här - IDA

Kapitel 4
Sannolikhetsfördelningar
Sid 79-124
Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl
Wahlin

Slumpvariabel
En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet.
Exempel:
Slantsingling, tärningskast, längden på en slumpmässigt
utvald person
Väntevärde:
Varians:
Standardavvikelse:
( X ) m = x p( x )
E = å i
×
Var
g
i=1
g
i
2
2 2
( X ) = s = p( x ) × ( x - m ) = x × p( x )
å
i=
1
2
( ) s
s = Var X =
i
i
g
å
i=
1
i
i
2
- m
2

Linjära variabeltransformationer
Låt X vara en variabel med väntevärde m X och standardavvikelse
σ X och låt en annan variabel
Y = a + b×
X
Då gäller att
E
( Y ) = m
Y
= E( a + b × X ) = a + b × m
X
2
2 2
( Y ) = s = Var( a + b × X ) = b × s
Var
Y
X
Exempel: En firma ska beräkna kostnaden för ett visst projekt.
Materialkostnaden är 25000 kr, dessutom tillkommer en
arbetskostnad på 900 kr per dag. Utifrån erfarenhet vet man att ett
sådant projekt tar i genomsnitt 11.9 dagar att utföra med en
varians på 1.29 dagar. Beräkna väntevärde och varians för
kostnaden för projektet.
3

Sannolikhetsfördelning
Sammanställning av vilka värden en slumpvariabel kan anta och
hur ofta respektive värde antas. På teoretisk väg eller genom att
studera ett stickprovs fördelning för en variabel kan vi härleda
variabeln till att tillhöra en viss sannolikhetsfördelning.
Detta möjliggör annars mycket komplicerade
sannolikhetsberäkningar vilket i sin tur ger möjlighet att dra
slutsatser om populationen som stickprovet dragits ur.
• Diskret sannolikhetsfördelning: när slumpvariabeln endast kan
anta ett ändligt antal värden, eller ett oändligt men uppräkneligt
antal
• Kontinuerlig sannolikhetsfördelning: när slumpvariabeln kan
anta ett oändligt antal värden
4

Diskret sannolikhetsfördelning
Diskreta sannolikhetsfördelningar är sannolikhetsfördelningar för
variabler som endast kan anta ett uppräkneligt antal värden.
De vanligaste diskreta sannolikhetsfördelningarna är uppbyggda
av ett eller flera delförsök och för varje delförsök studerar vi om
experimentet har lyckats eller inte.
Varje delförsök sägs följa Bernoullifördelningen men man
använder även beteckningen tvåpunktsfördelning eller säger att
utfallet av varje delförsök är binärt. Innebörden är att varje
delförsök endast kan anta ett av två möjliga värden (lyckat eller
misslyckat delförsök).
Exempel:
Vi definierar händelsen
A = sex ögon upp vid tärningskast
och kastar en tärning. Varje tärningskast är då ett delförsök som
antingen kan lyckas (sex ögon upp) eller inte lyckas (ej sex ögon
upp) och kan därmed betraktas som Bernoullifördelat.
5

Binomialfördelning
Exempel:
Grobarheten hos en viss typ av frön är 60%. Vi planterar 5 frön
under samma förutsättningar och frågar oss: vad är
sannolikheten för att två av fröna gror?
Låt X vara en slumpvariabel. Givet att följande krav är uppfyllda:
1. alla delförsök är oberoende av varandra
2. varje delförsök är Bernoullifördelat med sannolikhet att lyckas= p
gäller att X är binomialfördelad enligt
X ~ bin(n; π)
Sannolikheten för k lyckade utfall bland n beräknas då enligt
ænö
k
( ) n -
Pr( X = k)
= ç ÷ p 1-
p
k
èk
ø
Beskrivande mått för en binomialfördelad slumpvariabel:
2
( X ) = m np
Var(
X ) = s = np
( 1-
p )
E =
6

Hypergeometrisk fördelning
Exempel:
Vad är sannolikheten för triss i ess på en pokerhand?
Givet att
1. varje delförsök är Bernoullifördelat
2. Ej oberoende mellan dragningarna
gäller att slumpvariabeln X är hypergeometriskt fördelad enligt
X ~ hyp(n; π; N)
Sannolikheten för k lyckade utfall bland n beräknas då enligt
Pr
( X = k )
æ Np
ö æ N - Np
ö
ç ÷ × ç ÷
è k ø è n - k
=
ø
æ N ö
ç ÷
è n ø
Beskrivande mått:
( X ) = m np
E =
Var
2
( X ) = s = np
( 1 - p )
N
N
-
-
n
1
7

