Noviser och experter löser problem - Ncm
Noviser och experter löser problem - Ncm
Noviser och experter löser problem - Ncm
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
alexander engström & alan sola<br />
<strong>Noviser</strong> <strong>och</strong> <strong>experter</strong><br />
<strong>löser</strong> <strong>problem</strong><br />
Hur beter vi oss när vi ställs inför ett nytt <strong>problem</strong>? Frågan är relevant<br />
för <strong>problem</strong>lösare på alla stadier. Artikeln behandlar resultat av en<br />
undersökning om reaktioner <strong>och</strong> tillvägagångssätt<br />
vid <strong>problem</strong>lösning.<br />
Denna artikel är en förkortad version<br />
av en uppsats skriven inom ramen<br />
för en doktorandkurs i matematikdidaktik<br />
vid Kungliga Tekniska högskolan<br />
<strong>och</strong> Stockholms universitet under vårterminen<br />
2007.<br />
Vi är doktorander i matematik <strong>och</strong> möter<br />
således regelbundet matematiska <strong>problem</strong><br />
som ska lösas. Båda är vi intresserade av <strong>problem</strong>lösning.<br />
Det var inte i första hand specifika<br />
<strong>problem</strong>lösningsstrategier eller allmänna<br />
matematiska metoder för att lösa<br />
<strong>problem</strong> som intresserade oss. Vi ville istället<br />
förstå <strong>och</strong> beskriva hur olika personer reagerar<br />
när de blir ställda inför matematiska<br />
<strong>problem</strong>, hur de beter sig under <strong>problem</strong>lösningsprocessen<br />
<strong>och</strong> vad de gör efter att<br />
de har löst ett <strong>problem</strong>. Vilka olika känslor<br />
<strong>och</strong> sinnesstämningar, såsom frustration,<br />
upprymdhet <strong>och</strong> besatthet kan uppstå hos<br />
den som försöker lösa ett matematiskt <strong>problem</strong>?<br />
Övergripande strategier <strong>och</strong> handlingssätt<br />
vid <strong>problem</strong>lösning var av intresse<br />
i vår studie, då vi tror att de i stor utsträckning<br />
påverkas av vilka känslor <strong>problem</strong>lösaren<br />
upplever. Vi ville också försöka förstå<br />
hur sådana beteendemönster vid <strong>problem</strong>lösning<br />
uppkommer, hur de påverkas av studier<br />
av matematik <strong>och</strong> i vilken grad de är gemensamma<br />
för olika individer. Kortfattat<br />
skulle man kunna säga att vi är intresserade<br />
av hur man känner <strong>och</strong> vad man gör snarare<br />
än vilka speciella metoder <strong>och</strong> ”tricks” man<br />
tillämpar när man försöker lösa ett matematiskt<br />
<strong>problem</strong>. Slutligen vill vi diskutera<br />
vilka konsekvenser för grundutbildningen<br />
i matematik som skulle kunna följa av våra<br />
resultat.<br />
Den empiriska undersökningen grundar<br />
sig på ett antal intervjuer med olika personer,<br />
både noviser <strong>och</strong> <strong>experter</strong>, som på ett<br />
eller annat sätt bedriver matematikstudier.<br />
Ur dessa intervjuer har vi sedan försökt dra<br />
slutsatser. Eftersom det statistiska underlaget<br />
är högst begränsat kan vi inte generalisera<br />
eller dra alltför långtgående slutsatser.<br />
Vår förhoppning är emellertid att de slutsatser<br />
vi drar <strong>och</strong> de påståenden vi gör utgående<br />
från våra intervjuer ändå ska vara<br />
av intresse <strong>och</strong> kunna antyda förekomsten<br />
av gemensamma drag i olika individers <strong>problem</strong>lösningsbeteende.<br />
NämNareN Nr 1 • 2008<br />
51
Tillvägagångssätt<br />
Sammanlagt ligger sex intervjuer till grund<br />
för denna uppsats. En intervju genomfördes<br />
med en professor i matematik <strong>och</strong> en<br />
annan med en universitetslektor i matematik.<br />
