KOMBINATIONSKRETSAR

KOMBINATIONSKRETSAR
1

min- och MAX-termer
Venndiagram för varje rad i:
mi
Mi
2

Från sanningstabell till logisk algebra
F nedan är exempel på en funktion
Rad In Ut minterm Maxterm
i XYZ F mi Mi
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
X ⋅Y
⋅ Z
Z
X ⋅Y
⋅ Z
X ⋅Y
⋅ Z
X ⋅Y
⋅ Z
X ⋅Y
⋅ Z
mi
Mi
X + Y + Z mi–termer är bara utskrivna för
X + Y + Z de rader i, där F = 1 =sann och
Mi bara där F = 0 = falsk.
Fi = 1 => mi = 1 och Mi = 0
X + Y
+
Z
Fi = 0 => mi = 0 och Mi = 1
Mintermerna
ger F = 1 om man är i någon av
raderna där Fi = 1 =>
F(
X , Y,
Z)
=
X
⋅Y
⋅ Z
+
X
⋅Y
⋅ Z
+
X
⋅Y
⋅ Z
+
X
⋅Y
⋅ Z
+
X
⋅Y
⋅ Z
Detta är NORMAL SP-form (Summa av Produkt) eller normal disjunktiv form.
Alla invariabler eller dess inverser finns med i varje term.
Den formen kan förenklas.
En annan beskrivningsform är: F(X,Y,Z) = ∑(0, 3, 4, 6, 7)
Den normala SP-formen motsvarar ett normalt AND-OR-nät:
(forts. nästa sida)
3

_
X
_
Y
_
Z
_
X
Y
Z
X
_
Y
_
Z
X
Y
_
Z
Mintermer där F=1 Normal SP-form ==> AND-OR-nät
&
&
&
&
F(
X , Y,
Z)
= X ⋅Y
⋅ Z + X ⋅Y
⋅ Z + X ⋅Y
⋅ Z + X ⋅Y
⋅ Z + X ⋅Y
⋅ Z
Förenkling: F = Y ⋅ Z ( X + X ) + Y ⋅ Z(
X + X ) + X ⋅Y
⋅ Z =
= Y ⋅ Z + Y ⋅ Z + X ⋅Y
⋅ Z =
= Y ⋅ Z + Z ( Y +
= Y ⋅ Z + Z ( Y +
X ⋅Y
) =
X ) =
= Y ⋅ Z + Y ⋅ Z + X ⋅ Z
Troligen MINIMAL SP-form
≥1 F troligen MiNIMALT AND-OR-nät
Y
Z
_
Y
_
Z
&
&
≥1
F
X
Y
&
X
_
Z
&
Z
4

OR-AND-nät kan man få genom att
F
I. bestämma med hjälp av mintermer där F=0
och att därefter använda de Morgans sats på F=
F
eller
II. utnyttja Maxtermerna där F=0
Praktiskt särskilt när F har färre 0:or än 1:or i
sanningstabellen.
5

Maxtermerna kan ge OR-AND-nät
F nedan är exempel på en funktion
Rad In Ut minterm Maxterm
i XYZ F mi Mi
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
X ⋅Y
⋅ Z
Z
X ⋅Y
⋅ Z
X ⋅Y
⋅ Z
X ⋅Y
⋅ Z
X ⋅Y
⋅ Z
X + Y + Z
X + Y + Z
mi
Mi
Mi-termer är bara utskrivna
för de rader i, där F = 0 = falsk.
Fi = 0 => mi = 0 och Mi = 1
X + Y
+
Z
Maxtermerna
ger F = 1 om man är utanför alla
raderna där Fi = 0 =>
F = ( X + Y + Z ) ⋅ ( X + Y + Z)
⋅ ( X + Y + Z )
Detta är NORMAL PS-form (Produkt av Summa) eller normal konjunktiv form.
Alla invariabler eller dess inverser finns med i varje term.
Den formen kan förenklas.
En annan beskrivningsform är: F(X,Y,Z) = Π(1, 2, 5)
Den normala PS-formen motsvarar ett normalt OR-AND-nät:
(forts. nästa sida)
6

Maxtermer Normal PS-form Normalt OR-AND-nät
F = ( X + Y + Z ) ⋅ ( X + Y + Z)
⋅ ( X + Y + Z )
X
Y
_
Z
X
_
Y
Z
_
X
Y
_
Z
≥1
≥1
≥1
&
F
• Detta normala nät kan
säkert förenklas med
Boolesk algebra, så
att vi får en trolig
MINIMAL PS-form
och ett troligt optimalt
OR-AND-nät
• Snart ska vi optimera
säkrare med
Karnaughdiagram
7

