Asymptotiska metoder och gruppanalys - Karlstads universitet
Asymptotiska metoder och gruppanalys - Karlstads universitet
Asymptotiska metoder och gruppanalys - Karlstads universitet
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Asymptotiska</strong> <strong>metoder</strong> <strong>och</strong> <strong>gruppanalys</strong><br />
Kursmaterial. Del I<br />
Lektor: Yury Shestopalov<br />
e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-7001856<br />
Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ ∼youri<br />
<strong>Karlstads</strong> Universitet<br />
2003<br />
1
Inneh˚all<br />
1 Grupper 6<br />
1.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.2 Definition av en grupp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.3 Isomorfism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
1.4 Generatorer <strong>och</strong> cykliska grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
1.5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.5.1 Rotation av koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.6 Generatorer av kontinuerliga grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2 Serier 11<br />
2.1 Grundbegrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.2 Serier med ickenegativa termer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
2.3 Funktionsserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.4 Likformig konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16<br />
2.5 Potensserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
2.6 Geometriska matrisserien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
2.7 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska funktioner 22<br />
3.1 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.1.1 Konjugerade komplexa talet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.1.2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet . . . 23<br />
3.1.3 Polär form av komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.1.4 De Moivres formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.2 Komplexvärd funktion av en komplex variabel . . . . . . . . . . . . 25<br />
3.2.1 Real- <strong>och</strong> imaginärdel till en komplex funktion . . . . . . . . 26<br />
3.3 Analytiska funktioner. Cauchy–Riemanns ekvationer . . . . . . . . . 27<br />
3.3.1 Gränsvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.3.2 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.3.3 Cauchy–Riemanns ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />
3.3.4 Analytiska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.4 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.4.1 Komplexa kurvintegraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
3.4.2 Cauchys integralsats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.4.3 Cauchys integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.4.4 Cauchys generella integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
3.5 Taylors <strong>och</strong> Laurents utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.5.1 Komplexa serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.5.2 Potensserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
2
3.5.3 Taylors utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36<br />
3.5.4 Laurents utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.6 Residykalkyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.6.1 Isolerade singulariteter. Poler . . . . . . . . . . . . . . . . . 41<br />
3.6.2 Metoder för residyberäkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
3.6.3 Residysats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />
3.6.4 Beräkning av reella integraler med residykalkyl . . . . . . . 47<br />
4 Differentialekvationer: Grundbegrepp 50<br />
4.1 Differentialekvationer av första ordningen . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />
4.1.1 Linjära differentialekvationer av första ordningen . . . . . . 51<br />
4.1.2 Separabla ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.2 Begynnelsevärdesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
4.3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen . . . . . . . . . . 55<br />
4.3.1 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta<br />
koefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
4.4 Singulära punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
4.5 Frobenius’ metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
4.6 Randvärdesproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
5 Generaliserade integraler. Likformig konvergens 64<br />
5.1 Generaliserade integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
5.2 Likformig konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.3 Eulers Γ-funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65<br />
5.4 Generaliserade komplexvärda integraler . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
5.4.1 Eulers Γ-funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
6 Laplaces integraler 68<br />
6.1 Laplaces integral som analytisk funktion . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
6.2 Vissa egenskaper av Laplaces integraler . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
6.3 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.3.1 Heavisides stegfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.3.2 Diracs deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
6.3.3 Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform 76<br />
6.4 Vissa tillämpningar av Laplaces integraler: lösning av ordinära diffekvationer<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
7 Grundbegrepp av asymptotiska <strong>metoder</strong> 80<br />
7.1 O- <strong>och</strong> o-symboler (Landaus symboler) . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
7.1.1 Likformiga relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
7.1.2 Algebraiska regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />
3
7.2 <strong>Asymptotiska</strong> följder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
7.2.1 Ekvivalenta följder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
7.2.2 Algebraiska regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86<br />
7.3 <strong>Asymptotiska</strong> serier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
7.3.1 Linjära operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<br />
7.3.2 Ickelinjära operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
7.3.3 <strong>Asymptotiska</strong> potensserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95<br />
7.3.4 Summation av asymptotiska serier . . . . . . . . . . . . . . . 96<br />
7.3.5 Addition, multiplikation <strong>och</strong> division av potensserier . . . . 98<br />
7.4 Partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100<br />
7.4.1 Partiell integration <strong>och</strong> generaliserade integraler . . . . . . . 100<br />
7.4.2 Succesiv partiell integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101<br />
7.5 Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<br />
8 Asymptotisk utveckling av Laplaces integraler 112<br />
8.1 Tv˚a satser om asymptotisk utveckling . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
8.2 Asymptotisk utveckling <strong>och</strong> asymptotiska följder . . . . . . . . . . . 114<br />
9 Referenser 116<br />
4
Förord<br />
Huvudm˚alet av kompendiet är att tillägna sig kunskaper om vissa matematiska<br />
<strong>metoder</strong> som används inom den allmänna teorin av asymptotiska <strong>metoder</strong>: serier,<br />
funktionsserier <strong>och</strong> likformig konvergens; grundbegrepp av komplex analys <strong>och</strong><br />
gruppteori; ordinära differentialekvationer.<br />
I Kompendiet, motsvarar problemnummer PROBLEM a.b.c detta i boken E.<br />
Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM), t ex PROB-<br />
LEM 8.1.1 är problemet 8.1.1 p˚a s. 407 i AEM, avsnitt 8.1.<br />
Exempel- <strong>och</strong> problemnummer (... Example , s. , A) mostvarar detta i boken<br />
R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison–Wesley,<br />
1999 (A), t ex Example 8, s. 845, A är exemplet 8 p˚a s. 845 i A, avsnitt 14.<br />
5
1 Grupper<br />
1.1 Grundbegrepp<br />
Antag att ∗ är en kompositionsregel p˚a mängden M. Vad m˚aste d˚a krävas av ∗ för<br />
att varje linjär ekvation med koefficienter i M, dvs a ∗ x = b, där a, b ∈ M, skall ha<br />
en lösning i M? Och vad skall gälla för att en s˚adan lösning skall vara entydig? Det<br />
finns flera matematiska system där motsvarande ekvation har en entydig lösning.<br />
Om t ex A <strong>och</strong> B är kvadratiska matriser av samma storlek med reella element,<br />
s˚a vet vi att om A är inverterbar (detA= 0) s˚a har den linjära ekvationen AX=B<br />
en entydig lösning X=A −1 B.<br />
Det visar sig finnas tre nödvändiga egenskaper som en kompositionsregel ∗ p˚a<br />
en mängd M m˚aste ha för att en linjär ekvation skall ha en entydig lösning i M.<br />
Om dessa egenskaper är uppfyllda, s˚a säges M tillsammans med ∗ utgöra en grupp.<br />
1.2 Definition av en grupp<br />
Definition. En grupp ˆ G = (G, ∗) är en mängd G tillsammans med en kompositionsregel<br />
∗ p˚a mängden G<br />
(i) om a ∈ ˆ G <strong>och</strong> b ∈ ˆ G är tv˚a ˆ G’s element, d˚a a ∗ b ∈ ˆ G, dvs (a, b) → a ∗ b är<br />
en avbildning G × G → G.<br />
(ii) ∗ är associativ: (a ∗ b) ∗ c =a ∗ (b ∗ c).<br />
(iii) G inneh˚aller ett neutralt element e med avseende p˚a ∗ s˚adant att a ∗ e =<br />
e ∗ a = a<br />
(iv) varje element i G har en invers i G med avseende p˚a ∗.<br />
Om ∗ dessutom är kommutativ s˚a säges (G, ∗) vara en abelsk grupp.<br />
Exempel 1.1<br />
Om Z, Q, R <strong>och</strong> C är resp. mängder av heltal 0, ±1, ±2, . . . , rationella tal<br />
p/q p, q ∈ Z, q = 0, reella (rationella <strong>och</strong> irrationella) tal <strong>och</strong> komplexa tal a + bi,<br />
a, b ∈ R, i = √ −1, d˚a ser vi att (Z, +), (Q, +), (R, +) <strong>och</strong> (C, +) är abelska<br />
grupper (med avseende p˚a addition +). Däremot är inte (N, +) en grupp (där N<br />
är en mängd av naturliga tal 0, 1, 2, . . . ), eftersom t. ex. talet 2∈ N inte har n˚agon<br />
invers (-2/∈ N ).<br />
Att (Q, ·), (R, ·) <strong>och</strong> (C, ·) inte är grupper med avseende p˚a multiplikation ·<br />
beror p˚a att 0 saknar invers med avseende p˚a kompositionsregeln ·.<br />
Exempel 1.2<br />
Om Mm×n(R) är en mängd av alla m × n rektangulära matriser A = akl med<br />
6
ationella element akl, d˚a är Mm×n(R, +) en abelsk grupp under (elementvis) matrisaddition<br />
+. Vi ser ocks˚a att mängden Mn×n(R) = Mn(R) tillsammans med<br />
matrismultiplikation inte utgör en grupp eftersom (singulära) matriser med determinant<br />
lika med noll inte är inverterbara (de saknar invers). Om vi sorterar bort<br />
alla s˚adana erh˚aller vi dock en grupp, den s˚a kallade allmänna linjära gruppen<br />
GLn(R) = {A ∈ Mn(R) : det A = 0}. (1)<br />
Eftersom matrismultiplikation inte är kommutativ är GLn(R) inte en abelsk grupp.<br />
1.3 Isomorfism<br />
Definition. En avbildning f : A → B (fr˚an A till B, där A är fs definitionsmängd<br />
<strong>och</strong> B är fs m˚almängd) säges vara<br />
(i) injektiv, om f(a1) = f(a2) medför att a1 = a2 för alla a1 <strong>och</strong> a2 i A.<br />
(ii) surjektiv, om fs m˚almängd sammanfaller med B: Im f = B.<br />
En avbildning f : A → B säges vara bijektiv, om f är b˚ade injektiv <strong>och</strong> surjektiv.<br />
Sats 1.1 En avbildning f : A → B är bijektiv, om <strong>och</strong> endast om den är<br />
inverterbar.<br />
Exempel 1.3<br />
Funktionen f(x) = 3x + 5 är en inverterbar avbildning fr˚an R till R (där R är<br />
mängden av reella tal), <strong>och</strong> dess invers ges av g(y) = (y − 5)/3. Vi har nämligen<br />
att<br />
<br />
y − 5 y − 5<br />
(f ∗ g)(y) = f[g(y)] = f = 3 · + 5 = y<br />
3<br />
3<br />
<strong>och</strong><br />
(g ∗ f)(x) = g[f(x)] = g(3x + 5) =<br />
(3x + 5) − 5<br />
3<br />
= x.<br />
Definition. L˚at G <strong>och</strong> H vara tv˚a grupper. En bijektiv avbildning φ : G → H<br />
säges vara enisomorfism, om den upfyller<br />
φ(ab) = φ(a)φ(b) (2)<br />
för alla a, b ∈ G. Om det finns en isomorfism fr˚an G till H, s˚a säges G <strong>och</strong> H vara<br />
isomorfa, vilket betecknas G ∼ H.<br />
Med hjälp av induktion kan man enkelt visa att<br />
φ(a1a2 . . . an) = φ(a1)φ(a2) . . . φ(an) (3)<br />
7
gäller för alla a1a2 . . . an<br />
Exempel 1.4<br />
Avbildningen φ : Z→2Z definierad som φ(a) = 2a för alla heltal a är en isomorfism<br />
(med avseende p˚a addition), eftersom den är bijektiv,<br />
φ(a + b) = 2(a + b) = 2a + 2b = φ(a) + φ(b) (4)<br />
Därmed är grupperna Z <strong>och</strong> 2Z isomorfa.<br />
Exempel 1.5<br />
Betrakta avbildningen<br />
φ : GLn(R) → R ∗ definierad φ(A) = det A ∀A ∈ GLn(R) (5)<br />
Av räknelagarna för determinanter följer att<br />
φ(AB) = det AB = det Adet B = φ(A)φ(B) (6)<br />
s˚a (2) är uppfylt. Men φ är inte en isomorfism eftersom den inte är bijektiv. Tv˚a<br />
olika matriser kan nämligen ha samma determinant. Till exempel har 2×2 matriser<br />
<br />
1 0<br />
2 0<br />
<strong>och</strong><br />
1 4<br />
1 2<br />
b˚ada determinanten 4.<br />
Sats 1.2 För gruppisomorfismer gäller följande p˚ast˚aenden:<br />
(i) identitetsavbildningen ɛ : G → G är en isomorfism;<br />
(ii) om avbildningen φ : G → H är en isomorfism, s˚a är dess invers φ −1 : H → G<br />
ocks˚a en isomorfism.<br />
1.4 Generatorer <strong>och</strong> cykliska grupper<br />
Antag att G är en grupp <strong>och</strong> att a är ett element i denna. En undergrupp H i G<br />
som inneh˚aler a m˚aste inneh˚alla ocks˚a varje potens a k av a, där k ≥ 1.<br />
Man kan visa att<br />
H = {a k , k ∈ Z} (7)<br />
är en undergrupp i G. H kallas cykliska undergruppen genererad av a <strong>och</strong> betecknas<br />
< a >.<br />
8
Exempel 1.6<br />
Den undergrupp i Z som genereras av talet 5 ges av<br />
5Z =< 5 >= {k · 5, k ∈ Z} = {5k, k ∈ Z} (8)<br />
Detta är precis mängden av alla heltalsmutipler av 5.<br />
Sats 1.3 Varje oändlig cyklisk grupp är isomorf med Z.<br />
L˚at G =< a > vara en oändlig cyklisk grupp. Vi p˚ast˚ar att avbildningen<br />
φ(n) = a n<br />
är en isomorfism fr˚an Z till G.<br />
för alla n ∈ Z (9)<br />
1.5 Kontinuerliga grupper. Gruppgenerering<br />
1.5.1 Rotation av koordinater<br />
Rotation av koordinater (med vinkeln φ) enligt<br />
x ′ = x cos φ + y sin φ, (10)<br />
y ′ = −x sin φ + y cos φ,<br />
definierar en mäng av rotationsmatriser<br />
<br />
cos φ sin φ<br />
R(φ) =<br />
− sin φ cos φ<br />
Superposition av tv˚a rotationer med vinklarna φ1 <strong>och</strong> φ2 ges som produkten av<br />
motsvarande rotationsmatriser<br />
R(φ1)R(φ2) =<br />
=<br />
<br />
cos φ1 sin φ1 cos φ2 sin φ2<br />
− sin φ1 cos φ1 − sin φ2 cos φ2<br />
<br />
cos(φ1 + φ2) sin(φ1 + φ2)<br />
− sin(φ1 + φ2) cos(φ1 + φ2)<br />
<br />
= (12)<br />
är en ny rotationsmatris.<br />
Mängden av s˚adana rotationsmatriser tillsammans med en kompositionsregel<br />
som är kommutativ matrismultiplikation bildar en abelsk grupp ˆ G = SO(2). Kolla<br />
definitionen:<br />
(i) om A <strong>och</strong> B är tv˚a element av mängden av rotationsmatriser, d˚a A B ∈ SO(2)<br />
enligt (12).<br />
9<br />
(11)
(ii) matrismultiplikationen är associativ: (A∗B)∗ C = A∗(B∗ C).<br />
(iii) ett neutralt element E med avseende p˚a matrismultiplikationen (s˚adant att<br />
A∗E = A∗E = E∗A = A) är enhetsrotationsmatrisen<br />
<br />
1<br />
E = R(0) =<br />
0<br />
<br />
0<br />
1<br />
(13)<br />
med φ = 0.<br />
(iv) varje element har en invers med avseende p˚a matrismultiplikationen, som är<br />
rotationsmatrisen<br />
eftersom, enligt (12),<br />
R −1 = R(−φ) =<br />
R(φ)R(−φ) = R(−φ)R(φ) =<br />
cos φ − sin φ<br />
sin φ cos φ<br />
cos(φ − φ) sin(φ − φ)<br />
− sin(φ − φ) cos(φ − φ)<br />
1.6 Generatorer av kontinuerliga grupper<br />
<br />
<br />
= E.<br />
En rotationsmatris kan skrivas<br />
<br />
cos φ<br />
R(φ) =<br />
− sin φ<br />
<br />
sin φ<br />
= 12 cos φ + iσ2 sin φ = exp (iσ2φ)<br />
cos φ<br />
(15)<br />
där Paulis matriser<br />
<br />
0 1<br />
σ1 =<br />
1 0<br />
<br />
0 −i<br />
, σ2 =<br />
i 0<br />
<br />
1 0<br />
, σ1 =<br />
0 −1<br />
D˚a är matrismultiplikationen av rotationsmatriser ekvivalent med addition av deras<br />
argument,<br />
<br />
.<br />
(14)<br />
R(φ2)R(φ1) = exp (iσ2φ2)exp (iσ2φ1) = exp (iσ2(φ1 + φ2)) = (16)<br />
= R(φ1 + φ2)<br />
Vi söker efter exponentmatriser S s˚adana att<br />
R = exp (iɛS), ɛ → 0 (17)<br />
när gruppelement R är i omgivningen av enhetselementet E. Infinitesimala transformationer<br />
S kallas generatorer av en kontinuerlig grupp.<br />
10
2 Serier<br />
2.1 Grundbegrepp<br />
L˚at<br />
∞<br />
n=1<br />
an vara en serie. Partialsumman SN <strong>och</strong> resttermen RN definieras<br />
SN =<br />
N<br />
an, RN =<br />
n=1<br />
∞<br />
n=N+1<br />
an. (18)<br />
Om talföljden {SN} har ett gränsvärde S, s˚a säges den serien<br />
konvergent (konvergera) <strong>och</strong> ha summan S =<br />
∞<br />
an.<br />
n=1<br />
∞<br />
an vara<br />
Resttermuppskattning innebär att vi uppskattar trunkeringfelet, dvs försöker<br />
finna ett tal R s˚adan att |RN| ≤ R (en övre grans för RN).<br />
∞<br />
Nödvändigt villkor för konvergens av en serie an är<br />
serien<br />
Absolutkonvergent serie. En serie<br />
∞<br />
|an| är konvergent.<br />
n=1<br />
n=1<br />
n=1<br />
lim<br />
n→∞ an = 0. (19)<br />
∞<br />
an kallas absolutkonvergent om den<br />
n=1<br />
Absolutkonvergens medför konvergens. Om serien<br />
s˚a konvergerar ocks˚a den serien<br />
∞<br />
an.<br />
n=1<br />
2.2 Serier med ickenegativa termer<br />
Vi ska betrakta serier med ickenegativa termer<br />
∞<br />
|an| konvergerar,<br />
n=1<br />
∞<br />
an, an ≥ 0. (20)<br />
n=1<br />
11
För en serie med ickenegativa termer ∞<br />
n=1 an gäller<br />
Serien är konvergent → Partialsummorna är upp˚at begränsade (21)<br />
Partialsummorna är upp˚at begränsade → Serien är konvergent. (22)<br />
Jämförelsekriteriet. Antag att 0 ≤ an ≤ bn för alla n. D˚a gäller<br />
∞<br />
bn konvergent →<br />
n=1<br />
∞<br />
an divergent →<br />
n=1<br />
∞<br />
an konvergent, (23)<br />
n=1<br />
∞<br />
bn divergent. (24)<br />
Integralkriteriet. Antag att funktionen f(x) är kontinuerlig, positiv <strong>och</strong> avtagande<br />
för x ≥ 1. D˚a gäller<br />
∞<br />
1<br />
∞<br />
1<br />
f(x)dx konvergent →<br />
f(x)dx divergent →<br />
n=1<br />
∞<br />
f(n) konvergent, (25)<br />
n=1<br />
∞<br />
f(n) divergent. (26)<br />
n=1<br />
Man kan visa att resttermen kan uppskattas<br />
RN = S − SN =<br />
Rotkriteriet. Om gränsvärdet<br />
existerar, s˚a gäller<br />
k < 1 →<br />
k > 1 →<br />
∞<br />
n=N+1<br />
f(n) ≤<br />
lim<br />
n→∞ |an| 1/n = k<br />
∞<br />
N<br />
f(x)dx. (27)<br />
∞<br />
an är absolutkonvergent. (28)<br />
n=1<br />
∞<br />
an är divergent. (29)<br />
n=1<br />
12
Kvotkriteriet. Om gränsvärdet<br />
existerar, s˚a gäller<br />
Exempel 2.1<br />
k < 1 →<br />
k > 1 →<br />
lim<br />
n→∞<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
an+1<br />
an<br />
<br />
<br />
<br />
= k<br />
∞<br />
an är absolutkonvergent. (30)<br />
n=1<br />
Betrakta en alternerande serie<br />
∞ (−1)<br />
S =<br />
n+1<br />
n2 n=1<br />
∞<br />
an är divergent. (31)<br />
n=1<br />
= 1 − 1 1 1<br />
+ − + . . . . (32)<br />
4 9 16<br />
Man kan visa att i det fallet |RN| ≤ |aN+1|. Vi har |aN+1| = 1/(N + 1) 2 <strong>och</strong><br />
|RN| ≤<br />
1<br />
. (33)<br />
(N + 1) 2<br />
Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man ta med för att beräkna S med 3 KD: |RN| ≤<br />
0.5 · 10 −3 , vilket ger en olikhet<br />
Dess lösning är<br />
1<br />
(N + 1) 2 ≤ 0.5 · 10−3 . (34)<br />
N ≥ √ 2 · 10 −3 − 1 = √ 2000 − 1 (35)<br />
<strong>och</strong> man kan ta N = 44 eftersom 44 2 = 1936 < 2000 < 45 2 = 2025.<br />
Exempel 2.2<br />
Betrakta en serie med positiva termer<br />
S =<br />
∞<br />
n=1<br />
1 1 1<br />
= 1 + + + . . . . (36)<br />
n4 16 81<br />
13
Man kan skriva om (36)<br />
S =<br />
∞<br />
n=1<br />
<strong>och</strong> visa att resttermen kan uppskattas<br />
Här<br />
RN ≤<br />
RN = S − SN =<br />
∞<br />
N<br />
f(n), f(x) = 1<br />
x 4 (x ≥ 1) (37)<br />
∞<br />
n=N+1<br />
r<br />
dx<br />
= lim<br />
x4 r→∞<br />
N<br />
= lim<br />
r→∞<br />
=<br />
f(n) ≤<br />
dx<br />
= lim<br />
x4 r→∞<br />
∞<br />
N<br />
r<br />
f(x)dx. (38)<br />
x −4 dx =<br />
N<br />
x−3 r<br />
<br />
<br />
(−3) = −<br />
N<br />
1<br />
3 lim<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
r→∞ r3 N 3<br />
<br />
=<br />
1<br />
. (39)<br />
3N 3<br />
Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man ta med för att beräkna S med 3 KD: |RN| ≤<br />
0.5 · 10 −3 , vilket ger en olikhet<br />
Dess lösning är<br />
−3 2 · 10<br />
N ≥<br />
3<br />
1<br />
3N 3 ≤ 0.5 · 10−3 . (40)<br />
1/3<br />
<br />
2000<br />
=<br />
3<br />
<strong>och</strong> man kan ta N = 9 eftersom 8 < N < 9.<br />
Exempel 2.3<br />
1/3<br />
Betrakta en serie med positiva <strong>och</strong> negativa termer<br />
S =<br />
∞<br />
n=1<br />
an, an = e−bn2<br />
n<br />
≈ 8.7 (41)<br />
sin(cn), (42)<br />
