Tala är guld – tiga är bara mässing - Ncm
Tala är guld – tiga är bara mässing - Ncm
Tala är guld – tiga är bara mässing - Ncm
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Tala</strong> <strong>är</strong> <strong>guld</strong> <strong>–</strong> <strong>tiga</strong> <strong>är</strong> <strong>bara</strong> <strong>mässing</strong><br />
Gunnar Askemur<br />
Den h<strong>är</strong> artikeln handlar om olika sätt att uttrycka sig språkligt, beroende<br />
på nivå, situation och krav på förståelse.<br />
Nya kursplaneförslaget (SOU 1993:2) säger:<br />
Strävan skall vara att eleven utvecklar<br />
sin förmåga att använda och inse v<strong>är</strong>det av<br />
matematikens språk, symboler och uttrycksformer.<br />
Då <strong>är</strong> det viktigt att elevens matematiska<br />
språk har flera nivåer <strong>–</strong> från den lägsta, som<br />
beskriver matematiska operationer med konkreta<br />
ord, till den högsta, som uttrycker det<br />
matematiska tänkandet med abstrakta termer.<br />
Valet av nivå måste alltid styras av kravet<br />
på förståelse i den aktuella situationen.<br />
Ta t ex uttrycket: 7° <strong>–</strong> 2°. Om jag <strong>bara</strong> <strong>är</strong><br />
intresserad av talen + 7 och <strong>–</strong> 2 och deras<br />
placering på tallinjen, säger jag ”plus sju”<br />
och ”minus två”. N<strong>är</strong> jag ska beräkna uttryckets<br />
v<strong>är</strong>de, har jag i den situationen inget<br />
intresse av att veta, om tänkesättet (räknesättet)<br />
<strong>är</strong> addition eller subtraktion. Jag beskriver<br />
d<strong>är</strong>för <strong>bara</strong> räkneoperationen: ”Sju<br />
ta bort två <strong>är</strong> fem”.<br />
Då jag beräknar dygnsmedeltemperaturen<br />
en vårdag, n<strong>är</strong> dagsmedelv<strong>är</strong>det <strong>är</strong> + 7°C<br />
och nattmedelv<strong>är</strong>det <strong>är</strong> <strong>–</strong> 2°C, kan jag säga:<br />
Summan av plus sju och minus två <strong>är</strong> (plus)<br />
fem.<br />
Är tänkesättet subtraktion blir tolkningen<br />
annorlunda. Bakgrunden kan vara denna:<br />
Högsta dagstemperaturen <strong>är</strong> + 7°C och<br />
lägsta nattemperaturen + 2°C. Hur mycket<br />
varmare <strong>är</strong> det på dagen? Då säger jag:<br />
”Differensen av + 7° och + 2° <strong>är</strong> 5°” eller<br />
ännu hellre: Skillnaden mellan + 7° och + 2°<br />
<strong>är</strong> 5°.<br />
30<br />
Gunnar Askemur <strong>är</strong> pensionerad ämnesl<strong>är</strong>are<br />
i matematik och fysik. Han har<br />
medverkat i Nämnaren med ett flertal artiklar<br />
genom åren.<br />
Egentligen borde jag då skriva:<br />
+7° <strong>–</strong> (+ 2°) = 5°, men 7° <strong>–</strong> 2° = 5° <strong>är</strong> ju<br />
vedertaget skrivsätt (se Matematikterminologi<br />
i skolan, MIS, 1979, sid 23).<br />
Term och faktor <strong>är</strong> nyckelbegrepp i undervisningen.<br />
Aritmetikens begrepp får inte<br />
skilja sig från algebrans. Tyv<strong>är</strong>r har MIS<br />
1979 olika termdefinitioner på sid 80 och<br />
sid 23 (22). Om termen innehåller en produkt,<br />
<strong>är</strong> alltid en av faktorerna ”grundterm”,<br />
och produkten av övriga faktorer (jämte<br />
plus- eller minustecknet) bör då kallas ”termens<br />
koefficient” (se MIS 1979 sid 80). I<br />
likheten 21 <strong>–</strong> 3 · 5 = 6 kan faktorn + 5 vara<br />
grundterm, och ”<strong>–</strong> 3” blir då termens koefficient.<br />
Likheten utläses d<strong>är</strong>för: 21 ta bort 3<br />
termer 5 <strong>är</strong> 6, och på tallinjen får man detta<br />
operationsschema:<br />
Koefficientens minustecken anger att talvektorn<br />
+5 ska ”läsas baklänges”. Vi får då<br />
samma vektorbild för den omvända likheten<br />
21 = 6 + 3 · 5. MIS 1979 sid 126 har<br />
tyv<strong>är</strong>r ett annat synsätt, som medför olika<br />
vektorbilder för de två likheterna.<br />
Alla matematiska uttryck kan utläsas på<br />
mer än ett sätt. N<strong>är</strong> man beräknar uttrycket<br />
21 <strong>–</strong> 3 · 5 kan man också säga: 21 ta bort 5<br />
termer 3. Om man diskuterar tänkesättet, kan<br />
