Gränsvärden.

Gränsvärden.
∞
{ } n =1
Definition. Vi säger att talföljden an har
gränsvärdet A om det för varje ε > 0 finns ett
heltal ω så att | an − A |< ε för alla n > ω .
Definition. Vi säger att funktionen f (x) har
gränsvärdet A då x → ∞om det för varje ε > 0
finns ett ω så att | f (x) − A |< ε för alla x > ω .
x 2 − 1
x 2
att| f (x) − A |= x 2 −1
x 2
Ex 1. Visa att lim
x→∞
= 1. Vi observerar först
1
−1 =
x 2 . Låt nu ε > 0.
För att | f(x) − A | ska vara mindre än ε
räcker det därför att 1 x 2 < ε vilket i sin
tur säkert inträffar om x > 1 ε . Vi kan
alltså välja ω =1 ε . Eftersom argumentet
fungerar för alla ε > 0 är beviset klart.

3x + cos x
Ex 2. Visa att lim
x →∞ x − cos x
= 3.
Definition. Vi säger att funktionen f (x) har
gränsvärdet A då x → a om det för varje ε > 0
finns ett δ > 0 så att | f (x) − A |< ε för alla x ∈ D f
som uppfyller | x − a |< δ .
x 2 −1
Ex 3. Visa att lim = 2.
x→1 x −1
Ex 4. Visa att lim | x | = 0 .
x →0
Vid beräkningar är det
normalt bättre att arbeta
med räkneregler och
standardgränsvärden:
SATS. Antag lim x →a f (x) = A ochlim x →a g(x) = B.
Då gäller
Additionsregeln: lim x →a ( f (x) + g(x)) = A + B
Produktregeln: lim x →a f (x)g(x) = AB
Kvotregeln (B≠0): lim x →a f (x) / g(x) = A / B
Instängningslagen: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) och
lim x →a f (x) = lim x →a h(x) = A ⇒ lim x →a g(x) = A
Olikhetslagen f ≤ g ⇒ lim x →a f (x) ≤ lim x →a g(x) .

Bevisen är snarlika för alla typer av limes och
bygger alla på gränsvärdesdefinitionen.
Additionslagen: låt ε > 0 och välj δ 1 ,δ 2 > 0 så att
| x − a |< δ 1 ⇒| f (x) − A |< ε 2 ,| x − a|< δ 2 ⇒| g(x) − B|< ε 2.
Då gäller för δ = min(δ 1 ,δ 2 ) att
| x − a |< δ ⇒| (f (x) + g(x)) − (A + B) |≤| f (x) − A | + | g(x) − B |< ε
.
För att visa t ex produktlagen, observera
först att om lim x → a f (x) = 0 och g(x) är begränsad
i ngn omgivning av a så gäller att
lim
x→a f (x)g(x) = 0.
Ty om | g(x) |≤ B och ε > 0 så finns enl def. ett tal
δ > 0 så att | x − a|< δ ⇒| f (x) |< ε B. Men då gäller
tydligen också att | x − a |< δ ⇒| f (x)g(x) |< ε . Då
detta är sant för alla ε > 0 följer påståendet.
Själva produktregeln följer nu av observationen,
additionsregeln och omskrivningen
f (x)g(x) − AB = ( f (x) − A)g(x) + A(g(x) − B).
SATS (Sammansättningslagen).
Om lim x →b g( x) = a och lim y →a f (y) = A
så blir lim x →b f (g(x)) = A.

Innebörden av lim y →a f (y) = A är att till varje
öppet intervall av typen ]A− ε, A + ε[ finns ett
motsvarande intervall ]a − δ,a + δ[ runt a med
egenskapen att f (]a − δ, a + δ[) ⊂]A − ε, A + ε[ . Pss
ger lim x → b g(x) = a att det finns en omgivning
]b − γ ,b +γ [ till b så att g(]b − γ ,b + γ [) ⊂]a − δ,a + δ[.
Alltså gäller f (g(]b − γ ,b + γ [)) ⊂]A −ε, A + ε[. Eftersom
detta resonemang för varje ε > 0 ger ett
γ > 0 gäller att lim x→ b f (g(x)) = A. VSB.
SATS. (Standardgränsvärden) Om a > 1 gäller
x
ln x
lim
x →∞ a x = 0 , lim
x →∞ x = 0 , lim x ln x = 0 .
x →0+
Beviset för det första gränsvärdet bygger på
a x = (1 + p) x > (1+ p) n = 1 + n ⎛
⎜
⎝ 1
⎞
⎟ p +
⎠
n ⎛
⎜
⎝ 2
⎞
⎠
⎟ p 2 +K > p2
2
n(n −1) > C(x −1)(x − 2)
(n = heltalsdel(x)) och sammansättningslagen.
SATS. (Standardgränsvärden)
lim
x→0
sin x
x = 1, lim
x→0
e x −1
x
= 1, lim
x →0
ln(1 + x)
x
=1.