Här är b > 0 <strong>och</strong> c givna tal (parametrar). Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man<br />
ta med för att beräkna S med noggranhet ɛ; dvs, bestäm N s˚adan att<br />
|RN| < ɛ, RN = S − SN =<br />
14<br />
∞<br />
n=N+1<br />
an. (43)
Jämför (42) med en känd serie som har positiva termer, dvs skriv en olikhet<br />
<br />
<br />
e<br />
|an| = <br />
<br />
−bn2<br />
n sin(cn)<br />
<br />
<br />
e−bn2<br />
=<br />
n |sin(cn)| ≤ An = e −bn2<br />
· n (n > 1) (44)<br />
<strong>och</strong> använd (38) för en serie<br />
Vi har<br />
RN =<br />
∞<br />
An ≤<br />
n=N+1<br />
r2 = 1<br />
2 lim<br />
r→∞<br />
(N+1) 2<br />
∞<br />
N+1<br />
S =<br />
∞<br />
An.<br />
n=1<br />
e −bx2<br />
r<br />
xdx = lim e<br />
r→∞<br />
N+1<br />
−bx2<br />
xdx = 1<br />
2 lim<br />
e −bu du = − 1<br />
2b lim<br />
r→∞<br />
r 2<br />
= − 1<br />
2b lim<br />
r→∞ e−bu r2<br />
(N+1) 2 = 1<br />
2b e−b(N+1)2.<br />
Nu lös olikheten<br />
<strong>och</strong> bestäm gränsen för N:<br />
RN < ɛ :<br />
N ><br />
(N+1) 2<br />
e −b(N+1)2<br />
2b<br />
r→∞<br />
r<br />
N+1<br />
e −bx2<br />
dx 2 =<br />
de −bu = (45)<br />
< ɛ<br />
<br />
1 1<br />
ln − 1. (46)<br />
b 2bɛ<br />
Om t ex b = 1 <strong>och</strong> ɛ = 10−4 , f˚ar vi<br />
<br />
N > ln 10000<br />
− 1 = 2.9184 . . . . (47)<br />
2<br />
D˚a är det tillräckligt att ta med tre termer för att beräkna S i (42) (om b = 1 <strong>och</strong><br />
c är ett godtyckligt tal) med noggranheten ɛ = 10 −4 .<br />
Kolla resultatet (ta c = 1 <strong>och</strong> räkna med fyra KD):<br />
<strong>och</strong><br />
S ≈<br />
S ≈<br />
2 e−n2 n=1<br />
3 e−n2 n=1<br />
n sin n = e−1 sin 1 + e−4<br />
2<br />
n sin n = e−1 sin 1 + e−4<br />
2<br />
15<br />
sin 2 + e−9<br />
3<br />
sin 2 = 0.7011<br />
sin 3 = 0.7011,
eftersom<br />
e −9<br />
3 sin 3 < 0.5 · 10−4 .<br />
Om b = 2 <strong>och</strong> ɛ = 10−4 , f˚ar vi<br />
<br />
1 10000<br />
N > ln − 1 = 1.9778 . . . . (48)<br />
2 4<br />
D˚a är det tillräckligt att ta med tv˚a termer.<br />
2.3 Funktionsserier<br />
∞<br />
uk(x) kallas en funktionsserie; här är termen uk = uk(x) en funktion av vari-<br />
k=1<br />
abeln x. Partialsumman Sn = Sn(x) <strong>och</strong> resttermen Rn = Rn(x) definieras<br />
Sn(x) =<br />
n<br />
uk(x), Rn(x) =<br />
k=1<br />
∞<br />
k=n+1<br />
uk(x). (49)<br />
Om till varje x ∈ [a, b] har funktionsföljden {Sn(x)} ett gränsvärde S = S(x),<br />
∞<br />
s˚a säges den funktionsserien uk(x) vara konvergent (konvergera) <strong>och</strong> ha sum-<br />
man S(x) =<br />
∞<br />
uk(x).<br />
k=1<br />
k=1<br />
2.4 Likformig konvergens<br />
Definition. Om till varje tal ɛ > 0 finns det ett heltal N oberoende av x ∈ [a, b]<br />
s˚adant att<br />
|Sn(x) − S(x)| < ɛ för alla n ≥ N <strong>och</strong> a ≤ x ≤ b, (50)<br />
kallas funktionsserien likformigt konvergent i intervallet [a, b].<br />
Weierstrass’ jämförelsekriteriet (M-kriteriet). Antag att |un(x)| ≤ an<br />
för alla x ∈ [a, b]. D˚a gäller<br />
∞<br />
an konvergent →<br />
n=1<br />
∞<br />
un(x) likformigt konvergent, x ∈ [a, b]. (51)<br />
n=1<br />
16
2.5 Potensserier<br />
En funktionsserie av den speciella typen<br />
∞<br />
an(x − x0) n<br />
n=0<br />
kallas en potensserie. Den geometriska serien<br />
<strong>och</strong> x0 = 0.<br />
För varje potensserie<br />
(52)<br />
∞<br />
ax k är en potensserie med ak = a<br />
k=1<br />
∞<br />
an(x − x0) n gäller: det finns ett icke-negativt tal R<br />
n=1<br />
s˚adant att potensserien absolutkonvergent för alla x med |x−x0| < R <strong>och</strong> divergent<br />
∞<br />
för alla x med |x − x0| > R. Här R = 0 om an(x − x0) n konvergerar endats för<br />
x = x0 <strong>och</strong> R = ∞ om<br />
n=1<br />
∞<br />
an(x − x0) n konvergerar för alla reella x.<br />
n=1<br />
Talet R ≥ 0 kallas konvergensradie <strong>och</strong> intervallet |x − x0| < R kallas kon-<br />
∞<br />
vergensintervall till potensserie an(x − x0) n (som konvergerar inom intervallet<br />
|x − x0| < R).<br />
För konvergensradien gäller<br />
n=1<br />
1<br />
R<br />
1<br />
R<br />
= lim<br />
n→∞ |an| 1/n , (53)<br />
= lim<br />
n→∞<br />
Exempel 2.4 Geometriska serien.<br />
Varje polynom av formen<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x n − 1<br />
an+1<br />
an<br />
<br />
<br />
<br />
, (54)<br />
har uppenbart nollstället 1 <strong>och</strong> är därmed enligt faktorsatsen jämnt delbart med<br />
x − 1:<br />
x n − 1 = (x − 1)(x n−1 + x n−2 + · · · + x + 1). (55)<br />
D˚a kan man beräkna en geometrisk summa med kvoten x<br />
<br />
a + ax + ax 2 + · · · + ax n−1 n−1<br />
=<br />
17<br />
k=0<br />
ax k 1 − xn<br />
= a<br />
1 − x<br />
(56)
<strong>och</strong> visa att geometriska serien<br />
∞<br />
ax k<br />
k=0<br />
är konvergent om |x| < 1 (divergent om |x| ≥ 1) <strong>och</strong><br />
∞<br />
ax k = a 1<br />
1 − x = a(1 − x)−1 , |x| < 1. (57)<br />
k=0<br />
T ex, om x = 3/4 <strong>och</strong> a = 1, den geometriska serien<br />
∞<br />
k 3 1<br />
= = 4. (58)<br />
4 1 − (3/4)<br />
Den geometriska serien<br />
k=0<br />
∞<br />
ax n är en potensserie med an = a (a = 0) som har<br />
n=1<br />
konvergensintervallet |x| < 1 <strong>och</strong> konvergensradien R = 1, eftersom<br />
Exempel 2.5<br />
1<br />
R<br />
Betrakta en geometrisk serie<br />
a<br />
= lim<br />
n→∞ a<br />
= 1.<br />
∞<br />
x n i intervallet |x| ≤ q, där 0 < q < 1 Vi har<br />
n=0<br />
|un(x)| = |x| n ≤ an = q n<br />
för alla x ∈ [0, q]. D˚a gäller, enligt M-kriteriet,<br />
∞<br />
q n konvergent →<br />
∞<br />
un(x) likformigt konvergent (59)<br />
n=1<br />
i intervallet |x| ≤ q.<br />
Exempel 2.6<br />
Visa att den geometriska serien<br />
(−1, 1). Partialsumman<br />
Sn = Sn(x) =<br />
n<br />
x k =<br />
k=0<br />
n=1<br />
∞<br />
x k inte är likformigt konvergent i intervallet<br />
k=0<br />
1 − xn+1<br />
1 − x<br />
18<br />
1<br />
=<br />
1 − x − xn+1 1<br />
. (60)<br />
1 − x
Till varje x ∈ (−1, 1) har funktionsföljden {Sn(x)} ett gränsvärde<br />
S = S(x) = 1<br />
1 − x<br />
<strong>och</strong> resttermens absolutbelopp<br />
= lim<br />
n→∞<br />
1<br />
1 − x − xn+1 1<br />
1 − x<br />
<br />
,<br />
|Sn(x) − S(x)| = |x| n+1 1<br />
. (61)<br />
1 − x<br />
Vi ser att till varje tal ɛ > 0 finns det ett värde x ∈ (−1, 1) i omgivningen av x = 1<br />
s˚adant att |x| n+1 ≈ 1, δ = 1 − x är infinitesimalt <strong>och</strong><br />
Exempel 2.7<br />
Visa att Dirichlets serie<br />
s ≤ x < ∞, där s > 1. Vi har<br />
Serien<br />
∞<br />
n=1<br />
n+1 1<br />
|Sn(x) − S(x)| = |x|<br />
δ<br />
∞<br />
n=1<br />
s ≤ x → n x ≥ n s<br />
→ 1 1<br />
≤ .<br />
nx ns 1<br />
> ɛ om δ < . (62)<br />
ɛ<br />
1<br />
är likformigt konvergent i intervallet [s, ∞) :<br />
nx (n = 1, 2, . . . ) →<br />
1<br />
1<br />
är konvergent enligt integralkriteriet: funktionen f(x) = är kon-<br />
ns xs tinuerlig, positiv <strong>och</strong> avtagande för x > 1 <strong>och</strong> den generaliserade integralen ∞<br />
1<br />
är konvergent, eftersom<br />
∞<br />
Vidare, enligt M-kriteriet,<br />
∞<br />
n=1<br />
1<br />
r<br />
dx<br />
= lim<br />
xs r→∞<br />
1<br />
1<br />
n s konvergent →<br />
x −s dx =<br />
x<br />
= lim<br />
r→∞<br />
1−s<br />
r<br />
<br />
<br />
1 − s<br />
=<br />
1<br />
1<br />
s − 1 lim<br />
<br />
1 −<br />
r→∞<br />
1<br />
rs−1 <br />
=<br />
1<br />
= (s > 1).<br />
s − 1<br />
∞<br />
n=1<br />
1<br />
n x<br />
likformigt konvergent, x ∈ [s, ∞).<br />
19<br />
dx<br />
x s
Exempel 2.8<br />
∞ 1<br />
Visa att serien<br />
är likformigt konvergent i intervallet [s, ∞) : s ≤<br />
1 + xn n=0<br />
x < ∞, där s > 1. Vi har<br />
lim<br />
n→∞<br />
lim<br />
n→∞<br />
1<br />
= 1 = 0 om 0 ≤ x < 1,<br />
1 + xn 1 1<br />
=<br />
1 + xn 2<br />
= 0 om x = 1,<br />
s˚a att serien divergerar om 0 ≤ x ≤ 1, eftersom det nödvändiga villkoret för<br />
∞<br />
konvergens av en serie an är<br />
Serien<br />
n=1<br />
lim<br />
n→∞ an = 0.<br />
Vidare, använd olikheterna <strong>och</strong> sedan M-kriteriet<br />
x ≥ s → x n ≥ s n → 1 + x n ≥ 1 + s n<br />
→<br />
→<br />
1 1<br />
≤ →<br />
1 + xn 1 + sn 1 1<br />
≤<br />
1 + sn sn = qn , q = 1<br />
s<br />
< 1.<br />
∞<br />
q n , q < 1, är konvergent. D˚a är serien<br />
n=0<br />
i intervallet x ∈ [s, ∞) enligt M-kriteriet.<br />
Exempel 2.9<br />
Visa att serien<br />
∞<br />
n=0<br />
(n = 1, 2, . . . , s > 1) →<br />
1<br />
likformigt konvergent<br />
1 + xn ∞<br />
an cos nx är likformigt konvergent i intervallet (−∞, ∞),<br />
n=0<br />
dvs, för alla reella x, om serien<br />
Vi använder M-kriteriet. Här<br />
D˚a gäller<br />
∞<br />
|an| konvergent →<br />
n=1<br />
∞<br />
an är absolutkonvergent.<br />
n=0<br />
|un(x)| = |an|| cos nx| ≤ |an| för alla x.<br />
∞<br />
an cos nx likformigt konvergent för alla x.<br />
n=1<br />
20
Exempel 2.10<br />
De serierna<br />
är potensserier med<br />
cos x =<br />
sin x =<br />
∞<br />
n=0<br />
∞<br />
n=0<br />
(−1) n<br />
(2n)! x2n ,<br />
(−1) n<br />
(2n + 1)! x2n+1<br />
a2n = (−1)n<br />
(2n)! , a2n+1 = 0 (n = 0, 1, 2, . . . )<br />
a2n+1 =<br />
(−1) n<br />
(2n + 1)! , a2n = 0 (n = 0, 1, 2, . . . ),<br />
som har konvergensintervallet |x| < ∞ <strong>och</strong> konvergensradien R = ∞ (dvs konvergerar<br />
för alla reella x), eftersom, t ex<br />
1<br />
R<br />
= lim<br />
n→∞ |a2n| 1/n = lim<br />
n→∞<br />
2.6 Geometriska matrisserien<br />
1<br />
= 0.<br />
((2n)!) 1/n<br />
Man kan generalisera (57) <strong>och</strong> f˚a geometriska matrisserien genom att använda<br />
matrispotenser, matrisaddition <strong>och</strong> definition av konvergens i matrisnormer. D˚a<br />
f˚ar man<br />
∞<br />
k=1<br />
A m = lim<br />
m→∞<br />
m<br />
k=1<br />
där A är en kvadratisk matris av typ n × n.<br />
2.7 Problem<br />
Problem 14.1<br />
A m = (I − A) −1 , ||A|| < 1, (63)<br />
Bestäm hur m˚anga termer m˚aste man ta med för att beräkna S med tre <strong>och</strong> fyra<br />
21
KD:<br />
a) S =<br />
b) S =<br />
c) S =<br />
∞ (−1) n+1<br />
;<br />
n<br />
∞ 1<br />
;<br />
n3 ∞ sin n<br />
;<br />
n2 n=1<br />
n=1<br />
n=1<br />
3 Grundbegrepp av komplex analys. Analytiska<br />
funktioner<br />
3.1 Komplexa tal<br />
Mängden av komplexa tal z = x + iy, där x <strong>och</strong> y är reella tal <strong>och</strong> i är imaginära<br />
enheten (i 2 = −1), kan betraktas som mängden av reella talpar<br />
z ≡ (x, y)<br />
Observera att (x, y) = (y, x) (x + iy = y + ix). x = Re z <strong>och</strong> y = Im z kallas<br />
resp. realdelen <strong>och</strong> imaginärdelen av komplexa talet z = x + iy. Realdelen <strong>och</strong><br />
imaginärdelen betecknas ocks˚a x = ℜz <strong>och</strong> y = ℑz.<br />
Addition av komplexa tal definieras komponentvis<br />
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i.<br />
Multiplikation av komplexa tal definieras<br />
Särskild<br />
z1z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2).<br />
i 2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 − 1 · 1, 0 + 0) = −1.<br />
3.1.1 Konjugerade komplexa talet<br />
Om vi har ett komplext talet z = x + iy, d˚a kallas<br />
z ∗ = x − iy<br />
det konjugerade komplexa talet z ∗ kallas ocks˚a z konjugerat eller konjugatet till<br />
talet z = x + iy.<br />
22
3.1.2 Geometrisk tolkning av komplexa tal. Absolutbeloppet<br />
Det komplexa talet z = x + iy kan tolkas i planet, försett med ett ortonormerat<br />
(cartesiskt) koordinatsystem, antingen som punkten (ett reellt talpar) (x, y) med<br />
koordinaterna x, y eller som vektorn z med komponenterna x, y. I detta sammanhang<br />
kallas planet det komplexa talplanet (eller z-planet).<br />
Absolutbeloppet av det komplexa talet z = x + iy definieras |z| = x 2 + y 2 .<br />
|z| kan tolkas som längden av vektorn z. |z1 −z2| kan därför tolkas som längden<br />
av vektorn z1 − z2, dvs avst˚andet mellan punkterna z1 <strong>och</strong> z2. Uppenbarligen är<br />
|z1 − z2| = |z2 − z1| <strong>och</strong> | − z| = |z|.<br />
Observera att<br />
zz ∗ = (x + iy)(x − iy) = x 2 + y 2 = |z| 2 .<br />
Sats 3.1 (dubbelsidiga triangelolikheten). För tv˚a godtyckliga komplexa tal z1<br />
<strong>och</strong> z2 gäller<br />
|z1| − |z2| ≤ ||z1| − |z2|| ≤ |z1 ± z2| ≤ |z1| + |z2| (64)<br />
Bevis. Olikheten |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| gäller, eftersom summan av tv˚a sidors<br />
längder i en triangel alltid är större än längden av den tredje sidan.<br />
Olikheten ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| gäller enligt följande:<br />
|z1| = |(z1 − z2) + z2| ≤ |z1 − z2| + |z2| →<br />
|z1| − |z2| ≤ |z1 − z2| som kan skrivas<br />
|z2 − z1| ≥ −(|z1| − |z2|) eller<br />
||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| (65)<br />
Olikheten ||z1| − |z2|| ≤ |z1 + z2| gäller enligt följande:<br />
Exempel 3.1<br />
|z1 + z2| = |z1 − (−z2)| ≥ ||z1| − | − z2|| = ||z1| − |z2||.<br />
Tag komplexa talen z1 = x1 + iy1 = 1 + 2i <strong>och</strong> z2 = x2 + iy2 = 4 − 3i. Vi har<br />
|z1| =<br />
<br />
|z1 − z2| = x2 2 + y2 2 = √ 9 + 25 = √ 34,<br />
z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2) = −3 + 5i,<br />
|z1| − |z2| = √ 5 − 5 < 0.<br />
23<br />
<br />
x 2 1 + y 2 1 = √ 5, |z2| =<br />
<br />
x 2 2 + y 2 2 = √ 25 = 5,
Den dubbelsidiga triangelolikheten (64) ger allts˚a<br />
|z1| − |z2| = √ 5 − 5 ≤ ||z1| − |z2|| = | √ 5 − 5| ≤ |z1 − z2| =<br />
eller med 2 decimaler<br />
3.1.3 Polär form av komplexa tal<br />
= √ 34 ≤ |z1| + |z2| = √ 5 + 5. (66)<br />
−2.76 < 2.76 < 5.10 < 5.83 < 7.24.<br />
Det komplexa talet z = x + iy som tolkas som vektorn z med komponenterna x, y<br />
kan framställas i polär form<br />
z = x + iy = re iθ = r(cos θ + i sin θ) (67)<br />
där r = |z| <strong>och</strong> θ = arg z (argumentet för z). Argumentet θ = θ0 + n · 2π, där n är<br />
ett godtyckligt heltal, <strong>och</strong> man kan välja n s˚a att −π < θ ≤ π. θ0 = arctan y/x<br />
kallas argumentets principalvärde.<br />
Exempel 3.2<br />
Skriv p˚a polär form<br />
z = 1 = cos 0 + i sin 0 = cos 2π + i sin 2π = e i0 = e 2iπ ,<br />
z =<br />
π<br />
i<br />
i = cos π/2 + i sin π/2 = e 2 ,<br />
z = −1 = cos π + i sin π = e iπ ,<br />
3π<br />
i<br />
z = −i = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = e 2 ,<br />
z = 2 − 2i = 2 √ 2<br />
3.1.4 De Moivres formel<br />
Man kan skriva ocks˚a<br />
√<br />
2<br />
2 −<br />
√<br />
2<br />
2 i<br />
<br />
= (68)<br />
= 2 √ 2(cos 7π/4 + i sin 7π/4) = 2 √ 7π<br />
i<br />
2e 4 .<br />
(cos θ + i sin θ) n = (cos nθ + i sin nθ) (69)<br />
z n = (re iθ ) n = r n (cos nθ + i sin nθ). (70)<br />
24
3.2 Komplexvärd funktion av en komplex variabel<br />
En komplexvärd funktion f = f(z) av den komplexa variabeln z säges föreligga om<br />
mot varje komplext tal z i en given mängd Df svarar ett eller flera komplexa tal<br />
w = f(z). Df kallas funktionens definitionsmängd.<br />
En komplex funktion f = f(z) av den komplexa variabeln z kallas entydig om<br />
mot varje z i Df svarar ett <strong>och</strong> endast ett w = f(z).<br />
En komplex funktion f = f(z) av z kallas flertydig om mot varje z i Df svarar<br />
flera w = f(z).<br />
Exempel 3.3<br />
f(z) = z 2 är en entydig funktion. Funktionens definitionsmängd är hela komplexa<br />
planet C: Df = C.<br />
Exempel 3.4<br />
Den exponentialfunktionen definieras<br />
e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), (71)<br />
a z = e z ln a = e (x+iy) ln a = e x ln a [cos(y ln a) + i sin(y ln a)] = (72)<br />
= a x [cos(y ln a) + i sin(y ln a)] (a > 0).<br />
Den logaritmiska funktionen definieras<br />
ln z = ln(re iθ ) = ln |z| + iarg z = ln r + iθ. (73)<br />
f(z) = ln z är en flertydig funktion eftersom<br />
ln z = ln(re iθ ) = ln r + i(θ + 2πn), n = 0, ±1, ±2, . . . ,<br />
<strong>och</strong> den har oändligt m˚anga värden för varje z = 0.<br />
L˚at z = x + iy = re iθ = 0 <strong>och</strong> w = u + iv. Den potensfunktionen definieras<br />
z w = e w ln z = e (u+iv)(ln |z|+iarg z =<br />
Om v = 0 (w = u), f˚ar vi<br />
= e u ln |z|−varg z e i[v ln |z|+uarg z] = (74)<br />
= |z| u e −varg z [cos(v ln |z| + uarg z) + i sin(v ln |z| + uarg z)].<br />
z w = z u = |z| u [cos(uarg z) + i sin(uarg z)]. (75)<br />
Om y = 0 <strong>och</strong> x > 0 (dvs arg z = 0), f˚ar vi<br />
z w = x w = x u [cos(v ln x) + i sin(v ln x)], (76)<br />
25
<strong>och</strong> (75) sammanfaller med (72). Om y = 0, v = 0 <strong>och</strong> x > 0 (dvs arg z = arg w =<br />
0), f˚ar vi<br />
Exempel 3.5<br />
z w = x u .<br />
Om t är en reell variabel (ℑt = 0), vi har, enligt (70),<br />
cos t = eit + e −it<br />
2<br />
<strong>och</strong> man kan definiera funktionerna sin z <strong>och</strong> cos z<br />
cos z = eiz + e −iz<br />
2<br />
<strong>och</strong> hyperboliska funktionerna sinh z <strong>och</strong> cosh z<br />
Vi har ocks˚a<br />
, sin t = eit − e−it . (77)<br />
2<br />
, sin z = eiz − e−iz . (78)<br />
2i<br />
cosh z = ez + e−z , sinh z =<br />
2<br />
ez − e−z . (79)<br />
2<br />
cos it = e−t + et = cosh t,<br />
2<br />
(80)<br />
sin it = e−t − et = −i<br />
2i<br />
e−t − et = i sinh t.<br />
2<br />
3.2.1 Real- <strong>och</strong> imaginärdel till en komplex funktion<br />
Betrakta en komplex funktion w = f(z) av den komplexa variabeln z, där z = x+iy<br />
<strong>och</strong> w = u + iv. D˚a är<br />
Härav f˚as<br />
u + iv = f(x + iy). (81)<br />
ℜf(x + iy) = u = u(x, y), ℑf(x + iy) = v = v(x, y) (82)<br />
där u(x, y) <strong>och</strong> v(x, y) är reellvärda funktioner av tv˚a rella variabler x <strong>och</strong> y. (81)<br />
kan allts˚a skrivas<br />
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). (83)<br />
26
Funktionerna u(x, y) <strong>och</strong> v(x, y) kallasreal- resp. imaginärdelen till den komplexa<br />
funktionen f(z).<br />
s˚a att<br />
Exempel 3.6<br />
f(z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 − y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y), (84)<br />
ℜf = u(x, y) = x 2 − y 2 , ℑf = v(x, y) = 2xy.<br />
Exempel 3.7<br />
Använd (80) <strong>och</strong> bestäm<br />
sin z = sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y (85)<br />
cos z = cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y,<br />
ℜ sin z = sin x cosh y, ℑ sin z = cos x sinh y.<br />
ℜ cos z = cos x cosh y, ℑ cos z = − sin x sinh y.<br />
3.3 Analytiska funktioner. Cauchy–Riemanns ekvationer<br />
3.3.1 Gränsvärden<br />
Definition. Antag att f(z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln<br />
z <strong>och</strong> z0 är en punkt som tillhör antingen definitionsmängden Df eller dess<br />
randkurva. Om till varje tal ɛ > 0 finns det ett tal δ > 0 s˚adant att<br />
|f(z) − w0| < ɛ om 0 < |z − z0| < δ, z ∈ Df, (86)<br />
kallas w0 funktionens gränsvärde d˚a z → z0 <strong>och</strong> betecknas<br />
lim f(z) = w0. (87)<br />
z→z0<br />
OBS! Denna definition kräver ingenting för z = z0.<br />
Definitionen innebär att oberoende av hur z → z0 (z g˚ar mot z0) s˚a skall<br />
f(z) → w0.<br />
27
3.3.2 Derivata<br />
Definition. Antag att f(z) en entydig komplex funktion av den komplexa variabeln<br />
z p˚a ett öppet omr˚ade Ω <strong>och</strong> att z ∈ Ω. D˚a definieras derivatan f ′ (z) i<br />
punkten z som gränsvärdet<br />
f ′ (z) = lim<br />
∆z→0<br />
f(z + ∆z) − f(z)<br />
. (88)<br />
∆z<br />
OBS! Enligt gränsvärdetsdefinitionen skall gränsvärdet (88) vara oberoende<br />
av hur ∆z → 0 genom komplexa värden. Detta är mycket strängare krav än det<br />
som gäller vid definitionen av derivata till en funktion av en reell variabel.<br />
Exempel 3.8<br />
Bestäm derivatan f ′ (z) till funktionen f(z) = z 2 :<br />
f ′ (z + ∆z)<br />
(z) = lim<br />
∆z→0<br />
2 − z2 Exempel 3.9<br />
= lim<br />
∆z→0<br />
∆z<br />
z 2 + 2z∆z + ∆z 2 − z 2<br />
∆z<br />
= (89)<br />
= lim (2z + ∆z) = 2z.<br />
∆z→0<br />
Bestäm derivatan f ′ (z) till konjugatet till talet z = x + iy, f(z) = z ∗ = x − iy:<br />
f ′ (z + ∆z)<br />
(z) = lim<br />
∆z→0<br />
∗ − z∗ ∆z<br />
z ∗ + (∆z) ∗ − z ∗<br />
=<br />
(∆z)<br />
= lim<br />
∆z→0<br />
∗<br />
= lim<br />
∆z→0 ∆z<br />
∆z =<br />
(1) =<br />
(∆x<br />
lim<br />
∆x→0<br />
∗ (∆x<br />
= lim = 1<br />
∆x ∆x→0 ∆x<br />
(∆z = ∆x),<br />
(2) =<br />
(i(∆y)<br />
lim<br />
∆z→0<br />
∗ (−i∆y<br />
= lim = −1<br />
i∆y ∆z→0 i∆y<br />
(∆z = i∆y), (90)<br />
<strong>och</strong> derivatan till f(z) = z ∗ existerar inte.<br />
3.3.3 Cauchy–Riemanns ekvationer<br />
Antag att f(z) = u(x, y) + iv(x, y) är definierad <strong>och</strong> entydig p˚a en cirkelskiva<br />
|z − z0| < δ kring en punkt z0 = x0 + iy0 <strong>och</strong> f ′ (z0) existerar. D˚a gäller Cauchy–<br />
Riemanns ekvationer<br />
u ′ x(x0, y0) = v ′ y(x0, y0), u ′ y(x0, y0) = −v ′ x(x0, y0), (91)<br />
f ′ (z0) = u ′ x(x0, y0) + iv ′ x(x0, y0) = v ′ y(x0, y0) − iu ′ y(x0, y0). (92)<br />
28
Exempel 3.10<br />
Betrakta f(z) = z 2 <strong>och</strong> kolla Cauchy–Riemanns ekvationer:<br />
f(z) = z 2 = (x + iy) 2 = (x 2 − y 2 ) + i(2xy) = u(x, y) + iv(x, y), (93)<br />
u ′ x = v ′ y = 2x, u ′ y = −v ′ x = −2y.<br />
3.3.4 Analytiska funktioner<br />
Funktionen f(z) kallas analytisk i punkten z0 om f ′ (z) existerar p˚a n˚agon cirkelskiva<br />
|z − z0| < δ.<br />