Vidare intervjuade vi två doktorander<br />
<strong>och</strong> två studenter på grundutbildningen.<br />
Vi ställde frågor utifrån en på förhand<br />
utarbetad intervjuguide, men tillät oss att<br />
göra avsteg från formuläret för att förtydliga<br />
frågor <strong>och</strong> för att följa upp intressanta<br />
svar. De intervjuade hade inte informerats<br />
om frågornas karaktär i förväg, utan hade<br />
bara fått veta att intervjun skulle handla<br />
om <strong>problem</strong>lösning. Detta betyder att svaren<br />
var spontana i intervjusituationen. En<br />
av de seniora <strong>problem</strong>lösarna valdes eftersom<br />
vi var medvetna om dennes intresse för<br />
ämnet. Doktoranderna valdes ut mer eller<br />
mindre slumpmässigt. Studenterna i grundutbildning<br />
valdes ut ur författarnas bekantskapskrets<br />
såsom personer som kunde förväntas<br />
lämna uppriktiga svar. Studenterna<br />
stod inte i någon beroendeställning till oss.<br />
Det råder knappast någon tvekan om att de<br />
intervjuade forskarna kan betraktas som<br />
<strong>experter</strong> i matematik <strong>och</strong> i någon mening<br />
även på matematisk <strong>problem</strong>lösning. Vi har<br />
även ansett att doktorander i matematik<br />
tillhör gruppen <strong>experter</strong>, men det är vår förhoppning<br />
att deras svar i viss utsträckning<br />
bär spår av deras erfarenheter från grundstudier<br />
i matematik. Grundutbildningsstudenterna<br />
har vi ansett vara noviser, även om<br />
en av dem har läst relativt mycket matematik<br />
<strong>och</strong> är på god väg att bli expert. Intervjuerna<br />
genomfördes på följande sätt. En av oss<br />
ställde frågorna, medan den andre antecknade<br />
<strong>och</strong> inflikade följdfrågor. Den som antecknade<br />
skrev sedan ner ett kort referat av<br />
samtalet. Referaten skickades sedan ut till<br />
samtliga deltagare efter intervjutillfällena<br />
<strong>och</strong> godkändes väsentligen utan invändning<br />
av de intervjuade. Överlag fick vi intrycket<br />
att samtliga personer vi intervjuade svarade<br />
spontant <strong>och</strong> uppriktigt på frågorna vi ställde.<br />
Det är emellertid möjligt att vissa svar<br />
påverkades av att den intervjuade – kanske<br />
undermedvetet – vet att matematiker förväntas<br />
bete sig på ett visst sätt.<br />
52 NämNareN Nr 1 • 2008<br />
Intervjuerna<br />
I denna del genomför vi en analys av de intervjuer<br />
som gjorts. Vi behandlar varje fråga<br />
i intervjuguiden separat.<br />
Vad är det första du gör när du får ett <strong>problem</strong>?<br />
De flesta försökte att sätta in <strong>problem</strong>et<br />
i en kontext <strong>och</strong> att visualisera det; ibland<br />
genom att konkret rita på papper <strong>och</strong> ibland<br />
genom att skapa sig en inre bild. Att avgöra<br />
om lösningen på <strong>problem</strong>et är känd eller<br />
om <strong>problem</strong>et är olöst kunde vara avgörande<br />
på ett psykologiskt plan för att man skulle<br />
kunna bestämma hur det ska angripas.<br />
En av de intervjuade försökte medvetet<br />
att endast skriva mycket lite i början för att<br />
tvinga fram abstraktioner som uppstår när<br />
man tänker på matematik utan skriftliga<br />
hjälpmedel. Det var också viktigt att vara<br />
säker på att man är på det klara med alla<br />
nödvändiga begrepp <strong>och</strong> ingående definitioner.<br />
De kunde betrakta små enkla exempel,<br />
som kunde ge uppslag till hur det allmänna<br />
<strong>problem</strong>et skulle angripas. Det verkade vara<br />
viktigt att de hade mycket tid på sig att tänka<br />
på <strong>problem</strong>et.<br />