Från logisk algebra till logiskt schema
• Exempel:
A
B
C
D
&
1
X = A(
BC + D)
+
BC
_
D
≥1
_
BC+D
BD
&
&
_
A(BC+D)
BD
≥1
X
8

Minimering av Booleska uttryck
Optimeringsmetoder
• Booles algebra kan användas för optimering.
- Det är ofta arbetssamt och tidsödande.
- Det är svårt att veta, om det man kommit fram till,
verkligen är optimalt.
- Det finns dock metoder, där man verkligen vet, att man
optimerar ett OCH-ELLER-nät eller att man optimerar ett
ELLER-OCH-nät.
.
Karnaugh-diagram är behändigt för optimering, när
man har upp till och med 6 instorheter.
.
Quine-McCluskeys metod (användning av metoden
ingår ej i kursen) kan användas vid flera ingångar.
- Dataprogram finns för för optimering.
- Vi kommer mest att ägna oss åt Karnaughdiagram
9

Syntes av kombinatoriska kretsar
• Tidigare har vi tagit fram
normal SP-form (normal disjunktiv form), som
ger normala OCH-ELLER-nät och även
normal PS-form (normal konjunktiv form), som
ger normala ELLER-OCH-nät.
• Syntes (minimering) ska vi nu på ett säkert sätt
göra med Karnaughdiagram.
• Vi ska utgå från samma funktion F som tidigare
och som har samma sanningstabell.
10

Exempel från tidigare: F(x,y,z) = ∑(0, 3, 4, 6, 7)
i X Y Z F
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
2 0 1 0 0
3 0 1 1 1
4 1 0 0 1
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
X
X
Y
Z
0
1
YZ
F
00 01 11 10
Karnaugh-diagrammet påbörjas:
Gör ett rutnät för alla in-storheter
eller 0 1
XY
När man går till närmaste ruta vågrätt eller lodrätt,
får endast en instorhet ändras.
00
01
11
10
Z
Detta gäller även ”över kanterna”.
Fyll i funktionens värden i rutorna.
11

X
Karnaughdiagram
YZ
00 01 11 10
0 1* 0 0 1 1* 3 0 2
1 1 4 0 5 1 7 1 6
• Funktionen F representeras nu av
området där F=1, alternativt området
där F≠0.
• OCH-ELLER-nät kan man få genom att
slå samman och ringa in närliggande
rutor med 1:or på visst sätt.
• Sammantagningarna av 1:or får dock bara ske i antal om
1, 2, 4, 8, 16, 32....osv, dvs 2 n , där n är heltal.
• Optimeringen får man genom att göra så få och så stora
inringningar (primimplikatorer) som möjligt.
• OBS! En 1:a får inringas flera gånger.
• En bra metod är att först leta reda på svåra 1:or, som bara
kan ringas in på ett sätt till sk väsentliga primimplikatorer.
Markera gärna sådana 1:or med en *.
• Börja med att göra största möjliga inringningar kring
sådana 1:or.
• Ringa sedan in alla andra icke inringade 1:or med så få
och så stora inringningar som möjligt.
12

YZ
00 01 11 10
X
0 1* 0 1* 0
1 1 0 1 1
⇒ F = Y ⋅ Z + Y ⋅ Z + X ⋅Y
Alternativt
YZ
00 01 11 10
X
0 1* 0 1* 0
1 1 0 1 1
• Vi fick 2 lika minimala
SP-uttryck (disjunktiva uttryck)
- lika små och lika många inringningar.
• Dessa motsvarar OCH-ELLER-näten nedan
_
Y
_
Z
Y
Z
&
&
≥1
F
⇒
F
= Y
⋅ Z
+ Y ⋅ Z
+
X
⋅ Z
X
_
Y eller Z
&
• De har lite olika invariabler, men är lika
minimala, dvs de har lika få grindar och
lika få ingångar.
13

Minimalt ELLER-OCH-nät
• För att få minimal PS-form
(konjunktiv form) och därmed
minimalt OR-AND-nät tar man
samman 0:orna på samma sätt.
(Maxtermer)
• Funktionen F = 1 utanför dessa
inringningar. (Utanför den ena
OCH utanför den andra =
Ena Maxtermen OCH andra
Maxtermen.)
• => F = ( Y + Z )( X + Y + Z)
• Denna minimala PS-form ger
det minimala ELLER-OCHnätet.
• I detta fall är PS-formen något
mindre än SP-formen.
X
X
_
Y
Z
Y
_
Z
YZ
00 01 11 10
0 1 0 1 0*
1 1 0* 1 1
≥1
≥1
&
F
14

