Asymptotiska metoder och gruppanalys - Karlstads universitet

Asymptotiska metoder och gruppanalys
Kursmaterial. Del I
Lektor: Yury Shestopalov
e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856
Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ ∼youri
Karlstads Universitet
2003
1

Inneh˚all
1 Grupper 6
1.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Definition av en grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Isomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Generatorer och cykliska grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Rotation av koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Generatorer av kontinuerliga grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Serier 11
2.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Serier med ickenegativa termer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Funktionsserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Likformig konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Potensserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Geometriska matrisserien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska funktioner 22
3.1 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1 Konjugerade komplexa talet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet . . . 23
3.1.3 Polär form av komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.4 De Moivres formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Komplexvärd funktion av en komplex variabel . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Real- och imaginärdel till en komplex funktion . . . . . . . . 26
3.3 Analytiska funktioner. Cauchy–Riemanns ekvationer . . . . . . . . . 27
3.3.1 Gränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.3 Cauchy–Riemanns ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.4 Analytiska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Komplexa kurvintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Cauchys integralsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.4 Cauchys generella integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Taylors och Laurents utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Komplexa serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.2 Potensserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2

3.5.3 Taylors utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.4 Laurents utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Residykalkyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.1 Isolerade singulariteter. Poler . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.2 Metoder för residyberäkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.3 Residysats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6.4 Beräkning av reella integraler med residykalkyl . . . . . . . 47
4 Differentialekvationer: Grundbegrepp 50
4.1 Differentialekvationer av första ordningen . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1 Linjära differentialekvationer av första ordningen . . . . . . 51
4.1.2 Separabla ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Begynnelsevärdesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta
koefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Singulära punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5 Frobenius’ metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 Randvärdesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Generaliserade integraler. Likformig konvergens 64
5.1 Generaliserade integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Likformig konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Eulers Γ-funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Generaliserade komplexvärda integraler . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4.1 Eulers Γ-funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Laplaces integraler 68
6.1 Laplaces integral som analytisk funktion . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Vissa egenskaper av Laplaces integraler . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion . . . . . . . . . . . . 75
6.3.1 Heavisides stegfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.2 Diracs deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.3 Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform 76
6.4 Vissa tillämpningar av Laplaces integraler: lösning av ordinära diffekvationer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 Grundbegrepp av asymptotiska metoder 80
7.1 O- och o-symboler (Landaus symboler) . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1.1 Likformiga relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.1.2 Algebraiska regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3

7.2 Asymptotiska följder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.1 Ekvivalenta följder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.2.2 Algebraiska regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 Asymptotiska serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3.1 Linjära operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3.2 Ickelinjära operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.3.3 Asymptotiska potensserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3.4 Summation av asymptotiska serier . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3.5 Addition, multiplikation och division av potensserier . . . . 98
7.4 Partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4.1 Partiell integration och generaliserade integraler . . . . . . . 100
7.4.2 Succesiv partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.5 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8 Asymptotisk utveckling av Laplaces integraler 112
8.1 Tv˚a satser om asymptotisk utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.2 Asymptotisk utveckling och asymptotiska följder . . . . . . . . . . . 114
9 Referenser 116
4

Förord
Huvudm˚alet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om vissa matematiska
metoder som används inom den allmänna teorin av asymptotiska metoder: serier,
funktionsserier och likformig konvergens; grundbegrepp av komplex analys och
gruppteori; ordinära differentialekvationer.
I Kompendiet, motsvarar problemnummer PROBLEM a.b.c detta i boken E.
Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM), t ex PROB-
LEM 8.1.1 är problemet 8.1.1 p˚a s. 407 i AEM, avsnitt 8.1.
Exempel- och problemnummer (... Example , s. , A) mostvarar detta i boken
R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison–Wesley,
1999 (A), t ex Example 8, s. 845, A är exemplet 8 p˚a s. 845 i A, avsnitt 14.
5

1 Grupper
1.1 Grundbegrepp
Antag att ∗ är en kompositionsregel p˚a mängden M. Vad m˚aste d˚a krävas av ∗ för
att varje linjär ekvation med koefficienter i M, dvs a ∗ x = b, där a, b ∈ M, skall ha
en lösning i M? Och vad skall gälla för att en s˚adan lösning skall vara entydig? Det
finns flera matematiska system där motsvarande ekvation har en entydig lösning.
Om t ex A och B är kvadratiska matriser av samma storlek med reella element,
s˚a vet vi att om A är inverterbar (detA= 0) s˚a har den linjära ekvationen AX=B
en entydig lösning X=A −1 B.
Det visar sig finnas tre nödvändiga egenskaper som en kompositionsregel ∗ p˚a
en mängd M m˚aste ha för att en linjär ekvation skall ha en entydig lösning i M.
Om dessa egenskaper är uppfyllda, s˚a säges M tillsammans med ∗ utgöra en grupp.
1.2 Definition av en grupp
Definition. En grupp ˆ G = (G, ∗) är en mängd G tillsammans med en kompositionsregel
∗ p˚a mängden G
(i) om a ∈ ˆ G och b ∈ ˆ G är tv˚a ˆ G’s element, d˚a a ∗ b ∈ ˆ G, dvs (a, b) → a ∗ b är
en avbildning G × G → G.
(ii) ∗ är associativ: (a ∗ b) ∗ c =a ∗ (b ∗ c).
(iii) G inneh˚aller ett neutralt element e med avseende p˚a ∗ s˚adant att a ∗ e =
e ∗ a = a
(iv) varje element i G har en invers i G med avseende p˚a ∗.
Om ∗ dessutom är kommutativ s˚a säges (G, ∗) vara en abelsk grupp.
Exempel 1.1
Om Z, Q, R och C är resp. mängder av heltal 0, ±1, ±2, . . . , rationella tal
p/q p, q ∈ Z, q = 0, reella (rationella och irrationella) tal och komplexa tal a + bi,
a, b ∈ R, i = √ −1, d˚a ser vi att (Z, +), (Q, +), (R, +) och (C, +) är abelska
grupper (med avseende p˚a addition +). Däremot är inte (N, +) en grupp (där N
är en mängd av naturliga tal 0, 1, 2, . . . ), eftersom t. ex. talet 2∈ N inte har n˚agon
invers (-2/∈ N ).
Att (Q, ·), (R, ·) och (C, ·) inte är grupper med avseende p˚a multiplikation ·
beror p˚a att 0 saknar invers med avseende p˚a kompositionsregeln ·.
Exempel 1.2
Om Mm×n(R) är en mängd av alla m × n rektangulära matriser A = akl med
6

ationella element akl, d˚a är Mm×n(R, +) en abelsk grupp under (elementvis) matrisaddition
+. Vi ser ocks˚a att mängden Mn×n(R) = Mn(R) tillsammans med
matrismultiplikation inte utgör en grupp eftersom (singulära) matriser med determinant
lika med noll inte är inverterbara (de saknar invers). Om vi sorterar bort
alla s˚adana erh˚aller vi dock en grupp, den s˚a kallade allmänna linjära gruppen
GLn(R) = {A ∈ Mn(R) : det A = 0}. (1)
Eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ är GLn(R) inte en abelsk grupp.
1.3 Isomorfism
Definition. En avbildning f : A → B (fr˚an A till B, där A är fs definitionsmängd
och B är fs m˚almängd) säges vara
(i) injektiv, om f(a1) = f(a2) medför att a1 = a2 för alla a1 och a2 i A.
(ii) surjektiv, om fs m˚almängd sammanfaller med B: Im f = B.
En avbildning f : A → B säges vara bijektiv, om f är b˚ade injektiv och surjektiv.
Sats 1.1 En avbildning f : A → B är bijektiv, om och endast om den är
inverterbar.
Exempel 1.3
Funktionen f(x) = 3x + 5 är en inverterbar avbildning fr˚an R till R (där R är
mängden av reella tal), och dess invers ges av g(y) = (y − 5)/3. Vi har nämligen
att
y − 5 y − 5
(f ∗ g)(y) = f[g(y)] = f = 3 · + 5 = y
3
3
och
(g ∗ f)(x) = g[f(x)] = g(3x + 5) =
(3x + 5) − 5
3
= x.
Definition. L˚at G och H vara tv˚a grupper. En bijektiv avbildning φ : G → H
säges vara enisomorfism, om den upfyller
φ(ab) = φ(a)φ(b) (2)
för alla a, b ∈ G. Om det finns en isomorfism fr˚an G till H, s˚a säges G och H vara
isomorfa, vilket betecknas G ∼ H.
Med hjälp av induktion kan man enkelt visa att
φ(a1a2 . . . an) = φ(a1)φ(a2) . . . φ(an) (3)
7

gäller för alla a1a2 . . . an
Exempel 1.4
Avbildningen φ : Z→2Z definierad som φ(a) = 2a för alla heltal a är en isomorfism
(med avseende p˚a addition), eftersom den är bijektiv,
φ(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = φ(a) + φ(b) (4)
Därmed är grupperna Z och 2Z isomorfa.
Exempel 1.5
Betrakta avbildningen
φ : GLn(R) → R ∗ definierad φ(A) = det A ∀A ∈ GLn(R) (5)
Av räknelagarna för determinanter följer att
φ(AB) = det AB = det Adet B = φ(A)φ(B) (6)
s˚a (2) är uppfylt. Men φ är inte en isomorfism eftersom den inte är bijektiv. Tv˚a
olika matriser kan nämligen ha samma determinant. Till exempel har 2×2 matriser
1 0
2 0
och
1 4
1 2
b˚ada determinanten 4.
Sats 1.2 För gruppisomorfismer gäller följande p˚ast˚aenden:
(i) identitetsavbildningen ɛ : G → G är en isomorfism;
(ii) om avbildningen φ : G → H är en isomorfism, s˚a är dess invers φ −1 : H → G
ocks˚a en isomorfism.
1.4 Generatorer och cykliska grupper
Antag att G är en grupp och att a är ett element i denna. En undergrupp H i G
som inneh˚aler a m˚aste inneh˚alla ocks˚a varje potens a k av a, där k ≥ 1.
Man kan visa att
H = {a k , k ∈ Z} (7)
är en undergrupp i G. H kallas cykliska undergruppen genererad av a och betecknas
< a >.
8

Exempel 1.6
Den undergrupp i Z som genereras av talet 5 ges av
5Z =< 5 >= {k · 5, k ∈ Z} = {5k, k ∈ Z} (8)
Detta är precis mängden av alla heltalsmutipler av 5.
Sats 1.3 Varje oändlig cyklisk grupp är isomorf med Z.
L˚at G =< a > vara en oändlig cyklisk grupp. Vi p˚ast˚ar att avbildningen
φ(n) = a n
är en isomorfism fr˚an Z till G.
för alla n ∈ Z (9)
1.5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering
1.5.1 Rotation av koordinater
Rotation av koordinater (med vinkeln φ) enligt
x ′ = x cos φ + y sin φ, (10)
y ′ = −x sin φ + y cos φ,
definierar en mäng av rotationsmatriser
cos φ sin φ
R(φ) =
− sin φ cos φ
Superposition av tv˚a rotationer med vinklarna φ1 och φ2 ges som produkten av
motsvarande rotationsmatriser
R(φ1)R(φ2) =
=
cos φ1 sin φ1 cos φ2 sin φ2
− sin φ1 cos φ1 − sin φ2 cos φ2
cos(φ1 + φ2) sin(φ1 + φ2)
− sin(φ1 + φ2) cos(φ1 + φ2)
= (12)
är en ny rotationsmatris.
Mängden av s˚adana rotationsmatriser tillsammans med en kompositionsregel
som är kommutativ matrismultiplikation bildar en abelsk grupp ˆ G = SO(2). Kolla
definitionen:
(i) om A och B är tv˚a element av mängden av rotationsmatriser, d˚a A B ∈ SO(2)
enligt (12).
9
(11)

(ii) matrismultiplikationen är associativ: (A∗B)∗ C = A∗(B∗ C).
(iii) ett neutralt element E med avseende p˚a matrismultiplikationen (s˚adant att
A∗E = A∗E = E∗A = A) är enhetsrotationsmatrisen
1
E = R(0) =
0
0
1
(13)
med φ = 0.
(iv) varje element har en invers med avseende p˚a matrismultiplikationen, som är
rotationsmatrisen
eftersom, enligt (12),
R −1 = R(−φ) =
R(φ)R(−φ) = R(−φ)R(φ) =
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
cos(φ − φ) sin(φ − φ)
− sin(φ − φ) cos(φ − φ)
1.6 Generatorer av kontinuerliga grupper
= E.
En rotationsmatris kan skrivas
cos φ
R(φ) =
− sin φ
sin φ
= 12 cos φ + iσ2 sin φ = exp (iσ2φ)
cos φ
(15)
där Paulis matriser
0 1
σ1 =
1 0
0 −i
, σ2 =
i 0
1 0
, σ1 =
0 −1
D˚a är matrismultiplikationen av rotationsmatriser ekvivalent med addition av deras
argument,
.
(14)
R(φ2)R(φ1) = exp (iσ2φ2)exp (iσ2φ1) = exp (iσ2(φ1 + φ2)) = (16)
= R(φ1 + φ2)
Vi söker efter exponentmatriser S s˚adana att
R = exp (iɛS), ɛ → 0 (17)
när gruppelement R är i omgivningen av enhetselementet E. Infinitesimala transformationer
S kallas generatorer av en kontinuerlig grupp.
10

2 Serier
2.1 Grundbegrepp
L˚at
∞
n=1
an vara en serie. Partialsumman SN och resttermen RN definieras
SN =
N
an, RN =
n=1
∞
n=N+1
an. (18)
Om talföljden {SN} har ett gränsvärde S, s˚a säges den serien
konvergent (konvergera) och ha summan S =
∞
an.
n=1
∞
an vara
Resttermuppskattning innebär att vi uppskattar trunkeringfelet, dvs försöker
finna ett tal R s˚adan att |RN| ≤ R (en övre grans för RN).
∞
Nödvändigt villkor för konvergens av en serie an är
serien
Absolutkonvergent serie. En serie
∞
|an| är konvergent.
n=1
n=1
n=1
lim
n→∞ an = 0. (19)
∞
an kallas absolutkonvergent om den
n=1
Absolutkonvergens medför konvergens. Om serien
s˚a konvergerar ocks˚a den serien
∞
an.
n=1
2.2 Serier med ickenegativa termer
Vi ska betrakta serier med ickenegativa termer
∞
|an| konvergerar,
n=1
∞
an, an ≥ 0. (20)
n=1
11

För en serie med ickenegativa termer ∞
n=1 an gäller
Serien är konvergent → Partialsummorna är upp˚at begränsade (21)
Partialsummorna är upp˚at begränsade → Serien är konvergent. (22)
Jämförelsekriteriet. Antag att 0 ≤ an ≤ bn för alla n. D˚a gäller
∞
bn konvergent →
n=1
∞
an divergent →
n=1
∞
an konvergent, (23)
n=1
∞
bn divergent. (24)
Integralkriteriet. Antag att funktionen f(x) är kontinuerlig, positiv och avtagande
för x ≥ 1. D˚a gäller
∞
1
∞
1
f(x)dx konvergent →
f(x)dx divergent →
n=1
∞
f(n) konvergent, (25)
n=1
∞
f(n) divergent. (26)
n=1
Man kan visa att resttermen kan uppskattas
RN = S − SN =
Rotkriteriet. Om gränsvärdet
existerar, s˚a gäller
k < 1 →
k > 1 →
∞
n=N+1
f(n) ≤
lim
n→∞ |an| 1/n = k
∞
N
f(x)dx. (27)
∞
an är absolutkonvergent. (28)
n=1
∞
an är divergent. (29)
n=1
12

Kvotkriteriet. Om gränsvärdet
existerar, s˚a gäller
Exempel 2.1
k < 1 →
k > 1 →
lim
n→∞
an+1
an
= k
∞
an är absolutkonvergent. (30)
n=1
Betrakta en alternerande serie
∞ (−1)
S =
n+1
n2 n=1
∞
an är divergent. (31)
n=1
= 1 − 1 1 1
+ − + . . . . (32)
4 9 16
Man kan visa att i det fallet |RN| ≤ |aN+1|. Vi har |aN+1| = 1/(N + 1) 2 och
|RN| ≤
1
. (33)
(N + 1) 2
Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man ta med för att beräkna S med 3 KD: |RN| ≤
0.5 · 10 −3 , vilket ger en olikhet
Dess lösning är
1
(N + 1) 2 ≤ 0.5 · 10−3 . (34)
N ≥ √ 2 · 10 −3 − 1 = √ 2000 − 1 (35)
och man kan ta N = 44 eftersom 44 2 = 1936 < 2000 < 45 2 = 2025.
Exempel 2.2
Betrakta en serie med positiva termer
S =
∞
n=1
1 1 1
= 1 + + + . . . . (36)
n4 16 81
13

Man kan skriva om (36)
S =
∞
n=1
och visa att resttermen kan uppskattas
Här
RN ≤
RN = S − SN =
∞
N
f(n), f(x) = 1
x 4 (x ≥ 1) (37)
∞
n=N+1
r
dx
= lim
x4 r→∞
N
= lim
r→∞
=
f(n) ≤
dx
= lim
x4 r→∞
∞
N
r
f(x)dx. (38)
x −4 dx =
N
x−3 r
(−3) = −
N
1
3 lim
1 1
−
r→∞ r3 N 3
=
1
. (39)
3N 3
Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man ta med för att beräkna S med 3 KD: |RN| ≤
0.5 · 10 −3 , vilket ger en olikhet
Dess lösning är
−3 2 · 10
N ≥
3
1
3N 3 ≤ 0.5 · 10−3 . (40)
1/3
2000
=
3
och man kan ta N = 9 eftersom 8 < N < 9.
Exempel 2.3
1/3
Betrakta en serie med positiva och negativa termer
S =
∞
n=1
an, an = e−bn2
n
≈ 8.7 (41)
sin(cn), (42)
Här är b > 0 och c givna tal (parametrar). Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man
ta med för att beräkna S med noggranhet ɛ; dvs, bestäm N s˚adan att
|RN| < ɛ, RN = S − SN =
14
∞
n=N+1
an. (43)

Jämför (42) med en känd serie som har positiva termer, dvs skriv en olikhet
e
|an| =
−bn2
n sin(cn)
e−bn2
=
n |sin(cn)| ≤ An = e −bn2
· n (n > 1) (44)
och använd (38) för en serie
Vi har
RN =
∞
An ≤
n=N+1
r2 = 1
2 lim
r→∞
(N+1) 2
∞
N+1
S =
∞
An.
n=1
e −bx2
r
xdx = lim e
r→∞
N+1
−bx2
xdx = 1
2 lim
e −bu du = − 1
2b lim
r→∞
r 2
= − 1
2b lim
r→∞ e−bu r2
(N+1) 2 = 1
2b e−b(N+1)2.
Nu lös olikheten
och bestäm gränsen för N:
RN < ɛ :
N >
(N+1) 2
e −b(N+1)2
2b
r→∞
r
N+1
e −bx2
dx 2 =
de −bu = (45)
< ɛ
1 1
ln − 1. (46)
b 2bɛ
Om t ex b = 1 och ɛ = 10−4 , f˚ar vi
N > ln 10000
− 1 = 2.9184 . . . . (47)
2
D˚a är det tillräckligt att ta med tre termer för att beräkna S i (42) (om b = 1 och
c är ett godtyckligt tal) med noggranheten ɛ = 10 −4 .
Kolla resultatet (ta c = 1 och räkna med fyra KD):
och
S ≈
S ≈
2 e−n2 n=1
3 e−n2 n=1
n sin n = e−1 sin 1 + e−4
2
n sin n = e−1 sin 1 + e−4
2
15
sin 2 + e−9
3
sin 2 = 0.7011
sin 3 = 0.7011,

eftersom
e −9
3 sin 3 < 0.5 · 10−4 .
Om b = 2 och ɛ = 10−4 , f˚ar vi
1 10000
N > ln − 1 = 1.9778 . . . . (48)
2 4
D˚a är det tillräckligt att ta med tv˚a termer.
2.3 Funktionsserier
∞
uk(x) kallas en funktionsserie; här är termen uk = uk(x) en funktion av vari-
k=1
abeln x. Partialsumman Sn = Sn(x) och resttermen Rn = Rn(x) definieras
Sn(x) =
n
uk(x), Rn(x) =
k=1
∞
k=n+1
uk(x). (49)
Om till varje x ∈ [a, b] har funktionsföljden {Sn(x)} ett gränsvärde S = S(x),
∞
s˚a säges den funktionsserien uk(x) vara konvergent (konvergera) och ha sum-
man S(x) =
∞
uk(x).
k=1
k=1
2.4 Likformig konvergens
Definition. Om till varje tal ɛ > 0 finns det ett heltal N oberoende av x ∈ [a, b]
s˚adant att
|Sn(x) − S(x)| < ɛ för alla n ≥ N och a ≤ x ≤ b, (50)
kallas funktionsserien likformigt konvergent i intervallet [a, b].
Weierstrass’ jämförelsekriteriet (M-kriteriet). Antag att |un(x)| ≤ an
för alla x ∈ [a, b]. D˚a gäller
∞
an konvergent →
n=1
∞
un(x) likformigt konvergent, x ∈ [a, b]. (51)
n=1
16

2.5 Potensserier
En funktionsserie av den speciella typen
∞
an(x − x0) n
n=0
kallas en potensserie. Den geometriska serien
och x0 = 0.
För varje potensserie
(52)
∞
ax k är en potensserie med ak = a
k=1
∞
an(x − x0) n gäller: det finns ett icke-negativt tal R
n=1
s˚adant att potensserien absolutkonvergent för alla x med |x−x0| < R och divergent
∞
för alla x med |x − x0| > R. Här R = 0 om an(x − x0) n konvergerar endats för
x = x0 och R = ∞ om
n=1
∞
an(x − x0) n konvergerar för alla reella x.
n=1
Talet R ≥ 0 kallas konvergensradie och intervallet |x − x0| < R kallas kon-
∞
vergensintervall till potensserie an(x − x0) n (som konvergerar inom intervallet
|x − x0| < R).
För konvergensradien gäller
n=1
1
R
1
R
= lim
n→∞ |an| 1/n , (53)
= lim
n→∞
Exempel 2.4 Geometriska serien.
Varje polynom av formen
x n − 1
an+1
an
, (54)
har uppenbart nollstället 1 och är därmed enligt faktorsatsen jämnt delbart med
x − 1:
x n − 1 = (x − 1)(x n−1 + x n−2 + · · · + x + 1). (55)
D˚a kan man beräkna en geometrisk summa med kvoten x
a + ax + ax 2 + · · · + ax n−1 n−1
=
17
k=0
ax k 1 − xn
= a
1 − x
(56)

och visa att geometriska serien
∞
ax k
k=0
är konvergent om |x| < 1 (divergent om |x| ≥ 1) och
∞
ax k = a 1
1 − x = a(1 − x)−1 , |x| < 1. (57)
k=0
T ex, om x = 3/4 och a = 1, den geometriska serien
∞
k 3 1
= = 4. (58)
4 1 − (3/4)
Den geometriska serien
k=0
∞
ax n är en potensserie med an = a (a = 0) som har
n=1
konvergensintervallet |x| < 1 och konvergensradien R = 1, eftersom
Exempel 2.5
1
R
Betrakta en geometrisk serie
a
= lim
n→∞ a
= 1.
∞
x n i intervallet |x| ≤ q, där 0 < q < 1 Vi har
n=0
|un(x)| = |x| n ≤ an = q n
för alla x ∈ [0, q]. D˚a gäller, enligt M-kriteriet,
∞
q n konvergent →
∞
un(x) likformigt konvergent (59)
n=1
i intervallet |x| ≤ q.
Exempel 2.6
Visa att den geometriska serien
(−1, 1). Partialsumman
Sn = Sn(x) =
n
x k =
k=0
n=1
∞
x k inte är likformigt konvergent i intervallet
k=0
1 − xn+1
1 − x
18
1
=
1 − x − xn+1 1
. (60)
1 − x

