PARTIELL INTEGRATION ...
PARTIELL INTEGRATION ...
PARTIELL INTEGRATION ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR<br />
Partiell integration<br />
<strong>PARTIELL</strong> <strong>INTEGRATION</strong><br />
============================================================<br />
′ <br />
∗ , <br />
: ′ ′ <br />
Förklaring: Enligt produktregeln har vi<br />
′<br />
Om vi integrerar båda leden har vi<br />
′<br />
<br />
får vi<br />
u ′<br />
som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.<br />
======================================================<br />
Vi använder partiell integration, dvs formeln (*) för att beräkna några (inte alla) integraler<br />
av typ ∫ f 1( x)<br />
⋅ f<br />
2<br />
( x)<br />
dx .<br />
TIPS: När vi beräknar en integral<br />
∫ f ( 1<br />
x)<br />
⋅ f<br />
2<br />
( x)<br />
dx med hjälp av partiell integration<br />
betecknar vi en faktor , f 1(<br />
x ) eller f ( x)<br />
2<br />
, som u och annan som v’. Frågan är hur ska vi välja<br />
u respektive v’.<br />
Här finns tips för två grundtyper av integraler lämpliga för partiell integration:<br />
TYP 1. Om en faktor är polynom och andra faktor exponentialfunktion sinusfunktion eller<br />
cosinusfunktion väljer vi<br />
u= polynom,<br />
v’ = exponentialfunktion, sinusfunktion eller cosinusfunktion.<br />
TYP 2. Om en faktor är polynom och andra faktor en logaritmfunktion eller arcusfunktion<br />
väljer vi<br />
u= logaritm- eller arcusfunktion,<br />
v’ = polynom<br />
1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR<br />
Partiell integration<br />
Uppgift 1. Beräkna integral:<br />
,<br />
Lösning. Vi beräknar integralen med hjälp av formeln för partiell integration<br />
′ ′ <br />
Vi betecknar den hör gången första faktorn med u dvs.<br />
u = x , och därmed<br />
x<br />
v ′ = e .<br />
Därefter beräknar vi u′<br />
( genom att derivera u) och v ( genom att integrera v’) .<br />
Vi väljer u och v’<br />
(typ 1, vi väljer u=polynom):<br />
u = x ;<br />
x<br />
v ′ = e<br />
och beräknar<br />
′ u<br />
= 1<br />
x<br />
v = e<br />
( Det räcker med en primitiv funktion till<br />
Detta substituerar vi i formeln<br />
x<br />
e , konstanten C lägger vi till i slutsvar).<br />
och får<br />
′ ′ <br />
1 <br />
Svar:<br />
<br />
<br />
Uppgift 2. Beräkna integral:<br />
,<br />
a) Lösning:<br />
Vi använder formeln<br />
′ ′ <br />
och får<br />
2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR<br />
Partiell integration<br />
<br />
2<br />
2 2 <br />
2 2<br />
<br />
2 4 <br />
Svar: = <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Partiell integration<br />
(typ 2, vi väljer v’=polynom):<br />
Vi väljer u och v’<br />
′ <br />
och beräknar u’ och v<br />
′ 1 <br />
<br />
2<br />
Uppgift 3. Beräkna integral:<br />
,<br />
a) Lösning:<br />
′ ′ <br />
ger<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
,<br />
Partiell integration:<br />
Vi väljer u och v’<br />
′ <br />
och beräknar u’ och v<br />
′ 1 23<br />
2<br />
efter beräkning av sista integralen har vi<br />
<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
Uppgift 4. Beräkna följande integraler<br />
a) , b) <br />
a) Lösning:<br />
′ ′ <br />
Partiell integration:<br />
<br />
′ <br />
<br />
′ <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
1 2 <br />
3 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR<br />
Partiell integration<br />
( polynom division eller kortare:<br />
2<br />
1 1<br />
2 12 <br />
2<br />
2 <br />
<br />
<br />
1 <br />
)<br />
b) Lösning:<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
Partiell integration:<br />
′ 1<br />
′ <br />
<br />
<br />
1 2 2<br />
1 <br />
1 2 1 <br />
Uppgift 5. Beräkna följande integral<br />
2 8 5 <br />
Lösning:<br />
2 8 5 <br />
Först substitutionen<br />
2 2<br />
och nu partiell integration:<br />
5<br />
5<br />
<br />
′ 2 2<br />
′ <br />
2<br />
2 2 2 2<br />
1 2 <br />
2 – 1 1<br />
1 2<br />
1 <br />
2 2 1 2 =<br />
5 2 25 55 515 2 <br />
4 av 4