Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Diskussionsfrågor</strong> <strong>Mekanik</strong><br />
Frågor markerade med en stjärna ( ) är lite svårare och kan betraktas som överkurs.<br />
Kapitel 1<br />
1. Mitt på dagen en solig dag vid ekvatorn kastar du iväg en boll. Hur rör sig bollens skugga på den<br />
plana marken?<br />
2.<br />
(a) En flicka tittar ut från tjugofjärde våningen i ett höghus med en tegelsten i handen. I samma<br />
ögonblick tittar en pojke ut från tjugonde våningen, också han med en tegelsten i handen. Båda<br />
släpper i pur förvåning sina tegelstenar. Kommer avståndet mellan tegelstenarna att variera<br />
under deras färd mot marken, och i så fall hur?<br />
(b) Pojken och flickan sitter tillsammans på tjugofjärde våningen och släpper sina tegelstenar med<br />
en sekunds mellanrum. Hur kommer då avståndet mellan tegelstenarna att vara under färden<br />
mot marken?<br />
(c) Varför blir en vattenstråle tunnare en bit nedanför kranen?<br />
3. Betrakta en gevärskula som skjuts vertikalt upp i luften, och sedan när den kommer ner igen tränger<br />
ner en liten bit i marken.<br />
(a) Rita ett diagram som kvalitativt visar gevärskulans acceleration, från strax innan den skjuts iväg<br />
tills strax efter att den landat på marken. Försumma luftmotståndet.<br />
(b) Diskutera hur diagrammet du ritade i (a) bör modifieras om man ska ta hänsyn till luftmotstånd.<br />
4. Betrakta en leksaksbil som åker längs en friktionsfri bana. Först är banan helt rak men lutar nedåt i<br />
45 grader, sedan gör den en vertikal cirkulär lop (drygt ett varv) varefter den blir helt rak och<br />
horisontell. Rita upp banan, och ange (kvalitativt) hur accelerationsvektorn bör vara för bilen i<br />
olika punkter längs banan. Fundera över både storlek och riktning hos vektorn.<br />
5. Föreställ dig några veckor in i framtiden. Du och dina vänner diskuterar en mekanikuppgift som<br />
handlar om en tom tunna med radie R och massa M som rullar nerför en slänt med lutningsvinkel .<br />
Uppgiften går ut på att räkna ut hur lång tid det tar för tunnan att rulla sträckan L nerför slänten om<br />
den startar från vila. Dina vänner har försökt lösa problemet var för sig, men tyvärr har alla kommit<br />
fram till olika svar. Nämligen dessa:<br />
<br />
R<br />
(a) T =2 2<br />
gL sin <br />
<br />
g<br />
(b) T =<br />
L sin
L<br />
(c) T =2<br />
gsin <br />
<br />
L<br />
(d) T =<br />
g cos<br />
<br />
ML<br />
(e) T =<br />
g cos<br />
Utan att själv ha funderat på uppgiften, och utan att titta på dina vänners lösningar, drar du<br />
slutsatsen att endast ett av svaren kan vara rätt. Vilket, och vad är det som gör de andra förslagen<br />
otänkbara?<br />
Kapitel 2<br />
1. Du skjutsar iväg ett (oöppnat) mjölkpaket över köksbordet. Spelar det någon roll på vilken sida<br />
mjölkpaketet glider för hur långt det kommer innan det stannar?<br />
2. En stund efter att en fallskärmshoppares fallskärm har vecklat ut sig blir hennes acceleration noll.<br />
Varför?<br />
3. En geostationär satellit är sådan att den befinner sig över samma punkt på jordytan hela tiden. Hur<br />
beror banan på satellitens massa? Hur många geostationära banor finns det kring jorden?<br />
4. Två bollar har samma storlek, samma form, och samma ytstruktur. Enda skillnaden mellan dem är<br />
deras massa: en är tung och en är lätt. Om bollarna släpps i vakuum faller de naturligtvis lika fort<br />
till marken, men hur blir det om de släpps i vanlig luft?<br />
5. Åt vilket håll verkar friktionskrafterna från underlaget på hjulen<br />
(a) när en bil accelererar?<br />
(b) när en bil bromsar?<br />
6. Betrakta en stor bil som skjuter på en mindre bil på en horisontell vägbana. Sätt ut de horisontella<br />
krafter som verkar på respektive bil, med rimliga storleksförhållanden, i ett ögonblick då ekipagets<br />
fart ökar.<br />
7. En person går in i en hiss, åker upp en våning, och går ut ur hissen. Rita ett diagram som visar<br />
kvalitativt hur spännkraften i hisslinan varierar under förloppet.<br />
8. Är det i halt väglag lättare att svänga med en tung bil än med en lätt?
