Lösningsförslag fråga 5

Fråga 5 i Theducations matematiktävling 2004 för gymnasielärare i matematik
Låt a, b, c, d vara längderna av på varandra följande sidor i en fyrhörning (ej nödvändigtvis
konvex) med area S. Då gäller
ac + bd
S ≤
2
Bevisa detta. För vilka fyrhörningar gäller likhet?
Lösning:
Låt fyrhörningens hörn vara K, L, M, N enligt figuren. Först konstaterar vi att åtminstone en
av fyrhörningens diagonaler KM och LN ligger helt inom fyrhörningen. Om KLMN är konvex
ligger båda diagonalerna helt inom fyrhörningen. Om KLMN inte är konvex måste en av
vinklarna i fyrhörningen vara större än 180° medan alla de övriga måste vara mindre än 180°.
(Vinkelsumman är ju 360°.) Vi kan anta att det i så fall är vinkeln vid L som är större än 180°.
Då måste LN ligga helt inom KLMN (eftersom vinkeln K kan vara en vinkel i en triangel och
detsamma gäller vinkeln M) medan KM ligger utanför (eftersom vinkeln L inte kan vara en
vinkel i en triangel.)
N
K
Vare sig KLMN är konvex eller inte kan vi dela den i två trianglar LKN och LMN och vrida
LMN ett halvt varv runt en axel vinkelrät mot LN och med mittpunkten på LN fixerad. Då får
vi en ny fyrhörning KL′M′N′ enligt figuren nedan, naturligtvis med samma area S som för
KLMN.
N′
K
a
a
Arean av KL′M′N′ ges (med vinklar enligt figuren) av areasatsen för de två deltrianglarna
KL′M′ och KN′M′:
d
d
S = 1 ac sin( γ + δ ) + 1 bd sin( α + β )
2
2
γ
L
γ
L′
α
δ
β δ
β
b
α
c
c
M
b
M′

(Inom parentes kan nämnas att denna formel fungerar också i de fall då α + β > 180°
eller
γ + δ > 180°
. Detta inses av exempelvis triangeln nedan. Arean av fyrhörningen KL′M′N′ är
differensen mellan areorna av trianglarna KN′M′ och KL′M′, vilket ger
N′
S = 1 bd sin( α + β ) − 1 ac sin( 360°
− ( γ + δ )) .
2
2
Eftersom sin( 360°
− v) = − sin v får vi
S = 1 bd sin( α + β ) − 1 ac(
− sin( γ + δ )) = 1 bd sin( α + β ) + 1 ac sin( γ + δ ) ,
2
2
2
2
vilket stämmer precis med formeln ovan.)
Eftersom sin v ≤ 1,
för varje vinkel v, får vi för en godtycklig fyrhörning att
1 1 ac + bd
S ≤ ac + bd = .
2 2 2
Återstår att undersöka för vilka fyrhörningar likhet råder!
För detta observerar vi att
ac + bd
S = ⇔ sin( α + β ) = sin( λ + δ ) = 1,
2
dvs vi måste ha α + β = γ + δ = 90°
, vilket speciellt ger α + β + γ + δ = 180°
. Detta betyder
att KLMN är en fyrhörning där motstående vinklar har summan 180°.
Varje fyrhörning KLMN där motstående vinklar har summan 180° kan inskrivas i en cirkel.
(Detta inses genom att rita den cirkel som går genom hörnen
L, M och N med centrum i skärningspunkten för
mittpunktsnormalerna till sidorna i triangeln LMN (det finns
en entydigt bestämd sådan cirkel enligt känd sats från
Euklidisk geometri). Om K skulle ligga utanför cirkeln kan
vi låta skärningen mellan cirkeln och sträckan KN vara Q
och konstatera att summan av vinkeln LQN och vinkeln vid
hörnet M, enligt randvinkelsatsen, måste vara 180° eftersom
LMNQ är en inskriven fyrhörning i cirkeln. Detta strider mot
att summan av vinklarna vid hörnen K och M ska vara 180°.
På samma sätt inses att K inte kan ligga inuti cirkeln.)
K
Vidare, eftersom KLMN kan inskrivas i en cirkel, är KLMN konvex så att diagonalerna båda
ligger inuti fyrhörningen. Dessutom skär de båda diagonalerna varandra under rät vinkel.
Detta inses genom att betrakta exempelvis vinklarna NLM och NKM som är randvinklar på
samma cirkelbåge och därmed lika (α i figuren på nästa sida). Eftersom α + β = 90°
är
vinkeln φ i figuren rät, dvs diagonalerna i KLMN skär varandra under rät vinkel.
a
d
γ
K
L′
β
δ
Q
α
c
N
b
M′
L M

ac + bd
Därmed är det klart att vi har ett nödvändigt villkor för att S = , nämligen att KLMN
2
ska gå att skriva in i en cirkel och att diagonalerna ska skära varandra under rät vinkel.
Det är inte så svårt att inse att detta villkor också är tillräckligt. Om nämligen KLMN kan
inskrivas i en cirkel måste randvinklarna NLM och NKM vara lika och om dessutom
diagonalerna skär varandra under rät vinkel har vinklarna KNL och NKM summan 90°.
Därmed är α + β = 90°
i figuren, vilket också ger γ + δ = 90°
eftersom KLMN är inskriven i
ac + bd
cirkeln. Detta betyder, som vi tidigare sett, att S = .
2
Därmed har vi nått följande slutsats:
ac + bd
S =
2
⇔
Fyrhörningen går att skriva in i en cirkel och dess diagonaler skär varandra under räta vinklar.
Men detta är ett ganska omständligt villkor att kontrollera. För att förenkla det lite konstaterar
vi än en gång att fyrhörningen kan skrivas in i en cirkel är ekvivalent med att motstående
vinklar har summan 180°. Dessutom betraktar vi figuren nedan där vi enligt cosinussatsen får
2 2 2 2
2 2
a + c = u + y − 2uy
cos( 180°
−ϕ
) + v + x − 2vx
cos( 180°
−ϕ
) , dvs
2 2 2 2
2 2
a + c = u + y + 2uy
cosϕ
+ v + x + 2vx
cosϕ
,
och
2 2 2 2
2 2
b + d = u + v − 2uv
cosϕ
+ x + y − 2xy
cosϕ
, så att
2 2 2 2
a + c − b − d = 2(
uy + vx + uv + xy)
cosϕ
.
L
L
K
K
a
γ
γ
α
α
α
α
b
φ
φ
M
d
M
β
δ
β
δ
c
N
N
L
K
a
u
b
y
d
v
x
M
c
N

2 2 2 2
Av detta får vi att a + c − b − d = 0 ⇔ cos ϕ = 0 , vilket också kan skrivas
a +
Vi kan nu skriva slutsatsen tidigare lite enklare:
I fyrhörningen är
ϕ .
2 2 2 2
+ c = b d ⇔ = 90°
a +
ac + bd
S =
2
⇔
2 2 2 2
+ c = b d och motstående vinklar har summan 180°.
Därmed är det bevisat att arean S av en fyrhörning med längder a, b, c, d av på varandra
ac + bd
2 2 2
följande sidor uppfyller S = med likhet om och endast om både a + c = b + d
2
och motstående har vinklar i fyrhörningen har summan 180°.
Andreas Gunnarsson
2