Funktionen f(z) kallas analytisk p˚a omr˚adet Ω om f(z) är analytisk i alla<br />
punkter i Ω.<br />
Exempel 3.11<br />
Funktionen f(z) = z 2 är analytisk i varje punkt z ∈ C <strong>och</strong> därmed analytisk<br />
p˚a omr˚adet C. Funktionen f(z) = z ∗ är däremot inte analytisk i n˚agon punkt.<br />
Vi ser att om en funktion f(z) är analytisk i punkten z0, d˚a gäller Cauchy–<br />
Riemanns ekvationer. För att f˚a en omvändning m˚aste vi lägga till en förutsättning<br />
enligt följande.<br />
Antag att<br />
(1) f(z) = u(x, y)+iv(x, y) är definierad <strong>och</strong> entydig p˚a en cirkelskiva |z−z0| < δ<br />
kring punkten z0 = x0 + iy0,<br />
(2) u ′ x(x, y), u ′ y(x, y), v ′ x(x, y) <strong>och</strong> v ′ y(x, y) existerar p˚a cirkelskivan |z − z0| < δ<br />
<strong>och</strong> kontinuerliga i punkten z0,<br />
(3) Cauchy–Riemanns ekvationer är uppfylda i punkten (x0, y0).<br />
D˚a existerar derivatan<br />
f ′ (z0) = u ′ x(x0, y0) + iv ′ x(x0, y0) = v ′ y(x0, y0) − iu ′ y(x0, y0). (94)<br />
Exempel 3.12<br />
Betrakta en analytisk funktion f(z) = u(x, y) + iv(x, y). P˚aminn att vektorfunktionen<br />
grad f(x, y) = ∇f = ∂f<br />
∂x<br />
= [ ∂f ∂f<br />
,<br />
∂x ∂y ]<br />
29<br />
∂f<br />
i + j =<br />
∂y
kallas gradienten av en (deriverbar skalär) funktion f(x, y). Vi har<br />
grad u(x, y) = [ ∂u ∂u<br />
,<br />
∂x ∂y ],<br />
grad v(x, y) = [ ∂v ∂v<br />
,<br />
∂x ∂y ].<br />
I ortogonala koordinatsystem (i planet) q1, q2,<br />
gäller villkoret<br />
där<br />
q1 = q1(x, y), q2 = q2(x, y),<br />
g12 = g21 = 0,<br />
g12 = g21 = ∂q1 ∂q1 ∂q2 ∂q2<br />
+<br />
∂x ∂y ∂x ∂y .<br />
Man kan betrakta realdelen <strong>och</strong> imaginärdelen till den analytiska funktionen f(z) =<br />
u(x, y) + iv(x, y) som ett koordinatsystem u, v (i planet)<br />
u = u(x, y), v = v(x, y),<br />
D˚a f˚ar man enligt Cauchy–Riemanns ekvationer (91)<br />
∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v<br />
+ = −∂v + = 0.<br />
∂x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y<br />
Detta innebär att u, v är ett ortogonalt koordinatsystem, dvs u(x, y) = c1 <strong>och</strong><br />
v(x, y) = c2 är ortogonala kurvor (se Ex. 6.2.1).<br />
P˚aminn att om grad f = 0 s˚a är grad f en normalvektor till niv˚akurvan<br />
f(x, y) = c. D˚a är grad u ortogonal mot kurvan u(x, y) = c1 <strong>och</strong> grad v ortogonal<br />
mot kurvan v(x, y) = c2 <strong>och</strong> grad u <strong>och</strong> grad v är ortogonala.<br />
3.4 Cauchys integralformel<br />
3.4.1 Komplexa kurvintegraler<br />
Antag att C är en kontur z = z(t), a ≤ t ≤ b, fr˚an punkten z1 = z(a) till punkten<br />
z2 = z(b), <strong>och</strong> f(z) är en komplexvärd kontinuerlig (eller styckevis kontinuerlig)<br />
funktion definierad p˚a C (dvs f(z(t)) är kontinuerlig eller styckevis kontinuerlig<br />
funktion av t p˚a [a, b]). D˚a definieras konturintegralen<br />
b<br />
f(z)dz = f(z(t))z ′ (t)dt. (95)<br />
C<br />
a<br />
30
En komplex kurvintegral av f(z) = u + iv kan definieras som kurvintegralen<br />
av vektorfunktionen F(r) = [u, v]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f(z)dz = F(r)·dr = (u+iv)(dx+idy) = (udx−vdy)+i (vdx+udy).<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
Exempel 3.13<br />
Beräkna <br />
C z2dz d˚a C är linjesegmentet fr˚an 0 till 2 + i:<br />
C = {z : z = (2 + i)t, 0 ≤ t ≤ 1}.<br />
Vi har z ′ = ((2 + i)t) ′ = 2 + i <strong>och</strong><br />
<br />
z<br />
C<br />
2 1<br />
dz = (2 + i)<br />
0<br />
2 t 2 (2 + i)dt = (2 + i) 3<br />
1<br />
t=1<br />
3 t3 <br />
0<br />
= (2 + i)<br />
<br />
3 <br />
t=0<br />
= 1<br />
3 (2 + i)3 = 2 11<br />
+<br />
3 3 i.<br />
t 2 dt =<br />
Exempel 3.14<br />
Beräkna <br />
1dz<br />
d˚a C är enhetscirkeln (ett varv i positiv led)<br />
C z<br />
C = {z : z = eit , 0 ≤ t ≤ 2π}.<br />
Vi har z ′ = ieit <strong>och</strong><br />
2π<br />
1 ie<br />
dz =<br />
C z 0<br />
it 2π<br />
dt = i dt = 2πi. (96)<br />
eit 0<br />
Exempel 3.15<br />
Beräkna 1<br />
<br />
2πi C zndz d˚a C är cirkeln (ett varv i positiv led)<br />
C = {z : z = reit , 0 ≤ t ≤ 2π}.<br />
Vi har z ′ = ire it <strong>och</strong><br />
1<br />
2πi<br />
<br />
C<br />
z n dz = 1<br />
2πi<br />
= rn+1<br />
2π 0<br />
=<br />
rn+1 2i(n + 1)π<br />
2π<br />
r<br />
0<br />
n e int ire it dt =<br />
2π<br />
e i(n+1)t dt = rn+1<br />
2π<br />
1<br />
i(n + 1) ei(n+1)t t=2π<br />
= (97)<br />
t=0<br />
[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t]|t=2π<br />
t=0<br />
om n = −1. Om n = −1,<br />
<br />
1<br />
z<br />
2πi C<br />
n dz = 1<br />
<br />
1 1<br />
dz = 2πi<br />
2πi C z 2πi<br />
31<br />
= 0<br />
= 1. (98)
Uppskattning av absolutbeloppet av en komplex integral. Antag att C<br />
är en given kontur med längden L(C), f(z) är kontinuerlig p˚a C <strong>och</strong> |f(z)| ≤ M<br />
p˚a C. D˚a är<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f(z)dz<br />
≤ ML(C). (99)<br />
3.4.2 Cauchys integralsats<br />
C<br />
Om f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a en enkel, sluten kontur C, s˚a är<br />
<br />
f(z)dz = 0. (100)<br />
3.4.3 Cauchys integralformel<br />
C<br />
Om f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a en enkel, sluten kontur C <strong>och</strong> z0 är en godtycklig<br />
punkt inom C, d˚a är<br />
f(z0) = 1<br />
<br />
f(z)<br />
dz. (101)<br />
2πi C z − z0<br />
Exempel 3.16<br />
Beräkna <br />
z<br />
(9−z2 dz d˚a C är cirkeln (ett varv i positiv led)<br />
)(z+i)<br />
C<br />
C = {z : |z| = 2, : z = 2eit , 0 ≤ t ≤ 2π}.<br />
Sätt<br />
f(z) = z<br />
.<br />
9 − z2 f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a C. Vi har<br />
<br />
z<br />
(9 − z2 <br />
dz =<br />
)(z + i)<br />
f(z)<br />
−i π<br />
dz = 2πif(−i) = 2πi = .<br />
z + i 9 − i2 5<br />
(102)<br />
C<br />
3.4.4 Cauchys generella integralformel<br />
C<br />
Om f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a en enkel, sluten kontur C <strong>och</strong> z0 är en godtycklig<br />
punkt inom C, d˚a existerar derivatan f (n) (z) för alla n ≥ 1 <strong>och</strong><br />
f (n) (z0) = n!<br />
<br />
f(z)<br />
dz. (103)<br />
2πi (z − z0) n+1<br />
C<br />
32
Cauchys uppskattning av f (n) (z). Om f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a cirkelskivan<br />
Dr = {z : |z − z0| < r} <strong>och</strong> |f(z)| ≤ Mr p˚a cirkeln Cr = {z : |z − z0| = r},<br />
d˚a är<br />
|f (n) (z)| ≤ Mrn!<br />
, n = 0, 1, 2, . . . . (104)<br />
rn Man kan uppskatta derivatorna |f ′ (z)| (n = 1) <strong>och</strong> |f ′′ (z)| (n = 2):<br />
Exempel 3.17<br />
|f ′ (z)| ≤ Mr<br />
r , |f ′′ (z)| ≤ 2Mr<br />
. (105)<br />
r2 L˚at f(z) = e2z <strong>och</strong> l˚at C vara en cirkel C = {z : |z| = r, r > 1}. Beräkna<br />
<br />
Vi har<br />
<br />
C<br />
8e 2z0<br />
<br />
f (3) (z0) = (e 2z ) (3) = 8e 2z ,<br />
z0=−1<br />
= 3!<br />
2πi<br />
e2z πi<br />
dz =<br />
(z + 1) 4<br />
Exempel 3.18<br />
<br />
C<br />
C<br />
e2z dz.<br />
(z + 1) 4<br />
f(z)<br />
(z − z0) 4<br />
<br />
<br />
<br />
3 8e−2 = 8πi<br />
.<br />
3e2 z0=−1<br />
dz = 3<br />
<br />
πi C<br />
e2z dz, (106)<br />
(z + 1) 4<br />
Om |f(z)| ≤ 1 p˚a cirkeln C = {z : |z| = 2} <strong>och</strong> f(z) är analytisk inom<br />
cirkelskivan D2 = {z : |z| < 2}, s˚a m˚aste, enligt (105),<br />
|f ′ (z)| ≤ 1<br />
2 , |f ′′ 1 · 2 1<br />
(z)| ≤ = , (107)<br />
22 2<br />
|f ′′′ 1 · 1 · 2 · 3<br />
(z)| ≤<br />
23 = 3<br />
4 .<br />
3.5 Taylors <strong>och</strong> Laurents utveckling<br />
3.5.1 Komplexa serier<br />
∞<br />
L˚at<br />
k=1<br />
uk vara en komplex serie. Partialsumman Sn <strong>och</strong> resttermen Rn definieras<br />
Sn =<br />
n<br />
uk, Rn = S − Sn =<br />
k=1<br />
33<br />
∞<br />
k=n+1<br />
uk. (108)
Om den komplexa talföljden {Sn} har ett (komplext) gränsvärde S, s˚a säges<br />
∞<br />
den givna komplexa serien uk vara konvergent (konvergera) <strong>och</strong> ha summan<br />
S =<br />
∞<br />
uk.<br />
k=1<br />
k=1<br />
Nödvändigt villkor för konvergens av en komplex serie<br />
Absolutkonvergent serie. En komplex serie<br />
gent om den reella serien<br />
∞<br />
uk är<br />
k=1<br />
lim<br />
k→∞ uk = 0. (109)<br />
∞<br />
|uk| är konvergent.<br />
k=1<br />
∞<br />
uk kallas absolutkonver-<br />
k=1<br />
Absolutkonvergens medför konvergens. Om serien<br />
s˚a konvergerar ocks˚a den komplexa serien<br />
∞<br />
uk.<br />
k=1<br />
Geometriska serien. En komplex serie av formen<br />
∞<br />
k=0<br />
∞<br />
|uk| konvergerar,<br />
k=1<br />
az k = a + az + az 2 + . . . , (110)<br />
där a <strong>och</strong> z är komplexa tal, kallas en (komplex) geometrisk serie med kvoten z.<br />
Den är absolutkonvergent för |z| < 1, eftersom den reella serien<br />
∞<br />
|az k ∞<br />
| = |a| |z| k<br />
k=1<br />
är konvergent. Dess summa<br />
∞<br />
az k = a 1<br />
1 − z = a(1 − z)−1 , |z| < 1. (111)<br />
k=0<br />
3.5.2 Potensserie<br />
En funktionsserie av den speciella typen<br />
∞<br />
ak(z − z0) k<br />
k=0<br />
34<br />
k=1<br />
(112)
kallas en potensserie. Den geometriska serien<br />
<strong>och</strong> z0 = 0.<br />
För varje potensserie<br />
∞<br />
az k är en potensserie med ak = a<br />
k=1<br />
∞<br />
ak(z − z0) k gäller: det finns ett icke-negativt tal R<br />
k=1<br />
s˚adant att potensserien absolutkonvergent för alla z med |z−z0| < R <strong>och</strong> divergent<br />
∞<br />
för alla z med |z − z0| > R. Här R = 0 om ak(z − z0) k konvergerar endats för<br />
z = z0 <strong>och</strong> R = ∞ om<br />
k=1<br />
∞<br />
ak(z − z0) k konvergerar för alla komplexa z.<br />
k=1<br />
Talet R ≥ 0 kallas konvergensradie <strong>och</strong> cirkeln {z : |z − z0| = R} kallas<br />
∞<br />
konvergenscirkel till potensserie ak(z − z0) k (som konvergerar inom cirkelskivan<br />
k=1<br />
DR = {z : |z − z0| < R}).<br />
För konvergensradien gäller<br />
1<br />
R<br />
1<br />
R<br />
Exempel 3.19<br />
Den geometriska serien<br />
= lim<br />
= lim<br />
k→∞ |ak| 1/k , (113)<br />
k→∞<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ak+1<br />
ak<br />
<br />
<br />
<br />
, (114)<br />
∞<br />
az k är en potensserie med ak = a (a = 0) som har<br />
k=1<br />
konvergenscirkeln {z : |z| = 1} <strong>och</strong> konvergensradien R = 1, eftersom<br />
1 a<br />
= lim = 1.<br />
R k→∞ a<br />
Serien divergerar i alla punkter p˚a denna cirkeln.<br />
Exempel 3.20<br />
är en potensserie som konvergerar för alla komplexa z, eftersom<br />
1<br />
R<br />
∞<br />
k=0<br />
1/(k + 1)!<br />
= lim<br />
k→∞ 1/k!<br />
z k<br />
k!<br />
1<br />
= lim<br />
k→∞ k + 1<br />
35<br />
(115)<br />
= 0. (116)
3.5.3 Taylors utveckling<br />
Antag att f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a en enkel, sluten kontur C <strong>och</strong> skriv<br />
Cauchys integralformel<br />
f(z) = 1<br />
<br />
f(z<br />
2πi C<br />
′ )<br />
z ′ − z dz′ =<br />
= 1<br />
<br />
f(z<br />
2πi C<br />
′ )<br />
(z ′ − z0) − (z − z0) dz′ = (117)<br />
= 1<br />
<br />
f(z<br />
2πi<br />
′ )<br />
(z ′ − z0)[1 − (z − z0)/(z ′ − z0)] dz′<br />
C<br />
där |q| = |(z − z0)/(z ′ − z0)| < 1 eftersom |(z − z0)| < |(z ′ − z0)| (z ′ ∈ C <strong>och</strong> z<br />
inom C). Vidare<br />
1<br />
1 − (z − z0)/(z ′ − z0)<br />
<strong>och</strong><br />
1<br />
=<br />
1 − q = 1+q+q2 z − z0<br />
+· · · = 1+<br />
z ′ <br />
z − z0<br />
+<br />
− z0 z ′ 2 +· · · =<br />
− z0<br />
f(z) = 1<br />
<br />
f(z<br />
2πi C<br />
′ ) 1 1<br />
1 − q (z ′ − z0) dz′ =<br />
=<br />
1<br />
<br />
f(z<br />
2πi C<br />
′ 1<br />
)<br />
(z ′ =<br />
∞<br />
− z0)<br />
n=0<br />
1<br />
<br />
f(z<br />
2πi C<br />
′ ∞ (z − z0)<br />
)<br />
n=0<br />
n<br />
=<br />
∞<br />
<br />
n 1<br />
(z − z0)<br />
2πi<br />
n=0<br />
C<br />
= 1<br />
∞<br />
(z − z0)<br />
2πi<br />
n f (n) (z0)<br />
,<br />
n!<br />
n=0<br />
(z − z0) n<br />
(z ′ − z0) n dz′ =<br />
(z ′ − z0) n+1 dz′ = (118)<br />
f(z ′ )<br />
(z ′ − z0) n+1 dz′ =<br />
som är den sökte Taylors utveckling av f(z). Observera att vi använde formeln<br />
(103)<br />
f (n) (z0) = n!<br />
<br />
f(z)<br />
dz.<br />
2πi C (z − z0) n+1<br />
Potensserieutveckling av analytiska funktioner. Antag att f(z) är analytisk<br />
för alla z inom cirkelskivan DR = {z : |z − z0| < R}. D˚a gäller för alla dessa<br />
36<br />
∞<br />
n=0<br />
(z − z0) n<br />
(z ′ − z0) n
z<br />
Exempel 3.21<br />
f(z) =<br />
∞<br />
k=0<br />
f (k) (z0)<br />
(z − z0)<br />
k!<br />
k . (119)<br />
Betrakta f(z) = e z . Vi har f (n) (z) = e z (n = 1, 2, . . . ), f (n) (0) = 1 (n =<br />
1, 2, . . . ), f(z) = e z är analytisk i hela komplexa planet C. D˚a<br />
e z =<br />
∞<br />
k=0<br />
enligt (118) <strong>och</strong> (119). Speciellt f˚as, t ex<br />
<strong>och</strong><br />
Exempel 3.22<br />
P˚a samma sätt erh˚alles<br />
∞<br />
sin z =<br />
för alla komplexa z<br />
Exempel 3.23<br />
cos z =<br />
k=0<br />
k=0<br />
e 1+i =<br />
z k<br />
k!<br />
(120)<br />
∞ (1 + i) k<br />
. (121)<br />
k!<br />
k=0<br />
(−1) k z 2k+1<br />
(2k + 1)!<br />
∞<br />
k z2k<br />
(−1)<br />
(2k)!<br />
Man finner analogt (med z0 = 0) att<br />
f(z) = 1<br />
z + 1 =<br />
∞<br />
k=0<br />
= z − z3<br />
3!<br />
= 1 − z2<br />
2!<br />
+ z5<br />
5!<br />
+ z4<br />
4!<br />
− . . . (122)<br />
− . . . , (123)<br />
(−1) k z k = z − z + z 2 + z 4 − . . . (124)<br />
för |z| < 1. Punkten z = −1 är singulär för f(z) = 1/(1 + z). För |z| > 1 är f(z)<br />
analytisk med potensserien (124) divergent; den framställer allts˚a inte f(z) för<br />
alla dessa z.<br />
37
3.5.4 Laurents utveckling<br />
Antag att f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a den öppna cirkelringen z : r < |z−z0| < R<br />
med 0 < r < R. D˚a finns det komplexa tal a0, a1, a2, . . . , ak, . . . , <strong>och</strong> a−1, a−2,<br />
a−3, . . . , a−k, . . . , s˚adana att likheten<br />
f(z) =<br />
∞<br />
ak(z − z0) k +<br />
k=0<br />
∞<br />
k=1<br />
a−k<br />
. (125)<br />
(z − z0) k<br />
för alla z i den öppna cirkelringen. Serien i högerledet av (125) kallas Laurentserien<br />
till f(z) p˚a cirkelringen z : r < |z − z0| < R. Koefficienterna ak är bestämda av<br />
formeln<br />
ak = 1<br />
<br />
2πi C<br />
f(z)<br />
dz, k = 0, ±1, ±2, . . . , (126)<br />
(z − z0) k+1<br />
där C är en godtycklig cirkel z : |z − z0| = r ′ med r < r ′ < R.<br />
Exempel 3.24<br />
Betrakta<br />
f(z) =<br />
1<br />
(z − a)(z − b)<br />
(a = b). Här r = 0 <strong>och</strong> R = |a − b|.<br />
Exempel 3.25<br />
Funktionen<br />
<br />
1 1 1<br />
= −<br />
a − b z − a z − b<br />
1<br />
f(z) = −<br />
(z − 2)(z + 3)<br />
är analytisk överallt utom i z = 2 <strong>och</strong> z = −3. Antag att vi vill utveckla f(z) i<br />
en Laurentserie inneh˚alande potenser av z. D˚a är z0 = 0 <strong>och</strong> det finns tre möjliga<br />
omr˚aden där f(z) kan utvecklas i Laurentserie av önskat slag:<br />
z : |z| < 2, z : 2 < |z| < 3 <strong>och</strong> z : 3 < |z|.<br />
Vi har<br />
1<br />
f(z) = −<br />
(z − 2)(z + 3)<br />
−1/5 1/5<br />
= +<br />
z − 2 z + 3<br />
P˚a cirkelskivan z : |z| < 2 är |z/2| < 1 <strong>och</strong> d˚a kan vi med hjälp av den geometriska<br />
38
serien skriva<br />
f(z) = 1 1 1 1<br />
+<br />
10 1 − z/2 15 1 + z/3 =<br />
= 1<br />
∞ <br />
z<br />
k +<br />
10 2<br />
k=0<br />
1<br />
∞ <br />
−<br />
15<br />
k=0<br />
z<br />
=<br />
k =<br />
3<br />
∞<br />
<br />
1 1 1 (−1)<br />
+<br />
10 2k 15<br />
k<br />
3k <br />
z k . (127)<br />
k=0<br />
P˚a cirkelskivan z : 2 < |z| < 3 är |2/z| < 1 <strong>och</strong> |z/3| < 1 <strong>och</strong> d˚a kan vi med hjälp<br />
av den geometriska serien skriva<br />
f(z) = − 1 1 1 1<br />
+<br />
5z 1 − 2/z 15 1 + z/3 =<br />
= − 1<br />
∞<br />
k 2<br />
+<br />
5z z<br />
k=0<br />
1<br />
∞ <br />
−<br />
15<br />
k=0<br />
z<br />
k =<br />
3<br />
∞ 1 (−1)<br />
=<br />
15<br />
k<br />
3k z k ∞<br />
<br />
+ − 2k−1<br />
<br />
1<br />
. (128)<br />
5 zk k=0<br />
k=1<br />
P˚a cirkelskivan z : |z| > 3 är |3/z| < 1 <strong>och</strong> d˚a kan vi skriva<br />
f(z) = − 1 1 1 1<br />
+<br />
5z 1 − 2/z 5z 1 + 3/z =<br />
= − 1<br />
∞<br />
k 2<br />
+<br />
5z z<br />
k=0<br />
1<br />
∞<br />
<br />
−<br />
5z<br />
k=0<br />
3<br />
k =<br />
z<br />
∞<br />
<br />
= − 2k−1<br />
<br />
(−3)k−1 1<br />
+ . (129)<br />
5 5 zk k=1<br />
Att de erh˚allna serierna är Laurentserien till f(z) p˚a resp. omr˚aden följer av<br />
entydighetssatsen: om<br />
∞<br />
f(z) = ak(z − z0) k<br />
k=−∞<br />
för alla z i en öppen cirkelring z : r < |z − z0| < R s˚a m˚aste denna serie vara<br />
Laurentserien till f(z) p˚a cirkelringen.<br />
Exempel 3.26<br />
Betrakta funktionen<br />
f(z) =<br />
1<br />
z(z − 1)<br />
39<br />
1 1<br />
= −<br />
z − 1 z .
Bestäm koefficienterna ak k = 0, ±1, ±2, . . . (z0 = 0 i (126))<br />
ak = 1<br />
<br />
<br />
1 1 1 1<br />
dz = −<br />
2πi C z(z − 1) zk+1 2πi C zk+2 =<br />
dz =<br />
(z − 1)<br />
− 1<br />
∞<br />
m 1<br />
z dz =<br />
2πi zk+2 = − 1<br />
2πi<br />
= − 1<br />
2πi<br />
C m=0<br />
∞<br />
<br />
m=0<br />
∞<br />
<br />
m=0<br />
C<br />
C<br />
dz<br />
=<br />
zk+2−m z m−k−2 dz.<br />
Cirkelns ekvationer p˚a parameterform är z = re it , z ′ = ire it <strong>och</strong> vi har, enligt (96)<br />
<strong>och</strong> (98), att<br />
D˚a<br />
<strong>och</strong><br />
ak =<br />
ak =<br />
∞<br />
m=0<br />
∞<br />
m=0<br />
<br />
1<br />
2πi<br />
<br />
1<br />
2πi<br />
<br />
1<br />
2πi<br />
<br />
1<br />
2πi<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
<br />
− 1<br />
<br />
2πi<br />
<br />
− 1<br />
<br />
2πi<br />
z n dz = 0, n = −1,<br />
z n dz = 1, n = −1.<br />
z m−k−2 dz = 0, m − k = 1,<br />
z m−k−2 dz = 1, m − k = 1,<br />
C<br />
C<br />
z m−k−2 <br />
dz = 0, k = −1, 0, 1, 2, . . . ,<br />
z m−k−2 <br />
dz = −1, k = . . . , −2, −1.<br />
Laurentserieutveckling av f(z) = 1 i den öppna cirkelringen z : 0 < |z| < 1<br />
z(z−1)<br />
är d˚a<br />
1<br />
z(z − 1) =<br />
∞<br />
akz<br />
k=0<br />
k ∞ a−k<br />
+ =<br />
zk k=1<br />
= − 1<br />
z − 1 − z − z2 ∞<br />
− · · · = − z k .<br />
40<br />
k=−1
Observera att man f˚ar samma resultat med med hjälp av den geometriska serien<br />
(111):<br />
1<br />
1<br />
f(z) = = −1 − = −1<br />
z(z − 1) z 1 − z z −<br />
∞<br />
z k ∞<br />
= − z k .<br />
3.6 Residykalkyl<br />
3.6.1 Isolerade singulariteter. Poler<br />
k=0<br />
k=−1<br />
Antag att f(z) är analytisk för z : |z − z0| < R utom i punkten z0, dvs f(z) har<br />
isolerad singularitet i z0. D˚a har f(z) p˚a en öppen cirkelring z : 0 < |z − z0| < R<br />
Laurentserien<br />
∞<br />
f(z) = ak(z − z0) k =<br />
=<br />
k=−∞<br />
∞<br />
ak(z − z0) k +<br />
k=0<br />
= Σ1 + Σ2.<br />
∞<br />
k=1<br />
a−k<br />
= (130)<br />
(z − z0) k<br />
Summan Σ2 brukar kallas den singulära delen till f(z) kring punkten z0. Σ1 är en<br />
analytisk funktion för z : |z − z0| < R.<br />
Pol av ordning n. Antag att f(z) har isolerad singularitet i punkten z0 <strong>och</strong><br />
l˚at Σ2 vara den singulära delen till f(z) kring z0. Om<br />
Σ2 =<br />
n<br />
k=1<br />
a−k a−1<br />
= + · · · +<br />
(z − z0) k z − z0<br />
a−n<br />
(z − z0) n , a−n = 0, (131)<br />
s˚a kallas z0 en pol av ordning n till f(z) (n = 1, 2, . . . ).<br />
Exempel 3.27<br />
Laurentserieutveckling av f(z) = 1<br />
z(z−1)<br />
1<br />
z(z − 1) = Σ1 + Σ2 = −<br />
f ör z : 0 < |z| < 1 är<br />
∞<br />
k=0<br />
z k − 1<br />
z ,<br />
<strong>och</strong> z0 = 0 en pol av ordning n = 1 till f(z) = 1<br />
z(z−1) med a−n = a−1 = −1 = 0.<br />
Laurentserieutveckling till f(z) = 1 f ör z : 0 < |z − 1| < 1 är<br />
z(z−1)<br />
1<br />
z(z − 1) == Σ1 + Σ2 = − 1 1<br />
−<br />
z 1 − z<br />
41
<strong>och</strong> z0 = 1 en pol av ordning n = 1 till f(z) = 1<br />
z(z−1) med a−n = a−1 = −1 = 0,<br />
eftersom Σ1 = 1/z är en analytisk funktion för z : |z − 1| < 1.<br />
Exempel 3.28<br />
Laurentserieutveckling av f(z) =<br />
godtyckligt positivt tal) är<br />
sin z<br />
sin z<br />
z 3<br />
z 3 = Σ1 + Σ2 =<br />
= 1<br />
z3 <br />
z − z3<br />
3!<br />
= 1<br />
z3 <br />
∞<br />
k=0<br />
f ör z : 0 < |z| < R (där R är ett<br />
+ z5<br />
5!<br />
<br />
− . . .<br />
(−1) k z 2k+1<br />
(2k + 1)!<br />
=<br />
<br />
= 1 1 z2<br />
− + − . . . (132)<br />
z2 3! 5!<br />
sin z<br />
<strong>och</strong> z0 = 0 en pol av ordning n = 2 till f(z) = z3 med a−n = a−2 = 1 = 0<br />
(<strong>och</strong> a−1 = 0), eftersom Σ2 = 1/z2 <strong>och</strong> Σ1 = −1/3! + z2 /5! − . . . är en analytisk<br />
funktion för z : |z| < R.<br />
3.6.2 Metoder för residyberäkning<br />
Om a är en pol av ordning m till f(z), s˚a är<br />
resz=af(z) = lim<br />
z→a<br />
Speciellt är, om a är en enkelpol av ordning m = 1,<br />
Exempel 3.29<br />
1 d<br />
(m − 1)!<br />
m−1<br />
dzm−1 [(z − a)mf(z)]. (133)<br />
resz=af(z) = lim<br />
z→a [(z − a)f(z)]. (134)<br />
Betrakta<br />
f(z) = 1<br />
z2 1 1<br />
=<br />
+ 4 z + 2i z − 2i .<br />
D˚a är z = ±2i enkelpoler av ordning 1 <strong>och</strong>, enligt (134),<br />
resz=2if(z) = lim<br />
z→2i [(z − 2i)f(z)] = 1<br />
4i<br />
1<br />
resz=−2if(z) = lim [(z + 2i)f(z)] = −<br />
z→−2i 4i<br />
42<br />
=<br />
= − i<br />
4 ,<br />
= i<br />
4 .
