inlämningsuppgift 7<br />
I en studie syftande till att kartlägga hur äldre utnyttjar sin tid, har man tagit reda på hur<br />
lång tid de undersökta personerna lagt på att läsa dagstidningar. Här följer data avseende<br />
18 äldre kvinnor. Observationerna anger antalet minuter per dag som personerna uppgett<br />
sig läsa dagstidning en "vanlig" vardag, benämnt lästid.<br />
5 5 10 10 14 40 60 80<br />
0 0 17 30 35 50<br />
5 15 18 20<br />
Beräkna genomsnittlig lästid (aritmetiskt medelvärde) per person i gruppen om 18 kvinnor.<br />
Inlämningsuppgift 8<br />
Om 22 äldre mäns tidningsläsande får man veta den genomsnittliga (aritmetiskt<br />
medelvärde) lästiden för olika åldersgrupper, se tabellen som följer. Tabellen visar<br />
t ex att 5 män i åldern 70-79 år i genomsnitt haft en lästid om 35 minuter.<br />
Ålder Genomsnittlig lästid Antal personer<br />
60-69 år 35 min 5<br />
70-79 år 25 min 5<br />
80-89 år 17 min 12<br />
a) Beräkna genomsnittlig lästid (aritmetiskt medelvärde) per person i gruppen om 22<br />
män<br />
Betrakta nu kvinnornas lästider från föregående uppgift. Det gäller att de åtta tiderna på<br />
första raden (5 5 10 …) avser kvinnor i åldern 60-69 år, de sex tiderna på nästa rad avser<br />
kvinnor i åldern 70-79 år och de fyra tiderna på den sista raden avser kvinnor i åldrarna<br />
80-89 år.<br />
b) Konstruera för de 18 kvinnorna en tabell liknande den som gavs för männen ovan.<br />
Jämför därefter de genomsnittliga lästiderna i de olika åldersgrupperna för män och<br />
kvinnor. Förklara i enkla ordalag hur jämförelsen mellan könen utfaller.<br />
c) Jämför nu kvinnornas medelvärde från föregående uppgift med männens från a) i denna<br />
uppgift. Kommentera vad man ser och förklara skillnaden mot resultatet b). Vilketdera<br />
könet läser egentligen mest och hur uppstår paradoxen?<br />
d) Bilda standardvägda medeltal för lästiden för männen respektive kvinnorna. Välj standardvikter<br />
proportionella mot samtliga 40 personers fördelning på ålder.<br />
Inlämningsuppgift 9<br />
Vi tänker oss en totalundersökning riktad till de studerande och anställda vid en liten<br />
högskola. Man vill undersöka om det kan finnas underlag för ett bankkontor på<br />
campus. En mycket enkel enkät med några få frågor distribueras via postfack och<br />
54
internpost till samtliga studerande och anställda. 540 besvarade formulär utgör resultatet.<br />
Bland dessa har 405 svarat ja på frågan ”anser Du att det behövs ett bankkontor<br />
på campus?”.<br />
a) Beräkna med utgångspunkt från undersökningsresultatet procentandelen<br />
i populationen, som anser att det behövs ett bankkontor.<br />
Antag nu att vi får veta att det finns sammanlagt 980 anställda och studerande vid<br />
högskolan i fråga. Det finns alltså ett stort bortfall i undersökningen.<br />
b) Beräkna hur stor andelen jasvar skulle ha kunnat bli som minst respektive mest,<br />
om hänsyn tas till bortfallet.<br />
c) Fundera lite kring vad man kan tro om bortfallet.<br />
Inlämningsuppgift 10<br />
Företaget ÄT RÄTT tillverkar och säljer bland annat mysli. På marknadsavdelningen på<br />
ÄT RÄTT vill man närmare undersöka konsumtionsvanorna när det gäller mysli. Man<br />
samlar in uppgifter från ett urval av kunder. Vi låtsas nu att urvalet bestod av bara 10<br />
kunder, så att vi får ett litet datamaterial som vi kan räkna på. Från urvalet samlar man in<br />
uppgift om de 10 kundernas familjestorlek, liksom om man har barn under 18 år eller ej<br />
(uppgiften används ej här) och myslikonsumtion i kg per månad. Följande data erhålls<br />
Kund nummer Familjestorlek Myslikonsumtion<br />
1 1 1<br />
2 5 1<br />
3 6 5<br />
4 2 1<br />
5 1 2<br />
6 3 1<br />
7 5 2<br />
8 2 3<br />
9 3 3<br />
10 2 1<br />
a) Beskriv samband mellan familjestorlek och myslikonsumtion i ett<br />
spridningsdiagram. Låt familjestorlek vara x och myslikonsumtion y.<br />
b) Beräkna korrelationskoefficienten mellan myslikonsumtion och familjestorlek.<br />
c) Vad kan man säga om styrkan av sambandet? Beräkna förklaringsgraden och<br />
försök säga ut i vanliga ord, vad man kommit fram till. Verkar sambandet vara starkt?<br />
Man hittar sedan ett fel i datafilen. Man har förväxlat konsumtionssiffran för kund nr 2<br />
och nr 8. Det skulle alltså vara så att kund nummer 2 har x=5 och y=3 medan kund nr 8<br />
har x=2 och y=1.<br />
d) Beräkna den rätta korrelationskoefficienten.<br />
e) Beskriv kort vad Du lärt Dig av att man rättade felet i data.<br />
55
f) Sammanfatta för styrelsen på ÄT RÄTT vad man lärt om sambandet mellan<br />
familjestorlek och myslikonsumtion.<br />
Inlämningsuppgift 11<br />
På två utbildningsprogram vid en högskola har man genomfört kursvärdering enligt ett<br />
fastställt formulär. Bland annat ställer man följande fråga: ”Är Du i huvudsak nöjd med<br />
Din utbildning på programmet?” På ekonomprogrammet finns 60 studerande varav 42<br />
personer besvarar frågorna och 24 svarar ja. På lärarprogrammet finns 50 studerande. Antalet<br />
svarande är 45 personer och 30 av dem svarar ja.<br />
a) Beräkna procentandelen nöjda (ja-svarare) bland de svarande på vart och ett av programmen<br />
samt hur många procent högre (eller lägre) som andelen nöjda är på lärarprogrammet<br />
jämfört med ekonomprogrammet.<br />
b) De, som arbetar med ekonomprogrammet hävdar att jämförelsen är orättvis och att<br />
man mycket väl skulle kunna haft minst lika hög andel nöjda som "lärarna" om bara<br />
antalet svarande varit större. Utred om det ligger något i detta påstående.<br />
Inlämningsuppgift 12<br />
Följande månadslöner (tusental kronor) utbetalas till de fem anställda på ett litet företag:<br />
18 20 20 22 25<br />
a) Beräkna medellön, varians och standardavvikelse i materialet av fem observationer på<br />
variabeln X=månadslön.<br />
Till jul utgår en ”extralön i form av 10 tkr” till var och en av de anställda.<br />
b) Bilda de fem observationerna på variabeln årslön, Y = 10 + 12X.<br />
c) Beräkna årsmedellönen, variansen och standardavvikelsen i materialet av fem Y-<br />
observationer.<br />
