Kapitel 5: Vektorprodukt - Högskolan i Halmstad

Kapitel 5: Vektorprodukt
c○ 2005 Eric Järpe
Högskolan i Halmstad
Vektorprodukten är en vektor bara definierad i 3 dimensioner.
Orientering VIKTIGT!
Lär positiv och negativ orientering, “3-finger-regeln” (se foto i boken s. 82), positiv
vridningsriktning.
⎡
Lemma 1
Med hänsyn till ordningen är
⎢ v 1 v 2 v 3 P.O. ⇔ v 2 v 3 v 1 P.O. ⇔ v 3 v 1 v 2 P.O.
⎣ v 3 v 2 v 1 N.O. ⇔ v 2 v 1 v 3 N.O. ⇔ v 1 v 3 v 2 N.O.
där P.O. = “positivt orienterade” och N.O. = “negativt orienterade”.
I planet är u v P.O. om den minsta vridning som överför u i v sker moturs.
Vektorprodukt
Läs Exempel 1 för en motivering av begreppet vektorprodukt.
u × v kallas för vektorprodukten (kryssprodukten) om
(i) |u × v| = |u||v| sin[u, v]
(ii) u × v⊥u och u × v⊥v
(iii) u , v , u×v P.O.
(iv) u = 0 ∨ v = 0 ⇒ u × v = 0.
Obs! Vektorprodukten är ej kommutativ: u × v = −v × u.
[ Sats 1
Arean av det parallellogram som spänns av u och v är |u × v|
Exempel (Vektorprodukt)
Beräkna approximativt u × v om u = (1, 2, 3) och v = (−1, 0, 1).
Lösning
u och v spänner upp ett plan. Vektorprodukten
u × v är den vektor som är |u||v| sin[u, v] lång
i normalens riktning sånär som på tecknet som
vi tar reda på med 3-finger-regeln!
✻z
[u, v] y
❅■v ✒ u
✲
✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯ ❅ ❳ ❳ ❳ ❳❳
❳ x ❳3 u×v
Planets ekvation på parameterform fås som
⎧
⎧
⎨ x = s − t ⎨ x = s − t
1
π : y = 2s ⇒
⎩
⎩
y = s 2
z = 3s + t
z − 3x = 4t
1
⇒
⎧
⎨
⎩
x = s − t
1
y = s 2
1
4
(z − 3x) = t

På affin form blir detta x = 1 y − 1 (z − 3x) dvs x − 2y + z = 0.
2 4
Normalen blir då u = (1, −2, 1).
(Kontroll: u · n = 1 · 1 − 2 · 2 + 1 · 3 = 0 och v · n = −1 · 1 + 0 + 1 · 1 = 0 stämmer!)
Normeras normalen får vi en vektor av längd 1:
n
|n|
Längden av u × v blir
=
1
√ 1 + 4 + 1
(1, −2, 1) = 1 √
6
(1, −2, 1)
|u||v| sin[u, v] = √ 1 + 4 + 9 · √1
+ 0 + 1 · sin[u, v] ≈ 2 √ 7 · 1
(där [u, v] ≈ π/2 är en gissning från en välritad figur.)
Med 3-finger-regeln inses att u × v måste peka utåt från pappret i figuren ovan.
Alltså är u × v ≈ 2 √ √
7 √ 1
14
6
(1, −2, 1) = (1, −2, 1) (där √ 14/3 ≈ 2). ✷
3
Alldeles snart ska vi lära oss ett betydligt enklare och dessutom exakt sätt att
beräkna vetorprodukten.
Trippelprodukten
Trippelprodukten av u, v, w är
(u × v) · w = |u||v||w| cos α sin β där α = [u × v, w] och β = [u, v].
Trippelprodukten är volymen av den parallellipiped (parallellogram generaliserat till
3 dimensioner − se figur längst ned på s. 85) som spänns av u, v, w.
(Obs! Ordningen har avgörande betydelse!)
Läs Sats 2 och 3.
Lär Sats 4 och beviset av (iii):
[ Distributiva lagen för vektorprodukt
(u 1 + u 2 ) × v = u 1 × v + u 2 × v
Bevis:
Låt r vara en godtycklig vektor. Då är
((u 1 + u 2 ) × v) · r
Sats 3
= ((u 1 + u 2 ) · v) × r
skalärprod.
= u 1 · (v) × r) + u 2 · (v) × r)
Sats 3
= (u 1 × v) · r + (u 2 × v) · r
skalärprod.
= (u 1 × v + u 2 × v) · r
⇒ ((u
( 1 + u 2 ) × v) · r − (u 1 × v + u 2 ×
)
v) · r = 0
⇒ (u 1 + u 2 ) × v − (u 1 × v + u 2 × v) · r = 0
Speciellt med r = (u 1 + u 2 ) × v − (u 1 × v + u 2 × v)
är |r| 2 = |(u 1 + u 2 ) × v − (u 1 × v + u 2 × v)| 2 = 0 ⇔
⇔ r = 0 dvs (u 1 + u 2 ) × v = u 1 × v + u 2 × v.
✷
Läs Exempel 2.
2

