Kompendium för kursen 732G81 Statistik för internationella ... - IDA

Kompendium för kursen
732G81 Statistik för
internationella ekonomprogrammet
Eva Leander
Claudia Libiseller
Bearbetat av Stig Danielsson (2007) och Karl Wahlin (2008 och 2009)
Institutionen för Datavetenskap
Avdelningen för statistik
Linköpings Universitet

Innehållsförteckning
INNEHÅLLSFÖRTECKNING 2
1. OM TABELLER, MEDELTAL OCH STANDARDVÄGNING 4
1.1 VÄGDA MEDELTAL 4
1.2 TVÅVÄGSINDELADE FREKVENSTABELLER 7
1.3 TREVÄGSINDELADE FREKVENSTABELLER 10
1.4 TVÅVÄGSINDELADE MEDELTALSTABELLER 10
1.5 STANDARDVÄGNING 12
1.6 LITE TERMINOLOGI 13
2. OM VARIABELTRANSFORMATIONER 15
2.1 LINJÄR VARIABELTRANSFORMATION 15
2.2 SUMMOR OCH DIFFERENSER AV SLUMPVARIABLER 15
3. OM STATISTISKA UNDERSÖKNINGAR – INFÖR OCH UNDER PROJEKTET 16
3.1 DEL I: OM VARIABLER, POPULATIONER OCH STICKPROV 16
3.1.1 VARIABLER 16
3.1.2 POPULATION OCH STICKPROV 19
3.1.3 URVALSRAMAR OCH DERAS PROBLEM 20
3.1.4 HUR DRA STICKPROV? 21
3.1.5 OBUNDET SLUMPMÄSSIGT URVAL 21
3.1.6 STRATIFIERAT URVAL 22
3.1.7 HUR STORT STICKPROV BÖR VI DRA? 22
3.1.8 LATHUND FÖR STICKPROVSMETODER 23
3.2 DEL II: DATAANALYS 23
3.2.1 TYPVÄRDE 23
3.2.2 MEDIAN 24
3.2.3 KVARTILER OCH KVARTILAVSTÅND 24
3.2.4 MEDELVÄRDEN, ANDELAR OCH KONFIDENSINTERVALL VID OSU 24
3.2.5 MEDELVÄRDEN, ANDELAR OCH KONFIDENSINTERVALL VID STRATIFIERAT URVAL 27
3.2.6 KORRELATION (ENDAST VID METRISK SKALA PÅ BÄGGE VARIABLERNA!) 28
3.2.7 REGRESSION (ENDAST VID METRISK SKALA PÅ BÄGGE VARIABLERNA!) 28
3.2.8 KORSTABELLER (ENDAST VID NOMINAL- ELLER ORDINALSKALA!) 28
3.2.9 CHITVÅ-TEST (ENDAST VID NOMINAL- ELLER ORDINALSKALA!) 30
3.3 DEL III: ENKÄTENS KONSTRUKTION OCH KODNING 32
3.3.1 ATT FORMULERA ETT FRÅGEFORMULÄR 32
3.3.2 KODNING 33
3.3.3 KODNING AV SAKNADE SVAR 35
3.3.4 BORTFALL 35
3.3.5 KORT OM ANALYS AV INSAMLAT DATAMATERIAL 37
3.4 SAMMANFATTNINGSVIS: ATT GÖRA EN STATISTISK UNDERSÖKNING 38
2

4. SEMINARIEUPPGIFTER 41
4.1 SEMINARIUM 1 41
4.2 SEMINARIUM 2 43
4.3 SEMINARIUM 3 45
4.4 SEMINARIUM 4 47
4.5 SEMINARIUM 5 49
5. INLÄMNINGSUPPGIFTER 51
6. ÖVNINGSUPPGIFTER 65
6.1 FACIT TILL ÖVNINGSUPPGIFTER 73
7. ORDLISTA 75
Observera att detta föreläsningsunderlag är en sammanställning av författarnas
egna anteckningar. Det kan därför finnas fel i text och formler, och underlaget kan
inte användas som källitteratur eftersom det inte är fackgranskat eller publicerat.
För projektet inom denna kurs skull är det dock okej!
3

Linköpings universitet
MAI/Statistik
Eva Leander
1. Om tabeller, medeltal och standardvägning
Här följer ett antal sidor som behandlar tabeller, vägda medeltal och standardvägning.
Avsnittet om vägda medeltal förbereder för avsnittet om standardvägning som är en viktig
och mycket användbar metod för tabellanalys när man vill analysera data från olika
grupper, där det finns ”störande” variabler.
1.1 Vägda medeltal
Betrakta följande exempel. Man har registrerat antalet syskon, y, för vart och ett av de 8
barnen i en barngrupp i syftet att beräkna medelantalet syskon per barn. Följande resultat
erhölls:
Anna 2
Lena 2
Jan 0
Karin 1
Pia 0
Lotta 2
Per 1
Ann 2
Materialet kan också framställas i en frekvenstabell:
y Absolut frekvens
Relativ frekvens = summa absolut frekvens/totalantalet
undersökta barn
0 2 0.25
1 2 0.25
2 4 0.50
Medelantalet syskon per barn (detta brukar kallas det aritmetiska medelvärdet) tecknas
vanligen µ och beräknas:
(1)
µ =
2 + 2 + 0 + 1+
0 + 2 + 1+
2
8
vilket istället kan skrivas
4

(2)
0 + 0 + 1+
1+
2 + 2 + 2 + 2
µ =
8
=
2 ⋅ 0 + 2 ⋅1+
4 ⋅ 2
8
=
2 2 4
⋅ 0 + ⋅1+
⋅ 2 = 0.25⋅0
+ 0.25⋅1+
0.50⋅
2 = 1.25
8 8 8
Här kan man se att det i aritmetiska medelvärdet i materialet dels kan ses som medelvärdet
av de 8 observationerna (ekvation 1) och dels som ett vägt medelvärde av de tre variabelvärden
0, 1 och 2 (ekvation 2). Dessa tre värden vägs ihop med vikter proportionella
mot antalet personer med respektive syskonantal.
Det värdet kan tecknas
µ = ω ⋅ + ω ⋅1+
ω ⋅ 2
↓
1
0.25
0
2 3
↓
0.25
↓
0.50
där vikterna ω
1, ω2
och ω
3
är hämtade ur frekvenstabellen. Vi kan notera att summan av
vikterna är 1.
Vi skall se att µ kan beräknas som ett vägt medelvärde också på ett annat sätt.
Medeltalet för flickorna, som vi betecknar µ F , beräknas som
µ
F
=
summan av flickornas y − värden
=
antalet flickor
2 + 2 + 1+
0 + 2 + 2
= 1.5
6
Ur uttrycket ovan kan man lösa ut
Summan av flickornas y-värden = antalet flickor
∑ y = ⋅ µ
F
i
N F
På motsvarande sätt beräknas för pojkarna
F
⋅ µ
F
eller enklare
∑ yi
P 0 + 1
µ
P
= = = 0.5 och summan av pojkarnas y-värden, ∑ y
i
= N P
⋅ µ
P
N 2
P
P
Vi beräknar nu µ, medelvärdet i hela materialet, igen
5

summan av alla y − värden 2 + 2 + 0 + 1+
0 + 2 + 1+
2
µ =
=
=
N
8
∑ yi
∑ yi
F
6444
74448
P
}
2 + 2 + 1+
0 + 2 + 2 + 0 + 1 9 + 1 6 ⋅ µ
F
+ 2 ⋅ µ
P
= =
=
8
8 8
6 2
µ
F
+ µ
P
= 0.75µ
F
+ 0.25µ
P
=
8 8
0.75⋅1.5
+ 0.25⋅
0.5 = 1.25
↓
Relativa
frekvensen
flickor
↓
Relativa
frekvensen
pojkar
Vi ser att µ här utgör ett vägt medelvärde av flickornas medeltal 1.5 och pojkarnas medeltal
0.5 med vikter proportionella mot antalet flickor respektive pojkar. Medelvärdet i
hela materialet om 8 barn -totalmedelvärdet µ- kan alltså ses som en kompromiss mellan
medelvärdena i materialets delar -de betingade medelvärdena µ F och µ P . Eftersom andelen
flickor är mycket större än andelen pojkar blir “flickvikten” mycket större än “pojkvikten”
och detta leder till att totalmedelvärdet ligger mycket närmare flickmedeltalet än
pojkmedeltalet.
Sammanfattningsvis kan det aritmetiska medelvärdet i ett material med N observationer
på en variabel ses som
i) summan av samtliga observationer dividerad med N, något som skulle kunna
kallas det ovägda medelvärdet av materialets observationer
ii)
iii)
ett vägt medelvärde av samtliga olika variabelvärden i materialet med vikter
proportionella mot antalet observationer med respektive värde
ett vägt medelvärde av medelvärdena i materialets delar -de betingade medelvärdena-
med vikter proportionella mot antalet observationer i respektive del.
Generellt gäller om vägda medeltal, vare sig det handlar om ett vägt medeltal av materialets
k stycken värden
ω y + ω y + ... + ω
1
1
2
2
k y k
eller ett vägt medeltal av medeltalen i materialets l stycken delar
ω
1
µ
1
+ ω2µ
2
+ ... + ω l
µ l
6

att summan av vikterna ω
i
skall vara 1 och att ingen vikt får vara negativ.
Detta avsnitt handlar om hur man skapar och tolkar två- och trevägsindelade tabeller.
Det kan också ses som en förberedelse för nästa del som handlar om standardvägning.
Vi arbetar även fortsättningsvis med ett mycket enkelt exempel.
Vi tänker oss att de 40 barnen, som är inskrivna vid ett fritidshem, beskrivs med avseende
på de tre variablerna kön (u), ålder (x) och veckopeng (y) på sätt som antyds nedan:
Barn nr Kön Ålder Veckopeng
1 P 6 10
2 F 8 12
3 P 8 15
4 F 9 18
. . . .
. . . .
. . . .
39 P 10 15
40 P 7 12
Vi kan beskriva hur de 40 barnen fördelar sig på ålder enligt
Tabell 1. Barn fördelade på ålder
Ålder Antal Procent
6 6 15
7 10 25
8 10 25
9 8 20
10 6 15
Totalt 40 100
1.2 Tvåvägsindelade frekvenstabeller
Kanske vill vi jämföra flickor och pojkar med avseende på ålder. Man kan då utgå från
nedanstående tvåvägsindelade frekvenstabell med absoluta frekvenser:
7

Tabell 2. Barn fördelade på kön och ålder
Ålder Flickor
antal
Pojkar
antal
Samtliga
antal
6 1 5 6
7 2 8 10
8 4 6 10
9 5 3 8
10 4 2 6
Totalt 16 24 100
Ur tabellen framgår t ex att av de 10 stycken 8-åringarna är 4 flickor medan 6 är pojkar,
och att det finns dubbelt så många 10-åriga flickor (4 stycken) som 10-åriga pojkar (2
stycken).
Om man vill jämföra flickornas åldersfördelning med pojkarnas måste man emellertid
också ta hänsyn till att pojkarna är betydligt fler än flickorna. Detta gör man lämpligen
genom att överföra ovanstående tabell till nedan givna tvåvägsindelade frekvenstabell
med relativa frekvenser (här i procent).
Tabell 3. Barn fördelade på kön och ålder
Ålder Flickor
procent
Pojkar
procent
Samtliga
procent
6 6 21 15
7 13 33 25
8 25 25 25
9 31 13 20
10 25 8 15
Totalt 100 100 100
Ur tabellen framgår att åldersfördelningarna är mycket olika för könen. Detta ser man lätt
om man gör “radvisa” jämförelser. T ex gäller att andelen 6-åringar bland pojkarna är
mer än 3 ggr så stor som bland flickorna, (21% jmf 6%). Bland flickorna är andelen barn
under 8 mindre än 20% medan motsvarande andel bland pojkarna ar större än 50%. Andelen
8-åringar är lika stor (25%) bland båda könen medan de 4 stycken 10-åriga flickorna
utgör en mer än 3 ggr så stor andel som de 2 stycken 10-åriga pojkarna (25% jmf 8%).
Sammanfattningsvis tenderar flickorna att vara äldre medan pojkarna i större utsträckning
är yngre. Detta slår igenom i medeltalen för ålder som här betecknas med variabelbeteckningen
med en “ribba” över (x-bar).
8

1 2 4 5 4
X F
= ⋅ 6 + ⋅ 7 + ⋅8
+ ⋅ 9 + ⋅10
=
16 16 16 16 16
0.06 ⋅ 6 + 0.13⋅
7 + 0.25⋅8
+ 0.31⋅
9 + 0.25 ⋅10
= 8.56
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
6% 13% 25% 31% 25%
från tabell
3
X
P
= 0 .21⋅
6 + 0.33⋅
7 + 0.25⋅8
+ 0.13⋅9
+ 0.08⋅10
= 7.54
Flickorna är alltså i genomsnitt (aritmetiskt medelvärde) drygt ett år äldre än pojkarna.
Nu övergår vi till problemet att jämföra könen med avseende på veckopeng.
Vi kan tänka oss att först betrakta en tvåvägsindelad frekvenstabell eller -ännu enklareatt
jämföra medelveckopengen för könen. Beräkning av aritmetiskt medelvärde med avseende
på veckopeng ger
Y
F
= 16.56 kronor respektive Y
P
= 15.67 kronor,
dvs flickorna har i medeltal lite högre veckopeng än pojkarna.
Om vi önskar något mer detaljerad information betraktar vi tvåvägsindelade frekvenstabeller
med variabeln veckopeng klassindelad. Om man vill nöja sig med en mycket grov
klassindelning kan man betrakta nedanstående tabeller.
Tabell 4. Barn fördelade på kön och ålder – antal
Veckopeng Flickor Pojkar
Under 16:50 9 17
16:50 eller mer 7 17
Totalt 16 24
Tabell 5. Barn fördelade på kön och ålder – procent
Veckopeng Flickor Pojkar
Under 16:50 56 71
16:50 eller mer 44 29
Totalt 100 100
Man jämför radvis procenttalen i tabell 5 och finner att andelen med låg veckopeng (här
under 16:50) är högre bland pojkarna än bland flickorna medan andelen med hög veckopeng
är högre bland flickorna än pojkarna. (Ett annat val av klassgräns kunde ha gett en
annan bild.)
Båda de valda sätten att beskriva materialet ger alltså vid handen att flickorna har högre
veckopeng än pojkarna.
9

1.3 Trevägsindelade frekvenstabeller
I det aktuella materialet har vi förutom kunskap om kön och veckopeng även information
om åldern för varje barn. Att åldern är en faktor som har stor betydelse för veckopengens
storlek torde vara ovedersägligt. Låt oss därför ta hänsyn till åldern när vi analyserar
sambandet mellan kön och veckopeng.
Problemet är då att beskriva tre variabler samtidigt. Man kan här välja att göra trevägsindelade
frekvenstabeller, t ex som nedan
Tabell 6. Barn i olika ålder fördelade på kön och veckopeng – procent
Veckopeng 6-åringar 7-åringar 10-åringar
Flickor Pojkar Flickor Pojkar … Flickor Pojkar
Under 16:50 100 100 100 75 … 25 0
16:50 eller mer 0 0 0 25 … 75 100
Totalt 100 100 100 100 … 100 100
Vi kan uppfatta denna trevägsindelade tabell som 5 tvåvägsindelade tabeller (en för 6-
åringar, en för 7-åringar, osv) där man jämför flickor och pojkar med avseende på veckopeng.
Man gör radvisa jämförelser av procenttalen inom varje åldersgrupp. Härav kan man
möjligen ana att andelen pojkar med högre veckopeng (16:50 eller mer) är lika stor eller
större än motsvarande andel bland flickorna för samtliga åldrar.
Den trevägsindelade frekvenstabellen är i detta fall mindre lämplig. Den delar de facto in
totalt 40 personer i 20 grupper. Tabellen blir svåröverskådlig, många “celler” blir tomma
eller nästan tomma och procenttalen baseras i flera fall på en eller ett par individer.
1.4 Tvåvägsindelade medeltalstabeller
Ett bättre alternativ är att bilda en tvåvägsindelad medeltalstabell enligt nedan:
Tabell 7. Genomsnittlig veckopeng för barn i olika åldrar – kronor
Ålder Flickor Pojkar
6 10.0 13.0
7 13.0 14.0
8 14.0 16.0
9 17.0 19.0
10 22.0 23.0
Samtliga 16.56 15.67
Av praktiska skäl är materialet konstruerat så att samtliga betingade medeltal antar heltalsvärden.
Totalmedeltalen är däremot icke heltal.
10

Tabellen konstrueras så att man räknar ut det aritmetiska medelvärdet av veckopengarna
för alla barn av visst kön och viss ålder och för in på därför avsedd plats i tabellen. T ex
fanns 4 stycken 10-åriga flickor (jmf tabell 2). Dessa har följande veckopengar: 20 kr, 22
20 + 22 + 22 + 24
kr, 22 kr, 24 kr och alltså i medeltal = 22 kr.
4
En jämförelse mellan könen med hjälp av tabellen ger vid handen att flickorna i genomsnitt
har lägre veckopeng än pojkarna för samtliga åldrar. Ändå har vi tidigare funnit att
flickorna har högre genomsnittlig veckopeng än pojkarna (16.56 jmf 15.67). Alltså ger
jämförelse av totalmedeltalet en annan bild av sambandet mellan kön och veckopeng än
en jämförelse mellan de betingade medeltalen. Orsaken till denna skenbara anomali utreds
i det följande.
Den genomsnittliga veckopengen för de 16 flickorna kan ses som ett vägt medeltal av de
olika åldrarnas medelveckopeng - de betingade medeltalen. ω
F1
= vikten för 6-åringar,
ω
F 2
= vikten för 7-åringar osv
YF
=
F
ω
F1 ⋅10 + ωF
2
⋅13
+ ω
F 3
⋅14
+ ωF
4
⋅17
+ ω
5
⋅ 22
Den genomsnittliga veckopengen för de 24 pojkarna kan på motsvarande sätt ses som ett
vägt medeltal av pojkarnas betingade medeltal
YP
=
P
ω
P1 ⋅13 + ω
P2
⋅14
+ ωP3
⋅16
+ ω
P4
⋅19
+ ω
5
⋅ 23
Både bland flickorna och bland pojkarna är de betingade medeltalen högre ju högre ålder.
Viktsystemen ωFi
respektive ω
Pi
hämtas från åldersfördelningen för flickorna respektive
pojkarna i tabell 3 (barn fördelade på kön och ålder, uttryckt i procent), dvs
och
ω
F1
= 0.06 ω
F 2
= 0. 13 ω = 0. F 3
25 ω
F 4
= 0. 31 ω = 0. F 5
25
ω
P1
= 0.21 ω
P2
= 0. 33 ω = 0. P3
25 ω
P4
= 0. 13 ω = 0. P5
08
Sålunda blir de två totalmedeltalen
Y
F
= 0.06 · 10 + 0.13 · 13 + 0.25 · 14 + 0.31 · 17 + 0.25 · 22 = 16.56
Y
P
= 0.21 · 13 + 0.33 · 14 + 0.25 · 16 + 0.13 · 19 + 0.08 · 23 = 15.67
11