d) Vilka relationer mellan måtten i a och måtten i c gäller?<br />
e) Gäller dessa relationer generellt? Resonera och försök visa formelmässigt hur det ser<br />
ut.<br />
f) Vi tänker oss nu en godtycklig variabel X med medelvärde och standardavvikelse lika<br />
med µ respektive σ. Beräkna medelvärdet, variansen och standardavvikelsen för variabeln.<br />
Z = X ( − µ )<br />
σ<br />
Ledning: Reglerna för linjär variabeltransformation i kapitel 2.<br />
Inlämningsuppgift 13<br />
I en fabrik produceras inlagda rödbetor på burk som säljs under beteckningen Bettans<br />
rödbetor, 1000 gram. Man anser sig veta att standardavvikelsen bland tillverkade burkar<br />
är 8 gram.<br />
a) Ungefär hur stor del av burkarna väger minst 1010 gram?<br />
b) Om man slumpmässigt väljer ut en burk hur stor är då sannolikheten att den skall visa<br />
sig väga mindre än 995 gram?<br />
56
Från en veckas produktion (ca 10000 burkar) väljer man regelmässigt ett OSU-urval om<br />
125 burkar och väger dem. Om medelvikten bland de utvalda burkarna då avviker från<br />
1000 gram med mer än 3 gram avbryter man produktionen och letar efter fel i produktionsprocessen.<br />
Vi betraktar produktionen i en godtycklig vecka som vår undersökningspopulation.<br />
c) Om det är sant att populationen av burkar i genomsnitt väger just 1000 g hur stor är<br />
då sannolikheten att få en medelvikt i urvalet som med minst 3 g avviker från 1000 g?<br />
d) Om i själva verket populationen av burkar i genomsnitt väger bara 998 g med en<br />
standardavvikelse som är 16 gram, hur stor är då sannolikheten att få en medelvikt i<br />
urvalet som med minst 3 g avviker från 1000 g?<br />
Inlämningsuppgift 14<br />
Man vill undersöka studieresultaten i ett visst ämne under hösten 2005. Bland annat är<br />
man intresserad av att se om studieresultaten skiljer sig mellan dem som antagits på gymnasiebetyg<br />
(betygsgruppen) och dem som antagits på resultat från högskoleprovet (provgruppen).<br />
Man undersöker hur många poäng som genomsnittligt producerats på kurser på<br />
olika nivå av studerande i de två grupperna. Resultatet av undersökningen redovisas i tabellen<br />
nedan. I tabellen anges alltså dels genomsnittligt antal poäng per studerande på<br />
olika kursnivå och dels (inom parantes) antalet studerande i var och en av grupperna. Vi<br />
ser alltså exempelvis att 22 personer i provgruppen som läst på lägre nivå i genomsnitt<br />
producerat 14.0 poäng.<br />
Kursnivå Betygsgrupp Provgrupp<br />
Lägre (A-B-nivå) 14.8 (48) 14.0 (22)<br />
Högre (C-D-nivå) 17.9 (16) 17.6 (24)<br />
a) Beräkna med utgångspunkt från tabellen genomsnittligt antal poäng för studerande i<br />
betygsgruppen och motsvarande mått för de studerande i provgruppen.<br />
b) Jämför de båda grupperna (betygs- och provgrupp) med avseende på producerade poäng<br />
med hjälp av dels resultatet från a) och dels det som man ser i själva tabellen. Diskutera.<br />
c) Bilda standardvägda medeltal för producerade poäng, dels för studerande i betygsgruppen<br />
och dels för dem som tillhör provgruppen. Använd samtligas fördelning på<br />
kursnivå som underlag för standardvikterna.<br />
Inlämningsuppgift 15<br />
Givet en population med sex element med följande värden på variabeln X:<br />
2 4 4 6 10 16<br />
Man gör urval om n=2 element med lika sannolikheter men utan återläggning och bildar<br />
urvalsmedeltalet x .<br />
a) Ta fram samplingfördelningen för urvalsmedeltalet.<br />
b) Avbilda samplingfördelningen i ett stolpdiagram.<br />
c) Beräkna medelvärde och standardavvikelse i samplingfördelningen.<br />
d) Jämför de framräknade parametrarna med motsvarande värden i populationen.<br />
57
e) Jämför de framräknade parametrarna med motsvarande mått som togs fram i seminarieuppgift<br />
2:A.<br />
f) Jämför samplingfördelningen enligt stolpdiagrammet (pkt b ovan) med motsvarande<br />
diagram i seminarieuppgiften 2:A.<br />
Inlämningsuppgift 16<br />
Man ville med hjälp av ett chi-två-test på 5 % risknivå undersöka om det fanns någon<br />
åldersskillnad när det gäller val av nyhetsprogram i TV. Femhundra personer hade uppgett<br />
vilket program de föredrog av Rapport, Aktuellt och Nyheter i TV4. Var och en av<br />
de tillfrågade uppgav också sin ålder och man har därmed kunnat göra följande tabell,<br />
som beskriver hur de sammanlagt 500 personerna fördelade sig på ålder och program.<br />
TV-program Under 20 år 20-39 år 40 år och mer<br />
Rapport 76 86 58<br />
Aktuellt 48 66 56<br />
Nyheter i TV4 26 48 36<br />
a) Beskriv marginalfördelningen för ålder i en enkel frekvenstabell med relativa frekvenser.<br />
b) Beskriv i en tabell lämpad för att jämföra de tre åldersgrupperna hur var och en av de<br />
tre åldersgrupperna procentuellt fördelar sig på TV-program. Vilken av grupperna är<br />
mest ”Rapportpositiv”?<br />
c) Undersök om de observerade skillnaderna är tillräckligt stora för att ett chi-två-test<br />
skall ge signifikant resultat. Ange hypoteser, beräkna testvariabelns värde och dra<br />
slutsats.<br />
Inlämningsuppgift 17<br />
En population består av de fyra elementen 1, 2, 4 och 13. Ur denna population väljer man<br />
slumpmässigt utan återläggning tre element. X MIN betecknar det minsta och X MAX det<br />
största av de erhållna värdena. Man skattar populationsmedelvärdet µ med intervallet<br />
X MIN ≤ µ ≤ X MAX . Bestäm intervallets konfidensgrad.<br />
Inlämningsuppgift 18<br />
Man har gjort två urval av företag i en viss bransch, det ena bestående av 100 bland totalt 10000<br />
småföretag och det andra bestående av 100 bland totalt 4000 större företag. Urvalen har gjorts<br />
helt oberoende av varandra. Syftet med undersökningen är att få ett grepp om företagens kostnader<br />
för sjukfrånvaro. Man har undersökt kostnaderna för september månad ett visst år. Följande<br />
resultat erhölls:<br />
Små Större<br />
företag företag<br />
Medeltal, tkr 27.8 108.5<br />
Vi antar orealistiskt – att standardavvikelsen för sjukkostnaderna är känd inom vartdera stratumet.<br />
