n - IDA

Föreläsning 5
732G70
Statistik A

Egenskaper hos stickprovsstatistikorna
Stickprovsmedelvärde
Stickprovssumma
Stickprovsandel
Lägesmått Spridning Medelfel
EX
VarX
2
n
2
E
X n Var
X
n
E
P
Var
P
X
X
n
n
1
1
n
P
n
Eftersom respektive i allmänhet är okända skattas de med s
respektive p.
Exempel stickprovssumma:
Flygbolag räknar med att medelvikten på en passagerare är 80 kg
med en standardavvikelse om 5 kg. En viss flygplanstyp rymmer 290
passagerare. Totalvikten bland dessa 290 passagerare är exempel på
en stickprovssumma.
2

De stora talens lag
Ju större stickprov vi drar, desto mer lika
blir stickprovsstatistikorna
populationsparametrarna
3

Percent
Samplingfördelning
Hur ofta kommer vårt stickprovsmedelvärde att överensstämma
med populationsmedelvärdet, om vi skulle dra många OSU ur
samma population?
Exempel:
Vi studerar ett företag med 100 anställda, och vi är intresserade av
medelinkomsten bland de anställda. Företagets anställda utgör alltså
vår population, och med hjälp av företagets ekonomiavdelning kan vi
faktiskt plocka fram lönenivån för samtliga 100 anställda vid en viss
tidpunkt. Vi åskådliggör lönefördelningen vid företaget i ett histogram:
35
30
25
Ur lönestatistiken bestäms medellönen vid företaget
till = 24265 kr
20
15
Histogrammet visar tydligt att populationen ”lön för de anställda
vid företaget” inte kan betraktas som normalfördelad!
10
5
0
10
20
30 40
Inkomst (tkr)
50
60
Vilken medellön skulle ett stickprov ge?
4

Samplingfördelning (forts)
Låt oss nu göra ett teoretiskt experiment: vi drar 50 oberoende
stickprov om storleken n = 10, beräknar de 50
stickprovsmedelvärdena och åskådliggör
stickprovsmedelvärdena i ett histogram. Följande resultat
erhålles.
x 24381 kr
Notera beteckningen för medelvärde av medelvärden
19.5
21.0
22.5 24.0 25.5 27.0
Medelvärde Inkomst i stickprovet (tkr) (tkr)
28.5
30.0
5

Samplingfördelning (forts)
Experimentet upprepas för 50 oberoende stickprov om storleken
n = 20:
x 24324
kr
22
23
24
Medelvärde Inkomst i stickprovet (tkr) (tkr)
25
26
6

Samplingfördelning (forts)
Slutligen upprepas experimentet för 50 oberoende stickprov om
storleken n = 30:
x 24299
kr
21.6
22.8
24.0
25.2
Medelvärde Inkomst i stickprovet (tkr) (tkr)
26.4
7

Samplingfördelning (forts)
• Fördelningen för stickprovsmedelvärdena kallas för en
urvalsfördelning.
• Urvalsfördelningen är alltså en förteckning över vilka värden vi
kan förvänta oss få i vårt urval, och hur ofta de kan förväntas
förekomma.
• Vi kan betrakta urvalsfördelningen som en uppskattning av den
fördelning som skulle fås om vi åskådliggjorde
stickprovsmedelvärdena för samtliga möjliga stickprov av en
viss storlek ur populationen, vilket kallas för en
samplingfördelning.
8

Centrala gränsvärdessatsen
• samplingfördelningen blir mer och mer lik en normalfördelning
(trots att populationen som stickproven drogs ur inte alls var
normalfördelad!) när stickprovsstorleken ökar
• samplingfördelningens medelvärde hamnar allt närmare
populationsmedelvärdet när stickprovsstorleken ökar
Centrala gränsvärdessatsen säger
Samplingfördelningen för summor eller
medelvärden av n oberoende slumpvariabler med
samma fördelning är approximativt
normalfördelad om n är tillräckligt stort
Vanlig tumregel: n ≥ 30
9