Skälet till att flickornas totalmedeltal blir högre än pojkarnas är alltså att flickorna har
höga vikter där det är högre veckopeng (äldre barn) medan pojkarna har höga vikter där
det är låg veckopeng (yngre barn).
Att skillnaden mellan totalmedeltalen har blivit som den blivit beror i hög grad på att
flickorna är äldre än pojkarna. Om man vill ge ett mått på skillnaden i veckopeng mellan
flickor och pojkar för barn i samma ålder, blir skillnaden mellan totalmedeltalen här
missvisande. I nästa avsnitt kommer en metod för att konstruera ett bättre mått.
Nu kommer vi till standardvägning och vi anknyter direkt till det tidigare exemplet med
barnen och deras veckopengar.
1.5 Standardvägning
Låt oss göra ett tankeexperiment. I en annan barngrupp uppvisar barnen samma genomsnittliga
veckopeng för varje kombination kön och ålder som i vårt exempel. Emellertid
fördelar sig såväl flickor som pojkar på ålder enligt tabell 8:
Tabell 8. Genomsnittlig veckopeng (kronor) och åldersfördelning (procent) för en
grupp barn
Ålder Genomsnittlig veckopeng
Åldersfördelning
(procent)
(kronor)
Flickor Pojkar Flickor Pojkar
6 10 13 15 15
7 13 14 25 25
8 14 16 25 25
9 17 19 20 20
10 22 23 15 15
Samtliga 14.95 16.70 100 100
Totalmedelvärden för könen Y
F
och Y
P
:
Y
F
= 0.15 · 10 + 0.25 · 13 + 0.25 · 14 + 0.20 · 17 + 0.15 · 22 = 14.95
Y
P
= 0.15 · 13 + 0.25 · 14 + 0.25 · 16 + 0.20 · 19 + 0.15 · 23 = 16.70
Skillnaden mellan könen kan skrivas
Y P
− Y F
= 0.15(13 −10)
+ 0.25(14 −13)
+ 0.25(16 −14)
+ 0.20(19 −17)
+ 0.15(23 − 22) =
0.15⋅
3 + 0.25⋅1+
0.25⋅
2 + 0.20 ⋅ 2 + 0.15⋅1
= 1.75
12

och vi kan notera att resultatet är ett vägt medeltal av de i tabellen observerade radskillnaderna,
något som känns ”rimligt och rättvist”. Detta beror på att pojkar och flickor har
samma åldersfördelning.
Noteras kan att just de valda ”vikterna” (0.15, 0.25, 0.25, 0.20, 0.15) motsvarar den totala
åldersfördelningen i vårt tidigare exempel med de 40 barnen, jmf tabell 3.
I praktiken arbetar man ofta just på detta sätt. Om könen fördelar sig mycket olika på ålder
(som i vårt exempel med de 40 barnen) bildar man standardvägda medeltal, där man
på det sätt vi gjorde ovan beräknar de totalmedeltal, som skulle uppstått om både pojkar
och flickor fördelat sig på ålder som samtliga barn i materialet gör och vi hade fått fram
samma medeltalstabell som den vi har observerat.
Om, som i vårt exempel, samtliga radskillnader har samma tecken, kommer detta tecken
att synas också i skillnaden mellan de standardvägda medeltalen.
1.6 Lite terminologi
Om vi vill undersöka vilken betydelse kön har för veckopengens storlek utgör ”veckopeng”
beroende variabel eller resultatsvariabel, medan kön är undersökningsvariabel. Åldern,
som vi konstanthåller genom att vi gör jämförelser inom varje åldersgrupp, utgör
standardiseringsvariabel eller kontrollvariabel.
I de olika tabeller vi har sett i detta kapitel har vi genomgående låtit vår undersökningsvariabel
dela in materialet i tabellkolumner. Indelning i rader i tabellen bestäms av den beroende
variabeln i frekvenstabeller (jmf t ex tabellerna 4, 5, 6) och av standardiseringsvariablerna
i medeltalstabeller.
Vid beräkningen av standardvägda medeltal på föregående sida valde vi samtliga barns
fördelning på ålder som standardfördelning Det förekommer att man hämtar sina standardvikter
från någon annan standardfördelning. T ex kan man beräkna standardvägda
medeltal baserade på att både flickor och pojkar fördelar sig på ålder som flickorna gör,
dvs använda flickornas åldersfördelning som standardfördelning.
Antag att vi vill jämföra veckopengen för pojkar och flickor i samma ålder och även sortera
med hänsyn till ”förekomst av äldre syskon”. I så fall kan vi bilda en tabell på följande
form:
13

Genomsnittlig veckopeng
Ålder Har äldre syskon Flickor Pojkar
. . . .
7 Nej 11 12
7 Ja 15 16
8 Nej 12 15
. . . .
och arbeta på den på liknande sätt som ovan. Varje ålderskategori hade då delats upp i två
delar och vi hade fått 2 standardiseringsvariabler (kontrollvariabler) nämligen ålder och
”förekomst av äldre syskon”.
1.7 Uppgift
På ett medelstort företag sammanställer man på personalavdelningen uppgifter om de anställdas
sjukfrånvaro. Man finner att under föregående verksamhetsår var den genomsnittliga
sjukfrånvaron bland kvinnorna 6.77 dagar och bland männen 8.90 dagar. Med
ledning av nedanstående medeltalstabell kan man närmare analysera statistiken över sjukfrånvaro.
Tabellen redovisar den genomsnittliga sjukfrånvaron bland männen och kvinnorna
i företaget med uppdelning på ”arbetsplats” och ålder.
Genomsnittlig sjukfrånvaro 1999 i antal dagar (antal anställda anges inom parantes):
Arbetsplats Ålder Kvinnor Män
Avdelning I Yngre 6.2 (40) 6.4 (15)
Äldre 5.4 (110) 5.5 (35)
Avdelning II Yngre 9.4 (50) 9.9 (400)
Äldre 7.6 (50) 8.1 (300)
Totalt 6.77 (250) 8.90 (750)
a) Jämför kvinnors sjukfrånvaro med männens med hjälp av standardvägning. Standardvikterna
skall hämtas från samtliga anställdas fördelning på arbetsplats och ålder.
b) Jämför resultaten i a) med den bild man får om man jämför kvinnor och män i hela företaget
(6.77 respektive 8.90 dagar). Förklara vad som orsakar skillnaden.
Svar
a) Standardvägda medeltal för kvinnorna 8.01 och för männen 8.44.
14

2. Om variabeltransformationer
2.1 Linjär variabeltransformation
Om
Y
= a + b ⋅ X
där
• a och b är vilka konstanter som helst
• X har väntevärde µ
X
2
• X har varians σ
X
och alltså standardavvikelse σ
X
så gäller att
µ
Y
= a + b ⋅ µ
X
σ
2
Y
= b
2
⋅σ
2
X
σ
Y
=
σ
2
Y
2.2 Summor och differenser av slumpvariabler
Om en slumpvariabel, W, utgör summan av (eller differensen mellan) två oberoende
slumpvariabler U och Z, enligt
W = U +
eller
Z
W
= U − Z
så gäller att
σ = σ + σ
2
W
2
U
2
Z
15

3. Om statistiska undersökningar – inför och under projektet
Statistiska undersökningar handlar om att kontakta ett stort antal personer, vanligtvis genom
enkäter, och till varje person ställa frågor med ett antal i förväg konstruerade svarsalternativ
för att sedan med statistiska metoder bearbeta och dra slutsatser från denna information.
Centrala begrepp är population och stickprov – vi drar ett stickprov, kontaktar
dessa individer och använder deras svar för att dra slutsatser om populationen.
Vad karaktäriserar då en statistisk undersökning? Den första och uppenbara faktorn är att
vi använder oss av siffror, och därmed kan vi upptäcka och dra slutsatser från mycket
små skillnader som uppträder i materialet. Vi kan även ställa upp hypoteser och på statistisk
väg testa dessa hypoteser mot data vi samlat in. Dessutom har vi möjlighet att kvantifiera
samband mellan olika faktorer, det vill säga ta reda på hur starka sambanden är och
hur mycket de olika faktorerna påverkar varandra.
Inom ramen för projektarbetet kommer ni att få pröva på metodiken för att göra en enkätundersökning,
samt få en inblick i svårigheter och potentiella felkällor med detta undersökningsupplägg.
Vi kommer också att få lära oss, genom att studera varandras arbeten,
att kritiskt tolka resultaten av redan gjorda statistiska undersökningar.
Det följande materialet är uppbyggt i tre delar. I den första delen diskuteras populationer,
stickprov och variabler, och det beskrivs vilka statistiska metoder som bör användas beroende
på vilken studiedesign vi väljer. Den andra delen hänvisar kortfattat till de metoder
som beskrivs i kursboken. Den tredje delen beskriver metodiken för att genomföra en
statistisk undersökning. I filen Exempel på statistisk rapport på kurshemsidan finns enkät
och rapport från en studie av östgötars e-handelsvanor. Från denna kan ni hämta idéer
och få konkreta tips på enkätkonstruktion, studiedesign och rapportupplägg.
3.1 Del I: Om variabler, populationer och stickprov
3.1.1 Variabler
Vi börjar med att fundera kring begreppet variabel. Vad är en variabel? Jo, förstås något
som varierar, och vi vet ungefär vilka utfallen kan tänkas bli men inte vilket. Att fråga sig
om det ska bli krona eller klave när vi singlar slant är exempel på en variabel: antingen
blir det krona eller så blir det klave, men vi vet inte på förhand vilket det blir. När vi arbetar
med en enkät är varje fråga en variabel. I det följande kommer orden fråga och variabel
att användas omväxlande beroende på sammanhanget, men håll hela tiden i bakhuvudet
att vi i sammanhanget av statistiska undersökningar betraktar orden variabel och
fråga som synonymer.
Det finns två typer av variabler.
16

1. Kvalitativa variabler. Kvalitativa variabler är variabler som inte har något numeriskt
värde: det går inte att på ett naturligt sätt beskriva variabeln med siffror.
Exempel på kvalitativa variabler: kön, nationalitet, om man har husdjur eller ej.
2. Kvantitativa variabler. Kvantitativa variabler är variabler som antar siffervärden.
Här skiljer vi på
- diskreta kvantitativa variabler: variabler som endast kan anta heltalsvärden
samt på
- kontinuerliga kvantitativa variabler: variabler som kan mätas med
många decimalers noggrannhet.
Exempel på kvantitativa variabler: antalet syskon (diskret), en persons längd och vikt
(kontinuerliga).
Med utgångspunkt från vilken typ av variabel vi har (kvantitativ eller kvalitativ) så finns
det olika skalor (eller mätnivåer som det också kallas), för vilka vi konstruerar svarsalternativen
för frågorna. Varför behöver vi veta detta? Jo, det avgör vilka statistiska metoder
vi har möjlighet att använda oss av när vi ska analysera svaren vi fått på frågan. Det
finns tre olika skalor:
1. Nominalskala:
när vi bara kan betrakta svaren som olika grupper. Till denna skala hör endast
kvalitativa variabler. Hur ska vi då veta om vi har att göra med nominalskala? Det
är ofta väldigt enkelt att inse: om svaren helt uppenbart inte har med siffror att
göra, och det inte finns någon logisk rangordning av svarsalternativen.
Exempel: kön, bostadsområde, politisk uppfattning, Ja/Nej-frågor
Exempel: Har du träningskort i Campushallen?
( )Ja ( )Nej
2. Ordinalskala:
när vi betraktar svaren som grupper, men kan rangordna dem. Svarsalternativen
har alltså en inbördes storleksordning, men avstånden kan ändå vara olika mellan
svarsalternativen. Till denna skala hör både kvalitativa och kvantitativa variabler.
Exempel: attityder till olika påståenden, frekvenser (i ord) för olika aktiviteter (t
ex hur ofta man reser till Göteborg)
Exempel: Hur ofta besöker du Campushallen?
( )Varje dag ( )Några gånger i veckan ( )Några gånger i månaden ( )Mer sällan
3. Metrisk skala (kallas även intervallskala):
för kvantitativa variabler, det vill säga när svaren erhålls i siffror. Avstånd kan
mätas mellan svarsalternativen.
Exempel: Frågor med svarsalternativ där ett numeriskt värde skall anges (Hur
lång är du? __________), frågor med svar i intervall av likadan storlek
Exempel: Hur många av förra veckans dagar tränade du på Campushallen?
17

( )0 ( )1 ( )2 ( )3 ( )4 ( )5 ( )6 ( )7
För respektive mätnivå, finns det olika statistiska metoder för att analysera resultaten på
frågan. Närmare bestämt gäller följande (OBS: Beroende på när du läser det här har du
kanske inte hunnit lära dig vad var och en av dessa metoder innebär, men jag kommer att
gå igenom dem på föreläsningarna innan de behöver användas! I kompendiet finns också
djupa förklaringar av vart och ett av dem som du kan använda för självstudier, se del II).
Nominalskala:
1. Typvärde
2. Andelar
3. Konfidensintervall för andelar
4. Hypotesprövning för andelar
5. Chi-tvåtest
Ordinalskala:
1. Median
2. Kvartiler
3. Kvartilavstånd
4. Andelar
5. Konfidensintervall för andelar
6. Hypotesprövning för andelar
7. Chi-tvåtest
Metrisk skala:
1. Medeltal
2. Standardavvikelse
3. Median
4. Kvartiler
5. Kvartilavstånd
6. Andelar
7. Konfidensintervall för medelvärde
8. Konfidensintervall för andelar
9. Hypotesprövning för medelvärde
10. Hypotesprövning för andelar
11. Korrelationskoefficient
12. Regressionsanalys
Vi sammanfattar:
18

FRÅGA
KVALITATIVA
SVARSALTERNATIV
KVANTITATIVA
SVARSALTERNATIV
Nominalskala
Ordinalskala
Ordinalskala
Metrisk skala
Förutom dessa typer av svarsalternativ ska vi också komma ihåg öppna frågor, det vill
säga frågor utan givna svarsalternativ. Öppna frågor är svåra att analysera på statistisk
väg, så istället nöjer man sig oftast med att göra en sammanställning av vilka svar man
fått. Trots detta är det ofta lämpligt att ha med i alla fall en öppen fråga i en enkät, för att
kunna täcka in alla åsikter och minska risken att förvrida undersökningen i en viss riktning.
3.1.2 Population och stickprov
Låt oss nu definiera begreppen population och stickprov. En population är en samling
individer (eller någon annan enhet) som på ett tydligt sätt kan avgränsas, och som vi vill
dra slutsatser om. Exempel på populationer är alla som bor i Linköping eller alla som besökt
ICA Maxi den senaste veckan. Den population som vi vill undersöka kallas målpopulation.
De individer som det faktiskt finns ett register över, och som vi vet att det finns
en teoretisk chans att vi kan få tag i, kallas rampopulation. Men vi kan inte undersöka
alla individer i rampopulationen, eftersom somliga inte går att få tag i, andra inte vill svara
och framförallt är det väldigt dyrt att göra en stor undersökning. Istället väljer vi ut en
delmängd ur populationen: vi drar ett stickprov.
Population
Stickprov
19

3.1.3 Urvalsramar och deras problem
Som vi inser är målpopulation och rampopulation sällan identiska. Det register som definierar
rampopulationen kallas med statistiskt språkbruk för urvalsram. Det inses att register
knappast kan hållas ständigt uppdaterade, och därför finns det skillnader/problem med
urvalsramen jämfört med målpopulationen. De vanligaste problem som kan inträffa är
övertäckning, undertäckning och replikat.
Övertäckning
Om urvalsramen innehåller enheter (individer) som inte tillhör målpopulationen kallas
dessa övertäckning. Exempel är personer i ett register som har flyttat, avlidit, utgått ur en
förening och liknande. Om urvalsramen utgörs av en lokal, kan det i lokalen vid tidpunkten
för vår studie vistas personer som inte tillhör den population som vi vill undersöka.
Problemet är inte så allvarligt som det låter, eftersom vi genom att ställa lämpliga frågor i
enkäten enkelt kan identifiera ”främmande” individer i det urval som tas. När de väl är
identifierade kan vi helt enkelt plocka bort de enkäterna, och justera den totala stickprovsstorleken.
Värre är det om en mycket stor andel av urvalet utgörs av övertäckning. I
sådana fall är ram- och målpopulation så skilda att en ny urvalsram krävs.
Undertäckning
Undertäckning är motsatsen till övertäckning, det vill säga att det finns individer i målpopulationen
som saknas i urvalsramen.
Undertäckning uppstår lika naturligt som övertäckning, men är ett mycket allvarligare
problem eftersom det kan inte upptäckas under själva undersökningen. Undertäckning
kan därför bara förebyggas genom att välja en så pass uppdaterad urvalsram att problemet
minimeras.
Undertäckning kan bedömas vara ett mindre bekymmer om det finns anledning att tro att
den del av populationen som inte kommer med i urvalet kan förväntas ha samma åsikter
som de som finns i urvalsramen. Försiktighet gäller dock vid sådana överväganden.
Replikat
Det finns fler ramproblem än de nämnda. Bland annat är det ganska vanligt att urvalsramen
innehåller replikat av enheter.
Exempel: Om vi avser att studera en population av hushåll, men väljer en urvalsram som
består av individer inser vi att det finns risk att vi väljer två personer som tillhör samma
hushåll.
Risken för replikat är viktig att känna till när undersökningar planeras.
20

3.1.4 Hur dra stickprov?
Så, då inställer sig naturligt frågan, hur ska vi dra stickprovet ur populationen för att det
ska bli så representativt som möjligt, det vill säga spegla populationen så väl som möjligt?
Det finns många olika sätt som alla har sina fördelar och nackdelar. Vi inriktar oss
mot urval som är av typen sannolikhetsurval. Med detta menas att vi tar slumpen till hjälp
för att göra urval som är så lika populationen som möjligt.
Vi kommer att gå igenom två metoder för att dra urval i denna kurs: obundet slumpmässigt
urval och stratifierat urval men i sammanhanget nämns också systematiskt urval
samt på stan-urval.
3.1.5 Obundet slumpmässigt urval
Obundet slumpmässigt urval (OSU) är den absolut vanligaste metoden för att dra stickprov.
Denna princip bygger på att alla individer i populationen har lika stor sannolikhet att bli
utvalda i stickprovet, och den sannolikheten är stickprovsstorleken/populationsstorleken
(där stickprovsstorleken betecknas n och populationsstorleken N, dvs sannolikheten att en
viss individ blir utvald är n/N).
Exempel: Om vi tänker oss alla i ett klassrum som vår population, och vi vill undersöka
genomsnittsvikten. Att väga alla studenter i klassrummet skulle ta längre tid än vad vi
har, så då kan det ju vara lämpligt med ett stickprov om säg, 20 personer. Det enklaste
sättet att göra ett OSU skulle då vara att skriva ned allas namn på lappar, lägga dem i en
låda och dra 20 lappar ur lådan. Då har slumpen valt ut 20 personer åt oss och alla har
lika stor chans att bli utvalda. Risken för att resultaten ska bli snedvridna är minimerad.
I anslutning till OSU bör även nämnas systematiskt urval. Metoden bygger på att vi har
en förteckning över individer, och att vi sedan bestämmer oss för att exempelvis plocka
ut var femte individ från den listan. Metoden förutsätter givetvis att vi har en god förteckning
som alla individer finns med på.
Exempel: Låt oss utgå från klasslistan för populationen i föregående exempel. Antag att
det finns 120 namn på listan. Vi vill fortfarande ha ett urval om 20 personer, så vi börjar
exempelvis på plats nummer fyra på listan och plockar sedan ut individen på plats nummer
fyra, plats nummer åtta, plats nummer tolv och så vidare, tills vi har fått 20 personer.
På stan-urval är också en variant på OSU. Detta är den urvalsmetod som vi oftast kommer
i kontakt med. Principen för ett på stan-urval är att vi aktivt söker upp respondenterna,
exempelvis genom att stå på en välfylld gata och tillfråga folk som passerar förbi. Här
gäller det dock att dra sig till minnes idén med sannolikhetsurval, och ta slumpen till
21

hjälp. Detta kan vi göra genom att exempelvis tillfråga var tionde person som passerar
oss. Syftet med detta är förstås att göra ett urval bland alla individer som passerar förbi,
inte bara de som ser vänliga ut och som verkar ha tid. Ytterligare att tänka på är att dela
ut enkäterna vid några olika tidpunkter, för att undvika att bara få en viss sorts respondenter.
Om vår population är alla boende i Linköping, och vi delar ut enkäter på en affärsgata
under dagtid får vi en övervikt av pensionärer, barnfamiljer och arbetslösa i urvalet. Om
vår population är studerande vid Linköpings Universitet och vi delar ut enkäter utanför
C-huset får vi mest med teknologer och studerande vid filosofiska fakulteten men få lärare
eller hälsostuderande.
I samband med projektet kommer det (högst antagligen) vara ett på stan-urval ni genomför,
exempelvis med populationen ekonomstuderande vid Linköpings Universitet och urvalsram
de studenter som befinner sig i klassrummet när ni går dit för att dela ut enkäter.
3.1.6 Stratifierat urval
Låt oss nu utgå från en population som på ett tydligt sätt kan delas upp i grupper med avseende
på den egenskap som vi är intresserade av att undersöka (detta kallas för en heterogen
population, till skillnad från den population som vi drog OSU ur som istället kallas
homogen). Dessa grupper kallas strata, och ett OSU görs sedan ur varje strata. Detta är
principen för stratifierat urval, och syftet är att minska standardavvikelsen, vilket i sin tur
ger smalare konfidensintervall och därmed säkrare slutsatser.
Hur görs då indelningen i strata? Har vi information från en tidigare studie kan det förstås
vara värdefullt, eller så får vi använda sunt förnuft. Om vi exempelvis vill studera inkomstnivåer
skulle det kunna vara en god idé att stratifiera med avseende på om individen
bor i villa, bostadsrätt eller hyresrätt, eller med avseende på i vilket av stadens områden
individen bor. På det sättet kan vi komma fram till lämpliga sätt att dela upp populationen.
Exempel: I vårt exempel med vikter i klassrummet skulle vi kunna tänka oss att vi delar
upp studenterna i klassrummet i kvinnor och män, och sedan gör vi om idén med namn i
en låda fast med en separat låda för kvinnor och en för män, med 10 lappar i varje. Detta
att vi delar upp populationen i kvinnor och män kallas att vi delar upp den i två strata.
3.1.7 Hur stort stickprov bör vi dra?
Hur stort stickprov som bör dras är en mycket komplex fråga som avgörs av faktorer såsom
krav på maximal osäkerhet, kostnader, tillgänglig tid osv. Generellt gäller att man
inte bör göra ett urval om mindre än 100 enheter. Syftet med detta är att ett mindre urval
än så kommer att vara mycket svårt att analysera, då de statistiska metoder vi tar upp här
annars inte kommer att fungera.
22

