TEN050823

1(4)
2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004
Omtentamen
Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00
Namn:
Personnummer:
Skriv tydligt!
Skriv namn och personnummer på alla inlämnade papper!
Max ett tal per papper.
Lämna in detta första ark med namn på.
Ansvarig lärare: Shi-Li Zhang, 08-790 4345
Följande hjälpmedel är tillåtna:
“A first course in mathematical modeling” av Giordano, Weir, Fox
“Basic skills in physics and engineering science” av Göran Grimvall
Kompendier 1 och 2, linjal och miniräknare, samt engelskt-svenskt lexikon.
Tentamen består av 8 uppgifter som är uppdelade på följande sätt: 4 st 2 p-delar i
uppgift 1, 2 st 6 p-uppgifter (2-3), samt 5 st 12 p-uppgifter (4-8), vilket ger totalt 80 p.
Ungefär 40 poäng behövs för godkänt. Läs igenom alla tal innan ni börjar räkna.
Talen är inte nödvändigtvis ordnade efter svårighetsgrad. Information från mer än
ett kapitel kan behövas för att lösa ett tal.
Uppgift 1
2
a) Beräkna de första och andra derivatorna av ln( x ), med avseende på x. (2 p)
b) Beräkna de första och andra derivatorna av 3 x , med avseende på x. (2 p)
2
c) Beräkna första derivatan av sin ( x )
d) Beräkna första derivatan av ( ) a
x + , med avseende på x 1 resp. x 2 . (2 p)
1
2
x 1
x 2
, med avseende på x 1 resp. x 2 . (2 p)
Uppgift 2
Rörelsen av en raket som skjuts rakt fram följer ett förhållande som bäst beskrivs med
en differentialekvation:
dv dm
m = F + u
dt dt

2B1115 OMTEN 20050823 2(4)
Bevisa att ekvationen är enhetsenlig, om m representerar raketens massa, v raketens
hastighet, t tid, F total kraft agerande på raketen, dm ändringen i massan, u
hastigheten som beskriver hur snabbt dm sker. Eftersom bränsle är en ganska stor
andel av totala vikten som raketen måste bära, leder bränningen av bränsle till en
kontinuerlig minskning av raketens vikt som blir viktig i beräkningen. För att kunna
öka effektiviteten och hastigheten när man skjuter en satellit med raketen, brukar man
designa raketen med skiljbara behållare för bränsle. Varje behållare skiljs från
raketen så snart som bränslen använts, vilket också bidrar till minskning av raketens
totala vikt. Redovisa delresultat i bevisningen.
(6 p)
Uppgift 3
I år kommer 65% ungdomar som söker för att studera på landets universitet och
högskolor får plats. Man undrar om vad denna procent riktigt innebär i absolut antal.
Uppskatta hur mycket blir antalet studenter som kommer att skriva in sig vid
universiteten och högskolorna. Svara i tusental. Redovisa delresultat för
uppskattningen.
(6 p)
Uppgift 4
Uppgiften handlar om en hypotetisk pensionsbesparing över en viss tidsperiod.
a) Man har planerat att sätta in 100 kr per månad till sitt pensionssparande. Detta
gäller en 30 års period. Med en månadsränta på 1%, hur mycket blir slutvärdet av
pensionssparandet efter 30 år?
(6 p)
b) Banken har sänkt sin ränta på samtliga besparingsformer inkl. pensionssparande.
Antar att månadsräntan har sjunkit från 1% till 0.5%. Med den nya månadsräntan, hur
mycket måste månadsinsättningen bli för att kunna få ut samma slutvärdet efter
samma perioden av 30 år?
(6 p)
Uppgift 5
I nedanstående tabell visas fem mätningar av en liten flickas vikt och längd. Det visar
sig att vikten W ganska väl kan uttryckas som en linjär funktion av längden L:
Ålder (månad) Längd, L (m) Vikt, W (kg)
1 0.530 3.63
3 0.600 5.20
5 0.660 6.45
7 0.680 7.02
9 0.715 7.73