I stratum 1 är standardavvikelsen 15 tkr och i stratum 2 är den 75 tkr.<br />
58
a) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för sjukfrånvaron<br />
bland större företag under september det aktuella året. Uttala resultatet så att<br />
icke statistikkunniga förstår vad undersökningen visat.<br />
b) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för<br />
sjukfrånvaron bland samtliga 14000 företag under den aktuella månaden.<br />
c) Denna situation är ett exempel på stratifierat urval. Ta ställning till följande påstående<br />
och ange om det är sant eller ej med kort motivering: Vid stratifiering bör man försöka<br />
få så liten standardavvikelse som möjligt inom varje stratum (delpopulation).<br />
Inlämningsuppgift 19<br />
Inom en mils radie från ett nyöppnat köpcenter bor 4 tusen hushåll. Man överväger att<br />
öppna ett apotek i köpcentret och för att bedöma kundunderlaget görs ett urval av hushåll<br />
(OSU) bland de 4 tusen och dessa kontaktas. Man ställer frågan ”Räknar du med att ditt<br />
hushåll kommer att köpa merparten av sina apoteksvaror vid det eventuellt nya apoteket?”<br />
Av 120 svar är 72 ja-svar.<br />
a) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för p, andelen ”ja-svarare” bland de 4 tusen<br />
hushållen (alltså den andel ja-svar som man skulle fått om man kunnat göra en totalundersökning<br />
av populationen).<br />
Inom en radie om fyra mil från det nya köpcentret bor 20 tusen hushåll (alltså har 16 tusen<br />
hushåll mellan en och fyra mil till köpcentret.). Man gör ett urval bland dessa 16 tusen<br />
hushåll och ställer samma fråga som tidigare. Bland 400 svar är 28 ja-svar.<br />
b) Använd nu data från båda undersökningarna och skatta andelen ja-svar bland de 20<br />
tusen hushållen med ett 95-%igt konfidensintervall.<br />
c) Bilda också ett 95-%igt konfidensintervall för antalet ja-svarande hushåll i populationen.<br />
Inlämningsuppgift 20<br />
Man vill bilda sig en uppfattning om hur mycket pengar som hushållen i Älvhaga lägger<br />
på apoteksvaror. Antag att man tänker sig en undersökning baserad på ett urval (OSU)<br />
om n hushåll ur hela populationen om 20 tusen hushåll. Syftet är att ta reda på den genomsnittliga<br />
kostnaden per hushåll för apoteksvaror under den senaste månaden. Frågan<br />
är hur stort urval man skall välja.<br />
I en liknande undersökning som genomförts i Östermo, en kommun av liknande storlek i<br />
en annan del av landet, fann man i sitt urval att den genomsnittliga kostnaden per hushåll<br />
för apoteksvaror under mars månad var 124 kr och standardavvikelsen var 80 kr.<br />
a) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden per hushåll i<br />
Östermo under mars, givet att urvalet bestod av 500 hushåll (OSU), där samtliga faktiskt<br />
svarade.<br />
59
) Beräkna hur stort urval som man borde ta i Älvhaga om vi antar att standardavvikelsen<br />
i populationen om 20 tusen hushåll är just 80 kr och vi siktar på ett konfidensintervall<br />
med en felmarginal om högst 10 kronor.<br />
Ledning: Felmarginalen i ett konfidensintervall är tabellvärde * standard error.<br />
Antag nu att urvalet i Älvhaga faktiskt kom att bestå av 300 hushåll med ett medelvärde<br />
om 138 kr och en standardavvikelse om 88 kr. Undersökningen skedde i maj månad.<br />
c) Går det med hjälp av dessa data att fastställa om den genomsnittliga apoteksvarukostnaden<br />
är högre i Älvhaga än i Östermo? Genomför en formell hypotesprövning. Antag<br />
härvid att apoteksvarukonsumtionen är ungefär densamma i mars som i maj.<br />
Inlämningsuppgift 21<br />
600 personer i åldrarna 21-60 år har svarat på frågor rörande TV-program. I tabellen redovisas<br />
hur de svarande fördelar sig på sådana som svarar ja respektive nej på frågan<br />
“Brukar Du titta på de svenska uttagningarna till schlagerfestivalen?“<br />
Kön Ålder Antal som brukar titta Antal som ej brukar titta<br />
Kvinnor 21-40 82 28<br />
Kvinnor 41-60 80 60<br />
Män 21-40 112 68<br />
Män 41-60 70 100<br />
a) Hur ser sambandet mellan ålder och “tittarvanor“ (tittar/tittar ej) ut? Ställ upp en<br />
lämplig tabell för att studera sambandet. Tolka sambandet i ord.<br />
b) Hur ser sambandet mellan kön och ålder ut i gruppen av personer. Ställ upp en lämplig<br />
tabell för att studera detta samband. Tolka sambandet i ord.<br />
Inlämningsuppgift 22<br />
Vi är intresserade av skolelevers TV-tittande (i timmar per vecka) och använder följande<br />
data som illustration. Vi har 12 flickor och 12 pojkar till vårt förfogande.<br />
De tolv flickorna har följande värden: 14, 23, 30, 16, 18, 34, 8, 10, 19, 4, 14, 14<br />
De tolv pojkarna har följande värden: 15, 25, 25, 18, 34, 40, 9, 10, 22, 6, 17, 19<br />
a) Beräkna ett 95-%-igt konfidensintervall för den genomsnittliga TV-tittartiden<br />
bland högstadieungdom och anta därvid att våra 24 ungdomar är slumpmässigt<br />
(OSU) valda bland samtliga (knappt 300000) högstadieungdomar i landet. Formulera<br />
slutsatsen i ord.<br />
b) Pröva på 5 % signifikansnivå hypotesen att det inte finns någon skillnad mellan könen<br />
när det gäller antal timmars TV-tittande. Anta härvid att vi har två slumpmässiga<br />
urval, som gjorts helt oberoende av varandra, ett om 12 flickor bland samtliga högstadieflickor<br />
och ett om 12 pojkar bland samtliga högstadiepojkar.<br />
Antag nu att de tolv flickorna är slumpmässigt valda bland de 200 flickorna medan de<br />
tolv pojkarna är slumpmässigt valda bland de 600 pojkarna i en tekniskt inriktad gymnasieskola<br />
med totalt 800 elever.<br />
60
c) Beräkna med utgångspunkt från antagandena ovan ett 95-%-igt konfidensintervall för<br />
den genomsnittliga TV-tittartiden bland gymnasisterna i den aktuella gymnasieskolan.<br />
d) Samma hypotes som i b) prövas men vi antar nu att det slumpmässigt valts 12 syskonpar<br />
om en bror och en syster. Syskonen är angivna i samma ordning. I det första<br />
syskonparet har flickan tittat 14 timmar och pojken 15 osv.<br />
Inlämningsuppgift 23<br />
I samband med en vinprovning avsmakas två sorters Riojavin av vardera tio vinkännare,<br />
