Gränsvärden.
Gränsvärden.
Gränsvärden.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Gränsvärden</strong>.<br />
∞<br />
{ } n =1<br />
Definition. Vi säger att talföljden an har<br />
gränsvärdet A om det för varje ε > 0 finns ett<br />
heltal ω så att | an − A |< ε för alla n > ω .<br />
Definition. Vi säger att funktionen f (x) har<br />
gränsvärdet A då x → ∞om det för varje ε > 0<br />
finns ett ω så att | f (x) − A |< ε för alla x > ω .<br />
x 2 − 1<br />
x 2<br />
att| f (x) − A |= x 2 −1<br />
x 2<br />
Ex 1. Visa att lim<br />
x→∞<br />
= 1. Vi observerar först<br />
1<br />
−1 =<br />
x 2 . Låt nu ε > 0.<br />
För att | f(x) − A | ska vara mindre än ε<br />
räcker det därför att 1 x 2 < ε vilket i sin<br />
tur säkert inträffar om x > 1 ε . Vi kan<br />
alltså välja ω =1 ε . Eftersom argumentet<br />
fungerar för alla ε > 0 är beviset klart.
3x + cos x<br />
Ex 2. Visa att lim<br />
x →∞ x − cos x<br />
= 3.<br />
Definition. Vi säger att funktionen f (x) har<br />
gränsvärdet A då x → a om det för varje ε > 0<br />
finns ett δ > 0 så att | f (x) − A |< ε för alla x ∈ D f<br />
som uppfyller | x − a |< δ .<br />
x 2 −1<br />
Ex 3. Visa att lim = 2.<br />
x→1 x −1<br />
Ex 4. Visa att lim | x | = 0 .<br />
x →0<br />
Vid beräkningar är det<br />
normalt bättre att arbeta<br />
med räkneregler och<br />
standardgränsvärden:<br />
SATS. Antag lim x →a f (x) = A ochlim x →a g(x) = B.<br />
Då gäller<br />
Additionsregeln: lim x →a ( f (x) + g(x)) = A + B<br />
Produktregeln: lim x →a f (x)g(x) = AB<br />
Kvotregeln (B≠0): lim x →a f (x) / g(x) = A / B<br />
Instängningslagen: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) och<br />
lim x →a f (x) = lim x →a h(x) = A ⇒ lim x →a g(x) = A<br />
Olikhetslagen f ≤ g ⇒ lim x →a f (x) ≤ lim x →a g(x) .
Bevisen är snarlika för alla typer av limes och<br />
bygger alla på gränsvärdesdefinitionen.<br />
Additionslagen: låt ε > 0 och välj δ 1 ,δ 2 > 0 så att<br />
| x − a |< δ 1 ⇒| f (x) − A |< ε 2 ,| x − a|< δ 2 ⇒| g(x) − B|< ε 2.<br />
Då gäller för δ = min(δ 1 ,δ 2 ) att<br />
| x − a |< δ ⇒| (f (x) + g(x)) − (A + B) |≤| f (x) − A | + | g(x) − B |< ε<br />
.<br />
För att visa t ex produktlagen, observera<br />
först att om lim x → a f (x) = 0 och g(x) är begränsad<br />
i ngn omgivning av a så gäller att<br />
lim<br />
x→a f (x)g(x) = 0.<br />
Ty om | g(x) |≤ B och ε > 0 så finns enl def. ett tal<br />
δ > 0 så att | x − a|< δ ⇒| f (x) |< ε B. Men då gäller<br />
tydligen också att | x − a |< δ ⇒| f (x)g(x) |< ε . Då<br />
detta är sant för alla ε > 0 följer påståendet.<br />
Själva produktregeln följer nu av observationen,<br />
additionsregeln och omskrivningen<br />
f (x)g(x) − AB = ( f (x) − A)g(x) + A(g(x) − B).<br />
SATS (Sammansättningslagen).<br />
Om lim x →b g( x) = a och lim y →a f (y) = A<br />
så blir lim x →b f (g(x)) = A.
Innebörden av lim y →a f (y) = A är att till varje<br />
öppet intervall av typen ]A− ε, A + ε[ finns ett<br />
motsvarande intervall ]a − δ,a + δ[ runt a med<br />
egenskapen att f (]a − δ, a + δ[) ⊂]A − ε, A + ε[ . Pss<br />
ger lim x → b g(x) = a att det finns en omgivning<br />
]b − γ ,b +γ [ till b så att g(]b − γ ,b + γ [) ⊂]a − δ,a + δ[.<br />
Alltså gäller f (g(]b − γ ,b + γ [)) ⊂]A −ε, A + ε[. Eftersom<br />
detta resonemang för varje ε > 0 ger ett<br />
γ > 0 gäller att lim x→ b f (g(x)) = A. VSB.<br />
SATS. (Standardgränsvärden) Om a > 1 gäller<br />
x<br />
ln x<br />
lim<br />
x →∞ a x = 0 , lim<br />
x →∞ x = 0 , lim x ln x = 0 .<br />
x →0+<br />
Beviset för det första gränsvärdet bygger på<br />
a x = (1 + p) x > (1+ p) n = 1 + n ⎛<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
⎞<br />
⎟ p +<br />
⎠<br />
n ⎛<br />
⎜<br />
⎝ 2<br />
⎞<br />
⎠<br />
⎟ p 2 +K > p2<br />
2<br />
n(n −1) > C(x −1)(x − 2)<br />
(n = heltalsdel(x)) och sammansättningslagen.<br />
SATS. (Standardgränsvärden)<br />
lim<br />
x→0<br />
sin x<br />
x = 1, lim<br />
x→0<br />
e x −1<br />
x<br />
= 1, lim<br />
x →0<br />
ln(1 + x)<br />
x<br />
=1.