Exempel 3.30<br />
Betrakta<br />
f(z) = z3 + 2z<br />
.<br />
(z − i) 3<br />
D˚a är z = i en pol av ordning m = 3 <strong>och</strong>, enligt (133),<br />
3.6.3 Residysats<br />
resz=if(z) =<br />
1 d<br />
lim<br />
z→i (m − 1)!<br />
m−1<br />
dzm−1 [(z − i)3f(z)] =<br />
=<br />
1 d<br />
lim<br />
z→i 2<br />
2<br />
dz2 [z3 + 2z] =<br />
= 1<br />
2 lim<br />
d<br />
z→i dz [3z2 + 2] = 1<br />
2 lim[6z]<br />
= 3i.<br />
z→i<br />
Integrera termvis Laurentserieutvecklingen<br />
f(z) =<br />
∞<br />
k=−∞<br />
ak(z − z0) k<br />
till f(z) längs cirkeln C = {z : |z − z0| = r (z − z0 = reθ , 0 ≤ θ < 2π):<br />
<br />
ak (z − z0) k (z − z0)<br />
= ak<br />
k+1<br />
z=z1<br />
<br />
<br />
k + 1 = 0, k = −1,<br />
s˚a att<br />
<strong>och</strong><br />
a−1<br />
<br />
C<br />
C<br />
(z − z0) −1 = a−1<br />
<br />
C<br />
<br />
C<br />
z=z1<br />
ire θ<br />
re θ dθ = 2πia−1, k = −1<br />
f(z)dz = 0 + 2πia−1 = 2πia−1,<br />
<br />
1<br />
f(z)dz = a−1. (135)<br />
2πi C<br />
1<br />
Med residyn till f(z) i punkten z0 menas koefficienten a−1 för i Lau-<br />
z − z0<br />
rentserieutveckling till f(z) p˚a omr˚adet z : 0 < |z − z0| ≤ R. Beteckning:<br />
a−1 = a−1,z0 = resz=z0f(z). (136)<br />
43
Residysatsen. Antag att f(z) är analytisk inom <strong>och</strong> p˚a en enkel, sluten kontur<br />
C utom i ett ändligt antal punkter z1, z2, . . . , zn inom C. D˚a är<br />
<br />
C<br />
Exempel 3.31<br />
Betrakta funktionen<br />
f(z)dz = 2πi<br />
n<br />
k=1<br />
f(z) = z −1 (e z − 1) −1 =<br />
res z=zkf(z) = 2πi<br />
1<br />
z(e z − 1)<br />
n<br />
k=1<br />
a−1,zk . (137)<br />
= 1<br />
g(z) .<br />
Här g(z) = z(ez − 1) <strong>och</strong> g(z0) = 0, där z0 = 0. Taylorserieutveckling av g(z) är<br />
g(z) = z(e z <br />
∞<br />
z<br />
− 1) = z<br />
k=0<br />
k<br />
=<br />
<br />
− 1 =<br />
k!<br />
<br />
z 1 + z + z2<br />
<br />
+ · · · − 1 = z z +<br />
2 z2<br />
=<br />
<br />
z3<br />
+ + . . . =<br />
2 6<br />
z 2<br />
<br />
1 + z<br />
<br />
z2<br />
+ + . . . = z<br />
2 6 2 ˜g(z),<br />
där ˜g(0) = 0. Vidare kommer vi att använda funktionen<br />
Vi har<br />
Skriv om<br />
q(z) = z z2<br />
+ + · · · = z<br />
2 6<br />
<br />
1 z<br />
+ + . . .<br />
2 6<br />
q 2 (z) = z 2<br />
2 1 z<br />
+ + . . . = z<br />
2 6 2<br />
<br />
1<br />
2 +<br />
<br />
z<br />
<br />
+ . . .<br />
6 2 = (138)<br />
= z 2<br />
<br />
1<br />
4 +<br />
<br />
z<br />
<br />
z<br />
<br />
2<br />
+ . . . + + . . . =<br />
6 6<br />
= z2<br />
4<br />
+ z3<br />
6<br />
f(z) =<br />
+ . . . .<br />
1<br />
g(z)<br />
= 1<br />
z 2<br />
= 1<br />
G(z),<br />
z2 44<br />
1<br />
1 + z<br />
=<br />
z2 + + . . . 2 6<br />
<br />
.
där G(z) är analytisk f ör z : |z| < R (R är n˚agot positivt tal), G(0) = 1 <strong>och</strong><br />
Taylorserieutveckling av G(z) är d˚a<br />
där G1 = − 1<br />
2<br />
G(z) =<br />
=<br />
1 + z<br />
2<br />
1<br />
+ z2<br />
6<br />
+ . . . =<br />
1<br />
1 + q(z) = 1 − q + q2 − · · · =<br />
= 1 − z z2 z2<br />
− + · · · +<br />
2 6 4<br />
= 1 + G1z + . . . ,<br />
+ z3<br />
6<br />
= 0. Laurentserieutveckling av f(z) är d˚a<br />
f(z) = 1 1 1<br />
1 1<br />
G(z) = (1 − z + . . . ) = −<br />
z2 z2 2 z2 2<br />
= Σ1 + Σ2<br />
+ · · · =<br />
1<br />
+ · · · =<br />
z<br />
f ör z : 0 < |z| < R (där R är ett godtyckligt positivt tal) <strong>och</strong> z0 = 0 en pol av<br />
ordning n = 2 till f(z) = 1<br />
z(e z −1) med a−n = a−2 = 1 = 0 <strong>och</strong> a−1 = −0.5, eftersom<br />
Σ2 = 1 1<br />
−<br />
z2 2<br />
<strong>och</strong> Σ1 är en analytisk funktion för z : |z| < R.<br />
Residyn till f(z) = 1<br />
z(e z −1) i punkten z0 = 0 är<br />
Här<br />
Exempel 3.32<br />
Betrakta funktionen<br />
1<br />
z<br />
a−1 = a−1,0 = resz=0f(z) = − 1<br />
. (139)<br />
2<br />
f(z) = z −n (e z − 1) −1 =<br />
1<br />
z n (e z − 1)<br />
= 1<br />
g(z) .<br />
g(z) = z n (e z − 1) = z n (z + z 2 /2 + . . . ) = z n+1 (1 + z/2 + . . . )<br />
<strong>och</strong> g(0) = 0, där z = 0 är ett nollställe av ordning n + 1 till g(z) <strong>och</strong> allts˚a en<br />
pol av ordning n + 1 till f(z). Man kan skriva<br />
f(z) = z<br />
ez 1<br />
1<br />
= g1(z)<br />
− 1 zn+1 zn+1 , g1(0) = 1.<br />
45
Taylorserieutveckling av g1(z) är, enligt Arfken, (5.144),<br />
där<br />
Bk = lim<br />
z→0<br />
är Bernoullis tal. Vi har<br />
<strong>och</strong><br />
g1(z) =<br />
d k<br />
dz k [g1(z)] = lim<br />
z→0<br />
g1(z) =<br />
f(z) =<br />
∞<br />
k=0,k=n<br />
= Bn<br />
n!<br />
Bkz k<br />
k!<br />
∞ Bkzk ,<br />
k!<br />
k=0<br />
dk dzk <br />
z<br />
ez <br />
, k = 0, 1, 2, . . . , (140)<br />
− 1<br />
+ Bnz n<br />
n!<br />
1<br />
zn+1 <br />
Bnzn n! +<br />
1 1<br />
+<br />
z zn+1 (n = 1, 2, . . . ),<br />
∞<br />
k=0,k=n<br />
∞<br />
k=0,k=n<br />
Bkzk <br />
=<br />
k!<br />
Bkzk ,<br />
k!<br />
resz=0f(z) = Bn<br />
, n = 1, 2, . . . . (141)<br />
n!<br />
Speciellt är, om n = 1 <strong>och</strong> z = 0 är en pol av ordning 2,<br />
B1 =<br />
<br />
d z<br />
lim<br />
z→0 dz ez =<br />
<br />
=<br />
− 1<br />
z z<br />
e − 1 − ze<br />
lim<br />
z→0 (ez − 1) 2<br />
=<br />
<br />
=<br />
2 2 3 z + z /2 − z − z + O(z )<br />
lim<br />
z→0 (z + z2 /2 + O(z3 )) 2<br />
=<br />
<br />
=<br />
2 3 −z /2 + O(z )<br />
lim<br />
z→0 z2 (1 + z/2 + O(z2 )) 2<br />
=<br />
<br />
=<br />
<br />
−1/2 + O(z)<br />
lim<br />
z→0 (1 + z/2 + O(z2 )) 2<br />
<br />
= −1/2 + 0<br />
= −1<br />
(1 + 0) 2 2 ,<br />
som sammanfaller med (139) i exemplet ovan. Här, betecknar O(z m ) (m = 1, 2, 3)<br />
en funktion s˚adan att O(z m ) = z m Pm(z), där Pm(0) = 0 <strong>och</strong> Pm(z) är analytisk<br />
för z : |z| < R med n˚agot R > 0.<br />
46
3.6.4 Beräkning av reella integraler med residykalkyl<br />
Betrakta reella integraler av typ I<br />
I =<br />
2π<br />
0<br />
f(sin θ, cos θ)dθ, (142)<br />
där integranden f = f(x, y) är en rationell funktion i x <strong>och</strong> y (dvs, f är kvoten<br />
mellan tv˚a polynom). Sätt<br />
<strong>och</strong> bestäm<br />
Allts˚a är<br />
I =<br />
2π<br />
0<br />
z = e iθ , 0 ≤ θ < 2π, (143)<br />
dz = ie iθ dθ = iz dθ <strong>och</strong> dθ = −i dz<br />
z ,<br />
sin θ = eiθ − e−iθ =<br />
2<br />
1<br />
<br />
z −<br />
2i<br />
1<br />
<br />
, (144)<br />
z<br />
cos θ) = eiθ + e−iθ =<br />
2<br />
1<br />
<br />
z +<br />
2<br />
1<br />
<br />
. (145)<br />
z<br />
<br />
f(sin θ, cos θ)dθ =<br />
C<br />
f(<br />
z − z−1<br />
,<br />
2i<br />
z + z−1<br />
, )dθ, (146)<br />
2<br />
där C är enhetscirkeln (ett varv i positiv led) C = {z : z = e it , 0 ≤ t ≤ 2π}<br />
(eller C = {z : |z| = 1}). Den sistnämnda komplexa integralen (146) beräknas<br />
med residysatsen.<br />
Vi har<br />
Exempel 3.33<br />
Beräkna integralen<br />
I =<br />
=<br />
I =<br />
<br />
<br />
2π<br />
C<br />
C<br />
0<br />
f(sin θ, cos θ)dθ =<br />
dz<br />
iz 2 + √ 3 z−z−1<br />
2i<br />
dz<br />
2iz + 0.5 √ 3z 2 − 0.5 √ 3<br />
där C är enhetscirkeln C = {z : |z| = 1}.<br />
2π<br />
0<br />
dθ<br />
2 + √ . (147)<br />
3 sin θ<br />
= (148)<br />
47<br />
<br />
2<br />
= √<br />
3 C<br />
dz<br />
z 2 + 4i<br />
√ 3 z − 1 ,
L˚at h(z) = z 2 + 4i<br />
√ 3 z − 1. D˚a<br />
h(z) = 0 → (z + 2i<br />
√ )<br />
3 2 = − 4<br />
+ 1 = −1<br />
3 3 →<br />
z = − 2i<br />
√ 3 ± − i<br />
√ 3 →<br />
z = z1 = − i<br />
√ 3 , z = z2 = −i √ 3.<br />
Dessa b˚ada punkter z1 <strong>och</strong> z2 är nollställen till h(z) <strong>och</strong> allts˚a enkelpoler till<br />
integranden 1/h(z). Av dessa poler, ligger endast z1 = − i<br />
√ 3 inom enhetscirkeln C<br />
(eftersom |z1| = 1 √ 3 < 1 <strong>och</strong> |z2| = √ 3 > 1). z1 är en enkelpol, <strong>och</strong> enligt (134)<br />
resz=z1<br />
1<br />
h(z)<br />
Enligt residysatsen (137) f˚ar vi<br />
Vi har<br />
Exempel 3.34<br />
Beräkna integralen<br />
I =<br />
= resz=z1<br />
<br />
= lim<br />
z→z1<br />
1<br />
=<br />
z1 − z2<br />
I = 2<br />
1<br />
√ 2πiresz=z1<br />
3 h(z)<br />
2π<br />
0<br />
= 4π<br />
3 − 1<br />
= 2π.<br />
f(sin θ, cos θ)dθ =<br />
1<br />
z 2 + 4i<br />
√ 3 z − 1 =<br />
<br />
1<br />
(z − z1)<br />
=<br />
(z − z1)(z − z2<br />
1<br />
= √3 .<br />
1 i − √3<br />
2π<br />
0<br />
= 4πi<br />
√ 3<br />
1<br />
√3 =<br />
1 i − √3<br />
dθ<br />
, 0 < |ɛ| < 1. (149)<br />
1 + ɛ cos θ<br />
<br />
dz<br />
I = −i<br />
C z [1 + (ɛ/2)(z + z−1 = (150)<br />
)]<br />
= −i 2<br />
<br />
dz<br />
ɛ z2 + (2/ɛ)z + 1 ,<br />
C<br />
48
där C är enhetscirkeln C = {z : |z| = 1}.<br />
L˚at h(z) = z 2 + 2<br />
z + 1. D˚a h(z) = 0 →<br />
ɛ<br />
z = z1 = − 1 1√<br />
− 1 − ɛ2 ,<br />
ɛ ɛ<br />
z = z2 = − 1 1√<br />
+ 1 − ɛ2 ,<br />
ɛ ɛ<br />
Dessa b˚ada punkter z1 <strong>och</strong> z2 är nollställen till h(z) <strong>och</strong> allts˚a enkelpoler till<br />
integranden 1/h(z). Av dessa poler, ligger endast z2 inom enhetscirkeln C, eftersom<br />
|z2| < 1 <strong>och</strong> |z1| > 1. Visa att |z2| < 1:<br />
|ɛ| < 1<br />
|ɛ| 2 < |ɛ|<br />
|ɛ| 2 − |ɛ| < 0, 2|ɛ| 2 − 2|ɛ| < 0,<br />
−2|ɛ| + |ɛ| 2 < −|ɛ| 2<br />
1 − 2|ɛ| + |ɛ| 2 < 1 − |ɛ| 2<br />
(1 − |ɛ|) 2 < ( 1 − |ɛ| 2 ) 2<br />
1 − |ɛ| < 1 − |ɛ| 2<br />
1 − 1 − |ɛ| 2 < |ɛ|<br />
|1 − 1 − |ɛ| 2 | < |ɛ|<br />
|1 − 1 − |ɛ| 2 |<br />
|ɛ|<br />
< 1<br />
|z2| < 1.<br />
(1 − |ɛ| 2 > 0)<br />
z2 är en enkelpol, <strong>och</strong> enligt (134)<br />
1<br />
resz=z1<br />
h(z)<br />
=<br />
1<br />
resz=z1<br />
z2 + 2<br />
=<br />
=<br />
z + 1 ɛ <br />
<br />
1<br />
lim (z − z2)<br />
=<br />
z→z2 (z − z1)(z − z2<br />
=<br />
1<br />
=<br />
1 ɛ 1<br />
√ = √<br />
1 − ɛ2 2 1 − ɛ2 .<br />
Enligt residysatsen (137) f˚ar vi<br />
z2 − z1<br />
2<br />
ɛ<br />
2π<br />
I =<br />
dθ<br />
0 1 + ɛ cos θ =<br />
−i 2<br />
ɛ 2πiresz=z1<br />
1<br />
h(z)<br />
=<br />
2 ɛ 1<br />
2π √<br />
ɛ 2 1 − ɛ2 =<br />
=<br />
2π<br />
√ ,<br />
1 − ɛ2 |ɛ| < 1.<br />
49
4 Differentialekvationer: Grundbegrepp<br />
4.1 Differentialekvationer av första ordningen<br />
Den enklaste formen för en differentialekvation av första ordningen är<br />
y ′ = h(x). (151)<br />
En s˚adan ekvation kan lösas direkt. Om<br />
<br />
H(x) = h(x)dx [H ′ (x) = h(x)]<br />
är en primitiv till h(x) s˚a är ju<br />
y(x) = H(x) + C<br />
den almänna (fullständiga) lösningen till (151). Konstanten C bestäms av n˚agot<br />
begynnelsevillkor.<br />
Exempel 4.1<br />
En differentialekvation av första ordningen<br />
kan lösas direkt:<br />
dy<br />
dx<br />
Exempel 4.2<br />
= 2x, dy = 2xdx,<br />
y ′ = 2x (152)<br />
<br />
<br />
dy =<br />
Differentialekvationen av första ordningen<br />
satisfieras av y = ce x eftersom<br />
2xdx, y = x 2 + C. (153)<br />
y ′ = y (154)<br />
y ′ = (ce x ) ′ = c(e x ) ′ = ce x = y.<br />
50
4.1.1 Linjära differentialekvationer av första ordningen<br />
En linjär differentialekvation av första ordningen är<br />
L(y) ≡ y ′ + g(x)y = h(x). (155)<br />
Här är g <strong>och</strong> h givna kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall p˚a reela axeln<br />
x. L kallas en linjär differentialoperator (av första ordningen) eftersom<br />
L(y1 + y2) = (y1 + y2) ′ + g(x)(y1 + y2) = y ′ 1 + y ′ 2 + g(x)y1 + g(x)y2 = L(y1) + L(y2).<br />
<strong>och</strong><br />
L(αy) = (αy) ′ + g(x)(αy) = αy ′ + αg(x)y = αL(y)<br />
L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2). (156)<br />
Om y1 <strong>och</strong> y2 löser de tv˚a ekvationerna<br />
s˚a löser y1 + y2 ekvationen<br />
<strong>och</strong> αy1 löser ekvationen<br />
L(y) = h1(x) respektive L(y) = h2(x)<br />
Detta kallas superpositionprincipen.<br />
Exempel 4.3<br />
Lös differentialekvationen<br />
L(y) = h1(x) + h2(x)<br />
L(y) = αh1(x).<br />
y ′ (x) = x + y. (157)<br />
Lösning. Funktionen y0(x) = ce x satisfierar den homogena ekvationen<br />
y ′ − y = 0 (158)<br />
som motsvarar ekvationen y ′ = x + y. Man kan kolla detta genom att visa att<br />
(158) har karakteristiska polynomet<br />
r − 1<br />
51
med nollstället r = 1. Den fullständiga lösningen y0(x) till homogena ekvationen<br />
(158) är d˚a<br />
y0 = ce x .<br />
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (157):<br />
yp = ax + b : y ′ p − yp = (ax + b) ′ − (ax + b) = −ax + (a − b) = x<br />
→ a = −1, b = a = −1,<br />
<strong>och</strong> yp(x) = −x − 1.<br />
Den (fullständiga) lösningen till ekvationen (157) blir<br />
4.1.2 Separabla ekvationer<br />
y = y0 + yp = ce x − x − 1. (159)<br />
En differentialekvation av första ordningen säges vara separabel eller ha separabla<br />
variabler om den kan skrivas p˚a formen<br />
En s˚adan ekvation kan lösas direkt.<br />
Exempel 4.4<br />
Differentialekvationen av första ordningen<br />
g(y)y ′ = h(x). (160)<br />
y ′ = y<br />
har separabla variabler <strong>och</strong> kan lösas direkt:<br />
dy<br />
dx<br />
= y,<br />
dy<br />
= dx,<br />
y<br />
<br />
dy<br />
y =<br />
<br />
dx,<br />
ln |y| = x + C, y = e x+C = e x e C = ce x . (161)<br />
4.2 Begynnelsevärdesproblem<br />
För att fixera vilken av oändligt m˚anga lösningar man söker m˚aste man ge tilläggsvillkor<br />
av typen y(a) = α (eller y(x0) = y0). Detta kallas ett begynnelsevillkor <strong>och</strong> problemet<br />
att lösa<br />
y ′ = f(x, y) y(x0) = y0, (162)<br />
52
kallas begynnelsevärdesproblemet.<br />
Exempel 4.5<br />
Lös begynnelsevärdesproblemet<br />
y ′ = 2x y(0) = 1. (163)<br />
Lösning. Den fullständiga lösningen y(x) till ekvationen y ′ = 2x är<br />
Satisfiera begynnelseillkoret<br />
y = x 2 + C. (164)<br />
y(0) = 1 → 0 − C = 1 → C = 1,<br />
<strong>och</strong> lösningen till begynnelsevärdesproblemet är<br />
Exempel 4.6<br />
Lös begynnelsevärdesproblemet<br />
y = x 2 + 1. (165)<br />
y ′ (x) = x + y, y(0) = 0. (166)<br />
Den (fullständiga) lösningen till ekvationen (157) y ′ = x + y blir, enligt (159),<br />
Satisfiera begynnelseillkoret<br />
y = ce x − x − 1.<br />
y(0) = 0 → c − 0 − 1 = 0 → c = 1.<br />
Den (exakta) lösningen till begynnelsevärdesproblemet (166) är<br />
Kolla detta:<br />
y(x) = e x − x − 1.<br />
y ′ (x) = (e x − x − 1) ′ = e x − 1 = (e x − 1 − x) + x = y + x,<br />
y ′ (0) = 1 − 1 − 0 = 0.<br />
Exempel 4.7<br />
53
Lös begynnelsevärdesproblemet<br />
y ′ = −y − 3(x + 1), y(0) = 2, y = y(x), (167)<br />
Lösning. Lös den homogena ekvationen<br />
y ′ + y = 0 (168)<br />
som motsvarar ekvationen y ′ = −y − 3(x + 1). (168) har karakteristiska polynomet<br />
r + 1<br />
med nollstället r = −1. Den fullständiga lösningen y0(x) till homogena ekvationen<br />
(168) är d˚a<br />
y0 = Ce −x .<br />
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (167):<br />
yp = ax + b : y ′ p + yp = (ax + b) ′ + (ax + b) = ax + (a + b) = −3x − 3 → a = −3, b = 0<br />
<strong>och</strong> yp(x) = (−3) · x + 0 = −3x.<br />
Den fullständiga lösningen till ekvationen (167) blir<br />
Satisfiera begynnelseillkoret<br />
y = y0 + yp = Ce −x − 3x.<br />
y(0) = 2 → C − 0 = 2 → C = 2.<br />
Den (exakta) lösningen till begynnelsevärdesproblemet (167) är d˚a<br />
Kolla att y(0) = 2e 0 − 0 = 2 <strong>och</strong><br />
dvs upfyller ekvationen (167).<br />
y(x) = 2e −x − 3x.<br />
y ′ = (2e −x − 3x) ′ = −2e −x − 3 = −y − 3x − 3,<br />
54
4.3 Linjära differentialekvationer av andra ordningen<br />
En linjär differentialekvation av andra ordningen är<br />
M(y) ≡ y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = h(x). (169)<br />
Här är a, b <strong>och</strong> h givna kontinuerliga funktioner. M kallas en linjär differentialoperator<br />
(av andra ordningen) eftersom M satisfierar (156).<br />
Ekvationen<br />
y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0 (170)<br />
kallas den till (169) hörande homogena ekvationen. (169) kallas inhomogena ekvationen<br />
L˚at yp vara en given lösning till (169). D˚a är funktionen y lösning till (169) om<br />
<strong>och</strong> endast om y är av formen<br />
y = yh + yp,<br />
där funktionen yh är en lösning till motsvarande homogena ekvationen (170).<br />
Lösningen yp kallas partikulärlösning.<br />
4.3.1 Linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta<br />
koefficienter<br />
Betrakta ekvationen<br />
y ′′ + ay ′ + by = 0 (171)<br />
med konstanta (komplexa) koefficienterna a <strong>och</strong> b. Lösningen till homogena ekvationen<br />
(171) är av formen<br />
eller<br />
y = C1e r1x + C2e r2x , r1 = r2, (172)<br />
y = (C1 + C2x)e rx , r1 = r2 = r, (173)<br />
där r1 <strong>och</strong> r2 är nollställena till motsvarande karakteristiska polynomet<br />
Exempel 4.8<br />
Ekvationen<br />
r 2 + ar + b. (174)<br />
y ′′ − 4y ′ + 3y = 0 (175)<br />
55
har karakteristiska polynomet<br />
r 2 − 4r + 3 (176)<br />
med nollställena r1 = 1 <strong>och</strong> r2 = 3. Den fullständiga lösningen till homogena<br />
ekvationen (175) är<br />
Exempel 4.9<br />
Ekvationen<br />
har karakteristiska polynomet<br />
y = C1e x + C2e 3x .<br />
y ′′ + y = 0 (177)<br />
r 2 + 1 (178)<br />
med komplexa nollställena r1 = i <strong>och</strong> r2 = −i (här i 2 = −1). Den fullständiga<br />
lösningen till (177) är<br />
y = C1e ix + C2e −ix = C1 cos x + iC1 sin x + C2 cos x − iC2 sin x = ˜ C1 cos x + ˜ C2 sin x, (179)<br />
eftersom<br />
4.4 Singulära punkter<br />
e ix = cos x + i sin x,<br />
e −ix = cos x − i sin x.<br />
Betrakta en differentialekvation av andra ordningen<br />
y ′′ = f(x, y, y ′ ). (180)<br />
Om y, y ′ <strong>och</strong> y ′′ är begränsade i punkten x0, s˚a är x0 en regulär punkt. Om y <strong>och</strong> y ′<br />
är begränsade i punkten x0 <strong>och</strong> y ′′ är obegränsad i x0, s˚a är x0 en singulär punkt.<br />
Betrakta nu en homogen linjär differentialekvation av andra ordningen (169)<br />
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0. (181)<br />
Här är P <strong>och</strong> Q givna funktioner i ett öppet intervall p˚a reela axeln x som inneh˚aller<br />
punkten x0. Skriv om (181)<br />
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y. (182)<br />
56
Här, kan man bestämma regulära <strong>och</strong> singulära punkter genom koefficienterna P<br />
<strong>och</strong> Q med hjälp av ovanst˚aende definitionen. Om P <strong>och</strong> Q är begränsade funktioner<br />
i punkten x0, s˚a är x0 en regulär punkt. Om P <strong>och</strong>/eller Q är obegränsade<br />
i x0, s˚a är x0 en singulär punkt.<br />
Vi ska betrakta tv˚a typer av (isolerade) singulära punkter.<br />
1. Om P (x) eller Q(x) är en obegränsad funktion i punkten x0 <strong>och</strong> (x − x0)P (x)<br />
<strong>och</strong> (x−x0) 2 Q(x) är begränsade d˚a x → x0, s˚a kallas x0 en hävbar singulär punkt.<br />
2. Om P (x) <strong>och</strong> Q(x) är obegränsade funktioner i punkten x0 <strong>och</strong> (x−x0)P (x) →<br />
∞ <strong>och</strong> (x − x0) 2 Q(x) → ∞ d˚a x → x0, s˚a kallas x0 en väsentlig singulär punkt.<br />
Exempel 4.10<br />
I fallet av en linjär differentialekvationer av andra ordningen med konstanta<br />
koefficienter (171)<br />
är alla reella x regulära punkter till (183).<br />