som poängsätter vinerna på en skala från 1 (uselt) till 20 (utsökt). 4 Följande resultat erhålls:<br />
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Vin A 12 11 14 12 13 10 15 16 14 14<br />
Vin B 11 10 12 11 10 11 16 13 13 15<br />
Vi vill pröva hypotesen att vinerna är likvärdiga med två olika metoder. För vart och ett<br />
av fallen gäller att hypoteserna noggrant skall formuleras, testvariabel anges och slutsats<br />
dras.<br />
a) Vi antar att vi har två oberoende stickprov om 10 personer, ett bestående av de 10<br />
personer som testat vin A och ett bestående av de tio personer som testat vin B.<br />
Genomför en hypotesprövning av vanlig typ med t-metod.<br />
b) Vi antar att tio personer dragits med OSU ur en stor population av vinkännare och att<br />
var och en av dem testat både vin A och vin B. Genomför ett t-test enligt matchadepar-design.<br />
Inlämningsuppgift 24<br />
Tänk Dig att Du får i uppgift att undersöka om den genomsnittliga viktökning som man<br />
kunnat se hos unga män under senare år har sin motsvarighet bland medelålders män. Låt<br />
oss anta att vi vet att bland medelålders män för 10 år sedan var 13.9 % överviktiga. Antag<br />
så att Du gör ett obundet slumpmässigt urval om 800 medelålders män, väger dem och<br />
finner att 15.6 % är överviktiga enligt samma definition av övervikt som tidigare använts.<br />
På grundval av undersökningen vill Du ta ställning till om andelen överviktiga bland medelålders<br />
män ökat eller ej under 10-årsperioden och genomför därför en statistisk hypotesprövning.<br />
a) Formulera nollhypotes och alternativhypotes.<br />
b) Förklara i relation till Dina hypoteser vad som menas med fel av första slaget och fel<br />
av andra slaget.<br />
c) Antag att Du genomför testet på 5 % signifikansnivå. Vad är innebörden i detta?<br />
d) Vad kan man säga om risken för fel av andra slaget i detta test?<br />
e) Vad menas med testets P-värde?<br />
f) Antag nu att testets P-värde blir 0.15 (15 %). Vilken slutsats drar Du av testet. Är re-<br />
4 Data hämtade från Vejde-Leander, Ordbok i statistik, sid 308.<br />
61
sultatet signifikant eller ej?<br />
g) Har medelålders män ökat i vikt genomsnittligt sett eller ej? Förklara för uppdragsgivaren.<br />
Inlämningsuppgift 25<br />
I en stor kommun vill man bland de anställda jämföra antalet sjukskivningsdagar bland<br />
män och kvinnor. Man har data från två obundna slumpmässiga urval, dragna oberoende<br />
av varandra, ett bestående av män och ett av kvinnor bland de kommunanställda. För vardera<br />
urvalet har man för varje utvald person tagit reda på antalet frånvarodagar under den<br />
aktuella perioden. Man har därefter beräknat medelvärde respektive standardavvikelse<br />
bland observationerna. Följande resultat erhölls:<br />
Grupp antal observationer medeltal standardavvikelse<br />
Kvinnor 18 36.9 18.6<br />
Män 14 32.2 14.3<br />
a) Pröva hypotesen att den genomsnittliga sjukfrånvaron i hela kommunen är lika stor<br />
bland kvinnor som bland män. Använd dubbelsidig mothypotes.<br />
b) Går det att "fastställa" att kvinnorna i kommunen i genomsnitt troligen har större<br />
sjukfrånvaro än männen? Genomför en lämplig hypotesprövning. Glöm ej att formulera<br />
såväl hypoteser som slutsats.<br />
Inlämningsuppgift 26<br />
Man undrar hur stor del av Norrköpings vuxna befolkning som är positiva till vårt EUmedlemskap.<br />
Av 1000 slumpmässigt utvalda personer uppger 520 att de är EU-positiva.<br />
a) Bilda ett 95-%-igt konfidensintervall för andelen EU-positiva bland Norrköpings<br />
vuxna befolkning.<br />
b) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för antalet EU-positiva bland Norrköpings vuxna<br />
befolkning, som antas bestå av cirka 100 tusen personer.<br />
Inlämningsuppgift 27<br />
Man vill undersöka sambandet mellan nedlagd studietid och tentamensresultat på en nationalekonomitenta<br />
med 20 studerande, vilka samtliga uppgett nedlagd studietid på <strong>kursen</strong><br />
i timmar per vecka. För var och en av de studerande har man noterat tentaresultatet i<br />
antal poäng på en 50-gradig skala. Man har därefter genomfört en enkel regressionsanalys<br />
med tentaresultatet som beroende och arbetstiden som oberoende variabel och dessutom<br />
tagit fram beskrivande mått för de båda variablerna enligt nedan.<br />
Betrakta de 20 studerande som vore de slumpmässigt valda bland samtliga studenter på<br />
den aktuella <strong>kursen</strong> under den senaste treårsperioden (cirka 500 studenter).<br />
Descriptive Statistics<br />
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean<br />
Arbetsti 20 31.55 30.00 31.33 10.47 2.34<br />
Resultat 20 30.75 29.00 30.78 12.23 2.74<br />
62
Variable Minimum Maximum Q1 Q3<br />
Arbetsti 15.00 52.00 22.75 39.50<br />
Resultat 11.00 50.00 22.25 41.00<br />
Regression analysis<br />
The regression equation is<br />
Resultat = - 0.95 + 1.00 Arbetstid<br />
Predictor Coef StDev T P<br />
Constant -0.948 4.662 -0.20 0.841<br />
Arbetsti 1.0047 0.1406 7.15 0.000<br />
S = 6.417 R-Sq = 73.9%<br />
a) Tolka i vanliga ord lutningskoefficienten (b 1 ) i ovanstående regressionsekvation.<br />
b) Bestäm ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga arbetstiden per person i<br />
populationen<br />
c) Beräkna korrelationskoefficienten mellan arbetstid och resultat.<br />
d) Pröva hypotesen att det inte finns något (linjärt) samband mellan arbetstid och tentaresultat.<br />
Sikta på 5 % signifikansnivå.<br />
e) Kommentera antagandet om att se de 20 personerna som ett slumpmässigt urval.<br />
Inlämningsuppgift 28<br />
Man genomför en postenkätundersökning på ett OSU-urval om 2000 villaboende hushåll<br />
ur en mycket stor population i syfte att dels skatta den genomsnittliga boendekostnaden<br />
(nettokostnad inklusive el och vatten och efter avdrag för skattereduktion, bostadsbidrag<br />
etc.) i september ett visst år och dels andelen av hushållen som har direktverkande el för<br />
uppvärmning. Man fick svar från 1200 hushåll och alltså ett bortfall om 40 %. Av de svarande<br />