Om du vänder dig till litteraturen, hur går<br />
du i sådana fall tillväga?<br />
De flesta kunde tänka sig att använda litteratur<br />
för att slå upp definitioner <strong>och</strong> vanliga<br />
satser inom <strong>problem</strong>området. Det verkade<br />
inte som om <strong>problem</strong>lösarna letade efter<br />
färdiga lösningar i böcker eller liknande.<br />
Det hade vi möjligtvis kunnat förvänta oss.<br />
Det fanns till <strong>och</strong> med en tendens till att<br />
de mer seniora <strong>problem</strong>lösarna undvek litteratur<br />
helt för att inte fastna i andras tankegångar.<br />
De äldre <strong>problem</strong>lösarna var väl<br />
förtrogna med matematikdatabasen Math<br />
SciNet <strong>och</strong> använde denna som en källa till<br />
relevant information.<br />
Hur gör du när du kör fast?<br />
Här fick vi intrycket att det fanns två huvudalternativ.<br />
Det ena var att variera proble
met, att förenkla det <strong>och</strong> titta på triviala fall<br />
eller att släppa på någon av förutsättningarna<br />
<strong>och</strong> se varför ett påstående blir falskt. Vi<br />
skulle vilja sammanfatta detta med att man<br />
förenklar <strong>problem</strong>et. Det andra alternativet<br />
var att helt lägga <strong>problem</strong>et ifrån sig <strong>och</strong><br />
låta det vila när man inte längre kände att<br />
man kom någonstans. De flesta vi intervjuade<br />
verkade ha upplevt att de kom på en lösning<br />
på ett <strong>problem</strong> de tidigare hade tänkt<br />
på flera veckor senare, <strong>och</strong> i ett helt annat<br />
sammanhang – till exempel när de var ute<br />
<strong>och</strong> promenerade.<br />
Blir du stressad när du inte klarar av att<br />
lösa ett visst <strong>problem</strong>? Hur hanterar du situationen?<br />
Stress verkade främst uppkomma i samband<br />
med tidspress eller om de kände att de<br />
av någon anledning verkligen borde kunna<br />
lösa ett <strong>problem</strong> – exempelvis för att man<br />
själv hade formulerat det som en uppgift för<br />
egna studenter, eller för att det allmänt ansågs<br />
vara lätt. Det kunde också resultera i<br />
stress om <strong>problem</strong>et var en del av ett större<br />
projekt som man verkligen ville få klart.<br />
Deltagarna i studien verkade ha förlikat sig<br />
med att man ibland inte kan lösa <strong>problem</strong><br />
som ställs; de hade blivit vana vid detta. En<br />
av de intervjuade ansåg emellertid att det<br />
kunde vara direkt smärtsamt att misslyckas<br />
eftersom han inte kunde sluta tänka på<br />
vissa <strong>problem</strong> ibland. Detta var ibland nödvändigt<br />
för att nå en lösning.<br />
Hur brukar det kännas när du hittar en lösning?<br />
Växer lösningen fram med tiden eller<br />
finns den plötsligt där?<br />
Här märktes en slags dikotomi. De flesta<br />
upplevde att mindre del<strong>problem</strong> ofta löses<br />
genom en plötslig insikt, men att större<br />
<strong>problem</strong> löses i små steg genom idogt arbete.<br />
Det var vanligt förekommande att man<br />
missförstod eller gjorde fel på vägen. Detta<br />
stod i konstrast till den utbredda uppfattningen<br />
att matematiska <strong>problem</strong> alltid låter<br />
sig lösas genom plötsliga insikter.<br />
Hur länge väntar du med att skriva ner en<br />
lösning? Brukar du göra detta genast eller<br />
väntar du?<br />
På denna punkt skilde sig svaren åt. Flera av<br />
de intervjuade lät medvetet tiden gå innan<br />
de skrev ner lösningar, de ville kunna pröva<br />
lösningen <strong>och</strong> reflektera kring den. I andra<br />
fall skrev man ner lösningen omedelbart –<br />
<strong>och</strong> lämnade in den, om det rörde sig om en<br />
inlämningsuppgift.<br />
