Ellips 9: Lösningar till övningsprov (PDF)

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Prov 1
1
a)
b)
c)
Dsin3 x
u( s( x)
)
= cos3x ⋅
3
u′ ( s( x)
) s′ x
= 3cos3x
Dsin
3
x
3
= D( )
sinx
u( s( x)
)
2
( )
= 3sin ( )
x ⋅cos
x
u′ ( s( x)
) s′ ( x)
2
= 3sin x cosx
3
Dsinx
u( s( x)
)
3 2
= cos x ⋅ 3x
u′ ( s( x)
) s′ ( x)
2 3
= 3x cosx
s( x) = 3x och s′ ( x)
= 3
u( x) = sinx och u′ ( x) = cosx
s( x) = sinx och s′ ( x) = cosx
3 2
u( x) = x och u′ ( x) = 3x
3 2
s( x) = x och s′ ( x) = 3x
u( x) = sinx och u′ ( x) = cosx
d)
2
Dtan ( 3x)
= D( )
tan3x
u( s( x)
)
= 2tan3 x⋅Dtan3 x
u′ ( s x ) s′ ( x)
2
( 2 )
π
3x≠ + n⋅π
2
π π
x≠ + n⋅ , n∈
6 3
s( x) = tan3x
2
u( x) = x och u′ ( x) = 2x
s ( x) = 3x och s ′ ( x)
= 3
1 1
2
u ( x) = tanx och u ′ ( x) = 1+ tan x
( ) 1 1
= 2tan3x
1+ tan 3x ⋅ 3
u ′
1 ( s1( x) ) s ′
1 ( x)
( 2 ) π π
= 6tan3x 1+ tan 3 x , x≠ + n⋅ , n∈
6 3
Alternativ 2
2
Dtan ( 3x)
2
= D( )
tan3x
u( s( x)
)
π
3x≠ + n⋅π
2
π π
x≠ + n⋅ , n∈
6 3
s( x) = tan3x
2
u( x) = x och u′ ( x) = 2x

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
= 2tan3 x⋅Dtan3 x
1
u
( ) ( )
1( x) tanx och u ′
1 ( x)
u′ s x s′ = =
x
cos
1
= 2tan3x ⋅ ⋅
2
cos 3x
3
′ ( ) ′
1 1
1 1
( ) 2
u s( x) s ( x)
6tan3x π π
= , x≠ + n⋅ , n∈
2
cos 3x
6 3
e)
D( sinxcosx) = ( Dsin x) ⋅ cos x+ ( Dcos x) ⋅sinx
= cos x⋅ cos x+ ( −sinx) ⋅sinx
2 2
= cos x−sinx = cos2 x
s ( x) = 3x och s ′ ( x)
= 3
derivatan av en produkt:
( ) ( ) ( )
D f ⋅ g = Df ⋅ g + Dg
⋅ f
cosinus för dubbla vinkeln:
2 2
cos α − sin α = cos2α
x
Alternativ 2
sinus för dubbla vinkeln:
D( sin xcosx) 2sinαcosα = sin2 α,
vilket ger
1
sinαcosα = sin2α
2
⎛ 1 ⎞
= D⎜ sin2x⎟
⎝ 2 ⎠
1 s( x) = 2x och s′ ( x)
= 2
= Dsin2x
2
u( x) = sin x och u′ ( x) = cos x
u( s( x)
)
1
= cos2 x ⋅ 2
2
u′ ( s( x)
) s′ ( x)
= cos2 x

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
f ) Alternativ 2
1
D
cos x
( ) x ( x)
D1 ⋅cos − Dcos ⋅1
=
2
( cos x )
0⋅cosx−( −sinx) ⋅1
=
2
cos x
sin x π
= , x≠ + n⋅π, n∈
2
cos x 2
cos x ≠ 0
Svaret kan också ges på ett annat sätt:
sin x sin x 1 1
= ⋅ = tan x ⋅
2
cos x cos x cos x cos x
tan x π
= , x≠ + n⋅π, n∈
cos x 2
π
x≠ + n⋅π
2
derivatan av en kvot:
( D ) ( D )
⎛ f ⎞ f ⋅ g − g ⋅ f
D⎜
g
⎟=
2
⎝ ⎠ g
1
D
cos x
cos x ≠ 0
π
x≠ + n⋅π
2
−1
= D( )
cosx
u( s( x)
)
s( x) = cosx −1 u( x) = x
och s′ ( x) =−sinx
−2
och u′ ( x) =−x
−2
=−( ) ( )
cos x ⋅
−sinx
u′ ( s( x)
) s′ ( x)
1
= ⋅sin
x
2
cos x
sin x π
= , x≠ + n⋅π, n∈
2
cos x 2
⎛ tan x π
⎞
⎜= , x≠ + n⋅π, n∈⎟
⎝ cos x 2
⎠

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Svar a) 3cos3x
b)
c)
2
3sin x cosx
2 3
3xcosx 6tan3x 1+ tan 3 x
π π
, x≠ + n⋅ , n∈
6 3
⎛ 6tan3x ⎜ ,
2
⎝cos 3x
π π ⎞
x≠ + n⋅ , n∈
6 3 ⎟
⎠
d) ( 2 )
e) cos2 x
f)
sin x
,
2
cos x
π
x≠ + n⋅π, n∈
2
⎛ tan x
⎜ ,
⎝cos x
π
⎞
x≠ + n⋅π, n∈⎟
2
⎠
2
a)
b)
cos x =
1
2
ur minnestriangel eller
tabellbok:
π 1
cos =
4 2
⎛ π ⎞
2sin⎜x− ⎟−
3 = 0
⎝ 3 ⎠
⎛ π ⎞
2sin⎜x− ⎟=
3
⎝ 3 ⎠
π
x= ± + n⋅
2π
4

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
⎛ π ⎞
sin⎜x− ⎟=
⎝ 3 ⎠
3
2
ur minnestriangel eller
tabellbok:
π
sin =
3
3
2
π π π π
x− = + n⋅2πeller x− = π − + n⋅2π
3 3 3 3
π π
x= + + n⋅ 2π eller x= π + n⋅2π
3 3
2π
x= + n⋅2π
3
Anmärkning: Man skulle också ha kunnat lösa uppgiften genom
π
att beteckna x − = t .
3
c)
π π
5x− ≠ + n⋅π
6 2
3)
π π
5x ≠ + + n ⋅π
2 6
4π
⎛ π ⎞ 5x≠ + n⋅π
tan⎜5x− ⎟=
1 6
⎝ 6 ⎠
2π π
x≠ + n⋅
15 5
ur tabellbok:
π
tan = 1
4

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
π π
5x− = + n⋅π
6 4
3) 2)
π π
5x= + + n⋅π
4 6
5π
5x= + n⋅π
:5
12
π π
uppfyller
x= + n⋅
12 5 definitionsvillkoret
π
Svar a) x=± + n⋅2π, n∈
4
2π
b) x= + n⋅ 2π eller x= π + n⋅2π, n∈
3
π π
c) x = + n⋅ , n∈
12 5
3
Vi studerar en aritmetisk talföljd (an), n = 1, 2, 3, ... , vars 7:e term
är a =−13 och 15:nde term är a 15 = − 11.
7
Eftersom följden är aritmetisk, så är
a ( )
15 = a7+ 15−7⋅d − 11=− 13+ 8d
a)
− 11+ 13 2 1
d = = =
8 8 4
a = a + ( 7−1) ⋅d
7 1
1
− = + ⋅
13 a1
6
4
6 1
a1
=−13− =−14
4 2
b) Vi får olikheten
a + ( n−1) ⋅ d < 0
1
an
< 0
1 1
− 14 + ( n −1) ⋅ <
0
2 4

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
1 1
( n −1) ⋅ < 14 ⋅ 4 ( > 0)
4 2
29
n − 1< ⋅4
2
n < 58+ 1
n< 59 n=
1, 2, 3, ...
n ≤ 58
Dvs. antalet negativa termer är 58 stycken.
a < 0, när n=
1, 2, 3, ..., 58
( )
n
c) Vi får ekvationen
1 1
− 14 + ( n −1) ⋅ = 21
2 4
1 1
( n −1) ⋅ = 21+ 14
4 2
71
= ⋅ 4 + 1= 143∈
2
n +
Dvs. 21 är följdens 143:e term.
Svar a) 1
1
a = 14
2
b) Antalet negativa termer är 58.
c) Ja, den 143:e term.
4
a)
⎛ π ⎞
cosα = cosβ
⇔
cos⎜3x+ ⎟=
cos x
⎝ 4 ⎠ α =± β + n ⋅2π
π
3x+ =± x+ n⋅2π
4
π π
3x+ = x+ n⋅ 2πeller 3x+ =− x+ n⋅2π
4 4
π π
2x=− + n⋅ 2πeller 4x=− + n⋅2π
4 4
π π π
x=− + n⋅ π eller x=− + n⋅
8 16 2
Vi undersöker om vi kan skriva lösningarna i en enklare form.