Till varje x ∈ (−1, 1) har funktionsföljden {Sn(x)} ett gränsvärde
S = S(x) = 1
1 − x
och resttermens absolutbelopp
= lim
n→∞
1
1 − x − xn+1 1
1 − x
,
|Sn(x) − S(x)| = |x| n+1 1
. (61)
1 − x
Vi ser att till varje tal ɛ > 0 finns det ett värde x ∈ (−1, 1) i omgivningen av x = 1
s˚adant att |x| n+1 ≈ 1, δ = 1 − x är infinitesimalt och
Exempel 2.7
Visa att Dirichlets serie
s ≤ x < ∞, där s > 1. Vi har
Serien
∞
n=1
n+1 1
|Sn(x) − S(x)| = |x|
δ
∞
n=1
s ≤ x → n x ≥ n s
→ 1 1
≤ .
nx ns 1
> ɛ om δ < . (62)
ɛ
1
är likformigt konvergent i intervallet [s, ∞) :
nx (n = 1, 2, . . . ) →
1
1
är konvergent enligt integralkriteriet: funktionen f(x) = är kon-
ns xs tinuerlig, positiv och avtagande för x > 1 och den generaliserade integralen ∞
1
är konvergent, eftersom
∞
Vidare, enligt M-kriteriet,
∞
n=1
1
r
dx
= lim
xs r→∞
1
1
n s konvergent →
x −s dx =
x
= lim
r→∞
1−s
r
1 − s
=
1
1
s − 1 lim
1 −
r→∞
1
rs−1
=
1
= (s > 1).
s − 1
∞
n=1
1
n x
likformigt konvergent, x ∈ [s, ∞).
19
dx
x s

Exempel 2.8
∞ 1
Visa att serien
är likformigt konvergent i intervallet [s, ∞) : s ≤
1 + xn n=0
x < ∞, där s > 1. Vi har
lim
n→∞
lim
n→∞
1
= 1 = 0 om 0 ≤ x < 1,
1 + xn 1 1
=
1 + xn 2
= 0 om x = 1,
s˚a att serien divergerar om 0 ≤ x ≤ 1, eftersom det nödvändiga villkoret för
∞
konvergens av en serie an är
Serien
n=1
lim
n→∞ an = 0.
Vidare, använd olikheterna och sedan M-kriteriet
x ≥ s → x n ≥ s n → 1 + x n ≥ 1 + s n
→
→
1 1
≤ →
1 + xn 1 + sn 1 1
≤
1 + sn sn = qn , q = 1
s
< 1.
∞
q n , q < 1, är konvergent. D˚a är serien
n=0
i intervallet x ∈ [s, ∞) enligt M-kriteriet.
Exempel 2.9
Visa att serien
∞
n=0
(n = 1, 2, . . . , s > 1) →
1
likformigt konvergent
1 + xn ∞
an cos nx är likformigt konvergent i intervallet (−∞, ∞),
n=0
dvs, för alla reella x, om serien
Vi använder M-kriteriet. Här
D˚a gäller
∞
|an| konvergent →
n=1
∞
an är absolutkonvergent.
n=0
|un(x)| = |an|| cos nx| ≤ |an| för alla x.
∞
an cos nx likformigt konvergent för alla x.
n=1
20

Exempel 2.10
De serierna
är potensserier med
cos x =
sin x =
∞
n=0
∞
n=0
(−1) n
(2n)! x2n ,
(−1) n
(2n + 1)! x2n+1
a2n = (−1)n
(2n)! , a2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2, . . . )
a2n+1 =
(−1) n
(2n + 1)! , a2n = 0 (n = 0, 1, 2, . . . ),
som har konvergensintervallet |x| < ∞ och konvergensradien R = ∞ (dvs konvergerar
för alla reella x), eftersom, t ex
1
R
= lim
n→∞ |a2n| 1/n = lim
n→∞
2.6 Geometriska matrisserien
1
= 0.
((2n)!) 1/n
Man kan generalisera (57) och f˚a geometriska matrisserien genom att använda
matrispotenser, matrisaddition och definition av konvergens i matrisnormer. D˚a
f˚ar man
∞
k=1
A m = lim
m→∞
m
k=1
där A är en kvadratisk matris av typ n × n.
2.7 Problem
Problem 14.1
A m = (I − A) −1 , ||A|| < 1, (63)
Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man ta med för att beräkna S med tre och fyra
21

KD:
a) S =
b) S =
c) S =
∞ (−1) n+1
;
n
∞ 1
;
n3 ∞ sin n
;
n2 n=1
n=1
n=1
3 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska
funktioner
3.1 Komplexa tal
Mängden av komplexa tal z = x + iy, där x och y är reella tal och i är imaginära
enheten (i 2 = −1), kan betraktas som mängden av reella talpar
z ≡ (x, y)
Observera att (x, y) = (y, x) (x + iy = y + ix). x = Re z och y = Im z kallas
resp. realdelen och imaginärdelen av komplexa talet z = x + iy. Realdelen och
imaginärdelen betecknas ocks˚a x = ℜz och y = ℑz.
Addition av komplexa tal definieras komponentvis
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i.
Multiplikation av komplexa tal definieras
Särskild
z1z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).
i 2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1 · 1, 0 + 0) = −1.
3.1.1 Konjugerade komplexa talet
Om vi har ett komplext talet z = x + iy, d˚a kallas
z ∗ = x − iy
det konjugerade komplexa talet z ∗ kallas ocks˚a z konjugerat eller konjugatet till
talet z = x + iy.
22

3.1.2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet
Det komplexa talet z = x + iy kan tolkas i planet, försett med ett ortonormerat
(cartesiskt) koordinatsystem, antingen som punkten (ett reellt talpar) (x, y) med
koordinaterna x, y eller som vektorn z med komponenterna x, y. I detta sammanhang
kallas planet det komplexa talplanet (eller z-planet).
Absolutbeloppet av det komplexa talet z = x + iy definieras |z| = x 2 + y 2 .
|z| kan tolkas som längden av vektorn z. |z1 −z2| kan därför tolkas som längden
av vektorn z1 − z2, dvs avst˚andet mellan punkterna z1 och z2. Uppenbarligen är
|z1 − z2| = |z2 − z1| och | − z| = |z|.
Observera att
zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = x 2 + y 2 = |z| 2 .
Sats 3.1 (dubbelsidiga triangelolikheten). För tv˚a godtyckliga komplexa tal z1
och z2 gäller
|z1| − |z2| ≤ ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2| (64)
Bevis. Olikheten |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| gäller, eftersom summan av tv˚a sidors
längder i en triangel alltid är större än längden av den tredje sidan.
Olikheten ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| gäller enligt följande:
|z1| = |(z1 − z2) + z2| ≤ |z1 − z2| + |z2| →
|z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| som kan skrivas
|z2 − z1| ≥ −(|z1| − |z2|) eller
||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| (65)
Olikheten ||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2| gäller enligt följande:
Exempel 3.1
|z1 + z2| = |z1 − (−z2)| ≥ ||z1| − | − z2|| = ||z1| − |z2||.
Tag komplexa talen z1 = x1 + iy1 = 1 + 2i och z2 = x2 + iy2 = 4 − 3i. Vi har
|z1| =
|z1 − z2| = x2 2 + y2 2 = √ 9 + 25 = √ 34,
z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2) = −3 + 5i,
|z1| − |z2| = √ 5 − 5 < 0.
23
x 2 1 + y 2 1 = √ 5, |z2| =
x 2 2 + y 2 2 = √ 25 = 5,

Den dubbelsidiga triangelolikheten (64) ger allts˚a
|z1| − |z2| = √ 5 − 5 ≤ ||z1| − |z2|| = | √ 5 − 5| ≤ |z1 − z2| =
eller med 2 decimaler
3.1.3 Polär form av komplexa tal
= √ 34 ≤ |z1| + |z2| = √ 5 + 5. (66)
−2.76 < 2.76 < 5.10 < 5.83 < 7.24.
Det komplexa talet z = x + iy som tolkas som vektorn z med komponenterna x, y
kan framställas i polär form
z = x + iy = re iθ = r(cos θ + i sin θ) (67)
där r = |z| och θ = arg z (argumentet för z). Argumentet θ = θ0 + n · 2π, där n är
ett godtyckligt heltal, och man kan välja n s˚a att −π < θ ≤ π. θ0 = arctan y/x
kallas argumentets principalvärde.
Exempel 3.2
Skriv p˚a polär form
z = 1 = cos 0 + i sin 0 = cos 2π + i sin 2π = e i0 = e 2iπ ,
z =
π
i
i = cos π/2 + i sin π/2 = e 2 ,
z = −1 = cos π + i sin π = e iπ ,
3π
i
z = −i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = e 2 ,
z = 2 − 2i = 2 √ 2
3.1.4 De Moivres formel
Man kan skriva ocks˚a
√
2
2 −
√
2
2 i
= (68)
= 2 √ 2(cos 7π/4 + i sin 7π/4) = 2 √ 7π
i
2e 4 .
(cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (69)
z n = (re iθ ) n = r n (cos nθ + i sin nθ). (70)
24

3.2 Komplexvärd funktion av en komplex variabel
En komplexvärd funktion f = f(z) av den komplexa variabeln z säges föreligga om
mot varje komplext tal z i en given mängd Df svarar ett eller flera komplexa tal
w = f(z). Df kallas funktionens definitionsmängd.
En komplex funktion f = f(z) av den komplexa variabeln z kallas entydig om
mot varje z i Df svarar ett och endast ett w = f(z).
En komplex funktion f = f(z) av z kallas flertydig om mot varje z i Df svarar
flera w = f(z).
Exempel 3.3
f(z) = z 2 är en entydig funktion. Funktionens definitionsmängd är hela komplexa
planet C: Df = C.
Exempel 3.4
Den exponentialfunktionen definieras
e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), (71)
a z = e z ln a = e (x+iy) ln a = e x ln a [cos(y ln a) + i sin(y ln a)] = (72)
= a x [cos(y ln a) + i sin(y ln a)] (a > 0).
Den logaritmiska funktionen definieras
ln z = ln(re iθ ) = ln |z| + iarg z = ln r + iθ. (73)
f(z) = ln z är en flertydig funktion eftersom
ln z = ln(re iθ ) = ln r + i(θ + 2πn), n = 0, ±1, ±2, . . . ,
och den har oändligt m˚anga värden för varje z = 0.
L˚at z = x + iy = re iθ = 0 och w = u + iv. Den potensfunktionen definieras
z w = e w ln z = e (u+iv)(ln |z|+iarg z =
Om v = 0 (w = u), f˚ar vi
= e u ln |z|−varg z e i[v ln |z|+uarg z] = (74)
= |z| u e −varg z [cos(v ln |z| + uarg z) + i sin(v ln |z| + uarg z)].
z w = z u = |z| u [cos(uarg z) + i sin(uarg z)]. (75)
Om y = 0 och x > 0 (dvs arg z = 0), f˚ar vi
z w = x w = x u [cos(v ln x) + i sin(v ln x)], (76)
25

och (75) sammanfaller med (72). Om y = 0, v = 0 och x > 0 (dvs arg z = arg w =
0), f˚ar vi
Exempel 3.5
z w = x u .
Om t är en reell variabel (ℑt = 0), vi har, enligt (70),
cos t = eit + e −it
2
och man kan definiera funktionerna sin z och cos z
cos z = eiz + e −iz
2
och hyperboliska funktionerna sinh z och cosh z
Vi har ocks˚a
, sin t = eit − e−it . (77)
2
, sin z = eiz − e−iz . (78)
2i
cosh z = ez + e−z , sinh z =
2
ez − e−z . (79)
2
cos it = e−t + et = cosh t,
2
(80)
sin it = e−t − et = −i
2i
e−t − et = i sinh t.
2
3.2.1 Real- och imaginärdel till en komplex funktion
Betrakta en komplex funktion w = f(z) av den komplexa variabeln z, där z = x+iy
och w = u + iv. D˚a är
Härav f˚as
u + iv = f(x + iy). (81)
ℜf(x + iy) = u = u(x, y), ℑf(x + iy) = v = v(x, y) (82)
där u(x, y) och v(x, y) är reellvärda funktioner av tv˚a rella variabler x och y. (81)
kan allts˚a skrivas
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (83)
26

Funktionerna u(x, y) och v(x, y) kallasreal- resp. imaginärdelen till den komplexa
funktionen f(z).
s˚a att
Exempel 3.6
f(z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 − y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y), (84)
ℜf = u(x, y) = x 2 − y 2 , ℑf = v(x, y) = 2xy.
Exempel 3.7
Använd (80) och bestäm
sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y (85)
cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y,
ℜ sin z = sin x cosh y, ℑ sin z = cos x sinh y.
ℜ cos z = cos x cosh y, ℑ cos z = − sin x sinh y.
3.3 Analytiska funktioner. Cauchy–Riemanns ekvationer
3.3.1 Gränsvärden
Definition. Antag att f(z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln
z och z0 är en punkt som tillhör antingen definitionsmängden Df eller dess
randkurva. Om till varje tal ɛ > 0 finns det ett tal δ > 0 s˚adant att
|f(z) − w0| < ɛ om 0 < |z − z0| < δ, z ∈ Df, (86)
kallas w0 funktionens gränsvärde d˚a z → z0 och betecknas
lim f(z) = w0. (87)
z→z0
OBS! Denna definition kräver ingenting för z = z0.
Definitionen innebär att oberoende av hur z → z0 (z g˚ar mot z0) s˚a skall
f(z) → w0.
27

3.3.2 Derivata
Definition. Antag att f(z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln
z p˚a ett öppet omr˚ade Ω och att z ∈ Ω. D˚a definieras derivatan f ′ (z) i
punkten z som gränsvärdet
f ′ (z) = lim
∆z→0
f(z + ∆z) − f(z)
. (88)
∆z
OBS! Enligt gränsvärdetsdefinitionen skall gränsvärdet (88) vara oberoende
av hur ∆z → 0 genom komplexa värden. Detta är mycket strängare krav än det
som gäller vid definitionen av derivata till en funktion av en reell variabel.
Exempel 3.8
Bestäm derivatan f ′ (z) till funktionen f(z) = z 2 :
f ′ (z + ∆z)
(z) = lim
∆z→0
2 − z2 Exempel 3.9
= lim
∆z→0
∆z
z 2 + 2z∆z + ∆z 2 − z 2
∆z
= (89)
= lim (2z + ∆z) = 2z.
∆z→0
Bestäm derivatan f ′ (z) till konjugatet till talet z = x + iy, f(z) = z ∗ = x − iy:
f ′ (z + ∆z)
(z) = lim
∆z→0
∗ − z∗ ∆z
z ∗ + (∆z) ∗ − z ∗
=
(∆z)
= lim
∆z→0
∗
= lim
∆z→0 ∆z
∆z =
(1) =
(∆x
lim
∆x→0
∗ (∆x
= lim = 1
∆x ∆x→0 ∆x
(∆z = ∆x),
(2) =
(i(∆y)
lim
∆z→0
∗ (−i∆y
= lim = −1
i∆y ∆z→0 i∆y
(∆z = i∆y), (90)
och derivatan till f(z) = z ∗ existerar inte.
3.3.3 Cauchy–Riemanns ekvationer
Antag att f(z) = u(x, y) + iv(x, y) är definierad och entydig p˚a en cirkelskiva
|z − z0| < δ kring en punkt z0 = x0 + iy0 och f ′ (z0) existerar. D˚a gäller Cauchy–
Riemanns ekvationer
u ′ x(x0, y0) = v ′ y(x0, y0), u ′ y(x0, y0) = −v ′ x(x0, y0), (91)
f ′ (z0) = u ′ x(x0, y0) + iv ′ x(x0, y0) = v ′ y(x0, y0) − iu ′ y(x0, y0). (92)
28

Exempel 3.10
Betrakta f(z) = z 2 och kolla Cauchy–Riemanns ekvationer:
f(z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 − y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y), (93)
u ′ x = v ′ y = 2x, u ′ y = −v ′ x = −2y.
3.3.4 Analytiska funktioner
Funktionen f(z) kallas analytisk i punkten z0 om f ′ (z) existerar p˚a n˚agon cirkelskiva
|z − z0| < δ.
Funktionen f(z) kallas analytisk p˚a omr˚adet Ω om f(z) är analytisk i alla
punkter i Ω.
Exempel 3.11
Funktionen f(z) = z 2 är analytisk i varje punkt z ∈ C och därmed analytisk
p˚a omr˚adet C. Funktionen f(z) = z ∗ är däremot inte analytisk i n˚agon punkt.
Vi ser att om en funktion f(z) är analytisk i punkten z0, d˚a gäller Cauchy–
Riemanns ekvationer. För att f˚a en omvändning m˚aste vi lägga till en förutsättning
enligt följande.
Antag att
(1) f(z) = u(x, y)+iv(x, y) är definierad och entydig p˚a en cirkelskiva |z−z0| < δ
kring punkten z0 = x0 + iy0,
(2) u ′ x(x, y), u ′ y(x, y), v ′ x(x, y) och v ′ y(x, y) existerar p˚a cirkelskivan |z − z0| < δ
och kontinuerliga i punkten z0,
(3) Cauchy–Riemanns ekvationer är uppfylda i punkten (x0, y0).
D˚a existerar derivatan
f ′ (z0) = u ′ x(x0, y0) + iv ′ x(x0, y0) = v ′ y(x0, y0) − iu ′ y(x0, y0). (94)
Exempel 3.12
Betrakta en analytisk funktion f(z) = u(x, y) + iv(x, y). P˚aminn att vektorfunktionen
grad f(x, y) = ∇f = ∂f
∂x
= [ ∂f ∂f
,
∂x ∂y ]
29
∂f
i + j =
∂y

kallas gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f(x, y). Vi har
grad u(x, y) = [ ∂u ∂u
,
∂x ∂y ],
grad v(x, y) = [ ∂v ∂v
,
∂x ∂y ].
I ortogonala koordinatsystem (i planet) q1, q2,
gäller villkoret
där
q1 = q1(x, y), q2 = q2(x, y),
g12 = g21 = 0,
g12 = g21 = ∂q1 ∂q1 ∂q2 ∂q2
+
∂x ∂y ∂x ∂y .
Man kan betrakta realdelen och imaginärdelen till den analytiska funktionen f(z) =
u(x, y) + iv(x, y) som ett koordinatsystem u, v (i planet)
u = u(x, y), v = v(x, y),
D˚a f˚ar man enligt Cauchy–Riemanns ekvationer (91)
∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v
+ = −∂v + = 0.
∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y
Detta innebär att u, v är ett ortogonalt koordinatsystem, dvs u(x, y) = c1 och
v(x, y) = c2 är ortogonala kurvor (se Ex. 6.2.1).
P˚aminn att om grad f = 0 s˚a är grad f en normalvektor till niv˚akurvan
f(x, y) = c. D˚a är grad u ortogonal mot kurvan u(x, y) = c1 och grad v ortogonal
mot kurvan v(x, y) = c2 och grad u och grad v är ortogonala.
3.4 Cauchys integralformel
3.4.1 Komplexa kurvintegraler
Antag att C är en kontur z = z(t), a ≤ t ≤ b, fr˚an punkten z1 = z(a) till punkten
z2 = z(b), och f(z) är en komplexvärd kontinuerlig (eller styckevis kontinuerlig)
funktion definierad p˚a C (dvs f(z(t)) är kontinuerlig eller styckevis kontinuerlig
funktion av t p˚a [a, b]). D˚a definieras konturintegralen
b
f(z)dz = f(z(t))z ′ (t)dt. (95)
C
a
30

En komplex kurvintegral av f(z) = u + iv kan definieras som kurvintegralen
av vektorfunktionen F(r) = [u, v]
f(z)dz = F(r)·dr = (u+iv)(dx+idy) = (udx−vdy)+i (vdx+udy).
C
C
C
C
C
Exempel 3.13
Beräkna
C z2dz d˚a C är linjesegmentet fr˚an 0 till 2 + i:
C = {z : z = (2 + i)t, 0 ≤ t ≤ 1}.
Vi har z ′ = ((2 + i)t) ′ = 2 + i och
z
C
2 1
dz = (2 + i)
0
2 t 2 (2 + i)dt = (2 + i) 3
1
t=1
3 t3
0
= (2 + i)
3
t=0
= 1
3 (2 + i)3 = 2 11
+
3 3 i.
t 2 dt =
Exempel 3.14
Beräkna
1dz
d˚a C är enhetscirkeln (ett varv i positiv led)
C z
C = {z : z = eit , 0 ≤ t ≤ 2π}.
Vi har z ′ = ieit och
2π
1 ie
dz =
C z 0
it 2π
dt = i dt = 2πi. (96)
eit 0
Exempel 3.15
Beräkna 1
2πi C zndz d˚a C är cirkeln (ett varv i positiv led)
C = {z : z = reit , 0 ≤ t ≤ 2π}.
Vi har z ′ = ire it och
1
2πi
C
z n dz = 1
2πi
= rn+1
2π 0
=
rn+1 2i(n + 1)π
2π
r
0
n e int ire it dt =
2π
e i(n+1)t dt = rn+1
2π
1
i(n + 1) ei(n+1)t t=2π
= (97)
t=0
[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t]|t=2π
t=0
om n = −1. Om n = −1,
1
z
2πi C
n dz = 1
1 1
dz = 2πi
2πi C z 2πi
31
= 0
= 1. (98)

