VINGTEORI Flygplansvinge sedd uppifr˚an Planarea (vingyta), Ap ...

VINGTEORI 

Flygplansvinge sedd uppifrån 

Planarea (vingyta), A p 

Vingbredd, b 

Medelkorda, C = A p /b 

Aspect Ratio, AR = b/C 

Vingtvärsnitt 

Fart, U 

Anfallsvinkel rel. kordalinje, α 

Max. välvning, h 

Max. tjocklek, t 

Små anfallsvinklar α ≪ 1 

Liten välvning β = 2h/C ≪ 1 

Slanka profiler t/C < 0.2 

(Elliptisk planform, Re = ρUC/µ ≫ 1) 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

⇒ 

C L = 

C L ∞ 

1 + 2/AR 

= 

2π(α + β) 

1 + 2/AR , C D = C D∞ + C2 L 

πAR 

C L∞ och C D∞ gäller oändligt bred vinge (2-D, AR → ∞) 

L = C L A p ρU 2 /2 , D = C D A p ρU 2 /2 

Ch. 8.7 Strömningslära C. Norberg, LTH

HORISONTELL FLYGNING 

L = W (Lift = Weight) 

D = T (Drag = Thrust) 

(a) Vilken fart ger lägst bränsleåtgång 

vid given flygsträcka? Bränsleåtgång ∝ 

energiändring = arbete = kraft ∗ väg, 

kraft = T = D; sök D min 

D = C D A p ρU 2 /2 

C D = C Dpara + C 2 L/(πAR) 

C Dpara = C Dplan + C D∞ = konst. 

C L = 2W/(ρU 2 A p ) ⇒ 

D = C 1 U −2 + C 2 U 2 , dD/dU = 0 ⇒ 

U D = √ 2W/(ρA p )/(πARC Dpara ) 1/4 

D min = 2W/ √ πAR/C Dpara 

(C D = 2C Dpara , C L = √ πARC Dpara ) 

(b) Minimal effekt ger längst tid i luften 

vid given bränslemängd, P = DU ⇒ 

U P = U D /3 1/4 = 0.76U D 

P min = WU P / √ 3πAR/(2C Dpara ) 

11 

10 

9 

8 

D/D min 

P/P min 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

U/U D 

Ex. Fokker F-28, W = 0.30 MN, A p = 79 m 2 , AR = 8.0 (b = 25.1 m), 

ρ = 0.41 kg/m 3 (z = 10 km), C Dpara = 0.010 ⇒ U D = 192 m/s = 691 km/h 

(angivet, most economical speed = 678 km/h); U P = 146 m/s = 525 km/h. 


LYFTKRAFT PÅ EN VINGE 

L. Prandtl T. J. Mueller 

Vingen accelererar kontinuerligt omgivande fluid nedåt vilket innebär 

en kraft på vingen uppåt, en lyftkraft. Lyftkraften kan också härledas 

till att vingen länkar om strömningen, uppåt strax framför vingen, 

nedåt i bakkant; mot denna nettoimpulsändring nedåt svarar en motriktad 

kraft uppåt på vingen, en lyftkraft. 

Strömningen kan tänkas sammansatt av en där fluiden passerar vingen 

utan omlänkning (friktionsfri strömning) samt en medurs cirkulationsrörelse. 

Friktion ⇒ Cirkulation ⇒ Lyftkraft 

Cirkulationen innebär ökad hastighet på ovansidan, minskad på ovansidan, 

d.v.s. en tryckskillnad, jfr. Bernoullis ekvation. En vinge bibringas 

en hastighet lite snett nedåt. Hur utvecklas cirkulationen? 

(a) precis vid start; strömning runt bakkant, 

ingen omlänkning, ingen cirkulation 

(b) friktion i kombination med tryckökning 

⇒ strömningen klarar inte att 

komma runt kanten ⇒ avlösning ⇒ 

moturs virvel (startvirvel), cirkulationen 

utvecklas (medurs) 

(c) bakkantsströmningen stabiliseras, 

vingen lämnar startvirveln bakom 

sig, cirkulationen närmar sig 

slutvärdet 

(d) startvirveln ett par kordor bakom, 

cirkulationen fullt utvecklad 


VIRVELSKIKT 

Betrakta en oändlig rad av linjevirvlar längs x-axeln. Alla virvlar 

har samma styrka K, samma rotationsriktning (moturs) och ligger 

på samma inbördes avstånd a. Komplex potential: 

f(z) = −iK [ lnz + ln(z − a) + ln(z − 2a) + . . . + ln(z + a) 