uppgav 390 hushåll att de hade direktverkande el och för boendekostnaden bland<br />
svararna gällde ett medelvärde om 7200 kr och en standardavvikelse om 2100kr.<br />
a) Beräkna lägsta respektive högsta värde på punktskattningen för andelen hushåll med<br />
direktverkande el i populationen genom antaganden om bortfallet.<br />
Antag att man gjorde ett OSU-urval om 80 hushåll ur bortfallet och att man med hjälp av<br />
personlig intervju lyckades få svar från samtliga 80. Den genomsnittliga boendekostnaden<br />
bland de 80 befanns vara 9600kr och standardavvikelsen blev 1800kr. Antalet hushåll<br />
med direktverkande el bland de 80 befanns vara 60.<br />
b) Beräkna en punktskattning för den genomsnittliga boendekostnaden i september i populationen.<br />
c) Gör ett försök att beräkna en felmarginal - att användas i ett 95-%igt konfidensintervall<br />
- till punktskattningen under b).<br />
Ledning: Betrakta populationen som stratifierad i ett svarandestratum och ett bortfallsstratum. Den<br />
relativa stratumstorleken för respektive stratum skattas med hjälp av urvalets fördelning på svarare och<br />
bortfall.<br />
63
6. Övningsuppgifter<br />
Rekommenderade övningsuppgifter för varje vecka hittas i veckobreven.<br />
Övning 1:a<br />
Åtta hushåll uppvisar en kostnad för elkonsumtion (i tusental kronor) under en viss tidsperiod<br />
enligt följande: 9, 11, 27, 21, 17, 17, 22, 12. Beräkna<br />
a) Aritmetiskt medelvärde, median och typvärde.<br />
b) Undre och övre kvartil samt kvartilavstånd.<br />
c) Beskriv materialet i ett lådagram (boxplot)<br />
d) Beräkna varians och standardavvikelse<br />
Övning 1:b<br />
Man vill bilda sig en uppfattning om den genomsnittliga årliga körsträckan bland privatbilarna<br />
i ett land. Det handlar alltså om en mycket stor population. Man gör inledningsvis<br />
en provundersökning med ett slumpmässigt urval om n = 30 privatbilägare och erhåller<br />
följande observationer på variabeln körsträcka i 1000-tal mil under perioden 1.7 2000<br />
- 30.6 2001 :<br />
0.8 1.4 2.7 1.8 0.9 1.7 1.4 3.0 2.4 1.7 2.1 2.9 3.2 1.2 0.8 2.5 2.8<br />
1.8 1.9 2.6 3.2 3.1 0.4 1.1 1.4 1.9 1.8 2.8 0.9 2.9<br />
a) Beskriv de 30 körsträckorna i ett stam-och-blad-diagram (stemplot)<br />
b) Beräkna den 20:e respektive 80:e percentilen i materialet om 30 körsträckor.<br />
c) De i uppräkningen ovan 12 första bilarna har kvinnliga ägare medan de 18<br />
följande har manlig ägare. Beskriv körsträckorna för bilar med manliga respektive<br />
kvinnliga ägare i ett ”back-to-back” stam-och-blad-diagram.<br />
d) Beräkna mediansträcka respektive aritmetiskt medelvärde för såväl män<br />
som kvinnor.<br />
Övning 1:c<br />
Man studerar lönerna på två vårdcentraler i en kommun. De 12 respektive 16 personer<br />
som är verksamma på de båda arbetsplatserna har i september 2001 följande löner i tusental<br />
kronor, kkr, (för enkelhets skull antar vi att alla har lön i hela tusental):<br />
Vårdcentralen i C-mora<br />
Pers nr: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
Lön i kkr: 40 27 29 16 18 13 15 16 14 12 12 8<br />
Vårdcentralen i D-lunda<br />
Pers nr: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Lön i kkr: 23 19 17 27 27 23 13 16 13 12 9 33 18 6 6 7<br />
65
a) Beskriv lönefördelningen för de anställda vid vårdcentralen i C-mora med hjälp av<br />
dels en lämplig tabell och dels ett diagram lämpade för en föredragning för kommunledningen.<br />
Kommentera resultaten.<br />
b) Genomför motsvarande beskrivning med avseende på vårdcentralen i D-lunda.<br />
c) Beräkna lönesumman för vardera vårdcentralen samt medellönen per anställd på<br />
vardera arbetsplatsen. Kommentera resultaten.<br />
För att kunna göra en rättvisande jämförelse mellan lönerna på de båda vårdcentralerna<br />
behöver man ta hänsyn till att inte alla anställda arbetar heltid. Följande gäller:<br />
Heltid (40 tim/vecka) 3/4-tid (30 t/v) 1/2-tid (20t/v)<br />
C-mora: person nr 1-9 person nr 10-11 person nr 12<br />
D-lunda:person nr 1-9 person nr 10-13 person nr 14-16<br />
Lönerna som ges i början av uppgiften är alltså givna i ordning från heltidsanställda via<br />
3/4- till halvtidsanställda. När man nu vill jämföra löneläget på de båda arbetsplatserna är<br />
det naturligt att göra jämförelsen på heltidstjänstbasis. Varje lön skall alltså omräknas till<br />
lön motsvarande heltidsanställning.<br />
d) Beräkna medellönen per anställd, om alla varit heltidsanställda, (halvtidslön multipliceras<br />
med 2 etc) för vardera vårdcentralen.<br />
På vardera vårdcentralen finns anställda i tre olika kategorier, nämligen läkare, övrig<br />
vårdpersonal respektive övrig personal (lokalvårdare, läkarsekreterare m.fl.). De anställda<br />
fördelar sig på tjänst enligt nedan, där ”personnummer” anges för respektive kategori.<br />
Läkare Övrig vårdpersonal Övrig personal<br />
C-mora: 1, 2, 3 4, 5, 8, 9, 10, 11 6, 7, 12<br />
D-lunda:1, 4, 5, 6, 12, 13 2, 3, 7, 8, 10, 11, 14 9, 15, 16<br />
e) Ta fram en tvåvägsindelad tabell med två kolumner svarande mot de två vårdcentralerna<br />
och tre rader svarande mot de tre tjänstekategorierna. I tabellcellerna skall såväl<br />
medellönen (för heltidstjänst) för de anställda som antalet anställda i var och en av de<br />
6 cellerna finnas. Beräkna därefter standardvägda medellöner för var och en av vårdcentralerna.<br />
Välj standardvikter proportionella mot totala antalet i respektive tjänstekategori.<br />
Övning 1:d<br />
I en undersökning vill man bl a studera storleken på bostäderna i ett bostadsområde.<br />
Som ett led i undersökningen sammanställer man följande tabell:<br />
66
Antal bostadsrum Antal bostäder med Procent<br />
(utom kök och badrum) vidstående antal rum<br />
_________________________________________________________________<br />
2 130 26<br />
3 140 28<br />
4 120 24<br />
5 40 8<br />
6 50 10<br />
7 20 4<br />
Totalt 500 100<br />
a) Beräkna medelantalet bostadsrum per bostad<br />
b) Beräkna standardavvikelsen för antal bostadsrum<br />
c) Beräkna medianantalet bostadsrum<br />