Uppskattning av absolutbeloppet av en komplex integral. Antag att C
är en given kontur med längden L(C), f(z) är kontinuerlig p˚a C och |f(z)| ≤ M
p˚a C. D˚a är
f(z)dz
≤ ML(C). (99)
3.4.2 Cauchys integralsats
C
Om f(z) är analytisk inom och p˚a en enkel, sluten kontur C, s˚a är
f(z)dz = 0. (100)
3.4.3 Cauchys integralformel
C
Om f(z) är analytisk inom och p˚a en enkel, sluten kontur C och z0 är en godtycklig
punkt inom C, d˚a är
f(z0) = 1
f(z)
dz. (101)
2πi C z − z0
Exempel 3.16
Beräkna
z
(9−z2 dz d˚a C är cirkeln (ett varv i positiv led)
)(z+i)
C
C = {z : |z| = 2, : z = 2eit , 0 ≤ t ≤ 2π}.
Sätt
f(z) = z
.
9 − z2 f(z) är analytisk inom och p˚a C. Vi har
z
(9 − z2
dz =
)(z + i)
f(z)
−i π
dz = 2πif(−i) = 2πi = .
z + i 9 − i2 5
(102)
C
3.4.4 Cauchys generella integralformel
C
Om f(z) är analytisk inom och p˚a en enkel, sluten kontur C och z0 är en godtycklig
punkt inom C, d˚a existerar derivatan f (n) (z) för alla n ≥ 1 och
f (n) (z0) = n!
f(z)
dz. (103)
2πi (z − z0) n+1
C
32

Cauchys uppskattning av f (n) (z). Om f(z) är analytisk inom och p˚a cirkelskivan
Dr = {z : |z − z0| < r} och |f(z)| ≤ Mr p˚a cirkeln Cr = {z : |z − z0| = r},
d˚a är
|f (n) (z)| ≤ Mrn!
, n = 0, 1, 2, . . . . (104)
rn Man kan uppskatta derivatorna |f ′ (z)| (n = 1) och |f ′′ (z)| (n = 2):
Exempel 3.17
|f ′ (z)| ≤ Mr
r , |f ′′ (z)| ≤ 2Mr
. (105)
r2 L˚at f(z) = e2z och l˚at C vara en cirkel C = {z : |z| = r, r > 1}. Beräkna
Vi har
C
8e 2z0
f (3) (z0) = (e 2z ) (3) = 8e 2z ,
z0=−1
= 3!
2πi
e2z πi
dz =
(z + 1) 4
Exempel 3.18
C
C
e2z dz.
(z + 1) 4
f(z)
(z − z0) 4
3 8e−2 = 8πi
.
3e2 z0=−1
dz = 3
πi C
e2z dz, (106)
(z + 1) 4
Om |f(z)| ≤ 1 p˚a cirkeln C = {z : |z| = 2} och f(z) är analytisk inom
cirkelskivan D2 = {z : |z| < 2}, s˚a m˚aste, enligt (105),
|f ′ (z)| ≤ 1
2 , |f ′′ 1 · 2 1
(z)| ≤ = , (107)
22 2
|f ′′′ 1 · 1 · 2 · 3
(z)| ≤
23 = 3
4 .
3.5 Taylors och Laurents utveckling
3.5.1 Komplexa serier
∞
L˚at
k=1
uk vara en komplex serie. Partialsumman Sn och resttermen Rn definieras
Sn =
n
uk, Rn = S − Sn =
k=1
33
∞
k=n+1
uk. (108)

Om den komplexa talföljden {Sn} har ett (komplext) gränsvärde S, s˚a säges
∞
den givna komplexa serien uk vara konvergent (konvergera) och ha summan
S =
∞
uk.
k=1
k=1
Nödvändigt villkor för konvergens av en komplex serie
Absolutkonvergent serie. En komplex serie
gent om den reella serien
∞
uk är
k=1
lim
k→∞ uk = 0. (109)
∞
|uk| är konvergent.
k=1
∞
uk kallas absolutkonver-
k=1
Absolutkonvergens medför konvergens. Om serien
s˚a konvergerar ocks˚a den komplexa serien
∞
uk.
k=1
Geometriska serien. En komplex serie av formen
∞
k=0
∞
|uk| konvergerar,
k=1
az k = a + az + az 2 + . . . , (110)
där a och z är komplexa tal, kallas en (komplex) geometrisk serie med kvoten z.
Den är absolutkonvergent för |z| < 1, eftersom den reella serien
∞
|az k ∞
| = |a| |z| k
k=1
är konvergent. Dess summa
∞
az k = a 1
1 − z = a(1 − z)−1 , |z| < 1. (111)
k=0
3.5.2 Potensserie
En funktionsserie av den speciella typen
∞
ak(z − z0) k
k=0
34
k=1
(112)

kallas en potensserie. Den geometriska serien
och z0 = 0.
För varje potensserie
∞
az k är en potensserie med ak = a
k=1
∞
ak(z − z0) k gäller: det finns ett icke-negativt tal R
k=1
s˚adant att potensserien absolutkonvergent för alla z med |z−z0| < R och divergent
∞
för alla z med |z − z0| > R. Här R = 0 om ak(z − z0) k konvergerar endats för
z = z0 och R = ∞ om
k=1
∞
ak(z − z0) k konvergerar för alla komplexa z.
k=1
Talet R ≥ 0 kallas konvergensradie och cirkeln {z : |z − z0| = R} kallas
∞
konvergenscirkel till potensserie ak(z − z0) k (som konvergerar inom cirkelskivan
k=1
DR = {z : |z − z0| < R}).
För konvergensradien gäller
1
R
1
R
Exempel 3.19
Den geometriska serien
= lim
= lim
k→∞ |ak| 1/k , (113)
k→∞
ak+1
ak
, (114)
∞
az k är en potensserie med ak = a (a = 0) som har
k=1
konvergenscirkeln {z : |z| = 1} och konvergensradien R = 1, eftersom
1 a
= lim = 1.
R k→∞ a
Serien divergerar i alla punkter p˚a denna cirkeln.
Exempel 3.20
är en potensserie som konvergerar för alla komplexa z, eftersom
1
R
∞
k=0
1/(k + 1)!
= lim
k→∞ 1/k!
z k
k!
1
= lim
k→∞ k + 1
35
(115)
= 0. (116)

3.5.3 Taylors utveckling
Antag att f(z) är analytisk inom och p˚a en enkel, sluten kontur C och skriv
Cauchys integralformel
f(z) = 1
f(z
2πi C
′ )
z ′ − z dz′ =
= 1
f(z
2πi C
′ )
(z ′ − z0) − (z − z0) dz′ = (117)
= 1
f(z
2πi
′ )
(z ′ − z0)[1 − (z − z0)/(z ′ − z0)] dz′
C
där |q| = |(z − z0)/(z ′ − z0)| < 1 eftersom |(z − z0)| < |(z ′ − z0)| (z ′ ∈ C och z
inom C). Vidare
1
1 − (z − z0)/(z ′ − z0)
och
1
=
1 − q = 1+q+q2 z − z0
+· · · = 1+
z ′
z − z0
+
− z0 z ′ 2 +· · · =
− z0
f(z) = 1
f(z
2πi C
′ ) 1 1
1 − q (z ′ − z0) dz′ =
=
1
f(z
2πi C
′ 1
)
(z ′ =
∞
− z0)
n=0
1
f(z
2πi C
′ ∞ (z − z0)
)
n=0
n
=
∞
n 1
(z − z0)
2πi
n=0
C
= 1
∞
(z − z0)
2πi
n f (n) (z0)
,
n!
n=0
(z − z0) n
(z ′ − z0) n dz′ =
(z ′ − z0) n+1 dz′ = (118)
f(z ′ )
(z ′ − z0) n+1 dz′ =
som är den sökte Taylors utveckling av f(z). Observera att vi använde formeln
(103)
f (n) (z0) = n!
f(z)
dz.
2πi C (z − z0) n+1
Potensserieutveckling av analytiska funktioner. Antag att f(z) är analytisk
för alla z inom cirkelskivan DR = {z : |z − z0| < R}. D˚a gäller för alla dessa
36
∞
n=0
(z − z0) n
(z ′ − z0) n

z
Exempel 3.21
f(z) =
∞
k=0
f (k) (z0)
(z − z0)
k!
k . (119)
Betrakta f(z) = e z . Vi har f (n) (z) = e z (n = 1, 2, . . . ), f (n) (0) = 1 (n =
1, 2, . . . ), f(z) = e z är analytisk i hela komplexa planet C. D˚a
e z =
∞
k=0
enligt (118) och (119). Speciellt f˚as, t ex
och
Exempel 3.22
P˚a samma sätt erh˚alles
∞
sin z =
för alla komplexa z
Exempel 3.23
cos z =
k=0
k=0
e 1+i =
z k
k!
(120)
∞ (1 + i) k
. (121)
k!
k=0
(−1) k z 2k+1
(2k + 1)!
∞
k z2k
(−1)
(2k)!
Man finner analogt (med z0 = 0) att
f(z) = 1
z + 1 =
∞
k=0
= z − z3
3!
= 1 − z2
2!
+ z5
5!
+ z4
4!
− . . . (122)
− . . . , (123)
(−1) k z k = z − z + z 2 + z 4 − . . . (124)
för |z| < 1. Punkten z = −1 är singulär för f(z) = 1/(1 + z). För |z| > 1 är f(z)
analytisk med potensserien (124) divergent; den framställer allts˚a inte f(z) för
alla dessa z.
37

3.5.4 Laurents utveckling
Antag att f(z) är analytisk inom och p˚a den öppna cirkelringen z : r < |z−z0| < R
med 0 < r < R. D˚a finns det komplexa tal a0, a1, a2, . . . , ak, . . . , och a−1, a−2,
a−3, . . . , a−k, . . . , s˚adana att likheten
f(z) =
∞
ak(z − z0) k +
k=0
∞
k=1
a−k
. (125)
(z − z0) k
för alla z i den öppna cirkelringen. Serien i högerledet av (125) kallas Laurentserien
till f(z) p˚a cirkelringen z : r < |z − z0| < R. Koefficienterna ak är bestämda av
formeln
ak = 1
2πi C
f(z)
dz, k = 0, ±1, ±2, . . . , (126)
(z − z0) k+1
där C är en godtycklig cirkel z : |z − z0| = r ′ med r < r ′ < R.
Exempel 3.24
Betrakta
f(z) =
1
(z − a)(z − b)
(a = b). Här r = 0 och R = |a − b|.
Exempel 3.25
Funktionen
1 1 1
= −
a − b z − a z − b
1
f(z) = −
(z − 2)(z + 3)
är analytisk överallt utom i z = 2 och z = −3. Antag att vi vill utveckla f(z) i
en Laurentserie inneh˚alande potenser av z. D˚a är z0 = 0 och det finns tre möjliga
omr˚aden där f(z) kan utvecklas i Laurentserie av önskat slag:
z : |z| < 2, z : 2 < |z| < 3 och z : 3 < |z|.
Vi har
1
f(z) = −
(z − 2)(z + 3)
−1/5 1/5
= +
z − 2 z + 3
P˚a cirkelskivan z : |z| < 2 är |z/2| < 1 och d˚a kan vi med hjälp av den geometriska
38

serien skriva
f(z) = 1 1 1 1
+
10 1 − z/2 15 1 + z/3 =
= 1
∞
z
k +
10 2
k=0
1
∞
−
15
k=0
z
=
k =
3
∞
1 1 1 (−1)
+
10 2k 15
k
3k
z k . (127)
k=0
P˚a cirkelskivan z : 2 < |z| < 3 är |2/z| < 1 och |z/3| < 1 och d˚a kan vi med hjälp
av den geometriska serien skriva
f(z) = − 1 1 1 1
+
5z 1 − 2/z 15 1 + z/3 =
= − 1
∞
k 2
+
5z z
k=0
1
∞
−
15
k=0
z
k =
3
∞ 1 (−1)
=
15
k
3k z k ∞
+ − 2k−1
1
. (128)
5 zk k=0
k=1
P˚a cirkelskivan z : |z| > 3 är |3/z| < 1 och d˚a kan vi skriva
f(z) = − 1 1 1 1
+
5z 1 − 2/z 5z 1 + 3/z =
= − 1
∞
k 2
+
5z z
k=0
1
∞
−
5z
k=0
3
k =
z
∞
= − 2k−1
(−3)k−1 1
+ . (129)
5 5 zk k=1
Att de erh˚allna serierna är Laurentserien till f(z) p˚a resp. omr˚aden följer av
entydighetssatsen: om
∞
f(z) = ak(z − z0) k
k=−∞
för alla z i en öppen cirkelring z : r < |z − z0| < R s˚a m˚aste denna serie vara
Laurentserien till f(z) p˚a cirkelringen.
Exempel 3.26
Betrakta funktionen
f(z) =
1
z(z − 1)
39
1 1
= −
z − 1 z .

Bestäm koefficienterna ak k = 0, ±1, ±2, . . . (z0 = 0 i (126))
ak = 1
1 1 1 1
dz = −
2πi C z(z − 1) zk+1 2πi C zk+2 =
dz =
(z − 1)
− 1
∞
m 1
z dz =
2πi zk+2 = − 1
2πi
= − 1
2πi
C m=0
∞
m=0
∞
m=0
C
C
dz
=
zk+2−m z m−k−2 dz.
Cirkelns ekvationer p˚a parameterform är z = re it , z ′ = ire it och vi har, enligt (96)
och (98), att
D˚a
och
ak =
ak =
∞
m=0
∞
m=0
1
2πi
1
2πi
1
2πi
1
2πi
C
C
C
C
− 1
2πi
− 1
2πi
z n dz = 0, n = −1,
z n dz = 1, n = −1.
z m−k−2 dz = 0, m − k = 1,
z m−k−2 dz = 1, m − k = 1,
C
C
z m−k−2
dz = 0, k = −1, 0, 1, 2, . . . ,
z m−k−2
dz = −1, k = . . . , −2, −1.
Laurentserieutveckling av f(z) = 1 i den öppna cirkelringen z : 0 < |z| < 1
z(z−1)
är d˚a
1
z(z − 1) =
∞
akz
k=0
k ∞ a−k
+ =
zk k=1
= − 1
z − 1 − z − z2 ∞
− · · · = − z k .
40
k=−1

Observera att man f˚ar samma resultat med med hjälp av den geometriska serien
(111):
1
1
f(z) = = −1 − = −1
z(z − 1) z 1 − z z −
∞
z k ∞
= − z k .
3.6 Residykalkyl
3.6.1 Isolerade singulariteter. Poler
k=0
k=−1
Antag att f(z) är analytisk för z : |z − z0| < R utom i punkten z0, dvs f(z) har
isolerad singularitet i z0. D˚a har f(z) p˚a en öppen cirkelring z : 0 < |z − z0| < R
Laurentserien
∞
f(z) = ak(z − z0) k =
=
k=−∞
∞
ak(z − z0) k +
k=0
= Σ1 + Σ2.
∞
k=1
a−k
= (130)
(z − z0) k
Summan Σ2 brukar kallas den singulära delen till f(z) kring punkten z0. Σ1 är en
analytisk funktion för z : |z − z0| < R.
Pol av ordning n. Antag att f(z) har isolerad singularitet i punkten z0 och
l˚at Σ2 vara den singulära delen till f(z) kring z0. Om
Σ2 =
n
k=1
a−k a−1
= + · · · +
(z − z0) k z − z0
a−n
(z − z0) n , a−n = 0, (131)
s˚a kallas z0 en pol av ordning n till f(z) (n = 1, 2, . . . ).
Exempel 3.27
Laurentserieutveckling av f(z) = 1
z(z−1)
1
z(z − 1) = Σ1 + Σ2 = −
f ör z : 0 < |z| < 1 är
∞
k=0
z k − 1
z ,
och z0 = 0 en pol av ordning n = 1 till f(z) = 1
z(z−1) med a−n = a−1 = −1 = 0.
Laurentserieutveckling till f(z) = 1 f ör z : 0 < |z − 1| < 1 är
z(z−1)
1
z(z − 1) == Σ1 + Σ2 = − 1 1
−
z 1 − z
41

och z0 = 1 en pol av ordning n = 1 till f(z) = 1
z(z−1) med a−n = a−1 = −1 = 0,
eftersom Σ1 = 1/z är en analytisk funktion för z : |z − 1| < 1.
Exempel 3.28
Laurentserieutveckling av f(z) =
godtyckligt positivt tal) är
sin z
sin z
z 3
z 3 = Σ1 + Σ2 =
= 1
z3
z − z3
3!
= 1
z3
∞
k=0
f ör z : 0 < |z| < R (där R är ett
+ z5
5!
− . . .
(−1) k z 2k+1
(2k + 1)!
=
= 1 1 z2
− + − . . . (132)
z2 3! 5!
sin z
och z0 = 0 en pol av ordning n = 2 till f(z) = z3 med a−n = a−2 = 1 = 0
(och a−1 = 0), eftersom Σ2 = 1/z2 och Σ1 = −1/3! + z2 /5! − . . . är en analytisk
funktion för z : |z| < R.
3.6.2 Metoder för residyberäkning
Om a är en pol av ordning m till f(z), s˚a är
resz=af(z) = lim
z→a
Speciellt är, om a är en enkelpol av ordning m = 1,
Exempel 3.29
1 d
(m − 1)!
m−1
dzm−1 [(z − a)mf(z)]. (133)
resz=af(z) = lim
z→a [(z − a)f(z)]. (134)
Betrakta
f(z) = 1
z2 1 1
=
+ 4 z + 2i z − 2i .
D˚a är z = ±2i enkelpoler av ordning 1 och, enligt (134),
resz=2if(z) = lim
z→2i [(z − 2i)f(z)] = 1
4i
1
resz=−2if(z) = lim [(z + 2i)f(z)] = −
z→−2i 4i
42
=
= − i
4 ,
= i
4 .

Exempel 3.30
Betrakta
f(z) = z3 + 2z
.
(z − i) 3
D˚a är z = i en pol av ordning m = 3 och, enligt (133),
3.6.3 Residysats
resz=if(z) =
1 d
lim
z→i (m − 1)!
m−1
dzm−1 [(z − i)3f(z)] =
=
1 d
lim
z→i 2
2
dz2 [z3 + 2z] =
= 1
2 lim
d
z→i dz [3z2 + 2] = 1
2 lim[6z]
= 3i.
z→i
Integrera termvis Laurentserieutvecklingen
f(z) =
∞
k=−∞
ak(z − z0) k
till f(z) längs cirkeln C = {z : |z − z0| = r (z − z0 = reθ , 0 ≤ θ < 2π):
ak (z − z0) k (z − z0)
= ak
k+1
z=z1
k + 1 = 0, k = −1,
s˚a att
och
a−1
C
C
(z − z0) −1 = a−1
C
C
z=z1
ire θ
re θ dθ = 2πia−1, k = −1
f(z)dz = 0 + 2πia−1 = 2πia−1,
1
f(z)dz = a−1. (135)
2πi C
1
Med residyn till f(z) i punkten z0 menas koefficienten a−1 för i Lau-
z − z0
rentserieutveckling till f(z) p˚a omr˚adet z : 0 < |z − z0| ≤ R. Beteckning:
a−1 = a−1,z0 = resz=z0f(z). (136)
43

Residysatsen. Antag att f(z) är analytisk inom och p˚a en enkel, sluten kontur
C utom i ett ändligt antal punkter z1, z2, . . . , zn inom C. D˚a är
C
Exempel 3.31
Betrakta funktionen
f(z)dz = 2πi
n
k=1
f(z) = z −1 (e z − 1) −1 =
res z=zkf(z) = 2πi
1
z(e z − 1)
n
k=1
a−1,zk . (137)
= 1
g(z) .
Här g(z) = z(ez − 1) och g(z0) = 0, där z0 = 0. Taylorserieutveckling av g(z) är
g(z) = z(e z
∞
z
− 1) = z
k=0
k
=
− 1 =
k!
z 1 + z + z2
+ · · · − 1 = z z +
2 z2
=
z3
+ + . . . =
2 6
z 2
1 + z
z2
+ + . . . = z
2 6 2 ˜g(z),
där ˜g(0) = 0. Vidare kommer vi att använda funktionen
Vi har
Skriv om
q(z) = z z2
+ + · · · = z
2 6
1 z
+ + . . .
2 6
q 2 (z) = z 2
2 1 z
+ + . . . = z
2 6 2
1
2 +
z
+ . . .
6 2 = (138)
= z 2
1
4 +
z
z
2
+ . . . + + . . . =
6 6
= z2
4
+ z3
6
f(z) =
+ . . . .
1
g(z)
= 1
z 2
= 1
G(z),
z2 44
1
1 + z
=
z2 + + . . . 2 6
.

där G(z) är analytisk f ör z : |z| < R (R är n˚agot positivt tal), G(0) = 1 och
Taylorserieutveckling av G(z) är d˚a
där G1 = − 1
2
G(z) =
=
1 + z
2
1
+ z2
6
+ . . . =
1
1 + q(z) = 1 − q + q2 − · · · =
= 1 − z z2 z2
− + · · · +
2 6 4
= 1 + G1z + . . . ,
+ z3
6
= 0. Laurentserieutveckling av f(z) är d˚a
f(z) = 1 1 1
1 1
G(z) = (1 − z + . . . ) = −
z2 z2 2 z2 2
= Σ1 + Σ2
+ · · · =
1
+ · · · =
z
f ör z : 0 < |z| < R (där R är ett godtyckligt positivt tal) och z0 = 0 en pol av
ordning n = 2 till f(z) = 1
z(e z −1) med a−n = a−2 = 1 = 0 och a−1 = −0.5, eftersom
Σ2 = 1 1
−
z2 2
och Σ1 är en analytisk funktion för z : |z| < R.
Residyn till f(z) = 1
z(e z −1) i punkten z0 = 0 är
Här
Exempel 3.32
Betrakta funktionen
1
z
a−1 = a−1,0 = resz=0f(z) = − 1
. (139)
2
f(z) = z −n (e z − 1) −1 =
1
z n (e z − 1)
= 1
g(z) .
g(z) = z n (e z − 1) = z n (z + z 2 /2 + . . . ) = z n+1 (1 + z/2 + . . . )
och g(0) = 0, där z = 0 är ett nollställe av ordning n + 1 till g(z) och allts˚a en
pol av ordning n + 1 till f(z). Man kan skriva
f(z) = z
ez 1
1
= g1(z)
− 1 zn+1 zn+1 , g1(0) = 1.
45