Merarbetet att dela ut fler enkäter understiger vida de problem vi måste lösa om vi gjort
en för liten undersökning.
För projektets skull rekommenderar jag att ni får in svar på minst 100 enkäter.
3.1.8 Lathund för stickprovsmetoder
Kan vi undersöka
hela populationen?
Ja
Nej
Gör en
totalundersökning
Hurdan är
populationen?
Homogen
Heterogen
Har vi något
register över
populationen?
Stratifierat
urval
Ja
Nej
Vet vi något
om
spridningen i
populationen?
Systematiskt
urval
OSU
Ja
Nej
Neymanallokering
Proportionell
allokering
3.2 Del II: Dataanalys
3.2.1 Typvärde
Typvärdet är det vanligaste värdet, det vill säga det alternativ som flest har valt på den
aktuella frågan. Engelsk benämning är mode och vi kallar ibland måttet för modalvärde.
Vi får fram det helt enkelt genom att räkna antalet svar på respektive svarsalternativ för
en fråga, och det svarsalternativ som fått flest kryss är typvärdet.
23

3.2.2 Median
Medianen är det mittersta värdet när vi har storleksordnat alla värden. Medianens position
kan räknas ut genom där n är antalet observationer (observera att ekvationen
n +1
2
inte ger medianens värde, utan endast på vilken plats i datamaterialet vi hittar den!).
Mer om medianen hittar vi i kursbokens kapitel 2.
3.2.3 Kvartiler och kvartilavstånd
Kvartiler är mått på spridningen.
• Första (eller nedre) kvartil: medianen i den första halvan av de storleksordnade
värdena
• Tredje (eller övre) kvartil: medianen i den andra halvan av de storleksordnade
värdena
• Kvartilavstånd: differensen mellan tredje och första kvartil
Mer om kvartiler hittar vi i kursbokens kapitel 2.
3.2.4 Medelvärden, andelar och konfidensintervall vid OSU
Låt oss anta att vi gjort ett OSU och vill analysera resultaten på en fråga. Det finns två
typer av parametrar vi kan räkna på när vi har gjort ett stickprov:
• medelvärden (när vi har metriska svarsalternativ) och
• andelar (när vi har nominala eller ordinala svarsalternativ).
För både medelvärden och andelar kan vi beräkna punktskattningar (stickprovsmedelvärdet
respektive stickprovsandelen är punktskattningar av det sanna populationsmedelvärdet
respektive populationsandelen) och konfidensintervall (när vi lägger ett osäkerhetsintervall
kring punktskattningen, för att kunna uttala oss med statistisk säkerhet om hur väl
parametern vi räknat fram från stickprovet stämmer med populationen). Vi använder oss
av begreppen populationsstatistikor (det okända sanna värdet på en parameter som vi
hade fått fram om vi undersökt alla individer i hela populationen) och stickprovsstatistikor
(det värde på en parameter som vi fått från stickprovet).
24

Tabell med i statistisk litteratur vanligt förekommande beteckningar på populations- och
stickprovsstatistikor
Typ
Populationsstatistika
Stickprovsstatistika
(resultat från stickprovet)
(okänd sanning)
Medelvärde µ x
Andel p pˆ
Varians (för medelvärde)
Standardavvikelse
(för medelvärde)
2
σ
σ
Exempel på medelvärden: Om vi vill undersöka vilken genomsnittslängden på studenterna
i ett klassrum är, då räknar vi på medelvärden.
Exempel på andelar: Om vi vill veta hur stor andel av personerna i ett klassrum som är
kvinnor, då räknar vi på andelar.
Medelvärden och konfidensintervall
Medelvärden och tillhörande konfidensintervall beräknas som följer. Kom ihåg att vi endast
kan beräkna medelvärden när vi har metriska svarsalternativ på en fråga.
• Punktskattning för medelvärde:
∑ x
x =
n
• Standardfel 1 för medelvärde:
2
s ⎛ n
SE = ⎜1
−
n ⎝ N
• Konfidensintervall för medelvärde:
2
s ⎛ n
x ± z ⎜1
−
n ⎝ N
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
Här känner vi igen z som tabellvärdet från normalfördelningen. Jag har här valt att uttrycka
formlerna med z istället för t (tabellvärdet från t-fördelningen) trots att σ är
okänd. Anledningen till att jag tar mig denna frihet är att t-fördelningen konvergerar mot
(övergår i) normalfördelningen när stickprovsstorleken är stor (titta i t-tabellen så ser ni
det!), och i de sammanhang vi kommer att använda dessa formler kommer n att vara stor
nog för att detta ska gälla. Fördelen med denna förenkling är förstås att vi slipper fundera
över antalet frihetsgrader i t-fördelningen.
2
s
s
1 Standardfel (i kursboken standard error) är det mått på standardavvikelse som vi använder när vi baserar
skattningen på ett stickprov. I uttrycket för standardfelet ingår s, som är den vanliga standardavvikelsen.
25

s, som ingår i standardfelet (se fotnot) är stickprovsstandardavvikelsen och beräknas som
1
2
s = ∑(
x − x)
.
n −1
⎛ n ⎞
Delen ⎜1 − ⎟ kallas för ändlighetskorrektion. Den ingår i ekvationen för att justera för
⎝ N ⎠
hur stor andel av populationen som vårt stickprov utgör. Ju större stickprovet är relativt
populationen, desto säkrare blir förstås våra slutsatser. Det är inte alltid vi inkluderar ändlighetskorrektionen
i beräkningen: i kursboken görs det exempelvis inte. Jag har valt att
inkludera den i dessa ekvationer därför att (i) det är bra att känna till den och (ii) när ni
arbetar med projektet kan ni prova på att använda den i praktiken (om ni känner populationsstorleken!)
och se hur mycket den påverkar beräkningarna. När ska vi då använda
den? Om N (= populationsstorleken) är känd så skadar det inte att inkludera ändlighetskorrektionen,
annars använder vi den inte!
Andelar och konfidensintervall
Andelar kan vi beräkna när en fråga har ordinala eller nominala svarsalternativ:
• Punktskattning för andel:
antal _ som _ uppfyller _ egenskap
pˆ =
totalantalet
• Standardfel för andel:
pˆ(1
− pˆ)
⎛
SE = ⎜1
−
n ⎝
n
N
⎞
⎟
⎠
• Konfidensintervall för andel:
pˆ(1
− pˆ)
⎛
pˆ
± z ⎜1
−
n ⎝
n
N
⎞
⎟
⎠
där z är tabellvärde från normalfördelningen 2 .
Information om
• medelvärden, varians och standardavvikelse hittar vi i kursbokens kapitel 2
• konfidensintervall för medelvärden i kapitel 14
• andelar i kursbokens kapitel 20
• konfidensintervall för medelvärden i kapitel 20.
2 Kom ihåg att vi alltid, oavsett stickprovsstorlek, använder normalfördelningen när vi arbetar med andelar!
26

3.2.5 Medelvärden, andelar och konfidensintervall vid stratifierat urval
Låt oss nu anta att populationen är indelad i L strata med stratumstorlekarna N 1 , N 2 ,…,N L
där N 1 + N 2 + … + N L = N (det vill säga, summan av de individuella stratumstorlekarna
är den totala populationsstorleken). Enklaste fallet är då L = 2 och nedan redovisas teorin
för detta.
Så snart vi har gjort en uppdelning av populationen i L = 2 strata kan vi göra stickprov
med hjälp av OSU från respektive strata. Närmare bestämt väljer vi med slumpens hjälp
ut n 1 individer från stratum 1 (t ex n 1 män) och n 2 individer från stratum 2 (t ex n 2 kvinnor).
I det första urvalet får vi medelvärdet x1och standardavvikelsen s 1 samt andelen ˆp
1.
I det andra urvalet får vi medelvärdet x2
och standardavvikelsen s 2 samt andelen ˆp
2
.
Baserat på denna information kan vi nu väga samman informationen från de två strata till
en punktskattning av medelvärde för hela populationen, en punktskattning av andel för
hela populationen samt korresponderande konfidensintervall:
• Punktskattning av medelvärde:
N1
N
2
x STR
= x1
+ x2
N N
• Standardfel för medelvärde:
2 2
⎛ N1
⎞ s ⎛
⎜ ⎟
1
n
=
⎜ −
1
SE STR
1
⎝ N ⎠ n1
⎝ N1
⎞ ⎛ N
⎟ + ⎜
⎠ ⎝ N
2
⎞ ⎟
⎠
2
s
n
2
2
2
⎛ n
⎜1
−
⎝ N
2
2
⎞
⎟
⎠
• Konfidensintervall för medelvärde 3 :
x STR
± z
⎛
⎜
⎝
2
N1
⎞ ⎟
N ⎠
s
n
2
1
1
⎛ n
⎜1
−
⎝ N
1
1
⎞ ⎛ N
⎟ + ⎜
⎠ ⎝ N
2
⎞ ⎟
⎠
2
s
n
2
2
2
⎛ n
⎜1
−
⎝ N
2
2
⎞
⎟
⎠
• Punktskattning av andel:
N N
1 2
pˆ
ˆ ˆ
STR
= p1
+ p2
N N
• Standardfel för andel:
SE STR
=
⎛
⎜
⎝
N
N
1
2
⎞
⎟
⎠
pˆ
1(1
− pˆ
1)
⎛ n
⎜1
−
n1
⎝ N
1
1
⎞ ⎛ N
⎟ + ⎜
⎠ ⎝ N
2
2
⎞
⎟
⎠
pˆ
2
(1 − pˆ
n
2
2
) ⎛ n
⎜1
−
⎝ N
2
2
⎞
⎟
⎠
3 Återigen använder jag här z, dvs normalfördelningen. Detta baserat på samma argument som på sidan 25.
27

• Konfidensintervall för andel:
ˆ
p STR
± z
⎛
⎜
⎝
N
N
1
2
⎞
⎟
⎠
pˆ
1(1
− pˆ
1)
⎛ n
⎜1
−
n1
⎝ N
1
1
⎞ ⎛ N
⎟ + ⎜
⎠ ⎝ N
2
2
⎞
⎟
⎠
pˆ
2
(1 − pˆ
n
2
2
) ⎛ n
⎜1
−
⎝ N
2
2
⎞
⎟
⎠
Hur stort stickprov ska vi dra ur respektive strata?
Hur ska vi då, när vi står inför att planera en undersökning, bestämma hur många individer
som ska väljas ut ur respektive strata? Detta kallas för att välja allokering.
Ofta väljer man proportionell allokering, där då stickprovsstorleken ur respektive strata
baseras på hur stora strata är. Ur precisionssynpunkt bäst blir det dock om man även tar
hänsyn till stratumspridningarna.
Grovt sett kan man satsa på följande regler:
• fler observationer ur större strata än ur mindre
• fler observationer ur strata med större stratumvarians än ur strata med mindre
stratumvarians
• fler observationer ur strata där det är billigare att göra observationer än ur strata
där det är dyrare att göra observationer.
I situationer, där observationskostnaden är densamma i alla strata uppnås optimal allokering
(minsta möjliga varians för punktskattningen) om urvalet allokeras proportionellt
mot produkten av stratumstorlek och stratumstandardavvikelse. Om kostnaden för att
göra observationer varierar kraftigt mellan olika strata bör hänsyn tas även till den, om
optimal allokering skall uppnås.
3.2.6 Korrelation (endast vid metrisk skala på bägge variablerna!)
Om vi har två variabler med metrisk skala, kan vi ibland vilja beräkna korrelationskoefficienten
mellan dem (kapitel 4 i kursboken).
3.2.7 Regression (endast vid metrisk skala på bägge variablerna!)
Vi kan också tänka oss att vi vill göra en regression av sambandet mellan två (metriska)
variabler. Mer om regression kan vi läsa i kursbokens kapitel 5.
3.2.8 Korstabeller (endast vid nominal- eller ordinalskala!)
Hittills (korrelation och regression) har vi diskuterat hur vi kan analysera sambandet mellan
två variabler på metrisk skala. Nu ska vi övergå till metoder för att analysera sambandet
mellan två (kvalitativa) variabler som är på nominalskala eller ordinalskala.
28

En korstabell (eller tvåvägstabell som det också kallas) är ungefär vad det låter som: på
ena axeln i tabellen har vi de olika klasserna för den ena variabeln, på den andra axeln har
vi klasserna för den andra variabeln. Anledningen till att det heter tvåvägstabell är just att
vi har en tabell för två variabler. Inne i tabellen presenteras sedan antalet individer i varje
grupp.
Exempel:
Borde SVT reklamfinansieras? 1198 slumpmässigt utvalda personer tillfrågades om detta.
Samtidigt noterades om den svarande var kvinna eller man.
Män
Kvinnor
Negativa 410 373
Positiva 120 295
Men detta är inte all information vi kan få från en tvåvägstabell – vi kan också ta fram
vad som kallas marginalfördelningarna! Om vi summerar totalen för respektive variabel
får vi fram marginalfördelningarna.
Exempel (forts):
Män Kvinnor Totalt
Negativa 410 373 783
Positiva 120 295 415
Totalt 530 668 1198
Ofta är dock procent ett bättre mått än absoluta tal för oss.
Exempel (forts):
Män Kvinnor Totalt
Negativa 410 (77%) 373 (56%) 783
Positiva 120 (23%) 295 (44%) 415
Totalt 530 (100%) 668 (100%) 1198
Vi noterar att vi lika gärna skulle ha kunnat räkna ut procentsatserna på andra axeln.
Detta är ett logiskt övervägande – vilken blir lättast att tolka?
Närmare bestämt konstaterar vi att procentsatserna som summerar till 100% för kvinnor
och män kallas betingade fördelningar.
Hur undersöker vi då om det finns något samband mellan två kvalitativa variabler? För
kvantitativa variabler var det ju enkelt, tack vare att vi kunde rita scatterplottar eller genom
att beräkna korrelationskoefficienten. För kvalitativa variabler handlar det istället
om att beräkna procentsatser och dra slutsatser utifrån dem. Vi kan i detta sammanhang
ofta vara hjälpta av att rita diagram för att undersöka svarsfördelningen mellan olika
grupper.
29

90
%
80
Negativa
70
60
Negativa
50
Positiva
40
30
20
Positiva
10
0
Män
Kvinnor
Fig: Ska SVT reklamfinansieras? Diagrammet baserat på svar från 1198 slumpmässigt
utvalda personer.
Från detta diagram ser vi tydligt att en övervägande del av såväl kvinnorna som männen
är negativa till reklamfinansiering av SVT, men att andelen negativa bland männen är
större än bland kvinnorna.
3.2.9 Chitvå-test (endast vid nominal- eller ordinalskala!)
Tänk er att vi har en tvåvägstabell, och att vi vill göra ett test för att undersöka om det
finns någon statistiskt signifikant skillnad mellan de olika grupperna. Vi använder oss då
av chitvå-test (eller χ 2 -test som det också betecknas).
Precis som vid andra test börjar vi med att ställa upp hypoteser.
H 0 : det finns inga skillnader mellan grupperna/ inget samband finns mellan grupperna
H 1 : skillnader finns/ samband finns
Testvariabeln ser ut som följer:
2 ( observerad _ frekvens − förväntad _
χ = ∑
förväntad _ frekvens
frekvens)
2
30

Vi kan alltså tänka oss chi-tvåtestet som en jämförelse mellan vilka värden vi observerat
och vilka värden vi hade kunnat förvänta oss om inga skillnader hade funnits mellan
grupperna. Stora värden på testvariabeln är då ett bevis mot nollhypotesen.
Vad är då observerad och förväntad frekvens? Jo, de beräknas för varje cell i tabellen
som
Förväntad frekvens = (radtotal*kolumntotal)/total
Vi fortsätter med samma exempel.
Exempel (fortsättning):
Finns det statistiskt signifikanta skillnader mellan kvinnor och män i fråga om hur SVT
ska finansieras på 5% signifikansnivå?
H 0 : Inga skillnader finns mellan kvinnor och män i fråga om SVT:s finansiering
H 1 : Skillnader finns
Män Kvinnor Total
Negativa 410 (530*783)/1198 373 437 783
= 346
Positiva 120 184 295 231 415
Total 530 668 1198
(Förväntade frekvenser med fetstil).
Chi-två-värdet kan då räknas ut som
2
χ
(410 − 346)
=
346
2
(373 − 437)
+
437
2
(295 − 231)
+ ... +
231
2
= 61.2
Hur vet vi om nollhypotesen ska förkastas eller ej?
Vi måste då använda oss av en chitvåtabell (kursboken sidan 692), alternativt tittar vi på
p-värdet från utskriften om vi gjort testet i Excel eller Minitab. Som vi ser i en chitvåtabell
definieras chitvåfördelningen av antalet frihetsgrader. Dessa räknar vi ut som
(antalet rader - 1) * (antalet kolumner - 1).
Exempel (fortsättning):
(2-1)(2-1) = 1 Vi hittar värdet 3,84
61,2 > 3,84 => H 0 kan förkastas! Det finns följaktligen signifikanta skillnader mellan
grupperna.
När kan vi då använda chitvåtestet? Kravet är att
1. max 20% av de förväntade frekvenserna är mindre än 5 och
2. att alla förväntade frekvenser är större än 1.
31

