Frekvensanalys

Kapitel 4
Frekvensanalys
4.1 Allmänt
En av de viktigaste signaltyperna vid studiet av dynamiska system är de periodiska sinusformade
signalerna av formen
y(t) =Asin(!t + ') (4.1)
Orsakerna till att de sinusformade signalerna har en alldeles speciell roll inom såväl signalbehandling
som reglerteknik beror av följande fakta.
Det visar sig att om insignalen till ett linjärt dynamiskt system G är en sinusformad
signal u(t) = sin(!t), så är utsignalen y = Gu i stationärtillståndet (dvs efter att
inverkan av begynnelsetillståndet dött ut) också en sinusformad signal med samma
frekvens som insignalen, men en amplitud och fas som beror av det dynamiska systemet,
dvs en signal av formen
y(t) =AG(!) sin(!t + 'G(!)) (4.2)
Figurerna 4.1 och 4.2 sinusformade insignaler och utsignaler för ett system av första
ordningen. Vi ser att utsignalen är i båda fallen efter insignalen i fas, och att signalen
i gur 4.2 dämpas mera än signalen i gur 4.1.
En generell signal y(t) kan uttryckas i form av sinus- och cosinus signaler. Utvecklingen
av en signal i frekvenskomponenter (sinus- och cosinusfunktioner) kallas frekvensutveckling.
Exempel 4.1
Betrakta temperaturen i ett hus på sommaren. Utetemperaturen varierar periodisk under
dygnet och kan approximativt beskrivas som en sinusformad signal. Hur varierar temperaturen
inne i huset under dygnet jämfört med utetemperaturen?
Med en modell av det dynamiska systemet som beskriver sambandet mellan utetemperatur
och innetemperatur, kan vi bestämma förloppet hos innetemperaturen.
Från ovan nämnda fakta följer att inverkan hos ett linjärt dynamiskt system på en signal
kan på ett kompakt och bekvämt sätt beskrivas med hjälp av den inverkan systemet har på
periodiska sinusfunktioner. Detta ligger till grund för ertalet metoder inom signalbehandling
36

u
y
1
0.5
0
−0.5
−1
0.5
−0.5
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0
0 1 2 3 4 5
tid
6 7 8 9 10
Figur 4.1: Sinusformad insignal u(t) = sin(3t) och utsignalen hos systemet dy(t)=dt + y(t) =
u(t).
(såsom ltersyntes m.m.) samt för evalueringen av såväl prestandan som stabiliteten hos
reglerkretsar.
I signalbehandling kan signalers frekvenskomponenter utnyttjas för att separera signalkomponenter
med olika frekvensinnehåll. Låt t.ex. en signal s(t) vara korrumperad med
brus e(t) så att den mottagna signalen ges av
y(t) =s(t)+e(t) (4.3)
För att rekonstruera signalen s(t) ur den uppmätta signalen y(t) bör man utnyttja
någon karakteristisk egenskap som åtskiljer s(t) och e(t). Typiskt är, att frekvenskomponenterna
hos den informationsbärande signalen s(t) är begränsade till låga frekvenser,
medan bruset e(t) är mera högfrekvent, se gur 4.3. Detta kan utnyttjas för att
konstruera ett lågpass lter FLP (p) som låter låga frekvenser passera och spärrar höga
frekvenser, så att
FLP (p)y(t) =FLP (p)[s(t) +e(t)] = FLP (p)s(t) +FLP (p)e(t)) s(t) (4.4)
Konstruktionen av ett dylikt lter är enkelt eftersom ett linjärt dynamiskt systems
inverkan på de olika frekvenskomponenterna kan uttryckas i en mycket kompakt form.
I reglertekniken är frekvensanalys viktig vid evaluering av reglerkretsars prestanda.
Man vet t.ex. att mätbrus i typiska fall har högfrekventa komponenter (jfr gur 4.3),
medan långsamt varierande störningar (stegstörningar m.m.) består av lågfrekventa
komponenter. Det är därför viktigt att regulatorn planeras så att god dämpning fås i
de frekvensområden där störningarna nns.
Frekvensanalys är också ett mycket bekvämt hjälpmedel vid undersökningen av stabiliteten
hos en reglerkrets. Reglerkretsen i gur 2.11 är således instabil, om det nns
37

u
y
1
0.5
0
−0.5
−1
0.5
−0.5
−1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
0
0 1 2 3 4 5
tid
6 7 8 9 10
Figur 4.2: Sinusformad insignal u(t) = sin(6t) och utsignalen hos systemet dy(t)=dt + y(t) =
u(t).
någon frekvens som förstärker sig själv då signalen går runt kretsen.Stabiliteten hos
återkopplade system kommer att diskuteras närmare senare.
s
30
20
10
0
−10
−20
−30
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
e
40
20
0
−20
−40
0 100 200 300 400 500
tid
600 700 800 900 1000
Figur 4.3: Lågfrekvent signal s(t) och högrfrekvent brus e(t).
4.2 Sinusformade signaler
Innan vi undersöker frekvenssvaret hos linjära system bör vi behandla de karakteristiska
egenskaperna hos sinusformade signaler. Vi kan skriva en generell sinusformad signal i formen
ysin(t) =Asin(!t + ') (4.5)
38