Taylorserieutveckling av g1(z) är, enligt Arfken, (5.144),
där
Bk = lim
z→0
är Bernoullis tal. Vi har
och
g1(z) =
d k
dz k [g1(z)] = lim
z→0
g1(z) =
f(z) =
∞
k=0,k=n
= Bn
n!
Bkz k
k!
∞ Bkzk ,
k!
k=0
dk dzk
z
ez
, k = 0, 1, 2, . . . , (140)
− 1
+ Bnz n
n!
1
zn+1
Bnzn n! +
1 1
+
z zn+1 (n = 1, 2, . . . ),
∞
k=0,k=n
∞
k=0,k=n
Bkzk
=
k!
Bkzk ,
k!
resz=0f(z) = Bn
, n = 1, 2, . . . . (141)
n!
Speciellt är, om n = 1 och z = 0 är en pol av ordning 2,
B1 =
d z
lim
z→0 dz ez =
=
− 1
z z
e − 1 − ze
lim
z→0 (ez − 1) 2
=
=
2 2 3 z + z /2 − z − z + O(z )
lim
z→0 (z + z2 /2 + O(z3 )) 2
=
=
2 3 −z /2 + O(z )
lim
z→0 z2 (1 + z/2 + O(z2 )) 2
=
=
−1/2 + O(z)
lim
z→0 (1 + z/2 + O(z2 )) 2
= −1/2 + 0
= −1
(1 + 0) 2 2 ,
som sammanfaller med (139) i exemplet ovan. Här, betecknar O(z m ) (m = 1, 2, 3)
en funktion s˚adan att O(z m ) = z m Pm(z), där Pm(0) = 0 och Pm(z) är analytisk
för z : |z| < R med n˚agot R > 0.
46

3.6.4 Beräkning av reella integraler med residykalkyl
Betrakta reella integraler av typ I
I =
2π
0
f(sin θ, cos θ)dθ, (142)
där integranden f = f(x, y) är en rationell funktion i x och y (dvs, f är kvoten
mellan tv˚a polynom). Sätt
och bestäm
Allts˚a är
I =
2π
0
z = e iθ , 0 ≤ θ < 2π, (143)
dz = ie iθ dθ = iz dθ och dθ = −i dz
z ,
sin θ = eiθ − e−iθ =
2
1
z −
2i
1
, (144)
z
cos θ) = eiθ + e−iθ =
2
1
z +
2
1
. (145)
z
f(sin θ, cos θ)dθ =
C
f(
z − z−1
,
2i
z + z−1
, )dθ, (146)
2
där C är enhetscirkeln (ett varv i positiv led) C = {z : z = e it , 0 ≤ t ≤ 2π}
(eller C = {z : |z| = 1}). Den sistnämnda komplexa integralen (146) beräknas
med residysatsen.
Vi har
Exempel 3.33
Beräkna integralen
I =
=
I =
2π
C
C
0
f(sin θ, cos θ)dθ =
dz
iz 2 + √ 3 z−z−1
2i
dz
2iz + 0.5 √ 3z 2 − 0.5 √ 3
där C är enhetscirkeln C = {z : |z| = 1}.
2π
0
dθ
2 + √ . (147)
3 sin θ
= (148)
47
2
= √
3 C
dz
z 2 + 4i
√ 3 z − 1 ,

L˚at h(z) = z 2 + 4i
√ 3 z − 1. D˚a
h(z) = 0 → (z + 2i
√ )
3 2 = − 4
+ 1 = −1
3 3 →
z = − 2i
√ 3 ± − i
√ 3 →
z = z1 = − i
√ 3 , z = z2 = −i √ 3.
Dessa b˚ada punkter z1 och z2 är nollställen till h(z) och allts˚a enkelpoler till
integranden 1/h(z). Av dessa poler, ligger endast z1 = − i
√ 3 inom enhetscirkeln C
(eftersom |z1| = 1 √ 3 < 1 och |z2| = √ 3 > 1). z1 är en enkelpol, och enligt (134)
resz=z1
1
h(z)
Enligt residysatsen (137) f˚ar vi
Vi har
Exempel 3.34
Beräkna integralen
I =
= resz=z1
= lim
z→z1
1
=
z1 − z2
I = 2
1
√ 2πiresz=z1
3 h(z)
2π
0
= 4π
3 − 1
= 2π.
f(sin θ, cos θ)dθ =
1
z 2 + 4i
√ 3 z − 1 =
1
(z − z1)
=
(z − z1)(z − z2
1
= √3 .
1 i − √3
2π
0
= 4πi
√ 3
1
√3 =
1 i − √3
dθ
, 0 < |ɛ| < 1. (149)
1 + ɛ cos θ
dz
I = −i
C z [1 + (ɛ/2)(z + z−1 = (150)
)]
= −i 2
dz
ɛ z2 + (2/ɛ)z + 1 ,
C
48

där C är enhetscirkeln C = {z : |z| = 1}.
L˚at h(z) = z 2 + 2
z + 1. D˚a h(z) = 0 →
ɛ
z = z1 = − 1 1√
− 1 − ɛ2 ,
ɛ ɛ
z = z2 = − 1 1√
+ 1 − ɛ2 ,
ɛ ɛ
Dessa b˚ada punkter z1 och z2 är nollställen till h(z) och allts˚a enkelpoler till
integranden 1/h(z). Av dessa poler, ligger endast z2 inom enhetscirkeln C, eftersom
|z2| < 1 och |z1| > 1. Visa att |z2| < 1:
|ɛ| < 1
|ɛ| 2 < |ɛ|
|ɛ| 2 − |ɛ| < 0, 2|ɛ| 2 − 2|ɛ| < 0,
−2|ɛ| + |ɛ| 2 < −|ɛ| 2
1 − 2|ɛ| + |ɛ| 2 < 1 − |ɛ| 2
(1 − |ɛ|) 2 < ( 1 − |ɛ| 2 ) 2
1 − |ɛ| < 1 − |ɛ| 2
1 − 1 − |ɛ| 2 < |ɛ|
|1 − 1 − |ɛ| 2 | < |ɛ|
|1 − 1 − |ɛ| 2 |
|ɛ|
< 1
|z2| < 1.
(1 − |ɛ| 2 > 0)
z2 är en enkelpol, och enligt (134)
1
resz=z1
h(z)
=
1
resz=z1
z2 + 2
=
=
z + 1 ɛ
1
lim (z − z2)
=
z→z2 (z − z1)(z − z2
=
1
=
1 ɛ 1
√ = √
1 − ɛ2 2 1 − ɛ2 .
Enligt residysatsen (137) f˚ar vi
z2 − z1
2
ɛ
2π
I =
dθ
0 1 + ɛ cos θ =
−i 2
ɛ 2πiresz=z1
1
h(z)
=
2 ɛ 1
2π √
ɛ 2 1 − ɛ2 =
=
2π
√ ,
1 − ɛ2 |ɛ| < 1.
49

4 Differentialekvationer: Grundbegrepp
4.1 Differentialekvationer av första ordningen
Den enklaste formen för en differentialekvation av första ordningen är
y ′ = h(x). (151)
En s˚adan ekvation kan lösas direkt. Om
H(x) = h(x)dx [H ′ (x) = h(x)]
är en primitiv till h(x) s˚a är ju
y(x) = H(x) + C
den almänna (fullständiga) lösningen till (151). Konstanten C bestäms av n˚agot
begynnelsevillkor.
Exempel 4.1
En differentialekvation av första ordningen
kan lösas direkt:
dy
dx
Exempel 4.2
= 2x, dy = 2xdx,
y ′ = 2x (152)
dy =
Differentialekvationen av första ordningen
satisfieras av y = ce x eftersom
2xdx, y = x 2 + C. (153)
y ′ = y (154)
y ′ = (ce x ) ′ = c(e x ) ′ = ce x = y.
50

4.1.1 Linjära differentialekvationer av första ordningen
En linjär differentialekvation av första ordningen är
L(y) ≡ y ′ + g(x)y = h(x). (155)
Här är g och h givna kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall p˚a reela axeln
x. L kallas en linjär differentialoperator (av första ordningen) eftersom
L(y1 + y2) = (y1 + y2) ′ + g(x)(y1 + y2) = y ′ 1 + y ′ 2 + g(x)y1 + g(x)y2 = L(y1) + L(y2).
och
L(αy) = (αy) ′ + g(x)(αy) = αy ′ + αg(x)y = αL(y)
L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2). (156)
Om y1 och y2 löser de tv˚a ekvationerna
s˚a löser y1 + y2 ekvationen
och αy1 löser ekvationen
L(y) = h1(x) respektive L(y) = h2(x)
Detta kallas superpositionprincipen.
Exempel 4.3
Lös differentialekvationen
L(y) = h1(x) + h2(x)
L(y) = αh1(x).
y ′ (x) = x + y. (157)
Lösning. Funktionen y0(x) = ce x satisfierar den homogena ekvationen
y ′ − y = 0 (158)
som motsvarar ekvationen y ′ = x + y. Man kan kolla detta genom att visa att
(158) har karakteristiska polynomet
r − 1
51

med nollstället r = 1. Den fullständiga lösningen y0(x) till homogena ekvationen
(158) är d˚a
y0 = ce x .
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (157):
yp = ax + b : y ′ p − yp = (ax + b) ′ − (ax + b) = −ax + (a − b) = x
→ a = −1, b = a = −1,
och yp(x) = −x − 1.
Den (fullständiga) lösningen till ekvationen (157) blir
4.1.2 Separabla ekvationer
y = y0 + yp = ce x − x − 1. (159)
En differentialekvation av första ordningen säges vara separabel eller ha separabla
variabler om den kan skrivas p˚a formen
En s˚adan ekvation kan lösas direkt.
Exempel 4.4
Differentialekvationen av första ordningen
g(y)y ′ = h(x). (160)
y ′ = y
har separabla variabler och kan lösas direkt:
dy
dx
= y,
dy
= dx,
y
dy
y =
dx,
ln |y| = x + C, y = e x+C = e x e C = ce x . (161)
4.2 Begynnelsevärdesproblem
För att fixera vilken av oändligt m˚anga lösningar man söker m˚aste man ge tilläggsvillkor
av typen y(a) = α (eller y(x0) = y0). Detta kallas ett begynnelsevillkor och problemet
att lösa
y ′ = f(x, y) y(x0) = y0, (162)
52

kallas begynnelsevärdesproblemet.
Exempel 4.5
Lös begynnelsevärdesproblemet
y ′ = 2x y(0) = 1. (163)
Lösning. Den fullständiga lösningen y(x) till ekvationen y ′ = 2x är
Satisfiera begynnelseillkoret
y = x 2 + C. (164)
y(0) = 1 → 0 − C = 1 → C = 1,
och lösningen till begynnelsevärdesproblemet är
Exempel 4.6
Lös begynnelsevärdesproblemet
y = x 2 + 1. (165)
y ′ (x) = x + y, y(0) = 0. (166)
Den (fullständiga) lösningen till ekvationen (157) y ′ = x + y blir, enligt (159),
Satisfiera begynnelseillkoret
y = ce x − x − 1.
y(0) = 0 → c − 0 − 1 = 0 → c = 1.
Den (exakta) lösningen till begynnelsevärdesproblemet (166) är
Kolla detta:
y(x) = e x − x − 1.
y ′ (x) = (e x − x − 1) ′ = e x − 1 = (e x − 1 − x) + x = y + x,
y ′ (0) = 1 − 1 − 0 = 0.
Exempel 4.7
53

Lös begynnelsevärdesproblemet
y ′ = −y − 3(x + 1), y(0) = 2, y = y(x), (167)
Lösning. Lös den homogena ekvationen
y ′ + y = 0 (168)
som motsvarar ekvationen y ′ = −y − 3(x + 1). (168) har karakteristiska polynomet
r + 1
med nollstället r = −1. Den fullständiga lösningen y0(x) till homogena ekvationen
(168) är d˚a
y0 = Ce −x .
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (167):
yp = ax + b : y ′ p + yp = (ax + b) ′ + (ax + b) = ax + (a + b) = −3x − 3 → a = −3, b = 0
och yp(x) = (−3) · x + 0 = −3x.
Den fullständiga lösningen till ekvationen (167) blir
Satisfiera begynnelseillkoret
y = y0 + yp = Ce −x − 3x.
y(0) = 2 → C − 0 = 2 → C = 2.
Den (exakta) lösningen till begynnelsevärdesproblemet (167) är d˚a
Kolla att y(0) = 2e 0 − 0 = 2 och
dvs upfyller ekvationen (167).
y(x) = 2e −x − 3x.
y ′ = (2e −x − 3x) ′ = −2e −x − 3 = −y − 3x − 3,
54

4.3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen
En linjär differentialekvation av andra ordningen är
M(y) ≡ y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = h(x). (169)
Här är a, b och h givna kontinuerliga funktioner. M kallas en linjär differentialoperator
(av andra ordningen) eftersom M satisfierar (156).
Ekvationen
y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0 (170)
kallas den till (169) hörande homogena ekvationen. (169) kallas inhomogena ekvationen
L˚at yp vara en given lösning till (169). D˚a är funktionen y lösning till (169) om
och endast om y är av formen
y = yh + yp,
där funktionen yh är en lösning till motsvarande homogena ekvationen (170).
Lösningen yp kallas partikulärlösning.
4.3.1 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta
koefficienter
Betrakta ekvationen
y ′′ + ay ′ + by = 0 (171)
med konstanta (komplexa) koefficienterna a och b. Lösningen till homogena ekvationen
(171) är av formen
eller
y = C1e r1x + C2e r2x , r1 = r2, (172)
y = (C1 + C2x)e rx , r1 = r2 = r, (173)
där r1 och r2 är nollställena till motsvarande karakteristiska polynomet
Exempel 4.8
Ekvationen
r 2 + ar + b. (174)
y ′′ − 4y ′ + 3y = 0 (175)
55

har karakteristiska polynomet
r 2 − 4r + 3 (176)
med nollställena r1 = 1 och r2 = 3. Den fullständiga lösningen till homogena
ekvationen (175) är
Exempel 4.9
Ekvationen
har karakteristiska polynomet
y = C1e x + C2e 3x .
y ′′ + y = 0 (177)
r 2 + 1 (178)
med komplexa nollställena r1 = i och r2 = −i (här i 2 = −1). Den fullständiga
lösningen till (177) är
y = C1e ix + C2e −ix = C1 cos x + iC1 sin x + C2 cos x − iC2 sin x = ˜ C1 cos x + ˜ C2 sin x, (179)
eftersom
4.4 Singulära punkter
e ix = cos x + i sin x,
e −ix = cos x − i sin x.
Betrakta en differentialekvation av andra ordningen
y ′′ = f(x, y, y ′ ). (180)
Om y, y ′ och y ′′ är begränsade i punkten x0, s˚a är x0 en regulär punkt. Om y och y ′
är begränsade i punkten x0 och y ′′ är obegränsad i x0, s˚a är x0 en singulär punkt.
Betrakta nu en homogen linjär differentialekvation av andra ordningen (169)
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0. (181)
Här är P och Q givna funktioner i ett öppet intervall p˚a reela axeln x som inneh˚aller
punkten x0. Skriv om (181)
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y. (182)
56

Här, kan man bestämma regulära och singulära punkter genom koefficienterna P
och Q med hjälp av ovanst˚aende definitionen. Om P och Q är begränsade funktioner
i punkten x0, s˚a är x0 en regulär punkt. Om P och/eller Q är obegränsade
i x0, s˚a är x0 en singulär punkt.
Vi ska betrakta tv˚a typer av (isolerade) singulära punkter.
1. Om P (x) eller Q(x) är en obegränsad funktion i punkten x0 och (x − x0)P (x)
och (x−x0) 2 Q(x) är begränsade d˚a x → x0, s˚a kallas x0 en hävbar singulär punkt.
2. Om P (x) och Q(x) är obegränsade funktioner i punkten x0 och (x−x0)P (x) →
∞ och (x − x0) 2 Q(x) → ∞ d˚a x → x0, s˚a kallas x0 en väsentlig singulär punkt.
Exempel 4.10
I fallet av en linjär differentialekvationer av andra ordningen med konstanta
koefficienter (171)
är alla reella x regulära punkter till (183).
Exempel 4.11
y ′′ + ay ′ + by = 0, (183)
I fallet av en linjär differentialekvation av andra ordningen (169)
y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0, (184)
där a och b är kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall p˚a reela axeln x som
inneh˚aller en punkt x0, s˚a är x0 en regulär punkt till (184).
Exempel 4.12
Betrakta en Eulers ekvation
där ak = 0, k = 1, 2, 3. Skriv om (185)
a1x 2 y ′′ + a2xy ′ + a3y = 0, (185)
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y,
P (x) = a2
a1
1
a3 1
, Q(x) = .
x a1 x2 Här, är P och Q obegränsade i x0 = 0, s˚a är x0 = 0 en singulär punkt. Vidare,
(x − x0)P (x) = x a2 1 a2
= ,
a1 x a1
1 a3
=
x2 a1
(x − x0) 2 2 a3
Q(x) = x
a1
57

är begränsade d˚a x → 0, s˚a är x0 = 0 en hävbar singulär punkt till (185).
Exempel 4.13
Betrakta Bessels ekvation
där n är ett reellt tal. Skriv om (186)
x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − n 2 )y = 0, (186)
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y,
P (x) = 1
n2
, Q(x) = 1 − .
x x2 Här, är P och Q obegränsade i x0 = 0, s˚a är x0 = 0 en singulär punkt. Vidare,
(x − x0)P (x) = x 1
= 1,
x
1 − n2
x2
(x − x0) 2 Q(x) = x 2
= x 2 − n 2
är begränsade d˚a x → 0, s˚a är x0 = 0 en hävbar singulär punkt till (186).
Exempel 4.14
Betrakta Legendres ekvation
där l är ett heltal. Skriv om (187)
(1 − x 2 )y ′′ − 2xy ′ + l(l + 1)y = 0, (187)
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y,
P (x) = − 2x
l(l + 1)
, Q(x) = .
1 − x2 1 − x2 Här, är P och Q obegränsade i x1 = −1 och x2 = 1, s˚a är ±1 singulära punkter.
Vidare,
(x − 1)(x + 1)P (x) = −(x − 1)(x + 1) 2x
= 2x,
1 − x2 (x − 1) 2 (x + 1) 2 Q(x) = (x − 1) 2 2 l(l + 1)
(x + 1)
1 − x2 = l(l + 1)(1 − x2 )
är begränsade d˚a x → ±1, s˚a är ±1 hävbara singulära punkter till (187).
58

4.5 Frobenius’ metod
Vi ska försöka bestämma en (partikulär) lösning y = yp till differentialekvationen
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0 med hjälp av potensserien (115)
yp(x) = x k
∞
anx n =
n=0
∞
n=0
anx k+n = x k (a0 + a1x + a2x 2 + . . . ), (188)
som konvergerar mot lösningen till differentialekvationen i omgivningen av punkten
0.
Exempel 4.15
Bestäm en partikulär lösning y = yp till differentialekvationen
y ′′ + w 2 y = 0 (189)
med potensserien (188). Derivera termvis serien (188)
y ′ p =
∞
an(k + n)x k+n−1 = (190)
y ′′
p =
n=0
∞
n=0
an(k + n)(x k+n−1 ) ′ =
∞
an(k + n)(k + n − 1)x k+n−2 . (191)
n=0
Insättning i differentialekvationen (189) ger
∞
n=0
an(k + n)(k + n − 1)x k+n−2 + w 2
∞
anx k+n = 0. (192)
Detta är uppfyllt, om koefficienterna för potenser x 0 = 1, x 1 = x, x 2 , . . . , x k , . . .
alla är 0. Härav f˚as följande villkor p˚a koefficienterna an:
Vi antar att a0 = 1, s˚a är
n=0
a0k(k − 1) = 0, (193)
k(k − 1) = 0, dvs (194)
eller
k = 0 (195)
k = 1. (196)
I den första serien (192) byter vi summationsindex genom att sätta n = j + 2. I
den andra serien (192) sättes n = j. D˚a f˚ar vi
aj+2(k + j + 2)(k + j + 1) + w 2 aj = 0,
59

eller
w
aj+2 = −aj
2
, (197)
(k + j + 2)(k + j + 1)
Antag först att (195) gäller. D˚a, enligt (197) med k = 0,
Av (198) följer genast att
w
aj+2 = −aj
2
. (198)
(j + 2)(j + 1)
a2 =
w
−a0
2
= −w2
2 . . . 1 2! a0,
a4 =
w
−a2
2
4 . . . 3 =
− w2
−
3 . . . 4
w2
a0 = +
1 . . . 2
w4
4! a0,
a6 =
w
−a4
2
6 . . . 5 =
− w2
4 w
a0 = −
5 . . . 6 4!
w6
6! a0,
etc.
Allmänt f˚ar vi succesivt (med hjälp av induktion)
(199)
n w2n
a2n = (−1)
(2n)! a0, n = 1, 2, . . . . (200)
och serieutvecklingen (188) av den sökta partikulära lösningen y = yp i fallet k = 0
blir
yp(x) =
y(x)| k=0 = a0 1 − (wx)2
(wx)4 (wx)6
+ − + . . . =
2! 4! 6!
(201)
=
∞
n (wx)2n
a0 (−1)
(2n)! = a0 cos wx.
n=0
Om man antar att (196) gäller, d˚a , enligt (197) med k = 1,
w
aj+2 = −aj
2
, (202)
(j + 3)(j + 2)
60

och (202) ger
a2 =
w
−a0
2
3 . . . 2
a4 =
w
−a2
2
5 . . . 4
a6 =
w
−a4
2
etc.
7 . . . 6
Allmänt f˚ar vi succesivt (med hjälp av induktion)
a2n = (−1) n
w2n
= −w2
3! a0,
== +w4
5! a0,
= −w6
7! a0,
(203)
(2n + 1)! a0, n = 1, 2, . . . . (204)
och serieutvecklingen (188) av den sökta partikulära lösningen y = yp i fallet k = 1
blir
yp(x) =
y(x)| k=1 = a0x 1 − (wx)2
(wx)4 (wx)6
+ − + . . . =
3! 5! 7!
(205)
= a0
w
= a0
w
wx − (wx)3
∞
(−1)
n=0
3!
n (wx)2n+1
+ (wx)5
5!
(2n + 1)!
= a0
w
− (wx)7
7!
sin wx.
+ . . . =
Vi har f˚att tv˚a partikulära lösningar y = a0 cos wx och y = a0 sin wx till
w
differentialekvationen (189) y ′′ + w2y = 0. Om vi tar a0 = 1 och w = 1, d˚a ger
(201) och (205) Taylorserieutveckling till y = cos x och y = sin x
cos x =
∞
n x2n
(−1) ,
(2n)!
n=0
(206)
sin x =
∞
n x2n+1
(−1) .
(2n + 1)!
(207)
n=0
Observera att y = cos x och y = sin x definieras genom potensserierna (206) och
(207).
4.6 Randvärdesproblem
Randvärdesproblemet för linjära differentialekvationen av andra ordningen y ′′ +
q(x)y = 0 skrivas som
′′ y + q(x)y = 0, y = y(x),
y(a) = y0, y(b) = y1,
a < x < b,
(208)
61

där q(x) är en given kontinuerlig funktion.
För randvärdesproblem med icke-konstant koefficienten q, m˚aste man i allmänhet
beräkna en approximativ lösning.
Exempel 4.16
Skriv den exakta lösningen till randvärdesproblemet för en linjär differentialekvation
av andra ordningen
′′ y − y = −x, y = y(x), 0 < x < 3,
(209)
y(0) = 0, y(3) = 3.
Lösning. Ekvationen
har karakteristiska polynomet
y ′′ − y = 0 (210)
r 2 − 1 (211)
med nollställena r1 = 1 och r2 = −1. Den fullständiga lösningen y0(x) till homogena
ekvationen (210) är
y0 = C1e x + C2e −x .
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (209):
yp = ax + b : y ′′
p − yp = (ax + b) ′′ − (ax + b) = 0 − ax − b = −x → a = 1, b = 0
och yp(x) = 1 · x + 0 = x
Den fullständiga lösningen till ekvationen (209) blir
Satisfiera randvillkor
y = y0 + yp = C1e x + C2e −x + x.
y(0) = 0 → C1 + C2 + 0 = 0 → C2 = −C1;
y(3) = 3 → C1e 3 − C1e −3 + 3 = 3, C1(e 3 − e −3 ) = 0 → C1 = 0.
Den (exakta) lösningen till randvärdesproblemet (209) är
Exempel 4.17
y(x) = x. (212)
62

