Anteckningar (PDF)

Anteckningar till räkneövning i Kvantfysikens
principer
Thomas Kvorning
19 november 2012
1 Räkneövning 10/11– Identiska partiklar och
spridning
Fråga 1 (4-F1). Hur lyder sambandet mellan spinn och Bose-/Fermiegenskapen?
Lösningsförslag: Bosoner har heltaligt spin 1, 2, . . . medan fermioner har
, . . .
halvtaligt spin 1
2
, 3
2
, 5
2
Fråga 2 (4-F2). Varför skall två elektroner med olika spinn behandlas som
olika partiklar i en process där elektronernas spinn inte ändras.
Lösningsförslag: Om spinnet inte ändras, kan man genom att mäta spinnet
på en partikel avgöra vilken partikel som är vilken, det går alltså att teoretiskt
skilja dem åt.
Fråga 3 (4-F4). En partikel är sammansatt av m stycket bosoner och n
stycken fermioner. För vilka m, n är den sammansatta partikeln en fermion?
Lösningsförslag: Från resonemanget kring problem 2, på nästa sida, fick vi
att om vi sätter ihop ett jämnt anatal fermioner får vi en boson, och sätter vi
ihop ett udda antal fermioner får vi en fermion. Skulle vi återupprepa samma
resonemang för bosoner får vi att oavsett vilket antal bosoner vi sätter ihop,
får vi alltid en boson. Så en partikel sammansatt av m bosoner och n stycket
fermioner är en boson om n är jämn och en fermion om n är udda, oavsett
värde på m.
Fråga 4 (4-F5). Redogör för vad som händer när två bosoner, respketive
fermioner sprids till samma tillstånd?
1

Lösningsförslag: Sig att du har två identiska fermioner a och b, och två
sluttillstånd 1 och 2, som är väldigt lika. Amplituden för att observera en
fermion i vardera sluttillstånd är
A = 〈1|a〉 〈2|b〉 − 〈2|a〉 〈1|b〉 ,
eftersom man måste byta tecken på amlituden om man byter plats på två
identiska fermioner. Om vi nu låter tillstånd 1 vara identiskt med tillstånd
2, så kommer 〈2|a〉 = 〈1|a〉 och 〈2|b〉 = 〈1|b〉 och vi får
A = 〈1|a〉 〈1|b〉 − 〈1|a〉 〈1|b〉 = 0 ,
så amplituden för att två fermioner ska spridas till samma tillstånd är noll.
Med bosoner ska vi göra samma resonemang, men byta ut minus tecknet
mellan termerna i amplituden, med ett plus tecken
A = 〈1|a〉 〈1|b〉 + 〈1|a〉 〈1|b〉 = 2 〈1|a〉 〈1|b〉 ,
vilket ger sannolikheten P = |2 〈1|a〉 〈1|b〉 | 2 = 4| 〈1|a〉 〈1|b〉 | 2 . Detta är en
dubbelt så stor sannolikhet, som om partiklarna vara urskiljbara (då hade
vi fått P = | 〈1|a〉 〈1|b〉 | 2 + | 〈1|a〉 〈1|b〉 | 2 = 2| 〈1|a〉 〈1|b〉 | 2 ). Vi kan alltså
dra slutsatsen att fermioner inte kan spridas till samma tillstånd, medan
sannolikheten att bosoner ska spridas till samma tillstånd är högre än för
urskiljbara partiklar.
Fråga 5 (4-F6). Vad är uteslutningsprincipen (eng. exclusion principle?)
Vilken betydelse har denna för atomens uppbyggnad?
Lösningsförslag: Uteslutningsprincipen säger att två identiska fermioner
inte kan vara i samma tillstånd. Detta är kritiskt för förståelsen för atomers
uppbyggnad och därmed grundpelaren för all kemi. Energinivåerna i en atom
kallas för skal och varje sådant skal finns det olika många orbitaler. För större
och större atomer fylls skalen på successivt eftersom två elektroner inte kan
vara i samma tillstånd. Det krävs sedan relativt lite energi för att lägga
till för många eller ta bort elektroner i de yttre skalen, vilket gör de kemiska
processerna möjliga. Det göt också att atomernas kemi till största delen beror
på antalet elektroner i det yttersta skalet, vilket implicerar strukturen vi ser
i det periodiska systemet. Skulle Pauli principen däremot inte finnas skulle
det i de tyngre atomerna inte finnas några lätt bundna elektroner och kemin
skulle se drastiskt annorlunda ut.
Problem 1 (4-P1). Partiklar som skjuts not varandra i en accelerator och
man mäter partiklar som har spridits med vinkeln π.
Antag att amplituden
2
för att en partikel skall spridas som en funktion av spridningsvinkeln θ är
f(θ). Vad är sannolikheten att finna en partikel i detektorn om man antar
att partiklarna är
2