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
n
π
x=− + n⋅ π
8
π π
x=− + n⋅
16 2
0
π
−
2
π
−
16
1
π 7π
− + π =
8 8
π
− +
16
π 7π
=
2 16
2
π 15π
− + 2π= 8 8
π 16) 15π
− + π=
16 16
3
4
5
π 23π 7
− + 3π = = 2 π
8 8 8
π
− +
16
3π 23π 7
= = 1 π
2 16 16
π 16) 31π 15
− + 2π = = 1 π
16 16 16
Lösningarna kan inte skrivas i en enklare form.
Lösningarna kan också skrivas
7π 7π π
x= + n⋅ π eller x= + n⋅ , n∈
8 16 2
8)
8)
8)
π 5π 41π 9
− + = = 2 π
16 2 16 16
b)
2
2 ( )
2
2
trigonometrins
3sin x+ 16cos x+
9 = 0 grundformel:
31− cosx + 16cosx+ 9= 0
3− 3cos x+ 16cosx+ 9= 0
− 3cos x+ 16cos x+
12 = 0
− 16 ± 16 −4⋅( −3) ⋅12
cos x =
2⋅( −3)
− 16 ± 20
cos x =
−6
2
2 2
sin x = 1−cos x
− 16 + 20 4 2 −16 −20 −36
cos x= = =− eller cos x=
= = 6 > 1
−6 −6 3 −6 −6
Vi får ekvationen
ingen lösning
med räknare
2
cos x =−
−1
2
3
⎛ ⎞
cos ⎜− ⎟=
2,3005...
⎝ 3 ⎠

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
c)
x =± 2,3005... + n ⋅2π
x=± 2,30+ n⋅2π
cos x + cos4 x = 0
cos x= cos( π −4x)
cosinus för
cos x=−cos4 x supplementvinkeln:
− cosα = cos( π −α)
cosα = cosβ
⇔
α =± β + n ⋅π
d)
x=± ( π − 4x) + n ⋅2π
x = π − 4x+ n⋅ 2πeller x=− π + 4x+ n⋅2π
5x= π + n⋅2π eller − 3x=− π + n⋅2π
π 2π
x= + n⋅ 5 5
π 2π
eller x= + n⋅
3 3
⎛ π ⎞
sin3x+ sin⎜x+ ⎟=
0
⎝ 6 ⎠
⎛ π ⎞
sin⎜x+ ⎟=−sin3x
⎝ 6 ⎠
sin( − α ) =−sinα
sinα = sin β ⇔
⎛ π ⎞
sin⎜x+ ⎟=
sin( − 3x) ⎝ 6 ⎠
α = β + n⋅2π
eller
α = π − β + n ⋅2π
π π
x+ =− 3x+ n⋅ 2πeller x+ = π −( − 3x) + n⋅2π
6 6
π π
x+ 3x=− + n⋅2πeller x− 3x=− + π + n⋅2π
6 6
π 5π
4x=− + n⋅2πeller − 2x= + n⋅2π
6 6
π π 5π
x=− + n⋅ eller x=− + n⋅π
24 2 12

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
7π 7π π
Svar a) x= + n⋅ π eller x= + n⋅ , n∈
8 16 2
b) x ≈± 2,30 + n⋅2π, n∈
c)
d)
π 2π π 2π
x= + n⋅ eller x= + n⋅ , n∈
5 5 3 3
π π 5π
x=− + n⋅ eller x=− + n⋅π, n∈
24 2 12
5
a) i)
100
( 1− 2i ) = 1+ ( − 1) + ( − 3) + ( − 5 ) + ... + ( −199)
∑
i=
0
Summan är aritmetisk eftersom differensen av två på
varandra följande termer är konstant,
a ( ) ( )
k+ 1 ak 1 2 k 1 1 2k
1 2k 2 1 2k
− = − + − −
= − − − +
=−2,
och därför oberoende av värdet på indexet k = 0, 1, 2, ..., 99 .
Vi får att
100
∑
i=
0
a
( )
1 + a
1− 2i
Sn= n⋅
2
1+ ( −199)
= 101⋅
2
= −9999
n

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
ii)
19
∑
k = 0
2 2 2 2 2 2
= + + + + ... +
k
3 3 3 3 3 3
0 1 2 3 19
Summan är geometrisk eftersom kvoten av två på varandra
följande termer är konstant,
2
1
k k
a k+
k+
1 3 2 3 3 1
= = ⋅ = = ,
a 2 k+ 1 2 k+
1
k
3 3 3
k
3
och därför oberoende av värdet på indexet k = 0,1,2,...,18.
Vi får att
19
∑
k=
0
2
k
20
1
1−
q
1−
q
3 2 1
a1= = 2, q= , n=
20
0
3 3
⎛1⎞ 1−
⎜ ⎟
⎝3⎠ = 2⋅
1
1− 3
⎛ 1
= 2⋅⎜1− 20
⎝ 3
⎞ 3
⎟⋅
⎠ 2
⎛ 1
= 3⎜1− 20
⎝ 3
⎞ 1
⎟=
3− 19
⎠
3
≈3
S = a
n
n
iii)
1999
∑
n=
2
n
lg
n + 1
2 3 4 1999
= lg + lg + lg + ... + lg
⎛ ⎞
⎝ ⎠
logaritmen av en kvot:
x
3 4 5 2000 log log log
a⎜ ⎟ = x − y
a a
y
= ( lg 2 − lg3 ) + lg3 − lg 4
3
−3
( ) + ( lg 4 − lg5 ) ... lg1999
+ +( − lg 2000)
logaritmen av en kvot:
= lg2 −lg2000 ⎛ x ⎞
loga x− loga y=
loga⎜
y
⎟
⎝ ⎠
2
= lg
2000
1
= lg
1000
1
= lg
10
= lg10
=−3lg10
=−31 ⋅
=−3
utflyttning av exponent:
r
a a
log x = rlog x
logaritmen av basen:
log a = 1
a

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Alternativ 2
1999
∑
n=
2
n
lg
n + 1
2 3 4 1999
= lg
+ lg + lg + ... + lg
3 4 5 2000
⎛ 2 3 4 1999 ⎞
= lg⎜ ⋅ ⋅ ⋅... ⋅ ⎟
⎝ 3 4 5 2000 ⎠
=
2
lg 2000
3
logaritmen av en produkt:
( )
log x+ log y= log xy
a a a
logaritmen av en kvot:
1
= lg
1000
⎛ x ⎞
log a⎜ log ax log a y
y
⎟=
−
⎝ ⎠
= lg1−lg1000 logaritmen av talet 1:
log 1= 0
= 0−lg10 =−3lg10 ⋅
=−31 ⋅
=−3
a
utflyttning av exponent:
r
a a
log x = rlog x
logaritmen av basen:
log a = 1
a
Alternativ 3
logaritmen av en kvot:
1999
n
∑ lg
⎛ x ⎞
n=
2 n + 1 log a ⎜ = log a x −log
a y
y
⎟
⎝ ⎠
1999
= [ lgn− lg( n+
1)
]
∑
n=
2
( lg 2 − lg 3 ) + lg 3 − lg 4
=
= lg2 −lg2000
= lg2 −lg( 2⋅1000) ( ) + ( lg 4 − lg 5 ) ... lg1999
( )
= lg2 − lg2 + lg1000
= lg2 −lg2−lg1000 =−lg10
3
=−3lg10
=−31 ⋅
=−3
+ +( − lg 2000)
logaritmen av en produkt:
log xy = log x+ log y
( )
a a a
utflyttning av exponent:
r
a a
log x = rlog x
logaritmen av basen:
log a = 1
a

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
b) Talföljden ( a n ) = ( 3 2
− n + 14n + 111 n) , n = 0, 1, 2, ...
Teckenschema:
3 2
Vi undersöker funktionen f ( x) =− x + 14x + 111x,
vilket
ger att
an= f ( n), n=
0, 1, 2, ... .
Funktionen f är en kontinuerlig och deriverbar
polynomfunktion. Vi gör ett teckenschema för funktionens
derivata.
f ′ ( x)
− + + −
f ( x)
1 x
−3
0 12
3
Vi ser i teckenschemat att talföljden ( a n ) är strängt växande när
n = 1, 2, 3, ..., 12 och strängt avtagande när n = 13, 14, 15, ... .
2
f ′ ( x) =− 3x + 28x+ 111
Derivatans nollställen:
Dvs. största termen i talföljden ( an), n= 0, 1, 2, ... , är antingen
a12 eller a13.
f ′ ( x)
= 0
2
− 3x + 28x+ 111= 0
3 2
a12 = f (12) =− 12 + 14⋅ 12 + 111⋅ 12 = 1620 största värde
3 2
a13 = f (13) =− 13 + 14⋅ 13 + 111⋅ 13 = 1612
2
− 28 ± 28 −4⋅( −3) ⋅111
x =
2⋅( −3)
− 28 ± 2116 − 28 ± 46
x = =
−6 −6
− 28 + 46 −28 −46
1
x= =− 3 eller x=
= 12
−6 −6
3
Svar
1
a) i) − 9999 ii) 3−≈
3 iii) − 3
19
3
b) Den största termen är
a 12 = 1620

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
6
a)
1
sin xcosx= ⋅2
2
2sinxcosx= 1 2sinα cosα = sin2α
sin2 x = 1
π
2x = + n⋅2π
2
π
x = + n⋅π
4
b)
tan x = cos x
2
2
π
x ≠ + n⋅π
2
sin x
tan x =
cos x
sin x
= cos x ⋅cosx ( ≠0)
cos x
sin x = cos x
sin x = 1−sin x
2 2
sin x+ cos x = 1
2 2
cos x = 1−sin x

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
2
sin x + sin x− 1= 0 Vi betecknar t = sin x.
2
2
− 1± 1 −4⋅1⋅( −1)
t =
21 ⋅
− 1± 5
t =
21 ⋅
t
1
2
t + t−
1= 0
−1− 5
−1≤sinx≤1, vilket ger
= =− 1,618...