Exempel 4.11<br />
y ′′ + ay ′ + by = 0, (183)<br />
I fallet av en linjär differentialekvation av andra ordningen (169)<br />
y ′′ + a(x)y ′ + b(x)y = 0, (184)<br />
där a <strong>och</strong> b är kontinuerliga funktioner i ett öppet intervall p˚a reela axeln x som<br />
inneh˚aller en punkt x0, s˚a är x0 en regulär punkt till (184).<br />
Exempel 4.12<br />
Betrakta en Eulers ekvation<br />
där ak = 0, k = 1, 2, 3. Skriv om (185)<br />
a1x 2 y ′′ + a2xy ′ + a3y = 0, (185)<br />
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y,<br />
P (x) = a2<br />
a1<br />
1<br />
a3 1<br />
, Q(x) = .<br />
x a1 x2 Här, är P <strong>och</strong> Q obegränsade i x0 = 0, s˚a är x0 = 0 en singulär punkt. Vidare,<br />
(x − x0)P (x) = x a2 1 a2<br />
= ,<br />
a1 x a1<br />
1 a3<br />
=<br />
x2 a1<br />
(x − x0) 2 2 a3<br />
Q(x) = x<br />
a1<br />
57
är begränsade d˚a x → 0, s˚a är x0 = 0 en hävbar singulär punkt till (185).<br />
Exempel 4.13<br />
Betrakta Bessels ekvation<br />
där n är ett reellt tal. Skriv om (186)<br />
x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − n 2 )y = 0, (186)<br />
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y,<br />
P (x) = 1<br />
n2<br />
, Q(x) = 1 − .<br />
x x2 Här, är P <strong>och</strong> Q obegränsade i x0 = 0, s˚a är x0 = 0 en singulär punkt. Vidare,<br />
(x − x0)P (x) = x 1<br />
= 1,<br />
x <br />
1 − n2<br />
x2 <br />
(x − x0) 2 Q(x) = x 2<br />
= x 2 − n 2<br />
är begränsade d˚a x → 0, s˚a är x0 = 0 en hävbar singulär punkt till (186).<br />
Exempel 4.14<br />
Betrakta Legendres ekvation<br />
där l är ett heltal. Skriv om (187)<br />
(1 − x 2 )y ′′ − 2xy ′ + l(l + 1)y = 0, (187)<br />
y ′′ = f(x, y, y ′ ), f(x, y, y ′ ) = −P (x)y ′ − Q(x)y,<br />
P (x) = − 2x<br />
l(l + 1)<br />
, Q(x) = .<br />
1 − x2 1 − x2 Här, är P <strong>och</strong> Q obegränsade i x1 = −1 <strong>och</strong> x2 = 1, s˚a är ±1 singulära punkter.<br />
Vidare,<br />
(x − 1)(x + 1)P (x) = −(x − 1)(x + 1) 2x<br />
= 2x,<br />
1 − x2 (x − 1) 2 (x + 1) 2 Q(x) = (x − 1) 2 2 l(l + 1)<br />
(x + 1)<br />
1 − x2 = l(l + 1)(1 − x2 )<br />
är begränsade d˚a x → ±1, s˚a är ±1 hävbara singulära punkter till (187).<br />
58
4.5 Frobenius’ metod<br />
Vi ska försöka bestämma en (partikulär) lösning y = yp till differentialekvationen<br />
y ′′ + P (x)y ′ + Q(x)y = 0 med hjälp av potensserien (115)<br />
yp(x) = x k<br />
∞<br />
anx n =<br />
n=0<br />
∞<br />
n=0<br />
anx k+n = x k (a0 + a1x + a2x 2 + . . . ), (188)<br />
som konvergerar mot lösningen till differentialekvationen i omgivningen av punkten<br />
0.<br />
Exempel 4.15<br />
Bestäm en partikulär lösning y = yp till differentialekvationen<br />
y ′′ + w 2 y = 0 (189)<br />
med potensserien (188). Derivera termvis serien (188)<br />
y ′ p =<br />
∞<br />
an(k + n)x k+n−1 = (190)<br />
y ′′<br />
p =<br />
n=0<br />
∞<br />
n=0<br />
an(k + n)(x k+n−1 ) ′ =<br />
∞<br />
an(k + n)(k + n − 1)x k+n−2 . (191)<br />
n=0<br />
Insättning i differentialekvationen (189) ger<br />
∞<br />
n=0<br />
an(k + n)(k + n − 1)x k+n−2 + w 2<br />
∞<br />
anx k+n = 0. (192)<br />
Detta är uppfyllt, om koefficienterna för potenser x 0 = 1, x 1 = x, x 2 , . . . , x k , . . .<br />
alla är 0. Härav f˚as följande villkor p˚a koefficienterna an:<br />
Vi antar att a0 = 1, s˚a är<br />
n=0<br />
a0k(k − 1) = 0, (193)<br />
k(k − 1) = 0, dvs (194)<br />
eller<br />
k = 0 (195)<br />
k = 1. (196)<br />
I den första serien (192) byter vi summationsindex genom att sätta n = j + 2. I<br />
den andra serien (192) sättes n = j. D˚a f˚ar vi<br />
aj+2(k + j + 2)(k + j + 1) + w 2 aj = 0,<br />
59
eller<br />
w<br />
aj+2 = −aj<br />
2<br />
, (197)<br />
(k + j + 2)(k + j + 1)<br />
Antag först att (195) gäller. D˚a, enligt (197) med k = 0,<br />
Av (198) följer genast att<br />
w<br />
aj+2 = −aj<br />
2<br />
. (198)<br />
(j + 2)(j + 1)<br />
a2 =<br />
w<br />
−a0<br />
2<br />
= −w2<br />
2 . . . 1 2! a0,<br />
a4 =<br />
w<br />
−a2<br />
2<br />
4 . . . 3 =<br />
<br />
− w2<br />
<br />
−<br />
3 . . . 4<br />
w2<br />
<br />
a0 = +<br />
1 . . . 2<br />
w4<br />
4! a0,<br />
a6 =<br />
w<br />
−a4<br />
2<br />
6 . . . 5 =<br />
<br />
− w2<br />
4 w<br />
a0 = −<br />
5 . . . 6 4!<br />
w6<br />
6! a0,<br />
etc.<br />
Allmänt f˚ar vi succesivt (med hjälp av induktion)<br />
(199)<br />
n w2n<br />
a2n = (−1)<br />
(2n)! a0, n = 1, 2, . . . . (200)<br />
<strong>och</strong> serieutvecklingen (188) av den sökta partikulära lösningen y = yp i fallet k = 0<br />
blir<br />
yp(x) =<br />
<br />
y(x)| k=0 = a0 1 − (wx)2<br />
<br />
(wx)4 (wx)6<br />
+ − + . . . =<br />
2! 4! 6!<br />
(201)<br />
=<br />
∞<br />
n (wx)2n<br />
a0 (−1)<br />
(2n)! = a0 cos wx.<br />
n=0<br />
Om man antar att (196) gäller, d˚a , enligt (197) med k = 1,<br />
w<br />
aj+2 = −aj<br />
2<br />
, (202)<br />
(j + 3)(j + 2)<br />
60
<strong>och</strong> (202) ger<br />
a2 =<br />
w<br />
−a0<br />
2<br />
3 . . . 2<br />
a4 =<br />
w<br />
−a2<br />
2<br />
5 . . . 4<br />
a6 =<br />
w<br />
−a4<br />
2<br />
etc.<br />
7 . . . 6<br />
Allmänt f˚ar vi succesivt (med hjälp av induktion)<br />
a2n = (−1) n<br />
w2n<br />
= −w2<br />
3! a0,<br />
== +w4<br />
5! a0,<br />
= −w6<br />
7! a0,<br />
(203)<br />
(2n + 1)! a0, n = 1, 2, . . . . (204)<br />
<strong>och</strong> serieutvecklingen (188) av den sökta partikulära lösningen y = yp i fallet k = 1<br />
blir<br />
yp(x) =<br />
<br />
y(x)| k=1 = a0x 1 − (wx)2<br />
<br />
(wx)4 (wx)6<br />
+ − + . . . =<br />
3! 5! 7!<br />
(205)<br />
= a0<br />
w<br />
= a0<br />
w<br />
<br />
wx − (wx)3<br />
∞<br />
(−1)<br />
n=0<br />
3!<br />
n (wx)2n+1<br />
+ (wx)5<br />
5!<br />
(2n + 1)!<br />
= a0<br />
w<br />
− (wx)7<br />
7!<br />
sin wx.<br />
<br />
+ . . . =<br />
Vi har f˚att tv˚a partikulära lösningar y = a0 cos wx <strong>och</strong> y = a0 sin wx till<br />
w<br />
differentialekvationen (189) y ′′ + w2y = 0. Om vi tar a0 = 1 <strong>och</strong> w = 1, d˚a ger<br />
(201) <strong>och</strong> (205) Taylorserieutveckling till y = cos x <strong>och</strong> y = sin x<br />
cos x =<br />
∞<br />
n x2n<br />
(−1) ,<br />
(2n)!<br />
n=0<br />
(206)<br />
sin x =<br />
∞<br />
n x2n+1<br />
(−1) .<br />
(2n + 1)!<br />
(207)<br />
n=0<br />
Observera att y = cos x <strong>och</strong> y = sin x definieras genom potensserierna (206) <strong>och</strong><br />
(207).<br />
4.6 Randvärdesproblem<br />
Randvärdesproblemet för linjära differentialekvationen av andra ordningen y ′′ +<br />
q(x)y = 0 skrivas som<br />
<br />
′′ y + q(x)y = 0, y = y(x),<br />
y(a) = y0, y(b) = y1,<br />
a < x < b,<br />
(208)<br />
61
där q(x) är en given kontinuerlig funktion.<br />
För randvärdesproblem med icke-konstant koefficienten q, m˚aste man i allmänhet<br />
beräkna en approximativ lösning.<br />
Exempel 4.16<br />
Skriv den exakta lösningen till randvärdesproblemet för en linjär differentialekvation<br />
av andra ordningen<br />
<br />
′′ y − y = −x, y = y(x), 0 < x < 3,<br />
(209)<br />
y(0) = 0, y(3) = 3.<br />
Lösning. Ekvationen<br />
har karakteristiska polynomet<br />
y ′′ − y = 0 (210)<br />
r 2 − 1 (211)<br />
med nollställena r1 = 1 <strong>och</strong> r2 = −1. Den fullständiga lösningen y0(x) till homogena<br />
ekvationen (210) är<br />
y0 = C1e x + C2e −x .<br />
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (209):<br />
yp = ax + b : y ′′<br />
p − yp = (ax + b) ′′ − (ax + b) = 0 − ax − b = −x → a = 1, b = 0<br />
<strong>och</strong> yp(x) = 1 · x + 0 = x<br />
Den fullständiga lösningen till ekvationen (209) blir<br />
Satisfiera randvillkor<br />
y = y0 + yp = C1e x + C2e −x + x.<br />
y(0) = 0 → C1 + C2 + 0 = 0 → C2 = −C1;<br />
y(3) = 3 → C1e 3 − C1e −3 + 3 = 3, C1(e 3 − e −3 ) = 0 → C1 = 0.<br />
Den (exakta) lösningen till randvärdesproblemet (209) är<br />
Exempel 4.17<br />
y(x) = x. (212)<br />
62
Lös randvärdesproblemet för den linjära differentialekvationen av andra ordningen<br />
<br />
′′ 2 y + 4y = 2(2x + 1), y = y(x), 1 < x < 5,<br />
(213)<br />
y(1) = 1, y(5) = 25.<br />
Lösning. Ekvationen<br />
har karakteristiska polynomet<br />
y ′′ + 4y = 0 (214)<br />
r 2 + 4 (215)<br />
med nollställena r1 = 2i <strong>och</strong> r2 = −2i. Den fullständiga lösningen till homogena<br />
ekvationen (214) är<br />
y0 = C1 cos 2x + C2 sin 2x.<br />
Bestäm en partikulär lösning yp(x) till ekvationen (213) som ett andragradspolynom<br />
(eftersom högerledet 4x 2 + 2 är ett andragradspolynom):<br />
yp = ax 2 + bx + c : y ′′<br />
p + 4yp = (ax 2 + bx + c) ′′ + 4(ax 2 + bx + c) =<br />
2a + 4ax 2 + 4bx + 4c = 4x 2 + 2 → a = 1, b = 0, c = 0,<br />
<strong>och</strong> yp(x) = x 2 .<br />
Den fullständiga lösningen till ekvationen (213) blir<br />
Satisfiera randvillkor<br />
y = y0 + yp = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x 2 .<br />
y(1) = 1 → C1 cos 2 + C2 sin 2 + 1 = 1 → C2 = −C1(cos 2/ sin 2);<br />
y(5) = 25 → C1 cos 10 + C2 sin 10 + 25 = 25, →<br />
C1(cos 10 − sin 10(cos 2/ sin 2)) = 0 → C1 = 0, C2 = 0.<br />
Den (exakta) lösningen till randvärdesproblemet (213) är<br />
Exempel 4.18<br />
y(x) = x 2 . (216)<br />
63
Skriv den exakta lösningen till randvärdesproblemet för en linjär differentialekvation<br />
av andra ordningen<br />
<br />
′′ y − 9y = 0, y = y(x), 0 < x < 1,<br />
(217)<br />
y(0) = 0, y(1) = sinh(3).<br />
Lösning. Ekvationen<br />
har karakteristiska polynomet<br />
y ′′ − 9y = 0 (218)<br />
r 2 − 9 (219)<br />
med nollställena r1 = 3 <strong>och</strong> r2 = −3. Den fullständiga lösningen till homogena<br />
ekvationen (218) är<br />
y = C1e 3x + C2e −3x .<br />
Satisfiera randvillkor [p˚aminn att sinh z = 0.5(e z − e −z )]:<br />
y(0) = 0 → C1 + C2 = 0 → C2 = −C1;<br />
y(1) = sinh(3) → C1e 3 − C1e −3 = sinh(3) = 0.5(e 3 − e −3 ) → C1 = 0.5.<br />
Den (exakta) lösningen till randvärdesproblemet (217) är<br />
y = 0.5(e 3x − e −3x ) = sinh 3x. (220)<br />
5 Generaliserade integraler. Likformig konvergens<br />
5.1 Generaliserade integraler<br />
Antag att funktionen f(x) är begränsad <strong>och</strong> kontinuerlig för x ≥ c. Om gränsvärdet<br />
lim<br />
X→∞<br />
X<br />
a<br />
f(x)dx (221)<br />
existerar (funktionen f(x) är integrerbar), kallas den generaliserade integralen<br />
konvergent, i motsatt fall divergent.<br />
∞<br />
a<br />
f(x)dx (222)<br />
64
5.2 Likformig konvergens<br />
L˚at en funktion f(x, u) ha en definitionsmängd G = {(x, u) : a ≤ x < ∞, α ≤ u ≤<br />
β}. Om den generaliserade integralen<br />
F (u) =<br />
∞<br />
a<br />
f(x, u)dx (223)<br />
konvergerar för alla u ∈ [α, β], s˚a kan man definiera en funktion F (u) som har<br />
definitionsmängden [α, β].<br />
Integralen (223) konvergerar likformigt i intervallet [α, β], om till varje ε > 0<br />
finns det ett tal A = A(ε) s˚adant att olikheten<br />
|<br />
∞<br />
η<br />
f(x, u)dx| < ε (224)<br />
¯gäller för alla u ∈ [α, β] <strong>och</strong> för alla η > A.<br />
Om f(x, u) är en kontinuerlig funktion p˚a G <strong>och</strong> integralen (224) konvergerar<br />
likformigt i intervallet [α, β], s˚a är F (u) en kontinuerlig funktion i [α, β]. Talet A<br />
m˚aste s˚alunda vara oberoende av u <strong>och</strong> endast beroende av ε.<br />
Weierstrass’ jämförelsekriteriet (M-kriteriet). Antag att<br />
|f(x, u)| ≤ ϕ(x) ∀x ≥ a, ∀u ∈ [α, β] (225)<br />
<strong>och</strong> ϕ(x) är integrerbar: ∞<br />
ϕ(x)dx existerar. D˚a är integralen (224) likformigt<br />
a<br />
konvergent i intervallet [α, β].<br />
5.3 Eulers Γ-funktion<br />
Betrakta en generaliserad integral<br />
Γ(x) =<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−t t x−1 dt. (226)<br />
Om x < 1, är integranden f(x, t) = e −t t x−1 obegränsad i punkten t = 0 <strong>och</strong><br />
generaliserade integralen definieras enligt<br />
∞<br />
0<br />
e −t t x−1 dt = lim<br />
X→∞ lim<br />
X<br />
δ→0<br />
δ<br />
e −t t x−1 dt. (227)<br />
Integralen (226) är konvergent för varje x > 0. Visa att den är likformigt<br />
konvergent för x > 0. L˚at X0 <strong>och</strong> x0 vara tv˚a positiva tal s˚adana att X0 > x0 > 0.<br />
Om 0 < x0 ≤ x ≤ X0, s˚a gäller<br />
|f(x, t)| = |e −t t x−1 | ≤ φ(t) =<br />
65<br />
t x0−1 om 0 < t ≤ 1,<br />
e −t t X0−1 om t > 1.<br />
(228)
Integralen<br />
1<br />
är konvergent till varje x0 > 0 <strong>och</strong> integralen<br />
är konvergent till varje X0 > 0. Allts˚a är integralen<br />
∞ 1 ∞<br />
φ(t)dt = + φ(t)dt<br />
0<br />
0<br />
t x0−1 dt (229)<br />
∞<br />
e<br />
1<br />
−t t X0−1<br />
dt (230)<br />
0<br />
konvergent <strong>och</strong> integralen (226) som definierar Γ(x) är likformigt konvergent i<br />
omr˚adet x > 0 ty den är likformigt konvergent i varje intervall x ∈ [x0, X0], där<br />
X0 > x0 > 0.<br />
Sats 5.1 Antag att integralen (223) är konvergent för n˚agot u ∈ [α, β] <strong>och</strong><br />
derivatan ∂f(x,u)<br />
är kontinuerlig i G. D˚a är F (u) kontinuerligt deriverbar i inter-<br />
∂u<br />
vallet [α, β], om integralen ∞<br />
∂f(x, u)<br />
dx<br />
∂u<br />
är likformigt konvergent i [α, β] <strong>och</strong> derivatan<br />
a<br />
F ′ (u) =<br />
∞<br />
a<br />
1<br />
∂f<br />
(x, u)dx. (231)<br />
∂u<br />
Med hjälp av den här satsen <strong>och</strong> olikheter (228), kan man visa att Eulers Γfunktion<br />
(226) är oändligt m˚anga g˚anger kontinuerligt deriverbar i omr˚adet x > 0,<br />
Γ(x) ∈ C ∞ (0, ∞).<br />
5.4 Generaliserade komplexvärda integraler<br />
L˚at C vara en kurva i komplexa planet C <strong>och</strong> D ett omr˚ade. Antag att funktionen<br />
f(ξ, z) är definierad <strong>och</strong> kontinuerlig för ξ ∈ C <strong>och</strong> z ∈ D <strong>och</strong> är en analytisk<br />
funktion av en komplex variabel z för varje ξ ∈ C. Definiera<br />
<br />
F (z) = f(ξ, z)dξ (232)<br />
C<br />
F (z) är en analytisk funktion av z i omr˚adet D.<br />
I fallet, när<br />
C = {ξ : Imξ = 0, Reξ ≥ a}, (233)<br />
66
kan man formulera begreppet likformig konvergens av generaliserade komplexvärda<br />
integraler (232) <strong>och</strong> ett tillräckligt villkor (att generalisera M-kriteriet).<br />
Om integralen som definierar F (z) är likformigt konvergent i omr˚adet D, s˚a är<br />
F (z) en analytisk funktion i D.<br />
5.4.1 Eulers Γ-funktion<br />
Betrakta komplexvärda Eulers Γ-funktion<br />
Γ(z) =<br />
Integralen är likformigt konvergent i omr˚adet<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−t t z−1 dt, (234)<br />
D = Dδ,A = {z : 0 < δ ≤ Rez ≤ A}<br />
för alla positiva A > δ enligt Weierstrass’ kriteriet, eftersom<br />
|e −t t z−1 <br />
δ−1 t om 0 < t ≤ 1,<br />
| ≤<br />
e−ttA−1 om t > 1,<br />
där integralerna 1<br />
0 tδ−1dt <strong>och</strong> ∞<br />
1 e−ttA−1dt konvergerar. D˚a är Γ(z) en analytisk<br />
funktion i D+ = {z : Rez > 0}.<br />
Man kan definiera en analytisk fortsättning av Γ(z) <strong>och</strong> definiera den i hela<br />
komplexa planet utom vissa punkter (poler). Skriv<br />
Γ(z) =<br />
1<br />
e<br />
0<br />
−t t z−1 ∞<br />
dt + e<br />
1<br />
−t t z−1 dt = P (z) + Q(z).<br />
Integralen som definierar Q(z), är likformigt konvergent i varje begränsat omr˚ade<br />
D ⊂C, eftersom<br />
|e −t t z−1 | ≤ e −t t A−1<br />
om t ≥ 1 <strong>och</strong> Rez ≤ A. D˚a är Q(z) en analytisk funktion i D.<br />
Skriv e−t bestäm P (z):<br />
som summan av den överallt konvergenta potensserien <strong>och</strong> sedan<br />
P (z) =<br />
1<br />
t<br />
0<br />
z−1<br />
<br />
∞<br />
<br />
∞<br />
n tn (−1)<br />
(−1) dt =<br />
n!<br />
n=0<br />
n=0<br />
n 1<br />
t<br />
n! 0<br />
n+z−1 dt =<br />
=<br />
∞ (−1) n 1<br />
n! n + z .<br />
n=0<br />
67
Man kan integrera serien termvis eftersom den är likformigt konvergent i varje<br />
interval t ∈ [a, b]. Nu kan man skriva<br />
P (z) =<br />
=<br />
1<br />
m + z +<br />
∞<br />
n=0, n=m<br />
(−1) n<br />
n!<br />
1<br />
n + z =<br />
1<br />
m + z + Pm(z) (m = 0, 1, . . . ),<br />
där Pm(z) en analytisk funktion i omgivningen till punkten zm = m (eftersom<br />
motsvarande serien är likformigt konvergent i denna omgivning). D˚a är Γ(z) =<br />
P (z) + Q(z) en analytisk funktion i C utom (reella) enkelpoler zm = m.<br />
Formeln<br />
Γ(z) =<br />
∞ (−1) n 1<br />
n! z + n +<br />
n=0<br />
∞<br />
e<br />
1<br />
−t t z−1 dt<br />
ger en analytisk fortsättning (definition) av Γ(z) i hela komplexa planet utom<br />
enkelpoler z = 0, −1, −2, ....<br />
6 Laplaces integraler<br />
Laplacetransformen av en funktion f(t) (Laplaces integral) definieras<br />
F (s) = L (f) =<br />
∞<br />
0<br />
e −st f(t)dt.<br />
6.1 Laplaces integral som analytisk funktion<br />
Sats 6.1<br />
Om Laplaceintegralen<br />
F (s) = L (f) =<br />
∞<br />
0<br />
e −st f(t)dt<br />
är konvergent för s = s0, s˚a konvergerar den för alla s i halvplanet Re s >Re s0 (<strong>och</strong><br />
för alla reela s > s0) <strong>och</strong> F (s) är i detta halvplan en reguljär analytisk funktion, dvs<br />
en funktion som har derivator av godtyckligt hög ordning. Derivatorna f˚as genom<br />
derivering under integraltecknet<br />
d<br />
F (s) =<br />
ds<br />
∞<br />
0<br />
68<br />
e −st (−t)f(t)dt (235)
<strong>och</strong> allmänt<br />
dn F (s) =<br />
dsn ∞<br />
e<br />
0<br />
−st (−t) n f(t)dt (236)<br />
Vi kan multipliciera b˚ada leden i (236) med (−1) n <strong>och</strong> f˚ar d˚a<br />
L (t n f(t)) = (−1)<br />
n dn<br />
För den speciella funktionen f(t) = 1 är<br />
vilket ger<br />
F (s) = L (f) =<br />
F (s) (n = 1, 2, . . . ). (237)<br />
dsn ∞<br />
e<br />
0<br />
−st dt = s −1<br />
L (t n n dn<br />
) = (−1)<br />
dsn s−1 = (−1) n (−1)(−2) . . . (−n)s −n−1 = n!s −n−1<br />
<strong>och</strong> allts˚a<br />
(n = 0, 1, 2, . . . )<br />
(238)<br />
L (t n ) = n!<br />
s n+1 (n = 0, 1, 2, . . . ). (239)<br />
T ex<br />
L (t) = 1<br />
s2 , L (t2 ) = 2<br />
s3 , L (t3 ) = 6<br />
. (240)<br />
s4 En funktion f(t) är av exponentiell ordning k om det existerar positiva konstanter<br />
k <strong>och</strong> M sadana att för n˚agot T olikheten<br />
|f(t)| ≤ Me kt , t ≥ T (241)<br />
gäller.<br />
Exponentialfunktionen e ct är en funktion av exponentiell ordning k = c (eftersom<br />
e ct ≤ e ct , t ≥ 0). sin t <strong>och</strong> cos t är funktioner av exponentiell ordning k = 0<br />
(eftersom t ex | sin t| ≤ e 0·t = 1).<br />
Sats 6.2<br />
L˚at f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0 (dvs med möjligt<br />
undantag för isolerade punkter.) Antag att f(t) är en funktion av exponentiell<br />
ordning k, s˚a existerar dess Laplacetransformen for alla komplexa s sadana att<br />
Re s > k (<strong>och</strong> för alla reela s > k).<br />
Bevis. Betrakta reela s. f(t) har en Laplacetransform eftersom enligt (241) motsvarande<br />
integralen ∞<br />
0 e−stf(t)dt är konvergent:<br />
∞<br />
0<br />
|e −st f(t)|dt ≤<br />
∞<br />
0<br />
e −st |f(t)|dt ≤<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−st Me kt ∞<br />
dt = M<br />
0<br />
69<br />
e (k−s)t dt = M<br />
s − k<br />
(s > k).