d) Beräkna kvartilavstånd (interquartile range)<br />
Övning 1:e<br />
En fristående kurs på totalt 20 poäng är uppdelad i 4 delkurser om vardera 5 poäng. De<br />
30 personer, som varit registrerade på <strong>kursen</strong> har vid <strong>kursen</strong>s slut uppnått varierande<br />
antal poäng. Fördelningen ser ut som följer:<br />
Uppnått antal poäng, X Antal personer<br />
0 3<br />
5 2<br />
10 5<br />
15 8<br />
20 12<br />
a) Beräkna medelpoäng, µ, i gruppen om 30 personer<br />
b) Beräkna standardavvikelsen, σ, i gruppen om 30 personer<br />
c) Beskriv resultatet för de 30 personerna i ett lådagram<br />
d) Beskriv materialet i ett stapeldiagram<br />
Övning 1:f<br />
Du vill jämföra lönenivån mellan två mindre företag. Eftersom lönen oftast hänger ihop<br />
med den anställdes utbildningsnivå, skaffar du information om dels månadslön och dels<br />
utbildning för var och en av de anställda. Du grupperar utbildningen i följande fyra kategorier,<br />
där varje anställd finns i en och endast en kategori<br />
F: Forskarutbildning<br />
H: Högskoleutbildning<br />
G: Gymnasieskola<br />
Ö: Övrig utbildning<br />
67
Så här ser resultatet ut för de 15 anställda i A och de 12 anställda i B:<br />
Varje persons månadslön är angiven i antal tusen kronor (tkr)<br />
Utbildning Företag A Företag B<br />
F 32, 30, 25 31, 29, 27, 25<br />
H 27, 23, 19, 19, 24, 20, 18, 18<br />
G 18, 17, 16, 15, 14 16, 14<br />
Ö 16, 15, 14 14, 14<br />
a) Beräkna medellönen för de 15 anställda i företag A och motsvarande mått för de 12<br />
anställda i förtag B.<br />
b) Bilda en tabell som lämpar sig väl som underlag för beräkning av standardvägda medeltal.<br />
Tabellen skall innehålla en kolumn för varje företag och en rad för varje utbildningsnivå.<br />
I varje cell skall Du placera medellönen för de personer som finns i<br />
"cellen" samt hur många personerna är. Bilda därefter standardvägda medeltal för<br />
vardera företaget. Standardisera med avseende på utbildningskategori.<br />
c) Jämför resultaten under a) och b) och kommentera eventuella skillnader. Förklara<br />
varför det blir så i just det här fallet.<br />
Övning 1:g<br />
I en kommun avser man byta ekonomiskt redovisningssystem. Det kommer därför bli<br />
aktuellt att utbilda personalen på det nya systemet. Man tar fram två utbildningsmaterial<br />
avsedda i huvudsak för självstudier och testar de båda materialen på två av kommunens<br />
förvaltningar, det ena materialet på en förvaltning och det andra på den andra. Syftet är<br />
att komma underfund med vilken metod som ger kortast inlärningstid och därmed är<br />
minst resurskrävande.<br />
De anställda på de två förvaltningarna för noggrann bok över den tid som går åt för att ta<br />
sig igenom studiematerialet, så att man klarar av ”slutprovet”. Resultaten redovisas i tabellen,<br />
där man delat in de anställda på de båda förvaltningarna efter ålder i två grupper -<br />
Äldre och Yngre - och efter datorvana i två grupper med stor respektive liten vana. Följande<br />
resultat erhålls:<br />
Genomsnittlig inlärningstid i timmar samt antal anställda (inom parantes)<br />
Grupp Material A, Förvaltning I Material B, Förvaltning II<br />
Äldre, stor vana 18 (22) 16 (16)<br />
Äldre, liten vana 27 (18) 26 (32)<br />
Yngre, stor vana 17 (36) 16 (22)<br />
Yngre, liten vana 26 (14) 23 (40)<br />
a) Beräkna den genomsnittliga inlärningstiden för vart och ett av de båda utbildningsmaterialen.<br />
b) Beräkna standardvägda medeltal för inlärningstiden för vart och ett av de båda utbildningsmaterialen.<br />
Välj standardvikter proportionella mot samtligas fördelning på<br />
68
åldersgrupp och datorvana.<br />
c) Jämför resultaten under a) och b) och kommentera. Förklara varför det blir så här i<br />
just detta fall.<br />
Övning 2:a<br />
Ett bageri bakar och säljer skorpor i helkilospåsar. En viss variation blir det dock i påsvikten.<br />
Räkna med att påsarna i genomsnitt väger 1000 gr med en standardavvikelse om 5<br />
gram. Fördelningen för påsvikten anses vara ungefär normal.<br />
a) Ungefär hur stor del av skorppåsarna väger minst 1008 gram?<br />
b) Om man slumpmässigt väljer ut en påse, hur stor är då risken (sannolikheten) att den<br />
skall visa sig väga mindre än 995 gram?<br />
c) Hur mycket skall en skorppåse minst väga för att den skall tillhöra de 25 % tyngsta<br />
paketen (övre kvartilen)?<br />
d) Antag nu att man slumpmässigt väljer ut 8 påsar ur en månads produktion. Beräkna<br />
sannolikheten att medelvikten av de 8 påsarna överstiger 1002 gram.<br />
Övning 3:a<br />
Man vill genomföra en urvalsundersökning (OSU) i syfte att kartlägga TV-tittande hos<br />
svenska ungdomar. Bl a vill man med ett 95-%igt konfidensintervall skatta hur många<br />
timmar i genomsnitt som 12-åringar ser på TV en "vanlig" vecka. Man vill göra en intervallskattning<br />
av den genomsnittliga tiden, µ, med en felmarginal om högst 0.5 timme.<br />
a) Antag att vi har anledning att räkna med att standardavvikelsen i populationen är cirka<br />
8 timmar per vecka. Beräkna hur stort urval som man minst bör ta.<br />
b) Antag nu att undersökningen gjorts utan att man först gjort utredningen under a) och<br />
att man i ett OSU-urval om 500 12-åringar erhöll medeltiden 28.6 timmar och standardavvikelsen<br />
9.5 timmar. Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för µ.<br />
Övning 3:b<br />
Man har gjort två urval av företag i en viss bransch, det ena bestående av 100 bland totalt 10000<br />
småföretag och det andra bestående av 100 bland totalt 4000 större företag. Urvalen har gjorts<br />
helt oberoende av varandra. Syftet med undersökningen är att få ett grepp om företagens kostnader<br />
för sjukfrånvaro. Man har undersökt kostnaderna för november månad år 2005. Följande resultat<br />
erhölls:<br />
Små<br />
Större<br />
företag företag<br />
Medeltal, tkr 27.8 108.5<br />
Standardavvikelse, tkr 15.1 38.2<br />
a) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för sjukfrånvaron<br />
bland större företag under november månad 2005. Uttala resultatet så att ickestatistik-kunniga<br />