[ ( )] 

πz 

+ ln(z + 2a) + . . .] = −iK ln sin 

a 

Sök strömfunktionen ψ, imaginärdelen av f = φ + iψ. Utnyttja 

komplexkonjugatet, f = φ − iψ 

⎧ ⎡ ( ) ⎛ 

⎨ 

f − f = 2iψ = −iK ln πz 

⎣ 

⎩ 

sin sin 

πz 

⎞⎤⎫ 

⎬ 

⎝ ⎠⎦ 

⎭ 

a a 

Trigonometrisk identitet, 2 sinαsinβ = cos(α − β) − cos(α + β), 

samt cos ix = coshx ger 

ψ = − 1 ⎡ 

2 K ln 1 ⎛ 

⎣ ⎝cosh 2πy 

⎞⎤ 

2πx 

− cos ⎠⎦ 

2 a a 

ψ = konst. ger strömlinjer: 

Stora avstånd från x-axeln: u = ±πK/a, v = 0. Cirkulation kring 

rektangel med bredd dx och höjd upp i detta område: 

dΓ = u l dx − u u dx = 2πK dx = γ dx 

a 

Funktionen γ kan tolkas som cirkulation per breddenhet och kan för 

ett allmänt virvelskikt vara en funktion av x. 


KUTTAVILLKORET 

2-D vingprofil med cirkulation 1 , liten anfallsvinkel. 

KUTTAVILLKORET: 

Det fysikaliskt riktiga värdet på cirkulationen Γ kring en 

tvådimensionell vingprofil är det som innebär 

ändlig hastighet vid bakkanten. 

Γ Kutta ger jämn bakkantsströmning liknande 

verkliga förhållanden, med friktion, 

högt Reynolds tal. 

Kuttavillkoret kan användas för att bestämma Γ Kutta , via en virvelskiktsfördelning 

γ(x) = dΓ/dx längs vingen; γ(x) modellerar friktionens 

inverkan; lyftkraft per breddenhet, L/b = ρU ∞ Γ Kutta . 

Betrakta en vinklad, tunn, bred platta; tvådimensionell potentialströmning 

med cirkulation; liten anfallsvinkel α; korda C (framkant 

vid x = 0, bakkant vid x = C); sökt: γ(x). 

Virvelskiktet ger vid x upphov till ett hastighetssprång, ∆u = u u − 

u l = 2δu = γ(x). Eftersom α är liten förutsätts δu/U ∞ ≪ 1. 

Kuttavillkoret (skarp bakkant): ∆u x=C = 0 ⇒ γ(C) = 0 

1 I Ch. 8.7 är cirkulation positiv vid medurs rotationsriktning. 


VINKLAD PLATTA 

Lyftkraft: L = ρU ∞ Γb = ρU ∞ ∫ C 

0 

γ(x) bdx 

Lyftkraftskoefficient: C L = 2L/(ρU 2 ∞ bC) = 2 ∫ 1 

0 (γ/U ∞) d(x/C) 

Lyftkraft = resulterande tryckkraft “uppåt” 

L ≃ L cosα = ∫ C 

0 (p l − p u ) bdx 

Bernoullis ekvation visar att trycket runt plattan varierar som γ(x), 

C p,u = −γ/U ∞ ; C p,l = +γ/U ∞ , C p = 2(p − p ∞ )/(ρU 2 ∞ ) 

• Hur bestäms γ? 

Ingen strömning genom plattan, v(y = 0) = 0 , för alla x ∈ [0, C] 

Bidrag till vertikal hastighet vid x från dΓ = γ dx 0 vid x 0 : 

[dv] x = 

Totalt vid x från hela virvelskiktet: 

dΓ 

2π(x 0 − x) = γ dx 0 

2π(x 0 − x) 

v vs = ∫ C 

0 

γ dx 0 

2π(x 0 − x) 

som tillsammans med bidraget från friströmmen (= U ∞ sinα) skall 

vara noll, d.v.s. 