Sats 6.3<br />
L˚at f(t) vara en styckvis kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0 <strong>och</strong> en funktion<br />
av exponentiell ordning k (dvs satisfierar villkoret<br />
|f(t)| ≤ Me kt<br />
(t ≥ T ), (242)<br />
där k <strong>och</strong> M är vissa positiva konstanter,) <strong>och</strong> derivatan f ′ (t) en styckvis kontinuerlig<br />
funktion i intervallet t ≥ 0. D˚a existerar Laplacetransformen av derivatan<br />
f ′ (t) om s > k <strong>och</strong><br />
L (f ′ ) = sL (f) − f(0), s > k. (243)<br />
Bevis. Antag att derivatan f ′ (t) är en kontinuerlig funktion i intervallet t ≥ 0.<br />
D˚a , enligt definitionen av Laplacetransform, kan man välja s s˚a stor att integralen<br />
är konvergent <strong>och</strong><br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−st f ′ (t)dt<br />
lim<br />
t→∞ e−stf(t) = 0.<br />
Lägg märke till att f(t) har en Laplacetransform (se Sats 6.2). Genom att använda<br />
definitionen av Laplacetransform <strong>och</strong> partiell integration, f˚ar vi<br />
L (f ′ ) =<br />
∞<br />
0<br />
e −st f ′ (t)dt == e −st f(t) ∞<br />
0 +s<br />
∞<br />
0<br />
e −st f(t)dt = 0−f(0)+sL (f), s > k.<br />
Bestäm Laplacetransformen av derivatan av andra ordningen<br />
L (f ′′ ) = sL (f ′ )−f ′ (0) = s[sL (f)−f(0)]−f ′ (0) = s 2 L (f)−sf(0)−f ′ (0). (244)<br />
Vidare,<br />
L (f ′′′ ) = s 3 L (f) − s 2 f(0) − sf ′ (0) − f ′′ (0).<br />
Genom induktion (<strong>och</strong> upprepad användning av (243)), f˚ar vi Laplacetransformer<br />
av derivatorna f (n) av en godtycklig ordning n = 1, 2, . . .<br />
L (f (n) ) = s n L (f) − s n−1 f(0) − s n−2 f ′ (0) − · · · − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0). (245)<br />
Exempel 6.1 Laplacetransformen av f(t) = t 2<br />
L˚at f(t) = t 2 , t ≥ 0. Bestäm F (s).<br />
Lösning. Vi har<br />
f ′ (t) = 2t, f ′′ (t) = 2,<br />
70
d˚a<br />
<strong>och</strong> Laplacetransformen är<br />
f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = 2.<br />
L (f ′′ ) = L (2) = 2<br />
s = s2 L (f), (246)<br />
Betrakta den sista likheten i (246)) som en ekvation <strong>och</strong> bestäm Laplacetransformen<br />
L<br />
<strong>och</strong><br />
L (t 2 ) = 2<br />
.<br />
s3 Exempel 6.2 Laplacetransformen av cos ωt<br />
Bestäm Laplacetransformen av f(t) = cos ωt.<br />
Lösning. Vi har<br />
f ′′ (t) = −ω 2 cos ωt = −ω 2 f(t),<br />
(244) ger<br />
f(0) = 1, f ′ (0) = 0.<br />
L (f ′′ ) = −ω 2 L (f) = s 2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f) − s.<br />
Betrakta den sista likheten som en ekvation <strong>och</strong> bestäm Laplacetransformen L<br />
L (f) =<br />
s<br />
s2 .<br />
+ ω2 Exempel 6.3 Laplacetransformen av sin ωt<br />
Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin ωt.<br />
Lösning. Vi har<br />
f ′ (t) = ω cos ωt, f ′′ (t) = −ω 2 sin ωt = −ω 2 f(t).<br />
Beräkna derivator i punkten t = 0<br />
D˚a ger (244)<br />
f(0) = 0, f ′ (0) = ω.<br />
L (f ′′ ) = −ω 2 L (f) = s 2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f) − ω.<br />
71
Betrakta den sista likheten som en ekvation <strong>och</strong> bestäm Laplacetransformen L<br />
Exempel 6.4<br />
L (f) =<br />
ω<br />
s2 .<br />
+ ω2 Bestäm Laplacetransformen av f(t) = sin 2 t.<br />
Lösning. Vi har<br />
Beräkna derivator i punkten t = 0<br />
D˚a ger (244)<br />
f ′ (t) = 2 sin t cos t = sin 2t, f ′′ (t) = 2 cos 2t.<br />
f(0) = 0, f ′ (0) = 0, f ′′ (0) = 2.<br />
L (f ′′ ) = 2L (cos 2t) = 2s<br />
s 2 + 4 = s2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f).<br />
Betrakta likheten<br />
2s<br />
s 2 + 4 = s2 L (f)<br />
som en ekvation <strong>och</strong> bestäm Laplacetransformen L<br />
Exempel 6.5<br />
L (sin 2 t) =<br />
2<br />
s(s 2 + 4) .<br />
Bestäm Laplacetransformen av f(t) = t sin ωt.<br />
Lösning. Vi har f(0) = 0 <strong>och</strong><br />
Beräkna derivatan av andra ordningen<br />
Enligt (244)<br />
f ′ (t) = sin ωt + ωt cos ωt, f ′ (0) = 0.<br />
f ′′ (t) = 2ω cos ωt − ω 2 t sin ωt = 2ω cos ωt − ω 2 f(t),<br />
L (f ′′ ) = 2ωL (cos ωt) − ω 2 L (f) = s 2 L (f) − sf(0) − f ′ (0) = s 2 L (f).<br />
Betrakta likheten<br />
2ω<br />
s<br />
s 2 + ω 2 − ω2 L (f) = s 2 L (f)<br />
som en ekvation <strong>och</strong> bestäm Laplacetransformen L<br />
L (f) = L (t sin ωt) =<br />
72<br />
2ωs<br />
(s2 + ω2 .<br />
) 2
6.2 Vissa egenskaper av Laplaces integraler<br />
Fördröjningssatsen.<br />
L˚at F (s) vara Laplacetransformen av f(t). D˚a är<br />
e −as F (s)<br />
Laplacetransformen av avskärningsfunktionen<br />
<br />
˜f(t)<br />
0 om t < a,<br />
= f(t − a)u(t − a) =<br />
f(t − a) om t > a,<br />
eller<br />
L [f(t − a)u(t − a)] = e −as F (s),<br />
f(t − a)u(t − a) = L −1 {e −as F (s)}.<br />
Bevis. Av Laplacestransformens definition följer att<br />
e −as F (s) = e −as<br />
∞<br />
Variabelsubstitutionen t + a = t ′ ger<br />
0<br />
e −as F (s) =<br />
e −st f(t)dt =<br />
∞<br />
a<br />
∞<br />
0<br />
e −st′<br />
f(t ′ − a)dt ′ .<br />
e −s(t+a) f(t)dt.<br />
För att f˚a Laplacestransformen, m˚aste man integrera över intervallet (0, ∞). Vi gör<br />
det genom att använda definitionen av Heavisides stegfunktion <strong>och</strong> avskärningsfunktionen<br />
<strong>och</strong> ersätter f(t ′ − a) med f(t ′ − a)u(t ′ − a) (p˚aminn att f(t) = 0 för negativa t)<br />
e −as ∞<br />
F (s) = e −st′<br />
f(t ′ − a)u(t ′ − a)dt ′ = L [f(t − a)u(t − a)].<br />
0<br />
Bestäm Laplacetransformen av stegfunktionen u(t − a)<br />
L [u(t − a)] =<br />
∞<br />
<strong>och</strong> Laplacetransformen är<br />
0<br />
e −st u(t − a)dt =<br />
Exempel 6.6 Fördröjningssatsen<br />
∞<br />
L [u(t − a)] = 1<br />
s e−as .<br />
73<br />
a<br />
e −st dt = − 1<br />
s e−ts ∞<br />
t=a
Betrakta originalfunktionen<br />
⎧<br />
⎨ 2 om 0 < t < π,<br />
f(t) = 0<br />
⎩<br />
sin t<br />
om π < t < 2π,<br />
om t > 2π,<br />
(247)<br />
Bestäm Laplacetransformen F (s).<br />
Lösning. Skriv f(t) i (247) med häjlp av Heavisides stegfunktion, dvs, använd<br />
avskärning: f(t) → f(t)u(t)<br />
<strong>och</strong><br />
fördröjning: f(t)u(t) → f(t − a)u(t − a)<br />
⎧<br />
⎨ 2u(t) om 0 < t < π,<br />
f(t) = 2u(t) − 2u(t − π) = 0 om π < t,<br />
⎩<br />
2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π) sin t = f(t) för alla t > 0.<br />
D˚a<br />
f(t) = 2u(t) − 2u(t − π) + u(t − 2π) sin t ∀t > 0,<br />
(vi skriv den sista termen som u(t − 2π) sin (t − 2π) eftersom sin x är en periodisk<br />
funktion), <strong>och</strong><br />
F (s) = 2 2<br />
−<br />
s s e−πs + 1<br />
s2 + 1 e−2πs<br />
eftersom Laplacetransformen av f(t) = sin ωt är<br />
<strong>och</strong> Laplacetransformen av sin t är<br />
Exempel 6.7<br />
Betrakta Laplacetransformen<br />
L (f) =<br />
ω<br />
s2 .<br />
+ ω2 L (sin t) = 1<br />
s 2 + 1 .<br />
F (s) = 2 2<br />
−<br />
s2 s2 e−2s − 4<br />
s e−2s + s<br />
s2 + 1 e−πs . (248)<br />
Bestäm originalfunktionen f(t).<br />
Lösning. Utan exponentialfunktioner, har fyra termer<br />
2 2<br />
, − , −4<br />
s2 s2 s ,<br />
74<br />
s<br />
s 2 + 1<br />
(249)
i (248) originalfunktioner 2t, −2t, −4 <strong>och</strong> cos t eftersom Laplacetransformen av<br />
cos ωt är<br />
L (cos ωt) =<br />
<strong>och</strong><br />
L (cos t) = s<br />
s 2 + 1<br />
s<br />
s2 .<br />
+ ω2 (ω = 1).<br />
Enligt fördröjningssatsen, kan man skriva originalfunktionen f(t) som har Laplacetransformen<br />
F (s) (248) med häjlp av Heavisides stegfunktion:<br />
D˚a<br />
f(t) = 2t − 2(t − 2)u(t − 2) − 4u(t − 2) + u(t − π) cos (t − π) =<br />
2t − 2tu(t − 2) − 4u(t − 2) − cos tu(t − π).<br />
⎧<br />
⎨ 2t if 0 < t < 2,<br />
f(t) = 2t − 2t = 0<br />
⎩<br />
2t − 2t − cos t = − cos t<br />
if 2 < t < π,<br />
if t > π,<br />
6.3 Heavisides stegfunktion. Diracs deltafunktion<br />
6.3.1 Heavisides stegfunktion<br />
Heaviside stegfunktion definieras<br />
6.3.2 Diracs deltafunktion<br />
u(t − a) =<br />
0 om t < a,<br />
1 om t > a.<br />
Impulsfunktioner. Betrakta en funktionsföljd som kallas impulsfunktionen<br />
<br />
1/k,<br />
fk(t − a) =<br />
0,<br />
a ≤ t ≤ a + k,<br />
t /∈ [a, a + k],<br />
(250)<br />
Dess impuls Ik definieras som integralen<br />
Ik =<br />
∞<br />
0<br />
fk(t − a)dt =<br />
a+k<br />
a<br />
1<br />
dt = 1.<br />
k<br />
Man kan skriva impulsfunktionen f(t) (250) med häjlp av Heavisides stegfunktion<br />
fk(t − a) = 1<br />
[u(t − a) − u(t − (a + k))].<br />
k<br />
75
Impulsfunktionens Laplacetransform är d˚a<br />
L (fk(t − a)) = 1<br />
ks [e−as − e −(a+k)s ] = e<br />
Skriv en formell definition (en formell gränspuls)<br />
δ(t − a) kallas Diracs deltafunktion.<br />
δ(t − a) = lim<br />
k→0 fk(t − a).<br />
−as 1 − e−ks<br />
6.3.3 Definitionen av Diracs deltafunktion genom Laplacetransform<br />
Laplacetransformen L {δ(t−a)} av Diracs deltafunktion definieras som ett gränsvärde<br />
Vi har<br />
<strong>och</strong><br />
−as 1 − e−ks<br />
L {δ(t − a)} = lim L (fk(t − a)) = lim e<br />
k→0 k→0 ks<br />
e −as 1 − (1 − ks + O(ks)<br />
lim<br />
k→0<br />
2 )<br />
ks<br />
L {δ(t − a)} = e −as ,<br />
L {δ(t)} = 1.<br />
ks<br />
.<br />
=<br />
= e −as lim<br />
k→0 [1 + O(ks)] = e −as ,<br />
Man kan betrakta fler funktionsföljder (impulsfunktioner), som används för att<br />
definiera Diracs deltafunktion:<br />
<br />
1<br />
1<br />
n, − ≤ t ≤<br />
δn(t) =<br />
2n 2n ,<br />
(251)<br />
Man kan visa att i alla fall (251)–(254),<br />
0, |t| > 1<br />
2n ,<br />
δn(t) = n<br />
√ π e −n2 x 2<br />
, (252)<br />
δn(t) = n 1<br />
π 1 + n2 , (253)<br />
x2 n<br />
sin nx 1<br />
δn(t) = = e<br />
πx 2π<br />
ixt dt. (254)<br />
In =<br />
∞<br />
0<br />
−n<br />
δn(t)dt = 1. (255)<br />
76
I fallet (251), har vi<br />
<strong>och</strong><br />
∞<br />
−∞<br />
s˚a att man kan använda likheten<br />
∞<br />
1/2n<br />
δn(t)f(t)dt = n f(t)dt =<br />
=<br />
−1/2n<br />
n 1<br />
n f(t∗n) = f(t ∗ n), t ∗ n ∈ [− 1 1<br />
,<br />
2n 2n ]<br />
lim<br />
n→0<br />
∞<br />
δn(t)f(t)dt = lim f(t<br />
−∞<br />
n→0 ∗ n) = f(0), (256)<br />
−∞<br />
δ(t)f(t)dt = f(0) (257)<br />
för att definiera (bestämma) ’värden’ av Diracs deltafunktion.<br />
Vi har ocks˚a<br />
δ(at) = 1<br />
δ(t),<br />
a<br />
a > 0. (258)<br />
6.4 Vissa tillämpningar av Laplaces integraler: lösning av<br />
ordinära diffekvationer<br />
Problem 5.3.21 (AEM)<br />
Lös begynnelsevärdesproblemet<br />
y ′′ + 6y ′ + 8y = e −3t − e −5t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0. (259)<br />
Lösning. Vi löser begynnelsevärdesproblemet med hjälp av Laplaces metod.<br />
Steg 1. Sätt<br />
Y = L (y), r(t) = e −3t − e −5t , R = L (r) = L (e −3t ) − L (e −5t ) = 1 1<br />
−<br />
s + 3 s + 5 ,<br />
<strong>och</strong> Laplacetransformera b˚ada leden i y ′′ + 6y ′ + 8y = r(t)<br />
<strong>och</strong> f˚a sidoekvationen<br />
L (y ′′ ) + 6L (y ′ ) + 8L (y) = 1 1<br />
−<br />
s + 3 s + 5 ,<br />
[s 2 Y − sy(0) − y ′ (0)] + 6[sY − y(0)] + 8Y = 1 1<br />
−<br />
s + 3 s + 5<br />
77
eller<br />
(s 2 + 6s + 8)Y = 1 1<br />
−<br />
s + 3 s + 5 .<br />
Steg 2. Lös ekvationen genom att använda transferfunktionen<br />
Vi f˚ar<br />
Y (s) =<br />
Partialbr˚aksuppdelning ger<br />
Q = Q(s) =<br />
1<br />
s 2 + 6s + 8 .<br />
<br />
1 1<br />
1 1 1<br />
− Q(s) = −<br />
s + 3 s + 5<br />
s + 3 s + 5 s2 + 6s + 8 .<br />
s 2 + 6s + 8 = (s + 2)(s + 4), Q(s) =<br />
2Y (s) =<br />
1<br />
(s + 3)(s + 2) −<br />
<br />
1 1<br />
=<br />
2 s + 2<br />
1<br />
s2 + 6s + 8<br />
<br />
1 1 1 1<br />
− −<br />
s + 3 s + 5 s + 2 s + 4<br />
1<br />
(s + 5)(s + 2) −<br />
2 1<br />
3 s + 2<br />
D˚a<br />
Y (s) = 1 1<br />
3 s + 2<br />
Steg 3. Beräkna lösningen<br />
Problem 5.3.23 (AEM)<br />
Lös begynnelsevärdesproblemet<br />
2 2<br />
− +<br />
s + 3 s + 4<br />
1<br />
(s + 3)(s + 4) +<br />
1 1<br />
− +<br />
s + 3 s + 4<br />
2 1<br />
−<br />
3 s + 5 .<br />
1 1<br />
−<br />
3 s + 5 .<br />
y(t) = L −1 (Y ) = 1<br />
3 e−2t − e −3t + e −4t − 1<br />
3 e−5t =<br />
1<br />
3 e−5t (e 3t − 3e 2t + 3e t − 1) = 1<br />
3 e−5t (e t − 1) 3 .<br />
=<br />
<br />
1<br />
− ,<br />
s + 4<br />
1<br />
(s + 5)(s + 4) =<br />
y ′′ + 9y = r(t), r(t) = 8 sin t, 0 < t < π, 0, t > π; y(0) = 0, y ′ (0) = 4.<br />
Lösning. Vi löser begynnelsevärdesproblemet med hjälp av Laplaces metod.<br />
Steg 1. Sätt<br />
Y = L (y),<br />
78
(t) = 8[u(t) − u(t − π)] sin t = 8u(t) sin t − 8u(t − π) sin(t − π).<br />
R(s) = L (r) = 8L (u(t) sin t) − 8L (u(t − π) sin(t − π)) = 8<br />
s 2 + 1 − e−πs 8<br />
s 2 + 1 .<br />
Laplacetransformera b˚ada leden i differentialekvationen y ′′ + 9y = r(t)<br />
<strong>och</strong> f˚a sidoekvationen<br />
eller<br />
Vi f˚ar<br />
D˚a<br />
L (y ′′ ) + 9L (y) = R(s),<br />
[s 2 Y − sy(0) − y ′ (0)] + 9Y = R(s),<br />
(s 2 + 9)Y = 4 + R(s).<br />
Steg 2. Lös ekvationen genom att använda transferfunktionen<br />
Y (s) = 4<br />
s 2 + 9<br />
Q = Q(s) = 1<br />
s 2 + 9 .<br />
1<br />
+ 8<br />
s2 1<br />
+ 1 s2 + 9 − 8e−πs 1<br />
s2 1<br />
+ 1 s2 + 9 =<br />
<br />
1<br />
s2 1<br />
−<br />
+ 1 s2 <br />
=<br />
+ 9<br />
4<br />
s2 1<br />
+<br />
+ 9 s2 1<br />
−<br />
+ 1 s2 − e−πs<br />
+ 9<br />
3<br />
s2 1<br />
+<br />
+ 9 s2 + 1 − e−πs 1<br />
s2 + 1 + e−πs 1<br />
s2 + 9 .<br />
Steg 3. Beräkna lösningen<br />
y(t) = L −1 (Y ) = sin 3t + sin t − u(t − π) sin t + 1<br />
u(t − π) sin 3t.<br />
3<br />
<strong>och</strong> man kan skriva<br />
y(t) = sin 3t + sin t, 0 < t < π,<br />
y(t) = sin 3t + sin t − sin t + 1 4<br />
sin 3t = sin 3t, t > π.<br />
3 3<br />
79
7 Grundbegrepp av asymptotiska <strong>metoder</strong><br />
7.1 O- <strong>och</strong> o-symboler (Landaus symboler)<br />
L˚at R vara en mängd av reella tal (ofta ett begränsat eller obegränsat intervall)<br />
<strong>och</strong> x0 vara en punkt s˚adan att omgivningen<br />
U x0<br />
δ = {x : 0 < |x0 − x| < δ} ⊂ R ∀δ ∈ (0, δ0), δ0 > 0.<br />
L˚at φ(x) <strong>och</strong> ψ(x) vara funktioner med definitionsmängden R.<br />
Funktionen φ(x) säges vara av stort ordo ψ(x) p˚a R, φ = O(ψ), x ∈ R, om det<br />
finns en konstant A (oberoende av x) s˚adan att<br />
|φ(x)| ≤ A|ψ(x)| ∀x ∈ R. (260)<br />
Funktionen φ(x) säges vara av stort ordo ψ(x) d˚a x → x0, φ = O(ψ), x → x0,<br />
om det finns en konstant A <strong>och</strong> en omgivning U x0<br />
δ av punkten x0 s˚adana att<br />
|φ(x)| ≤ A|ψ(x)| ∀x ∈ U x0<br />
δ<br />
∩ R. (261)<br />
Funktionen φ(x) säges vara av litet ordo ψ(x) d˚a x → x0, φ = o(ψ), x → x0,<br />
om det till varje ɛ > 0 finns en omgivning U x0<br />
ɛ av punkten x0 s˚adan att<br />
|φ(x)| ≤ ɛ|ψ(x)| ∀x ∈ U x0<br />
ɛ ∩ R. (262)<br />
Om ψ(x) = 0, x ∈ R, kan man formulera ekvivalenta definitioner: φ = O(ψ),<br />
x ∈ R, om kvoten<br />
φ(x)<br />
är begränsad ∀x ∈ R. (263)<br />
ψ(x)<br />
φ = O(ψ), x → x0 i R, om<br />
φ(x)<br />
ψ(x)<br />
φ = o(ψ), x → x0 i R, om<br />
är begränsad, x → x0, x ∈ R. (264)<br />
φ(x)<br />
ψ(x) → 0 d˚a x → x0, x ∈ R. (265)<br />
Ur (260) <strong>och</strong> (263) följer att φ = O(ψ), x → x0 i R, om<br />
φ(x)<br />
ψ(x) → a, d˚a x → x0, x ∈ R, a = konst. (266)<br />
80
I fallet när (266) gäller, skriver man φ = O ∗ (ψ).<br />
Betrakta ett partikulärt fall ψ = konst. Funktionen φ(x) säges vara av stort<br />
ordo 1 p˚a R, φ = O(1), x ∈ R, om φ(x) är begränsad p˚a R,<br />
|φ(x)| ≤ A ∀x ∈ R. (267)<br />
Funktionen φ(x) säges vara av stort ordo 1 d˚a x → x0 (x ∈ R), φ = O(1), x → x0,<br />
om φ(x) är begränsad i en omgivning av punkten x0,<br />
|φ(x)| ≤ A, x ∈ U x0<br />
δ<br />
∩ R. (268)<br />
Funktionen φ(x) säges vara av litet ordo 1 d˚a x → x0, φ = o(1), x → x0, om<br />
Exempel 7.1<br />
φ(x) → 0 d˚a x → x0 (x ∈ R). (269)<br />
sin x = O(1), cos x = O(1), x ∈ R 1 , (270)<br />
√ x = O(1), x ∈ [0, 1], (271)<br />
sin x = o(1), cos x − 1 = o(1) x → 0 (x ∈ R 1 ), (272)<br />
sin x<br />
x<br />
= O(1), x ∈ R 1 sin x<br />
x<br />
=<br />
\ {0},<br />
O<br />
(273)<br />
∗ cos x − 1<br />
x<br />
=<br />
(1), x → 0,<br />
o(1), x → 0,<br />
(274)<br />
(275)<br />
x n = o(1) (n ∈ N), x α = o(1) (α > 0), x → 0, (276)<br />
x −n = o(1) (n ∈ N), x α = o(1) (α < 0), x → ∞, (277)<br />
x n+1 = o(x n ) (n ∈ N ∪ {0}), x → 0. (278)<br />
x −n−1 = o(x −n ) (n ∈ N), x → ∞. (279)<br />
Här, betecknar R 1 mängden av alla reella tal <strong>och</strong> N= {1, 2, . . . } mängden av alla<br />
naturliga tal utom 0.<br />
Följderna {x n }n∈N, x → 0, <strong>och</strong> {x −n }n∈N, x → ∞, är klassiska exempel av<br />
asymptotiska följder; villkoren (278) <strong>och</strong> (279) är avgörande.<br />
Man kan visa dessa <strong>och</strong> m˚anga s˚adana likheter med hjälp av Taylors <strong>och</strong><br />
Maclaurins formler: om funktionen φ(x) har n + 1 kontinuerliga derivator i ett<br />
81
interval (δ-omgivningen) som inneh˚aller punkten x0 (x0 = 0 i fallet av Maclaurins<br />
formel), s˚a är<br />
där<br />
φ(x) =<br />
φ(x) =<br />
n<br />
k=0<br />
n<br />
k=0<br />
φ (k) (x0)<br />
(x − x0)<br />
n!<br />
k + Tn(x), |x − x0| < δ, (280)<br />
φ (k) (0)<br />
n! xk + Mn(x), |x| < δ, (281)<br />
Tn(x) = (x − x0) n o(1) = o((x − x0) n ), (282)<br />
Mn(x) = x n o(1) = o(x n ). (283)<br />
(280) <strong>och</strong> (281) är klassiska exempel av asymptotiska serier.<br />
Det är lätt att kolla följande egenskaper:<br />
om f(x) = O(1) <strong>och</strong> g(x) = o(1), x → x0, d˚a<br />
(284)<br />
f(x)g(x) = o(1), x → x0, (285)<br />
f(x) + g(x) = O(1), x → x0, (286)<br />
om f(x) = o(1) <strong>och</strong> g(x) = o(1), x → x0, d˚a<br />
f(x)g(x) = o(1), x → x0, (287)<br />
f(x) + g(x) = o(1), x → x0, (288)<br />
7.1.1 Likformiga relationer<br />
Funktionen φ(x, y) säges vara av stort ordo ψ(x) p˚a R likformigt med avseende p˚a<br />
parametern y ∈ Y (detta skrivs φ = o(ψ), x ∈ R lmap y ∈ Y ), om det finns en<br />
konstant A (oberoende av x <strong>och</strong> y) s˚adan att<br />
|φ(x, y)| ≤ A|ψ(x, y)| ∀x ∈ R ∀y ∈ Y. (289)<br />
Funktionen φ(x, y) är av stort ordo 1 p˚a R likformigt med avseende p˚a parametern<br />
y ∈ Y (φ = O(1), x ∈ R lmap y ∈ Y ), om φ(x, y) är likformigt begränsad<br />
map y ∈ Y , dvs om det finns en konstant A s˚adan att<br />
|φ(x, y)| ≤ A ∀x ∈ R ∀y ∈ Y. (290)<br />
82
Funktionen φ(x, y) säges vara av stort ordo ψ(x, y) d˚a x → x0 likformigt med<br />
avseende p˚a parametern y ∈ Y (φ = O(ψ), x → x0 lmap y ∈ Y ), om det finns en<br />
konstant A <strong>och</strong> en omgivning U x0<br />
δ av punkten x0 s˚adana att<br />
|φ(x, y)| ≤ A|ψ(x, y)| ∀x ∈ U x0<br />
δ<br />
∩ R ∀y ∈ Y. (291)<br />
Funktionen φ(x, y) säges vara av litet ordo ψ(x, y) d˚a x → x0, likformigt med<br />
avseende p˚a parametern y ∈ Y (φ = o(ψ), x → x0, lmap y ∈ Y ), om det till varje<br />
ɛ > 0 finns en omgivning U x0<br />
ɛ av punkten x0 s˚adan att<br />
|φ(x, y)| ≤ ɛ|ψ(x, y)| ∀x ∈ U x0<br />
ɛ ∩ R ∀y ∈ Y. (292)<br />
Om ψ(x, y) = 0, x ∈ R, y ∈ Y , kan man formulera ekvivalenta definitioner:<br />
φ = O(ψ), x ∈ R lmap y ∈ Y om<br />
φ(x, y)<br />
ψ(x, y)<br />
φ = O(ψ), x → x0 i R lmap y ∈ Y om<br />
φ(x, y)<br />
ψ(x, y)<br />
är likformigt begränsad map y ∈ Y ∀x ∈ R. (293)<br />
är likformigt begränsad map y ∈ Y , x → x0, x ∈ R. (294)<br />
φ = o(ψ), x → x0 i R lmap y ∈ Y om<br />
φ(x, y)<br />
ψ(x, y) → 0 d˚a x → x0 (x ∈ R) likformigt map y ∈ Y . (295)<br />
Ur (260) <strong>och</strong> (263) följer att φ = O(ψ), x → x0 i R lmap y ∈ Y om<br />
φ(x, y)<br />
ψ(x, y) → a = konst, d˚a x → x0 (x ∈ R) likformigt map y ∈ Y . (296)<br />
Funktionen φ(x, y) är av litet ordo 1 d˚a x → x0 lmap y ∈ Y om<br />
Exempel 7.2<br />
φ(x, y) → 0 d˚a x → x0 (x ∈ R) likformigt map y ∈ Y . (297)<br />
sin xy = O(1), x ∈ R 1<br />
cos[x(y 2 + 1)] = O(1), x ∈ R 1<br />
lmap y ∈ R 1 , (298)<br />
lmap y ∈ R 1 , (299)<br />
√<br />
x + y = O(1), x ∈ [0, 1] lmap y ∈ [0, a] ∀a > 0, (300)<br />
sin xy = o(1), cos(xy) − 1 = o(1) x → 0 lmap y ∈ [0, a] ∀a > (301) 0,<br />
sin x<br />
x + y2 = O(1), x ∈ R+ lmap y ∈ R 1 , (302)<br />
sin x<br />
x + y2 + 1 = O∗ (1), x → 0 lmap y ∈ R 1 . (303)<br />
83
Allts˚a<br />
x n = o(1), x → 0 lmap n ∈ N, (304)<br />
x y = o(1), x → 0 lmap y ∈ Y + = {y : y ≥ y0 > 0}, (305)<br />
x −n = o(1), x → ∞ lmap n ∈ N, (306)<br />
x y = o(1), x → ∞ lmap y ∈ Y − = {y : y ≤ y0 < 0}, (307)<br />
x n+1 = o(x n ), x → 0 lmap n ∈ N ∪ 0. (308)<br />
Visa (304). L˚at U 0 δ = {x : 0 < |x| < δ}, 0 < δ < 1, <strong>och</strong> antar att x ∈ U 0 δ . D˚a<br />
7.1.2 Algebraiska regler<br />
|x n | ≤ |x| ∀n ∈ N. (309)<br />
x n → 0 likformigt map n ∈ N d˚a x → 0.<br />
1 Om funktionen φ(x) är av litet ordo ψ(x) d˚a x → x0, (φ = o(ψ), x → x0) eller<br />
är av stort ordo Ψ(x) d˚a x → x0 (φ = O(Ψ), x → x0) <strong>och</strong> α > 0, s˚a gäller<br />
Symboliskt, kan man skriva<br />
|φ(x)| α = o(|ψ| α ), (310)<br />
|φ(x)| α = O(|Ψ| α ). (311)<br />
|o(ψ)| α = o(|ψ| α ), |O(ψ)| α = O(|Ψ| α ), x → x0 (α > 0).<br />
2 Om funktionerna φi(x) är av litet ordo ψi(x) d˚a x → x0 (φi = o(ψi),<br />
x → x0) eller är av stort ordo Ψi(x) d˚a x → x0 (φi = O(Ψi), x → x0) <strong>och</strong><br />
αi = konst (i = 1, 2, . . . , k), s˚a gäller<br />
k<br />
k<br />
