1 SPINN

1 SPINN
Detta avsnitt är taget ur ett kompendium för kursen ’Kvantfysikens Principer’.
Partiklar har spinn. Vad är spinn? Spinn är en kvantmekanisk egenskap
som är ganska sv˚ar att först˚a. Vi gör ett försök att berätta vad spinn är men
kommer inte att förklara s˚a mycket. 1
L˚at oss ta elektronen som exempel. Vi känner till tv˚a egenskaper som vi
kan mäta för en elektron: dess läge och dess rörelsemängd. (Vi kan ocks˚a
mäta elektronens massa och laddning, men dessa är samma för alla elektroner
och intresserar oss inte här, och elektronens energi.) Det visar sig att det
finns ytterligare en egenskap som vi kan mäta och som är olika för olika
elektroner: elektronens spinn. När vi mäter läget f˚ar vi en punkt i rummet
som resultat; antalet möjliga mätvärden är oändligt. Om vi däremot mäter
spinnet s˚a kan vi bara f˚a tv˚a möjliga svar: vi kallar dessa spinn upp (↑) och
spinn ner (↓).
Andra partiklar som neutroner, protoner, fotoner, liksom sammansatta
partiklar som atomkärnor, atomer och molekyler har ocks˚a spinn. En del av
dessa (tex neutroner och protoner) har precis samma spinn som elektroner
(allts˚a tv˚a möjliga mätvärden, eller tillst˚and som man ocks˚a säger) medan
andra har fler möjliga tillst˚and eller bara ett tillst˚and. Det finns partiklar
med 1,2,3,4... möjliga tillst˚and.
En partikel med ett möjligt tillst˚and säges ha spinn 0, en partikel med tv˚a
tillst˚and har spinn 1/2, en partikel med tre tillst˚and har spinn 1 etc. Typen
av spinn anges allts˚a av ett tal s som är antingen ett halvtal, 1/2,3/2,5/2,...,
eller ett heltal, 0,1,2,3,.... I b˚ada fallen ges antalet möjliga mätvärden (antalet
möjliga tillst˚and) av 2s + 1.
Hittills har vi pratat om spinnet som ett tal, men i själva verket är spinnet
en vektor s och har tre komponenter sx, sy, sz. sz är spinnvektorns komponent
i z-riktningen etc. (Spinnet är en vektor eftersom det har med rotation att
göra, vektorns riktning anger rotationsaxelns rikning. Ocks˚a i klassisk fysik
beskrivs en kropps rotation av en vektor som anger kroppens rotationsaxel.
I kvantmekaniken är det möjligt att en partikel har ett spinn även om den
skulle vara punktformig och sakna utsträckning.)
1 En kropps rotation beskrivs, s˚aväl i klassisk mekanik som i kvantmekaniken, av en
vektor som kallas för rörelsemängdsmomentet (se kommande mekanikkurs). Spinnet är en
del av detta rörelsemängdsmoment.
1

Nu kommer vi till n˚agra konstigheter som är rent kvantmekaniska och
inte kan först˚as p˚a n˚agot ”klassiskt” sätt.
Om man mäter en komponent av spinnet, tex z-komponenten, sz, för en
partikel med spinn s s˚a finner man ett av följande värden: sz = s¯h, (s −
1)¯h, (s − 2)¯h, .., −(s − 1)¯h, −s¯h. Observera att komponenterna är proportionella
mot den ”kvantmekaniska” konstanten ¯h. Det visar att spinn är en
kvantmekanisk effekt; ¯h förekommer inte i klassisk fysik. För en spinn 1/2
partikel, tex en elektron är allts˚a de möjliga värdena sz/¯h = 1/2, −1/2, och
för en spinn 1 partikel sz/¯h = 1, 0, −1 etc. Inga andra mätvärden är möjliga!
Spinnet är kvantiserat, detta är en kvantmekanisk effekt. De tv˚a tillst˚anden
för spinn 1/2 partikeln med sz/¯h = 1/2, −1/2 är vad vi kallar spinn upp ↑
och spinn ner ↓.
Det är naturligtvis inget speciellt med z-riktningen; om man mäter spinnets
komponent i n˚agon annan riktning, tex x-riktningen s˚a gäller precis
samma sak som sagts ovan för z-riktningen. Men, och detta är ett viktigt
men, man kan inte samtidigt mäta spinnets komponenter i tv˚a olika riktningar!
P˚a samma sätt som x och px inte samtidigt kan mätas exakt utan
lyder Heisenbergs obestämdhetsrelation s˚a lyder de olika komponenterna av
spinnvektorn obestämdhetsrelationer. Om man för en partikel vet värdet
p˚a en av spinnets komponenter s˚a vet man allt man kan veta om partikelns
spinn (man kan inte samtidigt veta de övriga spinnkomponenterna). Detta
motsvarar att om man vet värdet p˚a x exakt, s˚a vet man allt man kan veta
om en partikels rörelse (man kan inte samtidigt veta px). Vanligtvis ger man
spinnets komponent i z-riktningen, sz. Vi kan nu först˚a att en partikel med
spinn s kan befinna sig i 2s+1 olika tillst˚and. Detta svarar helt enkelt mot de
olika möjliga värdena p˚a sz och eftersom sz bestämmer spinnet fullständigt
s˚a finns inga ytterligare tillst˚and.
Om man mäter längden av en av spinnets komponenter s˚a finns det en
sak till som man samtidigt kan mäta: spinnvektorns totala längd |s| =
s 2 x + s 2 y + s 2 z. Man finner |s| =
s(s + 1)¯h; spinn s = 1/2 vektorn har
allts˚a längden √ 3/2¯h, spinn s = 1 vektorn har längden √ 2¯h etc. Längden
p˚a s är allts˚a densamma för alla partiklar med ett visst spinn s, tex för alla
elektroner, protoner och neutroner.
Ett system av flera partiklar, tex tv˚a elektroner eller en atom, har ocks˚a
ett spinn. Hur är detta relaterat till delarnas spinn? Det visar sig att det finns
en relation men att systemet kan ha flera olika spinn s. Tex kan tv˚a elektroner
ha spinn 1 eller 0. Dessa möjligheter att f˚a olika spinn har vittg˚aende
2

fysikaliska effekter.
Ett mycket viktigt samband är relationen mellan spinn och om partiklarna
är bosoner eller fermioner. Det visar sig att partiklar med halvtaligt spinn
(s = 1/2, 3/2...) är fermioner, medan de med heltaligt spinn (s = 0, 1, 2...) är
bosoner. Detta gäller b˚ade elementära partiklar och sammansatta. Se vidare
Feynman. (Relationen brukar kallas för spinn-statistik teoremet. Bose/fermi
egenskapen kallas för partiklarnas statistik eftersom den är avgörande för
hur identiska partiklar uppför sig om man har väldigt m˚anga s˚adana; detta
studeras med statistiska metoder i statistisk mekanik.)
3