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
c) Alternativ 1
2
4cos4x= cos 2x−4 4cos( 2⋅ 2x) = cos 2x− 4 cos2α = 2cos α −1
( )
2 2
4 2cos 2x− 1 = cos 2x−4 2 2
8cos 2x− 4 = cos 2x−4 2
7cos 2x = 0
2
cos 2x = 0
cos2 x = 0
π
2 x = + n ⋅π
2
π π
x = + n ⋅
4 2
2 2
Alternativ 2
2
4cos4x = cos 2x−4 4cos( 2⋅ 2x) = cos 2x−4 ( )
2
2 2
4 1− 2sin 2x = 1−sin 2x−4 2 2
4− 8sin 2x+ sin 2x+ 3= 0
2
− 7sin 2x + 7 = 0
2
sin 2x = 1
sin2 x =± 1
sin2 x = 1 sin2 x =−1
cos2α = 1−2sin α
2 2
cos α = 1−sinα π 3π
2x = + n⋅ 2π 2x= + n⋅2π
2 2
π 3π
x = + n⋅ π x= + n⋅π
4 4
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Vi placerar periferipunkterna för de erhållna vinklarna på
enhetscirkeln och undersöker om lösningarna till ekvationen kan
skrivas enklare.
π π
x = + n ⋅
4 2
π
Svar a) x= + n⋅π, n∈
4
b) x ≈ 0,67 + n⋅2π eller x≈ 2,48 + n⋅2π, n∈
c)
π π
x= + n⋅ , n∈
4 2
7
a)
2sinx = 6cosx
sin x = 3cos x
Trigonometrins grundformel ger
2 2
sin x + cos x= 1 sin x= 3cos x
2 2
( 3cosx) + cos x=
1
2 2
9cos x+ cos x=
1
2
10cos x = 1
cos
2
1
x =
10
Enligt formeln för sinus för dubbla vinkeln är
sin2 x = 2sin xcosx sin x= 3cos x
= 23cos ⋅ x⋅cosx 2 2 1
= 6cos ⋅ x cosx=
10
1
= 6⋅ 10
=
3
5

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
b) Anta att basvinkeln för den likbenta triangeln är α och att Alternativ 1
1
toppvinkeln är 2β . Eftersom cosα
= , så är halva basen i
5
Enligt Pythagoras sats är
triangeln a och benen 5a .
2 2
x + a
2
= ( 5a)
Vi ritar en figur.
2 2
x + a
2
= 25a
Då är
a 1
sin β = = .
5a5 vilket ger
2 2
x = 24a
( )
2
x= ± 24a x>
0
2 2
x = 4⋅6⋅ a a = a
x= 2 a 6 a>
0
x= 2a 6,
2 6 2 6
cos
5 5 5 .
x a
β = = =
a a

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Definitionen för tangens och formlerna för sinus och cosinus för
dubbla vinkeln ger nu
Dvs.
sin2 β
tan2 β =
cos2β
2sinβcosβ =
2
2cos β −1
1 2 6
2⋅ ⋅
=
5 5
2
⎛ 2 6 ⎞
2⋅⎜ ⎟ −1
⎝ 5 ⎠
4 6 4 6
=
25
=
46 ⋅
2⋅ −1
25
25
23
25
4 6 25
= ⋅
25 23
4 6
= = 0,425998... ≈0,43
23
4 6
tan2 β = ≈
0,43
23
1
sin β =
5
2 6
cosβ
=
5
Alternativ 2
Enligt tabellboken är
sin β
1
tan β =± sin β =
2
1−sin β
5
1 1
=±
5
2
⎛1⎞ 1−
⎜ ⎟
⎝5⎠ =±
5
24
25
1 1
=±
5
46 ⋅
=±
5
2 6
1 5
=± ⋅
5 2 6
5 5
1
=±
2 6
1
Eftersom 0< β < 90°,
så är tan β > 0,
vilket ger tan β = .
2 6

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Enligt tabellboken är
2tanβ 1
tan2 β = tan β =
2
1−tan β
2 6
1 1
2⋅ 2 6 6
= =
2
⎛ 1 ⎞
1
1−
1−
⎜ ⎟
2 6
46 ⋅
⎝ ⎠
1 1
6 6
= =
1 23
1− 24 24
6 )
1 24 24
= ⋅ =
6 23 6⋅23 24⋅ 6 4 6
= = ≈0,43
623 ⋅ 23
3
Svar a) sin2 x =
5
4 6
b) 0,43
23 ≈
8
a) Punkten π ⎛ ⎞
2
⎜ , − 2⎟
ligger på kurvan y = x cos x−2sinx
⎝ 2 ⎠
eftersom
2 2
⎛ π⎞ π π π
⎜ ⎟ cos − 2sin = ⋅0−2⋅ 1=−2 ⎝ 2⎠ 2 2 4
Vi bestämmer tangentens riktningskoefficient med hjälp av
derivatan.
2
y = x cos x−2sinx y′ = 2x⋅ cosx+ ( −sinx) ⋅x −2cosx
2
= 2xcosx−x sinx−2cosx Tangenten riktningskoefficient är
⎛ π⎞ π π ⎛ π⎞ π π
kT= y′ ⎜ ⎟= 2⋅ ⋅cos −⎜ ⎟ sin −2cos
⎝ 2⎠ 2 2 ⎝ 2⎠ 2 2
π
= π ⋅0− ⋅1−2⋅0 4
2
π
=−
4
Normalens riktningskoefficient är då
k
N
2
1 4
=− =
k π
T
2
2
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Tangentens ekvation är
( )
y− y = k x−x ( )
π ⎛ π ⎞
y− − 2 =− ⎜x− ⎟
4 ⎝ 2⎠
( x y )
0 0
0 T 0 2
2
2 3
π π
y+ 2 =− x+
4 8
2 3
π π
y=− x+
−2
4 8
Normalens ekvation är
( )
y− y = k x−x 0 N 0
( )
4 ⎛ π ⎞
y− − 2 = x
2 ⎜ − ⎟
π ⎝ 2 ⎠
4 2
y+ 2 = x−
2
π π
4 2
y= x−
−2
2
π π
k
T
⎛ π ⎞
, = ⎜ , −2⎟
⎝ 2 ⎠
=−
π
4
⎛ π ⎞
, = ⎜ , −2⎟
⎝ 2 ⎠
( x y )
k
N
0 0
4
=
π
2
b)
f ( x) = 2sinx+ cos2x
Formeln för cosinus för dubbla vinkeln ger att
f ( x) = 2sinx+ 1−2sin x, x∈
Vi betecknar t = sin x.
Eftersom x ∈ , så gäller att
t ∈− [ 1, 1]
.
Dvs. vi skall bestämma störst och minsta värde för funktionen
Alternativ 1
g( t) = 2t+ 1−2 t , −1≤t≤ 1.
2
1) Funktionen g är kontinuerlig i det slutna intervallet
[ − 1, 1]
och deriverbar i det öppna intervallet ] − 1, 1 [ , vilket
ger att g antar sitt största och minsta värde i intervallets
ändpunkter eller i derivatans nollställen (Fermats sats).
2) Derivatans nollställen
g( t)
= 2t+ 1−2t g′ ( t)
= 2−4t 2
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Vi får ekvationen
g′ ( t)
= 0
2− 4t= 0
1
t = ∈ −1,
1
2
] [
3) Funktionens värden i intervallets ändpunkter och i
derivatans nollställen
2
g ( − 1) = 2⋅( − 1) + 1−2⋅( − 1) =− 2 + 1− 2 =−3
minsta värde
2
2
⎛1⎞ 1 ⎛1⎞ 1 1
g ⎜ ⎟= 2⋅ + 1−2⋅ ⎜ ⎟ = 1+ 1− = 1 största värde
⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ 2 2
g ( 1) = 2⋅ 1+ 1−2⋅ 1 = 2+ 1− 2= 1
Svar
1
Största värdet är 1 och minsta värdet är − 3.
2
Alternativ 2
2
Grafen y = 2t+ 1−2 t , −1≤t≤1 till funktionen
g( t) 2
= 2t+ 1−2 t , −1≤t≤1 är en parabel, som öppnar sig neråt.
Parabelns topp:
−b−2 1
x0
= = =
2a2⋅( −2)
2
⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 1
y0= y⎜
⎟=−2⋅ ⎜ ⎟ + 2⋅ + 1= 1
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2 2
2
Funktionen g:s
● största värde är
1
1 2 och
● minsta värde är ( ) ( ) ( ) 3
2
g − 1 = 2⋅ − 1 + 1−2⋅ − 1 =− .
1
Dvs. största värdet för funktionen f är 1 och minsta värdet är
2
− 3.
Alternativ 3
Funktionen f ( x) = 2sinx+ 1−2sin x är periodisk med perioden
2π , vilket gör att vi kan begränsa oss t.ex. till intervallet [ 0,2π ] .
1) Funktionen f är kontinuerlig i det slutna intervallet
och deriverbar i det öppna intervallet ] [
2
[ 0, 2π ]
0, 2π , vilket ger att den
antar sitt största värde och sitt minsta värde i intervallets
ändpunkter eller i derivatans nollställen (Fermats sats).

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
2) Derivatans nollställen
f ( x) = 2sinx+ 1−2sin x
f ′ ( x) = 2cosx−2⋅2sinxcosx = 2cosx( 1−2sinx) Vi får ekvationen
f ′ ( x)
= 0
2cosx( 1− 2sinx) = 0
cos x= 0 eller 1− 2sin x=
0
2
1
sin x =
2
ur minnenstriangel
eller tabellbok:
π 1
sin =
6 2
π π 5π
x= + n⋅ π eller x= + n⋅ 2π eller x= + n⋅2π
2 6 6
Eftersom 0 < x < 2π , så är derivatans nollställen
π π
x = + 0⋅ π =
2 2
π 3π
x = + 1⋅ π =
2 2
π π
x = + 02π ⋅ =
6 6
5π 5π
x = + 02π ⋅ =
6 6
3) Funktionens värde i intervallets ändpunkter och i
derivatans
nollställen
f ( 0) = 1
⎛ π ⎞
f ⎜ ⎟=
1
⎝ 2 ⎠
⎛3π⎞ f ⎜ ⎟=−3
minsta värde
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞ 1
f ⎜ ⎟=
1 största värde
⎝ 6 ⎠ 2
⎛5π⎞ 1
f ⎜ ⎟=
1 största värde
⎝ 6 ⎠ 2
f ( 2π ) =
1