Signalen karakteriseras av de tre parametrarna A, ! och '.
Svängningens frekvens bestäms av vinkelfrekvensen ! (radianer/sekund). Signalen är
periodisk med perioden T = 2 =! (sekunder). Signalens frekvens ges av f = !=(2 )
(svängningar per sekund eller Hertz (Hz)).
Vinkeln ' är signalens fasförskjutning i förhållande till signalen i ekvation (4.1).
Signalens storlek ges av dess amplitud A (> 0). Signalen antar värden i intervallet
,A ysin(t) A.
Från de trigonometriska sambanden
sin( + ) = sin( ) cos( ) + cos( ) sin( ) (4.6)
cos( + ) = cos( ) cos( ) , sin( ) sin( ) (4.7)
följer att (4.5) kan skrivas i form av en sinuskomponent och en cosinuskomponent enligt
där
ysin(t) =Asin sin(!t) +Acos cos(!t) (4.8)
Asin = A cos(') (4.9)
Acos = A sin(') (4.10)
A =
q 2 Asin + A2cos (4.11)
Omvänt gäller att (4.8) kan skrivas i form av en fasförskjuten sinusfunktion enligt (4.5), där
På analogt sätt följer att cosinusfunktionen
' = arctan Acos
Asin
(4.12)
ycos(t) =Bcos(!t + ') (4.13)
kan skrivas i form av en sinuskomponent och en cosinuskomponent enligt
där
ycos(t) =Bsin sin(!t) +Bcos cos(!t) (4.14)
Bsin = ,B sin(') (4.15)
Bcos = B cos(') (4.16)
Omvänt gäller att (4.14) kan skrivas i form av en fasförskjuten cosinusfunktion enligt (4.13),
där
B =
q B 2
sin + B2 cos
' = , arctan Bsin
39
Bcos
(4.17)
(4.18)

4.3 Frekvenssvaret hos linjära dynamiska system
Vi betraktar nu utsignalen hos ett linjärt dynamiskt system G som beskrivs av di erentialekvationen
(3.2), då insignalen är den sinusformade signalen
Eftersom
u(t) = sin(!t) (4.19)
d
d2
sin(!t + ') =!cos(!t + ');
dt dt2 sin(!t + ') =,!2sin(!t + ');::: (4.20)
har vi att di erentieringar av en sinusformad signal endast generar nya sinusformade signaler
med samma frekvens !. Det följer att lösningen till di erentialekvationen i det stationära
fallet (efter att inverkan av begynnelsetillstånd kan försummas) också är en sinusformad
funktion, som vi helt generellt kan skriva i formen
y(t) =AG(!) sin(!t + 'G(!)) = Asin(!) sin(!t) +Acos(!) cos(!t) (4.21)
där amplituden AG(!) och fasförskjutningen 'G(!) bestäms av det dynamiska systemet,
och koe cienterna Asin(!) och Acos(!) ges av (4.9) och (4.10). Vi kan enkelt bestämma
dessa koe cienter direkt ur di erentialekvationen. För att illustrera metodiken skall vi först
betrakta ett system av första ordningen.
Exempel 4.2
Betrakta ett system av första ordningen som beskrivs av di erentialekvationen
T dy(t)
dt
+ y(t) =Ku(t) (4.22)
Om insignalen är u(t) = sin(!t) vet vi alltså, att utsignalen har formen
y(t) =Asin(!) sin(!t) +Acos(!) cos(!t) (4.23)
där koe cienterna Asin(!) och Acos(!) bestäms av systemet. För att bestämma dessa koefcienter
insätts (4.23) i di erentialekvationen. Eftersom
ger insättning i (4.23):
dy(t)
dt = Asin(!)! cos(!t) , Acos(!)! sin(!t) (4.24)
[Asin(!) , TAcos(!)!] sin(!t) +[TAsin! + Acos(!)] cos(!t) =Ksin(!t) (4.25)
Då sambandet gäller för alla t, fås att koe cienterna Asin(!) och Acos(!) skall satis era
ekvationerna
Asin(!) , T!Acos(!) = K (4.26)
T!Asin(!) +Acos(!) = 0 (4.27)
40