förstår vad undersökningen visat.<br />
b) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för sjukfrånvaron<br />
bland samtliga 14000 företag.<br />
69
c) Den situation som behandlas i denna övning är ett exempel på stratifierat urval. Försök<br />
bedöma om följande påstående är korrekt eller ej: ”Vid stratifiering bör man försöka få<br />
så liten standardavvikelse som möjligt inom varje stratum (delpopulation).”<br />
Övning 3:c<br />
Vi tänker oss en stor population om sammanlagt 10 000 företag som vart och ett gjort<br />
vissa investeringar under en given period. För enkelhets skull tänker vi oss att det handlar<br />
om 8000 mindre företag och 2000 större. Vi avser med hjälp av ett stratifierat urval om<br />
sammanlagt 400 företag bilda ett 95%igt konfidensintervall för de genomsnittliga investeringarna<br />
per företag i populationen.<br />
a) Beräkna felmarginalens storlek vid ”kändsigmavariant” om vi väljer n=200 OSU<br />
från vardera stratat och antar att stratumspridningarna är 7.0 respektive 20.<br />
b) Hur skall observationerna fördelas på de två strata om proportionell allokering skall<br />
användas?<br />
Antag att vi slumpmässig väljer 320 mindre företag och 80 större och erhåller följande<br />
resultat:<br />
Stratum 1 n=320 x = 16.5 s = 6.9<br />
Stratum 2 n= 80 x = 415.8 s = 22.4<br />
c) Beräkna felmarginalens storlek om vi vill skatta medelvärdet per företag i hela populationen.<br />
d) Beräkna ett approximativt 95%igt konfidensintervall för de totala investeringarna som<br />
gjorts i populationen under den aktuella perioden.<br />
e) Fundera kring hur om man skulle kunna fördela de totalt 400 observationerna på de<br />
båda strata på ett ur ”felmarginalsynpunkt” mera förnuftigt sätt.<br />
Övning 4:a<br />
280 slumpmässigt valda personer ur en stor population delas in efter ålder och åsikt om<br />
trafiken i Linköpings stadskärna på sätt som framgår av följande tabell:<br />
Tabell 1 Urvalets fördelning på ålder och åsikt. Antal personer<br />
Åsikt Yngre Äldre<br />
___________________________________________________________<br />
Trafiken mycket störande 48 72<br />
Trafiken något störande 32 72<br />
Trafiken ej störande 40 16<br />
___________________________________________________________<br />
Summa 120 160<br />
Hypotesen att det föreligger oberoende mellan kön och åsikt om trafiken skall prövas<br />
med chitvåtest på 5 % risknivå.<br />
a) Beräkna det aktuella chitvåvärdet och ta ställning till om hypotesen kan förkastas el-<br />
70
ler ej.<br />
b) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för procentandelen personer i populationen<br />
som anser att trafiken ej är störande.<br />
Övning 4:b<br />
Man genomför en totalundersökning av en population som innehåller N=1000 personer i<br />
syfte att bestämma p - andelen ”positiva” (ettor) - i populationen. Man får svar från Ns<br />
personer. Övriga Nb = (1000-Ns) utgör bortfall. Beräkna för var och en av uppgifterna a-<br />
d dels bortfalls-andelen, Nb/N, dels ett intervall för p, sådant att p säkert ligger inom intervallet.<br />
Ledning: Antag att ickesvararna består av enbart positiva (1:or) respektive enbart<br />
negativa (0:or).<br />
a) Ns=800 och antalet positiva bland svararna är 200<br />
b) Ns=800 och antalet positiva bland svararna är 500<br />
c) Ns=400 och antalet positiva bland svararna är 100<br />
d) Ns=400 och antalet positiva bland svararna är 200<br />
e) sammanfatta vad bortfallet tycks betyda för slutsatserna i ett fall som detta.<br />
Övning 4:c<br />
Antag att vi vet att andelen ensamstående bland samtliga kvinnor i 20-25-årsåldern är 30<br />
%. Vi väljer slumpmässigt (OSU) 5 kvinnor över 20 år och definierar variabeln X=antal<br />
ensamstående bland de fem utvalda.<br />
a) Beräkna sannolikheten att minst 2 kvinnor är ensamstående.<br />
b) Antag nu att vi i stället ska välja 50 kvinnor med OSU. Beräkna sannolikheten att vi<br />
då skulle få minst 20 ensamstående.<br />
Övning 5:a<br />
Betrakta situationen i övning 4:a som om vi hade två oberoende OSU-urval (ett ur populationen<br />
äldre och ett ur populationen yngre).<br />
Undersök om andelen som tycker att trafiken är mycket störande är signifikant högre<br />
bland äldre än bland yngre. Testet skall genomföras på 1 % signifikansnivå. Formulera<br />
hypoteser, redovisa testvariabel och beräkna P-värde. Glöm ej att formulera slutsatsen i<br />
ord.<br />
Övning 5:b<br />
Vi arbetar här med data hämtade från en (gammal) undersökning av sambandet mellan<br />
inkomst, banktillgångar och nysparande (sparande under året) i hushåll. Sorten på de<br />
ekonomiska variablerna är tusental kronor. Materialet som använts här består av 9 hushåll<br />
och uppgifterna har analyserats i MINITAB. Nysparande betraktas i regressionsanalyserna<br />
som beroende variabel (Y ).<br />
I tabellen finns samlad information från tre enkla regressionsanalyser med nysparande<br />
som beroende variabel och var och en av de tre övriga som förklaringsvariabel i varsin<br />
analys.<br />
71
Variabel<br />
Medelvärde<br />
Standardavvikelse<br />
Korrelation<br />
med Nysparande<br />
Residualkvadratsumma<br />
e<br />
( )<br />
∑ 2<br />
∑ ( X − X )<br />
Nysparande 7.33 2.828<br />
Inkomst 80.0 15.81 +0.839 19.011 1999.64<br />
Bankmedel 90.0 47.4 - 0.680 34.406 17974.08<br />
Antal barn 2.556 1.333 - 0.685 33.972 14.22<br />
Här följer en regressionsanalys med en förklaringsvariabel<br />
Regression Analysis<br />
The regression equation is<br />
Nysparande = 11.0 - 0.0406 Bankmedel<br />
Predictor Coef StDev<br />
Constant 10.983 1.660<br />
Bankmedel -0.04056 0.01652<br />
S = 2.217 R-Sq = 46.3%<br />
a) Tolka i vanliga ord lutningskoefficienten (b 1 ) i ovanstående regressionsekvation.<br />
b) Pröva hypotesen att det inte finns något linjärt samband mellan bankmedel och nysparande.<br />
Det skulle ju vara möjligt att göra tre olika regressionsanalyser med nysparande som beroende<br />
variabel och inkomst eller bankmedel eller antal barn som förklarande variabel.<br />