∫ C 

0 

γ dx 0 

2π(x 0 − x) + U ∞ sinα = 0 

Med γ(C) = 0 från Kuttavillkoret fås lösningen 

γ(x) = 2U ∞ (C/x − 1) 1/2 sinα 

Insättning visar att lyftkraftskoefficienten varierar linjärt med α: 

C L = 2π sinα = 2πα (α ≪ 1) 


VINKLAD PLATTA . . . 

Små anfallsvinklar: C L = 2πα (Γ Kutta = πCU ∞ α) 

Tryckfördelning 

Hastighetsfördelning 

• Moment kring framkanten (LE = Leading Edge) 

M LE = ∫ x dL = bρU ∞ ∫ C 

0 

xγ dx = (C/4)L 

alpha = 5 deg 

Momentmässigt verkar lyftkraften centrerad till en punkt en kvarts 

korda från framkanten. Denna punkt kallas tryckcentrum eller aerodynamiskt 

centrum (CP, Center of Pressure) 

x CP = C/4 

Stämmer bra för alla slanka vingprofiler, se Fig. 8.21b. 


SLANKA, VÄLVDA VINGPROFILER 

korda C, maximal välvning h, maximal tjocklek t 

Teori ⇒ 

C L = 2π(1 + 4 

3 √ t/C) sin(α + β), där β = tan −1 (2h/C) 

3 

} {{ } 

0.77 

C L = 0 vid α = α ZL = −β; ex. h/C = 0.050 ⇒ α ZL = −5.7 ◦ 

Ovanstående tjockleksinverkan stöds inte av experiment, se figur. 

Små vinklar (α ≪ 1, β ≪ 1), slanka 2-D profiler ⇒ 

C L = 2π(α + β) 


AERODYNAMISKA DATA (2-D) 

Lägst C D kring C L = 0; 

vid höga α ökar C D kraftigt, 

lutningen dC L /dα 

minskar; till slut sker avlösning 

på ovansidan, C L 

minskar dramatiskt 

(överstegring = stall); 

max. C L vid α ≃ α stall . 


3-D VINGAR (WINGS OF FINITE SPAN) 

Lokala lyftkraften L(y) sjunker snabbt mot noll vid vingspetsarna 

⇒ VINGSPETSVIRVLAR 


PRANDTL-LANCHESTERS 

LYFTLINJETEORI 

Tvådimensionell teori (2-D): cirkulation ⇒ lyftkraft. 

Verklig vinge (3-D): lyftkraften varierar över vingen, noll vid vingspetsarna. 

Antagande: den ändliga vingen (bredd b) tänks ersatt med 

en linje i vilken cirkulationen varierar utefter dess längd, Γ = Γ(y); 

2-D teori kan användas för varje snitt y = konst. ⇒ lokal lyftkraft. 

Lokal anfallsvinkel, α = α(y) ≪ 1. 

dL = ρU ∞ Γ(y) dy , Γ(±b/2) = 0 

Symmetrisk vinge ⇒ Γ(0) = Γ o = max. Total lyftkraft: 

L = ρU ∫ b/2 

∞ Γ(y) dy 

−b/2 

2-D teori tillåter inte att cirkulationen varierar utefter en “virveltråd” 

(potentialvirvel). Antag därför att ett knippe virveltrådar passerar 

över vingens (lyftlinjens) tryckcentrum (x = y = 0). På ömse sidor 

tappas virveltrådar av så att lyftkraften (cirkulationen) blir noll vid 

vingspetsarna. 

Vid varje position y = η utefter lyftlinjen sträcker sig en virveltråd 

med cirkulation dΓ från x = 0 till x = +∞ (vid x = +∞ 

ligger den motriktade “startvirveln”). Sammantaget ger trådarna, 

vid varje position y, upphov till en nedåtriktad hastighet w(y), en 

s.k. downwash. 



LYFTLINJETEORI . . . 

Nedåtriktad hastighet vid y från “halvoändlig” virvel vid y = η: 

[ dw ] y = −dΓ 

4π(η − y) 

= 

(dΓ/dη) dη 

4π(y − η) 

Totalt vid (x = 0, y) från alla virvlar längs lyftlinjen: 

w(x = 0, y) = 1 

4π 

∫ b/2 

−b/2 

(dΓ/dη) dη 

y − η 

Den nedåtriktade hastigheten w innebär att den lokala “effektiva 

anfallsvinkeln” minskar, α e = α − α i , där α i = tan −1 w/U ∞ , se 

figur nästa sida. Lyftkraften minskar. Förutsätt nu w ≪ U ∞ , d.v.s. 

