T - KTH

Dagens problem 

Under vilka förutsättningar kan 

den allmänna ideala gaslagen 

användas? 

PV = nRT 

http://www.ict.kth.se/courses/2B1116/ 1

Molekylfysik & termodynamik 

Korrekt enhet 

(dimensionsanalys) 

Matematik 

(funktion & 

derivering) 

Problem 

lösning 

Anpassning 

(minsta 

kvadratmetoden) 

Korrekt antal siffror 

(felanalys & noggrannhetsanalys) 

Viktiga ingredienser 


Dagens föreläsning 

‣Ideala Gaslagen 

Termiska rörelser 

Tillstånd & tillståndsvariabel 

Temperatur 

Termometerskala 

Allmänna gaslagen 

Van der Waals gaslag 

KP1 kapitel 7 


Diffusion: Termiska rörelser 

Gasbehållare A 

H 2 & N 2 

H 2 

V 

V 

Gasbehållare B 

N 2 & H 2 

N 2 


Diffusion: Ej gastypspecifik 

Schematiskt 

tvärsnitt för en 

fälteffekttransistor 

Gate 

Source 

Drain 

gate oxide 

Si wafer 

channel 

Diffusion sker också i vätskor och fasta ämnen! 


Rörelse bestäms av temperatur 

Brownsk rörelse (år 1826): 

Oregelbunden rörelse för 

molekyler!!! 

‣Partiklarnas oregelbundna 

rörelse blev snabbare ju mindre 

partiklarnas storlek var. 

‣Diffusionen och Brownska 

rörelsen blev kraftigare ju 

högre temperaturen var. 

Ju högre temperaturen är, desto 

kraftigare blir molekylrörelsen. 



(a) Alla makroskopiska substanser består av 

en stor mängd molekyler (eller atomer). 

(b) Molekylernas ständiga och oregelbundna 

rörelse beror starkt på temperaturen. 

(c) Molekyler växelverkar med varandra, 

vilket innebär att det finns interaktioner 

mellan molekylerna. 



All materia uppbyggs av en stor mängd molekyler. 

Samtliga molekyler rör sig ständigt. 

Molekylerna växelverkar med varandra. 

‣Kraften mellan molekylerna leder till en viss 

regelbunden placering av molekyler i 3D-rummet. 

‣Molekylernas oregelbundna rörelse tenderar att förstöra 

sådana regelbundna placeringarna. 

Det är faktiskt de två motaktioner som ger den inre 

bevisen på den termiska rörelsen samt ändringen i 

tillståndet av den termiska rörelsen. 


Termiska rörelser och tillstånd 

Tre olika tillstånd av en substans: fast form, vätskeform och 

gasform. 

Ändringen av substansens tillstånd: Under vissa 

förutsättningar genom olika processer, t.ex. smältning, 

avdunstning, kondensering, o.s.v. 

Tillståndsförändringen: Specifika former av den termiska 

rörelsen. 

Dessutom: Ändringar i sammansättningar och strukturer i 

mer omfattande system (t.ex. blandning av gas och vätska, 

fasbildning och förvandling i ett fast ämne som i metallurgi); 

samt olika kemiska reaktioner också några specifika former 

av den termiska rörelsen eller processer som möjliggörs av 

den termiska rörelsen. 


Tillstånd 

Man undersöker med hjälp av molekylfysik och termodynamik 

termiska rörelser i makroskopiska substanser eller system. I 

termodynamik betraktas dessa system som termodynamiska 

system. Vad man undersöker i detalj är makroskopiska tillstånd 

samt mönster eller regler för dessa termodynamiska system. De 

makroskopiska tillstånden kan kategoriseras i två huvudtyper: 

det termodynamiska jämviktsläget resp. det icke 

termodynamiska jämviktsläget. 

OBS: Termodynamiskt jämviktsläge är faktiskt ett idealt, 

abstrakt begrepp som generaliserar och företräder riktiga system 

som under vissa förutsättningar är relativt stabila eller närmar sig 

ett relativt stabilt läge. 


Tillståndsvariabler 

Undersökningen av termodynamiska jämviktsläget har varit 

mycket viktig både teoretiskt och praktiskt. När ett system 

är i ett termmodynamiskt jämviktsläge kan man 

karakterisera systemet med en lista av väl bestämda 

fysikaliska parametrar. Sådana parametrar kallas 

tillståndsvariabler. 

PV = nRT 

Gaser: 

Volym V, Temperatur T, Tryck P, Mängd n 

För komplicerade system blir antalet tillståndsvariabler fler. 