Lös randvärdesproblemet för den linjära differentialekvationen av andra ordningen
′′ 2 y + 4y = 2(2x + 1), y = y(x), 1 < x < 5,
(213)
y(1) = 1, y(5) = 25.
Lösning. Ekvationen
har karakteristiska polynomet
y ′′ + 4y = 0 (214)
r 2 + 4 (215)
med nollställena r1 = 2i och r2 = −2i. Den fullständiga lösningen till homogena
ekvationen (214) är
y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x.
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (213) som ett andragradspolynom
(eftersom högerledet 4x 2 + 2 är ett andragradspolynom):
yp = ax 2 + bx + c : y ′′
p + 4yp = (ax 2 + bx + c) ′′ + 4(ax 2 + bx + c) =
2a + 4ax 2 + 4bx + 4c = 4x 2 + 2 → a = 1, b = 0, c = 0,
och yp(x) = x 2 .
Den fullständiga lösningen till ekvationen (213) blir
Satisfiera randvillkor
y = y0 + yp = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x 2 .
y(1) = 1 → C1 cos 2 + C2 sin 2 + 1 = 1 → C2 = −C1(cos 2/ sin 2);
y(5) = 25 → C1 cos 10 + C2 sin 10 + 25 = 25, →
C1(cos 10 − sin 10(cos 2/ sin 2)) = 0 → C1 = 0, C2 = 0.
Den (exakta) lösningen till randvärdesproblemet (213) är
Exempel 4.18
y(x) = x 2 . (216)
63

Skriv den exakta lösningen till randvärdesproblemet för en linjär differentialekvation
av andra ordningen
′′ y − 9y = 0, y = y(x), 0 < x < 1,
(217)
y(0) = 0, y(1) = sinh(3).
Lösning. Ekvationen
har karakteristiska polynomet
y ′′ − 9y = 0 (218)
r 2 − 9 (219)
med nollställena r1 = 3 och r2 = −3. Den fullständiga lösningen till homogena
ekvationen (218) är
y = C1e 3x + C2e −3x .
Satisfiera randvillkor [p˚aminn att sinh z = 0.5(e z − e −z )]:
y(0) = 0 → C1 + C2 = 0 → C2 = −C1;
y(1) = sinh(3) → C1e 3 − C1e −3 = sinh(3) = 0.5(e 3 − e −3 ) → C1 = 0.5.
Den (exakta) lösningen till randvärdesproblemet (217) är
y = 0.5(e 3x − e −3x ) = sinh 3x. (220)
5 Generaliserade integraler. Likformig konvergens
5.1 Generaliserade integraler
Antag att funktionen f(x) är begränsad och kontinuerlig för x ≥ c. Om gränsvärdet
lim
X→∞
X
a
f(x)dx (221)
existerar (funktionen f(x) är integrerbar), kallas den generaliserade integralen
konvergent, i motsatt fall divergent.
∞
a
f(x)dx (222)
64

5.2 Likformig konvergens
L˚at en funktion f(x, u) ha en definitionsmängd G = {(x, u) : a ≤ x < ∞, α ≤ u ≤
β}. Om den generaliserade integralen
F (u) =
∞
a
f(x, u)dx (223)
konvergerar för alla u ∈ [α, β], s˚a kan man definiera en funktion F (u) som har
definitionsmängden [α, β].
Integralen (223) konvergerar likformigt i intervallet [α, β], om till varje ε > 0
finns det ett tal A = A(ε) s˚adant att olikheten
|
∞
η
f(x, u)dx| < ε (224)
¯gäller för alla u ∈ [α, β] och för alla η > A.
Om f(x, u) är en kontinuerlig funktion p˚a G och integralen (224) konvergerar
likformigt i intervallet [α, β], s˚a är F (u) en kontinuerlig funktion i [α, β]. Talet A
m˚aste s˚alunda vara oberoende av u och endast beroende av ε.
Weierstrass’ jämförelsekriteriet (M-kriteriet). Antag att
|f(x, u)| ≤ ϕ(x) ∀x ≥ a, ∀u ∈ [α, β] (225)
och ϕ(x) är integrerbar: ∞
ϕ(x)dx existerar. D˚a är integralen (224) likformigt
a
konvergent i intervallet [α, β].
5.3 Eulers Γ-funktion
Betrakta en generaliserad integral
Γ(x) =
∞
e
0
−t t x−1 dt. (226)
Om x < 1, är integranden f(x, t) = e −t t x−1 obegränsad i punkten t = 0 och
generaliserade integralen definieras enligt
∞
0
e −t t x−1 dt = lim
X→∞ lim
X
δ→0
δ
e −t t x−1 dt. (227)
Integralen (226) är konvergent för varje x > 0. Visa att den är likformigt
konvergent för x > 0. L˚at X0 och x0 vara tv˚a positiva tal s˚adana att X0 > x0 > 0.
Om 0 < x0 ≤ x ≤ X0, s˚a gäller
|f(x, t)| = |e −t t x−1 | ≤ φ(t) =
65
t x0−1 om 0 < t ≤ 1,
e −t t X0−1 om t > 1.
(228)

Integralen
1
är konvergent till varje x0 > 0 och integralen
är konvergent till varje X0 > 0. Allts˚a är integralen
∞ 1 ∞
φ(t)dt = + φ(t)dt
0
0
t x0−1 dt (229)
∞
e
1
−t t X0−1
dt (230)
0
konvergent och integralen (226) som definierar Γ(x) är likformigt konvergent i
omr˚adet x > 0 ty den är likformigt konvergent i varje intervall x ∈ [x0, X0], där
X0 > x0 > 0.
Sats 5.1 Antag att integralen (223) är konvergent för n˚agot u ∈ [α, β] och
derivatan ∂f(x,u)
är kontinuerlig i G. D˚a är F (u) kontinuerligt deriverbar i inter-
∂u
vallet [α, β], om integralen ∞
∂f(x, u)
dx
∂u
är likformigt konvergent i [α, β] och derivatan
a
F ′ (u) =
∞
a
1
∂f
(x, u)dx. (231)
∂u
Med hjälp av den här satsen och olikheter (228), kan man visa att Eulers Γfunktion
(226) är oändligt m˚anga g˚anger kontinuerligt deriverbar i omr˚adet x > 0,
Γ(x) ∈ C ∞ (0, ∞).
5.4 Generaliserade komplexvärda integraler
L˚at C vara en kurva i komplexa planet C och D ett omr˚ade. Antag att funktionen
f(ξ, z) är definierad och kontinuerlig för ξ ∈ C och z ∈ D och är en analytisk
funktion av en komplex variabel z för varje ξ ∈ C. Definiera
F (z) = f(ξ, z)dξ (232)
C
F (z) är en analytisk funktion av z i omr˚adet D.
I fallet, när
C = {ξ : Imξ = 0, Reξ ≥ a}, (233)
66

kan man formulera begreppet likformig konvergens av generaliserade komplexvärda
integraler (232) och ett tillräckligt villkor (att generalisera M-kriteriet).
Om integralen som definierar F (z) är likformigt konvergent i omr˚adet D, s˚a är
F (z) en analytisk funktion i D.
5.4.1 Eulers Γ-funktion
Betrakta komplexvärda Eulers Γ-funktion
Γ(z) =
Integralen är likformigt konvergent i omr˚adet
∞
e
0
−t t z−1 dt, (234)
D = Dδ,A = {z : 0 < δ ≤ Rez ≤ A}
för alla positiva A > δ enligt Weierstrass’ kriteriet, eftersom
|e −t t z−1
δ−1 t om 0 < t ≤ 1,
| ≤
e−ttA−1 om t > 1,
där integralerna 1
0 tδ−1dt och ∞
1 e−ttA−1dt konvergerar. D˚a är Γ(z) en analytisk
funktion i D+ = {z : Rez > 0}.
Man kan definiera en analytisk fortsättning av Γ(z) och definiera den i hela
komplexa planet utom vissa punkter (poler). Skriv
Γ(z) =
1
e
0
−t t z−1 ∞
dt + e
1
−t t z−1 dt = P (z) + Q(z).
Integralen som definierar Q(z), är likformigt konvergent i varje begränsat omr˚ade
D ⊂C, eftersom
|e −t t z−1 | ≤ e −t t A−1
om t ≥ 1 och Rez ≤ A. D˚a är Q(z) en analytisk funktion i D.
Skriv e−t bestäm P (z):
som summan av den överallt konvergenta potensserien och sedan
P (z) =
1
t
0
z−1
∞
∞
n tn (−1)
(−1) dt =
n!
n=0
n=0
n 1
t
n! 0
n+z−1 dt =
=
∞ (−1) n 1
n! n + z .
n=0
67

Man kan integrera serien termvis eftersom den är likformigt konvergent i varje
interval t ∈ [a, b]. Nu kan man skriva
P (z) =
=
1
m + z +
∞
n=0, n=m
(−1) n
n!
1
n + z =
1
m + z + Pm(z) (m = 0, 1, . . . ),
där Pm(z) en analytisk funktion i omgivningen till punkten zm = m (eftersom
motsvarande serien är likformigt konvergent i denna omgivning). D˚a är Γ(z) =
P (z) + Q(z) en analytisk funktion i C utom (reella) enkelpoler zm = m.
Formeln
Γ(z) =
∞ (−1) n 1
n! z + n +
n=0
∞
e
1
−t t z−1 dt
ger en analytisk fortsättning (definition) av Γ(z) i hela komplexa planet utom
enkelpoler z = 0, −1, −2, ....
6 Laplaces integraler
Laplacetransformen av en funktion f(t) (Laplaces integral) definieras
F (s) = L (f) =
∞
0
e −st f(t)dt.
6.1 Laplaces integral som analytisk funktion
Sats 6.1
Om Laplaceintegralen
F (s) = L (f) =
∞
0
e −st f(t)dt
är konvergent för s = s0, s˚a konvergerar den för alla s i halvplanet Re s >Re s0 (och
för alla reela s > s0) och F (s) är i detta halvplan en reguljär analytisk funktion, dvs
en funktion som har derivator av godtyckligt hög ordning. Derivatorna f˚as genom
derivering under integraltecknet
d
F (s) =
ds
∞
0
68
e −st (−t)f(t)dt (235)

och allmänt
dn F (s) =
dsn ∞
e
0
−st (−t) n f(t)dt (236)
Vi kan multipliciera b˚ada leden i (236) med (−1) n och f˚ar d˚a
L (t n f(t)) = (−1)
n dn
För den speciella funktionen f(t) = 1 är
vilket ger
F (s) = L (f) =
F (s) (n = 1, 2, . . . ). (237)
dsn ∞
e
0
−st dt = s −1
L (t n n dn
) = (−1)
dsn s−1 = (−1) n (−1)(−2) . . . (−n)s −n−1 = n!s −n−1
och allts˚a
(n = 0, 1, 2, . . . )
(238)
L (t n ) = n!
s n+1 (n = 0, 1, 2, . . . ). (239)
T ex
L (t) = 1
s2 , L (t2 ) = 2
s3 , L (t3 ) = 6
. (240)
s4 En funktion f(t) är av exponentiell ordning k om det existerar positiva konstanter
k och M sadana att för n˚agot T olikheten
|f(t)| ≤ Me kt , t ≥ T (241)
gäller.
Exponentialfunktionen e ct är en funktion av exponentiell ordning k = c (eftersom
e ct ≤ e ct , t ≥ 0). sin t och cos t är funktioner av exponentiell ordning k = 0
(eftersom t ex | sin t| ≤ e 0·t = 1).
Sats 6.2
L˚at f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0 (dvs med möjligt
undantag för isolerade punkter.) Antag att f(t) är en funktion av exponentiell
ordning k, s˚a existerar dess Laplacetransformen for alla komplexa s sadana att
Re s > k (och för alla reela s > k).
Bevis. Betrakta reela s. f(t) har en Laplacetransform eftersom enligt (241) motsvarande
integralen ∞
0 e−stf(t)dt är konvergent:
∞
0
|e −st f(t)|dt ≤
∞
0
e −st |f(t)|dt ≤
∞
e
0
−st Me kt ∞
dt = M
0
69
e (k−s)t dt = M
s − k
(s > k).

Sats 6.3
L˚at f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0 och en funktion
av exponentiell ordning k (dvs satisfierar villkoret
|f(t)| ≤ Me kt
(t ≥ T ), (242)
där k och M är vissa positiva konstanter,) och derivatan f ′ (t) en styckvis kontinuerlig
funktion i intervallet t ≥ 0. D˚a existerar Laplacetransformen av derivatan
f ′ (t) om s > k och
L (f ′ ) = sL (f) − f(0), s > k. (243)
Bevis. Antag att derivatan f ′ (t) är en kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0.
D˚a , enligt definitionen av Laplacetransform, kan man välja s s˚a stor att integralen
är konvergent och
∞
e
0
−st f ′ (t)dt
lim
t→∞ e−stf(t) = 0.
Lägg märke till att f(t) har en Laplacetransform (se Sats 6.2). Genom att använda
definitionen av Laplacetransform och partiell integration, f˚ar vi
L (f ′ ) =
∞
0
e −st f ′ (t)dt == e −st f(t) ∞
0 +s
∞
0
e −st f(t)dt = 0−f(0)+sL (f), s > k.
Bestäm Laplacetransformen av derivatan av andra ordningen
L (f ′′ ) = sL (f ′ )−f ′ (0) = s[sL (f)−f(0)]−f ′ (0) = s 2 L (f)−sf(0)−f ′ (0). (244)
Vidare,
L (f ′′′ ) = s 3 L (f) − s 2 f(0) − sf ′ (0) − f ′′ (0).
Genom induktion (och upprepad användning av (243)), f˚ar vi Laplacetransformer
av derivatorna f (n) av en godtycklig ordning n = 1, 2, . . .
L (f (n) ) = s n L (f) − s n−1 f(0) − s n−2 f ′ (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0). (245)
Exempel 6.1 Laplacetransformen av f(t) = t 2
L˚at f(t) = t 2 , t ≥ 0. Bestäm F (s).
Lösning. Vi har
f ′ (t) = 2t, f ′′ (t) = 2,
70

d˚a
och Laplacetransformen är
f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = 2.
L (f ′′ ) = L (2) = 2
s = s2 L (f), (246)
Betrakta den sista likheten i (246)) som en ekvation och bestäm Laplacetransformen
L
och
L (t 2 ) = 2
.
s3 Exempel 6.2 Laplacetransformen av cos ωt
Bestäm Laplacetransformen av f(t) = cos ωt.
Lösning. Vi har
f ′′ (t) = −ω 2 cos ωt = −ω 2 f(t),
(244) ger
f(0) = 1, f ′ (0) = 0.
L (f ′′ ) = −ω 2 L (f) = s 2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f) − s.
Betrakta den sista likheten som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L
L (f) =
s
s2 .
+ ω2 Exempel 6.3 Laplacetransformen av sin ωt
Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin ωt.
Lösning. Vi har
f ′ (t) = ω cos ωt, f ′′ (t) = −ω 2 sin ωt = −ω 2 f(t).
Beräkna derivator i punkten t = 0
D˚a ger (244)
f(0) = 0, f ′ (0) = ω.
L (f ′′ ) = −ω 2 L (f) = s 2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f) − ω.
71

Betrakta den sista likheten som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L
Exempel 6.4
L (f) =
ω
s2 .
+ ω2 Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin 2 t.
Lösning. Vi har
Beräkna derivator i punkten t = 0
D˚a ger (244)
f ′ (t) = 2 sin t cos t = sin 2t, f ′′ (t) = 2 cos 2t.
f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = 2.
L (f ′′ ) = 2L (cos 2t) = 2s
s 2 + 4 = s2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f).
Betrakta likheten
2s
s 2 + 4 = s2 L (f)
som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L
Exempel 6.5
L (sin 2 t) =
2
s(s 2 + 4) .
Bestäm Laplacetransformen av f(t) = t sin ωt.
Lösning. Vi har f(0) = 0 och
Beräkna derivatan av andra ordningen
Enligt (244)
f ′ (t) = sin ωt + ωt cos ωt, f ′ (0) = 0.
f ′′ (t) = 2ω cos ωt − ω 2 t sin ωt = 2ω cos ωt − ω 2 f(t),
L (f ′′ ) = 2ωL (cos ωt) − ω 2 L (f) = s 2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f).
Betrakta likheten
2ω
s
s 2 + ω 2 − ω2 L (f) = s 2 L (f)
som en ekvation och bestäm Laplacetransformen L
L (f) = L (t sin ωt) =
72
2ωs
(s2 + ω2 .
) 2

6.2 Vissa egenskaper av Laplaces integraler
Fördröjningssatsen.
L˚at F (s) vara Laplacetransformen av f(t). D˚a är
e −as F (s)
Laplacetransformen av avskärningsfunktionen
˜f(t)
0 om t < a,
= f(t − a)u(t − a) =
f(t − a) om t > a,
eller
L [f(t − a)u(t − a)] = e −as F (s),
f(t − a)u(t − a) = L −1 {e −as F (s)}.
Bevis. Av Laplacestransformens definition följer att
e −as F (s) = e −as
∞
Variabelsubstitutionen t + a = t ′ ger
0
e −as F (s) =
e −st f(t)dt =
∞
a
∞
0
e −st′
f(t ′ − a)dt ′ .
e −s(t+a) f(t)dt.
För att f˚a Laplacestransformen, m˚aste man integrera över intervallet (0, ∞). Vi gör
det genom att använda definitionen av Heavisides stegfunktion och avskärningsfunktionen
och ersätter f(t ′ − a) med f(t ′ − a)u(t ′ − a) (p˚aminn att f(t) = 0 för negativa t)
e −as ∞
F (s) = e −st′
f(t ′ − a)u(t ′ − a)dt ′ = L [f(t − a)u(t − a)].
0
Bestäm Laplacetransformen av stegfunktionen u(t − a)
L [u(t − a)] =
∞
och Laplacetransformen är
0
e −st u(t − a)dt =
Exempel 6.6 Fördröjningssatsen
∞
L [u(t − a)] = 1
s e−as .
73
a
e −st dt = − 1
s e−ts ∞
t=a

Betrakta originalfunktionen
⎧
⎨ 2 om 0 < t < π,
f(t) = 0
⎩
sin t
om π < t < 2π,
om t > 2π,
(247)
Bestäm Laplacetransformen F (s).
Lösning. Skriv f(t) i (247) med häjlp av Heavisides stegfunktion, dvs, använd
avskärning: f(t) → f(t)u(t)
och
fördröjning: f(t)u(t) → f(t − a)u(t − a)
⎧
⎨ 2u(t) om 0 < t < π,
f(t) = 2u(t) − 2u(t − π) = 0 om π < t,
⎩
2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π) sin t = f(t) för alla t > 0.
D˚a
f(t) = 2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π) sin t ∀t > 0,
(vi skriv den sista termen som u(t − 2π) sin (t − 2π) eftersom sin x är en periodisk
funktion), och
F (s) = 2 2
−
s s e−πs + 1
s2 + 1 e−2πs
eftersom Laplacetransformen av f(t) = sin ωt är
och Laplacetransformen av sin t är
Exempel 6.7
Betrakta Laplacetransformen
L (f) =
ω
s2 .
+ ω2 L (sin t) = 1
s 2 + 1 .
F (s) = 2 2
−
s2 s2 e−2s − 4
s e−2s + s
s2 + 1 e−πs . (248)
Bestäm originalfunktionen f(t).
Lösning. Utan exponentialfunktioner, har fyra termer
2 2
, − , −4
s2 s2 s ,
74
s
s 2 + 1
(249)

i (248) originalfunktioner 2t, −2t, −4 och cos t eftersom Laplacetransformen av
cos ωt är
L (cos ωt) =
och
L (cos t) = s
s 2 + 1
s
s2 .
+ ω2 (ω = 1).
Enligt fördröjningssatsen, kan man skriva originalfunktionen f(t) som har Laplacetransformen
F (s) (248) med häjlp av Heavisides stegfunktion:
D˚a
f(t) = 2t − 2(t − 2)u(t − 2) − 4u(t − 2) + u(t − π) cos (t − π) =
2t − 2tu(t − 2) − 4u(t − 2) − cos tu(t − π).
⎧
⎨ 2t if 0 < t < 2,
f(t) = 2t − 2t = 0
⎩
2t − 2t − cos t = − cos t
if 2 < t < π,
if t > π,
6.3 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion
6.3.1 Heavisides stegfunktion
Heaviside stegfunktion definieras
6.3.2 Diracs deltafunktion
u(t − a) =
0 om t < a,
1 om t > a.
Impulsfunktioner. Betrakta en funktionsföljd som kallas impulsfunktionen
1/k,
fk(t − a) =
0,
a ≤ t ≤ a + k,
t /∈ [a, a + k],
(250)
Dess impuls Ik definieras som integralen
Ik =
∞
0
fk(t − a)dt =
a+k
a
1
dt = 1.
k
Man kan skriva impulsfunktionen f(t) (250) med häjlp av Heavisides stegfunktion
fk(t − a) = 1
[u(t − a) − u(t − (a + k))].
k
75