2B1115 OMTEN 20050823 3(4)
W = a +
bL
a) Bestäm konstanterna a och b i funktionen med hjälp av minsta kvadratmetoden,
genom att anpassa den linjära funktionen mot mätserien i tabellen. Redovisa dina
uträkningar noga, för in delresultaten i tabellen. Svara med korrekta enheter.
(6 p)
b) Rita en graf där det teoretiska resultatet enligt den linjära funktionen redovisas
tillsammans med mätdata.
(3 p)
c) Hur stort blir det maximala felet (d max )? Beräkna ett värde samt markera detta i
grafen.
(3 p)
Uppgift 6
En viktig deponeringsteknik i tillverkningen av halvledarkomponenter kallas CVD
(chemical vapor deposition) där en tunnfilm deponeras genom en kemikalisk reaktion
från lämpliga gaser. En gång gjorde vi ett studie i vårt labb i Electrum om
deponeringen av kisel (Si) tunnfilmer från silangasen (SiH 4 ). Fem deponeringar
erhölls vid olika temperaturer för att kunna studera kinetik av kiseldeponeringen. Vi
fick olika deponeringshastigheter, se nedanstående tabell:
Temperatur, T (K) 690 735 755 795 835
Hastighet, G 5.0 40 70 3.0×10 2 1.0×10 3
Hastigheterna har normaliserats och en godtycklig enhet används på G.
Experimentella resultaten kan väl beskrivas av ett Arrhenius samband mellan G och
T:
G
= 0
G e
−
E
RT
där G 0 är en konstant, R är allmänna gaskonstant som är 8.314 J/(K mol), och E kallas
aktiveringsenergi för reaktionen.
a) Enligt det ovanstående sambandet, blir ln(G) en linjär funktion av 1/T. Gör en
lämplig formeltransformering för att visa att detta samband faktiskt kan skrivas som
en rät linje.
(2 p)
b) Rita grafen för den räta linjens ekvation och markera transformerade mätdata i
samma graf.
(4 p)
c) Uppskatta konstanterna G 0 och E enligt grafen.

2B1115 OMTEN 20050823 4(4)
(6 p)
Uppgift 7
När vi tillverkar transistorer i kisel (Si) växer vi ofta kiseldioxid (SiO 2 ) genom att
oxidera en kiselskiva i en ugn med vattenångsatmosfär vid 1000 °C. Vi mäter
tjockleken d av SiO 2 -skiktet (i nm) vid olika oxiderings tider t (i minuter) och
resultaten visas i nedanstående tabell:
d(nm) 20 37 66 113 186 295 453
t(min) 1 2 4 8 16 32 64
a) Bevisa att ett andragradspolynom (andra ordningen):
t = ad + bd
2
ger en tillräcklig bra modell till mätserien.
(6 p)
b) Uppskatta a och b (Ledning: Göra en formeltransformering till t d = a + bd och
rita t/d som en linjär funktion av d).
(6 p)
Uppgift 8
Vi har fått följande modell given som kan modellera vindkraften på en vagn som rör
sig med hastigheten v.
F
= kv
2
Aρ
Här är A tvärsnitts arean för vagnen, ρ är luftens densitet och k är
proportionalitetsfaktorn.
Beräkna F samt osäkerheten ∆F med
k = 1
v =
A =
ρ =
( 30.0 ± 0.09)
m
s
2
( 4.00 ± 0.02)
m
( 1.300 ± 0.008) kg
3
m
(12 p)

