Logik

Boolesk algebra
&
Grindar
1

Boolesk algebra
1849 George Boole presenterar den booleska algebran
• det är den formella analytiska grunden för de
logiska elektroniska kretsarna
Konstanter
0 ( FALSK), 1 (SANN)
Logiska operationer
ELLER, logisk summa betecknas här med +
OCH, logisk produkt betecknas här med .
ICKE, logisk invers beteteknas här med -
Subraktion och division existerar ej !
2

Logiska samband kan realiseras med tex elektroniska kretsar
eller tryckknappssystem enligt följade grund
Shannons isomorfi
ELLER (OR)
OCH (AND)
3

Logiska kretsar kan vara
kombinatoriska eller sekvensiella
• Hos en
kombinatorisk krets
beror utgångens
tillstånd bara av
värdena (1:or eller
0:or) hos kretsens
ingångar
Hos en
sekvenskrets
beror utgångens
tillstånd dessutom
av ordningen i
vilken ingångarna
ändras
4

Axiom
• är grundbegrepp man ställer upp och
sedan använder i det fortsatta
resonemanget
• Exempel på några axiom (eller postulat):
När 0 = falsk och 1 = sann är:
x = 0 om x = 1
x = 1 om x = 0
Komplementet till x är x eller x´.
Om x = 0 så är x = 1
Om x = 1 så är x = 0
5

Axiom
• 0 + 0 = 0 0 . 0 = 0
• 0 + 1 = 1 0 . 1 = 0
• 1 + 0 = 1 1 . 0 = 0
• 1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
• 0 = 1
• 1 = 0
En slutsats: 0 och någonting = 0
1 eller någonting = 1
6

Räknelagar för en variabel
• x + x = x x . x = x
• x + x = 1 x . x = 0
• x + 0 = x x . 0 = 0
• x + 1 = 1 x . 1 = x
• x = x
En slutsats: 0 och någonting = 0
1 eller någonting = 1
7

Logiska funktionsblock-symboler
och Venndiagram
8

Räkneregel
Den viktigaste:
• PRIORITET (PRECEDENCE)
Om både OCH- och ELLER-funktioner finns i samma
uttryck, går OCH ( · ) före ELLER ( + )
Tips
Tänk i motsvarande logiksymboler för axiom och räknelagar
&
0 · 0 = 0
1 · 1 = 1
0 1 = 0
1 0 = 0
≥1
1 + 1 = 1
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
9

Positiv respektive negativ logik
Aktiv hög respektive aktiv låg logik
Spänning
Spänning
H “ 1 ”
H “ 0 ”
L
“ 0 ”
L
“ 1 ”
Positiv logik
Negativ logik
• Hög spänningsnivå betecknas med H och
• Låg spänningsnivå betecknas med L
• Vanligtvis gäller positiv logik
• H = 1 och L = 0
10

GRINDAR
i elektronikkretsar betecknas med funktionsblock-symbolerna
Sanningstabell
A B Y
OR-grinden (ELLER)
Y = A + B
A
B
> 1
Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Om och endast om A eller B
(någon av ingångarna)
är lika med 1, gäller att Y = 1
A
B
Y
A
0
B
0
Y
0
AND-grinden (OCH)
Y = A . B = AB
A
B
&
Y
0
1
1
1
0
1
0
0
1
Om och endast om A och B
(alla ingångarna)
är lika med 1, gäller att Y =1
Grindarna kan ha flera ingångar än två.
A
B
Y
11

Varför kallas det grind ?
tex OCH-grind
12

INV-grinden (ICKE)
A
0
1
Y
1
0
Y = A
Om och endast om
A = 0 gäller att Y = 1
INV-grinden kan bara ha en ingång.
A
A
1
Y
Y
Grundfunktionerna ovan kan kombineras till stora logiska nät.
De enklaste kombinationerna är NOT med de övriga till NOR och NAND.
NOR-grinden (ICKE ELLER)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
0
1
1
1
Y
1
0
0
0
_____
Y = A + B
Om och endast om A eller B
(någon ingång)
är lika med 1 gäller att Y = 0.
ELLER Om och endast om A och B är lika med 0
gäller att Y = 1
A
B
A
B
> 1
Y
Y
13