(Du har all information Du behöver för de följande deluppgifterna i tabellen.)<br />
c) Vilken av dessa tre analyser skulle Du välja om Du var tvungen att satsa på bara en.<br />
Motivera Ditt val väl.<br />
d) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för lutningskoefficienten för förklaringsvariabeln<br />
som Du valt i deluppgift c. Tolka intervallet.<br />
2<br />
72
6.1 Facit till övningsuppgifter<br />
1:a a) 17, 17, 17 b) 11.5 och 21.5, 10<br />
c) De fem talen är 9, 11.5, 17, 21.5, 27 d) 33.25 respektive 5.77<br />
1:b b) 1.15 respektive 28.5<br />
d) Kvinnliga: 1.9 respektive 1.75 tusen mil, manliga: 2.02 respektive 1.9 tusen mil<br />
1:c c) 220 tkr respektive 269 tkr, 18.33 tkr respektive 16.81 tkr<br />
d) 19.67 respektive 19.50<br />
e)<br />
Tjänstekategori C-mora, medellön + (antal) D-lunda, medellön + (antal)<br />
Läkare 32 (3) 28 (6)<br />
Övr vårdpersonal 16 (6) 15 (7)<br />
Övrig personal 14.7 (3) 13 (3)<br />
Standardvägda medeltal 20.86 respektive 18.75<br />
1:d a) 3.6 b) varians 2.0 och standardavvikelse 1.414<br />
c) 3 d) kvartilerna 2 och 4, kvartilavståndet 2.<br />
1:e a) 14 b) 6.51 c) 0, 10, 15, 20, 20 (de fem måtten)<br />
1:f a) 20 tkr respektive 20.8 tkr<br />
b) 21.0 tkr respektive 19.7 tkr, med standardvikter proportionella mot samtliga 27<br />
personers fördelning på utbildning.<br />
1:g a) 20.6 och 21.5 b) 22.1 och 20.4<br />
c) I a) får material B längre genomsnittlig tid än material A (21.5 respektive 20.6)<br />
trots att material A har högre genomsnittstid på varje rad i tabellen. Detta beror på att<br />
material A testas på en majoritet av personer med stor vana (22+36=58 personer av<br />
90) och som därför får kort inlärningstid medan material B testas på en majoritet av<br />
ovana (72 av 110) som får lång inlärningstid. När samma vikter används för båda materialen,<br />
som i b) slår det faktum att A ger längre genomsnittstider än B i varje grupp<br />
igenom och ger A ett större standardvägt medeltal än B (22.1 jmf med 20.4).<br />
2:a a) 5.48 % b) 0.16 (15.87 %) c) 1003.35 g (motsvarar z-värdet 0.67)<br />
d) 0.13 (12.92 %)<br />
3:a a) 984 b) 27.77 till 29.43<br />
3:b a) 101 till 116 b) 47.86 till 53.86<br />
c) Påståendet är sant. I formeln för felmarginalen kan man se att ju mindre stratumvarianser<br />
desto kortare felmarginal.<br />
3:c a) 0.95(38) b) 320 respektive 80<br />
73
c) 1.15(31) d) 952100 till 975100<br />
e) Eftersom standardavvikelsen är så mycket större i stratum två skulle det förmodligen<br />
löna sig (ge kortare felmarginal) om man tog lite fler ur det stratumet än de 80, som<br />
vi räknat med i c) och d). Man kan ju pröva sig fram lite och se om inte drygt 200 små<br />
och knappt 200 stora kanske vore att föredra.<br />
4:a a) Beräknat chitvåvärde=25.29, kritiskt värde=5.99. Nollhypotesen förkastas.<br />
b) 0.2 +/- 0.047<br />
4:b a) 0.2, 0.2 till 0.4 b) 0.2, 0.5 till 0.7<br />
c) 0.6, 0.1 till 0.7 d) 0.6, 0.2 till 0.8<br />
e) Intervallängden tycks vara lika med bortfallets storlek.<br />
4:c a) 0.47 b) 0.062<br />
5:a Testvariabelns beräknade värde 0.86, kritiskt värde 2.33. Nollhypotesen förkastas ej.<br />
5:b a) För varje extra 1000-tal kronor i bankmedel så minskar nysparandet enligt modellen<br />
med 40.6 kronor.<br />
b) Det observerade t-värdet är –2.455 och tabellvärdet –2.365. H(noll) förkastas alltså.<br />
c) Ett möjligt svar (i komprimerad form): Den med den bästa förklaringsgraden, nämligen<br />
modellen med inkomst. Denna modell känns också mest logisk.<br />
d) 0.15 +/- 0.088.<br />
74
7. Ordlista<br />
aritmethic mean<br />
association<br />
bar graph<br />
boxplot<br />
categorical variable<br />
central limit theorem<br />
chart<br />
complement<br />
conditional<br />
confidence interval<br />
confidence level<br />
correlation coefficient<br />
coverage<br />
deviation<br />
density function<br />
disjoint<br />
distribution<br />
estimate<br />
event<br />
expected value<br />
explained fraction of variance<br />
explorative data analysis<br />
frame<br />
independent<br />
interquartile range<br />
intersection<br />
least-squares regression line<br />
margin of error<br />
mode<br />
mutually exclusive<br />
nonresponse<br />
ogive<br />
outlier<br />
probability<br />
random<br />
random variabel<br />
reject<br />
pie chart<br />
range<br />
power<br />
quantile<br />
quartile<br />
sample space<br />
sampling distribution<br />
scatterplot<br />
significance level<br />
simple random sample (SRS)<br />
standard deviation<br />
standard error<br />
stem-and-leaf-plot<br />
stemplot<br />
tree diagram<br />
aritmetiskt medelvärde<br />
samband<br />
stapeldiagram<br />
lådagram<br />
kategorivariabel<br />
centrala gränsvärdessatsen<br />
diagram<br />
komplement<br />
betingad<br />
konfidensintervall<br />
konfidensnivå, konfidensgrad<br />
korrelationskoefficient<br />
täckning<br />
avvikelse<br />
täthetsfunktion<br />
oförenliga<br />
fördelning<br />
skatta, skattning<br />
händelse<br />
förväntat värde, väntevärde, förväntan<br />
förklaringsgrad<br />
explorativ dataanalys<br />
ram, urvalsram<br />
oberoende<br />
kvartilavstånd<br />
snitt<br />
minsta-kvadrat-linjen<br />
felmarginal, slumpmarginal<br />
typvärde<br />
oförenliga, ömsesidigt uteslutande<br />
bortfall<br />
summapolygon<br />
extremvärde, (uteliggare förekommer även)<br />
sannolikhet<br />
slump-, slumpmässig<br />
slumpvariabel<br />
förkasta<br />
cirkeldiagram (ibland paj/tårtdiagram)<br />
variationsbredd<br />
styrka<br />
kvantil<br />
kvartil<br />
utfallsrum<br />
samplingfördelning<br />
spridningsdiagram<br />
signifikansnivå/risknivå<br />
obundet slumpmässigt urval (OSU)<br />
standardavvikelse<br />
medelfel, avser standardavvikelsen för den aktuella punktskattningen<br />
stam-och-blad-diagram<br />
stam-och-blad-diagram<br />
träddiagram<br />
75
type I error<br />
type II error<br />
undercoverage<br />
unbiased<br />
uniform<br />
voluntary response sample<br />
fel av första slaget<br />
fel av andra slaget<br />
undertäckning<br />
väntevärdesriktig<br />
likformig<br />
självurval<br />
76