Fördelning för linjära
variabeltransformationer
Linjära variabeltransformationer av
normalfördelade slumpvariabler är också
normalfördelade
Innebörden i detta är att samplingfördelningen för medelvärden,
summor och andelar beräknade på observationer som följer
normalfördelningen, genom att de dragits ur en population som är
normalfördelad, också är normalfördelade, och detta oavsett
stickprovets storlek.
10

Stickprovsstatistikors fördelning
Om n ≥ 30 gäller, tack vare centrala gränsvärdessatsen oavsett
vilken fördelning populationen som stickprovet dragits ur har,
att
• Stickprovsmedelvärdet X N
;
X
X
n
• Stickprovssumman
X
N
n
X
;
X
n
Om n < 30 krävs att populationen som stickprovet dragits ur är
normalfördelad. Då gäller fortfarande ovanstående formler
eftersom linjära variabeltransformationer av normalfördelade
slumpvariabler också är normalfördelade.
11

Stickprovsstatistikors fördelning (forts)
• För en stickprovsandel n där X = antalet enheter i
stickprovet med studerad egenskap gäller, givet att np(1-p) > 5,
att
P N
P
;
P
1
n
P
Detta motiveras enligt följande: X betecknar antalet enheter i stickprovet med
studerad egenskap, eller med andra ord antalet lyckade delförsök bland de totalt n
delförsök som stickprovet utgör. Givet att populationen som stickprovet har dragits
ur är tillräckligt stor gäller då att X är binomialfördelad. Från kapitel 4 känner vi att
binomialfördelningen konvergerar mot normalfördelningen när n är tillräckligt stor,
och att normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen är möjlig om
n 1
5
Vi skattar den okända populationsandelen med P, och sätter alltså som tumregel
att samplingfördelningen för en stickprovsandel går att betrakta som approximativt
normalfördelad om
np 1 p
5
X
12

Exempel
En grossist importerar 500-grams påsar med ris i partier om 10000
påsar. Grossisten kontrollerar de leveranser om 10000 påsar
man mottar genom att kontrollväga ett slumpmässigt urval om
50 påsar ur varje parti. Vid en viss leverans uppmäts
genomsnittsvikten till 496.7 gram bland 50 slumpmässigt
utvalda påsar.
• Beräkna sannolikheten att få en genomsnittsvikt bland 50
slumpmässigt valda påsar som är 496.7 gram eller lägre, givet
att det är sant att genomsnittsvikten per påse i hela partiet är
500 gram och standardavvikelsen mellan påsar är 10.0 gram,
vilket leverantören hävdar.
• Vad är sannolikheten för att den sammanlagda vikten bland de
50 slumpmässigt valda påsarna överstiger 25.2 kg, givet att det
är sant att genomsnittsvikten per påse i hela partiet är 500 gram
och standardavvikelsen mellan påsar är 10.0 gram?
13

Kapitel 6
Inferens om en population
Sid 151-185

Punktskattning och intervallskattning
Statistisk inferens om populationsmedelvärde
• Punktskattning: att använda en stickprovsstatistika som en uppskattning av
motsvarande populationsparameter
Dock: stickprovsstatistikor är slumpvariabler och antar olika värden för varje
stickprov. Hur ska vi hantera den osäkerheten?
• Vi börjar med att göra två antaganden:
1. stickprovet är draget som ett OSU.
Detta garanterar oberoende mellan observationerna, vilket är den egenskap vi
eftersöker här.
2. samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet kan betraktas som
normalfördelad
• Om stickprovet är stort (enligt tumregeln bestående av minst 30 enheter) kan vi
tillämpa centrala gränsvärdessatsen (kapitel 5), vilken säger att
samplingfördelningen för summor eller medelvärden av n oberoende
slumpvariabler med samma fördelning är approximativt normalfördelad om n är
tillräckligt stort.
• Om stickprovet är litet, enligt tumregel färre än 30 enheter, krävs att populationen
som stickprovet dragits ur kan betraktas som normalfördelad. Ett OSU draget ur en
normalfördelad population ger, som vi har lärt oss i kapitel 5, att
samplingfördelningen för stickprovsmedelvärdet också blir normalfördelad, och
detta oavsett stickprovets storlek.
15