NAND-grinden (ICKE OCH)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
AB
0
0
0
1
Y
1
1
1
0
____
Y = A . B
Om och endast om A och B
(alla ingångarna)
är lika med 1 gäller att Y = 0
A
B
A
B
&
Y
Y
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Y
0
1
1
0
XOR-grinden (Exklusivt ELLER)
_ _
Y = A ⊕ B = A B + A B
Om och endast om A och B är olika
(precis en ingång är 1)
gäller att Y = 1.
(En kombination av AND och OR)
A
B
A
B
= 1
Y
Y
XOR-grinden har alltid 2 ingångar.
14

XNOR-grinden (Exklusivt ICKE ELLER)
A
0
B
0
Y
1
_ _
Y = A ⊕ B = A B + A B
A
B
= 1
Y
0
1
1
1
0
1
0
0
1
Om och endast om A och B
är lika gäller att Y = 1.
A
B
Y
Observera:
AND- samt OR-grindar kan ha godtyckligt antal ingångar.
INV-grinden har alltid endast en ingång.
XOR samt XNOR har alltid två ingångar
15

Logisk kapsel
IC = integrated circuit
V DD
(74HC00)
14
13
12
11
10
9
8
&
&
&
&
1 2 3 4 5 6 7
V CC
VSS
Kapseln innehåller 4 st 2-ingångars NAND-grindar.
Kapseln har 14 ben.
Till ben 7 anslutes jord (GND)
Till ben 14 anslutes matningsspänningen V DD
16

En sats kan visas på flera sätt:
a) Använd axiom och satser
b) Med hjälp av Venndiagram eller
ekvivalenta scheman
c) Perfekt induktion, dvs räkna genom
samtliga fall, där man sätter in
1:or och 0:or.
Tex: För en variabel
x + x = x (L1)
x . x = x (L2)
_
x + x = 1 (L3)
_
x . x = 0 (L4)
x + 1 = 1 (L5)
x . 0 = 0 (L6)
x + 0 = x (L7)
x . 1 = x (L8)
=
x = x
(L9)
17

• Med Boolesk algebra:
VL = x + xy = x(1
+ y)
+ xy = x + xy + xy = x + y(
x + x)
= x + y =
• Med Venndiagram:
VL:
• Med tryckknappar:
• Med sanningstabell
_
Tex. x + x y = x + y
HL:
x
_
x
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
y
/x . y
0
1
0
0
x+/x . y
0
1
1
1
lika
HL
Vid eller + :
Samma område är
skuggat.
x
x+y
0
1
1
1
y
18

Räknelagar för flera variabler
Associativa lagarna;
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
x • ( y • z ) = ( x • y ) • z
Kommutativa lagarna:
x + y = y + x
x • y = y • x
Distibutiva lagarna:
x • ( y + z ) = x • y + x • z
x + ( y • z ) = ( x + y ) • ( x + z )
Absorptionslagarna
x + x • y = x
x • ( x + y ) = x
Consensus-lagarna:
x • y + x • z = x • y + x • z + y • z
( x + y )•( x + z ) = ( x + y )•( x + z )•( y + z )
L10
L11
L12
L13
L14
L15
L16
L17
L18
L19
L15:
HL = (x+y)(x+z) =
= x+xz+xy+yz =
= x (1+z+y) +yz =
= x + yz = VL
De Morgans lagar:
____ _ _
x + y = x • y
____ _ _
x • y = x + y
L20
L21
19

Consensus-lagen
( x + y)(
x + z)(
y + z)
= ( x + y)(
x + z)
L19
VL:
HL:
x y
x y
z
z
Och-funktion:
Fullständig skugga på samma ställe
21

deMorgans sats för 2 variabler
x
x
⋅ y = x +
+ y = x ⋅
y
y
L20
L21
_
_
___
_ _
___
_ _
x
y
x
y
x y
x . y
x+y
x+y
x+y
x . y
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
lika
lika
22

25
Y

F i positiv logik blir F D i negativ logik och vise versa.
26

x y
=1
27

x y
=1
28