MMVN01 Aerodynamik och kompressibel strömning — Repetitionsfr ...

MMVN01 Aerodynamik och kompressibel strömning — Repetitionsfrågor
(med förslag till svar, endast några figurer; C. Norberg, 22 februari 2011)
Kapitel 1 — Aerodynamik, inledning
1.1 Betrakta en omströmmad kropp som anströmmas med konstant lufthastighet V ∞ vid inkompressibla
förhållanden. Definiera
(a) luftens dynamiska tryck q ∞ relativt kroppen
q ∞ = ρ ∞ V 2 ∞ /2, där ρ ∞ är luftens densitet långt från kroppen på samma lodräta höjd.
(b) tryckkoefficienten C p på kroppens yta
C p = (p−p ∞ )/q ∞ , där p ∞ är statiska trycket långt från kroppen på samma lodräta höjd; q ∞ är
motsvarande dynamiska tryck.
(c) friktionskoefficienten c f på kroppens yta
c f = τ/q ∞ , där τ är väggskjuvspänningen och q ∞ är dynamiska trycket i friströmmen.
Ingående storheter ska klarläggas.
1.2 Beskriv skillnaden mellan en ändlig vinge och en vingprofil.
En vingprofil är ett tvärsnitt genom en ändlig vinge, vinkelrätt mot vingens framkant.
1.3 Betrakta en ändlig vinge med planarean S och vingbredden b som anströmmas med konstant
lufthastighet V ∞ vid inkompressibla förhållanden.
Definiera eller förklara kortfattat
(a) lokal kordalinje (vingprofil)
= den räta linjen mellan profilens fram- och bakkant.
(b) lokal anfallsvinkel α (vingprofil)
= vinkeln mellan den lokala kordalinjen och friströmmen (friströmshastigheten V ∞ ).
(c) vingens medelkorda c
c = S/b, där S är vingens planarea, b avståndet mellan vingspetsarna (vingbredden).
(d) vingens lyftkraftskoefficient C L
C L = L/(q ∞ S), där L är resulterande aerodynamisk lyftkraft, vinkelrät mot friströmmen; q ∞ är
friströmmens dynamiska tryck och S vingens planarea.
(e) vingens momentkoefficient C M
C M = M/(q ∞ Sc), där M är resulterande vridande moment kring någon vingbaserad axel; q ∞ är
friströmmens dynamiska tryck, S vingens planarea och c vingens medelkorda.
(f) tryckcentrum (längs lokal kordalinje)
Tryckcentrum är den punkt längs kordalinjen kring vilken det aerodynamiska vridande momentet är
noll; verkansposition för resulterande aerodynamiska kraft vinkelrätt mot kordalinjen (Fig. 1.26).
Vid definition via matematiskt uttryck skall ingående storheter klarläggas.
1.4 Lyftkraften L på en flygplansvinge med vingbredd b kan vid stationära förhållanden antas bero
endast av följande oberoende storheter: vingens medelkorda c, planets hastighet V ∞ gentemot
omgivande luft, luftens densitet ρ ∞ , viskositet µ ∞ och ljudhastighet a ∞ vid planets konstanta
höjd över havsnivån, samt vingens (medel-)anfallsvinkel α, L = f(c,V ∞ ,ρ ∞ ,µ ∞ ,a ∞ ,α).
Visa att C L = φ(Re,M ∞ ,α); Re = Reynolds tal, M = Machtal.
Enheter (dimensioner) i MLT-systemet: {L} = MLT −2 (1 N = 1 kgm/s 2 ); {c} = L; {V ∞ } =
LT −1 ; {ρ ∞ } = ML −3 ; {µ ∞ } = ML −1 T −1 (1 Pas = 1 N/(m 2 s)); {a ∞ } = LT −1 ; {α} = 1; tre
primära dimensioner (M, L och T); reduktionen är här lika med antalet primära dimensioner, r =
1

3, ty (ρ ∞ ,V ∞ ,c) kan inte tillsammans bilda en Π-grupp, endast ρ ∞ innehåller M, endast V ∞ innehåller
T; (ρ ∞ ,V ∞ ,c) kan därför användas för att göra resterande n−r = 4 variabler dimensionslösa;
Π 1 = g(Π 2 ,Π 3 ,Π 4 ). Π 1 = Lρ a ∞ V ∞ b cc ⇒ a = −1, b = −2, c = −2, Π 1 = L/(ρ ∞ V∞ 2c2 ).
Π 2 = µ −1
∞ ρa ∞ V ∞ b cc ⇒ Π 2 = ρ ∞ V ∞ c/µ ∞ = Re; Π 3 = V ∞ /a ∞ = M ∞ ; Π 4 = α. Eftersom S = bc =
ARc 2 ∝ c 2 fås C L = 2L/(ρ ∞ V∞ 2S) = φ(Re,M ∞,α).
1.5 Betrakta ett flygplan i planflykt med konstant hastighet V ∞ . Planets tyngd (netto) är W och
motorernas dragkraft T. Vingarnas totala planarea är S; luftens densitet vid aktuell flyghöjd ρ ∞ .
(a) Ange hur W och T är relaterade till planets lyftkraft L och strömningsmotstånd D.
Vid planflykt balanseras planets dragkraft T av planets strömningsmotstånd D och planets tyngd
W av planets lyftkraft L; T = D och W = L (Fig. 1.31).
(b) Ange hur planets hastighet beror av planets aktuella lyftkraftskoefficient C L samt definiera
planets s.k. stallhastighet V stall .
Med C L = L/(q ∞ S), där q ∞ = ρ ∞ V∞/2 2 och L = W fås V ∞ = √ √
2W/(ρ ∞ SC L ). Planets lägsta
hastighet, stallhastighet, motsvarar därför maximal C L , V stall = 2W/(ρ ∞ SC L,max ).
(c) Beskriv schematiskt hur lyftkrafts- och motståndskoefficienten samt kvoten mellan lyftkraft
och strömningsmotstånd varierar med anfallsvinkeln.
Se Fig. 1.32 och Fig. 1.36
1.6 Definiera vad som avses med (a) subsonisk, (b) transsonisk, och (c) supersonisk strömning för en
omströmmad kropp. Diskutera speciellt avgränsningar avseende Machtal för slanka kroppar (eng.
slender bodies).
(a) Vid subsonisk strömning är M < 1 överallt; för en slank kropp, ex. tunn vinge, gäller approximativt
att M ∞ < 0.8 ger subsoniska förhållanden. (b) Vid transsonisk strömning finns områden
i strömningsfälet med både M < 1 och M > 1; för en slank kropp fås transsoniska förhållanden
approximativt i intervallet 0.8 < M ∞ < 1.2. (c) Vid supersonisk strömning är M > 1 överallt
(utom allra närmast ytan); för en slank kropp gäller approximativt att M ∞ > 1.2 ger supersoniska
förhållanden (strömning vid mycket höga Machtal, approximativt M ∞ > 5, brukar benämnas
hypersonisk strömning).
1.7 Illustrera schematiskt hur den sektionsvisa motståndskoefficienten p.g.a. ytfriktion C f varierar
med Reynolds tal för en plan och slät platta i tangentiell anströmning.
Se Fig. 1.56; c = plattans längd, korda. För laminärt gränsskikt längs hela plattan, upp till ca.
Re = ρ ∞ V ∞ c/µ ∞ = 5×10 5 , gäller C f ∝ Re −0.5 (Ch. 18); vid högre Re sker omslag till turbulent
gränsskikt, med start i bakkant, vilket ökar C f ; med successivt ökande Re flyttas positionen för
omslag alltmer mot framkanten och vid mycket höga Re, approximativt för Re > 10 7 , avtar C f
approximativt som C f ∝ Re −0.2 (Ch. 19).
1.8 Beskriv aerodynamiskt skillnaden mellan en trubbig kropp (eng. blunt or bluff body) och en slank
kropp (eng. slender or streamlined body).
För en aerodynamiskt trubbig kropp och högt Reynolds tal dominerar tryckkrafternas bidrag till
det totala strömningsmotståndet; sfären och den vinkelrätt anströmmade cylindern med cirkulärt
tvärsnitt är exempel på trubbiga kroppar. För en aerodynamiskt slank kropp och högt Reynolds
tal dominerar ytfriktion, d.v.s. de viskösa yttangentiella krafterna; (tunna) vingar är typiska slanka
kroppar. (Vid extremt höga Re, även för slanka kroppar, kommer till slut tryckkrafterna att
dominera strömningsmotståndet).
1.9 Beskriv vad som avses med en s.k. bakkantsklaff påen vinge (eng. trailing edge flap) samt illustrera
schematiskt hur lyftkraftskoefficienten varierar med anfallsvinkeln vid olika inställningar på denna
typ av klaff.
Se Fig. 1.62, se även Fig. 4.54. M.h.a. en bakkantsklaff, en rörlig klaff i bakkant på vingen, kan
karakteristiken för C L (α) varieras genom att variera klaffvinkeln. Om klaffen vinklas nedåt fås
ökad C L vid given anfallsvinkel α (om inte α är alltför hög); ofta fås även att C L,max ökar. (Att
2