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Dvs. funktionens största värde är 1
1 och minsta värde är − 3.
2
2 3
Svar
π
a) Tangentens ekvation är y = −
4
π
x+
8
− 2.
4
Normalens ekvation är y =
2
π
2
x−
− 2.
π
1
b) Det största värdet är 1 och det minsta värdet är
2
−3.
9
a)
5 x
f ( x) = 2x + 3tan , − 2π< x<
2π
4
Funktionen f är definierad när
x π
≠ + n ⋅2π ⋅4
4 2
x≠ 2π + n⋅2π
x≠ ( n+
1) ⋅2π
n∈
− 2π < x < 2π
alltid sann
Funktionen f är definierad, kontinuerlig och deriverbar för
alla x ∈] − 2π, 2π[
.
x
s( x) = , u( x) = tanx
4 x
4
f ′
⎛ ⎞
( x)
= 10x + 3⋅D⎜tan ⎟
⎝ 4 ⎠
1
2
s′ ( x) = , u′ ( x) = 1+ tan x
4
4 ⎛ 2 x ⎞ 1
= 10x + 3⋅⎜1+ tan ⎟⋅
⎝
4⎠
4
u′ ( s( x)
) s′ ( x)

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
4 3 3 2 x
= 10x + + tan
4 4 4
4 3 2 x 3
= 10x + tan + > 0 − 2π < x < 2π
4 4 4
≥0 ≥0
> 0
Dvs. f ′ ( x)
> 0 för alla − 2π < x < 2π , vilket ger att
funktionen f är strängt växande.
b) Påstående:
Bevis:
sin x ≤ x , när x ≥ 0 , dvs.
sin x −x≤ 0,
när x ≥ 0.
Vi undersöker funktionen f ( x) = sin x−x, att den aldrig antar positiva värden.
x≥
0 och visar
Vi undersöker förloppet för funktionen f med hjälp av
derivatan.
f ( x) = sinx−x
f ′ ( x) = cosx−
1
Eftersom cos x ∈[ − 1, 1]
och cos x = 1 endast i enstaka
punkter , så är f ′ ( x)
≤ 0 alltid och f ′ ( x)
= 0 endast i
enstaka punkter. Då är funktionen f strängt avtagande och
antar sitt största värde när x = 0 .
Eftersom f ( 0) = sin0− 0=
0,
så är f ( x) ≤ 0 för alla x ≥ 0.
Dvs. olikheten sin x − x ≤ 0 ⇔ sin x ≤ x gäller för alla x ≥ 0.

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
10 ● skulden i euro efter den 36:e amorteringen
a) Årsräntan är 6 %, vilket ger att månadsräntan är
6%
= 0,5 % .
12
Antalet amorteringar är totalt 3⋅ 12 = 36 stycken.
Anta att den fasta summan (annuiteten) är m euro.
Då är
● skulden i euro efter den första amorteringen
v = 1,005⋅20000 −m
1
● skulden i euro efter den andra amortering
v = 1,005 v −m
2 1
( )
= 1,005 1,005⋅20 000 −m −m
2
= 1,005 ⋅20000 −1,005m−m ● skulden i euro efter den tredje amorteringen
v = 1,005 v −m
3 2
2 ( )
= 1,005 1,005 ⋅20 000 −1,005m−m −m
3 2
= 1,005 ⋅20000 −1,005 m−1,005m−m v = 1,005v
−m
36 35
36 35 34
= 1,005 ⋅20 000−1,005 m−1,005 m−... −1,005m−m Eftersom skulden är betald efter den 36:e amorteringen, så får vi
ekvationen
v = 0
36 35 34
1,005 ⋅20000 −1,005 m−1,005 m−... −1,005m− m=
0
( )
( )
36 35 34
1,005 ⋅ 20 000 − m 1,005 + 1,005 + ... + 1,005 + 1 = 0
36 34 35
1,005 ⋅ 20 000 − m 1+ 1,005 + ... + 1,005 + 1,005 = 0
geometrisk summa, där
a = 1, q= 1,005 och n=
36
1
36
1−1,005 1,005
⋅ 20 000 −m⋅1⋅ = 0
1−1,005 36
1−1,005 1,005 ⋅ 20 000 = m
1−1,005 36
m ≈ 608 ( € )
36
1,005 ⋅20
000
m =
36
1−1,005 1−1,005 m = 608,438...
36
36

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Den sammanlagda räntan är
36m − 20 000 = 1903,794... ≈ 1904 ( € )
Räntans andel av lånet är
1904
⋅100 % ≈ 9,5 %
20 000
Alternativ 2
Enligt tabellboken är den fasta summan A (annuiteten)
≈ 608 ( € )
K = 20 000
n 1− q
A= Kq
n
1−
q
q=
1+ 6
12
100
= 1,005
n = 36
36 1−1,005 = 20 000⋅1,005 ⋅
1−1,005 = 608,4387...
36
Sammanlagda räntan är
36m − 20 000 = 1903,794... ≈ 1904 ( € )
Räntornas andel av lånet är
1904
⋅100 % ≈ 9,5 %
20 000
b) Vi bestämmer kvoten mellan radien hos två på varandra
följande cirklar.
ΔABC 1 1 ∼ΔA2B2C∼ΔABC 3 3 ∼...
(vv)

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Dvs.
r c
=
r c
n+ 1 n+
1
n n
r
sin30°=
c
r c −r −r
1 r
= =
r c 2 c
n+ 1 n n n+ 1
n
n n n
r
rn 2r
=
− r − r
2rn
rn+ 1 rn − rn+
1
=
r 2r
n+ 1 n n n+
1
n n
2
n n+ 1 = n − n n+
1
2rr
r rr
2
n n+ 1 n n
n+ 1 n
n+
1
c = 2r
( )
3 rr = r : r ≠0
3r
= r
r
r
n
=
1
3
1
rn+ 1 rn
3
= .
n n
n
n
A
cirklarna
( )
2 2 2 2 2
1 2 3 4 33
= πr + 3 πr + πr + π r + ... + πr
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
⎡ 2 2 3 32
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
= π r + 3π ⎢ r + r + r + ... + r
1 1 ⎜ ⎥
1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
3 3 3 3
⎡ 2 4 6 64
2 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎤
1 1 ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥
= πr + 3π r + + + ... +
⎣⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠
⎦
geometrisk summa
2
⎛1⎞ ⎛1⎞
a1= ⎜ ⎟ , q=
⎜ ⎟
⎝3⎠ ⎝3⎠
2
32
⎡⎛1⎞ ⎤
2 1−
⎢⎜ ⎟ ⎥
2 2 ⎛1⎞ ⎣⎝3⎠ ⎦
1 1 ⎜ ⎟
2
= π r + 3π r ⋅ ⋅
⎝3⎠ ⎛1⎞ 1−
⎜ ⎟
⎝3⎠ 2 2 1 ⎛ 1 ⎞
= π r1 + 3π r1
⋅ ⋅ 1
8 ⎜ −
64 ⎟
⎝ 3 ⎠
2 ⎡ 3⎛ 1 ⎞⎤
= π r1
⎢1+ 1
8 ⎜ −
64 ⎟⎥
⎣ ⎝ 3 ⎠⎦
2 ⎛11 1 ⎞
= π r1
⎜ −
8 63 ⎟
⎝ 83 ⋅ ⎠
2
1
π r ⎛ 1 ⎞
= 11
8 ⎜ −
63 ⎟
⎝ 3 ⎠
2
och n=
32

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
r1
Δ ABC 1 1 : tan30°=
a
2
r = atan30°
r
1
1
=
a
3
πa Dvs. Acirklarna
=
24
Triangelns area:
⎛ 1 ⎞
⎜11− 63 ⎟
⎝ 3 ⎠
1 2
AΔ = ⋅2a⋅2a⋅ sin60°= 2a ⋅
2
Vi får att
3 2
= a
2
3
2 ⎛ 1 ⎞
πa ⋅ 11
A
⎜ −
63 ⎟
cirklarna
⎝ 3 ⎠ 1
⋅ 100 % = ⋅ ⋅100%
A 24 2
a 3
Δ
25π ⎛ 1 ⎞
= ⎜11 − %
63 ⎟
6 3⎝ 3 ⎠
25π 3⎛ 1 ⎞
= 11 %
18 ⎜ −
63 ⎟
⎝ 3 ⎠
= 83,13247... % ≈83
%
Svar a) Den fasta summan är 608 €.
Den sammanlagda räntan är 1904 € (9,5 %).
25π 3⎛ 1 ⎞
b) 11 % 83 %
18 ⎜ − ≈
63 ⎟
⎝ 3 ⎠

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Prov 2
1
a)
2
tan x= − och 90°< x 180
3
19π
6
π = 180°
b) < °
Alternativ 1
2
tan x =−
definitionen av tangens
3
19
= ⋅ 180°
6
sin x 2
=−
cos x 3
= 570°
19π ⎛ 7π ⎞
sin = sin⎜2π+ ⎟
6 ⎝ 6 ⎠
2
sin x=− cos x
3
Enligt trigonometrins grundformel får vi att
ur tabellbok:
7π
= sin 7π 1
6 sin =−
6 2
1
=−
2
19π ⎛ 7π ⎞
cos = cos⎜2π+ ⎟
6 ⎝ 6 ⎠
2 2
sin x + cos x = 1
2
⎛ 2 ⎞ 2
⎜− cos x⎟ + cos x = 1
⎝ 3 ⎠
4 2 2
cos x + cos x = 1
9
2 2
4cos x + 9cos x = 9
2
sin x=− cos x
3
⋅9
7π
= cos
6
ur tabellbok:
7π 3
cos =−
6 2
2
13cos x = 9
2 9
cos x =
13
=−
3
2
cos x =±
9
13
cos x =±
3
13