9. När du på en restaurang eller i en matsal tar en tallrik ur en tallriksstapel, så stiger stapeln med<br />
kvarvarande tallrikar upp precis så mycket att nästa tallrik hamnar på samma nivå som den du just<br />
tog.<br />
(a) Förklara hur man kan få detta att fungera med hjälp av en fjäder. Vilken egenskap hos<br />
fjäderkraften är det som är viktig?<br />
(b) Gör en uppskattning av hur stor fjäderkonstanten bör vara för att det ska fungera för en<br />
realistisk tallriksstapel. Vilken egenskap (eller vilka egenskaper) hos tallrikarna spelar in?<br />
Kapitel 3<br />
1.<br />
(a) Ur en cirkulär träskiva sågar man ut en cirkel som tangerar träskivans omkrets, och med en<br />
radie som är precis hälften av träskivans. Var ligger masscentrum för återstoden av träskivan?<br />
(b) Begrunda lösningsmetoden i (a) mer allmänt. I vilka fall kan man räkna på detta sätt? Förklara<br />
också med utgångspunkt i definitionen av masscentrum varför det är möjligt att räkna så.<br />
2. Det har hävdats – en smula fördomsfullt – att om alla kineser hoppade jämfota på samma gång så<br />
skulle jordens bana kring solen ändras något. Stämmer detta? Mer allmänt, vad måste till för att<br />
jordens bana ska ändras?<br />
Kapitel 4<br />
1. Hur högt skulle du kunna hoppa i höjd om du utförde hoppet på månen? (Månens massa är cirka<br />
7,4 ∙ 10 22 kg och dess radie cirka 1700 km.)<br />
2. Vad är värmeenergi/friktionsenergi? Varför måste den hanteras annorlunda än kinetisk och<br />
potentiell energi i mekaniken?<br />
3. Betrakta en Newtonvagga (d.v.s. en serie kulor upphängda i snören så att de precis ligger an mot<br />
varandra). Om två av kulorna till vänster lyfts upp och släpps så att de slår i kulraden, så kommer<br />
alltid två av kulorna till höger att fara ut. Hur vet kulorna till höger att det är just två av dem som<br />
ska fara ut – skulle det inte gå lika bra att exempelvis bara en kula for ut men med dubbla farten?<br />
4. Föreställ dig att man borrar ett hål rakt igenom jorden och släpper ner en boll däri. Vad är<br />
potentialfunktionen för bollen i hålet om man antar att jorden är homogen och perfekt sfärisk?
Kapitel 6<br />
1.<br />
(a) Du väger dig på en balansvåg på månen. Vad visar vågen? (En balansvåg funkar så att en tyngd<br />
flyttas längs någon slags hävstångsarm tills den balanserar vikten av det som skall vägas.)<br />
(b) Ge exempel på en annan konstruktion av vågen, sådan att utfallet blir ett annat än i (a) om<br />
vågen används på månen.<br />
(c) Hur påverkas mätnoggrannheten i fallet med balansvågen av om man väger sig på jorden, på<br />
månen eller i en satellit i bana runt jorden?<br />
2. Begrunda följande metod för att dela en julgran i två lika tunga delar, en toppdel och en nederdel.<br />
Balansera granen över en bock. Kapa stammen i den punkt där bocken befinner sig när granen<br />
väger jämnt. Fungerar detta? Om inte, vilken av de två delarna kommer att vara tyngst, och varför?<br />
3. Betrakta ett hjul som ligger an mot ett underlag, säg till exempel att det är ett av hjulen hos en bil.<br />
Säg att vi betraktar hjulet från sidan och att det då roterar medurs och att det rör sig åt höger.<br />
Betrakta följande fyra fall:<br />
(a) Hjulet accelererar och friktionskraften på hjulet från underlaget är riktad åt höger.<br />
(b) Hjulet accelererar och friktionskraften är riktad åt vänster.<br />
(c) Hjulet retarderar och friktionskraften är riktad åt höger.<br />