använda bakkantsklaff verkar enbart gynnsamt men med klaffen i vinklat läge ökar C D vilket är
ogynnsamt vid t.ex. planflykt; bakkantsklaff utnyttjas mest vid start och landning.)
Kapitel 2 — Grundläggande samband
2.1 Vad beskriver divergensen av hastighetsvektorn fysikaliskt? Skriv ut denna skalära funktion i
Cartesiska koordinater (rätvinkliga koordinater x, y, z).
Divergensen av hastighetsvektorn, ∇·V, beskriver relativ volymsförändring per tidsenhet av ett
fluidelement. Med ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) och V = (u,v,w) fås ∇·V = ∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z.
2.2 Härled den differentiella formen av kontinuitetsekvationen. Specialisera sedan till inkompressibel
strömning.
Divergensteoremet: ∫ S A·dS = ∫ V (∇·A)dV
Betrakta en liten rätvinklig kontrollvolym (CV) runt en viss punkt, sidlängder dx, dy, och dz;
volym dV = dxdydz. Massbalans kräver att nettomassflödet ut ur CV genom dess kontrollytor CS
måste balanseras av minskningen av massa per tidsenhet inom CV,
(ṁ net,out ) CS = − ∂ ∂t
∫
CV
∫
∂ρ
ρdV = −
CV ∂t dV
Då CV är pytteliten behövs ingen volymsintegrering i högerledet, kan ersättas med −(∂ρ/∂t)dV.
Nettomassflöde ut ur CS i x-riktningen: (∂ṁ x /∂x)dx. Variationer över tvärsnitt kan försummas,
d.v.s. ṁ x = (ρu)dydz. P.s.s. i övriga riktningar ger
(ṁ net,out ) CS =
Omstuvning och division med dV ger
[ ∂
∂x (ρu)+ ∂ ∂y (ρv)+ ∂ ∂z (ρw) ]
dxdydz = [∇·(ρV)]dV
∂ρ
∂t + ∂
∂x (ρu)+ ∂ ∂y (ρv)+ ∂ ∂ρ
(ρw) =
∂z ∂t +∇·(ρV) = 0
OBS! Samma resultat kan fås via divergensteoremet eftersom
∫
(ṁ net,out ) CS =
CS
∫
(ρV)·dS =
Inmkompressibel strömning innebär konstant densitet ρ, d.v.s.
CV
∂u
∂x + ∂v
∂y + ∂w
∂z = ∇·V = 0
∇·(ρV)dV
2.3 Newtons andra lag uttryckt för en kontrollvolym V med kontrollytor S lyder:
∫ ∫ ∫ ∫
∂
ρVdV + (ρV·dS)V = − pdS+ ρf dV +F viscous
∂t V S
S V
där f representerar volymskraft per massenhet.
Skriv ut x-komposanten av impulsekvationen på differentiell form i Cartesiska koordinater.
Divergensteoremet: ∫ S A·dS = ∫ V (∇·A)dV; gradientteoremet: ∫ pdS = ∫ V ∇pdV.
M.h.a. gradientteoremet kan ∫ S pdS ersättas med ∫ V
∇pdV. I x-riktningen och med V = (u,v,w)
kan andra integralen via divergensteoremet skrivas
∫ ∫ ∫
(ρV·dS)u = (ρuV·dS) =
S
S
V
∇·(ρuV)dV
I första integralen kan ordning på tidsderivering och integration kastas om,
3

∫ ∫
∂ ∂(ρV)
ρVdV = dV
∂t V V ∂t
Eftersom F viscous = ∫ V (F x) viscous dV, där (F x ) viscous är lokal viskös kraft per volymsenhet, är nu alla
termer en volymsintegral översamma volym. Medf = (f x ,f y ,f z ) och ∇p = (∂p/∂x,∂p/∂y,∂p/∂z)
fås därför i x-riktningen:
∂(ρu)
∂t
+∇·(ρuV) = − ∂p
∂x +ρf x +(F x ) viscous
2.4 Betraktaströmningenkringensymmetrisktvå-dimensionellkropp(ettsymmetriskttvärsnittaven
långsträcktcylindriskkropp)vidstationärainkompressiblaförhållanden,speciellt enkontrollvolym
som omsluter kroppens tvärsnitt men exkluderar själva tvärsnittet. Den strömningskraft R som
strömningen utverkar på kroppen kan via impulsekvationen skrivas:
∫ ∫
R = − (ρV·dS)V− pdS
S outer S outer
där S outer är kontrollvolymens yttre begränsningsytor. Kroppens anströmmas med en konstant
hastighet U; kroppens tvärsnitt vinkelrätt anströmningen är d.
(a) Visa att kroppens strömningsmotstånd per breddenhet kan skrivas:
∫ ∞
D ′ = ρ u(U −u)dy
−∞
där u(y) är hastighetskomposanten i anströmningsriktningen i utloppstvärsnittet.
Om kontrollvolymen (Fig. 2.20a) antas vara i ett horisontellt plan och att dess yttre begränsningsytor
är tillräckligt långt från kroppen är dessa ytor vid ett konstant tryck (omgivningstryck).
Den andra integralen är därför noll. Med U i x-riktningen är strömningskraftens komposant i
denna riktning lika med kroppens strömningsmotstånd, R x = bD ′ , där b är kroppens bredd. Med
dS = bdS ′ och inkompressibla förhållanden fås
∫
D ′ = −ρ u(V·dS ′ )
outer
Låt nu (som i Fig. 2.20a) kontrollvolymens begränsningsytor i y-led vara längs strömlinjer (strömytor)
på ömse sidor om kroppen; långt uppströms vid y = ±H 1 , långt nedströms vid y = ±H 2 .
Längs strömytorna fås inget bidrag till integralen eftersom ytnormalen är vinkelrät mot hastigheten,
V·dS ′ = 0. Vid inloppet är u = U och V·dS ′ = −U dy, vid utloppet V·dS ′ = udy,
d.v.s.
D ′ /ρ =
∫ H1
−H 1
U 2 dy −
∫ H2
−H 2
u 2 dy = 2H 1 U 2 −
∫ H2
−H 2
u 2 dy
Strömytor på ömse sidor innebär samma volymflöde vid in- och utlopp, 2UH 1 = ∫ H 2
−H 2
udy ⇒
D ′ /ρ =
∫ H2
−H 2
uU dy −
Med H 2 → ∞ fås det sökta sambandet.
∫ H2
−H 2
u 2 dy =
∫ H2
−H 2
u(U −u)dy
(b) Visa ur (a) att kroppens motståndskoefficient kan beräknas från
C D = 4
∫ η∞
0
û(1−û)dη, û = u/U, η = y/d, |η| > η ∞ ⇒ û = 1.
Med û = u/U och η = y/d och utnyttjad symmetri fås
∫ η∞
D ′ = 2ρU 2 d û(1−û)dη
0
C D = 2D ′ /(ρU 2 d) och inget bidrag för η > η ∞ ger det sökta sambandet.
4

2.5 Ett hastighetsfält V är beskrivet i ett Cartesiskt koordinatsystem. Använd kedjeregeln för att
uttrycka den materiella accelerationen i x-led (a x ) i en lokal och en konvektiv del. Förklara fysikaliskt
vad de båda delarna betyder.
Accelerationen i x-led för ett fluidelement är lika med dess hastighetsförändring per tidsenhet, a x =
du/dt. Eftersom elementet förutsätts i rörelse varierar dess koordinater med tiden; hastigheten kan
dessutom ha ett rent tidsberoende, d.v.s.
a x = du
dt = d dt
u[x(t),y(t),z(t),t] =
∂u
∂x
Eftersom u = dx/dt, v = dy/dt, w = dz/dt fås
(dx/dt)+
∂u
∂y
a x = ∂u
∂t +u∂u ∂x +v∂u ∂y +w∂u ∂z = ∂u
∂t +(V·∇)u
∂u ∂u
(dy/dt)+ (dz/dt)+
∂z ∂t
där ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z) är gradientoperatorn. Den första termen är acceleration p.g.a. lokal
tidsvariation. Den andra termen (med bidrag i alla riktningar) uttrycker partikelns acceleration
p.g.a. att den rör sig (konvekteras) i hastighetsfältet.
2.6 Definiera alt. beskriv kortfattat (a) partikelbana, (b) strömlinje, (c) stråklinje.
(a) En partikelbana är ett fluidelements (en fluidpartikels) faktiska rörelsebana i rummet. (b) längs
en strömlinje är hastighetsvektorn parallell med en förflyttningsvektor längs linjen (i varje punkt).
(c) En stråklinje den tänkta linje som motsvarar sammanbundna positioner för fluidpartiklar som
tidigare passerat en viss punkt.
2.7 Visa att följande (tre) differentiella relationer gäller för en strömlinje:
dx
u = dy
v = dz
w
För en strömlinje är hastighetsvektorn parallell med en förflyttningsvektor längs linjen, vilket innebär
att kryssprodukten mellan dessa vektorer är noll, dx×V = 0. Via uppställning med determinant
fås
(wdy −vdz,−wdx+udz,vdx−udy) = (0,0,0)
d.v.s. dy/v = dz/w, dz/w = dx/u och dx/u = dv/v, vilket kan uttryckas på den angivna formen.
2.8 Skriv ut rotationen av ett hastighetsfält V = (u,v,w) i Cartesiska koordinater. Vad kallas denna
vektor och vad beskriver den fysikaliskt? Verifiera att vektorn endast har en komposant vid plan
strömning, V = (u,v,0).
ξ = ∇×V kallas vorticitetsvektorn och representerar dubbla momentana vridningshastigheten för
ett (initialt kubiskt) fluidelement, moturs. ξ kan uttryckas m.h.a. en determinant,
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u v w
=
( ∂w
∂y − ∂v ) ( ∂u
i+
∂z ∂z − ∂w ) ( ∂v
j+
∂x ∂x − ∂u )
k
∂y
Om V = (u,v,0), där u(x,y) och v(x,y), fås ξ x = ξ y = 0, ξ z = ∂v/∂x−∂u/∂y.
2.9 Betrakta ett från början kvadratiskt infinitesimalt fluidelement vid plan strömning, V = (u,v,0).
(a)Angevorticitetvektornsendakomposantsamtvisaattdennamotsvarardendubblamomentana
vridningshastigheten (moturs) för diagonalen av elementet.
ξ z = ∂v/∂x −∂u/∂y. Se Fig. 2.33, fast låt elementet vara kubiskt. Betrakta deformationer under
en försvinnande kort tidsrymd dt → 0. Hastighetens förändring i y-riktningen från v vid A till v+
(∂v/∂x)dx vid C innebär en vridning moturs av linjen AC med vinkeln dθ 1 = (∂v/∂x)dxdt/dx =
(∂v/∂x)dt (Observera att längdförändringen av dx kan försummas, liksom att vinkeln är liten,
5