Punktskattning och intervallskattning
Statistisk inferens om populationsmedelvärde
• Om kraven är uppfyllda kan vi bilda ett konfidensintervall för
populationsmedelvärdet: vi lägger ett osäkerhetsintervall kring
punktskattningen vilket tillåter oss att med en viss säkerhet
säga att den okända populationsparametern täcks av
intervallet.
16

Dubbelsidigt konfidensintervall för
populationsmedelvärde när σ är okänd
Givet att
• stickprovet är draget som ett OSU
• samplingfördelningen för stickprovsstatistikan kan
betraktas som normalfördelad
bildas ett dubbelsidigt konfidensintervall för
populationsmedelvärdet µ enligt
x tn
1;1
/ 2
s
n
där värdet på t hämtas ur t-fördelningen (Appendix B)
17

t-fördelningen
t-fördelningen används för att lösa liknande typer av problem som
normalfördelningen, men lämpar sig när stickprovet är relativt litet och
populationsstandardavvikelsen är okänd.
t-fördelningen är precis som normalfördelningen symmetrisk.
t-fördelningen definieras av antalet frihetsgrader, eller enklare uttryckt
antalet oberoende bitar av information. Antalet frihetsgrader bestäms
av hur mycket data man har och hur många bitar av information som
den statistiska metodik man använder sig av kräver.
En viktig egenskap hos t-fördelningen är
att den närmar sig (konvergerar mot)
normalfördelningen när antalet frihetsgrader
ökar. En vanlig tumregel är att betrakta
t-fördelningen som approximativt
normalfördelad om stickprovet består av 30
enheter eller fler.
Frihetsgrader
5
50
5000
18
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5

Exempel
Ett slumpmässigt urval om 40 studenter vid Linköpings universitet
ger medelåldern 21.2 år och standardavvikelsen 4.4 år.
Bestäm ett intervall som med 95 procents säkerhet täcker den
sanna medelåldern bland studerande vid Linköpings universitet.
19

Enkelsidiga konfidensintervall för
populationsmedelvärde när är okänd
• Nedåt begränsat konfidensintervall:
• Uppåt begränsat konfidensintervall:
1
x tn
1;
1
x tn
1;
Exempel:
Styrelsen i en bostadsrättsförening får in klagomål på att
golvvärmen i badrummen är för låg. Man drar ett OSU om 30 badrum
bland de omkring 400 badrum som finns i föreningens fastigheter
och mäter golvvärmen där. Medeltemperaturen beräknas till 21
grader och standardavvikelsen till 1.6 grader.
Energimyndigheten rekommenderar att golvvärmen ska ligga på
minst 20 grader för att man ska undkomma problem med fuktskador.
Föreligger risk för fuktskador i föreningens badrum?
s
n
s
n
20

Konfidensintervall för populationsandel
Givet att
1. stickprovet är draget som ett OSU
2. det gäller att np(1-p) > 5
bildas dubbelsidigt konfidensintervall för populationsandelen π
enligt
p 1 p
p z1 / 2
n
där värdet på z hämtas ur normalfördelningstabellen (Appendix B)
• Nedåt begränsat konfidensintervall:
p1
p
p z1
n
• Uppåt begränsat konfidensintervall:
p
z
1
p 1
p
n
21

Exempel
I en hälsoenkät tillfrågades 100 slumpmässigt utvalda anställda vid
ett stort företag om huruvida man regelbundet motionerar eller ej.
Svar erhölls från 84 anställda och av dessa svarade 65 ja.
Bestäm ett 95-procentigt konfidensintervall för andelen av de
anställda vid det stora företaget som regelbundet motionerar.
22