I vissa fall skrev <strong>problem</strong>lösarna aldrig<br />
ner lösningen. De ansåg då inte att det var<br />
själva lösningen, eller ens tillfredsställelsen<br />
av att ha löst <strong>problem</strong>et, som var det viktiga,<br />
utan att man hade skaffat sig ny kunskap<br />
<strong>och</strong> insikter på vägen.<br />
Hur avgör du om din lösning är korrekt?<br />
Genomför du rimlighetskontroller?<br />
De flesta verkade inte vara särskilt oroliga<br />
för att lösningar de väl kommit fram<br />
till <strong>och</strong> godkänt skulle visa sig vara felaktiga.<br />
Det var vanligt att man testade lösningen<br />
i enkla specialfall <strong>och</strong> försökte förenkla<br />
lösningsgången. En annan möjlighet som<br />
nämndes var att undersöka om man verkligen<br />
hade använt alla förutsättningar som<br />
var givna. Om detta inte var fallet fanns det<br />
en risk att lösningen var felaktig. De kunde<br />
även presentera lösningen för kolleger <strong>och</strong><br />
be dem försöka hitta fel.<br />
Vad gör du efter att du har löst ett <strong>problem</strong>?<br />
Denna fråga tolkades på olika sätt av deltagarna<br />
i studien. Vissa beskrev bara den matematiska<br />
formalismen som måste införas,<br />
andra berättade hur de hade gått till en kompis<br />
eller en annan matematiker <strong>och</strong> berättat<br />
om att de hade löst <strong>problem</strong>et – eller att de<br />
hade hämtat en kopp kaffe för att fira.<br />
Tycker du att det är roligt att lösa <strong>problem</strong>?<br />
Svaret på denna fråga var i samtliga fall ja.<br />
De flesta svarade att de förknippade <strong>problem</strong>lösning<br />
nästan enbart med positiva<br />
känslor. Det fanns bland de mer seniora en<br />
känsla att matematiken hade övergått från<br />
att vara en hobby till att bli ett yrke <strong>och</strong> då<br />
kunde rutinen få <strong>problem</strong>lösandet att delvis<br />
tappa sin attraktionskraft. Dessutom kunde<br />
de stressmoment som omnämns tidigare i<br />
vissa situationer göra det mindre roligt att<br />
lösa <strong>problem</strong>.<br />
NämNareN Nr 1 • 2008<br />
53
Brukar du spara <strong>och</strong> återkomma till <strong>problem</strong><br />
du har misslyckats med att lösa?<br />
På denna fråga skiljde sig svaren mycket.<br />
Vissa hade byggt upp en omfattande samling<br />
av <strong>problem</strong>, eventuellt tillsammans<br />
med dellösningar på <strong>problem</strong>en, andra<br />
slängde regelbundet – exempelvis varje år –<br />
alla gamla anteckningar.<br />
Finns det något i din utbildning som du<br />
tycker har gjort att du har blivit en bättre<br />
<strong>problem</strong>lösare?<br />
Det framstod som att de intervjuade var<br />
överrens om att man i alla fall blir bättre på<br />
<strong>problem</strong>lösning genom att öva sig på det. De<br />
flesta ansåg att de <strong>problem</strong> som man får i<br />
form av inlämningsuppgifter <strong>och</strong> övningar i<br />
läroböcker kunde bidra till detta. En av de intervjuade,<br />
en lektor, deltog under studietiden<br />
i en grupp där <strong>problem</strong>lösning övades, vilket<br />
han bedömde var bra för hans matematiska<br />
utveckling. Det var under denna tid han<br />
lärde sig de tillvägagångssätt han fortfarande<br />
använder när han arbetar med <strong>problem</strong>.<br />
Kan man lära ut <strong>problem</strong>lösning?<br />
Det var svårt att utläsa någon särskild trend<br />
i svaren på denna fråga, förutom att många<br />
tyckte att man indirekt kan lära ut <strong>problem</strong>lösning<br />
genom att dela ut bra <strong>problem</strong> <strong>och</strong><br />
presentera eleganta lösningar för studenter.<br />
