MMVF01 Termodynamik och strömningslära Repetitionsfr˚agor ...

(vilket skulle innebära att också omgivningens tillstånd återställs). Det krävs tillgång till en värmemotor
med 100% verkningsgrad (omöjligt enligt Kelvin-Planck). (s. 302)
6.8 Formulera Carnots två principer angående termisk verkningsgrad för irreversibla resp. reversibla
värmemotorer (arbetsgivande kretsprocessmaskiner)
(1) Termiska verkningsgraden för en irreversibel värmemotor är alltid lägre än för motsvarande reversibla
värmemotor (samma värmemagasin).
(2) Alla reversibla värmemotorer vid vilka värmeutbytet med omgivningen sker vid två konstanta temperaturer
har samma termiska verkningsgrad. (s. 306)
Bevisa bägge principerna.
(1) De bägge maskinerna arbetar mellan samma värmemagasin och anpassas så att de (båda var för sig)
mottar lika mycket värme Q H från det varma magasinet vid T H , se Fig. 7-41. Revertera nu den reversibla
motorn (så att den blir en kylmaskin). Dess bägge värmeutbyten liksom dess arbetsutbyte byter riktning utan
att beloppen ändras. Nettovärmeutbytet med det varma magasinet är nu noll. Antag nu att den irreversibla
motorn har högre termisk verkningsgrad än den reversibla. Eftersom η th = 1 − Q L /Q H avger den mindre
spillvärme till det kalla magasinet (vid T L ) än den reverterade motorn upptar, Q L,rev − Q L,irrev > 0. Den
ger ju också ut mer arbete än den reverterade mottar. De bägge maskinerna tillsammans med det varma
magasinet vid T H är nu en omöjlig maskin enligt Kelvin-Plancks formulering. Verkningsgraden kan därför
inte vara högre för den irreversibla motorn. Verkningsgraderna kan ju heller inte vara lika eftersom den
irreversibla motorn då skulle vara reversibel.
(2) Antag att två reversibla värmemotorer är kopplade mellan samma värmemagasin. Enligt beviset för
Carnots första princip kan varken den ena eller den andra motorns verkningsgrad vara högre än den andra.
De måste därför vara lika. (s. 306/7)
6.9 Vilka tre villkor bör eftersträvas för att en arbetsgivande kretsprocess skall få så hög termisk
verkningsgrad som möjligt?
(1) Reversibel process, (2) värmeutbyte med endast två värmemagasin (temperaturer T H och T L , T H > T L ),
(3) T H /T L så högt som möjligt. Observera att (1)+(2) innebär η th = 1 − T L /T H .(fö, s. 309)
6.10 (a) En uppfinnare påstår sig ha tillverkat en värmemotor som vid optimala driftsförhållanden
har en termisk verkningsgrad av η th = 40%, då arbetsmediets högsta och lägsta temperatur
är 177 ◦ C resp. 27 ◦ C. Kan detta vara möjligt? Motivera.
Den högsta termiska verkningsgrad en värmemotor kan ha är η th,max = 1 − T L /T H , där T L och T H är
processens lägsta och högsta temperatur (Carnotmotor, värmeutbyte med värmemagasin T L och T H , vid
försumbara temperaturdifferenser). Detta fall: T L = 27 ◦ C = (27 + 273) K = 300 K, T H = 177 ◦ C =
(177 + 273) K = 450 K, η th,max = 1 − 300/450 = 1 − 2/3 = 1/3 = 33% < 40%, d.v.s. omöjligt. (s. 309)
(b) En uppfinnare påstår sig ha tillverkat en kylanläggning som med en köldfaktor på COP R =
12 klarar att hålla ett kylrum vid temperaturen 7 ◦ C då utetemperaturen är 35 ◦ C. Kan detta
vara möjligt? Motivera svaret. Det förutsätts att inget värmemagasin med temperatur mellan
de båda angivna nivåerna kan utnyttjas.
Den teoretiskt högsta köldfaktorn fås om kylanläggningen är en reverterad Carnotmotor. För denna gäller
COP R,rev = T L /(T H − T L ) = 280/28 = 10 < 12, d.v.s. omöjligt. (s. 313/4)
CH. 7 — ENTROPI
7.1 (a) Definiera entropiskillnad (entropiändring) för ett slutet system vid given tillståndsförändring.
∆S = S 2 − S 1 = ∫ 2
1 (δQ/T ) int rev, där T är temperaturen på systemgränsen där värmeutbytet sker; (δQ/T )
ska evalueras längs en internt reversibel processväg. (s. 339/340)
(b) Ett system genomgår en process mellan två givna tillstånd. I vilket fall är entropiändringen
för systemet störst, vid en reversibel eller vid en irreversibel process? Motivera.
Entropiändringen är densamma vid bägge processerna; entropi är en tillståndsstorhet. (s. 339/340)
(c) Bestäm entropiändringen för ett slutet system som genomgått en internt reversibel
isoterm process.
∆S = S 2 − S 1 = ∫ 2
1 (δQ/T ) ∫
int rev = To
−1 2
1 (δQ) int rev = Q/T o = (Q in − Q out )/T o . (s. 340/1)
7.2 Härled de s.k. T ds-relationerna; utgångspunkt: 1:a huvudsatsen på differentiell form, enkelt
kompressibelt system.
1:a HS, enkelt kompressibelt system: δq − δw = du. Enbart kvasistatiskt volymändringsarbete: δw = δw b =
P dv. Internt reversibel process: δq = T ds. Insättning ger T ds = du + P dv (1). Entalpi: h = u + P v
⇒ dh = du + P dv + v dP = T ds + v dP , d.v.s. T ds = dh − v dP (2). (s. 356/7)
7