αiφi = o( |αi||ψi|), (312)<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
k<br />
k<br />
αiφi = O( |αi||Ψi|). (313)<br />
2 ′ Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 likformigt med avseende<br />
∞<br />
∞<br />
p˚a i ∈ N, αi = konst <strong>och</strong> serien |αiψi| konvergerar, s˚a gäller: serien αiφi kon-<br />
i=1<br />
vergerar <strong>och</strong> (312), (313) gäller. Man kan p˚ast˚a ingenting beträffande konvergens<br />
∞<br />
∞<br />
av serien αiφi, om serien |αiψi| divergerar.<br />
i=1<br />
i=1<br />
84<br />
i=1<br />
i=1
3 Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 (x ∈ R), αi = konst <strong>och</strong><br />
s˚a gäller<br />
|ψi| ≤ |ψ| ∀x ∈ U x0<br />
δ<br />
∩ R (i = 1, 2, . . . , k), (314)<br />
k<br />
αiφi = o(ψ), (315)<br />
i=1<br />
k<br />
αiφi = O(Ψ). (316)<br />
i=1<br />
3 ′ Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 likformigt med avseende<br />
∞<br />
p˚a i ∈ N, αi = konst <strong>och</strong> serien |αi| konvergerar, s˚a gäller (315) <strong>och</strong> (316).<br />
i=1<br />
4 Om φi = o(ψi), x → x0 eller φi = O(Ψi), x → x0 (i = 1, 2, . . . , k), s˚a gäller<br />
Π k i=1φi = φ1 · · · · · φk = o(Π k i=1ψi), Π k i=1φi = O(Π k i=1Ψi). (317)<br />
5 Om φ = o(ψ), x → b eller φ = O(Ψ), x → b <strong>och</strong> φ(x) <strong>och</strong> ψ(x) är integrerbara<br />
funktioner i ett intervall R = (a, b), s˚a gäller<br />
b b b<br />
b <br />
φ(t)dt = o |ψ(t)|dt , φ(t)dt = O |Ψ(t)|dt , x → b. (318)<br />
x<br />
x<br />
x<br />
6 Om φ(x, y) = o(ψ(x, y)), x → x0 eller φ(x, y) = O(Ψ(x, y)), x → x0 (x ∈ R)<br />
likformigt map y ∈ (α, β) <strong>och</strong> till varje x ∈ R är φ(x, y) <strong>och</strong> ψ(x, y) integrerbara<br />
funktioner map y i intervallet (α, β), s˚a gäller<br />
β<br />
β <br />
φ(x, y)dy = o |ψ(x, y)|dy , x → x0, (319)<br />
α<br />
β<br />
α<br />
β <br />
φ(x, y)dy = O |Ψ(x, y)|dy , x → x0. (320)<br />
7 Kombinationsregler:<br />
α<br />
α<br />
O(O(φ)) = O(φ), (321)<br />
O(o(φ)) = o(O(φ)) = o(o(φ)) = o(φ), (322)<br />
O(φ)O(ψ) = O(φψ), (323)<br />
O(φ)o(ψ) = o(φ)o(ψ) = o(φψ), (324)<br />
O(φ) + O(φ) = O(φ) + o(φ) = O(φ), (325)<br />
o(φ) + o(φ) = o(φ). (326)<br />
85<br />
x
7.2 <strong>Asymptotiska</strong> följder<br />
Följderna {x n }n∈N, x → 0, <strong>och</strong> {x −n }n∈N, x → ∞, är exempel av asymptotiska<br />
följder; villkoren (278) <strong>och</strong> (279) är avgörande. Allmänt, kallas en funktionsföljd<br />
{φn(x)} n∈N , x ∈ R, en asymptotisk följd (AF) d˚a x → x0 i R, om<br />
φn+1 = o(φn) ∀n ∈ N, x → x0 (x ∈ R). (327)<br />
En funktionsföljd {φn(x)} säges vara en asymptotisk följd likformigt med avseende<br />
p˚a n ∈N d˚a x → x0 i R, om<br />
φn+1 = o(φn) lmap n ∈ N, x → x0 (x ∈ R). (328)<br />
En funktionsföljd {φn(x, y)} n∈N säges vara en asymptotisk följd (AF) likformigt<br />
med avseende p˚a y ∈ Y d˚a x → x0 i R, om<br />
φn+1 = o(φn) lmap y ∈ Y <strong>och</strong> n ∈ N, x → x0 (x ∈ R). (329)<br />
Här kommer exempel av AF:<br />
φn(x) = (x − x0) n , x → x0, x ∈ R 1 , (330)<br />
φn(x) = x −n , x → ∞, x ∈ R 1 \ {0}, (331)<br />
φn(x) = x −λn , x → ∞, λn+1 > λn ∀n ∈ N (x ∈ R 1 ), (332)<br />
φn(x) = e x x −λn , x → ∞, λn+1 > λn ∀n ∈ N (x ∈ R 1 ), (333)<br />
φn(x) = e −nx x −λn , x → ∞, λn+1 > λn ∀n ∈ N (x ∈ R 1 . (334)<br />
7.2.1 Ekvivalenta följder<br />
Funktionsföljder {φn(x)} n∈N <strong>och</strong> {ψn(x)} n∈N säges vara ekvivalenta, om<br />
φn(x) = O(ψn) <strong>och</strong> ψn(x) = O(φn) d˚a x → x0 (x ∈ R) ∀n ∈ N. (335)<br />
7.2.2 Algebraiska regler<br />
1 Om {φn(x)} n∈N är en AF d˚a x → x0 i R <strong>och</strong> α > 0, s˚a är {|φn(x)| α } n∈N en<br />
AF d˚a x → x0 i R. Beviset följer ur (310).<br />
2 Om {φn(x)} n∈N <strong>och</strong> {ψn(x)} n∈N är ekvivalenta följder <strong>och</strong> {φn(x)} n∈N är<br />
en AF d˚a x → x0 i R, s˚a är {ψn(x)} n∈N en AF d˚a x → x0.<br />
Bevis. Vi har<br />
ψn+1 = O(φn+1) = O(o(φn)) = O(o(O(ψn))) = o(ψn). (336)<br />
3 Om {φn(x)} M n=1 <strong>och</strong> {ψn(x)} M n=1 är tv˚a AF med lika m˚anga (M) termer (d˚a<br />
x → x0 i R), s˚a är {φn(x)ψn(x)} M n=1 en AF d˚a x → x0 i R. Beviset följer ur (324)<br />
o(φ)o(ψ) = o(φψ)<br />
86
4 Om {φn(x)} M n=1 är en AF (d˚a x → x0 i R), αn,i är en mängd av positiva tal<br />
s˚adana att<br />
αn+1,i ≤ αn,i ∀i = 0, 1, 2, . . . , k <strong>och</strong> n = 1, 2, . . . , N, (337)<br />
k < N, (338)<br />
(dvs αn,i är avtagande talföljder map n, ∀i = 0, 1, 2, . . . , k) <strong>och</strong><br />
ψn =<br />
k<br />
αn,i|φn+i|, n = 1, 2, . . . , N − k, (339)<br />
i=0<br />
s˚a är {ψn(x)} n∈N en AF d˚a x → x0. Man kan okcs˚a generalisera p˚ast˚aendet<br />
<strong>och</strong> betrakta fallet n ∈N, när αn,i är oändliga avtagande talföljder map n, ∀i =<br />
0, 1, 2, . . . , k.<br />
Bevis. Enligt definitionerna, är φ = o(ψ) d˚a x → x0, om det till varje ɛ > 0<br />
finns en omgivning U x0<br />
ɛ av punkten x0 s˚adan att<br />
<strong>och</strong><br />
|φ(x)| ≤ ɛ|ψ(x)| ∀x ∈ U x0<br />
ɛ ∩ R.<br />
φn+1 = o(φn) ∀n ∈ N, x → x0 (x ∈ R)<br />
(eftersom {φn(x)} n∈N är en AF d˚a x → x0), s˚a gäller: till varje tal ɛ > 0 <strong>och</strong><br />
n = 1, 2, . . . , N − k (eller n ∈N) finns det en omgivning U x0<br />
ɛ av punkten x0 s˚adan<br />
att<br />
Allts˚a<br />
|ψr+1| ≤ ɛ|ψr|, r = n, n + 1, . . . , n + k, x ∈ U x0<br />
ɛ ∩ R.<br />
ψn+1 =<br />
k<br />
αn+1,i|φn+i+1| ≤ ɛ<br />
i=0<br />
k<br />
αn,i|φn+i| = ɛψn. (340)<br />
5 Om {φn(x)} n∈N är en AF lmap n ∈N (d˚a x → x0 i R), αn,i är en mängd<br />
av positiva tal s˚adana att<br />
i=0<br />
αn+1,i ≤ αn,i ∀i = 0, 1, 2, . . . <strong>och</strong> n = 1, 2, . . . (341)<br />
(här har vi oändligt m˚anga oändliga avtagande (map n) talföljder αn,i, i = 0, 1, 2, . . . )<br />
<strong>och</strong> serien<br />
∞<br />
ψ1 = α1,i|φ1+i| (342)<br />
i=0<br />
87
konvergerar i en omgivning R2 = U x0<br />
ɛ av punkten x0, s˚a gäller: det finns en<br />
delmängd R0 ⊂ R (där x0 är en gränspunkt till R0) s˚adan att serien<br />
ψn =<br />
∞<br />
αn,iφn+i n = 1, 2, . . . , (343)<br />
i=0<br />
konvergerar i R0 <strong>och</strong> {ψn(x)} n∈N är en AF lmap n ∈N d˚a x → x0 i R0.<br />
Bevis. Det finns en delmängd R1 ⊂ R (där x0 är en gränspunkt till R1) s˚adan<br />
att<br />
|φn+1| ≤ |φn| ∀x ∈ R1, ∀n ∈ N.<br />
eftersom {φn(x)} är en AF lmap n ∈N d˚a x → x0 i R. Allts˚a<br />
<strong>och</strong><br />
|ψn+1| =<br />
ψn+1 =<br />
i=0<br />
≤<br />
∞<br />
αn+1,iφn+1+i ≤<br />
i=0<br />
∞<br />
αn,iφn+i < · · · <<br />
i=0<br />
∞<br />
α1,iφ1+i = |ψ1| n = 1, 2, . . . , (344)<br />
i=0<br />
∞<br />
∞<br />
αn+1,i|φn+i+1| ≤ ɛ αn,i|φn+i| = ɛψn+1, x ∈ R1 ∩ R2, (345)<br />
i=0<br />
eftersom {φn(x)} n∈N är en AF lmap n ∈N.<br />
6 Om {φn(x, y)} är en AF lmap y ∈ Y = (α, β) d˚a x → x0 i R <strong>och</strong> till varje<br />
x ∈ R konvergerar integraler<br />
Φn(x) =<br />
β<br />
α<br />
|φn(x, y)|dy (346)<br />
(dvs φn(x, y) är integrerbara funktioner map y i intervallet (α, β)), s˚a är {Φn(x)}<br />
en AF d˚a x → x0 i R.<br />
Bevis. Använd (319) <strong>och</strong> definitionen (327):<br />
Φn+1(x) =<br />
=<br />
β<br />
α<br />
β<br />
α<br />
|φn+1(x, y)|dy =<br />
o(|φn|)dy = o<br />
Allts˚a, är {Φn(x)} en AF d˚a x → x0 i R.<br />
β<br />
88<br />
α<br />
<br />
|φn|dy = o(Φn), x → x0. (347)
7 Om φ(x) är integrerbar funktion i ett intervall R = (a, b) <strong>och</strong> {φn(x)} är<br />
en AF d˚a x → b i R, s˚a är<br />
Φn(x) =<br />
b<br />
en AF d˚a x → b i R.<br />
Bevis. Använd (318) <strong>och</strong> definitionen (327):<br />
Φn+1(x) =<br />
=<br />
b<br />
x<br />
b<br />
x<br />
x<br />
|φn+1|(x, y)|dy =<br />
o(|φn|)dy = o<br />
Allts˚a, är {Φn(x)} en AF d˚a x → b i R.<br />
7.3 <strong>Asymptotiska</strong> serier<br />
|φn(t)|dt (348)<br />
b<br />
x<br />
<br />
|φn|dy = o(Φn), x → b. (349)<br />
Serierna (280) <strong>och</strong> (281) är klassiska exempel av asymptotiska serier, nämligen,<br />
asymptotiska potensserier. Vidare, betecknar {φn(x)}, {ψn(x)} etc. (n ∈N) olika<br />
AF d˚a x → x0 i R.<br />
En ändlig eller oändlig serie<br />
<br />
anφn(x) (350)<br />
n<br />
säges vara en asymptotisk utveckling (AU) till funktionen f(x) d˚a x → x0 i R med<br />
N termer, om<br />
f(x) =<br />
En s˚adan AU betecknas<br />
N<br />
anφn(x) + o(φN), x → x0, x ∈ R. (351)<br />
n<br />
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → x0 (352)<br />
(utan att skriva x ∈ R).<br />
Funktionsserien i (351) kallas en asymptotisk serie (AS).<br />
En AU best˚aende av en term<br />
f(x) ∼ a1φ1(x), x → x0 (353)<br />
89
kallas en asymptotisk framställning av funktionen f(x) d˚a x → x0 i R. I detta fall,<br />
kallas funktioner f(x) <strong>och</strong> a1φ1(x) ekvivalenta d˚a x → x0, eftersom<br />
eller<br />
f(x) − a1φ1(x) = o(φ1), (354)<br />
f(x)<br />
φ1(x) = a1 + o(1) → konst, x → x0 om φ1(x) = 0 (x ∈ R). (355)<br />
En AU (351) som gäller för ett godtyckligt N (best˚aende av oändligt m˚anga<br />
termer, N = ∞) skrivs<br />
f(x) ∼ anφn(x), x → x0. (356)<br />
<strong>och</strong> kallas ofta helt enkelt en AU.<br />
AS kan vara konvergenta <strong>och</strong> divergenta.<br />
En AU (351), där AF φn = φn(x, y) är likformig med avseende p˚a y ∈ Y d˚a<br />
x → x0 i R, säges vara likformig med avseende p˚a (lmap) y ∈ Y d˚a x → x0 i R,<br />
om<br />
M<br />
f(x) − anφn(x) = o(φM) lmap y ∈ Y, x → x0 (x ∈ R), (357)<br />
n=1<br />
om M är tillräckligt stort.<br />
Ur (351), följer, att man kan bestämma koefficienterna am successivt med hjälp<br />
av likheter<br />
am = lim<br />
x→x0<br />
<br />
f(x) − m−1 n=1 anφn(x)<br />
<br />
φm(x)<br />
m = 1, 2, . . . , N. (358)<br />
Man kan visa att, om {φn(x)} är en given AF, s˚a finns det en <strong>och</strong> endast en<br />
AU till den givna funktionen f(x) med det givna antalet termer N.<br />
˚A andra sidan, olika AF ger olika AU till samma funktion f(x).<br />
Exempel 7.3<br />
1<br />
1 + x ∼ (−1) n−1 x −n , x → ∞, (359)<br />
1<br />
1 + x ∼ (x − 1)x −2n , x → ∞, (360)<br />
1<br />
1 + x ∼ (−1) n−1 (x 2 − x + 1)x −3n , x → ∞. (361)<br />
90
7.3.1 Linjära operationer<br />
Man kan visa följande egenskaper genom att använda algebraiska regler <strong>och</strong> definitionen<br />
(351) i formen<br />
f(x) −<br />
N<br />
anφn(x) = o(φN), x → x0, x ∈ R. (362)<br />
n<br />
1 Om ändliga serier<br />
<br />
anφn(x) <strong>och</strong> <br />
bnφn(x) (363)<br />
n<br />
är AU (352) till funktionerna f(x) <strong>och</strong> g(x) d˚a x → x0 i R med N termer,<br />
s˚a gäller<br />
<strong>och</strong><br />
n<br />
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → x0, (364)<br />
g(x) ∼ bnφn(x) med N termer d˚a x → x0, (365)<br />
αf(x) + βg(x) ∼ (αan + βbn)φn(x) med N termer d˚a x → x0. (366)<br />
2 Om<br />
s˚a gäller:<br />
<strong>och</strong><br />
fi(x) ∼ an,iφn(x) med N termer lmap i ∈N d˚a x → x0, (367)<br />
serierna An =<br />
serien<br />
F (x) =<br />
serien<br />
∞<br />
|αi| konvergerar (368)<br />
i=1<br />
∞<br />
an,iαi konvergerar för alla n ∈ N, (369)<br />
i=1<br />
∞<br />
αifi(x) konvergerar i en omgivning av x0 (370)<br />
i=1<br />
∞<br />
αifi(x) ∼ Anφn(x) med N termer d˚a x → x0, (371)<br />
i=1<br />
91
Bevis. Vi har, enligt (362), att<br />
ri(x) = fi(x) − an,iφn(x) = o(φN) lmap i ∈N d˚a x → x0. (372)<br />
Vidare, enligt (314)–(316), konvergerar serien ∞ i=1 αiri i en omgivning av x0 <strong>och</strong><br />
∞<br />
αiri = o(φN), (373)<br />
i=1<br />
eftersom serien ∞ i=1 |αi| konvergerar <strong>och</strong> ri = o(ψN), x → x0 (αi = konst). Allts˚a<br />
∞<br />
∞<br />
αiri = αi[fi(x) − an,iφn(x)] = o(φN), (374)<br />
i=1<br />
i=1<br />
Addera summan N<br />
n=1 Anφn(x) till b˚ada leden av den sista likheten i (374),<br />
< VL ><br />
N<br />
Anφn(x) +<br />
n=1<br />
=<br />
=<br />
∞<br />
αi[fi(x) − an,iφn(x)] =<br />
i=1<br />
N<br />
Anφn(x) +<br />
n=1<br />
∞<br />
αifi(x) −<br />
i=1<br />
N<br />
Anφn(x) + F (x) −<br />
n=1<br />
= F (x) = < HL ><br />
N<br />
<br />
∞<br />
n=1<br />
i=1<br />
N<br />
Anφn(x) =<br />
n=1<br />
αian,i<br />
<br />
φn(x) =<br />
N<br />
Anφn(x) + o(φN), (375)<br />
som visar, att Anφn(x) är en AU till F (x) = ∞<br />
i=1 αifi(x) med N termer.<br />
3 Om följande gäller<br />
(1) {φn(x)} N n=1 <strong>och</strong> {ψm(x)} M m=1 är AF d˚a x → x0 i R (där N < ∞ <strong>och</strong> M < ∞<br />
eller M = ∞);<br />
(2) φN = O(ψm) ∀m;<br />
(3)<br />
s˚a är<br />
(4)<br />
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → x0, (376)<br />
φn(x) ∼ bmnψm(x) med M termer d˚a x → x0, (377)<br />
f(x) ∼ cmψm(x) med N termer d˚a x → x0, (378)<br />
92<br />
n=1
där<br />
cm =<br />
N<br />
anbmn. (379)<br />
n=1<br />
Symboliskt, kan man skriva denna ’stoppregel’<br />
f(x) ∼ <br />
<br />
<br />
bmnψm(x) = <br />
cmψm(x) med N termer d˚a x → x0,<br />
n<br />
an<br />
m<br />
där cm bestäms enligt (379).<br />
4 Om följande gäller<br />
(1) {φn(x)} N n=1 är en AF d˚a x → x0 i R;<br />
(2)<br />
m<br />
f(x, y) ∼ an(y)φn(x) med N termer lmap y ∈ Y = (α, β) d˚a x → x0,(380)<br />
(3) an(y) är integrerbara funktioner för alla n ∈N <strong>och</strong> f(x, y) är integrerbar<br />
funktion map y till varje x ∈ R;<br />
(4) h(y) är integrerbar funktion s˚adan att alla integraler<br />
An =<br />
s˚a gäller: alla integraler<br />
<strong>och</strong><br />
F (x) =<br />
β<br />
α<br />
β<br />
α<br />
h(y)an(y)dy konvergerar, (381)<br />
h(y)f(x, y)dy konvergerar i en omgivning av x0, (382)<br />
F (x) ∼ Anφn(x) med N termer d˚a x → x0. (383)<br />
Symboliskt, kan man skriva denna regel<br />
<br />
β <br />
F (x) ∼ h(y) an(y)φn(x) dy = <br />
Anφn(x) med N termer d˚a x → x0,<br />
α<br />
n<br />
där An bestäms enligt (381).<br />
5 Om<br />
(1) {φn(x)} N n=1 är en AF d˚a x → b i ett intervall R = (a, b), där φn(x) är<br />
positiva integrerbara funktioner i R = (a, b);<br />
n<br />
93
(2) alla integraler<br />
(3)<br />
Φn(x) =<br />
b<br />
x<br />
φn(t)dt konvergerar; (384)<br />
f(x) ∼ anφn(x) med N termer d˚a x → b, (385)<br />
<strong>och</strong> f(x) är integrerbar funktion,<br />
s˚a konvergerar integralen<br />
<strong>och</strong><br />
F (x) =<br />
b<br />
x<br />
f(t)dt fär alla x i n˚agot intervall (c, b) (386)<br />
F (x) ∼ anΦn(x) med N termer d˚a x → b. (387)<br />
Symboliskt, kan man skriva denna integrationsregel<br />
b<br />
x<br />
<br />
anφn(t) dt ∼ anΦn(x) med N termer d˚a x → x0,<br />
där Φn(x) bestäms enligt (384).<br />
7.3.2 Ickelinjära operationer<br />
En funktionsföljd {φn(x)} N n=1, x ∈ R, kallas en multiplikativ asymptotisk följd<br />
(MAF) d˚a x → x0 i R, om {φn(x)} är en AF, φ1 = O(1) <strong>och</strong><br />
φnφm ∼ <br />
cnmkφk med N termer d˚a x → x0, m, n = 1, 2, . . . , N. (388)<br />
k<br />
AF {x n }n∈N, x → 0, <strong>och</strong> {x −n }n∈N, x → ∞, är exempel av MAF. Nämligen,<br />
sätt t ex φn(x) = x n , s˚a gäller φ1 = x = O(1), x → 0, <strong>och</strong><br />
s˚a är<br />
φnφm = x n+m = φn+m = <br />
cnmkφk, m, n = 1, 2, . . . , N.<br />
k<br />
där cnm, n+m = 1 <strong>och</strong> cnmk = 0, k = n + m, (389)<br />
φnφm ∼ <br />
cnmkφk med N = n + m termer d˚a x → 0, m, n = 1, 2, . . . , N.<br />
k<br />
94
Om {φn(x)} N n=1, x ∈ R, är en MAF,<br />
fi ∼ <br />
an,iφn med N termer d˚a x → x0, i = 1, 2, . . . , k, (390)<br />
n<br />
<strong>och</strong> P (z1, . . . , zk) är ett polynom av k komplexa variabler, s˚a gäller: funktionen<br />
F (x) = P (f1, . . . , fk) ∼ <br />
Anφn med N termer d˚a x → x0, (391)<br />
n<br />
där koefficienterna An f˚as genom substitution.<br />
Symboliskt, kan man skriva denna stoppregel<br />
P ( <br />
an,1φn, . . . , <br />
an,kφn) ∼ <br />
Anφn med N termer d˚a x → x0,<br />
där<br />
s˚a är<br />
n<br />
n<br />
n<br />
An = P (an,1, . . . , an,k). (392)<br />
Betrakta ett exempel, där en MAF φn(x) = x n (x → 0). Om<br />
f ∼<br />
N<br />
anx n med N termer <strong>och</strong> g ∼<br />
n=1<br />
fg ∼<br />
Ck =<br />
N+M <br />
k=1<br />
N<br />
n=1 m=1<br />
M<br />
bmx m med M termer , (393)<br />
m=1<br />
Ckx k med K = N + M termer, där (394)<br />
M<br />
anbmcnmk, (395)<br />
där cnmk = 1, k = n + m, <strong>och</strong> cnmk = 0, k = n + m, enligt (389), eftersom<br />
φnφm = x k = φk med k = n + m, n = 1, 2, . . . , N, m = 1, 2, . . . , M.<br />
7.3.3 <strong>Asymptotiska</strong> potensserier<br />
En AU<br />
f(x) ∼<br />
N<br />
akx −k med N termer, x → ∞, (396)<br />
k=0<br />
95
säges vara en asymptotisk potensserie (APS). Funktionen<br />
är integrerbar <strong>och</strong><br />
F (x) =<br />
∞<br />
x<br />
∼ a2<br />
x<br />
f(t)dt =<br />
+ a3<br />
2x<br />
f(x) − a0 − a1<br />
x<br />
∞<br />
x<br />
a4<br />
+ 2<br />
<br />
f(t) − a0 − a1<br />
t<br />
(397)<br />
<br />
dt ∼ (398)<br />
+ . . . med N − 2 termer, x → ∞. (399)<br />
3x3 Ur (399), följer, att om f(x) är integrerbar <strong>och</strong> f ′ (x) utveckals i en APS, s˚a är<br />
f ′ (x) ∼ − a1 2a2 3a3<br />
− − − . . . med N − 1 termer, x → ∞. (400)<br />
x2 x3 x4 7.3.4 Summation av asymptotiska serier<br />
L˚at {φn(x)}, x ∈ R, vara en AF d˚a x → x0 i R. Funktioner f(x) <strong>och</strong> g(x) säges<br />
vara ekvivalenta, om de har samma AU map {φn(x)}:<br />
dvs<br />
f(x) ∼ anφn =<br />
g(x) ∼ anφn =<br />
N<br />
anφn + o(φN), x → x0, (401)<br />
n=1<br />
N<br />
anφn + o(φN), x → x0, (402)<br />
n=1<br />
f(x) − g(x) = o(φN), x → x0, (403)<br />
Summan av en AS anφn är en mängd av alla asymptotiskt lika funktioner<br />
som uppfyller (403).<br />
Exempel 7.4<br />
s˚a är ex 1 , 1−x<br />
{φn(x) = xn }n=0,1,2,...).<br />
e x ∼ 1 + x, x → 0, (404)<br />
1<br />
1 − x<br />
∼ 1 + x, x → 0, (405)<br />
1 + sin x ∼ 1 + x, x → 0, (406)<br />
<strong>och</strong> 1 + sin x asymptotiskt lika med 2 termer d˚a x → 0 (map AF<br />
96
Sats 7.1 Varje AS har en summa.<br />
Bevis. Betrakta en oändlig AS anφn, där an = 0 ∀n. L˚at U x0<br />
δ<br />
= {x : 0 <<br />
|x0 − x| < δ} vara en omgivning av punkten x0 <strong>och</strong> U x0<br />
δn = Un en mängd av<br />
omgivningar s˚adana att Ūn+1 ⊂ Un <strong>och</strong><br />
detta villkor uppfylls eftersom<br />
|an+1φn+1| ≤ 1<br />
2 |anφn|; (407)<br />
an+1φn+1 = o(anφn) (408)<br />
L˚at µn(x) vara en kontinuerlig funktion s˚adan att<br />
0 ≤ µn(x) ≤ 1, x ∈ R,<br />
<br />
0,<br />
µn(x) =<br />
1,<br />
x /∈ Ūn,<br />
x ∈ Un+1,<br />
Följande olikheter gäller för alla x ∈ Un enligt (408)<br />
(409)<br />
|an+pµn+p(x)φn+p(x)| ≤ |an+pφn+p(x)| ≤ 1<br />
2 |an+p−1φn+p−1| ≤ · · · ≤ 1<br />
|anφn|.(410)<br />
2p Sätt<br />
f(x) =<br />
∞<br />
anµn(x)φn(x). (411)<br />
n=1<br />
Denna serie konvergerar enligt (410) för alla x ∈ R <strong>och</strong> definierar funktionen f(x)<br />
i R. Visa, att f(x) ∼ anφn d˚a x → x0. Ta n˚agot N <strong>och</strong> x ∈ UN+1 ∩ R; d˚a<br />
µn(x) = 1, n = 1, 2, . . . , N, <strong>och</strong><br />
enligt (410).<br />
|f(x) −<br />
N<br />
anφn| ≤<br />
n=1<br />
∞<br />
n=N+1<br />
≤ |aN+1φN+1|<br />
= |aN+1φN+1|<br />
|anµnφn| =<br />
∞<br />
p=0<br />
∞<br />
n=N+1<br />
∞<br />
p=1<br />
1<br />
=<br />
2p |an+pµn+pφn+p| ≤<br />
1<br />
=<br />
2n−(N+1) = 2|aN+1φN+1| = o(φN). (412)<br />
97
7.3.5 Addition, multiplikation <strong>och</strong> division av potensserier<br />
Betrakta tv˚a (ändliga eller oändliga) potensserier<br />
A (x) = <br />
k<br />
B (x) = <br />
<strong>och</strong> definiera enhetspotensserie<br />
k<br />
akx k = a0 + a1x + a2x 2 + . . . , (413)<br />
bkx k = b0 + b1x + b2x 2 + . . . , (414)<br />
I (x) = 1 + 0 · x + 0 · x 2 + . . . , (415)<br />
Summan <strong>och</strong> produkten av potensserier definieras<br />
A (x) + B (x) = <br />
(ak + bk)x k = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . . , (416)<br />
A (x)B (x) = <br />
dkx k =<br />
k<br />
k<br />
= a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x 2 + . . . , (417)<br />
k<br />
dk =<br />
(418)<br />
i=0<br />
aibk−i<br />
Invers till en potensserie A(x) är en potensserie<br />
C (x) = <br />
s˚adan att<br />
k<br />
ckx k = c0 + c1x + c2x 2 + . . .<br />
A (x)C (x) = I (x), (419)<br />
där I(x) är enhetspotensserien <strong>och</strong> a0 = 0.<br />
Invers till A (x) betecknas A −1 (x) <strong>och</strong> dess koefficienter ck bestäms succesivt<br />
enligt multiplikationsregeln (418)<br />
Kvoten av potensserier definieras<br />
a0c0 = 1,<br />
a0c1 + a1c0 = 0, (420)<br />
a0c2 + a1c1 + a2c0 = 0,<br />
. . . . . .<br />
A (x)<br />
B (x) = A (x)B−1 (x), b0 = 0. (421)<br />
98
Om ändliga eller oändliga serier<br />
A (x) = <br />
anx n , B (x) = <br />
bnx n , (422)<br />
n<br />
är asymptotiska utvecklingar (AU) till funktionerna A(x) <strong>och</strong> B(x) (d˚a x → 0 i R<br />
med N termer),<br />
s˚a gäller<br />
Visa (425). Vi har<br />
N<br />
A(x) =<br />
B(x) =<br />
Beteckna<br />
Vi har<br />
k=0<br />
N<br />
k=0<br />
A(x)B(x) =<br />
Vidare, är differensen<br />
A(x) ∼ A (x), B(x) ∼ B (x), x → 0, x ∈ R. (423)<br />
n<br />
A(x) + B(x) ∼ A (x) + B (x), (424)<br />
A(x)B(x) ∼ A (x)B (x), (425)<br />
1<br />
B(x) ∼ B−1 (x), (426)<br />
A(x)<br />
B(x)<br />
A (x)<br />