Slutsatser<br />
Vid sammanställningen av intervjuerna<br />
sökte vi besvara de frågor vi ställde oss i inledningen,<br />
<strong>och</strong> speciellt ville vi jämföra svaren<br />
från de mer erfarna matematikerna med<br />
de yngre studenternas svar. Vi kunde inte<br />
fastställa några större skillnader efter en<br />
analys av våra anteckningar. Det framgick<br />
relativt tydligt att de intervjuade uppvisar<br />
samma grundläggande reaktioner <strong>och</strong> känslor<br />
i <strong>problem</strong>lösningssituationer. Man såg<br />
det som en rolig utmaning att lösa <strong>problem</strong>,<br />
<strong>och</strong> det var särskilt spännande om <strong>problem</strong>formuleringen<br />
var enkel <strong>och</strong> lösningen blev<br />
elegant. Tidspress uppfattades över lag som<br />
negativ av deltagarna i studien, man ville<br />
54 NämNareN Nr 1 • 2008<br />
gärna ha mycket tid på sig att tänka på <strong>problem</strong>en.<br />
Själva <strong>problem</strong>lösningsuppgiften i<br />
sig verkade inte framkalla stress, inte heller<br />
eventuella misslyckanden. Några av personerna<br />
vi intervjuade verkade ha svårt att<br />
släppa ifrån sig <strong>problem</strong>, men vi misstänker<br />
att detta kunde bero mer på deras personlighet<br />
än vilken matematisk nivå de befinner<br />
sig på. Vi har inte kunnat se att yngre studenter<br />
skulle vara mer benägna att leta efter<br />
färdiga lösningar i större utsträckning än de<br />
äldre. Däremot bidrog erfarenhet till självförtroendet,<br />
<strong>och</strong> en större kunskap gjorde<br />
att man kunde inleda arbetet utan att behöva<br />
slå upp definitioner <strong>och</strong> påminna sig<br />
grundläggande satser. Det verkade vara gemensamt<br />
för deltagarna i studien att de inte<br />
helt lämnade ett <strong>problem</strong> när de inte aktivt<br />
arbetade med det – det undermedvetna<br />
fortsatte arbetet med att försöka bemästra<br />
<strong>problem</strong>et. Även de övergripande strategierna<br />
tedde sig mycket lika. De intervjuade<br />
inledde sin <strong>problem</strong>lösning på snarlika sätt.<br />
De såg till att förstå <strong>problem</strong>et <strong>och</strong> alla definitioner<br />
som användes, <strong>och</strong> de undersökte<br />
i ett första steg olika specialfall eller försökte<br />
sätta in <strong>problem</strong>et i något abstrakt<br />
sammanhang. Nästan intuitivt verkade alla<br />
deltagare i undersökningen inse att den tid<br />
man i början lägger ner på att verkligen förstå<br />
<strong>problem</strong>et är väl investerad. Den grundläggande<br />
tanken att förenklade eller varierade<br />
<strong>problem</strong>, även triviala sådana, kunde<br />
innehålla väsentliga ledtrådar till det ursprungliga<br />
<strong>problem</strong>ets lösning var vanligt<br />
förekommande. Alla var medvetna om att<br />
matematisk <strong>problem</strong>lösning ofta förutsätter<br />
hårt arbete <strong>och</strong> kan ta tid. De verkade<br />
också vara beredda att uppbåda både tid<br />
<strong>och</strong> ansträngning för att behandla <strong>problem</strong>,<br />
trots att de inte var säkra på att de skulle<br />
lyckas. Vi har i vår studie alltså inte kunnat<br />
observera den av Schoenfeld (se s 57) nämnda<br />
missuppfattningen att <strong>problem</strong>lösning<br />
alltid ska gå fort.<br />
Deltagarna i studien var likaså medvetna<br />
om att en lösning på ett <strong>problem</strong> inte är något<br />
statiskt – de försökte ibland förenkla eller<br />
variera sina egna lösningar. Sammanfattningsvis<br />
uppvisade alla deltagarna i studien<br />
en mycket mogen inställning till matematisk<br />
<strong>problem</strong>lösning.
