Anteckningar (PDF)

Anteckningar till räkneövning i Kvantfysikens
principer
Thomas Kvorning
14 november 2012
1 Räkneövning 2 – vågor
Denna räkneövning behandlar linjära vågor med konstant hastighet, som
inte ändrar sin form. Ordet linjära kommer ifrån att dessa vågor är lösning
till en så kallad linjär vågekvation, vilket innebär att om vi har två olika
vågor så kommer även summan av vågorna att vara en våg. Den så kallade
superpositionsprincipen.
1.1 Harmoniska vågor
En harmonisk våg är en funktion på formen (1) som beskriver någon fysikalisk
storhet. Ett exempel är ljudvågor där vågen beskriver hur mycket luftrycket
skiljer sig från jämnviktsläget i olika punkter.
u(x, t) = A sin (k(x ± vt) + δ) (1)
I (1) kallas k för vågtalet, v för vågens fart, A för vågens amplitud och
δ för vågens fas. I den fortsatta diskussionen sätter låter jag fasen på vågen
var a 0. Gör gärna om resonemangen nedan, med en nollskild fas.
u(x, t) = A sin (k(x ± vt)) (2)
Låt oss undersöka vad som händer med en harmonisk våg då tiden går. Om
vi först tittar på hur vågen ser ut då x = 0 och t = 0, då är k(x ± vt) = 0.
Låt oss sedan se var samma punkt på vågen är vid tiden t = 1 s. För att vi
ska vara på samma punkt på vågen så måste k(x ± vt) ha samma värde som
tidigare, dvs 0. Så punkten som tidigare var vid x = 0 inträffar vid x värdet
som uppfyller att k(x ± vt) = 0.
k(x ± v ∗ 1) = 0 ⇔
x = v om vi har -
x = −v om vi har +
1
(3)

I (3) ser vi att punkten som tidigare var vid x = 0 nu är vid x = −v om vi
har argumentet k(x + vt) och vid x = v om vi har k(x − vt). På en tidsenhet
att alltså vågen rört sig sträckan v och riktningen bestäms av tecknet framför
v, − innebär höger och + innebär vänster.
y
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 y = sin(x − t)| t=6
x
y = sin(x − t)| t=1
y = sin(x − t)| t=0
Figur 1: En harmonisk våg vid tre olika tidpunkter.
I figur 1.1 kan man ana att om man låter den tiden gå lite längre för
den gröna vågen så kommer den vara helt lik den blå. Detta är eftersom en
harmonisk våg är periodisk i tiden. Den tid det tar för att en periodisk våg
att se precis likadan ut i en och samma punkt kallas för periodtid (T ). Låt oss
undersöka hur stor denna periodtid är för en godtycklig harmonisk våg (2).
Vi ska alltså titta vid en bestäm position, vi kan t.ex. ta x = 0, och se hur
lång tid det tar för vågen att upprepa sig där. Vi inser också att periodtiden
inte beror på åt vilket håll vågen åker så låt oss titta på en våg som åker åt
vänster.
u(0, t) = A sin (k(0 + vt)) = sin (k(0 + vt)) = A sin(kvt)
Vi vet att sinusfunktionen upprepar sig själv när argumentet förändras med
2π. Så om vi tittar först på t = 0 så vet vi att vågen kommer att upprepa sig
när kvt = 2π, alltså har vi:
kvT = 2π ⇔ T = 2π
kv
. (4)
Låt oss också introducera vågens frekvens f. Frekvensen är antalet gånger
vågen upprepar sig själv per tidsenhet. Eftersom periodtiden för en våg är
tiden den tar för vågen att upprepa sig själv så inser vi att ν = 1 , och vi
T
har:
ν = 1
T
= kv
2π
. (5)
Från Figur 1.1 ser vi att vågen inte bara upprepar sig efter en viss tid T utan
vågen upprepar sig även om vi förflyttar oss en viss sträcka, som vi kallar för
2

våglångden (λ). Låt oss beräkna λ för en godtycklig harmonisk våg (2). För
att få reda på våglängden ska vi alltså titta på en viss tidpunkt och se hur
lång sträcka vi måste förflytta oss för att vågen ska se ut som den gjorde där
vi började. Vi kan välja vilken tidpunkt som helst, här väljer jag att titta på
tidpunkten t = 0, för en våg som färdas åt vänster. Då får vi:
u(x, 0) = A sin (k(x + v0)) = sin (k(x + v0)) = A sin(kx) .
Vi vet att sinusfunktionen upprepar sig själv när argumentet förändras med
2π. Så om vi tittar först på x = 0 så vet vi att vågen kommer att upprepa
sig för första gången när kx = 2π, alltså har vi:
kλ = 2π ⇔ λ = 2π
k
Den enda storheten vi inte har relaterat till något annat är Amplituden A.
Dess fysiklaiska tolkining är vågens största värde. I fallet med en våg på
en sträng är A största utslaget av strängen och har då enheten av längd.
Om vågen istället beskriver, t.ex. en ljudvåg så är A största variationen från
jämnviktstrycket och är då en storhet som mäter tryck.
1.2 Vågor i fler än en dimension och interferens
Vi ska nu titta på vad som händer när adderar flera harmoniska vågor. Om
vi har två vågor som börjar en halv våglängd ifrån varandra, se figur 1.2 så
ser vi att när de summeras så släcks de ut.
y
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
Figur 2: Den röda vågen utgår en halv våglängd ifrån den
TO BE CONTINUED...
3
x
(6)