Impulsfunktionens Laplacetransform är d˚a
L (fk(t − a)) = 1
ks [e−as − e −(a+k)s ] = e
Skriv en formell definition (en formell gränspuls)
δ(t − a) kallas Diracs deltafunktion.
δ(t − a) = lim
k→0 fk(t − a).
−as 1 − e−ks
6.3.3 Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform
Laplacetransformen L {δ(t−a)} av Diracs deltafunktion definieras som ett gränsvärde
Vi har
och
−as 1 − e−ks
L {δ(t − a)} = lim L (fk(t − a)) = lim e
k→0 k→0 ks
e −as 1 − (1 − ks + O(ks)
lim
k→0
2 )
ks
L {δ(t − a)} = e −as ,
L {δ(t)} = 1.
ks
.
=
= e −as lim
k→0 [1 + O(ks)] = e −as ,
Man kan betrakta fler funktionsföljder (impulsfunktioner), som används för att
definiera Diracs deltafunktion:
1
1
n, − ≤ t ≤
δn(t) =
2n 2n ,
(251)
Man kan visa att i alla fall (251)–(254),
0, |t| > 1
2n ,
δn(t) = n
√ π e −n2 x 2
, (252)
δn(t) = n 1
π 1 + n2 , (253)
x2 n
sin nx 1
δn(t) = = e
πx 2π
ixt dt. (254)
In =
∞
0
−n
δn(t)dt = 1. (255)
76

I fallet (251), har vi
och
∞
−∞
s˚a att man kan använda likheten
∞
1/2n
δn(t)f(t)dt = n f(t)dt =
=
−1/2n
n 1
n f(t∗n) = f(t ∗ n), t ∗ n ∈ [− 1 1
,
2n 2n ]
lim
n→0
∞
δn(t)f(t)dt = lim f(t
−∞
n→0 ∗ n) = f(0), (256)
−∞
δ(t)f(t)dt = f(0) (257)
för att definiera (bestämma) ’värden’ av Diracs deltafunktion.
Vi har ocks˚a
δ(at) = 1
δ(t),
a
a > 0. (258)
6.4 Vissa tillämpningar av Laplaces integraler: lösning av
ordinära diffekvationer
Problem 5.3.21 (AEM)
Lös begynnelsevärdesproblemet
y ′′ + 6y ′ + 8y = e −3t − e −5t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0. (259)
Lösning. Vi löser begynnelsevärdesproblemet med hjälp av Laplaces metod.
Steg 1. Sätt
Y = L (y), r(t) = e −3t − e −5t , R = L (r) = L (e −3t ) − L (e −5t ) = 1 1
−
s + 3 s + 5 ,
och Laplacetransformera b˚ada leden i y ′′ + 6y ′ + 8y = r(t)
och f˚a sidoekvationen
L (y ′′ ) + 6L (y ′ ) + 8L (y) = 1 1
−
s + 3 s + 5 ,
[s 2 Y − sy(0) − y ′ (0)] + 6[sY − y(0)] + 8Y = 1 1
−
s + 3 s + 5
77

eller
(s 2 + 6s + 8)Y = 1 1
−
s + 3 s + 5 .
Steg 2. Lös ekvationen genom att använda transferfunktionen
Vi f˚ar
Y (s) =
Partialbr˚aksuppdelning ger
Q = Q(s) =
1
s 2 + 6s + 8 .
1 1
1 1 1
− Q(s) = −
s + 3 s + 5
s + 3 s + 5 s2 + 6s + 8 .
s 2 + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4), Q(s) =
2Y (s) =
1
(s + 3)(s + 2) −
1 1
=
2 s + 2
1
s2 + 6s + 8
1 1 1 1
− −
s + 3 s + 5 s + 2 s + 4
1
(s + 5)(s + 2) −
2 1
3 s + 2
D˚a
Y (s) = 1 1
3 s + 2
Steg 3. Beräkna lösningen
Problem 5.3.23 (AEM)
Lös begynnelsevärdesproblemet
2 2
− +
s + 3 s + 4
1
(s + 3)(s + 4) +
1 1
− +
s + 3 s + 4
2 1
−
3 s + 5 .
1 1
−
3 s + 5 .
y(t) = L −1 (Y ) = 1
3 e−2t − e −3t + e −4t − 1
3 e−5t =
1
3 e−5t (e 3t − 3e 2t + 3e t − 1) = 1
3 e−5t (e t − 1) 3 .
=
1
− ,
s + 4
1
(s + 5)(s + 4) =
y ′′ + 9y = r(t), r(t) = 8 sin t, 0 < t < π, 0, t > π; y(0) = 0, y ′ (0) = 4.
Lösning. Vi löser begynnelsevärdesproblemet med hjälp av Laplaces metod.
Steg 1. Sätt
Y = L (y),
78

(t) = 8[u(t) − u(t − π)] sin t = 8u(t) sin t − 8u(t − π) sin(t − π).
R(s) = L (r) = 8L (u(t) sin t) − 8L (u(t − π) sin(t − π)) = 8
s 2 + 1 − e−πs 8
s 2 + 1 .
Laplacetransformera b˚ada leden i differentialekvationen y ′′ + 9y = r(t)
och f˚a sidoekvationen
eller
Vi f˚ar
D˚a
L (y ′′ ) + 9L (y) = R(s),
[s 2 Y − sy(0) − y ′ (0)] + 9Y = R(s),
(s 2 + 9)Y = 4 + R(s).
Steg 2. Lös ekvationen genom att använda transferfunktionen
Y (s) = 4
s 2 + 9
Q = Q(s) = 1
s 2 + 9 .
1
+ 8
s2 1
+ 1 s2 + 9 − 8e−πs 1
s2 1
+ 1 s2 + 9 =
1
s2 1
−
+ 1 s2
=
+ 9
4
s2 1
+
+ 9 s2 1
−
+ 1 s2 − e−πs
+ 9
3
s2 1
+
+ 9 s2 + 1 − e−πs 1
s2 + 1 + e−πs 1
s2 + 9 .
Steg 3. Beräkna lösningen
y(t) = L −1 (Y ) = sin 3t + sin t − u(t − π) sin t + 1
u(t − π) sin 3t.
3
och man kan skriva
y(t) = sin 3t + sin t, 0 < t < π,
y(t) = sin 3t + sin t − sin t + 1 4
sin 3t = sin 3t, t > π.
3 3
79

7 Grundbegrepp av asymptotiska metoder
7.1 O- och o-symboler (Landaus symboler)
L˚at R vara en mängd av reella tal (ofta ett begränsat eller obegränsat intervall)
och x0 vara en punkt s˚adan att omgivningen
U x0
δ = {x : 0 < |x0 − x| < δ} ⊂ R ∀δ ∈ (0, δ0), δ0 > 0.
L˚at φ(x) och ψ(x) vara funktioner med definitionsmängden R.
Funktionen φ(x) säges vara av stort ordo ψ(x) p˚a R, φ = O(ψ), x ∈ R, om det
finns en konstant A (oberoende av x) s˚adan att
|φ(x)| ≤ A|ψ(x)| ∀x ∈ R. (260)
Funktionen φ(x) säges vara av stort ordo ψ(x) d˚a x → x0, φ = O(ψ), x → x0,
om det finns en konstant A och en omgivning U x0
δ av punkten x0 s˚adana att
|φ(x)| ≤ A|ψ(x)| ∀x ∈ U x0
δ
∩ R. (261)
Funktionen φ(x) säges vara av litet ordo ψ(x) d˚a x → x0, φ = o(ψ), x → x0,
om det till varje ɛ > 0 finns en omgivning U x0
ɛ av punkten x0 s˚adan att
|φ(x)| ≤ ɛ|ψ(x)| ∀x ∈ U x0
ɛ ∩ R. (262)
Om ψ(x) = 0, x ∈ R, kan man formulera ekvivalenta definitioner: φ = O(ψ),
x ∈ R, om kvoten
φ(x)
är begränsad ∀x ∈ R. (263)
ψ(x)
φ = O(ψ), x → x0 i R, om
φ(x)
ψ(x)
φ = o(ψ), x → x0 i R, om
är begränsad, x → x0, x ∈ R. (264)
φ(x)
ψ(x) → 0 d˚a x → x0, x ∈ R. (265)
Ur (260) och (263) följer att φ = O(ψ), x → x0 i R, om
φ(x)
ψ(x) → a, d˚a x → x0, x ∈ R, a = konst. (266)
80

I fallet när (266) gäller, skriver man φ = O ∗ (ψ).
Betrakta ett partikulärt fall ψ = konst. Funktionen φ(x) säges vara av stort
ordo 1 p˚a R, φ = O(1), x ∈ R, om φ(x) är begränsad p˚a R,
|φ(x)| ≤ A ∀x ∈ R. (267)
Funktionen φ(x) säges vara av stort ordo 1 d˚a x → x0 (x ∈ R), φ = O(1), x → x0,
om φ(x) är begränsad i en omgivning av punkten x0,
|φ(x)| ≤ A, x ∈ U x0
δ
∩ R. (268)
Funktionen φ(x) säges vara av litet ordo 1 d˚a x → x0, φ = o(1), x → x0, om
Exempel 7.1
φ(x) → 0 d˚a x → x0 (x ∈ R). (269)
sin x = O(1), cos x = O(1), x ∈ R 1 , (270)
√ x = O(1), x ∈ [0, 1], (271)
sin x = o(1), cos x − 1 = o(1) x → 0 (x ∈ R 1 ), (272)
sin x
x
= O(1), x ∈ R 1 sin x
x
=
\ {0},
O
(273)
∗ cos x − 1
x
=
(1), x → 0,
o(1), x → 0,
(274)
(275)
x n = o(1) (n ∈ N), x α = o(1) (α > 0), x → 0, (276)
x −n = o(1) (n ∈ N), x α = o(1) (α < 0), x → ∞, (277)
x n+1 = o(x n ) (n ∈ N ∪ {0}), x → 0. (278)
x −n−1 = o(x −n ) (n ∈ N), x → ∞. (279)
Här, betecknar R 1 mängden av alla reella tal och N= {1, 2, . . . } mängden av alla
naturliga tal utom 0.
Följderna {x n }n∈N, x → 0, och {x −n }n∈N, x → ∞, är klassiska exempel av
asymptotiska följder; villkoren (278) och (279) är avgörande.
Man kan visa dessa och m˚anga s˚adana likheter med hjälp av Taylors och
Maclaurins formler: om funktionen φ(x) har n + 1 kontinuerliga derivator i ett
81

interval (δ-omgivningen) som inneh˚aller punkten x0 (x0 = 0 i fallet av Maclaurins
formel), s˚a är
där
φ(x) =
φ(x) =
n
k=0
n
k=0
φ (k) (x0)
(x − x0)
n!
k + Tn(x), |x − x0| < δ, (280)
φ (k) (0)
n! xk + Mn(x), |x| < δ, (281)
Tn(x) = (x − x0) n o(1) = o((x − x0) n ), (282)
Mn(x) = x n o(1) = o(x n ). (283)
(280) och (281) är klassiska exempel av asymptotiska serier.
Det är lätt att kolla följande egenskaper:
om f(x) = O(1) och g(x) = o(1), x → x0, d˚a
(284)
f(x)g(x) = o(1), x → x0, (285)
f(x) + g(x) = O(1), x → x0, (286)
om f(x) = o(1) och g(x) = o(1), x → x0, d˚a
f(x)g(x) = o(1), x → x0, (287)
f(x) + g(x) = o(1), x → x0, (288)
7.1.1 Likformiga relationer
Funktionen φ(x, y) säges vara av stort ordo ψ(x) p˚a R likformigt med avseende p˚a
parametern y ∈ Y (detta skrivs φ = o(ψ), x ∈ R lmap y ∈ Y ), om det finns en
konstant A (oberoende av x och y) s˚adan att
|φ(x, y)| ≤ A|ψ(x, y)| ∀x ∈ R ∀y ∈ Y. (289)
Funktionen φ(x, y) är av stort ordo 1 p˚a R likformigt med avseende p˚a parametern
y ∈ Y (φ = O(1), x ∈ R lmap y ∈ Y ), om φ(x, y) är likformigt begränsad
map y ∈ Y , dvs om det finns en konstant A s˚adan att
|φ(x, y)| ≤ A ∀x ∈ R ∀y ∈ Y. (290)
82

Funktionen φ(x, y) säges vara av stort ordo ψ(x, y) d˚a x → x0 likformigt med
avseende p˚a parametern y ∈ Y (φ = O(ψ), x → x0 lmap y ∈ Y ), om det finns en
konstant A och en omgivning U x0
δ av punkten x0 s˚adana att
|φ(x, y)| ≤ A|ψ(x, y)| ∀x ∈ U x0
δ
∩ R ∀y ∈ Y. (291)
Funktionen φ(x, y) säges vara av litet ordo ψ(x, y) d˚a x → x0, likformigt med
avseende p˚a parametern y ∈ Y (φ = o(ψ), x → x0, lmap y ∈ Y ), om det till varje
ɛ > 0 finns en omgivning U x0
ɛ av punkten x0 s˚adan att
|φ(x, y)| ≤ ɛ|ψ(x, y)| ∀x ∈ U x0
ɛ ∩ R ∀y ∈ Y. (292)
Om ψ(x, y) = 0, x ∈ R, y ∈ Y , kan man formulera ekvivalenta definitioner:
φ = O(ψ), x ∈ R lmap y ∈ Y om
φ(x, y)
ψ(x, y)
φ = O(ψ), x → x0 i R lmap y ∈ Y om
φ(x, y)
ψ(x, y)
är likformigt begränsad map y ∈ Y ∀x ∈ R. (293)
är likformigt begränsad map y ∈ Y , x → x0, x ∈ R. (294)
φ = o(ψ), x → x0 i R lmap y ∈ Y om
φ(x, y)
ψ(x, y) → 0 d˚a x → x0 (x ∈ R) likformigt map y ∈ Y . (295)
Ur (260) och (263) följer att φ = O(ψ), x → x0 i R lmap y ∈ Y om
φ(x, y)
ψ(x, y) → a = konst, d˚a x → x0 (x ∈ R) likformigt map y ∈ Y . (296)
Funktionen φ(x, y) är av litet ordo 1 d˚a x → x0 lmap y ∈ Y om
Exempel 7.2
φ(x, y) → 0 d˚a x → x0 (x ∈ R) likformigt map y ∈ Y . (297)
sin xy = O(1), x ∈ R 1
cos[x(y 2 + 1)] = O(1), x ∈ R 1
lmap y ∈ R 1 , (298)
lmap y ∈ R 1 , (299)
√
x + y = O(1), x ∈ [0, 1] lmap y ∈ [0, a] ∀a > 0, (300)
sin xy = o(1), cos(xy) − 1 = o(1) x → 0 lmap y ∈ [0, a] ∀a > (301) 0,
sin x
x + y2 = O(1), x ∈ R+ lmap y ∈ R 1 , (302)
sin x
x + y2 + 1 = O∗ (1), x → 0 lmap y ∈ R 1 . (303)
83

Allts˚a
x n = o(1), x → 0 lmap n ∈ N, (304)
x y = o(1), x → 0 lmap y ∈ Y + = {y : y ≥ y0 > 0}, (305)
x −n = o(1), x → ∞ lmap n ∈ N, (306)
x y = o(1), x → ∞ lmap y ∈ Y − = {y : y ≤ y0 < 0}, (307)
x n+1 = o(x n ), x → 0 lmap n ∈ N ∪ 0. (308)
Visa (304). L˚at U 0 δ = {x : 0 < |x| < δ}, 0 < δ < 1, och antar att x ∈ U 0 δ . D˚a
7.1.2 Algebraiska regler
|x n | ≤ |x| ∀n ∈ N. (309)
x n → 0 likformigt map n ∈ N d˚a x → 0.
1 Om funktionen φ(x) är av litet ordo ψ(x) d˚a x → x0, (φ = o(ψ), x → x0) eller
är av stort ordo Ψ(x) d˚a x → x0 (φ = O(Ψ), x → x0) och α > 0, s˚a gäller
Symboliskt, kan man skriva
|φ(x)| α = o(|ψ| α ), (310)
|φ(x)| α = O(|Ψ| α ). (311)
|o(ψ)| α = o(|ψ| α ), |O(ψ)| α = O(|Ψ| α ), x → x0 (α > 0).
2 Om funktionerna φi(x) är av litet ordo ψi(x) d˚a x → x0 (φi = o(ψi),
x → x0) eller är av stort ordo Ψi(x) d˚a x → x0 (φi = O(Ψi), x → x0) och
αi = konst (i = 1, 2, . . . , k), s˚a gäller
k
k
αiφi = o( |αi||ψi|), (312)
i=1
i=1
i=1
k
k
αiφi = O( |αi||Ψi|). (313)
2 ′ Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 likformigt med avseende
∞
∞
p˚a i ∈ N, αi = konst och serien |αiψi| konvergerar, s˚a gäller: serien αiφi kon-
i=1
vergerar och (312), (313) gäller. Man kan p˚ast˚a ingenting beträffande konvergens
∞
∞
av serien αiφi, om serien |αiψi| divergerar.
i=1
i=1
84
i=1
i=1

3 Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 (x ∈ R), αi = konst och
s˚a gäller
|ψi| ≤ |ψ| ∀x ∈ U x0
δ
∩ R (i = 1, 2, . . . , k), (314)
k
αiφi = o(ψ), (315)
i=1
k
αiφi = O(Ψ). (316)
i=1
3 ′ Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 likformigt med avseende
∞
p˚a i ∈ N, αi = konst och serien |αi| konvergerar, s˚a gäller (315) och (316).
i=1
4 Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 (i = 1, 2, . . . , k), s˚a gäller
Π k i=1φi = φ1 · · · · · φk = o(Π k i=1ψi), Π k i=1φi = O(Π k i=1Ψi). (317)
5 Om φ = o(ψ), x → b eller φ = O(Ψ), x → b och φ(x) och ψ(x) är integrerbara
funktioner i ett intervall R = (a, b), s˚a gäller
b b b
b
φ(t)dt = o |ψ(t)|dt , φ(t)dt = O |Ψ(t)|dt , x → b. (318)
x
x
x
6 Om φ(x, y) = o(ψ(x, y)), x → x0 eller φ(x, y) = O(Ψ(x, y)), x → x0 (x ∈ R)
likformigt map y ∈ (α, β) och till varje x ∈ R är φ(x, y) och ψ(x, y) integrerbara
funktioner map y i intervallet (α, β), s˚a gäller
β
β
φ(x, y)dy = o |ψ(x, y)|dy , x → x0, (319)
α
β
α
β
φ(x, y)dy = O |Ψ(x, y)|dy , x → x0. (320)
7 Kombinationsregler:
α
α
O(O(φ)) = O(φ), (321)
O(o(φ)) = o(O(φ)) = o(o(φ)) = o(φ), (322)
O(φ)O(ψ) = O(φψ), (323)
O(φ)o(ψ) = o(φ)o(ψ) = o(φψ), (324)
O(φ) + O(φ) = O(φ) + o(φ) = O(φ), (325)
o(φ) + o(φ) = o(φ). (326)
85
x

7.2 Asymptotiska följder
Följderna {x n }n∈N, x → 0, och {x −n }n∈N, x → ∞, är exempel av asymptotiska
följder; villkoren (278) och (279) är avgörande. Allmänt, kallas en funktionsföljd
{φn(x)} n∈N , x ∈ R, en asymptotisk följd (AF) d˚a x → x0 i R, om
φn+1 = o(φn) ∀n ∈ N, x → x0 (x ∈ R). (327)
En funktionsföljd {φn(x)} säges vara en asymptotisk följd likformigt med avseende
p˚a n ∈N d˚a x → x0 i R, om
φn+1 = o(φn) lmap n ∈ N, x → x0 (x ∈ R). (328)
En funktionsföljd {φn(x, y)} n∈N säges vara en asymptotisk följd (AF) likformigt
med avseende p˚a y ∈ Y d˚a x → x0 i R, om
φn+1 = o(φn) lmap y ∈ Y och n ∈ N, x → x0 (x ∈ R). (329)
Här kommer exempel av AF:
φn(x) = (x − x0) n , x → x0, x ∈ R 1 , (330)
φn(x) = x −n , x → ∞, x ∈ R 1 \ {0}, (331)
φn(x) = x −λn , x → ∞, λn+1 > λn ∀n ∈ N (x ∈ R 1 ), (332)
φn(x) = e x x −λn , x → ∞, λn+1 > λn ∀n ∈ N (x ∈ R 1 ), (333)
φn(x) = e −nx x −λn , x → ∞, λn+1 > λn ∀n ∈ N (x ∈ R 1 . (334)
7.2.1 Ekvivalenta följder
Funktionsföljder {φn(x)} n∈N och {ψn(x)} n∈N säges vara ekvivalenta, om
φn(x) = O(ψn) och ψn(x) = O(φn) d˚a x → x0 (x ∈ R) ∀n ∈ N. (335)
7.2.2 Algebraiska regler
1 Om {φn(x)} n∈N är en AF d˚a x → x0 i R och α > 0, s˚a är {|φn(x)| α } n∈N en
AF d˚a x → x0 i R. Beviset följer ur (310).
2 Om {φn(x)} n∈N och {ψn(x)} n∈N är ekvivalenta följder och {φn(x)} n∈N är
en AF d˚a x → x0 i R, s˚a är {ψn(x)} n∈N en AF d˚a x → x0.
Bevis. Vi har
ψn+1 = O(φn+1) = O(o(φn)) = O(o(O(ψn))) = o(ψn). (336)
3 Om {φn(x)} M n=1 och {ψn(x)} M n=1 är tv˚a AF med lika m˚anga (M) termer (d˚a
x → x0 i R), s˚a är {φn(x)ψn(x)} M n=1 en AF d˚a x → x0 i R. Beviset följer ur (324)
o(φ)o(ψ) = o(φψ)
86