det t ex utläsas: Skillnaden mellan 21 och<br />
produkten av 3 och 5 eller 21 adderat med<br />
produkten av (-3) och 5. Många elever säger:<br />
21 minus 3 gånger 5 utan att förstå, hur<br />
uttrycket kan tolkas.<br />
Nämnaren nr 2, 1993
Låt oss titta på kvoten 23412 / 6. Tänkbar<br />
bakgrund: Hur många smultronplantor, som<br />
kostar 6 kr/st, kan jag köpa för 23412 kr?<br />
Det <strong>är</strong> alltså fråga om innehållsdivision: Hur<br />
många gånger innehålles 6 kr i 23412 kr?<br />
(jag kan köpa plantorna en och en).<br />
Begreppsmässigt betyder det en upprepad<br />
borttagning.<br />
N<strong>är</strong> man beräknar kvoten, <strong>är</strong> det mest<br />
praktiskt att tänka så h<strong>är</strong>: Jag ska fördela<br />
23412 ental på 6 högar. För att spara tid<br />
och arbete, tar jag först bort 6 tusental från<br />
23 tusental och lägger ett tusental i varje hög.<br />
Detta upprepas så länge det går <strong>–</strong> i detta<br />
fall 3 gånger. Men det <strong>är</strong> enklare att ta bort<br />
alla 18 tusental på en gång, D<strong>är</strong>för säger jag:<br />
23 tusental ta bort 6 tusental går 3 gånger.<br />
Jag skriver kvotsiffran 3 i tusentalsrutan.<br />
Sedan fördelar jag 54 hundratal och 12 ental<br />
på samma sätt. Ett tiotal ta bort 6 tiotal<br />
går inte, d<strong>är</strong>för skriver jag kvotsiffran noll i<br />
tiotalsrutan.” (se Nämnaren nr 4 - 1982/83,<br />
sid 32 - 33.)<br />
Den fullständiga divisionsuppställningen ses<br />
ovan, ty ingen behöver väl kontrollera att 9<br />
gånger 6 hundratal <strong>är</strong> 54 hundratal, eller att<br />
2 gånger 6 ental <strong>är</strong> 12 ental. N<strong>är</strong> nämnaren<br />
<strong>är</strong> ensiffrig, bör dock kvoten beräknas med<br />
kort division:<br />
eller<br />
På beräkningsnivån ska språket vara konkret.<br />
D<strong>är</strong>för bör man säga t ex: 54 hundratal ta<br />
bort 6 hundratal går 9 gånger. Detta uttryckssätt<br />
kan inte missförstås eller blandas<br />
ihop med vanlig borttagning, eftersom uppställningen<br />
eller teckningen visar att uttryckssättet<br />
avser division. Det underlättar<br />
också användandet av en tankegång, som<br />
ingick i den medeltida ”j<strong>är</strong>ndivisionen”, och<br />
som gör att man slipper radera i divisionsuppställningen<br />
på grund av alltför stor kvotsiffra.<br />
N<strong>är</strong> man beräknar kvoten 29190 / 42, avrundar<br />
man nämnaren uppåt till storlekssiffran.<br />
Det avrundade v<strong>är</strong>det 50 skrivs utanför<br />
nämnaren 42. Sedan tänker man: 291 ta bort<br />
50 (obs!) går 5 gånger. 5 gånger 42 (obs!)<br />
<strong>är</strong> 210. Resten 81 visar att jag kan ta bort 42<br />
en gång till. 291 ta bort 42 (obs!) går alltså<br />
en gång till, dvs 6 gånger. N<strong>är</strong> jag senare<br />
får resten 105, vet jag att 399 ta bort 42 går<br />
två gånger till, dvs 9 gånger.<br />
Om man försöker beräkna kvoten 19600 /<br />
7 med delningsdivision och d<strong>är</strong>för säger: En<br />
sjundedel av 19 tusental, <strong>är</strong> man tvungen att<br />
5<br />
skriva ”2 ” i kvotens tusentalsruta, eftersom<br />
matematik kräver entydighet och kon-<br />
7<br />
sekvens på alla nivåer. D<strong>är</strong>för måste man beräkna<br />
kvoten med innehållsdivision, även om<br />
lösningens tänkesätt <strong>är</strong> delningsdivision, t ex<br />
19600 kr / 7 eller<br />
1<br />
· 19600 kr.<br />
7<br />
Målet för ”språkundervisningen” i matematik<br />
bör vara att eleverna utvecklar sin ”uttrycksfantasi”,<br />
så att de t ex slipper utläsa de<br />
matematiska uttrycken tecken-för-tecken. Å<br />
andra sidan får de inte sväva ut så mycket,<br />
att de inte förstår varandra under de gemensamma<br />
diskussionerna. Det <strong>är</strong> viktigt att alla<br />
tar fasta på ”att budskapet går fram, att man<br />
förstår vad han menar”, även om han inte<br />
valt ”rätt” formulering (se Nämnaren nr 3<br />
- 1992, sid 16). Men framför allt bör eleven<br />
själv förstå det han/ hon säger eller tänker<br />
rent konkret.<br />
Nämnaren nr 2, 1993<br />
31