Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 4 - ISY

Välkomna till TSRT15 Reglerteknik
Föreläsning 4
Sammanfattning av föreläsning 3
Rotort
Mer specifikationer
Nollställen (om vi hinner)

Sammanfattning av förra föreläsningen
Vi introducerade PID-regulatorn (Propertionell Integrerande Deriverande)
P-delen styr snabbhet
I-del minskar/tar bort reglerfel
D-del minskar/tar bort oscillationer
Vi introducerade tre viktiga överföringsfunktioner: kretsförstärkning, slutna
systemet samt känslighetsfunktionen
2

Sammanfattning av förra föreläsningen
Felkoefficienter definierades som kvarvarande stationärt reglerfel då ett steg,
ramp, etc används som referens signal
Antalet integratorer i kretsförstärkningen G O(s) = F(s)G(s) bestämmer hur
många felkoefficienter som blir noll
3

Rotort
Förra föreläsningen tog vi fram en regulator till en svävande kula, och
fick för en PID-regulator följande slutna system
Slutna systems dynamik karakteriseras främst av överföringsfunktionens
poler, dvs polpolynomets rötter
I dag frågar vi oss ”hur beror polerna på parametrar i polpolynomet”
Här tre parametrar och tre rötter, men vi kommer att studera fallet då
bara en parameter tillåts variera
4

Rotort
Standardproblemet: Vi studerar polpolynom i följande form
Exempel: K P och K I fixerade, K D varierar
Eftersom det är enkelt att räkna ut rötter i MATLAB kan vi räkna ut
rötter för varierande K D, och plotta i komplexa talplanet
Vi testar med K P=1 och K I=0.1 och räknar ut poler för 0· K D

Rotort
Poler för K D=0:
{-0.09, 0.049±i}
Poler för K D=2:
{-1.28, -0.59,-0.13}
Poler för K D=10000:
{-99.9, -0.001±0.001i}
6

Rotort
Rotorter har väldigt typiska utseenden, och vi skall nu lära oss skissa
dessa utan att faktiskt beräkna en massa rötter
Vi antar att P(s) och Q(s) är i följande form
Vidare så antar vi n≥m och K≥0
7

Rotort
Enkla egenskaper
För varje K finns det n rötter. Rotorten sägs ha n grenar
Rötterna för K=0 är lika med rötterna till P(s)=0. Dessa rötter kallas
startpunkter.
Rötterna för K=∞ ges av rötterna till Q(s)=0. Dessa rötter kallas
slutpunkter
Om m

Rotort
Avancerade egenskaper: Asymptoter
De n-m rötterna som inte går mot en slutpunkt rör sig längs
asymptotiska strålar som utgår från punkten
i riktningarna
9

Rotort
Avancerade egenskaper: Reella axeln
”De delar av reella axeln som har ett udda antal start och slutpunkter
till höger på reella axeln, tillhör rotorten”
Låt p i vara reella startpunkter och q i vara reella slutpunkter. Då gäller
det att
Satsen följer ut teckenanalys av kvoten, se kursbok
10

Rotort
Exempel: Svävande kulan
Vi skissar rotort för svävande kulan med en PID-regulator där I-delen har
fixerats till K I=2 och D-delen till K D=4.
Polerna ges såldes av
Vi identifierar våra start- och slutpolspolynom
12

Rotort
Startpunkter (n=3):
Slutpunkter (m=1):
Aymptotriktningar:
Asymptotskärning med reella axeln
13

Rotort
Del av reella axeln i rotort
Skärning med imaginära axeln?
Alltså, K>0.5 ger stabila poler
14

Rotort
Sann rotort
Notera att det faktum
att de två komplexa
rötterna blir reella för
ett intervall ej kan
ses med hjälp av vår
metodik
De två komplexa
rötterna skulle precis
lika gärna kunna ha
gått direkt mot
asymptoterna, enligt
våra ritregler
15

Specifikationer
Var vill man ha polerna då?
Vi har tidigare sett att vi vill ha poler i vänstra halvplanet för stabilitet,
komplexdel ger oscillationer, samt att avstånd till origo bestämmer snabbhet
Vi skall nu precisera detta lite, samt relatera till mått på stegsvar.
16

Specifikationer
17

Specifikationer
Översläng M: Största utsignal dividerat med slutvärde (ibland i %)
Stigtid T r: Tid för att gå från 10% till 90% av slutvärde
Insvängningstid T s: Tid innan utsignalen håller sig inom 5% från slutvärde
18

Specifikationer
Första ordningens system:
Specifikationerna kan enkelt översättas till krav på en pol för ett första
ordningens system (eller ett system som domineras av en pol)
Kom även ihåg tidskonstanten (1/a) som definierar tiden det tar att nå 63%
av slutvärdet
19

Specifikationer
Andra ordningens system:
Specifikationerna för ett 2:a ordningens system med komplexkonjugerade
poler är lite knepigare
Detaljer inte viktiga…
20

Specifikationer
Vad vi skall försöka komma ihåg:
Insvängningstid är ungefär 3/(avstånd till origo) för reella poler och
oscillerande system med rimligt stor relativ dämpning ξ (mellan 0.5 och 1)
En relativ dämpning ξ på 0.7 ger en översläng på ungefär 5%, vilket ofta är
vad man siktar på.
I komplexa talplanet betyder
det att vi vill att poler skall ligga
i det skuggade området
(dvs i en kon med vinkeln
45º vilket motsvarar ξ=0.7)
45º
Im
Re
21

Rotort
Det verkar vara
möjligt att välja K P så
att polerna hamnar i
det önskade området,
med K I och K D
fixerade till 2 och 4
22

Sammanfattning
Sammanfattning av dagens föreläsning
En rotort beskriver hur polerna rör sig i det komplexa talplanet när en
parameter i polpolynomet varierar
Enkla räkneregler hjälper oss att skissa rotorten utan att faktiskt
beräkna en massa rötter
Insvängningstid för ett steg ges av ungefär 3/(avstånd till origo för pol
närmast origo).
En relativ dämpning på 0.7 ger en översläng på ungefär 5%
23

Sammanfattning
Viktiga begrepp
Rotort: Polers position i komplexa talplanet som funktion av en
parameter
Insvängningstid : Tid det tar för ett stegsvar att hålla sig inom 5% från
slutvärdet
Stigtid: Tid det tar att gå från 10% till 90% av slutvärdet vid ett
stegsvar
Översläng: Största värdet på utsignalen dividerat med slutvärdet
24