4 Om {φn(x)} M n=1 är en AF (d˚a x → x0 i R), αn,i är en mängd av positiva tal
s˚adana att
αn+1,i ≤ αn,i ∀i = 0, 1, 2, . . . , k och n = 1, 2, . . . , N, (337)
k < N, (338)
(dvs αn,i är avtagande talföljder map n, ∀i = 0, 1, 2, . . . , k) och
ψn =
k
αn,i|φn+i|, n = 1, 2, . . . , N − k, (339)
i=0
s˚a är {ψn(x)} n∈N en AF d˚a x → x0. Man kan okcs˚a generalisera p˚ast˚aendet
och betrakta fallet n ∈N, när αn,i är oändliga avtagande talföljder map n, ∀i =
0, 1, 2, . . . , k.
Bevis. Enligt definitionerna, är φ = o(ψ) d˚a x → x0, om det till varje ɛ > 0
finns en omgivning U x0
ɛ av punkten x0 s˚adan att
och
|φ(x)| ≤ ɛ|ψ(x)| ∀x ∈ U x0
ɛ ∩ R.
φn+1 = o(φn) ∀n ∈ N, x → x0 (x ∈ R)
(eftersom {φn(x)} n∈N är en AF d˚a x → x0), s˚a gäller: till varje tal ɛ > 0 och
n = 1, 2, . . . , N − k (eller n ∈N) finns det en omgivning U x0
ɛ av punkten x0 s˚adan
att
Allts˚a
|ψr+1| ≤ ɛ|ψr|, r = n, n + 1, . . . , n + k, x ∈ U x0
ɛ ∩ R.
ψn+1 =
k
αn+1,i|φn+i+1| ≤ ɛ
i=0
k
αn,i|φn+i| = ɛψn. (340)
5 Om {φn(x)} n∈N är en AF lmap n ∈N (d˚a x → x0 i R), αn,i är en mängd
av positiva tal s˚adana att
i=0
αn+1,i ≤ αn,i ∀i = 0, 1, 2, . . . och n = 1, 2, . . . (341)
(här har vi oändligt m˚anga oändliga avtagande (map n) talföljder αn,i, i = 0, 1, 2, . . . )
och serien
∞
ψ1 = α1,i|φ1+i| (342)
i=0
87

konvergerar i en omgivning R2 = U x0
ɛ av punkten x0, s˚a gäller: det finns en
delmängd R0 ⊂ R (där x0 är en gränspunkt till R0) s˚adan att serien
ψn =
∞
αn,iφn+i n = 1, 2, . . . , (343)
i=0
konvergerar i R0 och {ψn(x)} n∈N är en AF lmap n ∈N d˚a x → x0 i R0.
Bevis. Det finns en delmängd R1 ⊂ R (där x0 är en gränspunkt till R1) s˚adan
att
|φn+1| ≤ |φn| ∀x ∈ R1, ∀n ∈ N.
eftersom {φn(x)} är en AF lmap n ∈N d˚a x → x0 i R. Allts˚a
och
|ψn+1| =
ψn+1 =
i=0
≤
∞
αn+1,iφn+1+i ≤
i=0
∞
αn,iφn+i < · · · <
i=0
∞
α1,iφ1+i = |ψ1| n = 1, 2, . . . , (344)
i=0
∞
∞
αn+1,i|φn+i+1| ≤ ɛ αn,i|φn+i| = ɛψn+1, x ∈ R1 ∩ R2, (345)
i=0
eftersom {φn(x)} n∈N är en AF lmap n ∈N.
6 Om {φn(x, y)} är en AF lmap y ∈ Y = (α, β) d˚a x → x0 i R och till varje
x ∈ R konvergerar integraler
Φn(x) =
β
α
|φn(x, y)|dy (346)
(dvs φn(x, y) är integrerbara funktioner map y i intervallet (α, β)), s˚a är {Φn(x)}
en AF d˚a x → x0 i R.
Bevis. Använd (319) och definitionen (327):
Φn+1(x) =
=
β
α
β
α
|φn+1(x, y)|dy =
o(|φn|)dy = o
Allts˚a, är {Φn(x)} en AF d˚a x → x0 i R.
β
88
α
|φn|dy = o(Φn), x → x0. (347)

7 Om φ(x) är integrerbar funktion i ett intervall R = (a, b) och {φn(x)} är
en AF d˚a x → b i R, s˚a är
Φn(x) =
b
en AF d˚a x → b i R.
Bevis. Använd (318) och definitionen (327):
Φn+1(x) =
=
b
x
b
x
x
|φn+1|(x, y)|dy =
o(|φn|)dy = o
Allts˚a, är {Φn(x)} en AF d˚a x → b i R.
7.3 Asymptotiska serier
|φn(t)|dt (348)
b
x
|φn|dy = o(Φn), x → b. (349)
Serierna (280) och (281) är klassiska exempel av asymptotiska serier, nämligen,
asymptotiska potensserier. Vidare, betecknar {φn(x)}, {ψn(x)} etc. (n ∈N) olika
AF d˚a x → x0 i R.
En ändlig eller oändlig serie
anφn(x) (350)
n
säges vara en asymptotisk utveckling (AU) till funktionen f(x) d˚a x → x0 i R med
N termer, om
f(x) =
En s˚adan AU betecknas
N
anφn(x) + o(φN), x → x0, x ∈ R. (351)
n
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → x0 (352)
(utan att skriva x ∈ R).
Funktionsserien i (351) kallas en asymptotisk serie (AS).
En AU best˚aende av en term
f(x) ∼ a1φ1(x), x → x0 (353)
89

kallas en asymptotisk framställning av funktionen f(x) d˚a x → x0 i R. I detta fall,
kallas funktioner f(x) och a1φ1(x) ekvivalenta d˚a x → x0, eftersom
eller
f(x) − a1φ1(x) = o(φ1), (354)
f(x)
φ1(x) = a1 + o(1) → konst, x → x0 om φ1(x) = 0 (x ∈ R). (355)
En AU (351) som gäller för ett godtyckligt N (best˚aende av oändligt m˚anga
termer, N = ∞) skrivs
f(x) ∼ anφn(x), x → x0. (356)
och kallas ofta helt enkelt en AU.
AS kan vara konvergenta och divergenta.
En AU (351), där AF φn = φn(x, y) är likformig med avseende p˚a y ∈ Y d˚a
x → x0 i R, säges vara likformig med avseende p˚a (lmap) y ∈ Y d˚a x → x0 i R,
om
M
f(x) − anφn(x) = o(φM) lmap y ∈ Y, x → x0 (x ∈ R), (357)
n=1
om M är tillräckligt stort.
Ur (351), följer, att man kan bestämma koefficienterna am successivt med hjälp
av likheter
am = lim
x→x0
f(x) − m−1 n=1 anφn(x)
φm(x)
m = 1, 2, . . . , N. (358)
Man kan visa att, om {φn(x)} är en given AF, s˚a finns det en och endast en
AU till den givna funktionen f(x) med det givna antalet termer N.
˚A andra sidan, olika AF ger olika AU till samma funktion f(x).
Exempel 7.3
1
1 + x ∼ (−1) n−1 x −n , x → ∞, (359)
1
1 + x ∼ (x − 1)x −2n , x → ∞, (360)
1
1 + x ∼ (−1) n−1 (x 2 − x + 1)x −3n , x → ∞. (361)
90

7.3.1 Linjära operationer
Man kan visa följande egenskaper genom att använda algebraiska regler och definitionen
(351) i formen
f(x) −
N
anφn(x) = o(φN), x → x0, x ∈ R. (362)
n
1 Om ändliga serier
anφn(x) och
bnφn(x) (363)
n
är AU (352) till funktionerna f(x) och g(x) d˚a x → x0 i R med N termer,
s˚a gäller
och
n
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → x0, (364)
g(x) ∼ bnφn(x) med N termer d˚a x → x0, (365)
αf(x) + βg(x) ∼ (αan + βbn)φn(x) med N termer d˚a x → x0. (366)
2 Om
s˚a gäller:
och
fi(x) ∼ an,iφn(x) med N termer lmap i ∈N d˚a x → x0, (367)
serierna An =
serien
F (x) =
serien
∞
|αi| konvergerar (368)
i=1
∞
an,iαi konvergerar för alla n ∈ N, (369)
i=1
∞
αifi(x) konvergerar i en omgivning av x0 (370)
i=1
∞
αifi(x) ∼ Anφn(x) med N termer d˚a x → x0, (371)
i=1
91

Bevis. Vi har, enligt (362), att
ri(x) = fi(x) − an,iφn(x) = o(φN) lmap i ∈N d˚a x → x0. (372)
Vidare, enligt (314)–(316), konvergerar serien ∞ i=1 αiri i en omgivning av x0 och
∞
αiri = o(φN), (373)
i=1
eftersom serien ∞ i=1 |αi| konvergerar och ri = o(ψN), x → x0 (αi = konst). Allts˚a
∞
∞
αiri = αi[fi(x) − an,iφn(x)] = o(φN), (374)
i=1
i=1
Addera summan N
n=1 Anφn(x) till b˚ada leden av den sista likheten i (374),
< VL >
N
Anφn(x) +
n=1
=
=
∞
αi[fi(x) − an,iφn(x)] =
i=1
N
Anφn(x) +
n=1
∞
αifi(x) −
i=1
N
Anφn(x) + F (x) −
n=1
= F (x) = < HL >
N
∞
n=1
i=1
N
Anφn(x) =
n=1
αian,i
φn(x) =
N
Anφn(x) + o(φN), (375)
som visar, att Anφn(x) är en AU till F (x) = ∞
i=1 αifi(x) med N termer.
3 Om följande gäller
(1) {φn(x)} N n=1 och {ψm(x)} M m=1 är AF d˚a x → x0 i R (där N < ∞ och M < ∞
eller M = ∞);
(2) φN = O(ψm) ∀m;
(3)
s˚a är
(4)
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → x0, (376)
φn(x) ∼ bmnψm(x) med M termer d˚a x → x0, (377)
f(x) ∼ cmψm(x) med N termer d˚a x → x0, (378)
92
n=1

där
cm =
N
anbmn. (379)
n=1
Symboliskt, kan man skriva denna ’stoppregel’
f(x) ∼
bmnψm(x) =
cmψm(x) med N termer d˚a x → x0,
n
an
m
där cm bestäms enligt (379).
4 Om följande gäller
(1) {φn(x)} N n=1 är en AF d˚a x → x0 i R;
(2)
m
f(x, y) ∼ an(y)φn(x) med N termer lmap y ∈ Y = (α, β) d˚a x → x0,(380)
(3) an(y) är integrerbara funktioner för alla n ∈N och f(x, y) är integrerbar
funktion map y till varje x ∈ R;
(4) h(y) är integrerbar funktion s˚adan att alla integraler
An =
s˚a gäller: alla integraler
och
F (x) =
β
α
β
α
h(y)an(y)dy konvergerar, (381)
h(y)f(x, y)dy konvergerar i en omgivning av x0, (382)
F (x) ∼ Anφn(x) med N termer d˚a x → x0. (383)
Symboliskt, kan man skriva denna regel
β
F (x) ∼ h(y) an(y)φn(x) dy =
Anφn(x) med N termer d˚a x → x0,
α
n
där An bestäms enligt (381).
5 Om
(1) {φn(x)} N n=1 är en AF d˚a x → b i ett intervall R = (a, b), där φn(x) är
positiva integrerbara funktioner i R = (a, b);
n
93

(2) alla integraler
(3)
Φn(x) =
b
x
φn(t)dt konvergerar; (384)
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → b, (385)
och f(x) är integrerbar funktion,
s˚a konvergerar integralen
och
F (x) =
b
x
f(t)dt fär alla x i n˚agot intervall (c, b) (386)
F (x) ∼ anΦn(x) med N termer d˚a x → b. (387)
Symboliskt, kan man skriva denna integrationsregel
b
x
anφn(t) dt ∼ anΦn(x) med N termer d˚a x → x0,
där Φn(x) bestäms enligt (384).
7.3.2 Ickelinjära operationer
En funktionsföljd {φn(x)} N n=1, x ∈ R, kallas en multiplikativ asymptotisk följd
(MAF) d˚a x → x0 i R, om {φn(x)} är en AF, φ1 = O(1) och
φnφm ∼
cnmkφk med N termer d˚a x → x0, m, n = 1, 2, . . . , N. (388)
k
AF {x n }n∈N, x → 0, och {x −n }n∈N, x → ∞, är exempel av MAF. Nämligen,
sätt t ex φn(x) = x n , s˚a gäller φ1 = x = O(1), x → 0, och
s˚a är
φnφm = x n+m = φn+m =
cnmkφk, m, n = 1, 2, . . . , N.
k
där cnm, n+m = 1 och cnmk = 0, k = n + m, (389)
φnφm ∼
cnmkφk med N = n + m termer d˚a x → 0, m, n = 1, 2, . . . , N.
k
94

Om {φn(x)} N n=1, x ∈ R, är en MAF,
fi ∼
an,iφn med N termer d˚a x → x0, i = 1, 2, . . . , k, (390)
n
och P (z1, . . . , zk) är ett polynom av k komplexa variabler, s˚a gäller: funktionen
F (x) = P (f1, . . . , fk) ∼
Anφn med N termer d˚a x → x0, (391)
n
där koefficienterna An f˚as genom substitution.
Symboliskt, kan man skriva denna stoppregel
P (
an,1φn, . . . ,
an,kφn) ∼
Anφn med N termer d˚a x → x0,
där
s˚a är
n
n
n
An = P (an,1, . . . , an,k). (392)
Betrakta ett exempel, där en MAF φn(x) = x n (x → 0). Om
f ∼
N
anx n med N termer och g ∼
n=1
fg ∼
Ck =
N+M
k=1
N
n=1 m=1
M
bmx m med M termer , (393)
m=1
Ckx k med K = N + M termer, där (394)
M
anbmcnmk, (395)
där cnmk = 1, k = n + m, och cnmk = 0, k = n + m, enligt (389), eftersom
φnφm = x k = φk med k = n + m, n = 1, 2, . . . , N, m = 1, 2, . . . , M.
7.3.3 Asymptotiska potensserier
En AU
f(x) ∼
N
akx −k med N termer, x → ∞, (396)
k=0
95

säges vara en asymptotisk potensserie (APS). Funktionen
är integrerbar och
F (x) =
∞
x
∼ a2
x
f(t)dt =
+ a3
2x
f(x) − a0 − a1
x
∞
x
a4
+ 2
f(t) − a0 − a1
t
(397)
dt ∼ (398)
+ . . . med N − 2 termer, x → ∞. (399)
3x3 Ur (399), följer, att om f(x) är integrerbar och f ′ (x) utveckals i en APS, s˚a är
f ′ (x) ∼ − a1 2a2 3a3
− − − . . . med N − 1 termer, x → ∞. (400)
x2 x3 x4 7.3.4 Summation av asymptotiska serier
L˚at {φn(x)}, x ∈ R, vara en AF d˚a x → x0 i R. Funktioner f(x) och g(x) säges
vara ekvivalenta, om de har samma AU map {φn(x)}:
dvs
f(x) ∼ anφn =
g(x) ∼ anφn =
N
anφn + o(φN), x → x0, (401)
n=1
N
anφn + o(φN), x → x0, (402)
n=1
f(x) − g(x) = o(φN), x → x0, (403)
Summan av en AS anφn är en mängd av alla asymptotiskt lika funktioner
som uppfyller (403).
Exempel 7.4
s˚a är ex 1 , 1−x
{φn(x) = xn }n=0,1,2,...).
e x ∼ 1 + x, x → 0, (404)
1
1 − x
∼ 1 + x, x → 0, (405)
1 + sin x ∼ 1 + x, x → 0, (406)
och 1 + sin x asymptotiskt lika med 2 termer d˚a x → 0 (map AF
96

Sats 7.1 Varje AS har en summa.
Bevis. Betrakta en oändlig AS anφn, där an = 0 ∀n. L˚at U x0
δ
= {x : 0 <
|x0 − x| < δ} vara en omgivning av punkten x0 och U x0
δn = Un en mängd av
omgivningar s˚adana att Ūn+1 ⊂ Un och
detta villkor uppfylls eftersom
|an+1φn+1| ≤ 1
2 |anφn|; (407)
an+1φn+1 = o(anφn) (408)
L˚at µn(x) vara en kontinuerlig funktion s˚adan att
0 ≤ µn(x) ≤ 1, x ∈ R,
0,
µn(x) =
1,
x /∈ Ūn,
x ∈ Un+1,
Följande olikheter gäller för alla x ∈ Un enligt (408)
(409)
|an+pµn+p(x)φn+p(x)| ≤ |an+pφn+p(x)| ≤ 1
2 |an+p−1φn+p−1| ≤ · · · ≤ 1
|anφn|.(410)
2p Sätt
f(x) =
∞
anµn(x)φn(x). (411)
n=1
Denna serie konvergerar enligt (410) för alla x ∈ R och definierar funktionen f(x)
i R. Visa, att f(x) ∼ anφn d˚a x → x0. Ta n˚agot N och x ∈ UN+1 ∩ R; d˚a
µn(x) = 1, n = 1, 2, . . . , N, och
enligt (410).
|f(x) −
N
anφn| ≤
n=1
∞
n=N+1
≤ |aN+1φN+1|
= |aN+1φN+1|
|anµnφn| =
∞
p=0
∞
n=N+1
∞
p=1
1
=
2p |an+pµn+pφn+p| ≤
1
=
2n−(N+1) = 2|aN+1φN+1| = o(φN). (412)
97

7.3.5 Addition, multiplikation och division av potensserier
Betrakta tv˚a (ändliga eller oändliga) potensserier
A (x) =
k
B (x) =
och definiera enhetspotensserie
k
akx k = a0 + a1x + a2x 2 + . . . , (413)
bkx k = b0 + b1x + b2x 2 + . . . , (414)
I (x) = 1 + 0 · x + 0 · x 2 + . . . , (415)
Summan och produkten av potensserier definieras
A (x) + B (x) =
(ak + bk)x k = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . . , (416)
A (x)B (x) =
dkx k =
k
k
= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x 2 + . . . , (417)
k
dk =
(418)
i=0
aibk−i
Invers till en potensserie A(x) är en potensserie
C (x) =
s˚adan att
k
ckx k = c0 + c1x + c2x 2 + . . .
A (x)C (x) = I (x), (419)
där I(x) är enhetspotensserien och a0 = 0.
Invers till A (x) betecknas A −1 (x) och dess koefficienter ck bestäms succesivt
enligt multiplikationsregeln (418)
Kvoten av potensserier definieras
a0c0 = 1,
a0c1 + a1c0 = 0, (420)
a0c2 + a1c1 + a2c0 = 0,
. . . . . .
A (x)
B (x) = A (x)B−1 (x), b0 = 0. (421)
98

Om ändliga eller oändliga serier
A (x) =
anx n , B (x) =
bnx n , (422)
n
är asymptotiska utvecklingar (AU) till funktionerna A(x) och B(x) (d˚a x → 0 i R
med N termer),
s˚a gäller
Visa (425). Vi har
N
A(x) =
B(x) =
Beteckna
Vi har
k=0
N
k=0
A(x)B(x) =
Vidare, är differensen
A(x) ∼ A (x), B(x) ∼ B (x), x → 0, x ∈ R. (423)
n
A(x) + B(x) ∼ A (x) + B (x), (424)
A(x)B(x) ∼ A (x)B (x), (425)
1
B(x) ∼ B−1 (x), (426)
A(x)
B(x)
A (x)
∼ , (427)
B (x)
akx k + O(x N+1 ) = a0 + a1x + · · · + aNx N + · · · + O(x N+1 ) (x → 0),
bkx k + O(x N+1 ) = b0 + b1x + · · · + bNx N + · · · + O(x N+1 ) (x → 0),
C (x) = A (x)B (x) =
k
ckx k = c0 + c1x + c2x 2 + . . . .
= (a0 + a1x + · · · + aNx N )(b0 + b1x + · · · + bNx N ) + O(x N+1 ) (x → 0).
DN ≡ (a0 + a1x + · · · + aNx N )(b0 + b1x + · · · + bNx N ) − (c0 + c1x + · · · + cNx N )
en linjär kombination av potenser x N+1 , x N+2 , . . . , x 2N , s˚a är
och
Allts˚a,
DN = α1x N+1 + α2x N+2 + · · · + αNx 2N = O(x N+1 )
A(x)B(x) = c0 + c1x + · · · + cNx N + O(x N+1 ) (x → 0).
A(x)B(x) ∼ A (x)B (x) (x → 0). (428)
99

7.4 Partiell integration
Partiell integration är en metod för integrering av en produkt av funktioner enligt
b
a
f(x)g(x)dx =
b
a
g(x)df−1(x) = f−1(x)g(x)| b
a −
b
a
f−1(x)g1(x)dx, (429)
där g1(x) = g ′ (x) betecknar derivatan av den deriverbara funktionen g(x) = g0(x),
f−1(x) är godtycklig primitiv funktion till den integrerbara funktionen f(x) och
f−1(x)g(x)| b
a = f−1(b)g(b) − f−1(a)g(a). (430)
7.4.1 Partiell integration och generaliserade integraler
För att visa, hur kan man tillämpa partiell integration i fallet av en generaliserad
integral i (429), betrakta ett viktigt exempel.
Exempel 7.5
Den generaliserade integralen
f(x) =
∞
0
X
∞
e
G(t, x)dt = lim G(t, x)dt =
X→∞
0
0
−t
dt (431)
1 + xt
existerar för alla x ∈ R + (funktionen G(t, x) är integrerbar map t för varje x ≥ 0
eftersom 0 < G(t, x) ≤ e −t , x ≥ 0, t ≥ 0). För att bestämma integralen, sätt
s˚a är
allmänt
g(t) = 1
1 + xt , h(t) = h0(t) = e −t , (432)
g1(t) = g ′ x
(t) = −
(1 + xt) 2 , h−1(t)
=
e −t dt = −e −t ; (433)
h−m(t) = (−1) m e −t , (434)
g (m) (t) = gm(t) = (−1) m m!
100
xm (1 + xt) m+1
(m = 1, 2, . . . ),

och kör partiell integration succesivt enligt (429) och (431):
f(x) =
där
∞
g(t)h(t)dt =
∞
0
0
= h−1(t)g(t)| ∞
0 −
∞
0 ∞
∞
t=0
g(t)dh−1(t) =
0
∞
0
1
1 + xt d(−e−t ) =
h−1(t)g ′ =
(t)dt =
− e−t
1 + xt
− (−e
0 0
−t
x
) −
(1 + xt) 2
=
dt =
< lim −
T →∞
e−t
t=T
∞
1 + xt
> − e −t x
dt =
(1 + xt) 2 (435)
= 1 − x
= 1 − x
∞
e−t 0
dt =
(1 + xt) 2
1
(1 + xt) 2 d(−e−t
) = 1 − x 1 −
∞
1 − 2x
= 1 − x + 2x 2
0
∞
∞
(−e −t )
− 2x
(1 + xt) 3
dt =
= 1 − x
0
e
0
−t
dt
(1 + xt) 3
∞
e
0
−t
dt = . . .
(1 + xt) 3
= 1 − x + 2x 2 − 2 · 3x 3 + · · · + (−1) m m!x m +
+
(−1) m+1 (m + 1)!x m+1
∞
e
0
−t
=
dt =
(1 + xt) m+2
m
(−1)
n=0
n n!x n + (−1) m+1 (m + 1)!x m+1
∞
e
0
−t
dt =
(1 + xt) m+2 (436)
=
eftersom
m
anx n + Im+1(x), (437)
n=0
Im+1(x) = O(1), x → 0, (438)
Im+1(x) = am+1x m+1 µm+1(x) och µm+1(x) = O(1), x → 0. (439)
7.4.2 Succesiv partiell integration
L˚at g(x) och h(x) vara deriverbara funktioner i intervallet [a, b]. Beteckna
g0(t) = g(t), gm(t) = dmg dtm
(m = 1, 2, . . . ), (440)
h0(t) = h(t), h−m(t) = h−m+1(t)dt (m = 1, 2, . . . ), (441)
101

s˚a att
dh−m
dt = h−m+1 (m = 1, 2, . . . ). (442)
Man kan visa med hjälp av succesiv partiell integration, att, enligt (429)
b
a
g(t)h(t)dt =
N−1
n=0
sn = (−1) n
sn + RN, (443)
h−n−1(t)gn(t)| b
a =
= (−1) n [h−n−1(b)gn(b) − h−n−1(a)gn(a)] (444)
RN = (−1) N
b
a
gN(t)h−N(t)dt, (445)
RN = sn + RN−1, N = 2, 3, . . . . (446)
Här betecknar gm(x) = g (m) derivator och h−m(x) en (godtycklig) primitiv funktion
till h−m+1(x) (m = 1, 2, . . . ).
Sats 7.2 Om g(t) och h(t) är reella funktioner i intervallet [a, b] och
s˚a gäller
sgn (h−NgN) = sgn (h−N−1gN+1), t ∈ [a, b], (447)
sgn RN = sgn sN och |RN| ≤ |sN|. (448)
Bevis. Vi har sgn RN = −sgn RN+1, eftersom
RN = (−1) N
b
a
RN+1 = −(−1) N
b
gN(t)h−N(t)dt, (449)
a
gN+1(t)h−N−1(t)dt, (450)
Antag t ex, att sgn RN = 1 (RN > 0), s˚a är sgn RN+1 = −1 (RN+1 < 0) och, enligt
(446),
I Exemplet 6.5,
sN = RN − RN+1 > RN och sgn sN = sgn RN = 1. (451)
g(t) = 1
1 + xt > 0, h(t) = e−t > 0, (x, t ≥ 0), (452)
102