Om dessa krav inte uppfylls, vilket ofta inträffar när vi har en enkät med många svarsalternativ
men få respondenter, måste vi slå samman flera svarsalternativ.
3.3 Del III: Enkätens konstruktion och kodning
3.3.1 Att formulera ett frågeformulär
Filen Exempel på statistisk rapport på kurshemsidan innehåller en exempelenkät. Ha
denna i åtanke när du läser följande kapitel.
Nedan följer 11 minnesregler för utformning av enkäter. Tänk dock på att det inte finns
en enda strategi för att utforma en enkät. Varje enkät är unik och intimt kopplad till problemställningen.
1. Eftersträva enkelhet i frågorna. Tänk på att skriva korta frågor.
2. Håll nere antalet frågor. Man tröttnar fort på att fylla i enkäter.
3. Ställ bara frågor som konkretiserar problemställningen. Ställ aldrig några onödiga
frågor, och ställ heller aldrig fler bakgrundsfrågor (kön, ålder, och liknande) än
vad som verkligen behövs.
4. Formulera varje fråga så tydligt som möjligt. Var nästintill naiv i språket.
5. Se till att det finns svarsalternativ för samtliga tänkbara åsikter på varje fråga.
Detta kräver ofta ett alternativ av typen ”Vet ej”.
6. Använd minst en fråga med öppet svarsalternativ. Syftet med detta är naturligtvis
att respondenten ska få möjlighet att ”skriva av sig”. Vi kan även hantera denna
information statistiskt: om flera respondenter skrivit samma sak kan vi beräkna
andelen som gett detta svar.
7. Undvik att be respondenten att rangordna alternativ (frågor av typen sätt en etta
på det tvättmedel du helst köper, en tvåa på det som du näst helst köper osv).
Tänk igenom om ni själva verkligen kan rangordna de alternativ som ges. Det är
ofta svårt. Dessutom krånglar rangordning till de statistiska analyserna.
8. Undvik att låta respondenten ”hoppa” för mycket i enkäten (du som svarat ”Nej”
på fråga 12, gå till fråga 15). Dela hellre upp enkäten så att man successivt ”betar
av” respondenterna efter hur de indelas av enkätfrågorna.
9. Formulera alltid frågorna neutralt. Undvik ledande frågor!
32

10. Undvik hypotetiska frågor. Det är svårt för en respondent att sätta sig in i en situation
på det sätt ni som undersökare vill.
11. Vid frågor som rör attityder, se till att skalan alltid går åt samma håll (t ex alltid
från positivt till negativt).
Till en enkät skall alltid följeinformation finnas. Till postenkäter bifogas ett introduktionsbrev
eller följebrev av vilket skall framgå:
• Vem som har skickat enkäten (och på vems uppdrag)
• Vad undersökningen handlar om
• Varför det finns identifikationsnummer (om sådana finns. Identifikationsnummer
används ofta vid postenkäter, för att vi ska veta vilka som har besvarat enkäten
och vilka som behöver få en påminnelse).
• Var, när och hur man kan ta del av resultaten av undersökningen
• Vem man skall vända sig till (namn och telefonnummer) om man har problem att
fylla i enkäten.
Webbenkäter kan förses med motsvarande introduktionsbrev och vid telefonintervjuer
eller på-stanundersökningar ges muntlig information av liknande slag.
Generellt är principen för konstruktion av frågeformulär att vi börjar med enkla bakgrundsfrågor.
Tänk i detta sammanhang också på att aldrig utlova anonymitet i studien –
för det kan vi aldrig garantera. Däremot kan och bör vi se till att de ifyllda enkäterna hanteras
konfidentiellt, och detta kan vi också skriva i introduktionsbrevet.
För projektet i denna kurs skull är det lagom med cirka 10-12 frågor, inklusive några
bakgrundsfrågor.
3.3.2 Kodning
Det finns olika skolor för hur man kodar besvarade enkäter, och den som kodar har
mycket stora valmöjligheter. Börja alltid, när ni sitter med bunten med ifyllda enkäter
framför er, med att tilldela varje enkät ett löpnummer. Detta löpnummer skriver
vi också in i första kolumnen i Excel när vi kodar. På så sätt är det lätt att gå tillbaka och
spåra eventuella fel.
Nedan följer ett antal exempel på frågor, och hur dessa på ett lämpligt sätt kodas.
Exempel 1: Fråga med endast två svarsalternativ.
Äger du något motorfordon?
( ) Ja ( ) Nej
En fråga av denna typ kodas bäst som 1 och 0: 1 för ja och 0 för nej. Generellt gäller för
frågor med endast två svarsalternativ att de lämpligtvis kodas med 0 och 1 (dvs inte med
1 och 2, som en stor del av litteraturen föreslår).
33

Exempel 2: Fråga med många svarsalternativ, men det är endast tillåtet att fylla i ett
enda svarsalternativ på frågan.
Hur reser du oftast till Göteborg idag?
( ) Med buss och byten mellan olika bussar
( ) Med tåg och byten mellan olika tåg
( ) Med buss och tåg och lämpliga byten
( ) Med bil (egen bil eller samåkning med andra)
( ) Med flyg
( ) På annat sätt än ovanstående
Koda alternativen med siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6.
Exempel 3: Fråga med många svarsalternativ, där det är tillåtet att fylla i flera alternativ.
Hur reser du till Göteborg idag? (Flera svarsalternativ får ges)
( ) Med buss
( ) Med tåg
( ) Med bil (egen bil eller samåkning)
( ) Med flyg
( ) På annat sätt än ovanstående
Här är det lämpligt att låta varje svarsalternativ utgöra en egen kolumn i Excel när vi
kodar, och om respondenten valt ett specifikt alternativ får det koden 1, annars koden 0.
Exempel 4: Attitydfrågor ges ofta med svarsskalor av typen
Mycket positiv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mycket negativ
Instämmer inte alls ( ) ( ) ( ) ( ) Instämmer helt och hållet
Svarsstegen kodas med värdena 1, 2, 3,… beroende på hur många skalsteg som finns. I
anslutning till denna typ av svarsalternativ bör vi tänka på att alltid ha ett udda antal rutor,
fem brukar vara lagom. Syftet med detta är att vi vill ha ett neutralt mittalternativ.
Exempel 5: Frekvensfrågor
Jag reser till Göteborg
( ) mindre än en gång per år
( ) 1-6 gånger per år
( ) nästan varje månad
( ) 1-3 gånger per månad
( ) 1-3 gånger per vecka
( ) varje dag eller nästan varje dag
Svarsstegen kodas med värdena 1, 2, 3, ... beroende på hur många skalsteg som finns.
Exempel 6: Som tidigare konstaterats bör frågor där vi ber respondenten att rangordna
svarsalternativ undvikas men om vi ändå väljer sådana svarsalternativ gäller: I frågan
34

skall tydligt framgå hur ranger skall sättas, dvs vad ”1” står för och vad t ex ”5” står för
om det är fem svarsalternativ. Sedan kodar vi helt enkelt så som respondenten har skrivit.
Exempel 7: Hur gammal är du? ______________
Här blir koden helt enkelt den ålder som respondenten uppgett.
3.3.3 Kodning av saknade svar
Om svar saknas på en fråga där respondenten förutsätts svara brukar koden i de flesta statistiska
dataprogram vara *. Programmen kan nämligen hantera denna kod och bortser
automatiskt från detta svar vid statistiska beräkningar. I Excel som vi använder är emellertid
den bästa metoden att helt enkelt lämna cellen tom. Om vi kopierar över materialet
till Minitab ersätts de tomma cellerna automatiskt med *.
Om svar saknas på en fråga där respondenten inte förutsätts svara (kallas legalt bortfall)
sätts en speciell bortfallskod. Denna väljer man ofta till ett stort negativt tal som ligger
långt borta från de vanliga siffrorna man kodar med. Ett vanligt exempel är av någon anledning
värdet −49.
Exempel:
Fråga 4: Reser du med buss när du reser till Göteborg?
( ) Ja ( ) Nej
Fråga 5: Om du svarat Nej på föregående fråga, fortsätt till fråga 6
Vilket bussbolag reser du oftast med vid starten från Linköping?
( ) WeekendBus ( ) CrossSwede ( ) Annat, nämligen ____________
Om respondenten svarat Nej på fråga 4 skall inget svar ges på fråga 5. Bortfallet är då
legalt och kodas med −49
3.3.4 Bortfall
I undersökningar där vi baserar analysen på data insamlade via enkäter eller intervjuer –
t ex opinionsundersökningar och olika typer av marknadsundersökningar – uppstår så
gott som alltid bortfall. Bortfall uppstår genom att personer, som utvalts att ingå i undersökningen,
ej ger upphov till användbara svar. Vanligen tänker man i första hand på det
som skulle kunna kallas totalbortfallet, d v s icke inlämnade enkäter eller intervjuer som
ej kunnat genomföras.
Vi skiljer på två typer av bortfall:
35

1. Totalbortfall: Enkäten har inte besvarats alls
2. Partiellt bortfall (kallas också informulärsbortfall): En eller flera av frågorna på
enkäten har inte besvarats
Bortfall är ett stort problem som kan förskjuta slutsatserna från vår undersökning på ett
allvarligt sätt. Noggrant planerade undersökningar där dimensionering av urvalsstorlek
gjorts enligt konstens alla regler och förberedelser för långtgående analyser finns kan falla
helt och hållet till följd av stort totalbortfall. Bortfall inträffar ofta på frågor av känslig
karaktär.
Bortfall mäts i termen svarsprocent, vilket definieras som
Totalt _ antal _ som _ s var at
S var sprocent =
× 100
Totala _ antalet _ enheter _ i _ det_ ursprungliga _ urvalet
Bortfallsprocenten blir då förstås 100 – svarsprocenten.
Vad är då stort bortfall?
Inga tumregler finns egentligen, men bortfall över 20% brukar ge stora problem.
Varför är bortfall ett problem?
Först kan vi se att bortfall inte vore något allvarligt problem om de som inte svarar liknar
dom som svarar ur för undersökningen viktiga frågor. Emellertid finns det ofta anledning
att tro att så inte är fallet. Vi tar ett par enkla exempel:
• Man vill uppskatta den potentiella marknaden för en ny produkt med hjälp av en
marknadsundersökning av enkättyp. Det visar sig att 40 % av dem, som svarar
uppger att de har behov av den nya produkten. Om detta resultat kunde appliceras
på populationen konsumenter (antag att det handlar om 100 tusen) skulle god
lönsamhet kunna uppnås för den nya produkten. Emellertid är det ett stort antal
av de utvalda personerna som avstår från att svara. Erfarenheten talar för att icke
intresserade är överrepresenterade bland dem som inte svarar.
• Man vill uppskatta den genomsnittliga alkoholkonsumtionen bland vuxna med
hjälp av en enkätundersökning. Mycket talar för att storkonsumenterna i större
utsträckning än andra kommer att avstå från att svara och att man därför får en
underskattning om man applicerar svararnas uppgifter på hela populationen.
Vad kan vi göra åt bortfall?
Ja, först försöker man förstås få bortfallet litet genom en god planering och ett noggrant
genomförande av undersökningen. Det är viktigt med ett bra och tydligt frågeformulär,
som inte är alltför långt, och ett bra följebrev. Och man bör i normalfallet försöka göra
påminnelser, åtminstone en gång.
36

Men vad gör man sedan när man ändå har fått ett bortfall. Nedan följer ett antal tänkbara
åtgärder från mindre lämpliga till mer lämpliga.
• Vanligt är att man låtsas som det regnar och helt bortser från bortfallet, efter ett
konstaterande av typen att ”bortfallet är bara xx % och eftersom svarandeprocenten
alltså är hög så anser vi att resultaten är statistiskt korrekta” (eller något liknande).
Detta är nästan alltid olämpligt, om inte bortfallet är väldigt litet.
• Man ersätter den icke svarande med en mer svarsbenägen (kallas ibland för substitution).
Detta är oftast det sätt man använder när man gör ett på stan-urval.
• Man undersöker hur bortfallet ser ut med avseende på kända faktorer och funderar
kring vilken effekt det kan tänkas ha. Låt oss som exempel anta att man vill undersöka
dagens attityd till avveckling av kärnkraften med hjälp av en postenkät.
Låt oss också anta att man genom tidigare undersökningar funnit att kvinnor är
mer positiva till en snabb avveckling än män. Om männen blir kraftigt överrepresenterade
i bortfallet skulle man kanske snarast luta åt slutsatsen att den skattning
vi får när vi ser på enbart de svarande snarast är en överskattning av andelen positiva.
• Man gör kalkyler med hjälp av antaganden om bortfallet. Ett exempel ges i övning
4:b och i inlämningsuppgift 9).
• Man försöker skaffa information från bortfallet med mer krävande metoder t ex
genom personlig intervju sedan man misslyckats att få svar via postenkät. Man
väljer då ut en mindre del av bortfallet slumpmässigt och sätter till alla klutar för
att få svar: Om man exempelvis vill skatta medelvärdet i en population med ett
konfidensintervall så låter man det lilla urvalet ur bortfallet representera hela bortfallet
och genom vägning (tänk stratifiering!) bildar man en punktskattning och en
felmarginal, där alltså hänsyn tas till bortfallet.
3.3.5 Kort om analys av insamlat datamaterial
Analys av enkätdata kan göras på flera nivåer. En ”komplexitetsgradering” av dessa är
följande:
1. Tabeller, diagram och beskrivande mått
2. Konfidensintervall/hypotesprövning för intressanta storheter (medeltal, andelar,
totalsummor)
3. Jämförelser mellan parametrar med konfidensintervall/hypotesprövning
4. Analys av samband mellan olika frågor på ordinal- eller nominalskala genom χ2-
test
5. Analys av samband mellan olika frågor på metrisk skala med korrelationsmått och
regressionsanalys
37

3.4 Sammanfattningsvis: att göra en statistisk undersökning
Grovt sett, skulle vi kunna säga att det finns 11 steg att gå igenom när vi ska göra en statistisk
undersökning.
1. Första steget när vi ska göra en statistisk undersökning, liksom vid varje typ av
studie, är att formulera syfte. Syftet kan vi sedan bryta ned i några konkreta punkter,
som utgör vår problemformulering. Detta kallas operationalisering.
För att lyckas med en statistisk undersökning, ställs höga krav på frågorna vi ställer.
Närmare bestämt måste vi
• Konstruera frågor som alla kan besvara
• Konstruera svarsalternativ som tolkas entydigt
• Välja skalor på svarsalternativen så att tillräcklig information erhålls
Alla undersökta enheter (individer) hanteras på samma sätt: vi är inte intresserade
av vad en specifik individ tycker eftersom vi vill dra slutsatser om populationen.
Kontakten med individerna sker genom likadana enkäter, i motsats till den kvalitativa
ansatsens djupintervjuer där varje intervju blir unik och där inriktningen
under intervjuns gång kan ändras.
2. Definiera målpopulation för undersökningen och omsätt målpopulationen i en
rampopulation, som utgörs av de individer som vi faktiskt vet existerar och som
vi kan få tag i. Rampopulationen kan exempelvis vara ett register såsom folkbokföringen.
3. Välj om undersökningen skall göras som totalundersökning, där samtliga enheter
i populationen skall ingå, eller som en urvalsundersökning, i vilken endast ett urval
av enheter undersöks. Detta är oftast en kostnadsfråga, samt en fråga om det
faktiskt är möjligt att få tag i alla individer som ingår i rampopulationen.
Om vi bestämmer oss för en urvalsundersökning, vilket är det vanligaste, så måste
vi välja urvalsdesign med utgångspunkt från målpopulationens utseende.
§ Homogen målpopulation Ł OSU
§ Heterogen målpopulation Ł Stratifiering
Vi måste också välja stickprovsstorlek. Denna bestämts framförallt av tillgänglig
tid och budget, men i egenskap av att vara den som genomför undersökningen är
det dessutom viktigt att väga in hur stor precision vi vill uppnå i slutsatserna, det
vill säga bredd hos konfidensintervallen.
4. Välj mätinstrument för frågor:
• Postenkät (”+”: billig, enkel, ”−”: tidskrävande, stor bortfallsrisk)
• Webbenkät (”+”: billig, snabb, ”−”: svårigheter med population)
• Telefonintervju (”+”: snabb, ”−”: dyr)
• Besöksintervju (”+”: säker, ”−”: mycket dyr)
• På stan-undersökning (”+”: billig, enkel, snabb, ”-”: svårt att hantera bortfall)
38

5. Utforma frågeformuläret. I detta steg av undersökningen vill vi göra om abstrakta
begrepp och funderingar till något mätbart.
Börja med att fundera på vilken typ av analyser som vi vill kunna göra. Vill vi
göra hypotesprövning och dra slutsatser genom konfidensintervall? Då krävs det
att vi har frågor som passar till detta. Framförallt gäller att om vi vill kunna göra
regressionsanalyser för att hitta samband, så måste vi skapa frågor där den svarande
själv får skriva in siffror. Hypotesprövningar och konfidensintervall kan vi
bilda utifrån kvalitativa variabler, men då måste vi komma ihåg att vi ska räkna på
andelar.
Vi måste också fundera över undersökningens inriktning:
• Explorativ (för kunskapsbildning på området)
• Deskriptiv (för kartläggning av fakta och enkla samband)
• Förklarande (för detaljinformation om samband)
• Prediktiv (för att skapa underlag för prognoser)
Vi lägger sedan till bakgrundsfrågor om enheterna, som behövs för att samband
skall kunna analyseras (t ex kön, ålder, bostadsort etc.). Lägg inte till bakgrundsfrågor
som inte skall användas!
Slutligen prövar vi vårt frågeformulär på ett litet antal försökspersoner – vi gör en
så kallad pilotstudie.
6. Genomför datainsamling.
7. Koda svaren i enkäterna enligt en kodningsmall och mata in svaren på fil i ett datorprogram
(Excel, Minitab etc.). Lämpligt format är att varje enhet (individ) motsvarar
en rad och varje fråga/delfråga en kolumn.
8. Analysera data statistiskt med utgångspunkt från vilken skala respektive fråga har.
Gör tabeller, diagram, punktskattningar, konfidensintervall, χ2-test, ev, korrelationsberäkningar
och enkla regressionsmodeller.
Givet att vi inte gjort en totalundersökning, är det här viktigt att komma ihåg att vi
faktiskt räknar på resultaten av ett stickprov, men vill dra slutsatser om en population.
9. Analysera resultaten med den referensram som utarbetats för problemområdet.
10. Sammanfatta resultaten av analyserna i konkreta slutsatser och ge förslag till
handlingsprogram utifrån slutsatserna.
11. Ge självkritik
Som vi noterar av ovanstående, ligger en mycket stor del – huvuddelen – av arbetet med
en statistisk undersökning i förberedelser innan datainsamlingen sker. Detta kommer sig
39

av att vi arbetar med standardiserade frågeformulär, som gör det oerhört viktigt att alla
svarsalternativ finns med redan från början.
40

4. Seminarieuppgifter
Kapitelindelningen ansluter till veckobreven (1, 2 o.s.v.) Observera att de numeriska
uppgifterna i normalfallet är påhittade av författaren om det inte tydligt framgår att data
hämtats från en extern källa. Detta gäller för övrigt såväl seminarie- som inlämningsoch
övningsuppgifter.
4.1 Seminarium 1
Uppgift 1:A
Här presenteras data rörande hushållsstorlek (antal personer i hushållet) för de 40 hushåll
som bor i ett visst villaområde:
2 6 4 6 3 4 4 4 4 4 3 7 4 4 5 5 2
5 3 3 5 3 4 5 5 3 6 2 4 4 3 5 1 4
5 4 5 1 5 4
1. Beskriv materialet i en enkel frekvenstabell med såväl absoluta, som relativa frekvenser
och absoluta och relativa kumulerade frekvenser.
2. Beskriv materialet i ett stolpdiagram.
3. Beskriv materialet i ett lådagram.
4. Beräkna medelvärde, varians och standardavvikelse i materialet.
5. Beräkna andelen observationer som är större än 5. Beräkna också andelen observationer
som är större än eller lika med 5.
6. Approximera fördelningen med en normalfördelning med medelvärde och standardavvikelse
som i det faktiska materialet. Beräkna nu utifrån normalfördelningen andelen
av observationerna, som har värden som är större än 5 (med hjälp av normalfördelningstabellen
i boken) respektive större än eller lika med 5. Jämför med resultatet
enligt pkt 5.
7. Som i föregående uppgift men beräkna andelen av observationerna, som har värden
som är mindre än 4 respektive motsvarande andel som har värden mindre än eller lika
med 4. Jämför med motsvarande andelar i det faktiska datamaterialet.
8. I de två föregående punkterna har man jämfört det faktiska datamaterialet med den
approximerande normalfördelningen. Fundera kring vad som egentligen är problemet
och försök tänka ut något sätt att hantera det.
9. Beräkna (med hjälp av normalfördelningsapproximationen) den 90:e percentilen i materialet
(använd alltså normalfördelningstabellen). Jämför med värdet på 90:e percentilen
som man får om man räknar på de 40 observationerna.
Här presenteras nu elförbrukningen i 1000-tal kilowattimmar för de 40 hushållen från A.
9 27 16 22 14 24 24 22 19 21 14 31 19 18 22 15 11
16 13 17 22 14 17 15 24 15 32 12 26 21 22 31 10 25
22 16 12 10 19 11
41