1(4)
2B1115 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 2004
Omtentamen
Måndagen den 23:e aug, 2005, kl. 9:00-14:00
Lösningsförslag
Uppgift 1
ln x
2 = 2ln
a) ( ) x
d d
ln( x ) 2 ln x
2 2
2 d 2 d ⎛ 1 ⎞ 2
= = & ln( x ) = 2 = −
2
⎜ ⎟ 2
dx
dx
x
dx
dx ⎝ x ⎠
x
b) 3 x = 3 x
1
d d 3 − 3
x x x
1
2
2
3 = 3 = =
dx dx 2 2 x
2
d
dx
2
3x
=
3
2
d
dx
x
1
−
2
= −
1
3
4
x
3
−
2
= −
&
3
4
1
x
3
c)
∂
sin
∂x
1
= 2sin
∂
∂x
2
sin
= 2sin
2
( x + x ) = 2sin( x + x ) sin( x + x ) = 2sin( x + x ) cos( x + x ) ( x + x )
( x + x ) cos( x + x )
2
1
1
2
2
1
1
2
2
∂
∂x
1
1
( x + x ) = 2sin( x + x ) sin( x + x ) = 2sin( x + x ) cos( x + x ) ( x + x )
( x + x ) cos( x + x )
1
1
2
2
1
2
1
2
∂
∂x
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
∂
∂x
2
∂
∂x
1
1
1
2
=
2
=
a
x1 x2
= x1
x2
a a
d) ( )
∂
∂x
1
d
dx
2 a a a a 1 a−1
a
( x x ) = x x = x ax
− = ax x
1
2
2
1
1
2
1
1
2
∂
∂x
2 a a a a 1 a a−1
& ( )
2
x x
1
2
= x
1
d
dx
2
x = x ax
2
1
− 2
=
ax
1
x
2
Uppgift 2
Svar: Ekvationen är enhetsenlig.
Storhet m, dm u, dv dt F
SI-enhet kg m/s s N=kgm/s 2
dv
Vänster led m : (kg)×[(m/s)/s]=kgm/s 2
dt
Höger led termen F : kgm/s 2
dm
Höger led termen u : (m/s)×(kg/s)=kgm/s 2
dt

2B1115 OMTEN 20050823 2(4)
Uppgift 3
Svar: ca. 65,000 studenter.
Räkna med Sveriges befolkning 9,000,000 och genomsnittlig livslängden ~80 år.
9000000/80 år ≈ 1.1 × 10 5 /år ≈ 100000 /år. 65% av denna siffra blir 65,000.
Enligt gratis tidningen Metro 12:e juli 2005, kan 68,900 nya studenter skriva in sig
vid landets universitet och högskolor till hösten.
Uppgift 4
Sparandet beskrivs av dynamiska systemet a n+1 =r×a n +b
a) a 360 =?
a 0 =0, b=100, r=1+1%=1.01
Sats 3 s. 30 GWF ger sparandet a k som funktion av månaden k
a k =r k ×c+a, med a=b/(1-r)=100/(1-1.01)=-10000
För k=0, a 0 =0=r 0 ×c+a=c+a ger c=-a=10000
Vi beräknar slutvärdet efter 30 år=360 månader, d.v.s k=360.
a 360 =r 360 ×c+a=1.01 360 ×10000-10000=(1.01 360 -1)×10000=349496.41 (kr)
Svar: Slutvärdet av pensionssparandet blir a 360 =349,496.41 kr efter 30 års
kontinuerliga besparing.
b) b=?
Samma typ av system som i a) men med a 0 =0, a 360 =349496.41, r=1+0.5%=1.005
a=b/(1-r) ger b=a(1-r)=-0.005a eller a=-200b
Enligt a k =r k ×c+a:
För k=0, a 0 =0=r 0 ×c+a=c+a ger c=-a
För k=360, a 360 =349496.41=1.005 360 ×c+a=(1-1.005 360 )×a=-5.022575×(-200b), vilket
leder till b=349496.41/(5.022575×200)=347.93 (kr)
Svar: Månadsinsättningen måste ökas till 348 kr för att kunna få ut samma
slutsparandet på 349496.41 kr efter 30 års besparing.
Uppgift 5
Svar:
a) a=-8.12 (kg), b=22.2 (kg/m)
b) Se figuren
c) Maximalt fel d max =0.082 (kg)
a) f(L)=a+bL