Vi f˚ar
och
s˚a är
h−m = (−1) m e −t , g (m) = gm = (−1) m m!
xm (1 + xt) m+1
(m = 1, 2, . . . ).
sgn h−m = (−1) m , sgn gm = (−1) m (m = 1, 2, . . . ), (453)
sgn (h−mgm) = 1 (m = 1, 2, . . . ), (454)
0 ≤ (−1) m Rm ≤ (−1) m sm. (455)
enligt (451).
I m˚anga fall, är funktionsföljden {sn} i (444) en AF. Betrakta
Enligt (443)–(446), f˚ar vi
b
a
g(t)k(xt)dt =
N = 2, 3, . . . .
N−1
h(t) = k(xt) (456)
sn(x) + RN, (457)
sn(x) =
n=0
(−1) n x −n−1 [k−n−1(bx)gn(b) − k−n−1(ax)gn(a)] (458)
Om alla primitiva funktioner k−n−1(u) är begränsade, funktionerna
Kn(x) = k−n−1(bx)gn(b) − k−n−1(ax)gn(a) ≥ δ > 0 (x ∈ R)
och |RN| ≤ 2|sN|, d˚a kan man visa att (457) är en AU d˚a x → ∞, x ∈ R.
7.5 Problem
Problem 7.1
Visa att
a) CO(x n ) = O(x n ), C = konst,
b) O(x n ) + O(x m ) = O(x n ) om n ≤ m,
c) O(x n )O(x m ) = O(x n+m ),
103

d˚a x → 0 och n, m = 0, 1, . . . .
d) Co(x n ) = O(x n ), C = konst,
e) o(x n ) + o(x m ) = o(x n ) om n ≥ m,
f) o(x n )o(x m ) = o(x n+m ),
d˚a x → 0 och n, m = 0, 1, . . . .
Visa (b). Enligt (261), är funktionen φn(x) av stort ordo x n d˚a x → 0, φn =
O(x n ), x → 0, om det finns en konstant An > 0 och en omgivning U 0 δn , 0 < δn < 1,
av punkten x = 0 s˚adana att
|φn(x)| ≤ An|x n | ∀x ∈ U 0 δn (n = 0, 1, . . . ). (459)
L˚at φn = O(x n ) och φm = O(x m ) d˚a x → 0 och n ≤ m. Vi har |x| p ≤ 1 om |x| ≤ 1
och p = 0, 1, . . . och |x| m ≤ |x| n om n ≤ m, n, m = 0, 1, . . . . Vidare
|φn(x) + φm(x)| ≤ |φn(x)| + |φm(x)| ≤ An|x| n + Am|x| m ≤ (460)
≤ An|x| n + Am|x| m ≤ A|x| n ∀x ∈ U 0 δ ,
där A = max{An, Am} och δ = min{δn, δm}. Olikheten (460) visar p˚ast˚aendet 6.1
(b).
Man kan ocks˚a skriva
eftersom
Till exempel,
O(x n ) + O(x m ) = O(x n ) + o(x n ) = O(x n ) om n ≤ m,
O(x p ) = o(x p−q ), x → 0 om 0 < q ≤ p och p, q = 1, 2, . . . . (461)
Problem 7.2
Visa att
O(x) = o(1), O(x 2 ) = o(x), x → 0. (462)
a) 2x − x 2 = O(x), x → 0,
b) x sin √ x = O(x 3/2 ), x → 0 (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}),
c) arctan 1
x
d) x sin 1
x
= O(1), x → 0,
= O(|x|) x → 0.
104

Visa (b). Beteckna φ(x) = x sin √ x och ψ(x) = x 3/2 och l˚at R = R + = {x ∈
R 1 : x > 0}. Enligt det tillräckliga villkoret (266), är φ = O(ψ), x → 0 i R, om
φ(x)
ψ(x)
→ a, d˚a x → 0, x ∈ R, a = konst. (463)
och man skriver φ = O ∗ (ψ). Visa att i fallet (b), φ = O ∗ (ψ). Vi har
x sin
lim
x→+0
√ x
x3/2 (
= lim
x→+0
√ x) 2 sin √ x
( √ x) 3
Visa (d). Enligt (261), är funktionen
φ(x) = x sin 1
x
= lim
x→+0
sin √ x
√ x = 1.
av stort ordo |x| d˚a x → 0, φ = O(|x|), x → 0,
om det finns en konstant A > 0 och en omgivning U 0 δ
att
Vi har
Problem 7.3
Visa att
d)
|φ(x)| ≤ A|x| ∀x ∈ U 0 δ .
|φ(x)| =
1
x sin
x
≤ |x| ∀x ∈ U 0 δ ∀δ > 0.
=
av punkten x = 0 s˚adana
a) ln (1 + x) = O(x), x → 0 (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}),
b + x
b) ln
a + x
b + x
c) ln
a + x
cos ax − cos bx
x
Problem 7.4
Visa att
1
= O , x ∈ R
x
+ , b > a > 0,
1
= O , x → ∞ (x ∈ R
x
+ , b > a > 0),
= o(1), x → 0.
ln x = o(x ɛ ), x → ∞ (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}), ɛ > 0. (464)
105

Betrakta först fallet ɛ = 1 och visa att
ln x = o(x), x → ∞. (465)
L˚at F1(y) = y − ln y; F1(y) är en deriverbar funktion, y > 0. Vi har
F ′ 1(y) = 1 − 1
y
= y − 1
y
allts˚a y > ln y, y > 1, ty F1(y) > F1(1) = 0, y > 1.
P˚a samma sätt, betrakta F0.5(y) = √ y − ln y (y > 0); d˚a
Ta G2(t) = t − 2 ln t. Vi har
> 0, y > 1; (466)
F0.5(y) = √ y − 2 ln √ y = t − 2 ln t, t = √ y > 0,
G ′ 2(t) = 1 − 2 1
t
= t − 2
t
> 0, t > 2. (467)
Allts˚a G2(t) > G2(2) = 2 − 2 ln 2 > 0 om t > 2, F0.5(y) > 0 om y > 4, och
√ y > ln y om y > 4.
och
Vidare, antag att x > 4, s˚a är
0 <
ln x
x
1 ln x
= √ √x <
x
1
√
x
ln x
lim
x→+∞ x
= 0;
allts˚a ln x = o(x), x → ∞, enligt (265).
Nu betrakta funktionen Fɛ(y) = y ɛ − ln y (y > 0, ɛ > 0); d˚a
och ta Gµ(t) = t − µ ln t, µ = 1
ɛ
Fɛ(y) = y ɛ − 1
ɛ ln yɛ = t − 1
ɛ ln t, t = yɛ > 0,
G ′ µ(t) = 1 − µ
t
> 0. Vi har
= t − µ
t
(468)
> 0, t > µ. (469)
Allts˚a är Gµ(t) växande om t > µ. Antag, att µ > 2 och t > µ 2 , s˚a är följande
gäller
√ t( √ t − µ) > 0 → t − µ √ t > 0 → t − µ ln t > 0, (470)
106

eftersom √ t > ln t (t > 4). Vidare, Gµ(t) > G2(µ 2 + 1) > 0 om t > µ 2 + 1 > µ,
och Fɛ(y) > 0, dvs
om y är tillräckligt stort, nämligen
y > yɛ =
y ɛ > ln y, (471)
1
ɛ
2
+ 1
1
ɛ
(472)
Antag nu att ɛ är ett givet positivt tal, 0 < ɛ ′ < ɛ och x är tillräckligt stort och
uppfyller villkoret (472), x > yɛ−ɛ ′. Vidare, enligt (471),
och
0 <
ln x 1
=
xɛ xɛ′ ln x
xɛ−ɛ′ < 1
xɛ′ lim
x→+∞
allts˚a ln x = o(x ɛ ), x → ∞, enligt (265).
Problem 7.4
Visa att
ln x
= 0;
xɛ (473)
ln x = o(x −ɛ ), x → 0 (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}), ɛ > 0. (474)
Problem 7.5
Visa att
Problem 7.6
Visa att
a)
b)
b
a
b
a
sin xydy = O(1), x → 0 (b > a > 0),
sin x
x + y dy = O(1), x ∈ R+ (b > a > 0).
a) sin 2 x = O(x 2 ), x → 0,
b) | sin x| = O( |x|), x → 0,
c) sin m x = O(x m ), x → 0 (m = 1, 2, . . . ).
107

Problem 7.7
Visa att
a)
b)
c)
d)
e)
Problem 7.8
k
αix i = O(1), x → 0,
i=1
k
x i k
= O( | sin x| i ), x → 0,
i=1
i=1
i=1
k αi
xi = O(e−x ), x → ∞.
∞
x i = o(1), x → 0 (x ∈ R = [−1 + δ, 1 − δ], 0 < δ < 0.5),
i=1
∞
x i = O(1), x → 0 (x ∈ R = [−1 + δ, 1 − δ], 0 < δ < 0.5).
i=0
L˚at g(x) vara en tv˚a g˚anger deriverbar funktion i ett interval R = (a, b), x, x0 ∈ R,
x = x0 och n ett naturligt tal. Betrakta funktionen
Visa att
Här
F (x) =
x0
x
g(t)
dt. (475)
(t − a) n+1
F (x) = O((x − a) −n ), x → +a om g(a) = 0, n = 1, 2, . . . , (476)
F (x) = O(ln(x − a)), x → +a, om g(a) = 0, n = 0. (477)
Antag att n = 1, 2, . . . och använd partiell integration:
x0
−n (t − a)
F (x) = g(t)d
= −
(−n)
g(t)
n(t − a) n
x0
+ 1
n
F1(x) =
=
=
x0
x
x
x
x0
x
g ′ (t)
dt =
(t − a) n
g(x) g(x0) 1
− +
n(x − a) n n(x0 − a) n n F1(x). (478)
g ′ −n+1 (t − a) g
(t)d
= −
(−n + 1)
′ (t)
(n − 1)(t − a) n−1
g ′ (x)
−
n(x − a) n−1
x0
x
+ 1
x0
n − 1 x
g ′′ (t)
dt =
(t − a) n−1
g ′ (x0)
(n − 1)(x0 − a) n−1 + F2(x), (479)
108

om n ≥ 2, och
F1(x) =
x0
g ′ (t)
dt =
t − a
x
g ′ (t)d ln(t − a) = g ′ (t) ln(t − a)| x0
x −
x0
g
x
′′ (t) ln(t − a)dt =
x
x0
= −g ′ (x) ln(x − a) + g ′ (x0) ln(x0 − a) + F2(x), (480)
om n = 1, där F2(x) är en kontinuerlig funktion, x ∈ R. Ur (478)–(480), följer att
allts˚a, (476) gäller.
Problem 7.9
Betrakta funktionen
Visa att
Problem 7.10
Betrakta funktionen
Visa att
Problem 7.11
Visa att
F (x)(x − a) n = 1
g(x) + o(1); (481)
n
C(x) =
π
x
cos t
dt. (482)
t
C(x) = ln 1
+ O(1), x → +0. (483)
x
S(x) =
π
x
sin t
dt. (484)
t2 a) S(x) − ln 1
= O(1),
x
x → +0, (485)
b) S(x) + ln(πx) + 1 = o(x), x → +0. (486)
a
∞
e
0
−pt t x−1 dt = Γ(x)
p
x , (487)
b Γ(x + 1) = xΓ(x), (488)
b Γ(n + 1) = n!. (489)
109

Problem 7.12
Betrakta funktionen
Visa att
Problem 7.13
Betrakta funktionen
Visa att
Problem 7.14
Visa, att
e −x f(x) ∼ 1
x
f(x) ∼ 1
x
+ 1
x
f(x) =
x
1
et dt. (490)
t
2! 3!
+ + + . . . (x → ∞). (491)
2 x3 x4 f(x) =
− 1
x
10
0
e−xt dt. (492)
1 + t
2! 3!
+ − + . . . (x → ∞). (493)
2 x3 x4 e −z = O(z α ), z → ∞, (494)
z ∈ S∆ = {z : 0 < |z| < ∞, |arg z| < π/2 − ∆}. (495)
För att visa (494), p˚aminn definitionen (74)–(76) av den komplexvärda potensfunktionen.
L˚at z = x + iy = re iθ = 0 och w = u + iv. Den potensfunktionen
definieras
z w = e w ln z =
Om v = 0 (w = u), f˚ar vi
= |z| u e −varg z [cos(v ln |z| + uarg z) + i sin(v ln |z| + uarg z)]. (496)
z w = z u = |z| u [cos(uarg z) + i sin(uarg z)]. (497)
Om y = 0 och x > 0 (dvs arg z = 0), f˚ar vi
z w = x w = x u [cos(v ln x) + i sin(v ln x)], (498)
110

Beteckna α = a + ib. Vi har
e −z = e −x [cos(y) − i sin(y)], |e −z | = e −x = e −r cos θ , (499)
z α = |z| a e −barg z [cos t + i sin t], (500)
|z α | = |z| a e −barg z = r a e −bθ
t = b ln |z| + aarg z,
där x > 0 och r > 0. Beteckna
Vidare,
enligt (495), s˚a är
c0 = cos (π/2 − ∆) .
0 < c0 ≤ cos θ ≤ 1 eftersom − π/2 + ∆ < θ < π/2 − ∆
(501)
e −rc0 ≤ e −r cos θ ≤ e −r < 1. (502)
Ta ett θ ∈ (−π/2 + ∆, π/2 − ∆) och beteckna p = cos θ, 0 < c0 ≤ p ≤ 1 och
P = e −bθ > 0. S˚a gäller
e −rp ≤ P r a
(503)
om a ≥ 0 och r är tillräckligt stort, eftersom e −rp < 1. Om a < 0, sätt a ′ = −a > 0
och skriv om (503)
e −rp ≤ P r −a′
, a ′ > 0. (504)
Följände olikheter gäller om P ′ > 0 och r > 0 är tillräckligt stort:
r > a′
p
ln r + ln P ′
p
→ rp > a ′ ln r + ln P ′
→ e rp ≥ P ′ r a′
→ e −rp ≤ P r −a′
, (505)
där P ′ = 1
P = ebθ > 0.
Vi f˚ar att (503) gäller för alla a = Re α med ett godtyckligt b = Im α om |z| = r
är tillräckligt stort. S˚a är
om |z| är tillräckligt stort. Allts˚a
|e −z | ≤ |z α |, z ∈ S∆, ∀α, (506)
e −z = O(z α ), z → ∞, z ∈ S∆.
111

8 Asymptotisk utveckling av Laplaces integraler
8.1 Tv˚a satser om asymptotisk utveckling
Sats 8.1
Om φ(t), t ∈ [0, a], är en N g˚anger deriverbar funktion och Laplaces integral
f(x) = L (φ) =
är konvergent för n˚agot x = x0, s˚a är
där
∞
0
e −xt φ(t)dt
f(x) ∼ φ (n) (0)x −n−1 med N termer d˚a x → ∞. (507)
Bevis. Vi använder oss (457) och (458) med
och f˚ar
k−n(xt) = (−1) n x −n e −xt
f(x) =
=
=
eftersom
∞
e −xt φ(t)dt =
0
N−1
(−1) n x −n−1
n=0
k(xt) = e −xt
∞
N−1
φ (n) (0)x −n−1 + RN ∼
n=0
0
och g(t) = φ(t),
och gn(t) = φ (n) (t), k−n(t = 0) = (−1) n x −n
k(xt)g(t)dt =
lim
T →∞ [k−n−1(xT )gn(T )] − k−n−1(t = 0)gn(0)
+ RN =
∼ φ (n) (0)x −n−1 med N termer d˚a x → ∞, (508)
RN = x −N
∞
e
0
−xt φ (N) (t)dt = O(x −N−1 ), (509)
Visa detta. Här är φ (N) (t), t ∈ [0, a], en begränsad funktion, |φ (N) (t)| ≤ B, allts˚a
|RN| ≤ |x −N ∞
|B e
0
−xt dt ≤ B|x −N−1 |. (510)
112

Sats 8.2
Om φ(t) och ψ(t) är tv˚a givna funktioner s˚adana att Laplaces integraler
f(x) = L (φ) =
g(x) = L (ψ) =
∞
0 ∞
0
e −xt φ(t)dt,
e −xt ψ(t)dt
är konvergenta för n˚agot x = x0, φ = o(ψ) d˚a t → 0 och
s˚a gäller
Skriv
e aρ g(ρ) → ∞ d˚a ρ → ∞ ∀a > 0, (511)
f = o(g) d˚a x → ∞ (Im x = 0) (512)
och
f(x) = o(g(ρ)) d˚a x = ρ + iσ → ∞ lmap arg x, (513)
x ∈ S∆ = {x : 0 < |x| < ∞, arg x < π/2 − ∆}. (514)
Bevis. Till varje ɛ > 0 finns ett a > 0 s˚adant att
f(x) = L (φ) =
=
|φ(t)| ≤ ɛ|ψ(t)| ∀t : 0 < t ≤ a. (515)
a
e −xt φ(t)dt +
0 a
e
0
−xt φ(t)dt + O(e −ax )
(se (510) ovan). Vidare
a
e −xt
φ(t)dt
≤ ɛ
s˚a är
och
0
a
0
∞
e −xt ψ(t)dt = ɛg(x)
|f(x)| ≤ ɛg(x) + O(e −ax )
|f(x)|
g(x)
om x är tillräckligt stort (eftersom
x → ∞.
−ax e
≤ ɛ + O ≤ 2ɛ
g(x)
1
e ax g(x)
113
a
e −xt φ(t)dt =
→ 0 d˚a x → ∞). Allts˚a f = o(g) d˚a

8.2 Asymptotisk utveckling och asymptotiska följder
Sats 8.3
Om funktioner ψn(t) > 0 (t > 0), n = 1, 2, . . . , N, och φ(t) är s˚adana att Laplaces
integraler
gn(x) = L (ψn) =
∞
0
e −xt ψn(t)dt och f(x) = L (φ) =
är konvergenta för n˚agot x = x0, {ψn} är en AF d˚a t → 0, och
∞
0
e −xt φ(t)dt
e aρ gn(ρ) → ∞ d˚a ρ → ∞ ∀a > 0 och ∀n, (516)
s˚a gäller:
(1) {gn} är en AF d˚a ρ → ∞;
(2) f(ρ) ∼ angn(ρ) (med N termer d˚a ρ → ∞ (517)
om
φ(t) ∼ anψn(t) (med N termer d˚a t → 0 (518)
I samband med Sats 8.3, betrakta viktiga partikulära fall av AF {ψn}:
•
•
ψn(t) = t λn−1
Här, är Laplaces integraler
gn(x) = L (ψn) =
ψn(t) = t n , n = 1, 2, . . . , N. (519)
(n = 1, 2, . . . , N), 0 < λ1 < λ2 < · · · < λN. (520)
∞
e
0
−xt t λn−1 dt =
< u = xt, dt = du/x, t λn−1 = u λn−1 /x λn−1 >=
= x −λn
∞
e
0
−u u λn−1 −λn du = x Γ(λn) = O(x −λn ) (521)
I fallet ψn(t) = t n , har vi λn = n + 1 (n = 1, 2, . . . , N) och Laplaces integraler
L (t n ) =
∞
e
0
−xt t n dt = x −n−1 Γ(n + 1) = x −n−1 n! = O(x −n−1 ). (522)
114

Vi har visat följände
Sats 8.4
Om positiva talen λn (n = 1, 2, . . . , N) uppfyller villkoret 0 < λ1 < λ2 < · · · < λN
och funktionen φ(t) är s˚adan att Laplaces integral
f(x) = L (φ) =
är konvergent för n˚agot x = x0 och
s˚a gäller
φ(t) ∼ ant λn−1
∞
0
e −xt φ(t)dt
(med N termer d˚a t → 0, (523)
f ∼ Γ(λn)anx −λn (med N termer d˚a x → ∞. (524)
115

9 Referenser
1. A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 2002 (AE).
2. N. Ibragimov, Modern gruppanalys, Studentlitteratur, 2002 (MG).
3. W. Parzynski and P. Zipse, Introduction to Mathematical Analysis, McGraw-
Hill, 1987 (IMA).
4. N.G. De Bruin, Asymptotic Methods in Analysis, Dover, 2002 (AMA).
5. K-G Andersson, L-C Böiers, Ordinära differentialekvationer, Studentlitteratur,
1993 (OD).
6. A. H. Nayfeh, Introduction to Perturbation Techniques, Wiley, 1993 (IPT).
Rekommenderade litteratur
1. G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5th Edition,
Harcourt, Academic, 2001 (AW).
2. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM).
3. P.-A. Svensson, Abstrakt algebra, Studentlitteratur, 2001.
4. G. Wahde, Analytiska funktioner för tekniska tillämpningar, Chalmers Tekniska
Högskola, 1990.
5. J. Petersson, Matematisk analys. Del 2, 2000.
6. R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison–Wesley,
1999 (A).
116