10. Beskriv materialet av elförbrukningsobservationer i ett stam- och blad-diagram.
11. Beräkna medianen.
12. Klassindela materialet i fem klasser och beskriv det klassindelade materialet i en tabell
och i ett histogram.
Uppgift 1:B
Tio slumpmässigt utvalda högskolestuderande med praktikarbete sommaren 2007 beskrivs
med avseende på X: antal studieår vi högskola och Y: månadslön under sommaren
i tkr
Följande data föreligger (x,y):
Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(1, 11) (2, 11) (2, 14) (3, 12) (3, 14) (3, 16) (4, 13) (4,14) (4,15) (4, 18)
1. Beskriv materialet i ett spridningsdiagram.
2. Beräkna a respektive b enligt regressionsekvationen y = a + bx .
3. Rita in regressionslinjen i diagrammet.
4. Beräkna korrelationskoefficienten r mellan x och y.
5. Bestäm ”förklaringsgraden” (r-kvadrat).
6. Ta fram residualerna och beskriv dem på lämpligt sätt.
7. Sammanfatta vad man kan säga om sambandet mellan studietid och månadslön.
Uppgift 1:C
Man har i en kommun gjort en studie av kostnaderna för färdtjänst. I kommunen finns
3800 färdtjänstberättigade personer. Personerna delas in i sex grupper efter kön och var i
kommunen som man bor. I tabellen nedan redovisas den genomsnittliga kostnaden per
person för färdtjänst under en vecka under hösten i år.
Genomsnittlig kostnad per person den aktuella veckan
Boende Kvinnor Män
Centralt i tätorten 82 kr 80 kr
I utkanten av tätorten 130 kr 120 kr
På landet 162 kr 160 kr
Av tabellen nedan framgår hur de 3800 personerna fördelar sig på de sex grupperna.
Boende Kvinnor Män
Centralt i tätorten 1700 280
I utkanten av tätorten 500 220
På landet 300 800
Totalt 2500 1300
1. Beskriv var och en av de två tabellerna med avseende på om den är en frekvens- eller
en kvottabell, respektive hur mångvägsindelad den är.
2. Beskriv med hjälp av den andra tabellen marginalfördelningen för boende med såväl
absoluta som relativa frekvenser.
3. Beskriv de betingade fördelningarna för boende bland kvinnor respektive bland män
med relativa frekvenser. Respektive kolumn skall alltså summera till 100 procent.
42

4. Beräkna med hjälp av uppgifterna i de båda tabellerna den genomsnittliga kostnaden
för färdtjänst (medeltalet) för kvinnor respektive för män under den aktuella veckan.
5. Beräkna standardvägda medeltal för färdtjänstkostnaden för män respektive kvinnor
den aktuella veckan. Använd standardvikter proportionella mot totala antalet personers
fördelning på boende.
Ledning: Innebörden i detta är att man tänker sig att såväl kvinnorna som männen fördelar sig på
boende som samtliga 3800 personer tillsammans. Läs mer i kompendiet sid 1-14.
6. Jämför kostnaden för kvinnor och män med ledning av dels de båda medeltalen från
4 och dels de båda standardvägda medeltalen från 5 ovan. Försök att förklara varför
de båda könsjämförelserna blir olika.
4.2 Seminarium 2
Uppgift 2:A
Givet är en population med sex element med följande värden på variabeln X:
2 4 4 6 10 16
1. Beräkna medelvärde och standardavvikelse i populationen.
Tänk er nu att man gör ett slumpmässigt urval om n=2 element ur populationen, med lika
sannolikheter och med återläggning mellan dragningarna och bildar urvalsmedeltalet x .
2. Ta fram samplingfördelningen för x genom att dra alla möjliga urval om n=2 enligt
beskrivningen ovan.
3. Beskriv samplingfördelningen i ett stolpdiagram.
4. Beräkna medelvärde och standardavvikelse i samplingfördelningen.
Ledning: Tanken är alltså att man skall räkna ut medelvärde och standardavvikelse bland de x - värden
som man tagit fram i pkt 2 ovan.
5. Undersök/visa att de relationer mellan populationsparametrarna och motsvarande parametrar
i samplingfördelningen för x som enligt litteratur bör gälla faktiskt också
gäller.
6. Är x en unbiased estimator av populationsmedelvärdet?
Uppgift 2:B
Man kastar en röd sexsidig tärning med sidor markerade på ”vanligt” sätt med ett, två,
tre, fyra, fem respektive sex ögon och registrerar antalet ögon upp. Följande händelser
definieras:
A: Minst 4 ”ögon” upp (4, 5, 6) och B: Udda antal ”ögon” upp (1, 3, 5).
Ledning: Använd Dig gärna av Venn-diagram, när Du skall ta ställning till de följande frågorna.
1. Beskriv försökets utfallsrum och de båda händelserna.
2. Bestäm sannolikheterna P(A) och P(B).
3. Bestäm sannolikheterna för komplementhändelserna ”icke-A” och ”icke-B”.
Ledning: Lägg märke till att ”icke-A” är lika med ”Högst tre ögon upp” medan ”icke-B” motsvarar
”Jämnt antal ögon upp”.
43

4. Är A och B oförenliga (disjoint) händelser? Undersök.
5. Är A och B oberoende (independent) händelser? Undersök.
6. Bilda nu slumpvariabeln X som ”antal ögon i ett kast” och beskriv dess sannolikhetsfördelning
i en tabell och i ett diagram.
7. Beräkna förväntat värde/väntevärde (medeltal), varians och standardavvikelse för
slumpvariabeln X.
Man kastar nu två tärningar, vår tidigare röda och en likadan men grön. Beteckna antalet
ögon upp på röd tärning med X och antalet ögon upp på grön tärning med Y. Man bildar
slumpvariabeln ”summan av antalet ögon upp på de två tärningarna” W, d.v.s. W=X+Y
och definierar händelsen C: minst 10 ögon upp.
8. Beskriv försökets utfallsrum och händelsen och bestäm sannolikheten för händelsen
C.
9. Beräkna väntevärde (medelvärde), varians och standardavvikelse för slumpvariabeln
W.
Uppgift 2:C
Vår population utgörs av samtliga småföretag. Vi studerar kostnaderna för sjukfrånvaro,
varabeln X, under en viss period (i tusental kronor). Vi tror att den genomsnittliga kostnaden
(µ) är 60 tkr per företag och att standardavvikelsen (σ) är 16 tkr och arbetar därför
med följande antagande: Det gäller faktiskt att (µ = 60 och σ = 16).
1. Vi gör Obundet Slumpmässigt Urval (OSU, engelska SRS) om n = 400 företag ur
den mycket stora populationen och beräknar urvalsmedeltalet, x . Vad kan vi säga
om fördelningen (samplingfördelningen) för x (enligt Centrala gränsvärdessatsen,
Central limit theorem)?
2. Vad blir väntevärde (medelvärde) och standardavvikelse i samplingfördelningen
för x .
3. Hur stor är sannolikheten att vårt observerade värde på x hamnar mellan 58.43
och 61.57?
4. Om det skulle visa sig att vårt antagande är felaktigt, hur skulle då resultaten under
punkterna 1-3 påverkas?
Uppgift 2:D
Ett livsmedelsföretag saluför bland annat nötkärnor i 100-gramspåsar. Nötpåsarna levereras
till grossist i lådor om 1200 påsar. En grossist mottar en låda nötpåsar. Låt påsvikten
betecknas med X. Vi antar att de 1200 påsvikterna i lådan kan betraktas som N(100, 1.5).
1. Beräkna hur stor andel av nötpåsarna som väger mindre än 99 gram.
2. Hur stor är chansen att en slumpmässigt vald nötpåse ur lådan väger mindre än 99
gram.
3. Om grossisten slumpmässigt väljer två nötpåsar ur lådan, hur stor är då chansen att
båda väger mindre än 99 gram.
Vi återgår till företaget som saluför nötkärnorna. Man har där ett behov av att kontrollera
44

att produktionsprocessen fungerar bra och genomför följande kontrollåtgärd. Ur varje
låda
som skall säljas väljer man slumpmässigt 10 påsar bland de 1200 och beräknar medelvikten,
x . Om x avviker från µ (100 gram) med mer än 1 gram så kasseras hela lådan.
Ledning: Vi antar här liksom i pkt 3. ovan, att vi kan betrakta resultaten av de olika dragningarna som
oberoende observationer. Här är detta antagande mer tveksamt än i pkt 3. Varför?
4. Beräkna chansen att en låda kasseras givet att det faktiskt gäller att µ = 100 g och σ =
1.5 g.
Företaget vill inte förkasta mer än högst 2 % av de korrekta lådorna (µ =100 och σ = 1.5).
Vi har sett (föregående uppgift) att om man kräver att avvikelsen skall vara högst 1 gram
så kommer en högre andel att förkastas.
5. Beräkna storleken på den avvikelse som man måste acceptera om högst 2% av de
korrekta lådorna skall förkastas.
Samtidigt som man vill ha en liten chans (risk) att förkasta en korrekt låda så vill man att
chansen skall vara hög att förkasta en låda som inte är korrekt. Antag att i en låda är
µ =103 g och σ =1.5 g. Lådan är alltså ej korrekt eftersom µ är för stort.
6. Hur stor är chansen att man skall kassera lådan om det tidigare kravet om en avvikelse
på högst 1 gram gäller.
Ledning: Man kasserar alltså lådan om medelvikten av de 10 utvalda påsarna är mindre än 99 gram
eller mer än 101 gram.
7. Hur stor är risken att lådan i punkten ovan inte kommer att förkastas.
4.3 Seminarium 3
Uppgift 3:A
Vi återvänder nu till den population med sex element som användes i uppgift 2:A. Vi delar
nu in populationen i två strata (delar/delpopulationer) med de fyra minsta värdena,
nämligen 2 4 4 6, i ett stratum och de två största, 10 16, i ett. Tänk er sedan att man väljer
ett element ur vart och ett av de båda strata och bildar medeltalet av de båda observationerna.
1. Ta fram samplingfördelningen för medelvärdet av de två observationerna genom att
bilda alla möjliga kombinationer av ett element ur stratum 1 och ett element ur stratum
2. Beskriv samplingfördelningen i ett stolpdiagram.
2. Beräkna medelvärde och standardavvikelse i den nya samplingfördelningen.
3. Jämför samplingfördelningen med den som togs fram i uppgift 2:A 3).
45

Uppgift 3:B
Vi har en population bestående av samtliga småföretag (här definierat som företag med
mindre än 10 anställda, N=ca 560 000) där vi studerar kostnaderna för sjukfrånvaro under
en viss period (i tusental kronor). Vi gör ett obundet slumpmässigt urval (OSU) om n =
1400 företag ur den mycket stora populationen och beräknar medelvärdet i urvalet, x ,
som visar sig vara lika med 61.5. Vi antar att vi egendomligt nog vet att standardavvikelsen
i hela populationen, σ, är 26.
1. Beräkna ett approximativt 95-%igt konfidensintervall för µ.
2. Pröva hypotesen att µ = 60 mot hypotesen att µ är skild från 60. Sikta på 5 % signifikansnivå
(risknivå) . Ta fram testvariabel och kritiskt värde (signifikansgräns).
3. Beräkna också P-värdet för testet ovan.
4. Vad förändras om alternativhypotesen i stället är att µ är större än 60?
Antag nu att urvalet (OSU) bestod av n = 16 företag i stället för n = 1400 och att urvalsmedeltalet
var 61.5 precis som ovan. Antagandet om standardavvikelsen i populationen
gäller även här.
5. Hur skulle svaren under de fyra förra frågorna påverkas om vi haft den mindre urvalsstorleken
i stället för den större?
Låt oss nu tänka oss att vi släpper det något orealistiska antagandet att vi känner populationens
standardavvikelse. I stället utnyttjar vi informationen från vårt urval om n = 1400
företag ur populationen. Urvalet antas ha gett medeltalet 61.5 tkr och standardavvikelsen
24.8 tkr.
6. Beräkna ett approximativt 95 %-igt konfidensintervall för µ.
Antag nu att vi erhållit samma resultat som användes i punkten 6 ovan, men att urvalet
bestod av bara n = 16 observationer OSU.
7. Beräkna återigen ett approximativt 95 %-igt konfidensintervall för µ.
Antag nu att vi i stället skulle ha stratifierat (delat upp) populationen i två strata (delar) ett
innehållande 400 000 "enmansföretag" (stratum 1) och ett innehållande 160 000 företag
med mellan 1 och 9 anställda (stratum 2). Vi betecknar medelvärdet i stratum 1 med µ(1)
och medelvärdet i stratum 2 med µ(2).
8. Bestäm medelvärdet, µ, i hela populationen om 560 000 småföretag.
Ur stratum 1 väljer man nu 1000 företag (OSU) och oberoende av detta väljer man 400
företag (OSU) ur stratum 2. För de sammanlagt 1400 utvalda företagen registreras kostnaden
för sjukfrånvaro under den aktuella perioden. Antag att vi erhåller följande resultat:
urval ur stratum 1: n(1)=1000, x (1) = 30 tkr, urval ur stratum 2: n(2)= 400, x (2) =
136 tkr.
46

9. Bilda en punktskattning för µ, där vi låter µ(1) skattas med x (1) och µ(2) med x (2)
och sedan väger ihop de båda skattningarna på samma sätt som vi gjorde i punkt 8.
10. Hur stor andel av företagen har vi valt till urvalen ur stratum 1 respektive ur stratum
2?
Vi skall nu utnyttja reglerna för linjära variabeltransformationer och reglerna för variansen
för en summa av oberoende slumpvariabler (kapitel 2) för att bilda standardavvikelsen
för punktskattningen i punkt 9. Vi antar också att vi (konstigt nog) vet att standardavvikelsen
bland de 400 tusen enmansföretagen är 10 tkr och att standardavvikelsen bland
de 160 tusen flermansföretagen är 30 tkr.
11. Bilda standardavvikelsen för punktskattningen (medelfel, eng: standard error) enligt
punkt 9.
12. Bilda med hjälp av punktskattningen och medelfelet ett 95-%-igt konfidensintervall
för µ.
13. Om vi i stället valt 700 företag ur vardera stratumet och råkat få just de medeltal som
vi fick förut (30 respektive 136), vad skulle då bli annorlunda jämfört med konfidensintervallet
ovan. Bilda konfidensintervall och utred skillnaden.
14. Jämför längden på de fyra konfidensintervall som beräknats i punkterna 1, 6, 12 och
13 ovan.
4.4 Seminarium 4
Uppgift 4:A
Man genomför – i tre olika situationer - ett slumpmässigt försök som blir antingen lyckat
(med sannolikheten p) eller misslyckat (med sannolikheten 1-p). Man definierar slumpvariabeln
S = 1 för lyckat försök och S=0 för misslyckat. Försöket upprepas 4 gånger och
slumpvariabeln X = antalet lyckade försök. X är en binomialfördelad variabel.
Här följer de tre situationerna
• Ett symmetriskt mynt kastas. Lyckat försök är krona medan klave är misslyckat.
• En vanlig symmetrisk sexsidig tärning kastas. Högst två ögon upp är lyckat försök
medan tre eller fler ögon upp är misslyckat.
• Ur en påse med 50 godisbitar varav 20 sura och 30 söta väljs slumpmässigt en bit. Söt
godisbit betraktas som lyckat utfall på försöket.
Genomför för var och en av de tre situationerna följande:
1. Bestäm sannolikhetsfördelningen för X, beskriv den i ett stolpdiagram och beräkna
sannolikheten att X antar värdet 3 eller högre.
2. Beräkna medelvärde (väntevärde) och standardavvikelse för X.
Antag nu att man väljer 12 godisbitar ur en stor låda med 5000 bitar varav 2000 sura och
47

3000 söta. X betecknar antalet söta (antalet lyckade försök) bland de 12.
3. Bestäm medelvärde och standardavvikelse i sannolikhetsfördelningen för X.
Vi bildar nu variabeln
. Bestäm medelvärde och standardavvikelse i sannolikhetsfördelningen
för pˆ .
p ˆ =
X
n
4. Beräkna sannolikheten att pˆ antar ett värde som är högst 0.25.
5. Skissa på ungefär hur sannolikhetsfördelningen för pˆ kan tänkas se ut. Approximera
fördelningen med en lämplig normalfördelning. Bestäm approximativt sannolikheten
för att pˆ antar ett värde som är högst 0.25.
Uppgift 4:B
Man vill undersöka (den vuxna) befolkningens inställning till det svenska medlemskapet
i EU. Bland 120 tillfrågade slumpmässigt utvalda personer uppger 48 att de är negativa
till det svenska medlemskapet.
1. Bilda ett approximativt 95-%igt konfidensintervall för p (andelen i hela populationen
som är negativa till det svenska medlemskapet).
2. Pröva hypotesen att 45 % av populationen är negativa till det svenska medlemskapet.
Fundera på hur alternativhypotesen rimligen bör formuleras.
3. Om man i stället valt 1200 personer (OSU) och 480 sagt sig vara negativa till det
svenska medlemskapet, hur skulle då testet under 2 ovan påverkas?
Uppgift 4:C
En vara säljs i tre olika typer av enkilosförpackningar, typerna A, B och C. Man undrar
om tonåringars preferenser för olika förpackningar skiljer sig från vad som gäller för äldre
personer. Bland 200 slumpmässigt valda tonåringar är preferenserna följande: 88 personer
föredrar A, 58 personer föredrar B, 54 personer föredrar C.
Bland 300 slumpmässigt valda äldre personer ser preferenserna ut som följer: 162 personer
föredrar A, 72 personer föredrar B och 66 föredrar C.
1. Bilda en flerfältstabell med absoluta frekvenser med en kolumn för yngre och en för
äldre personer och tre rader, en för varje förpackningstyp. Tabellen skall alltså visa
hur de 500 personerna fördelar sig på ålder och preferens.
2. Bilda en motsvarande tabell med den procentuella fördelningen för vardera åldersgruppen
(kolumnerna summerar till 100 % var). Bedöm om det finns någon skillnad
mellan åldersgrupperna när det gäller preferenser för förpackningstyp.
3. Analysera frågeställningen med hjälp av chi-två-test. Formulera hypoteser, beräkna
förväntade frekvenser och observerat värde på testvariabeln, ange risknivå (signifikansnivå)
- välj nivå själva - och dra slutsats.
48