tanθ = θ); moturs vridningshastighet dθ 1 /dt = ∂v/∂x. På samma sätt, medurs vridningshastighet
av linjen AB: dθ 2 /dt = ∂u/∂y. Då dx = dy (och endast då) representerar (dθ 1 /dt−dθ 2 /dt)/2 =
(∂v/∂x − ∂u/∂y)/2 = ξ z /2 den momentana vridningshastigheten moturs av elementets diagonal
kring z-axeln.
(b) Tidsförändringen av den vinkel som från början var vinkelrät i xy-planet är elementets skjuvtöjningshastighet
ǫ xy . Visa att
ǫ xy = ∂v
∂x + ∂u
∂y .
Se Fig. 2.33. Beteckna vinkeln mellan linjerna AB och AC med κ. I utgångsläget är denna vinkel
90 ◦ . Under en liten tidsrymd dt förändras denna vinkel; minskning per tidsenhet: dκ/dt = dθ 1 /dt+
dθ 2 /dt. Eftersom vinkelförändringarna är försvinnande små och dx och dy ytterst korta med försvinnande
liten längdförändring fås att dθ 1 /dt = ∂v/∂x, dθ 2 /dt = ∂u/∂y.
2.10 (a) Definiera cirkulation Γ kring en sluten kurva C.
Γ = − ∫ C
V·ds, där ds är en moturs förflyttningsvektor längs den slutna linjen C, se Fig. 2.38.
(b) Hur är Γ relaterad till vorticitetsvektorn ξ?
Om kurvan C är extremt liten och kring en punkt representerar −Γ vorticitetsvektorns projicerade
värde per areaenhet utefter den normalvektor som ges av ytan som innefattas av C, uttryckt
matematiskt:
∫
−Γ =
S
ξ ·ndS
där ξ = ∇×V är vorticitetsvektorn, n en ytnormalvektor.
2.11 Betrakta tvådimensionell inkompressibel strömning i ett plan, V = (u,v,0), där u(x,y), v(x,y).
(a) Definiera strömfunktionen ψ samt visa att ψ uppfyller Laplaces ekvation ∇ 2 ψ = 0 om strömningen
är rotationsfri.
ψ definieras så att kontinuitetsekvationen blir identiskt uppfylld. Vid inkompressibel 2-D strömning
kan denna ekvationen skrivas: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0, vilken är identiskt uppfylld om u = ∂ψ/∂y,
v = −∂ψ/∂x. Rotationsfri strömning innebär att ξ z = ∂v/∂x − ∂u/∂y = 0, vilket med insatta
definitioner ger −∂ 2 ψ/∂x 2 −∂ 2 ψ/∂y 2 = −∇ 2 ψ = 0 ⇒ ∇ 2 ψ = 0.
(b) Visa att ψ = konst. motsvarar strömlinjer samt att skillnaden i strömfunktionens värden
mellan två strömlinjer motsvarar volymflödet per breddenhet.
Längs en linje ψ = konst. är dψ = 0. Eftersom ψ = ψ(x,y) gällerdψ = (∂ψ/∂x)dx+(∂ψ/∂y)dy =
−vdx+udy. En liten förflyttningsvektor (dx,dy,0) längs strömlinjen är parallell med hastighetsvektorn
(u,v,0), d.v.s. v/u = dy/dx eller udy −vdx = 0 = dψ.
Betrakta nu två närliggande strömlinjer, med differentiell skillnad dψ i strömfunktion (Fig. 2.41).
Eftersom inget kan strömma tvärs en strömlinje så är volymflödet (per breddenhet) konstant mellan
linjerna, och kan uttryckas som udy − vdx = dψ. Detta visar att det volymfödet mellan två
godtyckliga strömlinjer kan uttryckas som ∫ dψ = ∆ψ.
2.12 (a) Definiera hastighetspotentialen φ via ett implicit uttryck innehållande V.
V = ∇φ, där ∇ är gradientoperatorn.
(b) Ange villkoret för existens av φ.
Villkoret är att strömningen är rotationsfri, ∇×V = 0.
(c) Visa att strömlinjer och ekvipotentiallinjer är vinkelräta mot varandra (plan strömning).
Längs strömlinjer vid plan strömning är k ψ = dy/dx = v/u. Längs en ekvipotentiallinje gäller
φ = konst., d.v.s. dφ = 0. Vid plan strömning gäller dφ = (∂φ/∂x)dx+(∂φ/∂y)dy = udx+vdy,
vilket ger k φ = dy/dx = −u/v. Eftersom k φ = −1/k ψ är dessa linjer vinkelräta.
6

Kapitel 3 — Inkompressibel potentialströmning i ett plan
3.1 Visa att tryckkoefficienten C p kan skrivas som C p = 1 − (V/V ∞ ) 2 vid inkompressibel potentialströmning
med försumbara masskrafter.
Under dessa förutsättningar gäller Bernoullis ekvation mellan varje punkt, speciellt mellan en
punkt i friströmmen och någon annan. Konstant densitet innebär att p ∞ +ρ ∞ V 2 ∞ /2 = p+ρ ∞V 2 /2,
d.v.s. p−p ∞ = q ∞ (1−(V/V ∞ ) 2 ), där q ∞ = ρ ∞ V 2 ∞ /2. C p = (p−p ∞ )/q ∞ ger det sökta uttrycket.
3.2 (a) Härledendifferentialekvation förhastighetspotentialen φvidrotationsfriinkompressibelströmning.
Vad kallas ekvationen?
Från matematik (vektoranalys) gäller att om ett vektorfält är rotationsfritt kan det uttryckas som
gradienten av en skalär funktion. I detta fall V = ∇φ, där φ är hastighetspotentialen. Vid inkompressibel
strömning gäller ∇·V = 0 (kontinuitetsekvationen). Kombinerat med definitionen ger
∇·(∇φ) = ∇ 2 φ = 0, vilket är Laplaces ekvation.
(b) Ange randvillkor för φ vid strömning kring en fast kropp utan inverkan av fria vätskeytor.
Ingen strömning tvärs fasta ytor innebär att normalhastigheten är noll, d.v.s. ∂φ/∂n = 0, där
n är vinkelrät mot ytan. På stora avstånd från kroppen kan hastighetsfältet antas givet; känd
hastighetsvektor, V = ∇φ, innebär kända derivator av φ i de olika koordinatriktningarna.
3.3 Härled en ekvation för strömlinjerna tillhörande en dubblett med styrkan κ = 2aΛ placerad i
(omkring) origo utefter x-axeln. Slutekvationen ska vara uttryckt i polära koordinater (r,θ). Rita
schematiskt ett par strömlinjer.
Ledning: Strömfunktionen för en linjekälla med styrkan Λ i x = −a,y = 0:
ψ k = Λ 2π tan−1
Dessutom gäller följande trigonometriska samband:
y
x+a
tan(α−β) = tanα−tanβ
1+tanαtanβ
Linjesänkan i x = a har strömfunktionen ψ s = −mtan −1 y
med linjekälla i x = −a ger
ψ/m = tan −1
x−a
y y
x+a −tan−1 x−a = α−β
Tangenten av bägge sidor och utnyttjande av ledningen ger
, där m = Λ/(2π). Superposition
tan(ψ/m) = tan(α−β) = y/(x+a)−y/(x−a)
1+y 2 /(x 2 −a 2 )
=
−2ay
x 2 −a 2 +y 2
När nu arcustangent tas på bägge leden kan det i gränsövergången a → 0 utnyttjas att tan −1 ǫ = ǫ
när ǫ → 0. Detta ger
ψ = − 2may
x 2 +y 2
Med 2ma = κ/(2π) samt x = rcosθ, y = rsinθ, x 2 +y 2 = r 2 fås
För skiss av strömlinjer, se Fig. 3.25.
ψ = − κ sinθ
2π r
7

3.4 Den tvådimensionella potentialströmningen kring en cirkulär cylinder ges av superposition av en
dubblet i origo, ψ 1 = −κ(2πr) −1 sinθ, samt en parallellströmning, ψ 2 = V ∞ rsinθ. Det statiska
trycket på stort uppströms avstånd längs x-axeln är p ∞ . Bestäm
(a) hastighetsfältet (v r = r −1∂ψ
∂θ , v θ = − ∂ψ
∂r
), (b) cylinderns radie R, (c) tryckfördelningen längs
cylinderytan uttryckt som en tryckkoefficient C p .
(a) Med förkortning λ = κ/(2π) ger superposition:
[ ]
ψ = −λr −1 sinθ+V ∞ rsinθ +C = V ∞ rsinθ 1−λ/(V ∞ r 2 ) +C ⇒
v r = 1 (
∂ψ
r ∂θ = 1− λ )
V ∞ r 2 V ∞ cosθ
v θ = − ∂ψ (
∂r = − 1+ λ )
V ∞ r 2 V ∞ sinθ
(b) På cylinders yta r = R måste v r = 0, d.v.s. R = √ λ/V ∞ = √ κ/(2πV ∞ ).
(c) Bernoullis ekvation mellan en punkt i friströmmen (p = p ∞ ) och en punkt på ytan (p = p s ),
där v θ = −2V ∞ sinθ ger
p ∞ + ρV 2 ∞
2
= p ∞ +q ∞ = p s + ρv2 θ
2 = p s +q ∞ 4sin 2 θ ⇒ C p = p−p ∞
q ∞
= 1−4sin 2 θ
3.5 För en linjevirvel placerad i origo är v θ = C/r, övriga komposanter noll. Bestäm cirkulationen
kring en kurva som omsluter denna virvel.
Låt den slutna kurvan vara en cirkel med radie R, V = v θ = C/R, ds = Rdθˆθ ⇒ V·ds = Cdθ;
Γ = − ∫ 2π
0
Cdθ = −2πC.
3.6 (a) Vid plan, inkompressibel potentialströmning kring en cylinder med centrum i origo och med
cirkulation Γ är hastigheten längs kroppsytan (r = R) lika med
v θ = −2V ∞ sinθ − Γ
2πR
där V ∞ är den ostörda hastigheten på stora avstånd (polära koordinater r och θ). Visa via integrationer
att strömningsmotståndet D är noll samt att lyftkraften per breddenhet L ′ är lika med
ρV ∞ Γ. OBS! ∫ 2π
0 (sinθ)2 dθ = π.
Strömningsmotstånd per breddenhet, D ′ = − ∫ 2π
0 (p s−p ∞ )cosθRdθ; lyftkraft per breddenhet, L ′ =
− ∫ 2π
0 (p s −p ∞ )sinθRdθ. Bernoullis ekvation, p ∞ +ρV∞/2 2 = p ∞ +q ∞ = p s +ρvθ 2 /2, ger
C p = p s −p ∞
q ∞
= 1−4sin 2 θ −4β s sinθ−β 2 s
där β s = Γ/(2πV ∞ R). Integralen av (sinθ) n cosθ över intervallet 0−2π är noll för alla exponenter
n. Alla termer i uttrycket för D ′ är av denna typ, d.v.s. D ′ = 0. Integralen av (sinθ) n över
intervallet 0 − 2π är noll för alla udda exponenter n. Den enda term som blir kvar är den som
innehåller sin 2 θ = (sinθ) 2 . Med ledningen fås
L ′ = ρV 2 ∞
2 R(4β s)π = ρV ∞ Γ
(b) Beskriv grafiskt m.h.a. strömlinjer hur hastighetsfältet förändras med β = Γ/(4πV ∞ R).
Se Fig. 3.33; för 0 < β < 1 fås två symmetriskt placerade stagnationspunkter på undre ytan; för
β = 1 har dessa kommit tillsammans längst ned på cylindern (x = 0, y = −R) och för β > 1
vandrar stagnationspunkten vid ökande β nedåt längs y-axeln.
8