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Eftersom 90°< x < 180°
så är cos x < 0,
vilket ger
3
cos x =− .
13
2
−
3 2
=± = ∓ ⋅
13 3
3
3
= ∓
13
2
13
Eftersom 90°< x < 180°
så är sin x > 0 , vilket ger sin x =
2
.
13
Då är
2 2 ⎛ 3 ⎞ 2
sin x=− cos x=−
⋅
3 3
⎜− ⎟=
⎝ 13 ⎠ 13
Alternativ 2
Enligt tabellboken är
tan x
2
sin x =± tan x =−
2
1+ tan x
3
2 2 2
− − −
=±
3
=±
3
=±
3
2
⎛ 2 ⎞
4 13
1+
1+
⎜− ⎟
⎝ 3 ⎠ 9 9
Enligt tabellboken är
cos x= ±
1
2
1+ tan x
2
tan x=−
3
=±
1
2
⎛ 2 ⎞
1+
⎜− ⎟
⎝ 3 ⎠
=±
1
=±
13
3
3
13
Eftersom 90°< x < 180°
, så är cos x < 0,
vilket ger
cos x =−
3
.
13

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Svar a)
2
a)
2
2
b)
3cos x⋅ sinx= 0
19π 1 19π3 570 ° , sin =− , cos =−
6 2 6 2
2 3
sin x= och cos x=−
13 13
cos x= 0 eller sin x=
0
cos x = 0 eller x= π+ n⋅π
π
x= + n⋅ π eller x= n⋅π
2
Vi placerar periferipunkterna för de erhållna vinklarna på
enhetscirkeln och undersöker om lösningarna till ekvationen
kan skrivas enklare.
π
x = n ⋅
2
b)
π π π
x ≠ + n⋅π och −2x≠ + n⋅π
2 2 2
−2x≠n⋅π ⎛ π ⎞
tan x+ tan⎜ − 2x⎟= 0
⎝ 2 ⎠
π
x≠n⋅ 2
π
Dvs. x≠n⋅ , n∈.
2
⎛ π ⎞
tan x=−tan⎜ −2x⎟ − tanα = tan(
−α)
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞ tanα = tanβ
⇔
tan x= tan⎜2x− ⎟
⎝ 2 ⎠ α = β + n ⋅π

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
π
x= 2 x− + n⋅π
2
π
− x=− + n⋅π
⋅( −1)
2
Eftersom n∈
,
så ger
π π π
x= −n⋅ π x= −n⋅ π och x= + n⋅π
2 2 2
samma vinklar.
Uppfyller inte definitionvillkoret
π
x= + n⋅π
2
π
x≠n⋅ 2
Dvs. ekvationen saknar lösning.
c) Vi skriver om ekvationen på formen tan α = a.
:cos x,
vilket kräver
cos x= 3sin x cos x≠0
dvs.
sin x
1= 3⋅ cos x
3tanx= 1
π
x≠ + n⋅π
2
ur tabellbok:
1
tan x =
π 1
3 tan =
6 3
π
x = + n ⋅ π
6
π
Om cos x = 0 dvs. om x= + n⋅π,
så är sin x ≠ 0.
Då är
2
ekvationen cos x = 3sin x falsk. Dvs. ekvationen
= 0 ≠0
π
cos x = 3sin x är inte uppfylld när x = + n ⋅π.
2
Svar a)
π
x= n⋅ , n∈
2
b) Ekvationen saknar lösning.
c)
π
x= + n⋅π, n∈
6

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
3
Alternativ 1
Vi ritar en figur där α är basvinkeln i en likbent triangel och β
toppvinkeln.
Anta att vinklarna är givna i radianer.
Vinkelsumman i triangeln är 180° eller π (rad), dvs.
2α + β = π
π
β = π − 2α 0 < α < , eftersom β > 0.
2
sinα
tanα = 2 2 tanα
=
cosα
sinα π
= 2 2 cosα ≠0, eftersom α ≠ .
cosα 2
sinα =
2 2 cosα
tan β = tan( π −2α)
= tan( − 2α + 1⋅ π) tan( α + n ⋅ π) = tanα
= tan( −2α) tan( − α) =−tanα
sinα
=− tan2α tanα
=
cosα
sin2α
=−
cos2α
2sinαcosα =− sinα = 2 2 cosα
2 2
cos α − sin α
22 ⋅ 2cosα
=−
2 2
cos α − 8cos α
2
− 4 2cos α
=
2
−7cos
α
=
4 2
7
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Alternativ 2
Eftersom tanα = 2
basen a.
2 , så är triangelns höjd 2 2aoch
halva
Vi ritar en figur.
Då är
β a 1
tan = = .
2 2 2a 2 2
Tabellboken ger att
2tanx
β
tan2 x= Insättning x=
.
2
1−tan x
2
β
β
2tan
2
tan = tan =
2 β
2 2 2
1−tan 2
1
2 ⋅
2 2
=
⎛ 1 ⎞
1−
⎜ ⎟
⎝ 2 2 ⎠
1 1
2 2
= =
1 7
1− 8 8
2 )
1 8 8
= ⋅ =
2 7 7 2
2
8 2 4 2
= =
7⋅2 7
β
1

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Alternativ 3
Eftersom tanα = 2
basen a.
2 , så är triangelns höjd 2 2aoch
halva
Vi ritar en figur.
Pythagoras sats ger att
2 2
2 2 2
2 2
( )
( )
x = a + 2 2a
x = a + 8a
x = 9a
2
x = ± 9a x>
0
2
2 2
x = 9a
a = a
x = 3 a a>
0
x = 3a
Dvs.
β a a 1
sin = = =
2 x 3a 3
β 2 2a 2 2a 2 2
cos = = =
2 x 3a3 vilket ger

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Svar
sin β
tan β =
definition av tangens
cosβ
⎛ β ⎞
sin⎜2⋅⎟ ⎝ 2 ⎠
=
⎛ β ⎞
cos⎜2⋅⎟ ⎝ 2 ⎠
sinus och cosinus för
dubbla vinkeln:
sin2α = 2sinαcosα 2
cos2α = 2cos α −1
β β
2sin cos
=
2 2
2 β
2cos − 1
2
β 1
sin =
2 3
β 2 2
cos =
2 3
1 2 2
2 ⋅ ⋅
=
3 3
2
⎛ 2 2 ⎞
2⋅⎜ ⎟ −1
⎝ 3 ⎠
4 2 4 2
=
9
=
16
−1
9
9
7
9
4 2 9 4 2
= ⋅ =
9 7 7
4 2
7
4
Antagande:
⎧a1
= 6
⎨
⎩an
= 25an−1− 24, n=
2, 3, 4, ...
2n−1 Påstående: Allmänna termen är a = 5 + 1, n=
1, 2, 3 , ...
Bevis:
● Talföljdens första term, n = 1:
21 1 1
⋅ −
5 + 1= 5 + 1= 6= a
● Rekursionsformeln:
n−1
1
n
( 2( n−1)
−1
)
25a − 24 = 25⋅ 5 + 1 −24
( 2n−2−1 )
( 2n−3 )
= 25⋅ 5 + 1 −24
= 25⋅ 5 + 1 −24
2 2n−3 = 5 ⋅ 5 + 25−24 2n− 3+ 2
= 5 + 1
2n−1 = 5 + 1
= an
De båda villkoren för den rekursivt givna talföljden är uppfyllda,
vilket ger att den allmänna termen är
2n−1 an= 5 + 1, n=
1, 2, 3 ,. . . .

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
5
a) Vi bestämmer skärningspunkten mellan kurvorna y = tan x
och y = tan2 x genom att lösa ekvationssystemet
⎧
( 1)
⎪ y= tan x
⎪
⎨
( 2) ⎪ y= tan2 x
⎪⎩
π
x≠ + n⋅π
2
π π π
2 x ≠ + n⋅π dvs. x≠ + n⋅
2 4 2
tan x= tan2 x
tanα = tan β ⇔
α = β + n ⋅π
x= 2 x+ n⋅π
− x= n⋅π n∈
x= n⋅π
uppfyller
De vinklar x n π, n
är vinklarna x =− π, x= 0 och x=
π.
definitionsvillkoret
= ⋅ ∈ som ligger i intervallet ] − 2π , 2π [
Vi bestämmer värdena för y genom att sätta in värdena för x i
ekvation (1).
x =− π: y = tan( − π) = 0
x = 0: y = tan0= 0
x = π: y = tanπ= 0
Dvs. skärningspunkterna är ( π, 0)
− ( 0,0)
( π, 0)
, och .
b) Den minsta positiva lösningen till ekvationen e = 2cosx
− x
dvs. till ekvationen e − 2cosx=
0 är samma som det
minsta positiva nollstället till funktionen
− x
f ( x) = e − 2cosx.
Derivatan till funktionen f är
− x − x
− x
f ′ ( x) = e ⋅( −1) −2⋅( − sinx) =− e + 2sinx
Derivatafunktionens f ′ derivata är
− x − x
f ′′ ( x) =−e ⋅( − 1) + 2⋅ cosx = e + 2cosx
⎡ π ⎤
I intervallet
⎢
0,
⎣ 2 ⎥
är f ′′ ( x)
> 0,
eftersom
⎦
− x
e > 0 och cos x ≥ 0.
Då är derivatafunktionen f ′ strängt växande i intervallet
⎡ π ⎤
⎢
0,
⎣ 2 ⎥⎦
.