4.5 Seminarium 5
Uppgift 5:A
Året innan (säg år t-1) gjordes en liknande undersökning som den som gjordes nu (år t) i
uppgift 3:B. Man undersökte då – det tidigare året - ett urval (OSU) av 1250 småföretag
och fick ett urvalsmedelvärde om 58 tkr och en standardavvikelse i urvalet om 17.2 tkr.
a) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga sjukfrånvarokostnaden
det tidigare året (år t-1). Jämför också detta konfidensintervall med det som gjordes
under 3:B 1. Vad - i princip - skiljer dem åt?
b) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för skillnaden i genomsnittlig sjukfrånvarokostnad
mellan innevarande år (år t) och året före (år t-1). Vi antar då att undersökningen
från uppgift 3:B gav till resultat urvalsmedelvärdet 61.5 tkr och standardavvikelsen i
urvalet 24.8 tkr.
c) Undersök om det kan anses fastställt att den genomsnittliga kostnaden i populationen
är högre i år (år t) än förra året (år t-1). Formulera hypoteser, bilda testvariabel, välj
risk-/signifikansnivå och beräkna kritiskt värde. Ta också ställning via testets P-
värdet.
Vi tänker oss nu en alternativuppläggning av undersökningen sådan att vi valde ut (OSU)
ett antal företag förra året, tog reda på deras sjukfrånvarokostnader under en viss period
och därefter undersökte samma företag ett år senare och tog reda på motsvarande kostnader
i år. Vi tänker oss ett urval om bara 12 företag (för att underlätta räknandet) med följande
resultat:
Företag nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Kostnad år 1 28 27 58 88 65 88 39 69 82 32 29 43
Kostnad år 2 36 34 66 94 70 86 44 78 84 36 35 45
d) Ta ställning till samma hypotes som ovan (5:A 3).
Ledning: Tänk igenom vad som i princip skiljer de båda undersökningsuppläggningarna åt.
Uppgift 5:B
Vi anknyter till uppgiften 4:B, som handlade om inställningen till det svenska EUmedlemskapet.
Man ville där undersöka (den vuxna) befolkningens inställning. Bland
120 tillfrågade slumpmässigt utvalda personer uppgav 48 att de var negativa till det
svenska medlemskapet.
En opinionsundersökning riktad till ett slumpmässigt urval (OSU) om 1080 personer för
ett år sedan visade att andelen som då var negativa till det svenska medlemskapet var
35.5 %.
1. Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för skillnaden i andelen ”EU-negativa” i dag
jämfört med för ett år sedan.
2. Undersök med hjälp av ett signifikanstest om andelen ”EU-negativa” bland den vux-
49

na befolkningen i dag är högre än motsvarande andel för ett år sedan.
Uppgift 5:C
Vi använder här samma datamaterial som i uppgift 1:B och som handlar om tio slumpmässigt
utvalda högskolestuderande med praktikarbete under sommaren som beskrivs
med avseende på X: antal studieår vi högskola och Y: månadslön under sommaren i tkr.
Följande data föreligger (x,y):
Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(1, 11) (2, 11) (2, 14) (3, 12) (3, 14) (3, 16) (4, 13) (4,14) (4,15) (4, 18)
Ta fram spridningsdiagrammet och beräkningarna från uppgift 1:B.
1. Pröva hypotesen β=0 med ett dubbelsidigt test på 5 % signifikansnivå.
2. Gör ett 95%igt konfidensintervall för den genomsnittliga månadslönen för personer
med 3 års högskolestudier.
3. Gör ett prediktionsintervall för en ny observation med antalet studieår (X) lika
med 3 år.
4. Gör nu ett prediktionsintervall för en ny observation med antalet studieår (X) lika
med 5 år. Jämför intervallet med intervallet under föregående punkt.
5. Antag att personerna 1, 4, 5 samt 7 och 8 är studerande vid medellånga vårdutbildningar
medan övriga personer är studerande vid tekniska högskolor. Konstruera
en tredje variabel, Z, som en indikator- (dummy-) variabel som skiljer fakulteterna
åt.
6. Beskriv i ett vanligt spridningsdiagram sambandet mellan de tre variablerna genom
att använda olika symboler för de med z=1 respektive z=0. Vad tycks fakultet
betyda?
7. Beskriv i symboltermer den modell som skulle kunna användas för att analysera
sambandet mellan både studietid och fakultet å den ena sidan och månadslön å
den andra.
50

5. Inlämningsuppgifter
Inlämningsuppgift 1
I den studentägda bokhandeln vid en högskola arbetar fyra heltidsanställda personer (som
dock har flextid) samt ett antal studenter, som arbetar mellan 2 och 10 timmar per vecka
under terminstid. Under en majvecka noterade man följande arbetstider för de 16 personer
som arbetat den aktuella veckan, och dessa 16 tider (i timmar) utgör vårt datamaterial:
42, 36, 39, 35, 8, 10, 8, 5, 7, 6, 2, 9, 8, 8, 9, 8
a) Beräkna medelvärde och median i datamaterialet. Förklara varför de båda måtten skiljer
sig åt på det sätt som de gör.
b) Beräkna standardavvikelsen i datamaterialet.
c) Beskriv datamaterialet i ett lådagram.
d) Beräkna medelarbetstiden bland de 4 heltidsanställda (de fyra första personerna) respektive
bland de 12 timanställda. Bilda sedan medelarbetstiden bland samtliga som
ett vägt medelvärde av de båda medelarbetstiderna.
Inlämningsuppgift 2
Sextio studenter registreras en viss termin på en fristående 20-poängskurs i statistik. Kursen
är uppbyggd av fyra 5-poängsmoduler, som tenteras en och en. Efter en termin kan
man därmed ha uppnått högst 20 poäng på kursen, och minst 0 (om man inte klarat någon
av de fyra modulerna). Vid terminens slut sammanfattas resultaten med avseende på antal
avklarade poäng för de 60 studenterna enligt tabellen nedan:
Antal poäng Antal personer, som uppnått vidstående antal poäng
0 6
5 8
10 10
15 16
20 20
a) Beräkna medelantalet avklarade poäng per registrerad student.
b) Beräkna standardavvikelsen bland de 60 poängtalen.
c) Beskriv studieresultaten för de 60 studenterna i ett lådagram.
De ekonomiska resurser som institutionen disponerar för att ge den aktuella kursen baseras
på två storheter, nämligen så kallade ”Helårsstudenter” (HÅS) och ”Helårsprestationer”
(HÅP). En person som är registrerad på kurser omfattande 20 poäng under en termin
motsvarar en halv HÅS medan en total prestation om 20 poäng under en termin motsvarar
en halv HÅP. Antag att en hel HÅS utgör 7 tkr och att en hel HÅP utgör 12 tkr.
d) Beräkna det belopp som institutionen kan disponera för att genomföra den aktuella
kursen.
51

Inlämningsuppgift 3
På studentcentrum vid en mindre högskola har man efter antagningen en hösttermin,
sammanställt statistik över antal sökande uppdelat i antal antagna och antal som ej antagits
för vartdera könet och för de olika utbildningsprogrammen. Som exempel presenteras
här data för två utbildningsprogram, ett ingenjörsprogram (med 330 platser) och ett psykologprogram
med 55 platser, se tabellen på nästa sida.
Utbildningsprogram Kön Får plats Får ej plats
Ingenjörsutbildning Kvinnor 90 10
Ingenjörsutbildning Män 240 60
Psykologutbildning Kvinnor 50 100
Psykologutbildning Män 5 45
a) Beräkna procentandelen som får plats bland de 250 kvinnorna respektive bland de
350 männen. Vilket av könen har högst andel antagna?
b) Bilda en tvåvägsindelad tabell med två kolumner och två rader svarande mot de två
könen (kolumner) och de två utbildningsprogrammen (rader). I varje ruta anges
procentandelen antagna.
c) Kommentera resultaten och försök förklara varför det blir som det blir. Jämför härvid
resultaten från a) och b).
Inlämningsuppgift 4
De tolv boende i ett litet serviceboende beskrivs här med avseende på hur stort hjälpbehovet
(hjälp med städning, inköp, personlig omvårdnad etc) bedömts vara i timmar per vecka och hur
väl de boende trivs samt kön och ålder.
Person nr Kön Ålder Hjälpbehov, tim/vecka Trivsel i boendet
1 k 76 2 god
2 m 82 6 god
3 m 93 11 dålig
4 k 98 10 dålig
5 k 87 3 dålig
6 m 81 3 god
7 k 79 3 god
8 k 95 14 dålig
9 k 88 8 dålig
10 m 81 2 god
11 m 81 10 god
12 k 79 12 god
a) Beskriv hur de boende fördelar sig på ålder i ett stam-och-blad-diagram
b) Beskriv i ett punkt- eller stolpdiagram hur de boende fördelar sig på hjälpbehov.
c) Beskriv sambandet mellan kön och trivsel i boendet i en tvåvägsindelad
frekvenstabell.
d) Trivs män eller kvinnor bäst? Kan skillnaden mellan könen snarare vara ett
uttryck för skillnaden mellan åldrar? Försök att utreda.
52

Inlämningsuppgift 5
Vid en vårdcentral finns 16 personer anställda. Deras månadslöner för april ett
visst år i tusental kronor ges, tillsammans med uppgift om ålder och kön nedan:
Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Lön, tkr 15 17 17 31 26 20 24 16 20 18 26 30 30 26 34 22
Ålder 21 26 23 32 39 22 43 57 63 42 28 32 47 44 59 49
Kön k k k k k k k k k k m m m m m m
a) Beräkna medellönen för samtliga anställda i september.
b) Beräkna fyra medellöner, nämligen för männen respektive för kvinnorna liksom för
de yngre (under 40 år) respektive de äldre (40 år eller mer). Beräkna också skillnaden
i medellön mellan män och kvinnor respektive mellan äldre och yngre.
c) Bilda en tabell särskilt lämpad att jämföra de yngre och äldre med avseende
på lön så att man också kan se skillnaden mellan könen. Lämpligen gör man då en
fyrfältstabell med två kolumner, en för yngre och en för äldre, och två rader, en för
kvinnor och en för män. I varje ruta placeras medelvärdet för den aktuella gruppen
samt antalet personer.
d) Beräkna skillnaden i medellön mellan yngre och äldre bland männen och bland kvinnorna.
Jämför dessa skillnader med skillnaden mellan åldersgrupperna i b).
e) Vilka tjänar egentligen genomsnittligt bäst, yngre eller äldre. Utred frågan.
f) Kan man hävda att det föreligger lönediskriminering av kvinnorna på vårdcentralen?
Skulle slutsatsen förändras om Du fick veta att personerna nr 4, 5, 11, 12, 13,
14 och 15 är läkare och/eller chefer medan de övriga är annan vårdpersonal och administrativ
personal? Formulera några tankar.
Inlämningsuppgift 6
Studerande från tre olika utbildningsprogram har skrivit en och samma tentamensskrivning
i engelska. Provet bedöms med vanlig tregradig skala, U, G och VG. De tre betygsnivåerna
fördelar sig procentuellt över de tre programmen enligt tabellen:
Betygsnivåer fördelade över program, procent
Betyg Program 1 Program 2 Program 3 Summa
Underkänd 40 40 20 100
Godkänd 53 35 12 100
Väl godkänd 42 36 22 100
Du skall för vart och ett av följande fem påståenden ange om det är sant eller falskt med
en liten motivering.
Påståenden: Ur tabellen ovan kan följande utläsas:
a) Bland de underkända är andelen studerande som kommer från program 2 dubbelt så
stor som andelen som kommer från program 3.
b) Bland de godkända är andelen studerande som kommer från program 1 cirka 34 %
högre än andelen som kommer från program 2.
c) I program 3 är andelen studerande som är väl godkända större än andelen som är underkända.
53

d) Totalt sett kommer 45 % av eleverna från program 1, 37 % från program 2 och 18 %
från program 3.
e) Det är totalt sett ett mindre antal studerande från program 3 jämfört med de skrivande
från de båda övriga programmen.
Inlämningsuppgift 7
I en studie syftande till att kartlägga hur äldre utnyttjar sin tid, har man tagit reda på hur
lång tid de undersökta personerna lagt på att läsa dagstidningar. Här följer data avseende
18 äldre kvinnor. Observationerna anger antalet minuter per dag som personerna uppgett
sig läsa dagstidning en "vanlig" vardag, benämnt lästid.
5 5 10 10 14 40 60 80
0 0 17 30 35 50
5 15 18 20
Beräkna genomsnittlig lästid (aritmetiskt medelvärde) per person i gruppen om 18 kvinnor.
Inlämningsuppgift 8
Om 22 äldre mäns tidningsläsande får man veta den genomsnittliga (aritmetiskt
medelvärde) lästiden för olika åldersgrupper, se tabellen som följer. Tabellen visar
t ex att 5 män i åldern 70-79 år i genomsnitt haft en lästid om 35 minuter.
Ålder Genomsnittlig lästid Antal personer
60-69 år 35 min 5
70-79 år 25 min 5
80-89 år 17 min 12
a) Beräkna genomsnittlig lästid (aritmetiskt medelvärde) per person i gruppen om 22
män
Betrakta nu kvinnornas lästider från föregående uppgift. Det gäller att de åtta tiderna på
första raden (5 5 10 …) avser kvinnor i åldern 60-69 år, de sex tiderna på nästa rad avser
kvinnor i åldern 70-79 år och de fyra tiderna på den sista raden avser kvinnor i åldrarna
80-89 år.
b) Konstruera för de 18 kvinnorna en tabell liknande den som gavs för männen ovan.
Jämför därefter de genomsnittliga lästiderna i de olika åldersgrupperna för män och
kvinnor. Förklara i enkla ordalag hur jämförelsen mellan könen utfaller.
c) Jämför nu kvinnornas medelvärde från föregående uppgift med männens från a) i denna
uppgift. Kommentera vad man ser och förklara skillnaden mot resultatet b). Vilketdera
könet läser egentligen mest och hur uppstår paradoxen?
d) Bilda standardvägda medeltal för lästiden för männen respektive kvinnorna. Välj standardvikter
proportionella mot samtliga 40 personers fördelning på ålder.
Inlämningsuppgift 9
Vi tänker oss en totalundersökning riktad till de studerande och anställda vid en liten
högskola. Man vill undersöka om det kan finnas underlag för ett bankkontor på
campus. En mycket enkel enkät med några få frågor distribueras via postfack och
54

internpost till samtliga studerande och anställda. 540 besvarade formulär utgör resultatet.
Bland dessa har 405 svarat ja på frågan ”anser Du att det behövs ett bankkontor
på campus?”.
a) Beräkna med utgångspunkt från undersökningsresultatet procentandelen
i populationen, som anser att det behövs ett bankkontor.
Antag nu att vi får veta att det finns sammanlagt 980 anställda och studerande vid
högskolan i fråga. Det finns alltså ett stort bortfall i undersökningen.
b) Beräkna hur stor andelen jasvar skulle ha kunnat bli som minst respektive mest,
om hänsyn tas till bortfallet.
c) Fundera lite kring vad man kan tro om bortfallet.
Inlämningsuppgift 10
Företaget ÄT RÄTT tillverkar och säljer bland annat mysli. På marknadsavdelningen på
ÄT RÄTT vill man närmare undersöka konsumtionsvanorna när det gäller mysli. Man
samlar in uppgifter från ett urval av kunder. Vi låtsas nu att urvalet bestod av bara 10
kunder, så att vi får ett litet datamaterial som vi kan räkna på. Från urvalet samlar man in
uppgift om de 10 kundernas familjestorlek, liksom om man har barn under 18 år eller ej
(uppgiften används ej här) och myslikonsumtion i kg per månad. Följande data erhålls
Kund nummer Familjestorlek Myslikonsumtion
1 1 1
2 5 1
3 6 5
4 2 1
5 1 2
6 3 1
7 5 2
8 2 3
9 3 3
10 2 1
a) Beskriv samband mellan familjestorlek och myslikonsumtion i ett
spridningsdiagram. Låt familjestorlek vara x och myslikonsumtion y.
b) Beräkna korrelationskoefficienten mellan myslikonsumtion och familjestorlek.
c) Vad kan man säga om styrkan av sambandet? Beräkna förklaringsgraden och
försök säga ut i vanliga ord, vad man kommit fram till. Verkar sambandet vara starkt?
Man hittar sedan ett fel i datafilen. Man har förväxlat konsumtionssiffran för kund nr 2
och nr 8. Det skulle alltså vara så att kund nummer 2 har x=5 och y=3 medan kund nr 8
har x=2 och y=1.
d) Beräkna den rätta korrelationskoefficienten.
e) Beskriv kort vad Du lärt Dig av att man rättade felet i data.
55

f) Sammanfatta för styrelsen på ÄT RÄTT vad man lärt om sambandet mellan
familjestorlek och myslikonsumtion.
Inlämningsuppgift 11
På två utbildningsprogram vid en högskola har man genomfört kursvärdering enligt ett
fastställt formulär. Bland annat ställer man följande fråga: ”Är Du i huvudsak nöjd med
Din utbildning på programmet?” På ekonomprogrammet finns 60 studerande varav 42
personer besvarar frågorna och 24 svarar ja. På lärarprogrammet finns 50 studerande. Antalet
svarande är 45 personer och 30 av dem svarar ja.
a) Beräkna procentandelen nöjda (ja-svarare) bland de svarande på vart och ett av programmen
samt hur många procent högre (eller lägre) som andelen nöjda är på lärarprogrammet
jämfört med ekonomprogrammet.
b) De, som arbetar med ekonomprogrammet hävdar att jämförelsen är orättvis och att
man mycket väl skulle kunna haft minst lika hög andel nöjda som "lärarna" om bara
antalet svarande varit större. Utred om det ligger något i detta påstående.
Inlämningsuppgift 12
Följande månadslöner (tusental kronor) utbetalas till de fem anställda på ett litet företag:
18 20 20 22 25
a) Beräkna medellön, varians och standardavvikelse i materialet av fem observationer på
variabeln X=månadslön.
Till jul utgår en ”extralön i form av 10 tkr” till var och en av de anställda.
b) Bilda de fem observationerna på variabeln årslön, Y = 10 + 12X.
c) Beräkna årsmedellönen, variansen och standardavvikelsen i materialet av fem Y-
observationer.
d) Vilka relationer mellan måtten i a och måtten i c gäller?
e) Gäller dessa relationer generellt? Resonera och försök visa formelmässigt hur det ser
ut.
f) Vi tänker oss nu en godtycklig variabel X med medelvärde och standardavvikelse lika
med µ respektive σ. Beräkna medelvärdet, variansen och standardavvikelsen för variabeln.
Z = X ( − µ )
σ
Ledning: Reglerna för linjär variabeltransformation i kapitel 2.
Inlämningsuppgift 13
I en fabrik produceras inlagda rödbetor på burk som säljs under beteckningen Bettans
rödbetor, 1000 gram. Man anser sig veta att standardavvikelsen bland tillverkade burkar
är 8 gram.
a) Ungefär hur stor del av burkarna väger minst 1010 gram?
b) Om man slumpmässigt väljer ut en burk hur stor är då sannolikheten att den skall visa
sig väga mindre än 995 gram?
56