3.7 Formulera Joukowskys (Zhukovskiis) lyftkraftsteorem vid plan, tvådimensionell, inkompressibel
potentialströmning. Definiera ingående storheter. Illustrera schematiskt i figur.
Vid plan inkompressibel potentialströmning gäller att lyftkraften per breddenhet på en godtycklig
sluten kroppskontur som anströmmas med en konstant hastighet V ∞ är lika med ρ ∞ V ∞ Γ, där
Γ är nettocirkulationen runt konturen; ρ ∞ fluidens densitet. Lyftkraftens riktning är 90 ◦ från
friströmmen, vriden motsatt cirkulationen. En enkel skiss kan t.ex. vara en vingprofil som anströmmas
från vänster med positiv cirkulation. Lyftkraften är då uppåt.
3.8 Betrakta viskös inkompressibel strömning kring en slät cylinder med cirkulärt tvärsnitt i vinkelrät
anströmning. Medelströmningen kan betraktas som tvådimensionell.
(a) Beskriv i ett schematiskt log-log-diagram hur motståndskoefficienten för cylindern varierar
med Reynolds tal inom intervallet Re = 0.1−10 7 .
Se Fig. 3.44 (Fig. 3b i lab-PM-1, Re = 10 −10 7 ). Från Re = 0.1 upp till ca. Re = 100 minskar
C D kraftigt; upp till ca. Re = 10 3 minskar C D ytterligare men inte så kraftigt, till ett minimum
strax under C D = 1. Vid ca. Re = 10 4 når C D upp till en platå vid ca. C D = 1.2. Vid ca.
Re = 2×10 5 minskar C D mycket kraftigt, når ett minimum på ca. C D = 0.25 vid Re = 5×10 5 ;
vid ca. Re = 4×10 6 nås en ny platå vid ca. C D = 0.6.
(b) Beskriv kortfattat olika strömningsområden avseende intervall i Reynolds tal. Vid vilket ungefärligt
Reynolds uppstår turbulent strömning i fältet? Vid vilket ungefärligt Reynolds fås omslag
till turbulent gränsskikt?
Se Fig. 3.45/6/7/8, text i lab-PM-2. Upp till ca. Re = 6 är sker ingen avlösning, strömningen
laminär och till synes nästan symmetrisk (Fig. 3.46). Strax över Re = 6 bildas via avlösning
två motroterande virvlar i vakområdet (Fig. 3.47); med ökande Re växer virvlarnas storlek och
vid ca. Re = 47 sker en vakinstabilitet som ger en periodisk virvelupprullning med karakteristiskt
virvelmönster (von Kármáns virvelgata, Fig. 3.48); strömningen dock fortfarande laminär. Vid
ca. Re = 200 utvecklas tredimensionella vakinstabiliteter och efter ca. Re = 300 är strömningen i
vakområdet turbulent, strömningen nära cylinderns yta dock laminär, speciellt vid avlösning. Upp
till ca. Re = 2 × 10 5 sker avlösning under laminära fast tidsberoende förhållanden (Fig. 3.45d).
Strax över Re = 2 × 10 5 når omslaget till turbulent strömning avlösningsområdet och ökat Re
innebär att strömningen återanlägger mot ytan; då den slutliga avlösningen nu sker efter krönet
på cylindern (på baksidan) och under turbulenta förhållanden sker detta vid en väsentligt högre
tryckkoefficient C p vilket kraftigt minskar C D då nu formmotståndet är helt dominerande. Vid
ännu högre Re försvinner återanläggningen mot ytan, och omslag till turbulent strömning sker nu
i gränsskiktet, avlösning fortfarande på baksidan men inte lika långt nedströms (Fig. 3.45e).
Kapitel 4 — Inkompressibel strömning över vingprofiler
4.1 Definiera eller förklara kortfattat
(a) välvningslinje (eng. mean camber line)
Se Fig. 4.8. Välvningslinjen definieras av att den lokalt ligger halvvägs mellan profilens övre och
undre yta, vinkelrätt mot linjen självt.
(b) maximal välvning (eng. camber)
= välvningslinjens maximala vinkelräta avstånd från kordalinjen.
(c) vingtjocklek (eng. thickness)
Profilens lokala tjocklek är avståndet mellan över- och undersida, vinkelrätt mot kordalinjen.
(d) NACA-profil
En NACA-profil är en vingprofil med speciell logisk numrering för att kunna identifiera viss del av
dess geometri och vissa aerodynamiska egenskaper; systemet skapades under 1930-talet i USA. De
två sista siffrorna i numreringen är oftast profilens tjocklek i procent.
Vid definition via matematiskt uttryck skall ingående storheter klarläggas. Illustrera i förekommande
fall (a–c) med enkel figur.
9

4.2 Betrakta strömning kring en typisk välvd men tunn vingprofil, ex. NACA 2412; Re > 10 6 .
(a) Illustrera hur den sektionsvisa lyftkraftskoefficienten c l varierar med anfallsvinkeln α. Skissera
strömningsförhållanden för små resp. stora anfallsvinklar. Ange typiska värden på c l,max , α L=0
och α stall . Hur inverkar Reynolds tal?
Se Fig. 4.9/10. Typiska värden: c l,max = 1.6, α L=0 = −2 ◦ , α stall = 16 ◦ .
(b) Definiera eller förklara kortfattat vad som avses med profilens aerodynamiska centrum (eng.
aerodynamic center).
Den punkt inom profilen kring vilken det aerodynamiska momentet är oberoroende av anfallsvinkeln
(vid små anfallsvinklar) kallas profilens aerodynamiska centrum; är vid subsoniska förhållanden
oftast i eller nära av en kvarts korda från framkanten (längs kordalinjen).
(b) Illustrera hur den sektionsvisa motståndskoefficienten c d och den sektionsvisa momentkoefficienten
c m kring profilens aerodynamiska centrum (c m,ac ) varierar med anfallsvinkeln α.
Se Fig. 4.11. För de flesta vingprofiler är momentkoefficienten kring aerodynamiskt centrum något
negativ (med ett moturs vridande moment).
4.3 Definiera eller förklara kortfattat: (a) ytvirvelskikt, (b) ytvirvelstyrka γ.
(a) Ett ytvirvelskikt är en kontinuerlig fördelning av linjevirvlar med lokalt varierande virvelstyrka,
längs en linje i ett plan (en yta), se Fig. 4.13. (b) Ytvirvelstyrka γ är lika med cirkulation per
längdenhet längs en linje, γ = dΓ/ds; motsvarar det lokala tangentiella hastighetssprånget som
induceras tvärs ett ytvirvelskikt (Fig. 4.14).
4.4 Hur är ytvirvelstyrkan γ(x) relaterad till cirkulationen Γ och vad gäller fysikaliskt tvärs ett ytvirvelskikt?
Γ = ∫ b
a
γds, där a och b är vid ytvirvelskiktets fram- resp. bakkant. Tvärs skiktet sker ett språng i
tangentiell hastighet (längs skiktet), γ är ett direkt mått på detta hastighetssprång; med γ > 0 är
hastigheten ovanför högre.
4.5 (a) Ange det s.k. Kutta-villkoret, dels i ord, dels som ett matematiskt villkor för γ(x). Hur kan
Kuttavillkoret motiveras fysikaliskt?
The Kutta condition: the flow leaves the trailing edge of the (working) wing in a smooth fashion,
see Fig. 4.17b and Fig. 4.18. For an edge with some finite angle, or a somewhat blunt one, there
is a stagnation point very close to the trailing edge (Fig. 4.19, left). For a wing with a cusp, very
sharp, edge the local velocities on either side of the wing are more or less equal (Fig. 4.19, right).
The condition is motivated physically from pure observation, this is how the flow behaves close to
the trailing edge of a lift-generating wing (at high Re). The Kutta condition is used to provide the
wing theory with the correct amount of circulation.
The Kutta condition, mathematical: γ(TE) = 0
(b) Skissera strömningsfältet runt en vingprofil för Γ < Γ Kutta och Γ = Γ Kutta
Se Fig. 4.17.
4.6 En välvd vingprofil vid α = 0 bibringas plötsligt en translationsrörelse (hastighet). Beskriv hur
strömningsfältet utvecklas med särskild betoning på strömningen kring vingens bakkant samt uppkomstenavcirkulation
ochdärmedlyftkraft.Omviskösaeffekter försummas,hurärdådenslutliga
cirkulationen kring profilen relaterad till motsvarande för startvirveln?
Se föreläsningsunderlag, Ch. 4. Profilen i figuren nedan är symmetrisk men dras igång med viss
anfallsvinkel; med en välvd vinge kan resonemanget genomföras om den dras igång horisontellt;
det viktigaste är att profilen ger lyftkraft.
10

Very soon after start-up the flow is close to being
fully irrotational, negligible circulation, negligible
change of momentum, negligible lift (a). At this instant,
the wall friction is not yet developed and therefore
the near-wall flow can in fact turn around
the trailing edge, despite the sharp turn. After the
turn, the near-wall flow comes to a stagnation point
where it joins with the other stream, leaving the surface.
Very soon after, as the wall friction develops,
the increasing adverse pressure gradient towards the
stagnation point (on the upper side) will result in
flow separation, which quickly moves to the trailing
edge, forming a vortex (b). The rotation (circulation)
of this vortex is anti-clockwise, since there still
is a tendency for the flow to pass over the trailing
edge.
From Kelvin’s circulation theorem 1 the total flow has to be without any resulting circulation (as it
was just before start) so there is a build-up of an equal amount of clock-wise circulation around the
wing. Because of this circulation there is a net downward change in momentum when comparing
the upstream and downstream parts close to the wing, and accordingly, there is an upward lift
on the wing. As the wing moves further to the left the circulation of the vortex increases, as do
the wing-bounded circulation, proportional to the lift (c). Eventually there is no more circulation
added to the vortex and it will remain essentially at the place where the wing started. The trailing
edge flow is now very smooth, the flow leaves the wing without any significant separation or vortex
roll-up (d). The wing-bounded circulation is now fully developed, as is the lift. Neglecting viscous
effects, the wing-bounded circulation equals the circulation of the starting vortex, but opposite sign.
4.7 Betrakta ett virvelskikt längs en kordalinje i x-led, lagd för att representera den verkliga strömningen
kring en mycket tunn men svagt välvd vingprofil vid liten anfallsvinkel α, korda c och
anströmningshastighet V ∞ . Välvningslinjens lokala lutning gentemot kordalinjen är dz/dx och
den lokalt inducerade hastigheten vinkelrätt mot kordalinjen vid avståndet x från framkanten från
ett infinitesimalt virvelelement med styrkan γdξ vid x = ξ kan skrivas
dw = − γ(ξ)dξ
2π(x−ξ) .
(a) Visa att nedanstående ekvation följer ur att välvningslinjen är en strömlinje (eng. the fundamental
equation of thin airfoil theory). OBS! Små vinklar.
∫ c
0
(
γ(ξ)dξ
x−ξ = 2πV ∞
α− dz
dx
Se Fig. 4.23. Friströmshastighetens komposant vinkelrätt mot välvningslinjen ges geometriskt av
)
.
[ ]
V ∞,n = V ∞ sin α+tan −1 (−dz/dx)
vilket för små anfallsvinklar α och liten välvning kan skrivas
V ∞,n = V ∞ (α−dz/dx)
Vid små vinklar är den totalt inducerade lokala hastigheten vinkelrätt mot välvningslinjen lika med
motsvarande vinkelrätt mot kordalinjen, w ′ (s) = w(x), där
1 The theorem only holds for truly potential flow conditions, but deviations are indeed small for high-Re conditions.
11