(d) Hjulet retarderar och friktionskraften är riktad åt vänster.<br />
Beskriv konkreta situationer som ger upphov till vart och ett av de fyra fallen.<br />
4. Det sägs att om man släpper en katt uppochner så vänder den sig rätt i fallet. Är detta sant, och i<br />
så fall, hur gör katten? Hur går det ihop med att rörelsemängdsmomentet ska vara bevarat?<br />
5. Betrakta en cirkulär masonitskiva, med diameter d och med tjocklek h. Skivan kan rotera kring en<br />
axel som är vinkelrät mot den, och som löper genom dess centrum.<br />
(a) Hur förändras skivans tröghetsmoment om skivan komprimeras till halva sin ursprungliga<br />
tjocklek?<br />
(b) Hur förändras skivans tröghetsmoment om skivan sågas av på bredden så att den blir hälften så<br />
tjock?<br />
(c) Hur förändras skivans tröghetsmoment om den först klyvs genom sin diameter, och om den ena<br />
halvan sedan klistras fast ovanpå den andra?<br />
(d) På vilka sätt kan skivan modifieras utan att det för den skull påverkar skivans tröghetsmoment?<br />
Hitta en formulering i ord.<br />
6. Föreställ dig två cykelhjul, det ena med hälften så stor diameter som det andra, men i övrigt lika:<br />
samma material, samma däcktjocklek et cetera. Hur mycket lättare är det att sätta snurr på det<br />
mindre hjulet? Blir svaret annorlunda om det i stället är fråga om två homogena cirkulära skivor,
och i så fall hur?<br />
7. Framdelen på en bil som accelererar snabbt pekar något uppåt, medan den i stället lutar neråt när<br />
bilen bromsar hastigt. Varför?<br />
8. Sätt snurr på en leksakssnurra på ett plant underlag. Snurran kommer antagligen inte att stå helt still<br />
och snurra. Förutom att den vandrar omkring lite på underlaget, så kommer rotationsaxeln att ändra<br />
riktning: dess ände kommer att beskriva en cirkelrörelse. Detta kallar man för att snurran<br />
precesserar.<br />
(a) Förklara varför precessionsrörelsen uppstår.<br />
(b) Om du sätter fart på snurran moturs, blir precessionsrörelsen då medurs eller moturs?<br />
(c) Kan man konstruera en snurra sådan att svaret i (b) blir det motsatta, och i så fall hur?<br />
Kapitel 8<br />
1. Jordens rotation kring sin egen axel gör att tyngdaccelerationen vid ekvatorn verkar vara något<br />
mindre än vad den är vid polerna. Gör en uppskattning av hur stor denna effekt är.<br />
2. Du sitter i en bil och har tänt lite rökelse.<br />
(a) Bilen accelererar framåt med konstant acceleration. Åt vilket håll stiger röken?<br />
(b) Bilen svänger åt vänster med konstant fart. Åt vilket håll stiger röken?<br />
3. Ibland påstås att den virvel som uppstår exempelvis då man tömmer sitt badkar skulle bero på<br />
Corioliskraften, och att denna skulle göra att vattenvirveln går åt olika håll på norra respektive<br />
södra halvklotet. Gör en uppskattning av effektens storlek, och bedöm påståendets rimlighet.<br />
4. Från en geostationär satellit firas ett rep ner till jordytan, och längs repet konstrueras en hiss i<br />
vilken man med konstant radiell fart kan färdas upp till satelliten. Vad kommer att upplevas som<br />
hissens golv under en uppfärd i hissen? Hur snabbt måste färden gå för att effekten ska bli påtaglig?<br />
Kapitel 9<br />
1.<br />
(a) Två lika tunga stjärnor kretsar kring varandra på cirkulära banor. Gör en skiss av banornas<br />
utseende.<br />
(b) Två lika tunga stjärnor kretsar kring varandra på elliptiska banor. Gör en skiss av banornas<br />
utseende.