• Ett annat sätt är att med hjälp av de
inringade 0:ornas mintermer ta fram
ett SP-uttryck för F
• Inverterar man sedan utgången, så
får man ju F
I kretsar, där utgången kan inverteras,
är problemet löst med en
AND-OR-INVERS (AOI)-krets.
• Genom att programmera vissa
PLD:er, kan man få sann eller invers
utgång med 1 eller 0 på styre. =>
_
Y
Z
_
X
X
YZ
00 01 11 10
0 1 0 1 0*
1 1 0* 1 1
F
&
= Y ⋅ Z +
X ⋅Y
⋅ Z
≥1
F
1
Y &
_
F
Z =1
1
F
F
• Önskar man PS-form och därmed
OR-AND-nät, kan man invertera F
för att få F som F och sedan
använda deMorgans sats
Invertering och deMorgans sats:
F = F =
= Y ⋅ Z + X ⋅Y
⋅ Z =
= Y ⋅ Z ⋅ X ⋅Y
⋅ Z =
= ( Y + Z ) ⋅ ( X + Y + Z)
Samma minimala uttryck som vi fick
med maxtermer
15

Ett metod-stråk har visat sig för minimal SP-form:
Ringa in 1:or – mintermer i ringarna – SP-form (disjunktiv form) -
- OCH-ELLER-nät – NAND-NAND-nät
vi betraktar de senare leden nu
Ex. Ett minimalt SP-uttryck kan med deMorgans sats utvecklas till bara NAND-uttryck
F
=
Y
⋅ Z
+ Y
⋅ Z
+
X
⋅ Z
=
Y
⋅ Z
+ Y
⋅ Z
+
X
⋅ Z
=
Y
⋅ Z
⋅Y
⋅ Z
⋅
X
⋅Y
Med grindar blir det: (dubbel invertering)
_
Y
&
Y
_
_
&
Z
Z
Y
Z
_
F & ≥1 Y
Z
&
≥1
_
Y
_
Z
Y
Z
&
&
(deMorgan)
&
F
X
Y
&
X
Y
&
X
Y
&
För minimal PS-form finns ett motsvarande stråk:
Ringa in 0:or – Maxtermer utanför ringarna – PS-form (konjunktiv form) –
-ELLER-OCH-nät – NOR-NOR-nät
på likande sätt
16

Två stråk
Ringa in 1:or
Mintermer
SP-form
OCH-ELLER-nät
NAND-NAND-nät
och titta inne i
ringarna
Disjunktiv
form
Ringa in 0:or
Maxtermer
PS-form
ELLER-OCH-nät
NOR-NOR-nät
Och titta
utanför
ringarna
Konjunktiv
form
18

Don’t care -ingångskombinationer
• I automatiken (reglersystem) senare
kommer ni att se en rad exempel på
kombinationer som inte kan förekomma.
• Det är tex svårt för vattennivån att nå
upp till en högre nivågivare A, utan att först
nå upp till en som är lägre placerad, B.
• Automaten, som styr vattentillflödet,
måste vara svår att logiskt programmera om
instorheterna är A B.
• Om utstorheten U är 1 eller 0 för denna
kombination är i allmänhet ointressant,
eftersom tillståndet inte kan inträffa.
• Man brukar därför inte tillordna
utstorheten för sådana kombinationer
värdena 0 eller 1, utan - , dvs don’t care,
som ibland betecknas ∅, ϕ eller x.
A
B
U
19

Exempel med don´t care
F(N 3 , N 2 , N 1 , N 0 ) = ∑(1, 2, 3, 5, 7) + d(10, 11, 12, 13, 14, 15)
• Vi har 4 variabler
• Karnaughdiagrammet =>
• - kan vid inringningarna
betraktas som 0 eller 1. Det
viktiga är att vi får ett enkelt
uttryck
1:or - don´t care
• OCH-ELLER-nät får vi från SPformen,
dvs inringning av 1:or
• Vi får minimal SP-form
• och minimalt AND-OR-nät
__
N 3
N 0
__
N 2
N 1
F
N 1 N 0
00 01 11 10
00 0 0 1 1 1 3 1 2
01 0 4 1 5 1 7 0 6
11 - 12 - 13 - 15 - 14
10 0 8 0 9 - 11 - 10
&
=
&
N
3
⋅ N
0
+ N
2
⋅ N1
≥1
F
N 3 N 2
20