Principen bakom temperaturmätning 

Steg 1 

Steg 2 

Steg 3 

T 1 T 2 

T 1 T 2 

T 

T 

T 

T 

T 3 T 4 

T 3 T 4 

T 

T 

T 

T 

Tillstånd 1 

Tillstånd 2 

Tillstånd 3 

Tillstånd 4 

Termodynamiska jämviktsläget 


Celsius empiriska termometerskala 

Fryspunkten: den 

temperatur där is och vatten 

under ett atmosfärtryck 

(1.01325·10 5 Pa) är i det 

termodynamiska 

jämviktsläget. 

Kokpunkten: den temperatur 

där vatten och ånga är i det 

termodynamiska 

jämviktsläget när ångtrycket 

är lika högt som ett 

atmosfärtryck. 

Celsius-termometer: Kvicksilver som fyllningsmateria i ett glasrör. 

Termometerskalan samt termometern baseras i detta fall på ändringen 

av kvicksilvers volym som en funktion av temperaturen (efter 

http://www.ict.kth.se/courses/2B1116/ korrigeringen av termiska volymutvidgningen). 

13

Celsius empiriska termometerskala 

I Celsius kvicksilvertermometerskala ingår 

definitionen av fryspunkten som noll 

grader samt kokpunkten hos vatten som 

100 grader. Skillnaden mellan 

fryspunkten och kokpunkten divideras 

jämt i 100 delar, och varje del definieras 

som en grad Celsius med symbolen o C. 

Det är tydligt att denna 

termometerskala egentligen innebär 

definitionen av en linjär ändring av 

kvicksilvers volym med temperaturen. 

Vad händer när kvicksilver 

ersätts med t.ex. alkohol? 


Gastermometerskalan 

A 

E 

S 

B 

h 

Isokor 

gastermometer: 

Bibehåll gasvolym i A 

som konstant 

Lyfta eller sänka B för 

att motverka ändringen i 

gasvolymen i A som 

orsakas av ändringen i 

temperatur. 


Gastermometerskalan 

t v P − P 

= 

100 P − P 

1 

t v 

isokorstemperatur 

P 0 

gastrycket vid fryspunkten 

P 1 

gastrycket vid kokpunkten 

P gastrycket vid temperatur t v 

0 

0 

t p 

V −V 

= 

100 V −V 

1 

t p 

isobartemperatur 

V 0 

gasvolymen vid fryspunkten 

V 1 

gasvolymen vid kokpunkten 

V gasvolymen vid t p 

0 

0 

Definitionen av 100 grader som exakt rymmer hela 

skalan från fryspunkten till kokpunkten leder till 

nämnaren 100 i båda sambandena. I Cesius skala 


H 2 -gastermometerskalan, i o C 

t 

= 

lim 

P 

0 

→ 

t 

v 

= 

P 

0 0 

lim 

→0 

t 

p 

, d.v.s. mycket låga tryck 

H 2 

isokor 

t v 

Luft isokor 

t v 

Pt-resistor 

Pt/Pt-Rh 

termoelement 

Kvicksilver 

termometer 

0 

0 

0 

0 

0 

20 

20.008 

20.240 

20.150 

20.091 

40 

40.001 

40.360 

40.293 

40.111 

60 

59.990 

60.360 

60.293 

60.086 

80 

79.987 

80.240 

80.147 

80.041 

100 

100 

100 

100 

100 


7 olika gaser, i o C 

Gas 

Isokor t v 

Isobar t p 

Isokor t v 

Isobar t p 

H 2 

50.003 

50.004 

199.976 

199.976 

He 

50.001 

50.000 

199.994 

199.999 

Ne 50.001 50.002 199.997 199.990 

N 2 

50.010 50.032 199.978 199.877 

Luft 

50.013 

50.033 

199.976 

199.874 

Ar 50.014 50.034 199.971 199.863 

O 2 

50.016 50.035 199.929 199.839 


Tre gaslagar 

V 

PV = konst. 

P 

( t) 

= V 1+α 

0 

v 

( t) 

= P 1+α 

0 

p 

Boyle och Mariotte 1600-talet, när m och t är 

oförändrade. Konstanten beror på m och t. 

Gay-Lussac i början av 1800-talet, när m och P 

är oförändrade. V och V 0 representerar 

gasvolymen vid t o C resp. 0 o C, samt α v är 

gasernas (termiska) volymutvidgningskoefficient 

under ett konstant tryck. 

Charlie i slutet av 1700-talet, när m och V är 

oförändrade. P och P 0 representerar gasvolymen 

vid t o C resp. 0 o C, samt α p är gasernas (termiska) 

tryckutvidgningskoefficient för en konstant 

volym. 