Diskussion<br />
Resultatet av vår undersökning blev i ganska<br />
hög utsträckning som vi förväntade oss.<br />
Doktorander <strong>och</strong> disputerade tyckte att det<br />
var roligt att lösa matematiska <strong>problem</strong> <strong>och</strong><br />
blev snarare motiverade än avskräckta av<br />
utmanande uppgifter. Vi fann det däremot<br />
lite överraskande att precis samma inställning<br />
fanns hos de yngre studenterna vi intervjuade.<br />
Detta antyder att matematisk<br />
<strong>problem</strong>lösning skulle kunna vara ett motivationshöjande<br />
inslag i grundutbildningen.<br />
Vi tycker oss se en antydan att det inte nödvändigtvis<br />
måste vara dåligt om ett <strong>problem</strong><br />
är så svårt att man inte alls lyckas lösa det.<br />
Tvärtom verkar det faktum att man arbetar<br />
med ett olöst <strong>problem</strong> vara en sporre för<br />
somliga. Svåra <strong>och</strong> utmanande <strong>problem</strong> kan<br />
leda till att man lär sig nya tekniker under<br />
arbetets gång eller att man får en djupare<br />
insikt i vad man kan <strong>och</strong> vad man inte kan.<br />
Möjligen skulle det kunna vara tänkbart att<br />
i kurser byta ut åtminstone några standard<strong>problem</strong><br />
mot svårare <strong>problem</strong> där man inte<br />
kräver en lösning, men väl ett ärligt försök.<br />
Att göra klart för sig själv varför man inte<br />
lyckas lösa <strong>problem</strong>et, <strong>och</strong> hur man reagerar<br />
på ett misslyckande, kan vara nyttigt inför<br />
fortsatta matematikstudier. Av svaren att<br />
döma verkar det vara viktigt att ha mycket<br />
tid till sitt förfogande; dels för att man verkligen<br />
ska kunna tänka igenom <strong>problem</strong>formuleringen<br />
<strong>och</strong> hur <strong>problem</strong>et hänger samman<br />
med övrig teori, dels för att man ska<br />
kunna arbeta kreativt <strong>och</strong> avslappnat på<br />
att lösa <strong>problem</strong>et. Många matematikkurser<br />
på KTH är komprimerade <strong>och</strong> ges under<br />
en kort tidsperiod, vilket knappast gynnar<br />
en eventuell framväxande <strong>problem</strong>lösningsförmåga<br />
hos studenterna. I någon mening<br />
tjänar man ju mer på att lära sig typtalen på<br />
kort tid <strong>och</strong> på så sätt vara säker på att klara<br />
en kontrollskrivning än på att försöka förstå<br />
ett ämnes grunder genom djup eftertanke.<br />
Det rådde viss oenighet bland personerna<br />
vi intervjuat om huruvida man kan lära<br />
ut <strong>problem</strong>lösning. Några av deltagarna i<br />
våra samtal tyckte att detta definitivt är<br />
möjligt, andra ställde sig skeptiska till tanken.<br />
Vi borde nämna att det faktiskt har givits<br />
kurser i <strong>problem</strong>lösning vid matematikinstitutionen<br />
vid KTH. Även Schoenfeld (se<br />
andra delen av kap 3) anser att det är möjligt<br />
att undervisa om <strong>problem</strong>lösning <strong>och</strong> är av<br />
åsikten att sådana kurser är ett bra sätt att<br />
till studenter förmedla en bild av vad matematik<br />
egentligen är. Vi tror inte att det viktiga<br />
i ett sådant sammanhang är att demonstrera<br />
särskilda tekniker för <strong>problem</strong>lösning.<br />
Vi är snarare av åsikten att det främst är lärarens<br />
uppgift att hitta lagom svåra <strong>och</strong> stimulerande<br />
<strong>problem</strong>, samt att fungera som<br />
insatt diskussionspartner.<br />
LITTerATur<br />
Schoenfeld, A. H. (red) (1994). Mathematical<br />
thinking and <strong>problem</strong> solving. Hillsdale, N.J:<br />
Lawrence Erlbaum<br />
Denna uppsats kommer att ingå i ett matematikdidaktikkompendium<br />
utgivet av Stockholms<br />
universitet. Uppsatsen finns också på nätet:<br />
www.math.kth.se/~alexe/md.pdf<br />
NämNareN Nr 1 • 2008<br />
55