a) av olika typ,
b) identiska bosoner,
c) elektroner med spinnet i samma riktning,
d) elektroner med spinnet i olika riktningar (antag att elektronerna inte
kan byta spin).
Lösningsförslag: Det finns två möjligheter för en partikel att träffa detektorn
D:
Händelse 1
Händelse 2
D
D
s1
✲
θ = π
✻
2
✛
❄
s2
s1
✲
θ = π
2
❄
Sannolikheten för händelse 1 och två måste av symmetriskäl vara den samma.
Det betyder inte att amplituden är den samma. Den kan skilja sig med en
fas. Sig att vi kallar amplituden för händelse 1 för Φ, eftersom sannolikheten
för händelse två är lika stor måste amplituden för händelse två vara e iδ Φ.
Om vi har en händelse som innefattar två identiska bosoner, då vet vi att
amplituden för motsvarande händelse, då man bytt plats på bosonerna måste
vara den samma. Så för bosoner är δ = 0. För en händelse som innefattar två
fermioner gäller det istället att amplituden för händelsen då man bytt plats
på fermionerna skiljer sig med ett minustecken, så för fermioner är δ = π.
a) Om partiklarna är olika är processerna ovan särskiljbara och sannolikheten
ges av summan sannolikheterna.
P = |Φ| 2 + |e iδ Φ| 2 = 2|Φ| 2
b) Om partiklarna ovan är identiska kan vi inte skilja på precesserna och
vi ska addera amplituderna. För bosoner vet vi att amplituden för de
två händelserna är lika, så vi får
P = |Φ + Φ| 2 = 4|Φ| 2 ,
alltså dubbelt så stor sannolikhet som när partiklarna var identiska.
3
✻
✛
s2

c) Om partiklarna är identiska fermioner, ska vi också addera amplituderna,
men i detta fall skiljer sig amplituderna med ett minustecken
P = |Φ − Φ| 2 = 0 .
d) Ifall det rör sig om elektroner med olika spinn är partiklarna inte identiska
och vi får samma svar som i a).
Problem 2 (4-P4). Bestäm om följande atomer är fermioner eller bosoner:
Lösningsförslag: Definitionen av en boson, är, att om amplituden för att en
viss process innefattande två idendentiska bosoner är Φ, då är amplituden för
samma process, men där man bytt plats på bosonerna också Φ. För fermioner
är det istället så att om en process som innefattar två identiska fermioner har
amplituden Φ, så har motsvarande process där man bytt plats på fermionerna
amplituden −Φ. Sig nu att vi har en partikel som består av två fermioner,
och sig att amplituden för att en process innefattande två sådanna partiklar
är Φ. För att ta reda på vad denna partikel som innefattar två bosoner är
för partikel, måste vi se vad amplituden för motsvarande process, där vi bytt
plats på partiklarna. Byter vi plats på dessa sammansatta partiklar byter
vi plats på två stycket fermioner, så amplituden ändrar tecken två gånger
vilket till säga att amplituden för processen för händelsen då vi bytt plats
på partiklarna också är Φ, dvs att en partikel som består av två stycken
fermioner är en boson. Vad händer nu om vi har en partikel som består av
tre fermioner? Jo, då byter amplituden tecken tre gånger när vi byter plats
på partikeln, det är alltså en fermion. Fortsätter vi resonemanget kommer
vi fram till den generella regeln: en sammansatt partikel som består av ett
jämnt antal fermioner är en boson, och en partikel som består av ett udda
antal fermioner är en fermion.
etc.
a) 1 H består av en proton och en elektron, dvs totalt 2 fermioner ⇒ boson
b) 2 H består av en proton och en elektron och en neutron, dvs totalt 3
fermioner ⇒ fermion
c) 3 He består av två protoner och två elektroner och en neutron, dvs totalt
5 fermioner ⇒ fermion
d) 12 C består av 6 protoner och 6 elektroner och 6 neutroner, dvs totalt
18 fermioner ⇒ boson
e) 235 U består av 92 protoner och 92 elektroner och 143 neutroner, dvs
totalt 327 fermioner ⇒ fermion
4