Denna ekvation har den entydiga lösningen
Asin(!) =
Acos(!) = ,
K
! 2 T 2 +1
!TK
! 2 T 2 +1
(4.28)
(4.29)
Utsignalen från systemet (4.22) då insignalen är en sinusfunktion ges således av (4.23), där
koe cienterna ges av (4.28) och (4.29). Från (4.11) och (4.12) följer att utsignalen kan
karakteriseras med hjälp av en amplitud och fasförskjutning i formen
där
AG(!) =
y(t) =AG(!) sin(!t + 'G(!)) (4.30)
q 2 Asin (!) +A2 cos (!) =
'G(!) = arctan Acos
Asin
K
p
! 2 T 2 +1
(4.31)
= , arctan(!T ) (4.32)
Storheten AG(!) kallas systemets förstärkning eller amplitudförhållande och 'G(!) dess fasförskjutning.
Tillsammans de nierar dessa systemets frekvenssvar, dvs hur systemet påverkar
sinusformade insignaler av olika frekvenser. Frekvenssvaret hos ett första ordningens system
illustreras gra skt i gur 4.4. Ett dylikt diagram, som ger förstärkningen och fasförskjutningen
som funktioner av frekvensen !, kallas Bode-diagram.
Vi ser ur gur 4.4 att förstärkningen minskar monotont med ökande frekvens. Låga frekvenser
(! 1=T ) är dämpningen stor. Ett första ordningens
system fungerar således som ett lågpass lter. Fasförskjutningen hos ett system av första
ordningen är negativ för alla frekvenser, dvs utsignalen är efter i fas jämfört med insignalen,
och minskar monotont från 0 vid ! =0till ,90 vid höga frekvenser.
Proceduren i exempel 4.2 kan generaliseras till system av högre ordning. Substitution
av insignalen u(t) = sin(!t) och uttrycket (4.23) för y(t) i di erentialekvationen (3.2) och
evaluering av derivatorna ger ett samband av formen
[u 11Asin(!) +u 12Acos(!)] sin(!t) +[u 21Asin + u 22Acos(!)] cos(!t) =v 1sin(!t) +v 2cos(!t)
(4.33)
där koe cienterna u 11;u 12;u 21;u 22;v 1 och v 2 beror av di erentialekvationen. Eftersom sambandet
(4.33) gäller för alla t, följer det att koe cienterna Asin(!) och Acos(!) satis erar
ekvationssystemet
u 11Asin(!) +u 12Acos(!) = v 1
u 21Asin(!) +u 22Acos(!) = v 2
(4.34)
(4.35)
Koe cienterna kan sedan lösas och motsvarande förstärkning och fasförskjutning kan bestämmas
ur sambanden (4.11) och (4.12).
41

Fasförskjuting
Förstärkning
1
0.8
0.6
0.4
0.2
10 −2
0
0
−20
−40
−60
−80
10 −2
−100
10 −1
10 −1
10 0
10 0
Frekvens
Figur 4.4: Bode-diagram, som illustrerar förstärkningen och fasförskjutningen hos systemet
dy(t)=dt + y(t) =u(t).
Frekvenssvaret hos en dödtid
Frekvenssvaret hos en en ren tidsfördröjning är speciellt enkelt. För insignalen u(t) = sin(!t)
ges den tidsfördröjda utsignalen av
10 1
10 1
y(t) =u(t,L) = sin(!t , !L) (4.36)
där L är dödtiden. Det följer att förstärkning och fasförskjutning hos en dödtid ges av
A(!) = 1 (4.37)
'(!) = ,!L (4.38)
Förstärkningen är alltså konstant (=1), medan fasförskjutningen beror linjärt av !, dvs
frekvenserna fasförskjuts så att utsignalen är efter insignalen i fas och fasförskjutningens
storlek ökar linjärt med frekvensen.
Anmärkning 4.1
Även om vi ovan beskrivit insignalen med hjälp av en sinusfunktion, är det klart att insignalen
u(t) = cos(!t) förstärks och fasförskjuts på exakt samma sätt som insignalen (4.1). Detta
följer av att sinus- och cosinusfunktionerna är identiska så när som på en fasförskutning av
storleken =2, tycos(!t) = sin(!t + =2).
4.4 Frekvenssvaret hos seriekopplade system
En viktig konsekvens av den enkla formen hos frekvenssvaret för linjära dynamiska system
är att frekvenssvaret hos seriekopplade system får en speciellt enkel form. Betrakta en seriekoppling
av systemet G 1 följd av systemet G 2, så att utsignalen kan uttryckas med hjälp av
överföringsoperatorerna enligt
y(t) =G 2(p)G 1(p)u(t) (4.39)
42
10 2
10 2

