PARTIELL INTEGRATION ...

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Partiell integration
PARTIELL INTEGRATION
============================================================
′
∗ ,
: ′ ′
Förklaring: Enligt produktregeln har vi
′
Om vi integrerar båda leden har vi
′
får vi
u ′
som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.
======================================================
Vi använder partiell integration, dvs formeln (*) för att beräkna några (inte alla) integraler
av typ ∫ f 1( x)
⋅ f
2
( x)
dx .
TIPS: När vi beräknar en integral
∫ f ( 1
x)
⋅ f
2
( x)
dx med hjälp av partiell integration
betecknar vi en faktor , f 1(
x ) eller f ( x)
2
, som u och annan som v’. Frågan är hur ska vi välja
u respektive v’.
Här finns tips för två grundtyper av integraler lämpliga för partiell integration:
TYP 1. Om en faktor är polynom och andra faktor exponentialfunktion sinusfunktion eller
cosinusfunktion väljer vi
u= polynom,
v’ = exponentialfunktion, sinusfunktion eller cosinusfunktion.
TYP 2. Om en faktor är polynom och andra faktor en logaritmfunktion eller arcusfunktion
väljer vi
u= logaritm- eller arcusfunktion,
v’ = polynom
1 av 4

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Partiell integration
Uppgift 1. Beräkna integral:
,
Lösning. Vi beräknar integralen med hjälp av formeln för partiell integration
′ ′
Vi betecknar den hör gången första faktorn med u dvs.
u = x , och därmed
x
v ′ = e .
Därefter beräknar vi u′
( genom att derivera u) och v ( genom att integrera v’) .
Vi väljer u och v’
(typ 1, vi väljer u=polynom):
u = x ;
x
v ′ = e
och beräknar
′ u
= 1
x
v = e
( Det räcker med en primitiv funktion till
Detta substituerar vi i formeln
x
e , konstanten C lägger vi till i slutsvar).
och får
′ ′
1
Svar:
Uppgift 2. Beräkna integral:
,
a) Lösning:
Vi använder formeln
′ ′
och får
2 av 4

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Partiell integration
2
2 2
2 2
2 4
Svar: =
Partiell integration
(typ 2, vi väljer v’=polynom):
Vi väljer u och v’
′
och beräknar u’ och v
′ 1
2
Uppgift 3. Beräkna integral:
,
a) Lösning:
′ ′
ger
2
2
,
Partiell integration:
Vi väljer u och v’
′
och beräknar u’ och v
′ 1 23
2
efter beräkning av sista integralen har vi
2
4
Uppgift 4. Beräkna följande integraler
a) , b)
a) Lösning:
′ ′
Partiell integration:
′
′
2
2 2
1 2
3 av 4

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Partiell integration
( polynom division eller kortare:
2
1 1
2 12
2
2
1
)
b) Lösning:
1
Partiell integration:
′ 1
′
1 2 2
1
1 2 1
Uppgift 5. Beräkna följande integral
2 8 5
Lösning:
2 8 5
Först substitutionen
2 2
och nu partiell integration:
5
5
′ 2 2
′
2
2 2 2 2
1 2
2 – 1 1
1 2
1
2 2 1 2 =
5 2 25 55 515 2
4 av 4