Mätresultaten för PV vid olika P 

P (atm) 

PV (atm-liter) 

H 2 

N 2 

O 2 

Luft 

1 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

1.0000 

100 

1.0690 

0.9941 

0.9265 

0.9730 

200 

1.1380 

1.0488 

0.9140 

1.0100 

500 

1.3565 

1.3900 

1.1560 

1.3400 

1000 

1.7200 

2.0685 

1.7355 

1.9920 


Utvidgningskoefficienterna 

Gas 

α v 

α p 

1/α v 

1/α p 

H 2 

36600·10 -7 

36613·10 -7 

273.22 

273.13 

He 36582·10 -7 36601·10 -7 273.36 273.22 

N 2 

36732·10 -7 36744·10 -7 272.24 273.15 

CO 2 

37414·10 -7 37262·10 -7 267.90 268.37 

Luft 

36760·10 -7 

36750·10 -7 

272.03 

272.11 

α 

= α v = α p 

= 

1 

273.15 

° 


Celsius mot Kelvin 

T = t + 

T 0 

T 0 =273.15 K, den absoluta temperaturen vid 

fryspunkten (av isen) 

Termodynamiska termometerskalan, med T 


Gay-Lussac och Charlies 

V 

= 

V 

0 

αT 

P 

= 

P 

α 0 

T 

T 

= t 

+ 273.15 

V 

T 

P 

T 

= V 0 α = konst . Gay-Lussacs gaslag i Kelvin 

= P 0 α = konst . Charlies gaslag i Kelvin 

PV = konst. 

Boyles gaslag 


Avogadros lag 

Avogadros lag påstår att alla ideala gaser med 

ett lika stort molarantal, oberoende av gastyp, 

rymmer en identisk volym under förutsättningen 

att temperatur och tryck är desamma. 

Under standardtillståndet med T 0 =273.15 K och 

P 0 =1 atm (=1.01325·10 5 Pa), ryms en volym på 

ϖ 0 

= 22.4141 liter av en vilken gastyp som helst 

av ett molarantal. 


Allmänna ideala gaslagen 1 

P = P 2 / T0 

= P1 

/ T1 

0V 

0 

P2V1 

Boyle 

Charlie 

P 0 

V 0 

P 2 

V 1 

P 1 

V 1 

T 1 

T 0 

T 0 

Värmekälla, T 0 Värmekälla, T 1 

Värmekälla, T 0 

Starttillstånd Övergångstillstånd Sluttillstånd 



P1 

T 

2 0 

T1 

P = 

P V 

0 

T 

0 

0 

= 

P V 

1 

T 

1 

1 

PV 

PV 

P V 

PV 

0 0 

= 

1 1 

= L = 

n n 

= = konst 

T T T 

0 1 

n 

T 

. 



Volymen för en ideal gas av n mol:V = nϖ 0 0 

PV 

T 

= 

P 

( nϖ 

) 

T 

= 

n 

PV = nRT 

P0 

T 

0 0 ϖ 0 

0 

0 

= 

nR , där 

R 

= 

Pϖ 

0 

T 

0 

0 

PV 

= 

m 

RT 

µ 

µ molmassan 

m gasvikten 


Gasblandning 1 

Torr luft är ett känt exempel av gasblandning. 

kväve (N 2 , ca 78% i volymprocent) 

syre (O 2 , ca 21%) 

väte (H 2 , 0.00005%) 

koldioxid (CO 2 , 0.03%) 

metan (CH 4 , 0.0002%) 

helium (He, 0.0005%) 

neon (Ne, 0.002%) 

argon (Ar, 0.9%) 

krypton (Kr, 0.0001%) 

xenon (Xe, 0.000009%) 


Gasblandning 2 

Daltons lag: 

P = P + P + L + 

1 

2 

P n 

n 

( P P P ) V ⎜ 

1 2 

+ + L + = + + L + RT 

n 

1 

2 

m1 

m 2 

= + + L 

µ µ 

1 

n 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

+ 

m = m + + L + 

2 

m 

µ 

1 

m n 

µ 

n 

m 

µ 

m m 1 2 

n n 

2 

µ 

= 

m 

µ 

m 

n 

⎟ ⎞ 

⎠ 

Skenbar molmassa 


Van der Waals gaslag 1 

PV = RT 

0 

4 

υ = 4N A πr 

3 

V 

=ϖ 0 0 = 

3 

n=1, d.v.s. en mol gas 

≈ 

22.4 

10 

−5 

m 3 =0.01 liter 

liter, vid 1 atm 

Inverkan av υ: Helt försumbart! 

Avogadros konstant: N A =6.022·10 23 molekyler per mol. 