Från en veckas produktion (ca 10000 burkar) väljer man regelmässigt ett OSU-urval om
125 burkar och väger dem. Om medelvikten bland de utvalda burkarna då avviker från
1000 gram med mer än 3 gram avbryter man produktionen och letar efter fel i produktionsprocessen.
Vi betraktar produktionen i en godtycklig vecka som vår undersökningspopulation.
c) Om det är sant att populationen av burkar i genomsnitt väger just 1000 g hur stor är
då sannolikheten att få en medelvikt i urvalet som med minst 3 g avviker från 1000 g?
d) Om i själva verket populationen av burkar i genomsnitt väger bara 998 g med en
standardavvikelse som är 16 gram, hur stor är då sannolikheten att få en medelvikt i
urvalet som med minst 3 g avviker från 1000 g?
Inlämningsuppgift 14
Man vill undersöka studieresultaten i ett visst ämne under hösten 2005. Bland annat är
man intresserad av att se om studieresultaten skiljer sig mellan dem som antagits på gymnasiebetyg
(betygsgruppen) och dem som antagits på resultat från högskoleprovet (provgruppen).
Man undersöker hur många poäng som genomsnittligt producerats på kurser på
olika nivå av studerande i de två grupperna. Resultatet av undersökningen redovisas i tabellen
nedan. I tabellen anges alltså dels genomsnittligt antal poäng per studerande på
olika kursnivå och dels (inom parantes) antalet studerande i var och en av grupperna. Vi
ser alltså exempelvis att 22 personer i provgruppen som läst på lägre nivå i genomsnitt
producerat 14.0 poäng.
Kursnivå Betygsgrupp Provgrupp
Lägre (A-B-nivå) 14.8 (48) 14.0 (22)
Högre (C-D-nivå) 17.9 (16) 17.6 (24)
a) Beräkna med utgångspunkt från tabellen genomsnittligt antal poäng för studerande i
betygsgruppen och motsvarande mått för de studerande i provgruppen.
b) Jämför de båda grupperna (betygs- och provgrupp) med avseende på producerade poäng
med hjälp av dels resultatet från a) och dels det som man ser i själva tabellen. Diskutera.
c) Bilda standardvägda medeltal för producerade poäng, dels för studerande i betygsgruppen
och dels för dem som tillhör provgruppen. Använd samtligas fördelning på
kursnivå som underlag för standardvikterna.
Inlämningsuppgift 15
Givet en population med sex element med följande värden på variabeln X:
2 4 4 6 10 16
Man gör urval om n=2 element med lika sannolikheter men utan återläggning och bildar
urvalsmedeltalet x .
a) Ta fram samplingfördelningen för urvalsmedeltalet.
b) Avbilda samplingfördelningen i ett stolpdiagram.
c) Beräkna medelvärde och standardavvikelse i samplingfördelningen.
d) Jämför de framräknade parametrarna med motsvarande värden i populationen.
57

e) Jämför de framräknade parametrarna med motsvarande mått som togs fram i seminarieuppgift
2:A.
f) Jämför samplingfördelningen enligt stolpdiagrammet (pkt b ovan) med motsvarande
diagram i seminarieuppgiften 2:A.
Inlämningsuppgift 16
Man ville med hjälp av ett chi-två-test på 5 % risknivå undersöka om det fanns någon
åldersskillnad när det gäller val av nyhetsprogram i TV. Femhundra personer hade uppgett
vilket program de föredrog av Rapport, Aktuellt och Nyheter i TV4. Var och en av
de tillfrågade uppgav också sin ålder och man har därmed kunnat göra följande tabell,
som beskriver hur de sammanlagt 500 personerna fördelade sig på ålder och program.
TV-program Under 20 år 20-39 år 40 år och mer
Rapport 76 86 58
Aktuellt 48 66 56
Nyheter i TV4 26 48 36
a) Beskriv marginalfördelningen för ålder i en enkel frekvenstabell med relativa frekvenser.
b) Beskriv i en tabell lämpad för att jämföra de tre åldersgrupperna hur var och en av de
tre åldersgrupperna procentuellt fördelar sig på TV-program. Vilken av grupperna är
mest ”Rapportpositiv”?
c) Undersök om de observerade skillnaderna är tillräckligt stora för att ett chi-två-test
skall ge signifikant resultat. Ange hypoteser, beräkna testvariabelns värde och dra
slutsats.
Inlämningsuppgift 17
En population består av de fyra elementen 1, 2, 4 och 13. Ur denna population väljer man
slumpmässigt utan återläggning tre element. X MIN betecknar det minsta och X MAX det
största av de erhållna värdena. Man skattar populationsmedelvärdet µ med intervallet
X MIN ≤ µ ≤ X MAX . Bestäm intervallets konfidensgrad.
Inlämningsuppgift 18
Man har gjort två urval av företag i en viss bransch, det ena bestående av 100 bland totalt 10000
småföretag och det andra bestående av 100 bland totalt 4000 större företag. Urvalen har gjorts
helt oberoende av varandra. Syftet med undersökningen är att få ett grepp om företagens kostnader
för sjukfrånvaro. Man har undersökt kostnaderna för september månad ett visst år. Följande
resultat erhölls:
Små Större
företag företag
Medeltal, tkr 27.8 108.5
Vi antar orealistiskt – att standardavvikelsen för sjukkostnaderna är känd inom vartdera stratumet.
I stratum 1 är standardavvikelsen 15 tkr och i stratum 2 är den 75 tkr.
58

a) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för sjukfrånvaron
bland större företag under september det aktuella året. Uttala resultatet så att
icke statistikkunniga förstår vad undersökningen visat.
b) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för
sjukfrånvaron bland samtliga 14000 företag under den aktuella månaden.
c) Denna situation är ett exempel på stratifierat urval. Ta ställning till följande påstående
och ange om det är sant eller ej med kort motivering: Vid stratifiering bör man försöka
få så liten standardavvikelse som möjligt inom varje stratum (delpopulation).
Inlämningsuppgift 19
Inom en mils radie från ett nyöppnat köpcenter bor 4 tusen hushåll. Man överväger att
öppna ett apotek i köpcentret och för att bedöma kundunderlaget görs ett urval av hushåll
(OSU) bland de 4 tusen och dessa kontaktas. Man ställer frågan ”Räknar du med att ditt
hushåll kommer att köpa merparten av sina apoteksvaror vid det eventuellt nya apoteket?”
Av 120 svar är 72 ja-svar.
a) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för p, andelen ”ja-svarare” bland de 4 tusen
hushållen (alltså den andel ja-svar som man skulle fått om man kunnat göra en totalundersökning
av populationen).
Inom en radie om fyra mil från det nya köpcentret bor 20 tusen hushåll (alltså har 16 tusen
hushåll mellan en och fyra mil till köpcentret.). Man gör ett urval bland dessa 16 tusen
hushåll och ställer samma fråga som tidigare. Bland 400 svar är 28 ja-svar.
b) Använd nu data från båda undersökningarna och skatta andelen ja-svar bland de 20
tusen hushållen med ett 95-%igt konfidensintervall.
c) Bilda också ett 95-%igt konfidensintervall för antalet ja-svarande hushåll i populationen.
Inlämningsuppgift 20
Man vill bilda sig en uppfattning om hur mycket pengar som hushållen i Älvhaga lägger
på apoteksvaror. Antag att man tänker sig en undersökning baserad på ett urval (OSU)
om n hushåll ur hela populationen om 20 tusen hushåll. Syftet är att ta reda på den genomsnittliga
kostnaden per hushåll för apoteksvaror under den senaste månaden. Frågan
är hur stort urval man skall välja.
I en liknande undersökning som genomförts i Östermo, en kommun av liknande storlek i
en annan del av landet, fann man i sitt urval att den genomsnittliga kostnaden per hushåll
för apoteksvaror under mars månad var 124 kr och standardavvikelsen var 80 kr.
a) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden per hushåll i
Östermo under mars, givet att urvalet bestod av 500 hushåll (OSU), där samtliga faktiskt
svarade.
59

) Beräkna hur stort urval som man borde ta i Älvhaga om vi antar att standardavvikelsen
i populationen om 20 tusen hushåll är just 80 kr och vi siktar på ett konfidensintervall
med en felmarginal om högst 10 kronor.
Ledning: Felmarginalen i ett konfidensintervall är tabellvärde * standard error.
Antag nu att urvalet i Älvhaga faktiskt kom att bestå av 300 hushåll med ett medelvärde
om 138 kr och en standardavvikelse om 88 kr. Undersökningen skedde i maj månad.
c) Går det med hjälp av dessa data att fastställa om den genomsnittliga apoteksvarukostnaden
är högre i Älvhaga än i Östermo? Genomför en formell hypotesprövning. Antag
härvid att apoteksvarukonsumtionen är ungefär densamma i mars som i maj.
Inlämningsuppgift 21
600 personer i åldrarna 21-60 år har svarat på frågor rörande TV-program. I tabellen redovisas
hur de svarande fördelar sig på sådana som svarar ja respektive nej på frågan
“Brukar Du titta på de svenska uttagningarna till schlagerfestivalen?“
Kön Ålder Antal som brukar titta Antal som ej brukar titta
Kvinnor 21-40 82 28
Kvinnor 41-60 80 60
Män 21-40 112 68
Män 41-60 70 100
a) Hur ser sambandet mellan ålder och “tittarvanor“ (tittar/tittar ej) ut? Ställ upp en
lämplig tabell för att studera sambandet. Tolka sambandet i ord.
b) Hur ser sambandet mellan kön och ålder ut i gruppen av personer. Ställ upp en lämplig
tabell för att studera detta samband. Tolka sambandet i ord.
Inlämningsuppgift 22
Vi är intresserade av skolelevers TV-tittande (i timmar per vecka) och använder följande
data som illustration. Vi har 12 flickor och 12 pojkar till vårt förfogande.
De tolv flickorna har följande värden: 14, 23, 30, 16, 18, 34, 8, 10, 19, 4, 14, 14
De tolv pojkarna har följande värden: 15, 25, 25, 18, 34, 40, 9, 10, 22, 6, 17, 19
a) Beräkna ett 95-%-igt konfidensintervall för den genomsnittliga TV-tittartiden
bland högstadieungdom och anta därvid att våra 24 ungdomar är slumpmässigt
(OSU) valda bland samtliga (knappt 300000) högstadieungdomar i landet. Formulera
slutsatsen i ord.
b) Pröva på 5 % signifikansnivå hypotesen att det inte finns någon skillnad mellan könen
när det gäller antal timmars TV-tittande. Anta härvid att vi har två slumpmässiga
urval, som gjorts helt oberoende av varandra, ett om 12 flickor bland samtliga högstadieflickor
och ett om 12 pojkar bland samtliga högstadiepojkar.
Antag nu att de tolv flickorna är slumpmässigt valda bland de 200 flickorna medan de
tolv pojkarna är slumpmässigt valda bland de 600 pojkarna i en tekniskt inriktad gymnasieskola
med totalt 800 elever.
60

c) Beräkna med utgångspunkt från antagandena ovan ett 95-%-igt konfidensintervall för
den genomsnittliga TV-tittartiden bland gymnasisterna i den aktuella gymnasieskolan.
d) Samma hypotes som i b) prövas men vi antar nu att det slumpmässigt valts 12 syskonpar
om en bror och en syster. Syskonen är angivna i samma ordning. I det första
syskonparet har flickan tittat 14 timmar och pojken 15 osv.
Inlämningsuppgift 23
I samband med en vinprovning avsmakas två sorters Riojavin av vardera tio vinkännare,
som poängsätter vinerna på en skala från 1 (uselt) till 20 (utsökt). 4 Följande resultat erhålls:
Person 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vin A 12 11 14 12 13 10 15 16 14 14
Vin B 11 10 12 11 10 11 16 13 13 15
Vi vill pröva hypotesen att vinerna är likvärdiga med två olika metoder. För vart och ett
av fallen gäller att hypoteserna noggrant skall formuleras, testvariabel anges och slutsats
dras.
a) Vi antar att vi har två oberoende stickprov om 10 personer, ett bestående av de 10
personer som testat vin A och ett bestående av de tio personer som testat vin B.
Genomför en hypotesprövning av vanlig typ med t-metod.
b) Vi antar att tio personer dragits med OSU ur en stor population av vinkännare och att
var och en av dem testat både vin A och vin B. Genomför ett t-test enligt matchadepar-design.
Inlämningsuppgift 24
Tänk Dig att Du får i uppgift att undersöka om den genomsnittliga viktökning som man
kunnat se hos unga män under senare år har sin motsvarighet bland medelålders män. Låt
oss anta att vi vet att bland medelålders män för 10 år sedan var 13.9 % överviktiga. Antag
så att Du gör ett obundet slumpmässigt urval om 800 medelålders män, väger dem och
finner att 15.6 % är överviktiga enligt samma definition av övervikt som tidigare använts.
På grundval av undersökningen vill Du ta ställning till om andelen överviktiga bland medelålders
män ökat eller ej under 10-årsperioden och genomför därför en statistisk hypotesprövning.
a) Formulera nollhypotes och alternativhypotes.
b) Förklara i relation till Dina hypoteser vad som menas med fel av första slaget och fel
av andra slaget.
c) Antag att Du genomför testet på 5 % signifikansnivå. Vad är innebörden i detta?
d) Vad kan man säga om risken för fel av andra slaget i detta test?
e) Vad menas med testets P-värde?
f) Antag nu att testets P-värde blir 0.15 (15 %). Vilken slutsats drar Du av testet. Är re-
4 Data hämtade från Vejde-Leander, Ordbok i statistik, sid 308.
61

sultatet signifikant eller ej?
g) Har medelålders män ökat i vikt genomsnittligt sett eller ej? Förklara för uppdragsgivaren.
Inlämningsuppgift 25
I en stor kommun vill man bland de anställda jämföra antalet sjukskivningsdagar bland
män och kvinnor. Man har data från två obundna slumpmässiga urval, dragna oberoende
av varandra, ett bestående av män och ett av kvinnor bland de kommunanställda. För vardera
urvalet har man för varje utvald person tagit reda på antalet frånvarodagar under den
aktuella perioden. Man har därefter beräknat medelvärde respektive standardavvikelse
bland observationerna. Följande resultat erhölls:
Grupp antal observationer medeltal standardavvikelse
Kvinnor 18 36.9 18.6
Män 14 32.2 14.3
a) Pröva hypotesen att den genomsnittliga sjukfrånvaron i hela kommunen är lika stor
bland kvinnor som bland män. Använd dubbelsidig mothypotes.
b) Går det att "fastställa" att kvinnorna i kommunen i genomsnitt troligen har större
sjukfrånvaro än männen? Genomför en lämplig hypotesprövning. Glöm ej att formulera
såväl hypoteser som slutsats.
Inlämningsuppgift 26
Man undrar hur stor del av Norrköpings vuxna befolkning som är positiva till vårt EUmedlemskap.
Av 1000 slumpmässigt utvalda personer uppger 520 att de är EU-positiva.
a) Bilda ett 95-%-igt konfidensintervall för andelen EU-positiva bland Norrköpings
vuxna befolkning.
b) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för antalet EU-positiva bland Norrköpings vuxna
befolkning, som antas bestå av cirka 100 tusen personer.
Inlämningsuppgift 27
Man vill undersöka sambandet mellan nedlagd studietid och tentamensresultat på en nationalekonomitenta
med 20 studerande, vilka samtliga uppgett nedlagd studietid på kursen
i timmar per vecka. För var och en av de studerande har man noterat tentaresultatet i
antal poäng på en 50-gradig skala. Man har därefter genomfört en enkel regressionsanalys
med tentaresultatet som beroende och arbetstiden som oberoende variabel och dessutom
tagit fram beskrivande mått för de båda variablerna enligt nedan.
Betrakta de 20 studerande som vore de slumpmässigt valda bland samtliga studenter på
den aktuella kursen under den senaste treårsperioden (cirka 500 studenter).
Descriptive Statistics
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean
Arbetsti 20 31.55 30.00 31.33 10.47 2.34
Resultat 20 30.75 29.00 30.78 12.23 2.74
62

Variable Minimum Maximum Q1 Q3
Arbetsti 15.00 52.00 22.75 39.50
Resultat 11.00 50.00 22.25 41.00
Regression analysis
The regression equation is
Resultat = - 0.95 + 1.00 Arbetstid
Predictor Coef StDev T P
Constant -0.948 4.662 -0.20 0.841
Arbetsti 1.0047 0.1406 7.15 0.000
S = 6.417 R-Sq = 73.9%
a) Tolka i vanliga ord lutningskoefficienten (b 1 ) i ovanstående regressionsekvation.
b) Bestäm ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga arbetstiden per person i
populationen
c) Beräkna korrelationskoefficienten mellan arbetstid och resultat.
d) Pröva hypotesen att det inte finns något (linjärt) samband mellan arbetstid och tentaresultat.
Sikta på 5 % signifikansnivå.
e) Kommentera antagandet om att se de 20 personerna som ett slumpmässigt urval.
Inlämningsuppgift 28
Man genomför en postenkätundersökning på ett OSU-urval om 2000 villaboende hushåll
ur en mycket stor population i syfte att dels skatta den genomsnittliga boendekostnaden
(nettokostnad inklusive el och vatten och efter avdrag för skattereduktion, bostadsbidrag
etc.) i september ett visst år och dels andelen av hushållen som har direktverkande el för
uppvärmning. Man fick svar från 1200 hushåll och alltså ett bortfall om 40 %. Av de svarande
uppgav 390 hushåll att de hade direktverkande el och för boendekostnaden bland
svararna gällde ett medelvärde om 7200 kr och en standardavvikelse om 2100kr.
a) Beräkna lägsta respektive högsta värde på punktskattningen för andelen hushåll med
direktverkande el i populationen genom antaganden om bortfallet.
Antag att man gjorde ett OSU-urval om 80 hushåll ur bortfallet och att man med hjälp av
personlig intervju lyckades få svar från samtliga 80. Den genomsnittliga boendekostnaden
bland de 80 befanns vara 9600kr och standardavvikelsen blev 1800kr. Antalet hushåll
med direktverkande el bland de 80 befanns vara 60.
b) Beräkna en punktskattning för den genomsnittliga boendekostnaden i september i populationen.
c) Gör ett försök att beräkna en felmarginal - att användas i ett 95-%igt konfidensintervall
- till punktskattningen under b).
Ledning: Betrakta populationen som stratifierad i ett svarandestratum och ett bortfallsstratum. Den
relativa stratumstorleken för respektive stratum skattas med hjälp av urvalets fördelning på svarare och
bortfall.
63

6. Övningsuppgifter
Rekommenderade övningsuppgifter för varje vecka hittas i veckobreven.
Övning 1:a
Åtta hushåll uppvisar en kostnad för elkonsumtion (i tusental kronor) under en viss tidsperiod
enligt följande: 9, 11, 27, 21, 17, 17, 22, 12. Beräkna
a) Aritmetiskt medelvärde, median och typvärde.
b) Undre och övre kvartil samt kvartilavstånd.
c) Beskriv materialet i ett lådagram (boxplot)
d) Beräkna varians och standardavvikelse
Övning 1:b
Man vill bilda sig en uppfattning om den genomsnittliga årliga körsträckan bland privatbilarna
i ett land. Det handlar alltså om en mycket stor population. Man gör inledningsvis
en provundersökning med ett slumpmässigt urval om n = 30 privatbilägare och erhåller
följande observationer på variabeln körsträcka i 1000-tal mil under perioden 1.7 2000
- 30.6 2001 :
0.8 1.4 2.7 1.8 0.9 1.7 1.4 3.0 2.4 1.7 2.1 2.9 3.2 1.2 0.8 2.5 2.8
1.8 1.9 2.6 3.2 3.1 0.4 1.1 1.4 1.9 1.8 2.8 0.9 2.9
a) Beskriv de 30 körsträckorna i ett stam-och-blad-diagram (stemplot)
b) Beräkna den 20:e respektive 80:e percentilen i materialet om 30 körsträckor.
c) De i uppräkningen ovan 12 första bilarna har kvinnliga ägare medan de 18
följande har manlig ägare. Beskriv körsträckorna för bilar med manliga respektive
kvinnliga ägare i ett ”back-to-back” stam-och-blad-diagram.
d) Beräkna mediansträcka respektive aritmetiskt medelvärde för såväl män
som kvinnor.
Övning 1:c
Man studerar lönerna på två vårdcentraler i en kommun. De 12 respektive 16 personer
som är verksamma på de båda arbetsplatserna har i september 2001 följande löner i tusental
kronor, kkr, (för enkelhets skull antar vi att alla har lön i hela tusental):
Vårdcentralen i C-mora
Pers nr: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lön i kkr: 40 27 29 16 18 13 15 16 14 12 12 8
Vårdcentralen i D-lunda
Pers nr: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Lön i kkr: 23 19 17 27 27 23 13 16 13 12 9 33 18 6 6 7
65

a) Beskriv lönefördelningen för de anställda vid vårdcentralen i C-mora med hjälp av
dels en lämplig tabell och dels ett diagram lämpade för en föredragning för kommunledningen.
Kommentera resultaten.
b) Genomför motsvarande beskrivning med avseende på vårdcentralen i D-lunda.
c) Beräkna lönesumman för vardera vårdcentralen samt medellönen per anställd på
vardera arbetsplatsen. Kommentera resultaten.
För att kunna göra en rättvisande jämförelse mellan lönerna på de båda vårdcentralerna
behöver man ta hänsyn till att inte alla anställda arbetar heltid. Följande gäller:
Heltid (40 tim/vecka) 3/4-tid (30 t/v) 1/2-tid (20t/v)
C-mora: person nr 1-9 person nr 10-11 person nr 12
D-lunda:person nr 1-9 person nr 10-13 person nr 14-16
Lönerna som ges i början av uppgiften är alltså givna i ordning från heltidsanställda via
3/4- till halvtidsanställda. När man nu vill jämföra löneläget på de båda arbetsplatserna är
det naturligt att göra jämförelsen på heltidstjänstbasis. Varje lön skall alltså omräknas till
lön motsvarande heltidsanställning.
d) Beräkna medellönen per anställd, om alla varit heltidsanställda, (halvtidslön multipliceras
med 2 etc) för vardera vårdcentralen.
På vardera vårdcentralen finns anställda i tre olika kategorier, nämligen läkare, övrig
vårdpersonal respektive övrig personal (lokalvårdare, läkarsekreterare m.fl.). De anställda
fördelar sig på tjänst enligt nedan, där ”personnummer” anges för respektive kategori.
Läkare Övrig vårdpersonal Övrig personal
C-mora: 1, 2, 3 4, 5, 8, 9, 10, 11 6, 7, 12
D-lunda:1, 4, 5, 6, 12, 13 2, 3, 7, 8, 10, 11, 14 9, 15, 16
e) Ta fram en tvåvägsindelad tabell med två kolumner svarande mot de två vårdcentralerna
och tre rader svarande mot de tre tjänstekategorierna. I tabellcellerna skall såväl
medellönen (för heltidstjänst) för de anställda som antalet anställda i var och en av de
6 cellerna finnas. Beräkna därefter standardvägda medellöner för var och en av vårdcentralerna.
Välj standardvikter proportionella mot totala antalet i respektive tjänstekategori.
Övning 1:d
I en undersökning vill man bl a studera storleken på bostäderna i ett bostadsområde.
Som ett led i undersökningen sammanställer man följande tabell:
66