2. Betrakta två stjärnor med olika massa som kretsar kring varandra på var sin elliptisk bana. Vad kan<br />
man säga om de båda ellipsernas excentricitet? Behöver de vara lika eller inte? Varför?<br />
3. Fenomenet tidvatten beror som bekant främst på månens gravitationella inverkan.<br />
(a) Förklara varför man i områden med tidvatten upplever två omgångar tidvatten varje dygn.<br />
(b) De två omgångarna har ofta väldigt olika styrka, särskilt vid områden långt från ekvatorn.<br />
Varför?<br />
(c) Faktum är att även solen spelar in i tidvattenseffekten – man kan räkna ut att solens inverkan är<br />
ungefär hälften så stor som månens. När effekterna från sol och måne samverkar (och man<br />
alltså får särskilt kraftigt tidvatten) kallas det springflod, och när effekterna försvagar varandra<br />
kallas det nipflod. Hur ofta inträffar springflod respektive nipflod? Finns det något samband<br />
med månens fas?<br />
Kapitel 11, 12, 13<br />
1. Det är skillnad mellan att tycka att två händelser inträffar samtidigt, och att samtidigt nås av<br />
informationen att de har ägt rum (alltså, att se dem samtidigt). Rita ett rumtidsdiagram med två<br />
observatörer A och B och två händelser p och q sådant att<br />
i) A nås av informationen (som vi föreställer oss färdas snabbast möjligt, alltså med ljushastigheten)<br />
om p och q samtidigt, men tycker att p inträffar före q.<br />
ii) B tycker att p och q inträffar samtidigt, men nås av informationen från p före q.<br />
2. En bevarad storhet är en storhet som för ett system antar samma värde vid alla tidpunkter, under<br />
vissa föreskrivna omständigheter (som till exempel att systemet är isolerat). En invariant storhet är<br />
en storhet som antar samma värde enligt alla inertialobservatörer. Försök hitta exempel på storheter<br />
(a) både bevarade och invarianta.<br />
(b) bevarade men inte invarianta.<br />
(c) inte bevarade men invarianta.<br />
3. En man och hans fru har en bil med längd L0, men ett garage som tyvärr bara är 3L0/4 långt.<br />
Mannen som har hört talas om längdkontraktionen i relativitetsteori ingår ett vad med frun: att han<br />
kan stänga garagedörren med bilen helt inuti garaget. Han säger åt frun att sätta sig i bilen och köra<br />
in i garaget med farten v= 3c/2 . Enligt formeln för längdkontraktion bör då bilens längd bli<br />
1−<br />
L '=L 0 3<br />
2<br />
=<br />
2 L0 2<br />
så bilen får nu gott och väl plats. Så fort bakdelen av bilen har hunnit in i garaget smäller mannen<br />
igen garagedörren och hävdar att han vunnit vadet.<br />
(a) Håller frun i bilen med? Vilken längd tycker hon att garaget har?
4.<br />
(b) Vem av dem vinner vadet? Får bilen plats eller gör den det inte? Rita ett rumtidsdiagram och<br />
förklara paradoxen!<br />
(a) Betrakta en tvillingparadoxliknande situation: en person reser iväg från jorden med en viss<br />
hastighet, vänder så småningom tillbaka med samma fart, och när han slutligen återkommer har<br />
han åldrats mindre än vännerna hemma på jorden. Vilken skillnad skulle det göra om han i<br />
stället för att resa fram och tillbaka bara kretsat omkring jorden i sitt rymdskepp med samma<br />
höga fart?<br />
(b) Använd dina insikter från uppgift (a) för att uppskatta skillnaden i ålder mellan solen och jorden<br />
sedan jordens uppkomst för cirka 5 miljarder år sedan. Jorden roterar kring solen med den<br />
ungefärliga farten 30000 m/s.<br />
5. En elastisk kollision, har vi lärt oss, är en kollision i vilken både den mekaniska energin och<br />
rörelsemängden är bevarad. Denna definition funkar inte så bra när man betraktar relativistiska<br />
kollisioner. Varför inte? Formulera ett bättre sätt att karaktärisera en elastisk kollision i<br />
relativitetsteori.<br />
6. En kakstansningsapparat stansar ut runda kakor ur en deg som rör sig med jämn fart fram på ett<br />
löpande band under den perfekt cirkulära stansformen. Antag nu att det löpande bandet rör sig<br />
väldigt fort. De färdiga kakorna kommer då inte att bli helt runda, utan elliptiska (alltså, i deras eget<br />
vilosystem, vilket ju är vad som är relevant när man ska äta dem). På vilken ledd – i<br />
rörelseriktningen, eller vinkelrät mot denna – blir kakorna längst, och vad blir förhållandet mellan<br />
längderna i dessa två ledder? Antag att stansformen har diametern d och bandet farten v.