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Eftersom
• f ′ ( 0) =− 1< 0
⎛ π ⎞
• f ′ ⎜ ⎟=
1,8 > 0
⎝ 2 ⎠
•
•
π
f ′
⎡ ⎤
är kontinuerlig i slutna intervallet
⎢
0,
⎣ 2 ⎥⎦
π
f ′
⎡ ⎤
är strängt växande i intervallet
⎢
0,
⎣ 2 ⎥⎦
så har derivatan exakt ett nollställe t i intervallet
Teckenschema:
f ′ ( x)
f ( x)
− +
0
Eftersom
• f ( 0) =− 1< 0
t
π
2
x
⎤ π ⎡
⎥
0,
⎦ 2 ⎢⎣
.
⎛ π ⎞
• f ⎜ ⎟=
0,2 > 0
⎝ 2 ⎠
• f är kontinuerlig
så ger teckenschemat att funktionen f har exakt ett nollställe
⎡ π ⎤
x 0 i intervallet
⎢
0,
⎣ 2 ⎥
.
⎦
Vi söker detta minsta positiva nollställe x0
med hjälp av
gaffelmetoden.
x f ( x) = e −2cosx
0 f ( 0) < 0
− x
( ) ( )
kontinuerlig i
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ) < ( ) > [ ]
( ) ( ) [ ]
nollstället x
slutna intervallet öppna intervallet
π
2
f
π
2
> 0, f 0 < 0
⎡ π⎤ 0,
⎢⎣ 2⎥⎦ π
0 < x < 0
2
1,5 f 1,5 > 0, f 0 < 0 0; 1,5 1< x0<
1,5
1,4 f 1,4 < 0, f 1,5 > 0 1,4; 1,5 1,4 < x0<
1,5
1,45 f 1,45 0, f 1,5 0 1,45; 1,5
1,45 < x0
< 1,5
1,454 f 1,454 > 0, f 1,45 < 0 1,45; 1,454 1,45 < x < 1,454
Dvs. nollstället, givet med tre gällande siffror, är x ≈ .
Svar a) Skärningspunkterna är
b) x ≈ 1,45
f
( π, 0)
0
0 1,45
− ( 0,0 ) och ( π, 0)
, .
0
i

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
6. Diametern i det första pappersvarvet (mitt i pappret) är
Papprets tjocklek är 0,10 mm = 0,010 cm.
Diametern i följande pappersvarv är alltid
2⋅ 0,10 mm = 0,20 mm större än i föregående varv.
Varvens diametrar bildar då en aritmetisk serie.
Papprets längd är
p = p + p + ... + p
1 2
= πd + π d + ... + π d
1 2
a1+ a
= π ( d1 + d2
+ ... + dn ) Sn = n⋅
2
aritmetisk summa
d1+ d
= π ⋅n⋅ 2
n
n
n
Första Sista
varvet varvet
p= 2πr = πd
n
d 1 = 0,25 m + 0,10 mm = 25,01 cm
och
diametern i det sista pappersvarvet (mitt i pappret) är
d = 1,5 m − 0,10 mm = 149,99 cm.
n
Antalet varv i rullen är
(1,5 m − 0,25 m):2 62,5 cm
n = = = 6250
0,10 mm 0,010 cm
Papprets längd är
d1+ d
p= π ⋅n⋅ 2
25,01 cm + 149,99 cm
= π ⋅6250⋅ 2
= 17 180,584... m
≈17,2
km
Svar 17,2 km
n

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
7
Anta att den årliga insättningen är a euro och att antalet
insättningar (antalet sparår) är n.
1:a insättningen är efter n år 1,025
2:a insättningen är efter år
n a
1,025 n
n − 1
3:e insättningen är efter år 1,025 n
n − 2
n:te insättningen är efter 1 år 1,025a
Saldot på kontot efter n år är
2 3
−1
−2
a
a
1,025 a+ 1,025 a+ 1,025 a+ ... + 1,025 a
geometrisk summa
a = 1,025 a, q= 1,025 och antalet termer n
1
1−1,025 = 1,025 a ⋅
1−1,025 Vi får ekvationen
n
1−1,025 1,025 a⋅ = 20 a : a ( ≠0)
1−1,025 n
n
1−1,025 1,025⋅ = 20 ⋅( −0,025
) :1,025
1−1,025 n
n −0,5
1− 1,025 =
1,025
n 0,5 Funktionen lg är strängt växande ,
1,025 = 1+ 1,025
likheten bevaras.
> 0
> 0
0,5
logaritmen av en potens:
n ⎛ ⎞
lg1,025 = lg⎜1+ 1,025
⎟
r
⎝ ⎠ log x = rlog x
⎛ 0,5 ⎞
nlg1,025
= lg⎜1+ 1,025
⎟
⎝ ⎠
⎛ 0,5 ⎞
lg⎜1+ 1, 025
⎟
⎝ ⎠
n =
lg1,025
n = 16,089...
n ≈17
Svar 17 år
a a

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
8
f ( x) = 4x− 3tanx+
7
π
Funktionen f är definierad när x≠ + n⋅π, n∈
.
2
Vi gör ett teckenschema för derivatan av funktionen f.
2
f ′ ( x) = 4 −3⋅ Dtan x+
0 Dtanα = 1+ tan α
2 ( x )
= 4− 3 1+ tan
= 1−3tan x
Derivatans nollställen:
f ′ ( x)
= 0
2
2
1− 3tan x = 0
2 1
tan x =
3
tan x =±
1
3
ur tabellbok
tan x=− 1
eller tan x=
3
1
3
5π
tan =−
6
1
3
π
tan =
6
1
3
5π
x= + n⋅ π
6
eller
π
x= + n⋅π
6
π
x≠ + n⋅π
2
duger
Derivatan f ′ är kontinuerlig, vilket ger att den endast kan byta
tecken i derivatans nollställen eller i punkterna
π
x= + n⋅π, n∈
. Vi bestämmer derivatans tecken med hjälp
2
av några testpunkter.
x f ′ ( x)
0,5+ n ⋅ π +
1+ n ⋅π −
2 + n ⋅π −
3+ n ⋅ π +
f ′ ( x)
+ − − +
f ( x)
π π 5π
+ n⋅ π + n⋅ π + n⋅π
6 2 6
Teckenschemat ger att funktionen har
π
maximiställen x= + n⋅π, n∈
6
och
5π π
minimiställen x= + n⋅π ⇔ x=− + n⋅π, n∈
6 6
π
Svar maximiställen x= + n⋅π, n∈
och
6
π
minimiställen
x= − + n⋅π, n∈
6
x

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
9
Anta att sidlängden i den första kvadraten är a.
Vi bestämmer sidlängden x i den andra kvadraten med hjälp av
Pythagoras sats.
x
x
x
2
2
2
( )
2 2
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
2 2
a a
= +
4 4
=
a
2
x = ±
2
a
2
Dvs. sidlängden i följande kvadrat är alltid
sidlängden i föregående kvadrat.
1
2 gånger
a) Summan av den 50 första kvadraternas omkretsar är
p= p + p + p + ... + p
1 2 3 50
2 3 49
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
1 1 1 1
4a + 4 ⋅ a + 4 ⋅ a + 4 ⋅ a + ... + 4 ⋅ a
2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎠
50
geometrisk summa
1
a = 4 a, q= och n=
50
1
2
⎛ 1 ⎞
1
1− ⎜ ⎟ 1−
2 25
⎝ ⎠
= 4a⋅ = 4a⋅
2
⎛ 1 ⎞
1−
2 −1
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
2 ⎛ 1 ⎞
= 4a⋅ ⋅⎜1− 25 ⎟
2−1 ⎝ 2 ⎠
2+ 2 ⎛ 1 ⎞ ( ) ⎛ 1 ⎞
= 4a 1 4 2 2 1
2 ⎜ − a
25 ⎟= + ⎜ −
25 ⎟
( ) 2
2 −1
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
≈13,7a

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
b) Summan av de 50 första kvadraternas areor är
A= A + A + A + ... + A
1 2 3 50
2 2
2
3
2
49
2
2 1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a + ⎜ a⎟ + ⎢⎜ ⎟ a ⎥ + ⎢⎜ ⎟ a ⎥ + ... + ⎢⎜ ⎟ a ⎥
⎝ 2 ⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦
2 4 6 98
2 1 2 1 2 1 2 1 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= a + ⎜ ⎟ a + ⎜ ⎟ a + ⎜ ⎟ a + ... + ⎜ ⎟ a
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
geometrisk summa
2
2 ⎛ 1 ⎞
a a q n
1
= , = ⎜ ⎟ och = 50
⎝ 2 ⎠
2
50
⎡ ⎤
⎛ 1 ⎞
1− 1
⎢⎜ ⎟ ⎥ 1−
2 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
2
= a ⋅ = a ⋅
2
2
⎛ 1 ⎞
1
1− 1−
⎜ ⎟
2
⎝ 2 ⎠
2 ⎛ 1 ⎞
= 2a ⎜1− ≈2a
50 ⎟
⎝ 2 ⎠
Svar a) ( ) ⎛ 1 ⎞
4a 2+ 2 ⎜1− ≈13,7a
25 ⎟
⎝ 2 ⎠
b)
2a ⎛
1
1 ⎞
2a
⎝ 2 ⎠
2 2
⎜ − ≈
50 ⎟
2
50
10
Vi ritar en figur.
Vi betecknar sidan BC = a,
vilket ger att sidan AB= 4a.
Sinussatsen ger förhållandet
sinussatsen:
4a
a
=
sin sin( 45 )
a b
α α − ° =
sinα sin β
sin( α − 45°
) a
=
sinα 4a
ur tabellbok:
( α − ° ) = α ( x− y)
4sin 45 sin sin
= sin xcos y−cos xsin y
ur minnestriangel eller
4( sinαcos45°− cosαsin45° ) = sinα tabellbok:
sin45°= cos45°=
1
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
⎛
4⎜sinα ⋅
⎝
1
−cosα ⋅
2
1 ⎞
⎟=
sinα
2 ⎠
4
sinα −
2
4
cosα = sinα
2
⎛
⎜
⎝
4 ⎞
− 1⎟sinα =
2 ⎠
4
cosα 2
:cos α , vilket kräver
cosα ≠0
dvs.
α ≠ 90°+ n ⋅ 180°
⎛ 4 ⎞sinα
4
⎜ − 1⎟ =
⎝ 2 ⎠cosα
2
4
tanα
=
4−2 4−2 4
tanα = ⋅ 2
2 2
( ) ( )
4− 2 tanα= 4 : 4− 2
α = 57,11948... °
med räknare:
tan
−1
⎛ 4 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 4−2 ⎠
−1
= tan 1,546918...
= 57,11948... °
uppfyller villkoret
α ≠ 90°
Vinkelsumman i en triangel är 180° , vilket gör att vi kan
bestämma den tredje vinkeln β ur ekvationen
α − 45°+ β + α = 180°
β = 225°− 2α α = 57,11948... °
β = 110,76102... °
β ≈ 110,8°
Svar Den tredje vinkeln i triangeln är 110,8°
.