∫ c ∫ c
γ(ξ)dξ
w(x) = dw = −
0 0 2π(x−ξ)
Eftersom villkoret är att inget strömmar genom välvningslinjen, V ∞,n +w ′ (s) = 0, fås det sökta
sambandet.
(b) Ange uttrycket på c l som följer ur ekvationen ovan med givet α L=0 . Ange värdet på α L=0 om
välvningslinjen är parabolisk och symmetrisk kring x = c/2 med maximal välvning h. Vid vilken
position längs kordalinjen (teoretiskt sätt) ligger profilens aerodynamiska centrum?
Vid givet α L=0 fås c l = 2π(α − α L=0 ). Vid parabolisk, symmetrisk välvningslinje gäller α L=0 =
−2h/c. Tryckcentrum ligger vid x/c = 1/4 (c m,c/4 = 0), oberoende av α, vilket därför också är
positionen för aerodynamiskt centrum, x ac /c = 1/4.
4.8 Betrakta en verklig men tunn och välvd vingprofil. Förutsätt att momentkoefficienten kring profilens
kvartskordapunkt (vid x/c = 1/4) har en konstant lutning dc m,c/4 /dα = m 0 vid små anfallsvinklar,
där samtidigt dc l /dα = a 0 .
Bestäm positionen för profilens aerodynamiska centrum, x ac = x ac /c.
Villkoret för aerodynamiskt centrum är att (det vridande) momentet kring denna punkt är oberoende
av α. Låt lyftkraft per breddenhet verkade i och d:o moment kring x/c = 1/4 vara L ′ resp.
M
c/4 ′ , se Fig. 4.30. Momentet kring aerodynamiskt centrum blir
M ′ ac = L ′ (x ac −c/4)+M ′ c/4
vilket dimensionslöst kan skrivas, c m,ac = c l (x ac −1/4) +c m,c/4 . Villkoret dc m,ac /dα = 0 innebär
a 0 (x ac −1/4)+m 0 = 0, vilket ger x ac = x ac /c = 1/4−m 0 /a 0 .
4.9 Beskriv fysikaliskt vad som avses med leading-edge stall och trailing-edge stall för en vingprofil.
Illustrera schematiskt strömningen och beskriv skillnader avseende den sektionsvisa lyftkraftskoefficienten
c l (α).
Se Fig. 4.49 (leading-edge stall), tunna profiler, och Fig. 4.50 (trailing-edge stall), tjockare profiler.
Med ökad anfallsvinkel α och för tunna profiler initieras avlösning oftast nära framkanten (och
givetvis på översidan); vid lite ökad anfallsvinkel söker sig då avlösningen snabbt till den relativt
skarpa framkanten vilket gör att lyftkraften minskar dramatiskt (stall). För lite tjockare profiler
initieras ofta avlösning lite längre nedströms på ovansidan, närmare bakkanten. Vid ökad anfallvinkel
flyttas avlösningen bakåt (uppströms) men söker sig inte så direkt till framkanten, lyftkraften
minskar därför mer långsamt med ökande α. För profiler med samma välvning ger tunnare profiler
lite högre c l,max (vid α stall ) fast brantare minskning av c l för α > α stall , se Fig. 4.51.
Kapitel 5 — Inkompressibel strömning över ändliga vingar
5.1 Vid strömning kring en bärande, ändlig vinge, diskutera kortfattat och illustrera schematiskt
uppkomsten av och hastighetseffekterna från s.k. vingspetsvirvlar, samt hur dessa virvlar ger
upphov till ett inducerat strömningsmotstånd.
On a lift-generating wing there is a tendency for the flow on the lower (pressure) side to move
to the upper (suction) side. On a finite-span wing this short-cut flow happens at the wing tips.
The leakage between the lower and upper side introduces a swirling motion that is swept away
downstream, wing tip vortices. When looking from behind (Fig. 5.3 and Fig. 5.4), the two wing tip
vortex systems have opposite rotation and each superimposes a downwash flow in the downstream
region between the wing tips. In particular, there will be a downwash that is also felt on the wing
itself. With respect to the wing, during horizontal cruising conditions, the apparent wind will then
be as if the wind came a little from above; the effective angle of attack will be less than the actual, see
Fig. 5.6. From finite-span wing theory, there is no drag but there is lift, which is perpendicular to
the apparent wind direction. Since this is not the actual wind direction there will be a contribution
from this lift force in the actual (horizontal) streamwise direction, a lift-induced drag (Fig. 5.6).
12

5.2 (a) Ange teoretiska uttryck för lyftkraftskoefficienten C L och den inducerade motståndskoefficienten
C D,i för en ändlig vinge vid små anfallsvinklar, elliptisk planform och givet vingspann/kordaförhållande
AR (tunn vinge med liten välvning, högt Reynolds tal).
Små anfallsvinklar α, tunn vinge med liten välvning: C L = a 0 (α eff −α L=0 ), α eff = α−α i ; elliptisk
planform: α i = C L /(πAR); höga Reynolds tal: a 0 = 2π, vilket ger
C L = 2π(α−α L=0)
1+2/AR
Vinkeln som ger C L = 0, α L=0 ≤ 0, beror på vingens välvning. För elliptisk planform gäller
C D,i = C2 L
πAR
(b) Skissera hur AR inverkar på C D och C L som funktion av anfallsvinkeln α.
För C L , se Fig. 5.23. För både C L och C D , se figur nedan (parabolisk, symmetrisk välvning:
α L=0 = −2h/c; C D,∞ = c d ).
5.3 Om dC L /dα = a 0 för en oändligt bred vinge (AR → ∞), diskutera kortfattat hur planformens
utseende påverkar dC L /dα = a och C D,i för en ändlig vinge vid små anfallsvinklar.
För en ändlig vinge reduceras lutningen a med minskad AR. Vid givet AR (och otvistad vinge) fås
högst a om planformen är elliptisk; a = a 0 /(1+ǫ), ǫ ∝ (1+τ)/AR, där τ = 0 för elliptisk planform.
C D,i minskar med ökat AR, avvikelser från elliptisk planform ökar C D,i ; C D,i ∝ (1+δ)/AR; δ = 0
för elliptisk planform.
Kapitel 6 — Tredimensionell potentialströmning
6.1 Motståndskoefficienten för ett flygplan kan skrivas på följande form:
C D = C D,0 + C2 L
πeAR
där C D,0 är planets totala C D då L = 0 (typiskt, C D,0 ≈ 0.015); e är Oswalds effektivitetsfaktor
(typiskt, e ≈ 0.8).
(a) Visa att förhållandet C L /C D är maximalt då C L = √ πeARC D,0 .
Sätt x = C L , c 1 = C D,0 , c 2 = πeAR, d.v.s. L/D = C L /C D = φ(x) = x/(c 1 +x 2 /c 2 ) = f(x)/g(x).
Derivation m.a.p. x ger dφ/dx = (d/dx)fg −1 = (f ′ g −fg ′ )/g 2 = (c 1 +x 2 /c 2 −2x 2 /c 2 )/g 2 , som
är noll då x = √ c 2 c 1 = √ πeARC D,0 ; ett maximum då d 2 φ/dx 2 < 0 för alla x.
(b) Förklara varför planflykt vid (C L /C D ) max ger maximal flygsträcka vid given tyngd W.
Vid planflykt gäller D = T och L = W, där T är planets dragkraft, d.v.s. C L /C D = L/D =
W/T. Planet förutsätts givetvis framdrivet av en motor som förbrukar bränsle. Det arbete som
planet utför vid planflykt är dragkraften multiplicerat med flygsträckan. Omvandlingen av bränslets
bundna energi till detta arbete antas ske med en konstant (hög) verkningsgrad. Vid given bränslemängd
(vilket också får förutsättas) och given tyngd blir således flygsträckan maximal vid minimal
dragkraft, d.v.s. vid (L/D) max = (C L /C D ) max .
13