Antal bostadsrum Antal bostäder med Procent
(utom kök och badrum) vidstående antal rum
_________________________________________________________________
2 130 26
3 140 28
4 120 24
5 40 8
6 50 10
7 20 4
Totalt 500 100
a) Beräkna medelantalet bostadsrum per bostad
b) Beräkna standardavvikelsen för antal bostadsrum
c) Beräkna medianantalet bostadsrum
d) Beräkna kvartilavstånd (interquartile range)
Övning 1:e
En fristående kurs på totalt 20 poäng är uppdelad i 4 delkurser om vardera 5 poäng. De
30 personer, som varit registrerade på kursen har vid kursens slut uppnått varierande
antal poäng. Fördelningen ser ut som följer:
Uppnått antal poäng, X Antal personer
0 3
5 2
10 5
15 8
20 12
a) Beräkna medelpoäng, µ, i gruppen om 30 personer
b) Beräkna standardavvikelsen, σ, i gruppen om 30 personer
c) Beskriv resultatet för de 30 personerna i ett lådagram
d) Beskriv materialet i ett stapeldiagram
Övning 1:f
Du vill jämföra lönenivån mellan två mindre företag. Eftersom lönen oftast hänger ihop
med den anställdes utbildningsnivå, skaffar du information om dels månadslön och dels
utbildning för var och en av de anställda. Du grupperar utbildningen i följande fyra kategorier,
där varje anställd finns i en och endast en kategori
F: Forskarutbildning
H: Högskoleutbildning
G: Gymnasieskola
Ö: Övrig utbildning
67

Så här ser resultatet ut för de 15 anställda i A och de 12 anställda i B:
Varje persons månadslön är angiven i antal tusen kronor (tkr)
Utbildning Företag A Företag B
F 32, 30, 25 31, 29, 27, 25
H 27, 23, 19, 19, 24, 20, 18, 18
G 18, 17, 16, 15, 14 16, 14
Ö 16, 15, 14 14, 14
a) Beräkna medellönen för de 15 anställda i företag A och motsvarande mått för de 12
anställda i förtag B.
b) Bilda en tabell som lämpar sig väl som underlag för beräkning av standardvägda medeltal.
Tabellen skall innehålla en kolumn för varje företag och en rad för varje utbildningsnivå.
I varje cell skall Du placera medellönen för de personer som finns i
"cellen" samt hur många personerna är. Bilda därefter standardvägda medeltal för
vardera företaget. Standardisera med avseende på utbildningskategori.
c) Jämför resultaten under a) och b) och kommentera eventuella skillnader. Förklara
varför det blir så i just det här fallet.
Övning 1:g
I en kommun avser man byta ekonomiskt redovisningssystem. Det kommer därför bli
aktuellt att utbilda personalen på det nya systemet. Man tar fram två utbildningsmaterial
avsedda i huvudsak för självstudier och testar de båda materialen på två av kommunens
förvaltningar, det ena materialet på en förvaltning och det andra på den andra. Syftet är
att komma underfund med vilken metod som ger kortast inlärningstid och därmed är
minst resurskrävande.
De anställda på de två förvaltningarna för noggrann bok över den tid som går åt för att ta
sig igenom studiematerialet, så att man klarar av ”slutprovet”. Resultaten redovisas i tabellen,
där man delat in de anställda på de båda förvaltningarna efter ålder i två grupper -
Äldre och Yngre - och efter datorvana i två grupper med stor respektive liten vana. Följande
resultat erhålls:
Genomsnittlig inlärningstid i timmar samt antal anställda (inom parantes)
Grupp Material A, Förvaltning I Material B, Förvaltning II
Äldre, stor vana 18 (22) 16 (16)
Äldre, liten vana 27 (18) 26 (32)
Yngre, stor vana 17 (36) 16 (22)
Yngre, liten vana 26 (14) 23 (40)
a) Beräkna den genomsnittliga inlärningstiden för vart och ett av de båda utbildningsmaterialen.
b) Beräkna standardvägda medeltal för inlärningstiden för vart och ett av de båda utbildningsmaterialen.
Välj standardvikter proportionella mot samtligas fördelning på
68

åldersgrupp och datorvana.
c) Jämför resultaten under a) och b) och kommentera. Förklara varför det blir så här i
just detta fall.
Övning 2:a
Ett bageri bakar och säljer skorpor i helkilospåsar. En viss variation blir det dock i påsvikten.
Räkna med att påsarna i genomsnitt väger 1000 gr med en standardavvikelse om 5
gram. Fördelningen för påsvikten anses vara ungefär normal.
a) Ungefär hur stor del av skorppåsarna väger minst 1008 gram?
b) Om man slumpmässigt väljer ut en påse, hur stor är då risken (sannolikheten) att den
skall visa sig väga mindre än 995 gram?
c) Hur mycket skall en skorppåse minst väga för att den skall tillhöra de 25 % tyngsta
paketen (övre kvartilen)?
d) Antag nu att man slumpmässigt väljer ut 8 påsar ur en månads produktion. Beräkna
sannolikheten att medelvikten av de 8 påsarna överstiger 1002 gram.
Övning 3:a
Man vill genomföra en urvalsundersökning (OSU) i syfte att kartlägga TV-tittande hos
svenska ungdomar. Bl a vill man med ett 95-%igt konfidensintervall skatta hur många
timmar i genomsnitt som 12-åringar ser på TV en "vanlig" vecka. Man vill göra en intervallskattning
av den genomsnittliga tiden, µ, med en felmarginal om högst 0.5 timme.
a) Antag att vi har anledning att räkna med att standardavvikelsen i populationen är cirka
8 timmar per vecka. Beräkna hur stort urval som man minst bör ta.
b) Antag nu att undersökningen gjorts utan att man först gjort utredningen under a) och
att man i ett OSU-urval om 500 12-åringar erhöll medeltiden 28.6 timmar och standardavvikelsen
9.5 timmar. Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för µ.
Övning 3:b
Man har gjort två urval av företag i en viss bransch, det ena bestående av 100 bland totalt 10000
småföretag och det andra bestående av 100 bland totalt 4000 större företag. Urvalen har gjorts
helt oberoende av varandra. Syftet med undersökningen är att få ett grepp om företagens kostnader
för sjukfrånvaro. Man har undersökt kostnaderna för november månad år 2005. Följande resultat
erhölls:
Små
Större
företag företag
Medeltal, tkr 27.8 108.5
Standardavvikelse, tkr 15.1 38.2
a) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för sjukfrånvaron
bland större företag under november månad 2005. Uttala resultatet så att ickestatistik-kunniga
förstår vad undersökningen visat.
b) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för den genomsnittliga kostnaden för sjukfrånvaron
bland samtliga 14000 företag.
69

c) Den situation som behandlas i denna övning är ett exempel på stratifierat urval. Försök
bedöma om följande påstående är korrekt eller ej: ”Vid stratifiering bör man försöka få
så liten standardavvikelse som möjligt inom varje stratum (delpopulation).”
Övning 3:c
Vi tänker oss en stor population om sammanlagt 10 000 företag som vart och ett gjort
vissa investeringar under en given period. För enkelhets skull tänker vi oss att det handlar
om 8000 mindre företag och 2000 större. Vi avser med hjälp av ett stratifierat urval om
sammanlagt 400 företag bilda ett 95%igt konfidensintervall för de genomsnittliga investeringarna
per företag i populationen.
a) Beräkna felmarginalens storlek vid ”kändsigmavariant” om vi väljer n=200 OSU
från vardera stratat och antar att stratumspridningarna är 7.0 respektive 20.
b) Hur skall observationerna fördelas på de två strata om proportionell allokering skall
användas?
Antag att vi slumpmässig väljer 320 mindre företag och 80 större och erhåller följande
resultat:
Stratum 1 n=320 x = 16.5 s = 6.9
Stratum 2 n= 80 x = 415.8 s = 22.4
c) Beräkna felmarginalens storlek om vi vill skatta medelvärdet per företag i hela populationen.
d) Beräkna ett approximativt 95%igt konfidensintervall för de totala investeringarna som
gjorts i populationen under den aktuella perioden.
e) Fundera kring hur om man skulle kunna fördela de totalt 400 observationerna på de
båda strata på ett ur ”felmarginalsynpunkt” mera förnuftigt sätt.
Övning 4:a
280 slumpmässigt valda personer ur en stor population delas in efter ålder och åsikt om
trafiken i Linköpings stadskärna på sätt som framgår av följande tabell:
Tabell 1 Urvalets fördelning på ålder och åsikt. Antal personer
Åsikt Yngre Äldre
___________________________________________________________
Trafiken mycket störande 48 72
Trafiken något störande 32 72
Trafiken ej störande 40 16
___________________________________________________________
Summa 120 160
Hypotesen att det föreligger oberoende mellan kön och åsikt om trafiken skall prövas
med chitvåtest på 5 % risknivå.
a) Beräkna det aktuella chitvåvärdet och ta ställning till om hypotesen kan förkastas el-
70

ler ej.
b) Beräkna ett 95-%igt konfidensintervall för procentandelen personer i populationen
som anser att trafiken ej är störande.
Övning 4:b
Man genomför en totalundersökning av en population som innehåller N=1000 personer i
syfte att bestämma p - andelen ”positiva” (ettor) - i populationen. Man får svar från Ns
personer. Övriga Nb = (1000-Ns) utgör bortfall. Beräkna för var och en av uppgifterna a-
d dels bortfalls-andelen, Nb/N, dels ett intervall för p, sådant att p säkert ligger inom intervallet.
Ledning: Antag att ickesvararna består av enbart positiva (1:or) respektive enbart
negativa (0:or).
a) Ns=800 och antalet positiva bland svararna är 200
b) Ns=800 och antalet positiva bland svararna är 500
c) Ns=400 och antalet positiva bland svararna är 100
d) Ns=400 och antalet positiva bland svararna är 200
e) sammanfatta vad bortfallet tycks betyda för slutsatserna i ett fall som detta.
Övning 4:c
Antag att vi vet att andelen ensamstående bland samtliga kvinnor i 20-25-årsåldern är 30
%. Vi väljer slumpmässigt (OSU) 5 kvinnor över 20 år och definierar variabeln X=antal
ensamstående bland de fem utvalda.
a) Beräkna sannolikheten att minst 2 kvinnor är ensamstående.
b) Antag nu att vi i stället ska välja 50 kvinnor med OSU. Beräkna sannolikheten att vi
då skulle få minst 20 ensamstående.
Övning 5:a
Betrakta situationen i övning 4:a som om vi hade två oberoende OSU-urval (ett ur populationen
äldre och ett ur populationen yngre).
Undersök om andelen som tycker att trafiken är mycket störande är signifikant högre
bland äldre än bland yngre. Testet skall genomföras på 1 % signifikansnivå. Formulera
hypoteser, redovisa testvariabel och beräkna P-värde. Glöm ej att formulera slutsatsen i
ord.
Övning 5:b
Vi arbetar här med data hämtade från en (gammal) undersökning av sambandet mellan
inkomst, banktillgångar och nysparande (sparande under året) i hushåll. Sorten på de
ekonomiska variablerna är tusental kronor. Materialet som använts här består av 9 hushåll
och uppgifterna har analyserats i MINITAB. Nysparande betraktas i regressionsanalyserna
som beroende variabel (Y ).
I tabellen finns samlad information från tre enkla regressionsanalyser med nysparande
som beroende variabel och var och en av de tre övriga som förklaringsvariabel i varsin
analys.
71

Variabel
Medelvärde
Standardavvikelse
Korrelation
med Nysparande
Residualkvadratsumma
e
( )
∑ 2
∑ ( X − X )
Nysparande 7.33 2.828
Inkomst 80.0 15.81 +0.839 19.011 1999.64
Bankmedel 90.0 47.4 - 0.680 34.406 17974.08
Antal barn 2.556 1.333 - 0.685 33.972 14.22
Här följer en regressionsanalys med en förklaringsvariabel
Regression Analysis
The regression equation is
Nysparande = 11.0 - 0.0406 Bankmedel
Predictor Coef StDev
Constant 10.983 1.660
Bankmedel -0.04056 0.01652
S = 2.217 R-Sq = 46.3%
a) Tolka i vanliga ord lutningskoefficienten (b 1 ) i ovanstående regressionsekvation.
b) Pröva hypotesen att det inte finns något linjärt samband mellan bankmedel och nysparande.
Det skulle ju vara möjligt att göra tre olika regressionsanalyser med nysparande som beroende
variabel och inkomst eller bankmedel eller antal barn som förklarande variabel.
(Du har all information Du behöver för de följande deluppgifterna i tabellen.)
c) Vilken av dessa tre analyser skulle Du välja om Du var tvungen att satsa på bara en.
Motivera Ditt val väl.
d) Bilda ett 95-%igt konfidensintervall för lutningskoefficienten för förklaringsvariabeln
som Du valt i deluppgift c. Tolka intervallet.
2
72

6.1 Facit till övningsuppgifter
1:a a) 17, 17, 17 b) 11.5 och 21.5, 10
c) De fem talen är 9, 11.5, 17, 21.5, 27 d) 33.25 respektive 5.77
1:b b) 1.15 respektive 28.5
d) Kvinnliga: 1.9 respektive 1.75 tusen mil, manliga: 2.02 respektive 1.9 tusen mil
1:c c) 220 tkr respektive 269 tkr, 18.33 tkr respektive 16.81 tkr
d) 19.67 respektive 19.50
e)
Tjänstekategori C-mora, medellön + (antal) D-lunda, medellön + (antal)
Läkare 32 (3) 28 (6)
Övr vårdpersonal 16 (6) 15 (7)
Övrig personal 14.7 (3) 13 (3)
Standardvägda medeltal 20.86 respektive 18.75
1:d a) 3.6 b) varians 2.0 och standardavvikelse 1.414
c) 3 d) kvartilerna 2 och 4, kvartilavståndet 2.
1:e a) 14 b) 6.51 c) 0, 10, 15, 20, 20 (de fem måtten)
1:f a) 20 tkr respektive 20.8 tkr
b) 21.0 tkr respektive 19.7 tkr, med standardvikter proportionella mot samtliga 27
personers fördelning på utbildning.
1:g a) 20.6 och 21.5 b) 22.1 och 20.4
c) I a) får material B längre genomsnittlig tid än material A (21.5 respektive 20.6)
trots att material A har högre genomsnittstid på varje rad i tabellen. Detta beror på att
material A testas på en majoritet av personer med stor vana (22+36=58 personer av
90) och som därför får kort inlärningstid medan material B testas på en majoritet av
ovana (72 av 110) som får lång inlärningstid. När samma vikter används för båda materialen,
som i b) slår det faktum att A ger längre genomsnittstider än B i varje grupp
igenom och ger A ett större standardvägt medeltal än B (22.1 jmf med 20.4).
2:a a) 5.48 % b) 0.16 (15.87 %) c) 1003.35 g (motsvarar z-värdet 0.67)
d) 0.13 (12.92 %)
3:a a) 984 b) 27.77 till 29.43
3:b a) 101 till 116 b) 47.86 till 53.86
c) Påståendet är sant. I formeln för felmarginalen kan man se att ju mindre stratumvarianser
desto kortare felmarginal.
3:c a) 0.95(38) b) 320 respektive 80
73

c) 1.15(31) d) 952100 till 975100
e) Eftersom standardavvikelsen är så mycket större i stratum två skulle det förmodligen
löna sig (ge kortare felmarginal) om man tog lite fler ur det stratumet än de 80, som
vi räknat med i c) och d). Man kan ju pröva sig fram lite och se om inte drygt 200 små
och knappt 200 stora kanske vore att föredra.
4:a a) Beräknat chitvåvärde=25.29, kritiskt värde=5.99. Nollhypotesen förkastas.
b) 0.2 +/- 0.047
4:b a) 0.2, 0.2 till 0.4 b) 0.2, 0.5 till 0.7
c) 0.6, 0.1 till 0.7 d) 0.6, 0.2 till 0.8
e) Intervallängden tycks vara lika med bortfallets storlek.
4:c a) 0.47 b) 0.062
5:a Testvariabelns beräknade värde 0.86, kritiskt värde 2.33. Nollhypotesen förkastas ej.
5:b a) För varje extra 1000-tal kronor i bankmedel så minskar nysparandet enligt modellen
med 40.6 kronor.
b) Det observerade t-värdet är –2.455 och tabellvärdet –2.365. H(noll) förkastas alltså.
c) Ett möjligt svar (i komprimerad form): Den med den bästa förklaringsgraden, nämligen
modellen med inkomst. Denna modell känns också mest logisk.
d) 0.15 +/- 0.088.
74

7. Ordlista
aritmethic mean
association
bar graph
boxplot
categorical variable
central limit theorem
chart
complement
conditional
confidence interval
confidence level
correlation coefficient
coverage
deviation
density function
disjoint
distribution
estimate
event
expected value
explained fraction of variance
explorative data analysis
frame
independent
interquartile range
intersection
least-squares regression line
margin of error
mode
mutually exclusive
nonresponse
ogive
outlier
probability
random
random variabel
reject
pie chart
range
power
quantile
quartile
sample space
sampling distribution
scatterplot
significance level
simple random sample (SRS)
standard deviation
standard error
stem-and-leaf-plot
stemplot
tree diagram
aritmetiskt medelvärde
samband
stapeldiagram
lådagram
kategorivariabel
centrala gränsvärdessatsen
diagram
komplement
betingad
konfidensintervall
konfidensnivå, konfidensgrad
korrelationskoefficient
täckning
avvikelse
täthetsfunktion
oförenliga
fördelning
skatta, skattning
händelse
förväntat värde, väntevärde, förväntan
förklaringsgrad
explorativ dataanalys
ram, urvalsram
oberoende
kvartilavstånd
snitt
minsta-kvadrat-linjen
felmarginal, slumpmarginal
typvärde
oförenliga, ömsesidigt uteslutande
bortfall
summapolygon
extremvärde, (uteliggare förekommer även)
sannolikhet
slump-, slumpmässig
slumpvariabel
förkasta
cirkeldiagram (ibland paj/tårtdiagram)
variationsbredd
styrka
kvantil
kvartil
utfallsrum
samplingfördelning
spridningsdiagram
signifikansnivå/risknivå
obundet slumpmässigt urval (OSU)
standardavvikelse
medelfel, avser standardavvikelsen för den aktuella punktskattningen
stam-och-blad-diagram
stam-och-blad-diagram
träddiagram
75

type I error
type II error
undercoverage
unbiased
uniform
voluntary response sample
fel av första slaget
fel av andra slaget
undertäckning
väntevärdesriktig
likformig
självurval
76