Multiplikationstabell för
HON-bas sammanfattas av
figuren till höger i kombination
med följande exempel.
✻3
2
✤✜
Exempel (Vektorprodukt forts.)
Beräkna exakt u × v om u = (1, 2, 3) och v = (−1, 0, 1).
Lösning
u = e 1 + 2e 2 + 3e 3 v = −e 1 + e 3
Genom att använda figuren ovan fås att
u × v = (e 1 + 2e 2 + 3e 3 ) × (−e 1 + e 3 )
✻3
✿
✤✜
−
+
◆ ✟ ❍
✟✙ ✟ ✣✢
✟
✸ ❍❍❥ ✟ ✣✢❍ ✎
1
2
✟✙ ❦ ❍❍❥
1
2
= −0 + e 1 × e 3 − 2e 2 × e 1 + 2e 2 × e 3 − 3e 3 × e 1 + 0
= −e 1 + 2e 3 + 2e 1 − 3e 2
= 2e 1 − 4e 2 + 2e 3
dvs u × v = 2(1, −2, 1).
Med Sarrus regel (s. 90) hade vi fått
e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e
❅ ❅ ❅ 3
1❅2 ❅3 ❅ ❅
1
2
❅
3
❅
−1 0 ❅ 1 ❅−1
❅ 0 1
✷
dvs u × v = (2 · 1 − 3 · 0, 3 · (−1) − 1 · 1, 1 · 0 − 2 · (−1)) = (2, −4, 2).
Geometriska tillämpningar
Nu kan vi äntligen beräkna avstånd mellan linjer med de kunskaper vi förvärvat!!
Exempel (Avstånd mellan linjer, forts.)
⎧
⎧
⎨ x = 2 + 3s
⎨ x = 1 − t
l 1 : y = −1 + 2s l 2 : y = 2 − t
⎩
⎩
z = 1 + 3s
z = −3t
Låt
Vad blir (minsta) avståndet mellan linjerna l 1 och l 2 ?
Lösning
Välj punkterna P 1 = (2, −1, 1) på l 1 och P 2 = (1, 2, 0) på l 2 (det går lika bra med
vilka punkter som helst på linjerna), riktningsvektorerna v 1 = (3, 2, 3) för l 1 och
v 2 = (−1, −1, −3) för l 2 . En normalvektor, n, till det plan som spänns av v 1 , v 2
fås av
n = v 1 × v 2
=
2 3
∣ −1 −3 ∣ e 1 −
∣
3 3
−1 −3
∣ e 2 +
∣
3 2
−1 −1
∣ e 3
= (2 · (−3)−3 · (−1) , −(3 · (−3)−3 · (−1)) , 3 · (−1)−2 · (−1))
= (−3, 6, −1)
3

Låt riktningen av sträckan mellan P 1 och P 2 betecknas av u = (2, −1, 1)−(1, 2, 0) =
(1, −3, 1). Projektionen av u på n är då
u ′ = u · n
|n| n 2
(1, −3, 1) · (−3, 6, −1)
= · (−3, 6, −1)
|(−3, 6, −1)| 2
−3 − 18 − 1
= · (−3, 6, −1)
9 + 36 + 1
= 11 · (−3, 6, −1)
23
och avståndet mellan l 1 och l 2 är då
√
√ √
|u ′ | = ( 11
23 )2 (9 + 36 + 1) = 11
23 2 · 23 = 11
2
(≈ 3.24)
23
(Se bokens Exempel 6 för utförligare förklaring av räkningarna.)
✷
Exempel (Kraftmoment)
Antag att punkten P = (3, 5, −1) utsätts för kraften u = (4, −2, 1). Beräkna
a) momentet M m.a.p. punkten Q = (1, 2, 3).
b) momentet M m.a.p. x-, y- resp. z-axeln.
c) momentet M m.a.p. linjen genom punkterna Q 1 = (1, 2, −3) och Q 2 = (2, −2, 1).
Lösning
a) Momentet m.a.p. Q beräknas som r × F där r = P − Q = (2, 3, −4)
Därmed är
M =
∣
3 −4
−2 1
∣ e 1 −
∣ 2 −4
4 1 ∣ e 2 +
∣ 2 3
4 −2 ∣ e 3
= (3 − 8)e 1 − (2 + 16)e 2 + (−4 − 12)e 3
= (−5, −18, −16)
b) Momentet m.a.p. en axel med normerad riktningsvektor n beskrivs av M · n
så M · e 1 = −5, M · e 2 = −18, M · e 3 = −16.
c) Riktningen för linjen genom Q 1 och Q 2 är (a, b, c) där 1 + a = 2 ⇒ a = 1,
2 + b = −2 ⇒ b = −4 och −3 + c = 1 ⇒ c = 4.
Därmed är en normerad riktningsvektor n = √ 1
36
(2, −4, 4) = 1 (1, −2, 2)
3
varmed M · n = 1 (−5 + 36 − 32) = −1/3 .
✷
3
4