(c) Antag att planets motorer stannar alt. att planet är ett segelflygplan. Visa att den anfallsvinkel
α som ger (C L /C D ) max innebär minsta möjliga glidvinkel för planet.
Planet kommer efter mycket kort tid att glida nedåt med konstant hastighet och konstant glidvinkel.
Vid rätlinjig rörelse är alla krafter i balans d.v.s. planets tyngd (lodrätt nedåt!) måste balanseras
av de resulterande aerodynamiska krafterna. Eftersom strömningsmotståndet är motsatt
rörelseriktningen och lyftkraften vinkelrätt däremot inses av ren geometri att glidvinkeln gentemot
horisontalen är θ glide = tan −1 (D/L) = tan −1 (C D /C L ). Denna vinkel blir således minimal vid
(C L /C D ) max .
Kapitel 7 — Kompressibel strömning, grunder
7.1 Definiera stagnationsentalpi, stagnationstemperatur och stagnationstryck.
Stagnationsentalpi är den entalpi per massenhet som en fluid uppnår då den bromsas ned till
stillastående under adiabatiska förhållanden. Stagnationstemperatur är motsvarande temperatur.
Stagnationstryck är det tryck som en fluid uppnår då den bromsas ned till stillastående under
isentropa förhållanden, adiabatiskt och förlustfritt.
7.2 Förklara kortfattat vad som avses med de stötfronter (stötar) som kan uppträda vid supersonisk
strömning. Beskriv schematiskt hur strömningsfältet förändras över en sned stöt.
Vid supersonisk strömning saknas möjligheter till gradvis anpassning mot de förhållanden som kan
krävas nedströms, de tryckstörningar (tryckvågor) som vid subsoniska förhållanden kan propagera
uppströms och påverka anpassningen kan inte göra det vid supersoniska hastigheter. Speciellt om
strömningen kräver anpassning till en tryckökning (kompression) kan den vågbildning som sker
samverka till att extremt tunna vågfronter (stötfronter, stötar) utbildas över vilka den nödvändiga
tryckökningen sker. Stötfronter är extremt tunna, av samma storleksordning som gasens fria medelväglängd,
normalt ca. 0.1 µm. Om stöten sker utan riktningsförändring kallas stöten rak, om
stöten innebär (plötslig) riktningsförändring kallas stöten sned, se Fig. 7.5a.
Kapitel 8 — Raka stötar
8.1 Härled, via mass- och impulsbalans, ett uttryck för hastigheten C för en tryckpuls med ändlig
styrka som rör sig i ett stillastående kompressibelt medium. Vågfrontens utsträckning i strömningsriktningen
är så liten att strömningen kan betraktas som endimensionell. Specialisera till
infinitesimalt liten amplitud och adiabatiska förhållanden (C = a = ljudhastighet).
Antag att fronten rör sig till vänster med konstant hastighet C. Låt tryckpulsens amplitud vara ∆p,
till höger om fronten är då trycket p +∆p, där p är det ostörda trycket framför, p.s.s. avseende
fluidens densitet, till höger ρ + ∆ρ, till vänster ρ. Låt fluidens absoluta hastighet till höger om
fronten vara ∆V, stillstående d.v.s. V = 0 till vänster. Med en kontrollvolym fixerad till fronten
kommer hastigheten in i kontrollvolymen (till höger) vara C, utgående hastighet (till höger) C−∆V
(jämför Fig. 8.3). Stationära förhållanden kräver att massflödet in är lika med massflödet ut,
ṁ = ρAC = (ρ+∆ρ)A(C −∆V), där A är arean på ömse sidor. Detta ger
∆V = C ∆ρ/ρ
1+∆ρ/ρ
Nettoimpulsflödet ut måste vid stationära förhållanden balansera krafterna på kontrollvolymen. De
enda krafter som verkar i stötens normalriktning är tryckkrafter, viskösa normalspänningar kan
försummas. Impulsbalans (till höger): ṁ(V out − V in ) = ρAC(−∆V) = pA − (p + ∆p)A, d.v.s.
∆p = ρC∆V. Tillsammans med uttrycket för ∆V fås
√ ( ∆p
C = 1+ ∆ρ )
∆ρ ρ
I gränsen då ∆ρ/ρ → 0 och ∆p/p → 0 är detta utbredningshastigheten för infinitesimala tryckstörningar,
ljudhastigheten a. Försumbara temperatur- och hastighetsgradienter innebär att processen
i denna gränsövergång kan betraktas som adiabatisk och friktionsfri, isentrop, vilket ger
14

√ (∂p )
a =
∂ρ
8.2 Härled sambandet mellan stagnationstryck p 0 , statiskt tryck p, γ = c p /c v och Machtal M vid
kompressibel strömning av en perfekt gas. Isentropsamband: p/T γ/(γ−1) = konst.
Betrakta en kontrollvolym kring ett strömrör i vilken fluidens hastighet minskar. Förutsätt adiabatiska
endimensionella förhållanden med försumbara ändringar i potentiell energi (och givetvis
inget tekniskt arbete). Energibalans innebär att summan av fluidens entalpiändring och ändring
i kinetisk energi är noll, ∆h + ∆(V 2 /2) = 0. Perfekt gas innebär att ∆h = c p ∆T. Utan index
vid inlopp och index e vid utlopp fås c p (T e − T) + (Ve 2 − V 2 )/2 = 0. V e → 0 ⇒ T e → T 0 , enligt
definition, d.v.s. T 0 /T = 1+V 2 /(2c p T). Eftersom c p = R+c v och a 2 = γRT för en ideal gas gas
gäller c p T = γRT/(γ −1) = a 2 /(γ −1). Med M = V/a fås
( )
p γ/(γ−1) (
0
p = T0
= 1+ γ −1 ) γ/(γ−1)
M 2
T 2
8.3 Visa att M 2 ≪ 1 är ett nödvändigt villkor för approximationen inkompressibel strömning.
Consider, as a special case, one-dimensional steady flow along a horizontal streamline. The differential
continuity equation (local mass balance) requires
d
(ρV) = ρdV
dx dx
s
+V
dρ
dx = 0
A constant fluid density (ρ = const.) implies |V(dρ/dx)| ≪ |ρdV/dx|, which means |δρ/ρ| ≪
|δV/V|. Neglect viscous forces. Local momentum balance then requires dp+ρVdV = 0 (Bernoulli
equation). Also neglect heat transfer, i.e., isentropic flow. Then dp = a 2 dρ, where a is the velocity
of sound. When combined with Bernoulli equation, after division with ρa 2 ,
dρ
ρ +(V/a)2dV V = 0 ⇒ |δρ/ρ| = M2 |δV/V|
Combined with |δρ/ρ| ≪ |δV/V| yields M 2 ≪ 1, which then is a necessary condition for incompressible
flow. The engineering estimate is that the flow has to be treated as compressible if
M > 0.3.
8.4 (a) Ställ upp ett komplett ekvationssystem som beskriver det termodynamiska tillståndet alldeles
nedströms en stillastående stöt i ett munstycke vid endimensionell adiabatisk strömning av en
perfekt gas.
See Fig. 8.3, index 1 just upstream of the shock, index 2 just downstream; A 1 = A 2 since the
shock is so very thin. Mass balance: ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2 ; momentum balance: p 1 −p 2 = ρ 1 V 1 (V 2 − V 2 );
energy balance (perfect gas): T 1 + V1 2/(2c
p) = T 2 + V2 2/(2c
p); ideal-gas: p 1 /(ρ 1 T 1 ) = p 2 /(ρ 2 T 2 ).
Assuming the upstream conditions and c p = γR/(γ −1) to be known, we have four equations and
four unknowns (p 2 , T 2 , V 2 , ρ 2 ). However, because of the quadratic terms from the velocity, there
are two solutions, but only one is possible since the entropy must increase, s 2 > s 1 .
(b) Hur förändras Machtal, tryck, temperatur, densitet, entropi, stagnationstemperatur och stagnationstryck
över en rak stöt enligt (a)?
Stagnation temperature remains the same since the flow is adiabatic. Out of the rest, they all
increases, except stagnation pressure and Mach number, see Fig. 7.5b and Fig. 8.8.
8.5 Illustrera strömningsfältet kring ett Pitotrör vid kompressibla förhållanden, speciellt uppströms
mynningen och avseende ev. vågbildning. Klargör utan ekvationer hur anströmningens Machtal
kan beräknas vid uppmätt stagnationstryck från Pitotröret och känt eller uppmätt statiskt tryck
i friströmmen.
15

Se Fig. 8.10. Förutsätt perfekt gas med känt γ. Vid subsonisk strömning är uppmätt stagnationstryck
samma som i friströmmen. Isentropsamband som relaterar kvoten mellan stagnationstryck
och statiskt tryck till Machtalet kan därför användas direkt (explicit formel). Vid supersonisk
strömning bildas en stötfront framför Pitotröret. Längs stagnationslinjen är stöten rak. Kvoten
mellan uppmätt stagnationstryck och statiskt tryck i friströmmen kan då via isentrop- och stötsamband
skrivas som en implicit formel för Machtalet, Rayleigh-Pitots formel.
Kapitel 9 — Sneda stötar och expansionsfanor
9.1 En tänkt liten partikel som regelbundet sänder ut ljudpulser färdas med överljudshastighet i
ett stillastående kompressibelt medium (t.ex. luft). Illustrera utbredningen av dessa ljudpulser
vid underljuds- och överljudshastighet. Visa för överljudsfallet att den s.k. Machkonens vinkel är
µ = sin −1 (1/M).
Se Fig. 9.4. Om partikeln rör sig med överljudshastighet kommer den att åka ifatt och förbi sina
ljudpulser. Betrakta partikeln under viss tidsrymd δt. Sträckan som partikeln färdats är V δt; samtidigt
har ljudpulsen utbrett sig radiellt utåt med ljudhastigheten, radie aδt. Med hypotenusa V δt
och motstående katet aδt fås (halva) konvinkeln µ = sin −1 (aδt/V δt) = sin −1 (1/M).
9.2 (a) Beskriv geometriskt omlänkningen som sker vid en sned stöt. Markera speciellt stötvinkel β
och omlänkningsvinkel θ.
Se Fig. 9.8.
(b) Skissera sambandet mellan omlänkningsvinkel och stötvinkel i ett diagram med Machtalet
M 1 som parameter (perfekt gas). Markera områden för rak stöt, svaga och starka stötar samt
Machvågor. Hur påverkar Machtalet M 1 maximal omlänkningsvinkel? Markera även linjen där
M 2 = 1.
Se Fig. 9.9. Machvågor representeras av skärningspunkterna med θ = 0 (ingen omlänkning, β =
µ = Machvinkel). Linjen som motsvarar maximal omlänkningsvinkel θ för olika M 1 är skiljelinje
mellan starka och svaga stöta, svaga med lägre stötvinkel β jämfört med vid maximalt θ. Linjen
där M 2 = 1 ligger i nära anslutning till skiljelinjen mellan starka och svaga stötar, förskjuten mot
lägre stötvinklar. Maximal omlänkningsvinkel θ max ökar med ökande M 1 , dock innebär M 1 → ∞
ett begränsat värde på θ max (för γ = 1.4 är θ max < 46 ◦ ). Den raka stöten motsvarar punkten med
θ = 0 , β = 90 ◦ ; alla linjer strålar samman i denna punkt.
9.3 Illustrera två olika fall av stötformation kring nosen på en kilformad (bred) kropp vid supersonisk
anströmning.
Se Fig. 9.10, anliggande sned stöt till vänster (θ < θ max ), frilagd krökt (böjd) stöt till höger
(θ < θ max ); θ max ökar med ökande Machtal, fast begränsad då M → ∞.
9.4 Betrakta en vingformad bred kropp med trubbig framkant. Illustrera strömningsbilden omkring
framkanten vid supersonisk anströmning. Markera speciellt områden med M < 1 och M > 1, samt
vilka delar av stötfronten där stötformeringen är av den starka typen.
Se Fig. 9.23. Gränsen mellan stark och svag stöt ligger strax innanför linjen som markerar M = 1
(punkt c); rak (och stark) stöt i punkt a.
9.5 Under vilka omständigheter uppträder s.k. expansionsfanor kring en anströmmad kropp? Givet
hur stor omlänkning som sker över fanan och Machtalet uppströms, hur kan då Machtalet efter en
expansionsfana enkelt bestämmas via Prandtl-Meyers funktion? Hur förändras det statiska trycket
över omlänkningen?
Se Fig. 9.26. Expansionsfanor uppträder vid supersonisk strömning, vid omlänkningar som innebär
expansion från utgångsriktningen. Omlänkningen sker gradvis och eftersom varje liten expansion
(med tillhörande utsänd Machvåg) kan sägas ske isentropt kan hela omlänkningen (expansionsfanan)
också betraktas som isentrop. Skillnaden i Prandtl-Meyers funktion gällande Machtal efter och
före fanan är då lika med omlänkningsvinkeln, θ = ν(M 2 ) −ν(M 1 ). Under givna förutsättningar
kan därför M 2 beräknas. Statiska trycket minskar över fanan (expansion).
16