α i = w/U ∞ ≪ 1. Lokal 2D-teori ⇒ 

ρU ∞ Γ(y) dy = dL e = 2πα e 

1 

2 ρU2 ∞C(y) dy ⇒ Γ(y) = πC(y)U ∞ α e 

där C(y) är lokal korda. Sammantaget fås följande integro-differentialekvation 

för Γ(y): 

Γ(y) = π C(y) U ∞ 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪ ⎩ 

α(y) − 1 

4πU ∞ ∫ b/2 

−b/2 

som kan lösas vid givna fördelningar C(y) och α(y). 

Otvistad vinge ⇒ α = konst. 

(dΓ/dη) dη 

y − η 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 



LYFTLINJETEORI. 

dL = dL e cosα i = dL e ⇒ L = ρU ∫ b/2 

∞ Γ(y) dy 

−b/2 

dD i = dL e sinα i = dL α i ⇒ D i = ρU ∫ b/2 

∞ Γ(y)α −b/2 

i(y) dy 

Den nedåtriktade hastigheten över vingen innebär ett extra strömningsmotstånd, 

ett lyftkraftsinducerat motstånd. 

Ellipsformad korda, C(y) = C o [1 − (2y/b) 2 ] 1/2 ; planarea, A p = 

∫b/2 

−b/2 C(y) dy = πb C o/4, d.v.s. AR = b 2 /A p = b/C = 4b/(πC o ). 

Lösning, otvistad vinge: 

⎡ ⎛ 

⎢ 

Γ(y) = Γ o ⎣1 − 

2y ⎞2 ⎤ 1/2 

⎝ ⎠ ⎥ ⎦ , Γ o = π C ⎛ 

o α 

b 1 + 2/AR , L = ⎜π 2 ⎞ 

⎟ 

b C o ρU∞α 

2 

⎝ ⎠ 

4 1 + 2/AR 

2πα 

C L = 

1 + 2/AR = 2π α e 

Generalisering, välvd vinge, elliptisk planform (β = 2h/C ≪ 1): 

2π(α + β) 

C L = 

1 + 2/AR 

Ellipsformad korda innebär konstant nedåtriktad hastighet 

w(y) = U ∞ α i = 2U ∞α 

2 + AR ⇒ C D i 

= C L α i = C2 L 

πAR 

Total motståndskoefficient (inkl. friktion): C D = C D∞ + C Di . 


UTVIDGAD VINGTEORI, SMÅ VINKLAR 

Friktion samt planformens utseende inverkar. 

Lyftkraftskoefficient: C L = 2πφ (α+β −α i ), α i = C L 

πAR (1+τ) 

där τ ≥ 0 (planform) och 0 < φ < 1 (friktion). Omskrivning: 

C L = ĈL 

γ , Ĉ L = 

2π(α + β) 1 + 2φ (1 + τ)/AR 

, γ = 

1 + 2/AR φ (1 + 2/AR) 

Motståndskoefficient: C D = C D∞ + C Di , C Di = C2 L 

(1 + σ) 

πAR 

σ ≥ 0 beror av planformen; elliptisk planform: σ = τ = 0. Ingen 

friktion ⇒ φ = 1, C D∞ = 0; väl utformad vinge, Re = U ∞ C/ν > 

10 7 ⇒ 1 − φ < 0.04 (2π × 0.96 = 6.0), C D∞ < 0.01. Rektangulär 

planform: σ och τ beror av AR enligt nedan. 

Ex. Rektangulär planform, se Fig. 8.23. 

α = 2 ◦ , β = 5 ◦ , AR = b/C = 5.0, φ = 0.85, C D∞ = 0.012. 

Sökt: C L och C D 

AR = 5 ⇒ τ = 0.154, σ = 0.040; φ = 0.85 ⇒ γ = 1.17; 

(α + β)/(1 + 2/AR) = 5 ◦ = 5(π/180) rad ⇒ ĈL = 0.55, C L = 0.47 

C Di = C 2 L(1 + σ)/(πAR) = 0.0145 ⇒ C D = 0.0265. 

Svar: C L = 0.47, C D = 0.026 (elliptisk ⇒ C L = 0.49, C D = 0.027).

VINGTEORI Flygplansvinge sedd uppifr˚an Planarea (vingyta), Ap ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?