2B1115 OMTEN 20050823 3(4)
L i (m) W i (kg)
2
L i L i W i f(L i ) ⎢f(L i )-W i ⎢
0.530 3.63 0.2809 1.9239 3.646 0.016
0.600 5.20 0.36 3.1200 5.2 0
0.660 6.45 0.4356 4.2570 6.532 0.082
0.680 7.02 0.4624 4.7736 6.976 0.044
0.715 7.73 0.51122 5.5269 7.753 0.023
Σ 3.185 30.03 2.05012 19.601
Sambanden:
5 5
5
⎛ ⎞⎛
2 ⎞ ⎛ ⎞⎛
⎜∑Wi
⎟⎜∑
Li
⎟ − ⎜∑
LW
i i
⎟⎜
⎝ i=
1 ⎠⎝
i=
1 ⎠ ⎝ i=
1
a =
⎠⎝
5
5
2
⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞
5⎜∑
Li
⎟ − ⎜∑
Li
⎟
⎝ i=
1 ⎠ ⎝ i=
1 ⎠
⎛
5⎜
b =
⎝
5
∑
i=
1
LW
i
⎛
5⎜
⎝
5
i
∑
i=
1
⎞
⎟ −
⎠
L
2
i
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟ −
⎠
5
∑
i=
1
⎛
⎜
⎝
⎞⎛
Wi
⎟⎜
⎠⎝
5
∑
i=
1
L
5
∑
i=
1
2
⎞
⎟
⎠
i
⎞
Li
⎟
⎠
5
∑
i=
1
⎞
Li
⎟
⎠
leder till (med 3 värdesiffror eftersom L och W bara har 3 värdesiffror):
a=(30.03×2.05012–19.601×3.185)/(5×2.05012–3.185 2 )=-0.8641/0.1064=-8.12
och
b=(5×19.601–3.185×30.03)/(5×2.05012–3.185 2 )=2.35945/0.1064=22.2
b) Se figuren om grafen. Anpassningsresultatet, enligt inbyggt programmet, visar
W=-8.13+22.2L. Med tanken på avrundningarna gjorde i ovanstående beräkningarna,
stämmer de två anpassningsförsöken varandra mycket väl.
c) Maximalt fel d max =0.082 (kg), vilket också har pekats ut i grafen ovan.
8
Vikt-längd
y = -8.1331 + 22.196x R= 0.99961
7
Vikt (kg)
6
5
4
3
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75
Längd (m)
Uppgift 6
a) ln(G)=ln(G 0 )–(E/R)×(1/T),
d.v.s. ln(G) är en linjär funktion av 1/T, med ln(G 0 ) som skärningspunkten på ln(G)-
axeln och -E/R som lutningen.

2B1115 OMTEN 20050823 4(4)
b) För att kunna göra en graf för den räta linjens ekvation, behövs ln(G) och 1/T som
beräknas i tabellen:
1/T (1/K) 0.001449 0.001361 0.001325 0.001258 0.001198
ln(G) 1.6094 3.6889 4.2485 5.7038 6.9078
eller
1/T (1000/K) 1.449 1.361 1.325 1.258 1.198
ln(G) 1.6094 3.6889 4.2485 5.7038 6.9078
7
6
5
"Eye-balled" linjen
ln(G)
4
3
2
1
0.0011 0.0012 0.0013 0.0014 0.0015
1/T (1/K)
En negativ lutning syns, vilket stämmer med linjära ekvationen med ett negativt
tecken före E/(RT)-termen.
c) För att uppskatta G 0 och E, kan man göra en ”eye-fitting” eller ”eye-ball” en ”bäst”
anpassningslinje som också visas i grafen. Eftersom anpassningslinjen jämförs
väldigt väl med nästan alla mätdata (transformerade), kan man göra uppskattningen i
två olika sätt:
1) Ta de två yttersta punkterna i tabellen. Sätt in den ena efter den andra i linjära
ekvationen:
1.6094=ln(G 0 )–0.001449(E/R), vilket ger: ln(G 0 )=1.6094+0.001449(E/R)
6.9078=ln(G 0 )–0.001198(E/R)
Sätt sambandet ln(G 0 )=1.6094+0.001449(E/R) in i 6.9078=ln(G 0 )–0.001198(E/R), får
man:
(6.9078–1.6094)=[0.001449–0.001198](E/R)
E/R=(6.9078–1.6094)/(0.001449–0.001198)=21109 (K), som slutligen ger:
E=21109 (K)×8.314 [J/(K mol)]=175502 (J/mol)≈1.8×10 5 (J/mol). Den sista
avrundningen gör man eftersom mätdata (G) bara har 2 signifikanta siffror.
Då får vi också: ln(G 0 )=1.6094+0.001449(E/R)=1.6094+0.001449×21109≈32.2 och
slutligen: G 0 =exp(32.2)=9.6×10 13 .
2) Läs av värdena på två punkter i grafen:
vid 1/T=0.0012 blir ln(G)≈7 samt vid 1/T=0.001475 blir ln(G)≈1.
Enligt ln(G)=ln(G 0 )–E/(RT), blir lutningen: -E/R=(1–7)/(0.001475–0.0012)=-21818
(K), eller E/R=21818 (K). Detta ger: E=21818R=181396 (J/mol)≈1.8×10 5 (J/mol).
Använd en av punkterna för att beräkna ln(G 0 ) enligt linjära ekvationen:

2B1115 OMTEN 20050823 5(4)
7=ln(G 0 )–21818×0.0012, så att ln(G 0 )=7+21818×0.0012=33.2 och G 0 =2.6×10 14 .
(Minsta kvadratmetoden ger: E=1.74×10 5 (J/mol) och ln(G 0 )=32.0.)
Uppgift 7
a) Konstruera en tabell av 1:a, 2:a samt 3:e ordningens differenskvoter för den givna
mätserien:
d(nm) t(s) ∆t
∆d
2
∆ t
2
∆d
3
∆ t
3
∆d
20 1
37 2
66 4
113 8
186 16
295 32
453 64
0.0588
0.0690
0.0851
0.1096
0.1468
0.2025
2.217E-4
2.118E-4
2.041E-4
2.044E-4
2.086E-4
-1.064E-07
-0.517E-07
0.013E-07
0.124E-07
3
∆ t
Därför att absoluta värdena av
3 är betydligt mindre än absoluta värdena av
∆d
2
∆ t
2 (> faktor 10 3 ) samt minustecken börjar visa upp, kan man dra slutsatsen att
∆d
t=ad+bd 2 är en bra modell.
(b) Rita t/d vs. d som visar en rät linje. Avskärningspunkten på y-axeln ger direkt
a≈0.048 (min/nm). Lutningen får man b≈(0.15-0.05)/500=0.0002 (min/nm 2 ). Enligt
minstakvadrat metoden, a=0.0465 (min/nm) och b=0.00021 (min/nm 2 ).
0.16
y = 0.046519 + 0.00020992x R= 0.99991
0.14
t/d (min/nm)
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0 100 200 300 400 500
d (nm)
d(nm) 20 37 66 113 186 295 453
t/d(min/nm) 0.05 0.054 0.061 0.071 0.086 0.108 0.141
Uppgift 8
Svar: F=4680 N=4.68×10 3 N
∆F=46.5 N=0.05×10 3 N
=> F=(4.68±0.05)×10 3 N
2
( m
2
) ( m )
kg
3
30.0 × 4.00 × ⎜
⎛ 1.300 3 ⎟
⎞ = 4.68 10 N
2
F = kv Aρ = 1 ×
× .
s
⎝ m ⎠

2B1115 OMTEN 20050823 6(4)
∆F
F
≈
=
⎛ ∂F
⎞
⎜ ∆v⎟
⎝ ∂v
⎠
2
0.0000989 = 0.009945
2
⎛ ∂F
⎞
+ ⎜ ∆A⎟
⎝ ∂A
⎠
⎛ ∆v
⎞ ⎛ ∆A
⎞ ⎛ ∆ρ
⎞
= ⎜2
⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
⎝ v ⎠ ⎝ A ⎠ ⎝ ρ ⎠
2
2
2
⎛ 0.09 ⎞ ⎛ 0.02 ⎞ ⎛ 0.008 ⎞
= ⎜2
× ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ≈
⎝ 30.0 ⎠ ⎝ 4.00 ⎠ ⎝ 1.30 ⎠
2
2
2
⎛ ∂F
⎞
+ ⎜ ∆ρ
⎟
⎝ ∂ρ
⎠
2
=
∆F=0.009945×4.68×10 3 (N)=0.0465×10 3 N≈0.05×10 3 N