Kapitel 10 — Kompressibel strömning i munstycken och diffusorer
10.1 Betrakta isentrop stationär strömning av en perfekt gas genom ett munstycke. Variationer över
tvärsnitt kan försummas, liksom effekter av gravitation.
(a) Använd massbalans, definition av ljudhastighet, samt Bernoullis ekvation på differentiell form,
dp+ρudu = 0, för att visa följande samband:
dA
A = (M2 −1) du u
där A(x) är lokal tvärsnittsarea och u(x) lokal hastighet.
Massbalans vid stationära förhållanden, ṁ = ρuA = konst., vilket differentierat innebär dρ/ρ +
du/u+dA/A = 0. Med 1/ρ = −u(du/dp) från Bernoullis ekvation fås
[ ]
1−u 2 /(dp/dρ) (du/u)+dA/A = 0
Vid isentropa förhållanden är dp/dρ = a 2 , där a = ljudhastighet. Med M = u/a fås det sökta
sambandet.
(b) Förklara m.h.a. ekv. ovan hur överljudshastighet kan åstadkommas i ett Lavalmunstycke.
Eftersom den relativa hastighetsförändringen du/u måste vara ändlig visar ekvationen att ljudhastighet
M = 1 enbart kan ske där dA/A = 0, d.v.s. i en minsta eller en största sektion. Om
överljudshastighet M > 1 ska åstadkommas från stillastående måste först strömningen accelereras
subsoniskt (M < 1) genom en konvergerande del (dA/A < 0), nå M = 1 i en minsta sektion, för
att sedan accelereras ytterligare supersoniskt (M > 1) i en efterföljande divergent del (dA/A > 0),
d.v.s. genom ett Lavalmunstycke, se Fig. 10.10.
10.2 Ett Lavalmunstycke är ansluten till en stor behållare med konstant tryck p r . Trycket utanför behållaren
(mottrycket) är p B (< p r ), det strömmande mediet är en perfekt gas. Strömningen kan
betraktas som endimensionell, adiabatisk och friktionsfri.
(a) Skissera tryckvariationen genom munstycket (samt strax utanför densamma) vid olika tryckförhållanden
p B /p r . Markera speciellt var stötar resp. expansionsvågor kan tänkas uppträda.
Se Fig. 10.13/15/16. Se även föreläsningsmaterial.
(b) Hur varierar massflödet med tryckförhållandet?
Se Fig. 10.14. Vid isentropa förhållanden är p r = p 0 . Om p r = p 0 är konstant och p B tänks sänkt
från p B = p r kommer massflödet vid subsoniska förhållanden genom munstycket att succesivt öka,
liksom Machtalet i minsta sektion. Till slut nås M = 1 i minsta sektion och ytterligare sänkning av
p B kan då inte påverka tillståndet i denna sektion, massflödet förblir konstant (strypt strömning).
Precis när M = 1 nås i minsta sektion ökar trycket i den divergerande delen (samtidigt som
Machtalet minskar). Tryckförhållandet p B /p r när detta sker är således högre än det kritiska, p ∗ /p 0
(som för γ = 1.4 är ca. 0.53).
10.3 Vad är en diffusors huvudsakliga uppgift? Illustrera utseendet på en ideal resp. en verklig supersonisk
diffusor. Markera eventuell vågbildning.
En diffusors huvudsakliga uppgift är att minska hastigheten på inkommande flöde. I en supersonisk
diffusor minskas hastigheten från M 1 > 1 till M 2 < 1, med så lågt M 2 möjligt (och dessutom
med så låga förluster som möjligt d.v.s. utan att tappa så mycket i stagnationstryck). En ideal
(isentrop) supersonisk diffusor är utformad som ett Lavalmunstycke, se Fig. 10.17a, där M = 1
måste uppnås i minsta sektion utan stötformation (för att upprätthålla isentropa förhållanden)
och slutligen erhålla M 2 < 1. Detta går inte att åstadkomma praktiskt, stötformation går inte
att undvika, likaså kommer viskösa effekter att inverka. En verklig supersonisk diffusor har en
utsträckt minsta minsta sektion, i övrigt ganska likt ett Lavalmunstycke fast med plana väggar
i främst den konvergerande delen, se Fig. 10.17b. Den konvergerande delen utformas så att de
sneda stötar som uppträder här är svaga och så mycket som möjligt reflekteras in i sektionen med
konstant area. På så sätt kan övergången från M > 1 till M < 1 ske via en rak stöt vid relativt
lågt Machtal, vilket minimerar förlusterna.
17

Kapitel 11 — Subsonisk kompressibel strömning över vingprofiler
11.1 (a) Visa att tryckkoefficienten C p kan skrivas
C p = 2
γM 2 ∞
( ) p
−1
p ∞
Enligt definition: C p = (p −p ∞ )/q ∞ , där q ∞ = ρ ∞ V 2 ∞ /2. Ideal gas: ρ ∞ = p ∞ /(RT ∞ ), vilket ger
C p = 2(p/p ∞ −1)RT ∞ /V 2 ∞. Med a 2 ∞ = γRT ∞ och M ∞ = V ∞ /a ∞ fås sambandet.
(b) Prandtl-Glauerts korrektion:
C p =
C p,0
√
1−M 2 ∞
Vad står C p,0 för och under vilka förutsättningar gäller korrektionen?
C p,0 står för yttryckkoefficienten i en punkt på en omströmmad kropp vid strikt inkompressibla
förhållanden, M ∞ → 0. Korrektionen (eller regeln) gäller vid subsonisk isentrop gasströmning
med små hastighetsstörningar jämfört med friströmmmen (vid M ∞ ), ex. subsonisk luftströmning
kring tunna vingprofiler.
11.2 (a) Vad menas med kritiskt Machtal (M cr ) för en vingprofil? Illustrera schematiskt i figur. Hur
inverkar profilens tjocklek?
Kritiskt Machtal för en vingprofil är det Machtal M ∞ som profilen anströmmas vid, då det strax
ovanför en enda punkt på ytan gäller att hastigheten är lika med lokal ljudhastighet, lokalt Machtal
lika med ett; uppträder normalt sett nära framkanten på profilens översida, se Fig. 11.5. Minskad
tjocklek leder till högre M cr (vid motsvarande lyftkraftskoefficient).
(b) Skissera hur en profilmotståndskoefficienten c d varierar med Machtalet för en vingprofil (M ≈
0−1.2). Vad avses med M drag−divergence ?
Se Fig. 11.11. M drag−divergence är det Machtal, alltid högre än kritiskt Machtal M cr , där c d vid
ytterligare ökat Machtal ökar kraftigt, beroende på ökad och kraftigare stötformation.
(c) Varför är svepta (tunna) vingar att föredra vid höga subsoniska hastigheter?
En svept vinge (oftast bakåt, se Fig. 11.15) ökar vingens kritiska Machtal. Svepningen (vinklingen)
innebär att strömningen över vingen i planets längdriktning effektivt sett blir över en tunnare vinge
än den faktiska, se Fig. 11.14. Eftersom en tunnare profil ökar det kritiska Machtalet är därför
svepta vingar att föredra om planet är tänkt att användas vid så höga subsoniska hastigheter som
möjligt med bibehållen låg motståndskoefficient.
Kapitel 12 — Supersonisk kompressibel strömning över vingprofiler (linjär teori)
12.1 Vid tillräckligt små omlänkningar θ och supersonisk tvådimensionell strömning vid M ∞ gäller:
2θ
C p = √
M
2 ∞ −1
Härled härur approximativa uttryck på c l och c d för en tunn vingprofil vid små anfallsvinklar α
och supersonisk strömning med Machtalet M ∞ .
Approximera profilen med en tunn platta, Fig. 12.4. Vid plattans undre framkant står en sned stöt,
omlänkning θ l = α (kompression, trycket ökar); vid den övre en expansionsfana, omlänkning θ u =
−α (expansion, trycket minskar); konstant tryck på resp. under- och översida. Tryckskillnaden
mellan under- och översida multiplicerat med plattans korda, (p l − p u )c = (C p,l − C p,u )cq ∞ , är
lika med aerodynamisk kraft per breddenhet vinkelrätt mot plattan, N ′ . Via N ′ = c n cq ∞ fås
c n = C p,l −C p,u =
4α
√
M
2 ∞ −1
Ytfriktion försummas och utan resulterande tryckkraft längs plattan (t/c → 0) gäller då c l =
c n cosα och c d = c n sinα, som vid små vinklar innebär c l = c n , c d = c n α, d.v.s.
c l =
4α
√
M
2 ∞ −1 , c d =
4α 2
√
M
2 ∞ −1
18