För den sinusformade insignalen u(t) = sin(!t) gäller att utsignalen y 1(t) från det första
systemet är
y 1(t) =AG 1 (!) sin(!t + 'G 1 (!)) (4.40)
där AG 1 (!) och 'G 1 (!) anger förstärkningen och fasförskjutningen hos G 1. Då y 1 är insignal
till det andra systemet G 2 får den en ytterligare förstärkning och fasförskjutning, så att
utsignalen från G 2 ges av
där
y(t) = AG 2 (!)AG 1 (!) sin(!t + 'G 1 (!) +'G 2 (!))
= AG 1G 2 (!) sin(!t + 'G 1G 2 (!)) (4.41)
AG 1G 2 (!) = AG 1 (!)AG 2 (!) (4.42)
'G 1G 2 (!) = 'G 1 (!) +'G 2 (!) (4.43)
Den totala förstärkningen är således produkten av de enskilda förstärkningarna och den totala
fasförskjutningen är summan av de enskilda fasförskjutningarna. Observera att motsvarande
enkla samband inte gäller för andra signaler. Således kan t.ex. stegsvaret hos seriekopplade
system inte på något enkelt sätt beräknas ur de enskilda systemens stegsvar.
4.5 Samband mellan frekvenssvar och överföringsoperatorn
Även om frekvenssvaret hos linjära dynamiska system kan beräknas med den ovan beskrivna
metoden, är den inte speciellt bekväm, eftersom proceduren inte ger något enkelt explicit
uttryck för frekvenssvaret. Man brukar därför föredra ett alternativt sätt som gör det möjligt
att uttrycka frekvenssvaret (förstärkning och fasförskjutning) explicit som funktion av
systemets överföringsoperator. Det pris man måste betala för denna förenkling är en något
mera abstrakt beskrivning av frekvenssvaret i form av komplexvärda signaler.
Vi betraktar således den komplexvärda signalen
ue(t) = cos(!t) + j sin(!t) (4.44)
där j anger det imaginära talet j= p ,1. Då den komplexvärda sinusformade signalen (4.44)
är insignal till ett linjärt dynamiskt system G påverkar systemet såväl den reella komponenten
cos(!t) som den imaginära komponenten sin(!t), så att båda komponenterna förstärks med
faktorn AG(!) och fasförskjuts med vinkeln 'G(!). Utsignalen är härvid
ye(t) =AG(!) cos(!t + 'G(!)) + jAG(!) sin(!t + 'G(!)) (4.45)
De komplexvärda signalerna (4.44), (4.45) är speciellt valda så att deras tidsderivata får
en särskilt enkel form. Vi har nämligen
d
[cos(!t + ') + j sin(!t + ')] = ,! sin(!t + ') +j!cos(!t + ')
dt
= j![cos(!t + ') + j sin(!t + ')] (4.46)
43

j sin
Im
6
*
e j = cos + j sin
Figur 4.5: Den komplexa exponentialfunktionen i det komplexa talplanet.
Det följer att di erentiering av signaler av typen (4.44), (4.45) motsvarar multiplikation av
signalen med j!, så att
cos
-
Re
d
dt ue(t) = j!ue(t) (4.47)
d
dt ye(t) = j!ye(t) (4.48)
Vi kan notera att den komplexvärda signalen ue(t) i (4.44) känns igen som den komplexa
exponentialfunktionen e j!t ,ty vi har att
e j = cos( )+jsin( ) (4.49)
Detta samband kan visas t.ex. genom en Taylor-serieutveckling av den komplexa exponentialfunktionen
och de trigonometriska funktionerna i (4.49). Figur 4.5 illustrerar den komplexa
exponentialfunktionen i det komplexa talplanet. Från sambandet (4.49) följer (4.46) direkt,
eftersom
d
dt ej(!t+') =j!e j(!t+') (4.50)
På grund av sambandet (4.49) kommer vi härefter också att beteckna de komplexvärda
signalerna (4.44) och (4.45) kompakt med hjälp av den komplexa exponentialfunktionen, dvs
ue(t) = e j!t (4.51)
ye(t) = AG(!)e j(!t+'G(!)) (4.52)
Betrakta nu systemet som beskrivs av di erentialekvationen (3.2). Vi låter insignalen
vara den komplexvärda signalen (4.51), varvid utsignalen är en signal av formen (4.52).
44