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Prov 3
1 a) Vi får ekvationen
När ringen rullar ett varv förflyttar den sig en sträcka som är
samma som ringens omkrets och punkten P vrider sig vinkeln
2π kring ringens medelpunkt.
När ringen rör sig 10 m är motsvarande vridningsvinkel
Svar
bågen 10 m 1000 cm
α = = = = 50 ( rad)
radien 20 cm 20 cm
π = 180°
180°
1( rad)
=
π
180°
50 ( rad) = 50⋅
π
= 2864,78... °
≈ 2865°
2865°
2
sin( −4 x ) − 1= 0
sin( − 4x ) = 1
π
− 4x = + n⋅2π
2
π π
x = − + n ⋅
8 2
b) Vi får ekvationen
sinα = sin β ⇔
2π
sin3x = sin
3
α = β + n⋅2π
α = π − β + n ⋅2π

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
c)
2π 2π
3x= + n⋅ 2π eller 3x= π − + n⋅2π
3 3
π
3x= + n⋅2π
3
2π 2π π 2π
x= + n⋅ eller x= + n⋅
9 3 9 3
2
2cos x−3cosx− 2 = 0, 0< x<
2π
3± ( −3) −4⋅2⋅( −2)
cos x =
2⋅2 3± 25
cos x =
4
3± 5
cos x =
4
2
8 −2
1
cos x= = 2 > 1 eller cos x=
=−
4 4 2
ur tabellboken:
1
saknar lösning cos x =−
2
2π 1
cos =−
3 2
2π
x= ± + n⋅
2π
3
n
2π
x= + n⋅ 2π
3
0< x<
2π
0
2π
3
duger
1
2π 2
+ 2π= 2 π
3 3
duger inte
−1 2π
− 2π< 0
3
duger inte

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
n
2π
x=− + n⋅ 2π
3
0< x<
2π
0
2π
−
3
duger inte
1
2π 3) 4π
− + 2π= 3 3
duger
2
2π
− + 4π> 2π
3
duger inte
−1 2π
− − 2π< 0
3
duger inte
π π
Svar a) Nollställena är x=− + n⋅, n∈
8 2
2π 2π π 2π
b) x= + n⋅ eller x= + n⋅ , n∈
9 3 9 3
2π
c) x=± + n⋅
2π . I intervallet 0< x < 2πligger
3
2π 4π
lösningarna och
3 3
3
a)
7 π
sin x= , < x<
π
25 2
Trigonometrins grundformel ger
Eftersom
Då är
2 2
sin x + cos x = 1
2 2
cos x = 1−sin x
2
7
cos x =± 1− sin x sin x =
25
⎛ 7 ⎞
cos x =± 1−⎜
⎟
⎝ 25 ⎠
49
cos x =± 1− 625
576
cos x =±
625
24
cos x =±
25
π
24
< x < π så är cos x < 0,
vilket ger cos x =− .
2
25
sin x 7 ⎛ 24 ⎞ 7 25 7
tan x = = : ⎜− ⎟=−
⋅ =−
cos x 25 ⎝ 25 ⎠
25 24 24
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Alternativ 2
7 π
sin x = , < x<
π
25 2
Enligt tabellboken är
Eftersom
sin x
7
tan x =± sin x =
2
1−sin x
25
7 7
=±
25
2
⎛ 7 ⎞
1−
⎜ ⎟
⎝ 25 ⎠
=±
25
576
625
=±
7
25
24
25
7 25
=± ⋅
25 24
=±
7
24
π
< x <
2
π
7
så är tan x < 0,
vilket ger tan x = − .
24
b)
definitionen av tangens:
tan x = 2 sinα
tanα
=
cosα
sin x
= 2
cos x
sin x = 2cos x
Enligt trigonometrins grundformel är
2 2
sin x + cos x = 1 sin x = 2cos x
2 2
( 2cosx) + cos x = 1
2
5cos x = 1
2 1
cos x =
5
cos x =±
⎛
Då är sin x= 2cos x=
2⋅
⎜± ⎝
Dvs. antingen
1 ⎞
⎟=±
5 ⎠
2
.
5
sin x= 2
och cos x=
5
1
eller
5
2 1
sin x=− och cos x=−
.
5 5
1
5

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Vi får att
⎛ π ⎞
sin⎜2x+ ⎟
⎝ 6 ⎠
π π
= sin2 xcos+ cos2 xsin
6 6
ur tabellbok:
sin
( 2 )
( α + β)
= sinαcosβ + cosαsin β
sinus för dubbla vinkeln:
sin 2α = 2sinαcosα cosinus för dubbla vinkeln:
cos2α = 2cos α −1
ur minnestriangel eller
tabellbok:
3 1
= 2sinxcosx⋅ + 2cos x −1⋅ 2 2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1
= 3⋅ ⎜± ⎟⋅ ⎜± ⎟+
⎜2⋅ −1⎟⋅ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 2
2 ⎛ 3⎞ 1 2 3 3
= 3 ⋅ + ⎜− ⎟⋅
= −
5 ⎝ 5⎠ 2 5 10
4 3−3 = ≈0,39
10
π 3 π 1
cos = och
sin =
6 2 6 2
2
anmärkning:
övre och nedre tecknen
motsvarar varandra
Alternativ 2
ur tabellbok:
⎛ π ⎞
sin⎜2x+ ⎟
sin(
α + β)
⎝ 6 ⎠
= sinα cos β + cosαsin β
π π
= sin2 xcos +
cos2 xsin
6 6
sinus för dubbla vinkeln:
sin 2α = 2sinαcosα cosinus för dubbla vinkeln:
cos2α = 2cos α −1
ur minnestriangel eller
tabellbok:
π 3 π 1
cos = och sin =
6 2 6 2
2

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
2 ( )
3 1
= 2sinxcosx⋅ + 2cos x−1⋅
2 2
ur tabellbok:
sin x =±
cos x =±
Anmärkning:
tan x
1+ tan
1
1+ tan
sin x
Eftersom tan x = = 2 > 0,
cos x
så har sin x och cos x
samma tecken,
dvs. övre och nedre
tecknen i formlerna
motsvarar varandra.
2
2
x
2)
2
⎡ ⎤
tan x
1 1 1
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 ± ± + 2 ± −1
⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎢
2 ⎜ 2 ⎟ ⎥
⎝ 1+ tan x ⎠⎝ 1+ tan x ⎠ ⎢⎣ ⎝ 1+ tan x ⎠ ⎥⎦
tan x 1 ⎛ 2 ⎞
= 3⋅ + ⋅ 1 tanx2 2 2 ⎜
−
2 ⎟
=
1+ tan x ⎝1+ tan x ⎠
2 1 ⎛ 2 ⎞
= 3⋅ + ⋅ 1
2 2 ⎜ −
2 ⎟
1+ 2 ⎝1+ 2 ⎠
2 1⎛ 3⎞
= 3 ⋅ + ⎜− ⎟
5 2⎝ 5⎠
2 3 3
= −
5 10
4 3−3 = ≈0,39
10
Svar a)
7
−
24
b) 4 3 3 −
≈
0,39
10

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
4
Talföljden ( ) ( 500, 497, ... )
a = är geometrisk, vilket ger
n
497
q = och
500
n−1
n−1
⎛ 497 ⎞
an= a1⋅ q = 500 ⋅ ⎜ ⎟ , n=
1, 2, 3, ...
⎝ 500 ⎠
Vi får olikheten
a
n
n−1
n−1
⎛ 497 ⎞ 1
⎜ ⎟ >
⎝
500 ⎠ 500
strängt växande.
Storleksordningen
> 0 > 0
bevaras.
n−1
> 1
⎛ 497 ⎞
500⋅ ⎜ ⎟ > 1 :500
⎝ 500 ⎠
Funktionen ln är
⎛ 497 ⎞ 1
r
ln⎜ ⎟ > ln loga = rloga ⎝ 500 ⎠ 500
( )
⎛ 497 ⎞ 1 ⎛ 497 ⎞
n − 1ln⎜ ⎟> ln :ln⎜ ⎟ ( < 0)
⎝ 500 ⎠ 500 ⎝ 500 ⎠
n − 1<
1
ln
500
⎛ 497 ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ 500 ⎠
n <
1
ln
500
⎛ 497 ⎞
ln⎜ ⎟
⎝ 500 ⎠
+ 1
n < 1033,7
n ≤ 1033
Dvs. 1033 termer är större än ett.
( a < 1, när n=
1, 2, 3, ...,1033)
n
Svar 1033 st.