Kapitel 15 — Viskös strömning, grundläggande principer, m.m.
15.1 (a) Illustrera schematiskt strömningen kring en vingprofil där det sker avlösning på profilens
ovansida. Illustrera speciellt hastighetsprofilers schematiska utseende nära ytan, uppströms samt
precis vid avlösning.
Se Fig. 15.2.
(b) Kan avlösning ske i områden där trycket minskar i strömningsriktningen? Varför?
Nej, endast om trycket ökar, dp/ds > 0. Trycket är konstant genom ett gränsskikt och tryckgradienten
dp/ds är proportionell mot hastighetsprofilens kurvatur (krökning) vid väggen, dp/ds ∝
(∂ 2 u/∂n 2 ) w . Om dp/ds < 0 finns därför ingen tendens till att hastigheten ska minska alldeles
invid väggen och därför ingen risk för avlösning.
(c) Illustrera schematiskt tryckfördelningen på ovansidan av en vingprofil, dels för ett fall med
avlösning, dels utan avlösning. Förutsätt högt Reynolds tal (tunna gränsskikt). Vad är det för
hastighet (grovt sett) som bestämmer trycknivån i det avlösta området?
Se Fig. 15.4. Hastigheten kring (precis innan) avlösning avgör trycknivån i det avlösta området
(vaken); innan avlösning ligger strömningen an mot ytan (gränsskikt) och trycket är då direkt
relaterat till hastigheten via Bernoullis ekvation, ökad hastighet ger lägre tryck.
15.2 (a) Varför kan ett turbulent gränsskikt sägas vara mer resistent mot avlösning gentemot ett laminärt
gränsskikt?
Vid motsvarande tryckgradient fås högre hastighet alldeles invid väggen om gränsskiktet är turbulent,
vilket sker p.g.a. ett högre impulsutbyte via turbulenta hastighetsfluktuationer.
(b) Ange fyra faktorer som har betydelse för var omslag från laminärt till turbulent gränsskikt
sker för en omströmmad kropp. Diskutera kortfattat hur dessa faktorer inverkar.
Ytråhet, friströmsturbulens, yttryckgradient, värmeutbyte. Ökad ytråhet liksom ökad friströmsturbulens
destabiliserar d.v.s. ger tidigare omslag till turbulent gränsskikt, detta p.g.a. ökade störningar
som skyndar på omslagsprocessen. Acceleration, d.v.s. negativ tryckgradient, stabiliserar;
omvänt vid deceleration, positiv tryckgradient (adverse pressure gradient). Uppvärmning av fluiden
nära väggen destabiliserar; omvänt vid kylning.
15.3 (a) Illustrera τ 11 , τ 22 , τ 12 och τ 21 i en figur; τ ij är den viskösa spänningstensorn, τ 12 = τ xy , o.s.v.
See Fig. 15.10. In general, τ ij is the viscous force per unit area (stress) acting in the j-direction
on a surface i = const. For instance, τ 12 = τ xy is the (viscous shear) stress component in the
y-direction that acts in a plane x = const. Stresses with i = j are called normal stresses, others
are shear stresses.
(b) Om fluiden inte uppvisar några lokala polära moment, vilken symmetriegenskap har då τ ij ?
Då ett fluidelement är momentfritt gäller τ ji = τ ij , ex. τ yx = τ xy .
(c) Definiera τ xy i Cartesiska koordinater för en Newtonsk fluid.
τ xy = τ yx = µ(∂u/∂y +∂v/∂x), där µ är dynamisk viskositet.
15.4 Prandtls tal Pr är en parameter av betydelse vid strömning som involverar temperaturvariationer
(där temperaturfältet har betydelse för strömningsfältet). Definiera Pr samt ange i ord den kvot
som Prandtls tal ett mått på.
Pr = µc p /k, där k är fluidens värmekonduktivitet. I strömnings- och temperaturfält är Prandtls
tal ett mått på förhållandet mellan viskös energidissipation och energiutbyte via värmeledning; kan
också uttryckas som att det är ett mått på förhållandet mellan viskös och termisk diffusionshastighet
(Pr = ν/α, där α = k/(ρc p ) är termisk diffusivitet, ν = µ/ρ). [Oljor har mycket höga Pr, flytande
metaller mycket låga; för gaser är Pr ≈ 0.7.]
Kapitel 17 — Gränsskikt, inledning
17.1 (a) För luft gäller att Prandtls tal (Pr) är relativt konstant oberoende av temperatur (och tryck),
Pr luft ≈ 0.7.Vadinnebärdettaförtemperaturgränsskiktetstjocklekδ T jämförtmeddesshastighetsmotsvarighet
δ? (T w ≠ T ∞ )
19

Om Pr < 1 är δ T > δ, se t.ex. Fig. 17.3. [Termisk diffusion sker då med högre hastighet jämfört
med viskös diffusion (molelylärt impulsutbyte).]
(b) Beskriv i ord vad som avses med förträngningstjocklek δ ∗ , speciellt dess fysikaliska tolkning.
Bestäm via massbalans ett uttryck för δ ∗ vid inkompressibel strömning.
Förträngningstjocklek δ ∗ är ett mått på hur mycket gränskiktet tränger ut strömlinjer från väggen,
jämfört med utan gränsskikt, se Fig. 17.5. Härledning av δ ∗ vid kompressibla förhållanden, ekv.
(17.9), finns beskrivet i Ch. 17.2; vid inkompressibla förhållanden är ρ e = ρ = konst..
(c) Beskriv i ord vad som avses med impulsförlusttjocklek θ, speciellt dess fysikaliska tolkning.
Bestäm via impulsbalans ett uttryck för θ vid inkompressibel strömning.
Impulsförlusttjocklek θ är ett mått på den impulsförlust som gränsskiktet innebär vid strömning
över en fast yta; impulsförlust per breddenhet ρu 2 e θ, där u e är ostörd hastighet utanför gränsskiktet.
Härledning av θ vid kompressibla förhållanden, ekv. (17.14), finns beskrivet i Ch. 17.2; vid
inkompressibla förhållanden är ρ e = ρ = konst..
17.2 För ett tvådimensionellt gränsskikt vid inkompressibel stationär strömning kan rörelseekvationerna
förenklas kraftigt genom storleksuppskattningar. Genomför detta och visa särskilt vad som
gäller för tryckfältet. Rörelseekvationer vid försumbara effekter av gravitation:
∂u
∂x + ∂v
∂y
u ∂u
∂x +v∂u ∂y
u ∂v
∂x +v∂v ∂y
= 0
(
= −ρ −1∂p ∂ 2 )
∂x +ν u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2
( )
= −ρ −1∂p ∂ 2
∂y +ν v
∂x 2 + ∂2 v
∂y 2
Gränsskiktstjockleken δ är mycket mindre än karakteristisk kroppsdimension c och ev. krökningsradie
på kroppsytan; karakteristisk hastighet på stora avstånd V ∞ ; Reynolds tal Re = V ∞ c/ν får
antas mycket högt.
Dimensionslösa storheter, inkl. inledande storleksuppskattningar: ˆx = x/c ∼ 1, ŷ = y/c ∼ δ/c =
ˆδ ≪ 1, û = u/V ∞ ∼ 1, ˆv = v/V ∞ , ˆp = (p−p ∞ )/(ρV 2 ∞ ) = C p/2; dimensionslösa ekvationer:
∂û
∂ˆx + ∂ˆv
∂ŷ
û ∂û
∂ˆx + ˆv∂û ∂ŷ
û ∂ˆv
∂ˆx + ˆv∂ˆv
∂ŷ
= 0
= − ∂ˆp
( )
∂2û
∂ˆx +Re−1 ∂ˆx 2 + ∂2 û
∂ŷ 2
= − ∂ˆp
(
∂2ˆv
∂ŷ +Re−1 ∂ˆx 2 + ∂2ˆv
)
∂ŷ 2
Alla derivator m.a.p. ˆx är ∼ 1, speciellt ∂û/∂ˆx ∼ 1 i kontinuitetsekvationen visar att ∂ˆv/∂ŷ ∼ 1,
annars orimliga lösningar. ŷ ∼ ˆδ innebär då att ˆv ∼ ˆδ, samt ∂ˆv/∂ŷ ∼ 1 och ∂ 2ˆv/∂ŷ 2 ∼ ˆδ −1 . I både
andra och tredje ekvationen kan nu första termen inom parentes strykas, ex. ∂ 2 û/∂ˆx 2 ≪ ∂ 2 û/∂ŷ 2 .
I både andra och tredje ekvationen måste alla huvudtermer finnas kvar, tröghetstermer (vänsterled),
tryckterm och kvarvarande viskös term. Dessa måste då vara av samma storkleksordning.
Tröghetstermerna i andra ekvationen är ∼ 1, d.v.s. ∂ˆp/∂ˆx ∼ 1, samt Re −1 ∂ 2 û/∂ŷ 2 ∼ 1, d.v.s.
Re ∼ ˆδ −2 ≫ 1. Tröghetstermerna i tredje ekvationen är ∼ ˆδ, vilket innebär ∂ˆp/∂ŷ ≪ ∂ˆp/∂ˆx,
d.v.s. trycket är oberoende av y. Eftersom endast termer som är ∼ 1 behöver beaktas kan tredje
ekvationen nu strykas. I dimensionsform blir slutresultatet
∂u
∂x + ∂v
∂y
u ∂u
∂x +v∂u ∂y
= 0
= −ρ −1dp u
dx +ν∂2 ∂y 2
20

Kapitel 18 — Laminära gränsskikt
18.1 Betrakta ett laminärt gränsskikt över en plan (bred) platta utan tryckgradient.
(a) Den lokala friktionskoefficienten kan skrivas: c f = 0.664/ √ Re x , där Re x = V ∞ x/ν. Bestäm
plattans motståndskoefficient om plattans längd är c.
Med D f = ∫ c
0 τ wb dx, τ w = c f ρV 2 ∞/2 fås D f = 0.664bρV 2 ∞√
νc/V∞ = 0.664bcρV 2 ∞/ √ Re, där
Re = V ∞ c/ν. Eftersom D f = C f bcρV 2 ∞/2 och 2×0.664 = 1.328 fås C f = 1.328/ √ Re.
(b) Ange utan bevis ett uttryck på gränsskiktstjockleken δ ur Blasius lösning. Ordningsmässigt
avseende storlek, hur förhåller sig δ ∗ , θ, och δ?
Blasius lösning ger δ = δ 99 = 4.92x/ √ Re x ≃ 5x/ √ Re x , där Re x = ρV ∞ x/µ = V ∞ x/ν; θ < δ ∗ < δ.
18.2 Generellt sett och vid samma Re x för en plan platta, hur inverkar Machtalet M ∞ på gränsskiktstjockleken
δ resp. motståndskoefficienten p.g.a. väggfriktion C f ?
Se Fig. 18.8 och Fig. 18.9 (laminärt gränsskikt). Jämfört med Blasius lösning (M ∞ → 0) minskar
C f med ökande M ∞ ; δ ökar (vid motsvarande position längs plattan).
Kapitel 19 — Turbulenta gränsskikt
19.1 Illustrera schematiskt hur Machtal M ∞ och Reynolds tal Re ∞ inverkar på motståndskoefficienten
C f för en tangentiellt anströmmad adiabatisk, plan och slät platta.
Se Fig. 19.1. För laminärt gränsskikt och M ∞ → 0 gäller C f ∝ (Re ∞ ) −0.5 ; för motsvarande
turbulent gränsskikt, C f ∝ (Re ∞ ) −0.2 ; med ökande M ∞ och konstant Re ∞ minskar C f .
19.2 Ange fem karakteristiska egenskaper för fullt utvecklad turbulent strömning.
Se kompletterat material. Turbulens (fullt utvecklad turbulent strömning) karakteriseras av (1)
oregelbundenhet och slumpmässighet, (2) hög diffusivitet/spridningsförmåga, (3) höga Reynolds
tal, (4) kraftig dissipation (stora förluster), (5) tredimensionella fluktuationer i vorticitet.
22 februari 2011, Christoffer Norberg, tel. 046-2228606
21