Typisk radie för en molekyl: 1 Å=10 -10 m. 



V 

PV = RT 

0 

4 

υ = 4N A πr 

3 

=ϖ 0 0 = 

0.0224 

( V − υ ) RT 

P = 

0 

n=1, d.v.s. en mol gas 

3 

≈ 

10 

liter, anta att Boyles lag gäller. 

Inverkan av υ: Viktigt! 

http://www.ict.kth.se/courses/2B1116/ 31 

−5 

m 3 =0.01 liter 

I enlighet med resultaten i Tabell 7.3, sid. 246, KP1


d 

∆ P 

d 

2 

V 0 

P = 

RT 

− 

V −υ 

0 

= 

γ 

∆P 

Attraktionskraften minskar drastiskt när avståndet mellan två 

molekyler ökar. Kraften verkar på ett effektivt avstånd ≤d. 

Kraften blir helt försumbar när avståndet mellan molekylerna är 

större än d. Attraktionskraften är osymmetrisk på så sätt att den är 

mindre mot väggen än mot hållarens inre, vilket leder direkt till en 

minskning http://www.ict.kth.se/courses/2B1116/ av trycket med ∆P. 

32


⎛ 

⎜ 

⎝ 

γ ⎞ 

P + ⎟ − υ = 

V 

2 

0 

0 ⎠ 

( V ) RT 

, för n=1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

P + n 

2 γ 

⎟ − υ = 

V 

2 

0 ⎠ 

( V n ) nRT 

n = 

m 

µ 



Experimentella resultaten av γ och υ i van 

der Waals tillståndsekvation för vissa gaser. 

Gas γ (atm liter 2 molarantal -2 ) υ(liter molarantal -1 ) 

H 2 

5.47 

0.03 

O 2 

1.35 

0.03 

Ar 

1.3 

0.03 

N 2 

1.36 

0.04 

CO 2 

3.6 

0.043 



γ ⎞ 

2 

V ⎟ 

0 ⎠ 

Experimentella resultaten av V 0 

, PV 0 

och ⎜ P ⎟( V − υ ) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

+ 

0 

för en mol kvävgas N 2 

vid 0 o C under 1 till 1000 atm tryck. 

P (atm) 

V 0 

(liter) 

PV 0 

(atm liter) 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

P 

γ 

2 

V 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

+ 

0 

0 

( V − υ ) 

(atm liter) 

1 

22.41 

22.41 

22.41 

100 

0.2241 

22.41 

22.41 

500 

0.06235 

31.17 

22.67 

700 

0.05325 

37.27 

22.65 

900 

0.04825 

43.40 

22.4 

1000 

0.0462 

46.4 

22.0 


När gäller ideala gaslagen? 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

γ ⎞ 

P + ⎟ − υ = 

V 

0 

⎠ 

( V ) RT 

PV = RT 0 

2 

0 

Under vilka förutsättningar gäller ideala gaslagen? 

Ett lågt tryck ger en låg molekyldensitet. Då blir 

betydelsen av molekylernas totala volym 

försumbar, d.v.s. υ→0; 

En hög temperatur ger höga kinetiska energier 

hos molekylerna. Då blir betydelsen av potentiella 

energier mellan molekylerna försumbara, 

d.v.s. γ→0. 


Frågelek 

Man pumpar luft in i ett bildäck till ett visst tryck enligt 

instruktionen. Varför brukar man behöva pumpa in mer 

luft under vinter även om det inte finns något läckage? 

1) Därför att tyngdaccerelationen blir större under vintern. Då trycks 

däcket ihop mer av bilens tyngd. Mer luft i däcket motverkar 

tyngdaccerelationens effekt. 

X) Därför att lufttrycket i däcket blir lägre under vintern. Då minskar 

däckets luftvolym. Mer luft i däcket motverkar minskningen av däckets 

volym. 

2) Därför att däckets gummi krymper under vintern. Då minskar 

däckets luftvolym. Mer luft i däcket motverkar minskningen av däckets 

volym. 


Dagens frågor 

1. Vad är det viktigaste jag har lärt mig 

från dagens föreläsning? 

2. Vad var den viktigaste fråga som ej 

besvarades under dagens föreläsning? 


Kunskaps uppbyggnad 

Modellering 

Dimensionsanalys Felanalys 

Dividerade differenser 

Polynom 

Derivering 

Proportionalitet 

Modellutveckling Minstakvadratmetoden 

Enhet Matlab Uppskattning 

Differenser 

Noggrannhetssanalys 


Lycka till !!! 

‣Tentamen den 19:e okt. 

‣Studier på KTH

T - KTH

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?