Poissonfördelning
Används för att beskriva händelser som inträffar oberoende av varandra och där
väntevärdet är detsamma som variansen. Kan användas för att approximera
sannolikheten för k lyckade utfall bland n för en binomialfördelad slumpvariabel X
när n är stort (minst 20) och π är litet (mindre än 0.05).
Pr( X
k
m -m
= k)
= e
k!
där µ = nπ
X ~ poi(µ)
Sannolikheten för k lyckade utfall bland n beräknas enligt
Exempel:
Enligt SCB:s statistik fanns det den 24 oktober 2011 75217 personer i
Sverige med efternamnet Gustafsson. Vid samma tidpunkt var antalet
svenska medborgare 9 428 054 personer. Vi drar ett OSU om 1000 personer
ur befolkningsregistret.
Vad är sannolikheten för att minst 2 av dessa heter Gustafsson i
efternamn?
Beskrivande mått:
( X ) = m np
Var ( X ) = s
2 = m = np
E =
8

Geometrisk fördelning
Exempel:
En person singlar slant, tills hon första gången får krona.
Vad är sannolikheten att första kronan kommer på tredje kastet?
Givet att
1. alla delförsök är oberoende av varandra
2. varje delförsök är Bernoullifördelat
är slumpvariabeln X geometriskt fördelad enligt
X ~ geo(π)
Sannolikheten för att försöket lyckas vid delförsök k bestäms enligt
Pr( X
= k)
=
k-1
( 1- p ) × p
Beskrivande mått:
E
( X )
Var
( X )
= m =
= s
1
p
=
2 1
( - p )
2
p
Kraven är desamma vid
binomialfördelning och
geometrisk fördelning, men
frågeställningarna olika!
9

Kontinuerlig sannolikhetsfördelning
Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar är fördelningar för variabler som
kan anta ett oändligt antal värden.
Vi känner till att fördelningen för en kontinuerlig kvantitativ variabel
beskrivs med histogram. Histogrammen baseras dock i allmänhet på
stickprov, men genom att utgå från histogrammets utseende kan man
”sammanfatta” variabelns utseende med en matematisk funktion, i syfte
att generalisera resultaten till populationen och göra
sannolikhetsberäkningar om denna. Det man gör kan liknas vid att lägga
en mjuk kurva över histogrammet. Kurvan kallas för en täthetsfunktion. Vi
kan uppfatta täthetsfunktionen som ett
histogram, där varje stapel är oändligt
tunn och där staplarna ligger oändligt
tätt intill varandra. Täthetsfunktionen
konstrueras så att arean under kurvan
blir 1: detta gör det möjligt att använda
den för sannolikhetsberäkningar.
10

Normalfördelningen
En mycket viktig kontinuerlig fördelning, därför att den väldigt ofta
återkommer i statistiska beräkningar och spelar en mycket stor roll inom
statistiken.
Normalfördelningen är symmetrisk
kring sitt väntevärde
m - 3s
m - 2s
m - s
m
m + s
m + 2s
m + 3s
f
( x)
1
= × e
s 2p
2
1æ x-m
ö
- ç ÷
2è
s ø
Den funktion som beskriver normalfördelningen
11

Att söka en sannolikhet för givet X
Normalfördelning
Exempel:
Inom skidskytte är det känt att det avstånd från centrum av tavlan en
slumpmässigt vald skytt träffar är en normalfördelad slumpvariabel
med väntevärde 30 mm och standardavvikelse 10 mm. Hur stor andel
av skotten kan förväntas träffa inom 20 mm från centrum?
Standardiseringsformel:
z
= x - m
s
där
µ och σ är den normalfördelade variabeln X parametrar och
x är det värde vi är intresserade av.
12

Att söka X för en given sannolikhet
Normalfördelning
Exempel:
Vi fortsätter att betrakta skidskyttarna, för vilka det är känt att det
avstånd för vilket en slumpmässigt vald skytt träffar centrum på
tavlan är en normalfördelad slumpvariabel med väntevärde 30 mm
och standardavvikelse 10 mm, och frågar oss: om vi vill rita en
markering där 60% av skotten ska hamna innanför, hur långt från
centrum ska då den cirkeln gå?
13

Normalfördelningsapproximation av
binomialfördelning
Låt X vara en binomialfördelad slumpvariabel enligt
X ~ bin(n; π)
Givet att
nπ(1 – π) > 5
kan X approximeras enligt
X
( m = np; s = np
( -p
))
» N
1
Approximationens syfte: underlätta beräkningar som annars skulle
vara mycket tunga.
Exempel:
Vi definierar händelsen
A = sexa vid tärningskast
och kastar tärning 100 gånger. Vad är sannolikheten för att vi
ska få sexa fler än 20 gånger?
14

Normalfördelningsapproximation av
binomialfördelning
5
10
15
20
25
30
X
Kontinuitetskorrektion:
Metod för att förbättra approximationen. Tanken bakom kontinuitetskorrektion är att
betrakta varje värde hos den binomialfördelade variabeln som ett intervall. Om vi
exempelvis vill beräkna sannolikheten för att fler än 20 av 100 försök lyckas, så betraktar
vi talet 21 som ett intervall [20.5; 21.5]. Principen är att vi inkluderar hela intervallet
i sannolikhetsberäkningen.
15