För att bestämma förstärkningen AG(!) och fasförskjutningen 'G(!) insätts uttrycken i
systemekvationen (3.2):
n d
dtn + a d
1
n,1 ! d
d
+ +an,1 + an ye(t) = b
dtn,1 0
dt m
d
+ +bm,1
dtm dt + bm ue(t) (4.53)
Eftersom di erentiering av dekomplexa exponentialfunktionerna är ekvivalent med multiplikation
med faktorn j!, får (4.53) formen
(j!) n + a 1(j!) n,1 + +an,1(j!) +an ye(t)= b 0(j!) m + +bm,1(j!) +bm ue(t)
(4.54)
eller, med införande av polynomen (3.8) och (3.9),
vilket ger
A(j!)ye(t) =B(j!)ue(t) (4.55)
ye(t) = B(j!)
A(j!) ue(t) =G(j!)ue(t) (4.56)
där överföringsfunktionen G(p) = B(p)=A(p) införts enligt (3.12). Sambandet (4.56) uttrycker
förstärkningen AG(!) och fasförskjutningen 'G(!) hos utsignalen ye(t) med hjälp av
överföringsfunktionen G(p). För att få explicita uttryck för dessa storheter kan vi notera att
G(j!), dvs överföringsfunktionen evaluerad för p =j!, är ett komplext tal, som vi kan skriva
i formen
G(j!) =R(!)+jI(!) (4.57)
där R(!) är den reella komponenten och I(!) är den imaginära komponenten. Se gur 4.6.
Då gäller enligt (4.56),
där
ye(t) = G(j!)ue(t)
= G(j!)e j!t
= [R(!) +jI(!)][cos(!t) + j sin(!t)]
= yreell(t) +jyimag(t) (4.58)
yreell(t) = ,I(!) sin(!t) +R(!) cos(!t) (4.59)
yimag(t) = R(!) sin(!t) +I(!) cos(!t) (4.60)
En jämförelse med (4.17), (4.18) och (4.11), (4.12) visar att yreell(t) och yimag(t) kan uttryckas
med hjälp av en amplitud och fasförskjutning enligt
där
yreell(t) = AG(!) cos(!t + 'G(!)) (4.61)
yimag(t) = AG(!) sin(!t + 'G(!))
q
AG(!) = R(!) 2 + I(!) 2
(4.62)
(4.63)
'G(!) = arctan I(!)
45
R(!)
(4.64)

jI(!)
Im
6
jG(j!)j
'(!)
*
G(j!) =R(!)+jI(!)
R(!)
Figur 4.6: Det komplexa talet G(j!) =R(!)+jI(!)i det komplexa talplanet.
Uttrycken (4.63) och (4.64) känns igen som absoluta beloppet jG(j!)j respektive argumentet
arg G( !) (dvs vinkeln med reella talaxeln) hos det komplexa talet G(j!) =R(!)+jI(!).
Vi har alltså fått följande resultat, som uttrycker frekvenssvaret hos ett linjärt dynamiskt
system explicit som funktion av systemets överföringsoperator.
Frekvenssvaret hos ett linjärt system.
Utsignalen från ett linjärt system med överföringsoperatorn G(p) för den sinusformade insignalen
u(t) = sin(!t) ges av
y(t) =AG(!) sin(!t + 'G(!)) (4.65)
där förstärkningen ges av överföringsoperatorns absoluta belopp
q
AG(!) =jG(j!)j = R(!) 2 + I(!) 2 (4.66)
och fasförskjutningen ges av överföringsoperatorns argument
'(!) = arg G(j!) = arctan I(!)
R(!)
-
Re
(4.67)
Vi skall illustrera de ovan givna uttrycken för ett system av första ordningen samt för en
dödtid.
Problem 4.1
Härled frekvenssvaret i ekvationerna (4.31) och (4.32) för ett system av första ordningen med
hjälp av uttrycken (4.66) och (4.67).
46

Frekvenssvaret hos en dödtid
Vi skall ännu veri era att sambanden (4.66) och (4.67) även gäller för en tidsfördröjning. I
avsnitt 3.3.4 hade vi att en ren dödtid av längden L har överföringsoperatorn
Vi har således
och
GL(p) =e ,Lp (4.68)
jGL(j!)j = je ,j!L q
j = cos(,!L) + j sin(,!L) = cos2 2
(,!L) + sin (,!L) =1 (4.69)
arg GL(j!) = arg e ,j!L = argh cos(,!L) +jsin(,!L)i = arctan sin(,!L)
cos(,!L)
= arctan (tan(,!L)) = ,!L (4.70)
Detta överensstämmer med de tidigare härledda uttrycken (4.37), (4.38) för förstärkningen
och fasförskjutningen hos en dödtid.
47