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
5 6
x
e π
f ( x) = x ≠ + n⋅π
cos x
2
x
e ⋅cos x−( −sinx) ⋅ee ⋅ ( cos x+ sin x)
= =
,
2 2
( cos x )
cos x
( D ) ( D )
e
⎛ f ⎞ f ⋅ g− g ⋅ f
f ′ ( x)
= D D
cos x
⎜
g
⎟=
2
⎝ ⎠ g
Då är
x x x
π
π
x ≠ + n ⋅π
2
−
4 ⎡ ⎛ π ⎞ π⎤
e cos sin
π
⎢ ⎜− ⎟+
⎝ 4 ⎠ 4
⎥ cosinus för motsatta vinklar:
f ′
⎛ ⎞ ⎣ ⎦
⎜− ⎟=
⎝ 4 ⎠ 2 ⎛ π ⎞ cos( )
cos
− α = cosα
⎜−⎟ ⎝ 4 ⎠
π
−
4
⎛ π π ⎞
e cos sin
ur minnestriangel eller
⎜ + ⎟
⎝ 4 4⎠
=
tabellbok:
2 π
cos
4 π π 1
sin = cos =
4 4 2
π
4
− ⎛ 1 1 ⎞
e ⎜− + ⎟
⎝ 2 2 ⎠
= = 0
2
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
4 4
cos x− sin x= sin2 x
2
2
2
2
2 2
( cos x) − ( sin x) = sin2 x a − b = ( a+ b)( a−b) 2 2 2 2
( )( )
cos x+ sin x cos x− sin x = sin2 x
1cos2 ⋅ x= sin2x
sin2 x= cos2 x
sin2 x
= 1
cos2 x
tan2 x = 1
2 2
sin x + cos x = 1
2 2
cos 2 x = cos x −sinx
:cos2 x,
vilket
kräver
cos2 x ≠ 0, dvs.
π
2 x≠ + n⋅π
2
π π
x≠ + n⋅
4 2
ur tabellbok:
π
tan 1
4 =

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
π
2 x= + n⋅π
4
π π
x= + n⋅
8 2
uppfyller
definitions-
villkoret
Om cos2 x = 0 så är sin 2 x ≠ 0.
Då är ekvationen
cos2 x = sin2 x
falsk.
= 0 ≠0
Alternativa lösningssätt:
Vi kan lösa ekvationen sin 2 x = cos2 x också på andra sätt:
1) Vi skriver om ekvationen på formen sinα = sin β .
⎛ π ⎞
sin2 x= cos2 x cosα = sin⎜ −α⎟
⎝ 2 ⎠
sinα = sin β ⇔
⎛ π ⎞
sin2 x= sin⎜ − 2x⎟ α = β + n⋅2π
eller
⎝ 2 ⎠
α = π − β + n ⋅2π
π ⎛ π ⎞
2x= − 2x+ n⋅ 2π eller 2x= π −⎜ − 2x⎟+ n⋅2π
2 ⎝ 2 ⎠
π π
4x= + n⋅ 2π eller 2x= π − + 2x+ n⋅2π
2 2
π π π
x= + n⋅ eller 0 = + n⋅2π
8 2 2
ingen lösning

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
2) Vi skriver om ekvationen på formen cosα = cosβ
.
sin2 x = cos2 x
⎛ π ⎞
sinα = cos⎜ −α⎟
⎝ 2 ⎠
Svar
⎛ π ⎞ cosα = cosβ
⇔
cos⎜ − 2x⎟= cos2 x
⎝ 2 ⎠ α =± β + n ⋅2π
π π
− 2x=− 2x+ n⋅2πeller − 2x= 2x+ n⋅2π
2 2
π π
= n⋅2πeller − 4x=− + n⋅2π
2 2
saknar lösning
π π
x= + n⋅ , n∈
8 2
π π
x= + n⋅
8 2
7
Vi tänker oss höjden hos den övre kanten på tegellagren som en
aritmetisk talföljd, i enheten centimeter.
a1 = 9,0
a6 = 49,0
Vi bestämmer termen a25 .
a ( )
6 = a1 + 6−1 ⋅d
49,0 = 9,0 + 5d
49,0 − 9,0
d =
5
d = 8,0
a ( )
25 = a1+ 25−1⋅d = 9,0+ 24⋅8,0 = 201,0
Dvs. spisens höjd är 201,0 cm.
Svar 201,0 cm

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
8
De spetsiga vinklarna i en likbent rätvinklig triangel är
π
45 ° eller radianer.
4
Bisektrisen delar dessa vinklar i två vinklar som är π
8 radianer.
Vi ritar en figur och betecknar kateterna med bokstaven a och
hypotenusan med bokstaven c. Bisektrisen delar den motsatta
kateten i delarna x och a− x.
Vi bestämmer hypotenusan med Pythagoras sats.
2 2 2
a + a = c
2 2
c = 2a
Bisektrisen delar den motsatta sidan i de närliggande sidornas
förhållande (bisektrissatsen).
Dvs.
= ( ± ) 2 c>
0
Svar
c a
x a
= c= 2a
a−x c
x a
=
a−x 2a
x
=
a−x 1
2
2x=
a−x 2x+
x= a
( ) ( )
2 + 1 x= a : 2+ 1
x =
a
2+ 1
( a
π x
tan = =
8 a
a
2+ 1
a
=
2−1) 1
2+ 1
( ) 2 =
2 −1 =
2
2 −1
2 −1
=
2−1 2 −1
π
tan = 2 −1
8

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
9
a) Summan av den n första termerna i den geometriska
⎛1 1 1 ⎞
talföljden ⎜ , , , ... ⎟
⎝ 4 16 64 ⎠ är
S a
n = 1 ⋅
−
n
1− q
1
a1
=
4
1 q
1
q =
4
⎛1⎞ 1−
⎜ ⎟
1 ⎝ 4 ⎠
= ⋅
4 1
1− 4
1 ⎛ 1 ⎞
= ⋅ 1
3 ⎜ −
n ⎟
⎝ 4 ⎠
1 1
= −
3 34 ⋅
Vi löser olikheten
n
n
1
Sn − < 0,000 001
3
1 1 1
− − < 0,000 001
3 n
34 ⋅
3
1 1
− < a =− a, när a<
0.
1000000
n
34 ⋅
< 0
1
n
34 ⋅
1
<
1000000
n
⋅1000000⋅ 4 ( > 0)
Funktionen lg on strängt
1 000 000 n
< 4
3
växande,
storleksordningen
bevaras.
> 0 > 0
1 000 000
logaritmen av en potens:
n
lg < lg4
3 r
log x = rlogx 1 000 000
lg < nlg4
:lg4 ( > 0)
3
1 000 000
lg
3
lg4
< n
Dvs. åtminstone 10
n> 9,17... n∈
n = 10,11,12, ...
a a

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
b)
h
1
= 4,0 m
h = 0,85h = 0,85⋅4,0 m
2 1
h = 0,85h = 0,85 ⋅4,0
m
h
3 2
n
n
= 0,85 ⋅4,0
m
2
Den sträcka som bollen rör sig före den hundrade studsen är
h + 2h + 2h + 2 h + ... + 2h
1 2 3 4 100
( )
= h + 2 h + h + h + ... + h
1 2 3 4 100
2 99
( )
= 4,0 m + 2⋅ 0,85⋅ 4,0 m + 0,85 ⋅ 4,0 m + ... + 0,85 ⋅4,0
m
geometrisk summa
1−0,85 = 4,0 m + 2⋅0,85⋅4,0 m⋅ 1−0,85 = 49, 333... m
≈ 49,3 m
a = 0,85⋅ 4,0 m; q= 0,85 och n=
99
Svar a) åtminstone 10 b) 49,3 m
1
99
10
a) Vi kan skriva om funktionen f på följande sätt:
2 sin xcos x
f( x) = tan 2x+ 8
sin
2
x−cos 2
x
sinus för dubbla vinkeln
sin 2x= 2sin xcos x
2 sin 2x
= tan 2x + 4
sin
2
x−cos 2
x
cosinus för dubbla vinkeln
cos 2x = cos
2
x−sin 2
x
2 sin 2x
= tan 2x −4
cos 2x
= tan
2
2x−4tan2x definition
för tangens
sin 2x
tan 2x
=
cos 2x
2
Dvs. vi studerar f ( x) = tan ( 2x) −4tan(
2x)
π
Funktionen f är definierad när 2 x ≠ + n ⋅ π , dvs när
2
π π
x≠ + n⋅ , n∈.
4 2
{ π π}
När x antar alla värden \ + n ⋅ så antar tan 2 x alla reella
4 2
värden.
Vi sätter tan 2 x = t , där t ∈ , och undersöker funktionen
2
g: → ,
g( t) = t − 4t.
De värden som funktionerna g och f
antar är samma, vilket ger att också deras minsta värden är
samma.

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Grafen y = g( t)
till funktion g är en parabel som öppnar sig
uppåt. Den antar sitt minsta värde i parabelns topp, dvs. när
t
0
−b−( −4)
= = = 2
2a2⋅1 Det minsta värdet är
( ) ( ) 2
g t0 = g 2 = 2 −4⋅ 2= 4− 8=
− 4.
Då är också − 4 minsta värdet för funktionen f .
Svar Funktionen minsta värde är −4
b) Antagande: För vinklarna α, β och γ i en triangel gäller
2
sin 2α ⋅ sin 2β = sin γ .
Då är
Påstående: Triangeln är likbent.
Bevis: Vi ritar en figur.
Vinkelsumman i triangeln är 180° , vilket ger vinkeln
γ = 180°−
α + β .
( α β)
( )
( )
sinγ = sin ⎡⎣180°− α + β ⎤⎦
= sin +
sinus för komplementvinkeln:
sinα = sin( 180°−α)

Ellips 9 • Trigonometriska funktioner och talföljder • lösningar till övningsproven • uppdaterad 12.5.2010 •
Högra ledet i antagandet blir då
2 2
ur tabellbok:
( ) ( x y)
sin γ = sin α + β
sin +
( α β α β)
( )
= sin xcos y+ cosxsin y
2 2 2 2
= sin cos + cos sin a+ b = a + 2ab+
b
2 2 2 2
= sin αcos β + 2sinαcosβcosαsin β + cos αsin β
Vi formar om antagandets vänstra led:
sin2α sin2 β sin2α = 2sinαcosα = 2sinαcosα⋅2sinβcosβ = 4sinαcosαsin βcosβ Dvs. antagandet får formen
2 2 2 2
sin α cos β + 2sinαcosβcosαsin β + cos αsin β
= 4sinαcosαsin βcos β,
vilket ger
2 2 2 2
sin αcosβ − 2sinαcosβcosαsin β + cos αsin β = 0
( ) 2 2
Eftersom a− b = a − 2ab+
b , kan vi nu skriva antagandet på
formen
( α β α β)
sin cos − cos sin = 0
( α β)
2
ur tabellbok:
( x y)
sinαcosβ − cosαsin β = 0 sin −
sin − = 0
α − β = 0° eller α − β = 180°
α = β
duger inte eftersom
0°< α − β < 180°
Eftersom α = β , så är triangeln likbent.
= sin xcos y−cos xsin y