∼ , (427)<br />
B (x)<br />
akx k + O(x N+1 ) = a0 + a1x + · · · + aNx N + · · · + O(x N+1 ) (x → 0),<br />
bkx k + O(x N+1 ) = b0 + b1x + · · · + bNx N + · · · + O(x N+1 ) (x → 0),<br />
C (x) = A (x)B (x) = <br />
k<br />
ckx k = c0 + c1x + c2x 2 + . . . .<br />
= (a0 + a1x + · · · + aNx N )(b0 + b1x + · · · + bNx N ) + O(x N+1 ) (x → 0).<br />
DN ≡ (a0 + a1x + · · · + aNx N )(b0 + b1x + · · · + bNx N ) − (c0 + c1x + · · · + cNx N )<br />
en linjär kombination av potenser x N+1 , x N+2 , . . . , x 2N , s˚a är<br />
<strong>och</strong><br />
Allts˚a,<br />
DN = α1x N+1 + α2x N+2 + · · · + αNx 2N = O(x N+1 )<br />
A(x)B(x) = c0 + c1x + · · · + cNx N + O(x N+1 ) (x → 0).<br />
A(x)B(x) ∼ A (x)B (x) (x → 0). (428)<br />
99
7.4 Partiell integration<br />
Partiell integration är en metod för integrering av en produkt av funktioner enligt<br />
b<br />
a<br />
f(x)g(x)dx =<br />
b<br />
a<br />
g(x)df−1(x) = f−1(x)g(x)| b<br />
a −<br />
b<br />
a<br />
f−1(x)g1(x)dx, (429)<br />
där g1(x) = g ′ (x) betecknar derivatan av den deriverbara funktionen g(x) = g0(x),<br />
f−1(x) är godtycklig primitiv funktion till den integrerbara funktionen f(x) <strong>och</strong><br />
f−1(x)g(x)| b<br />
a = f−1(b)g(b) − f−1(a)g(a). (430)<br />
7.4.1 Partiell integration <strong>och</strong> generaliserade integraler<br />
För att visa, hur kan man tillämpa partiell integration i fallet av en generaliserad<br />
integral i (429), betrakta ett viktigt exempel.<br />
Exempel 7.5<br />
Den generaliserade integralen<br />
f(x) =<br />
∞<br />
0<br />
X<br />
∞<br />
e<br />
G(t, x)dt = lim G(t, x)dt =<br />
X→∞<br />
0<br />
0<br />
−t<br />
dt (431)<br />
1 + xt<br />
existerar för alla x ∈ R + (funktionen G(t, x) är integrerbar map t för varje x ≥ 0<br />
eftersom 0 < G(t, x) ≤ e −t , x ≥ 0, t ≥ 0). För att bestämma integralen, sätt<br />
s˚a är<br />
allmänt<br />
g(t) = 1<br />
1 + xt , h(t) = h0(t) = e −t , (432)<br />
g1(t) = g ′ x<br />
(t) = −<br />
(1 + xt) 2 , h−1(t)<br />
<br />
=<br />
e −t dt = −e −t ; (433)<br />
h−m(t) = (−1) m e −t , (434)<br />
g (m) (t) = gm(t) = (−1) m m!<br />
100<br />
xm (1 + xt) m+1<br />
(m = 1, 2, . . . ),
<strong>och</strong> kör partiell integration succesivt enligt (429) <strong>och</strong> (431):<br />
f(x) =<br />
där<br />
∞<br />
g(t)h(t)dt =<br />
∞<br />
0<br />
0<br />
= h−1(t)g(t)| ∞<br />
0 −<br />
∞<br />
0 ∞<br />
∞<br />
t=0<br />
g(t)dh−1(t) =<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
1<br />
1 + xt d(−e−t ) =<br />
h−1(t)g ′ =<br />
(t)dt =<br />
− e−t <br />
<br />
1 + xt<br />
− (−e<br />
0 0<br />
−t <br />
x<br />
) −<br />
(1 + xt) 2<br />
=<br />
<br />
dt =<br />
<br />
< lim −<br />
T →∞<br />
e−t<br />
<br />
t=T <br />
<br />
∞<br />
<br />
1 + xt<br />
> − e −t x<br />
dt =<br />
(1 + xt) 2 (435)<br />
= 1 − x<br />
= 1 − x<br />
∞<br />
e−t 0<br />
dt =<br />
(1 + xt) 2<br />
1<br />
(1 + xt) 2 d(−e−t <br />
<br />
) = 1 − x 1 −<br />
∞<br />
<br />
1 − 2x<br />
= 1 − x + 2x 2<br />
0<br />
∞<br />
∞<br />
(−e −t )<br />
<br />
− 2x<br />
(1 + xt) 3<br />
<br />
dt =<br />
= 1 − x<br />
0<br />
e<br />
0<br />
−t<br />
dt<br />
(1 + xt) 3<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−t<br />
dt = . . .<br />
(1 + xt) 3<br />
= 1 − x + 2x 2 − 2 · 3x 3 + · · · + (−1) m m!x m +<br />
+<br />
(−1) m+1 (m + 1)!x m+1<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−t<br />
=<br />
dt =<br />
(1 + xt) m+2<br />
m<br />
(−1)<br />
n=0<br />
n n!x n + (−1) m+1 (m + 1)!x m+1<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−t<br />
dt =<br />
(1 + xt) m+2 (436)<br />
=<br />
eftersom<br />
m<br />
anx n + Im+1(x), (437)<br />
n=0<br />
Im+1(x) = O(1), x → 0, (438)<br />
Im+1(x) = am+1x m+1 µm+1(x) <strong>och</strong> µm+1(x) = O(1), x → 0. (439)<br />
7.4.2 Succesiv partiell integration<br />
L˚at g(x) <strong>och</strong> h(x) vara deriverbara funktioner i intervallet [a, b]. Beteckna<br />
g0(t) = g(t), gm(t) = dmg dtm <br />
(m = 1, 2, . . . ), (440)<br />
h0(t) = h(t), h−m(t) = h−m+1(t)dt (m = 1, 2, . . . ), (441)<br />
101
s˚a att<br />
dh−m<br />
dt = h−m+1 (m = 1, 2, . . . ). (442)<br />
Man kan visa med hjälp av succesiv partiell integration, att, enligt (429)<br />
b<br />
a<br />
g(t)h(t)dt =<br />
N−1 <br />
n=0<br />
sn = (−1) n<br />
sn + RN, (443)<br />
<br />
h−n−1(t)gn(t)| b<br />
<br />
a =<br />
= (−1) n [h−n−1(b)gn(b) − h−n−1(a)gn(a)] (444)<br />
RN = (−1) N<br />
b<br />
a<br />
gN(t)h−N(t)dt, (445)<br />
RN = sn + RN−1, N = 2, 3, . . . . (446)<br />
Här betecknar gm(x) = g (m) derivator <strong>och</strong> h−m(x) en (godtycklig) primitiv funktion<br />
till h−m+1(x) (m = 1, 2, . . . ).<br />
Sats 7.2 Om g(t) <strong>och</strong> h(t) är reella funktioner i intervallet [a, b] <strong>och</strong><br />
s˚a gäller<br />
sgn (h−NgN) = sgn (h−N−1gN+1), t ∈ [a, b], (447)<br />
sgn RN = sgn sN <strong>och</strong> |RN| ≤ |sN|. (448)<br />
Bevis. Vi har sgn RN = −sgn RN+1, eftersom<br />
RN = (−1) N<br />
b<br />
a<br />
RN+1 = −(−1) N<br />
b<br />
gN(t)h−N(t)dt, (449)<br />
a<br />
gN+1(t)h−N−1(t)dt, (450)<br />
Antag t ex, att sgn RN = 1 (RN > 0), s˚a är sgn RN+1 = −1 (RN+1 < 0) <strong>och</strong>, enligt<br />
(446),<br />
I Exemplet 6.5,<br />
sN = RN − RN+1 > RN <strong>och</strong> sgn sN = sgn RN = 1. (451)<br />
g(t) = 1<br />
1 + xt > 0, h(t) = e−t > 0, (x, t ≥ 0), (452)<br />
102
Vi f˚ar<br />
<strong>och</strong><br />
s˚a är<br />
h−m = (−1) m e −t , g (m) = gm = (−1) m m!<br />
xm (1 + xt) m+1<br />
(m = 1, 2, . . . ).<br />
sgn h−m = (−1) m , sgn gm = (−1) m (m = 1, 2, . . . ), (453)<br />
sgn (h−mgm) = 1 (m = 1, 2, . . . ), (454)<br />
0 ≤ (−1) m Rm ≤ (−1) m sm. (455)<br />
enligt (451).<br />
I m˚anga fall, är funktionsföljden {sn} i (444) en AF. Betrakta<br />
Enligt (443)–(446), f˚ar vi<br />
b<br />
a<br />
g(t)k(xt)dt =<br />
N = 2, 3, . . . .<br />
N−1 <br />
h(t) = k(xt) (456)<br />
sn(x) + RN, (457)<br />
sn(x) =<br />
n=0<br />
(−1) n x −n−1 [k−n−1(bx)gn(b) − k−n−1(ax)gn(a)] (458)<br />
Om alla primitiva funktioner k−n−1(u) är begränsade, funktionerna<br />
Kn(x) = k−n−1(bx)gn(b) − k−n−1(ax)gn(a) ≥ δ > 0 (x ∈ R)<br />
<strong>och</strong> |RN| ≤ 2|sN|, d˚a kan man visa att (457) är en AU d˚a x → ∞, x ∈ R.<br />
7.5 Problem<br />
Problem 7.1<br />
Visa att<br />
a) CO(x n ) = O(x n ), C = konst,<br />
b) O(x n ) + O(x m ) = O(x n ) om n ≤ m,<br />
c) O(x n )O(x m ) = O(x n+m ),<br />
103
d˚a x → 0 <strong>och</strong> n, m = 0, 1, . . . .<br />
d) Co(x n ) = O(x n ), C = konst,<br />
e) o(x n ) + o(x m ) = o(x n ) om n ≥ m,<br />
f) o(x n )o(x m ) = o(x n+m ),<br />
d˚a x → 0 <strong>och</strong> n, m = 0, 1, . . . .<br />
Visa (b). Enligt (261), är funktionen φn(x) av stort ordo x n d˚a x → 0, φn =<br />
O(x n ), x → 0, om det finns en konstant An > 0 <strong>och</strong> en omgivning U 0 δn , 0 < δn < 1,<br />
av punkten x = 0 s˚adana att<br />
|φn(x)| ≤ An|x n | ∀x ∈ U 0 δn (n = 0, 1, . . . ). (459)<br />
L˚at φn = O(x n ) <strong>och</strong> φm = O(x m ) d˚a x → 0 <strong>och</strong> n ≤ m. Vi har |x| p ≤ 1 om |x| ≤ 1<br />
<strong>och</strong> p = 0, 1, . . . <strong>och</strong> |x| m ≤ |x| n om n ≤ m, n, m = 0, 1, . . . . Vidare<br />
|φn(x) + φm(x)| ≤ |φn(x)| + |φm(x)| ≤ An|x| n + Am|x| m ≤ (460)<br />
≤ An|x| n + Am|x| m ≤ A|x| n ∀x ∈ U 0 δ ,<br />
där A = max{An, Am} <strong>och</strong> δ = min{δn, δm}. Olikheten (460) visar p˚ast˚aendet 6.1<br />
(b).<br />
Man kan ocks˚a skriva<br />
eftersom<br />
Till exempel,<br />
O(x n ) + O(x m ) = O(x n ) + o(x n ) = O(x n ) om n ≤ m,<br />
O(x p ) = o(x p−q ), x → 0 om 0 < q ≤ p <strong>och</strong> p, q = 1, 2, . . . . (461)<br />
Problem 7.2<br />
Visa att<br />
O(x) = o(1), O(x 2 ) = o(x), x → 0. (462)<br />
a) 2x − x 2 = O(x), x → 0,<br />
b) x sin √ x = O(x 3/2 ), x → 0 (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}),<br />
c) arctan 1<br />
x<br />
d) x sin 1<br />
x<br />
= O(1), x → 0,<br />
= O(|x|) x → 0.<br />
104
Visa (b). Beteckna φ(x) = x sin √ x <strong>och</strong> ψ(x) = x 3/2 <strong>och</strong> l˚at R = R + = {x ∈<br />
R 1 : x > 0}. Enligt det tillräckliga villkoret (266), är φ = O(ψ), x → 0 i R, om<br />
φ(x)<br />
ψ(x)<br />
→ a, d˚a x → 0, x ∈ R, a = konst. (463)<br />
<strong>och</strong> man skriver φ = O ∗ (ψ). Visa att i fallet (b), φ = O ∗ (ψ). Vi har<br />
x sin<br />
lim<br />
x→+0<br />
√ x<br />
x3/2 (<br />
= lim<br />
x→+0<br />
√ x) 2 sin √ x<br />
( √ x) 3<br />
Visa (d). Enligt (261), är funktionen<br />
φ(x) = x sin 1<br />
x<br />
= lim<br />
x→+0<br />
sin √ x<br />
√ x = 1.<br />
av stort ordo |x| d˚a x → 0, φ = O(|x|), x → 0,<br />
om det finns en konstant A > 0 <strong>och</strong> en omgivning U 0 δ<br />
att<br />
Vi har<br />
Problem 7.3<br />
Visa att<br />
d)<br />
|φ(x)| ≤ A|x| ∀x ∈ U 0 δ .<br />
<br />
<br />
|φ(x)| = <br />
1 <br />
x sin <br />
x<br />
≤ |x| ∀x ∈ U 0 δ ∀δ > 0.<br />
=<br />
av punkten x = 0 s˚adana<br />
a) ln (1 + x) = O(x), x → 0 (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}),<br />
b + x<br />
b) ln<br />
a + x<br />
b + x<br />
c) ln<br />
a + x<br />
cos ax − cos bx<br />
x<br />
Problem 7.4<br />
Visa att<br />
<br />
1<br />
= O , x ∈ R<br />
x<br />
+ , b > a > 0,<br />
<br />
1<br />
= O , x → ∞ (x ∈ R<br />
x<br />
+ , b > a > 0),<br />
= o(1), x → 0.<br />
ln x = o(x ɛ ), x → ∞ (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}), ɛ > 0. (464)<br />
105
Betrakta först fallet ɛ = 1 <strong>och</strong> visa att<br />
ln x = o(x), x → ∞. (465)<br />
L˚at F1(y) = y − ln y; F1(y) är en deriverbar funktion, y > 0. Vi har<br />
F ′ 1(y) = 1 − 1<br />
y<br />
= y − 1<br />
y<br />
allts˚a y > ln y, y > 1, ty F1(y) > F1(1) = 0, y > 1.<br />
P˚a samma sätt, betrakta F0.5(y) = √ y − ln y (y > 0); d˚a<br />
Ta G2(t) = t − 2 ln t. Vi har<br />
> 0, y > 1; (466)<br />
F0.5(y) = √ y − 2 ln √ y = t − 2 ln t, t = √ y > 0,<br />
G ′ 2(t) = 1 − 2 1<br />
t<br />
= t − 2<br />
t<br />
> 0, t > 2. (467)<br />
Allts˚a G2(t) > G2(2) = 2 − 2 ln 2 > 0 om t > 2, F0.5(y) > 0 om y > 4, <strong>och</strong><br />
√ y > ln y om y > 4.<br />
<strong>och</strong><br />
Vidare, antag att x > 4, s˚a är<br />
0 <<br />
ln x<br />
x<br />
1 ln x<br />
= √ √x <<br />
x<br />
1<br />
√<br />
x<br />
ln x<br />
lim<br />
x→+∞ x<br />
= 0;<br />
allts˚a ln x = o(x), x → ∞, enligt (265).<br />
Nu betrakta funktionen Fɛ(y) = y ɛ − ln y (y > 0, ɛ > 0); d˚a<br />
<strong>och</strong> ta Gµ(t) = t − µ ln t, µ = 1<br />
ɛ<br />
Fɛ(y) = y ɛ − 1<br />
ɛ ln yɛ = t − 1<br />
ɛ ln t, t = yɛ > 0,<br />
G ′ µ(t) = 1 − µ<br />
t<br />
> 0. Vi har<br />
= t − µ<br />
t<br />
(468)<br />
> 0, t > µ. (469)<br />
Allts˚a är Gµ(t) växande om t > µ. Antag, att µ > 2 <strong>och</strong> t > µ 2 , s˚a är följande<br />
gäller<br />
√ t( √ t − µ) > 0 → t − µ √ t > 0 → t − µ ln t > 0, (470)<br />
106
eftersom √ t > ln t (t > 4). Vidare, Gµ(t) > G2(µ 2 + 1) > 0 om t > µ 2 + 1 > µ,<br />
<strong>och</strong> Fɛ(y) > 0, dvs<br />
om y är tillräckligt stort, nämligen<br />
y > yɛ =<br />
y ɛ > ln y, (471)<br />
1<br />
ɛ<br />
2<br />
+ 1<br />
1<br />
ɛ<br />
(472)<br />
Antag nu att ɛ är ett givet positivt tal, 0 < ɛ ′ < ɛ <strong>och</strong> x är tillräckligt stort <strong>och</strong><br />
uppfyller villkoret (472), x > yɛ−ɛ ′. Vidare, enligt (471),<br />
<strong>och</strong><br />
0 <<br />
ln x 1<br />
=<br />
xɛ xɛ′ ln x<br />
xɛ−ɛ′ < 1<br />
xɛ′ lim<br />
x→+∞<br />
allts˚a ln x = o(x ɛ ), x → ∞, enligt (265).<br />
Problem 7.4<br />
Visa att<br />
ln x<br />
= 0;<br />
xɛ (473)<br />
ln x = o(x −ɛ ), x → 0 (x ∈ R = R + = {x ∈ R 1 : x > 0}), ɛ > 0. (474)<br />
Problem 7.5<br />
Visa att<br />
Problem 7.6<br />
Visa att<br />
a)<br />
b)<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
sin xydy = O(1), x → 0 (b > a > 0),<br />
sin x<br />
x + y dy = O(1), x ∈ R+ (b > a > 0).<br />
a) sin 2 x = O(x 2 ), x → 0,<br />
b) | sin x| = O( |x|), x → 0,<br />
c) sin m x = O(x m ), x → 0 (m = 1, 2, . . . ).<br />
107
Problem 7.7<br />
Visa att<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
Problem 7.8<br />
k<br />
αix i = O(1), x → 0,<br />
i=1<br />
k<br />
x i k<br />
= O( | sin x| i ), x → 0,<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
k αi<br />
xi = O(e−x ), x → ∞.<br />
∞<br />
x i = o(1), x → 0 (x ∈ R = [−1 + δ, 1 − δ], 0 < δ < 0.5),<br />
i=1<br />
∞<br />
x i = O(1), x → 0 (x ∈ R = [−1 + δ, 1 − δ], 0 < δ < 0.5).<br />
i=0<br />
L˚at g(x) vara en tv˚a g˚anger deriverbar funktion i ett interval R = (a, b), x, x0 ∈ R,<br />
x = x0 <strong>och</strong> n ett naturligt tal. Betrakta funktionen<br />
Visa att<br />
Här<br />
F (x) =<br />
x0<br />
x<br />
g(t)<br />
dt. (475)<br />
(t − a) n+1<br />
F (x) = O((x − a) −n ), x → +a om g(a) = 0, n = 1, 2, . . . , (476)<br />
F (x) = O(ln(x − a)), x → +a, om g(a) = 0, n = 0. (477)<br />
Antag att n = 1, 2, . . . <strong>och</strong> använd partiell integration:<br />
<br />
x0<br />
−n (t − a)<br />
F (x) = g(t)d<br />
= −<br />
(−n)<br />
g(t)<br />
n(t − a) n<br />
x0<br />
<br />
<br />
+ 1<br />
n<br />
F1(x) =<br />
=<br />
=<br />
x0<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x0<br />
x<br />
g ′ (t)<br />
dt =<br />
(t − a) n<br />
g(x) g(x0) 1<br />
− +<br />
n(x − a) n n(x0 − a) n n F1(x). (478)<br />
g ′ −n+1 (t − a) g<br />
(t)d<br />
= −<br />
(−n + 1)<br />
′ (t)<br />
(n − 1)(t − a) n−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g ′ (x)<br />
−<br />
n(x − a) n−1<br />
x0<br />
x<br />
+ 1<br />
x0<br />
n − 1 x<br />
g ′′ (t)<br />
dt =<br />
(t − a) n−1<br />
g ′ (x0)<br />
(n − 1)(x0 − a) n−1 + F2(x), (479)<br />
108
om n ≥ 2, <strong>och</strong><br />
F1(x) =<br />
x0<br />
g ′ (t)<br />
dt =<br />
t − a<br />
x<br />
g ′ (t)d ln(t − a) = g ′ (t) ln(t − a)| x0<br />
x −<br />
x0<br />
g<br />
x<br />
′′ (t) ln(t − a)dt =<br />
x<br />
x0<br />
= −g ′ (x) ln(x − a) + g ′ (x0) ln(x0 − a) + F2(x), (480)<br />
om n = 1, där F2(x) är en kontinuerlig funktion, x ∈ R. Ur (478)–(480), följer att<br />
allts˚a, (476) gäller.<br />
Problem 7.9<br />
Betrakta funktionen<br />
Visa att<br />
Problem 7.10<br />
Betrakta funktionen<br />
Visa att<br />
Problem 7.11<br />
Visa att<br />
F (x)(x − a) n = 1<br />
g(x) + o(1); (481)<br />
n<br />
C(x) =<br />
π<br />
x<br />
cos t<br />
dt. (482)<br />
t<br />
C(x) = ln 1<br />
+ O(1), x → +0. (483)<br />
x<br />
S(x) =<br />
π<br />
x<br />
sin t<br />
dt. (484)<br />
t2 a) S(x) − ln 1<br />
= O(1),<br />
x<br />
x → +0, (485)<br />
b) S(x) + ln(πx) + 1 = o(x), x → +0. (486)<br />
a<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−pt t x−1 dt = Γ(x)<br />
p<br />
x , (487)<br />
b Γ(x + 1) = xΓ(x), (488)<br />
b Γ(n + 1) = n!. (489)<br />
109
Problem 7.12<br />
Betrakta funktionen<br />
Visa att<br />
Problem 7.13<br />
Betrakta funktionen<br />
Visa att<br />
Problem 7.14<br />
Visa, att<br />
e −x f(x) ∼ 1<br />
x<br />
f(x) ∼ 1<br />
x<br />
+ 1<br />
x<br />
f(x) =<br />
x<br />
1<br />
et dt. (490)<br />
t<br />
2! 3!<br />
+ + + . . . (x → ∞). (491)<br />
2 x3 x4 f(x) =<br />
− 1<br />
x<br />
10<br />
0<br />
e−xt dt. (492)<br />
1 + t<br />
2! 3!<br />
+ − + . . . (x → ∞). (493)<br />
2 x3 x4 e −z = O(z α ), z → ∞, (494)<br />
z ∈ S∆ = {z : 0 < |z| < ∞, |arg z| < π/2 − ∆}. (495)<br />
För att visa (494), p˚aminn definitionen (74)–(76) av den komplexvärda potensfunktionen.<br />
L˚at z = x + iy = re iθ = 0 <strong>och</strong> w = u + iv. Den potensfunktionen<br />
definieras<br />
z w = e w ln z =<br />
Om v = 0 (w = u), f˚ar vi<br />
= |z| u e −varg z [cos(v ln |z| + uarg z) + i sin(v ln |z| + uarg z)]. (496)<br />
z w = z u = |z| u [cos(uarg z) + i sin(uarg z)]. (497)<br />
Om y = 0 <strong>och</strong> x > 0 (dvs arg z = 0), f˚ar vi<br />
z w = x w = x u [cos(v ln x) + i sin(v ln x)], (498)<br />
110
Beteckna α = a + ib. Vi har<br />
e −z = e −x [cos(y) − i sin(y)], |e −z | = e −x = e −r cos θ , (499)<br />
z α = |z| a e −barg z [cos t + i sin t], (500)<br />
|z α | = |z| a e −barg z = r a e −bθ<br />
t = b ln |z| + aarg z,<br />
där x > 0 <strong>och</strong> r > 0. Beteckna<br />
Vidare,<br />
enligt (495), s˚a är<br />
c0 = cos (π/2 − ∆) .<br />
0 < c0 ≤ cos θ ≤ 1 eftersom − π/2 + ∆ < θ < π/2 − ∆<br />
(501)<br />
e −rc0 ≤ e −r cos θ ≤ e −r < 1. (502)<br />
Ta ett θ ∈ (−π/2 + ∆, π/2 − ∆) <strong>och</strong> beteckna p = cos θ, 0 < c0 ≤ p ≤ 1 <strong>och</strong><br />
P = e −bθ > 0. S˚a gäller<br />
e −rp ≤ P r a<br />
(503)<br />
om a ≥ 0 <strong>och</strong> r är tillräckligt stort, eftersom e −rp < 1. Om a < 0, sätt a ′ = −a > 0<br />
<strong>och</strong> skriv om (503)<br />
e −rp ≤ P r −a′<br />
, a ′ > 0. (504)<br />
Följände olikheter gäller om P ′ > 0 <strong>och</strong> r > 0 är tillräckligt stort:<br />
r > a′<br />
p<br />
ln r + ln P ′<br />
p<br />
→ rp > a ′ ln r + ln P ′<br />
→ e rp ≥ P ′ r a′<br />
→ e −rp ≤ P r −a′<br />
, (505)<br />
där P ′ = 1<br />
P = ebθ > 0.<br />
Vi f˚ar att (503) gäller för alla a = Re α med ett godtyckligt b = Im α om |z| = r<br />
är tillräckligt stort. S˚a är<br />
om |z| är tillräckligt stort. Allts˚a<br />
|e −z | ≤ |z α |, z ∈ S∆, ∀α, (506)<br />
e −z = O(z α ), z → ∞, z ∈ S∆.<br />
111
8 Asymptotisk utveckling av Laplaces integraler<br />
8.1 Tv˚a satser om asymptotisk utveckling<br />
Sats 8.1<br />
Om φ(t), t ∈ [0, a], är en N g˚anger deriverbar funktion <strong>och</strong> Laplaces integral<br />
f(x) = L (φ) =<br />
är konvergent för n˚agot x = x0, s˚a är<br />
där<br />
∞<br />
0<br />
e −xt φ(t)dt<br />
f(x) ∼ φ (n) (0)x −n−1 med N termer d˚a x → ∞. (507)<br />
Bevis. Vi använder oss (457) <strong>och</strong> (458) med<br />
<strong>och</strong> f˚ar<br />
k−n(xt) = (−1) n x −n e −xt<br />
f(x) =<br />
=<br />
=<br />
eftersom<br />
∞<br />
e −xt φ(t)dt =<br />
0<br />
N−1 <br />
(−1) n x −n−1<br />
n=0<br />
<br />
k(xt) = e −xt<br />
<br />
∞<br />
N−1<br />
φ (n) (0)x −n−1 + RN ∼<br />
n=0<br />
0<br />
<strong>och</strong> g(t) = φ(t),<br />
<strong>och</strong> gn(t) = φ (n) (t), k−n(t = 0) = (−1) n x −n<br />
k(xt)g(t)dt =<br />
lim<br />
T →∞ [k−n−1(xT )gn(T )] − k−n−1(t = 0)gn(0)<br />
<br />
+ RN =<br />
∼ φ (n) (0)x −n−1 med N termer d˚a x → ∞, (508)<br />
RN = x −N<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−xt φ (N) (t)dt = O(x −N−1 ), (509)<br />
Visa detta. Här är φ (N) (t), t ∈ [0, a], en begränsad funktion, |φ (N) (t)| ≤ B, allts˚a<br />
|RN| ≤ |x −N ∞<br />
|B e<br />
0<br />
−xt dt ≤ B|x −N−1 |. (510)<br />
112
Sats 8.2<br />
Om φ(t) <strong>och</strong> ψ(t) är tv˚a givna funktioner s˚adana att Laplaces integraler<br />
f(x) = L (φ) =<br />
g(x) = L (ψ) =<br />
∞<br />
0 ∞<br />
0<br />
e −xt φ(t)dt,<br />
e −xt ψ(t)dt<br />
är konvergenta för n˚agot x = x0, φ = o(ψ) d˚a t → 0 <strong>och</strong><br />
s˚a gäller<br />
Skriv<br />
e aρ g(ρ) → ∞ d˚a ρ → ∞ ∀a > 0, (511)<br />
f = o(g) d˚a x → ∞ (Im x = 0) (512)<br />
<strong>och</strong><br />
f(x) = o(g(ρ)) d˚a x = ρ + iσ → ∞ lmap arg x, (513)<br />
x ∈ S∆ = {x : 0 < |x| < ∞, arg x < π/2 − ∆}. (514)<br />
Bevis. Till varje ɛ > 0 finns ett a > 0 s˚adant att<br />
f(x) = L (φ) =<br />
=<br />
|φ(t)| ≤ ɛ|ψ(t)| ∀t : 0 < t ≤ a. (515)<br />
a<br />
e −xt φ(t)dt +<br />
0 a<br />
e<br />
0<br />
−xt φ(t)dt + O(e −ax )<br />
(se (510) ovan). Vidare<br />
<br />
a<br />
<br />
e −xt <br />
<br />
φ(t)dt<br />
≤ ɛ<br />
s˚a är<br />
<strong>och</strong><br />
0<br />
a<br />
0<br />
∞<br />
e −xt ψ(t)dt = ɛg(x)<br />
|f(x)| ≤ ɛg(x) + O(e −ax )<br />
|f(x)|<br />
g(x)<br />
om x är tillräckligt stort (eftersom<br />
x → ∞.<br />
−ax e<br />
≤ ɛ + O ≤ 2ɛ<br />
g(x)<br />
1<br />
e ax g(x)<br />
113<br />
a<br />
e −xt φ(t)dt =<br />
→ 0 d˚a x → ∞). Allts˚a f = o(g) d˚a
8.2 Asymptotisk utveckling <strong>och</strong> asymptotiska följder<br />
Sats 8.3<br />
Om funktioner ψn(t) > 0 (t > 0), n = 1, 2, . . . , N, <strong>och</strong> φ(t) är s˚adana att Laplaces<br />
integraler<br />
gn(x) = L (ψn) =<br />
∞<br />
0<br />
e −xt ψn(t)dt <strong>och</strong> f(x) = L (φ) =<br />
är konvergenta för n˚agot x = x0, {ψn} är en AF d˚a t → 0, <strong>och</strong><br />
∞<br />
0<br />
e −xt φ(t)dt<br />
e aρ gn(ρ) → ∞ d˚a ρ → ∞ ∀a > 0 <strong>och</strong> ∀n, (516)<br />
s˚a gäller:<br />
(1) {gn} är en AF d˚a ρ → ∞;<br />
(2) f(ρ) ∼ angn(ρ) (med N termer d˚a ρ → ∞ (517)<br />
om<br />
φ(t) ∼ anψn(t) (med N termer d˚a t → 0 (518)<br />
I samband med Sats 8.3, betrakta viktiga partikulära fall av AF {ψn}:<br />
•<br />
•<br />
ψn(t) = t λn−1<br />
Här, är Laplaces integraler<br />
gn(x) = L (ψn) =<br />
ψn(t) = t n , n = 1, 2, . . . , N. (519)<br />
(n = 1, 2, . . . , N), 0 < λ1 < λ2 < · · · < λN. (520)<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−xt t λn−1 dt =<br />
< u = xt, dt = du/x, t λn−1 = u λn−1 /x λn−1 >=<br />
= x −λn<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−u u λn−1 −λn du = x Γ(λn) = O(x −λn ) (521)<br />
I fallet ψn(t) = t n , har vi λn = n + 1 (n = 1, 2, . . . , N) <strong>och</strong> Laplaces integraler<br />
L (t n ) =<br />
∞<br />
e<br />
0<br />
−xt t n dt = x −n−1 Γ(n + 1) = x −n−1 n! = O(x −n−1 ). (522)<br />
114
Vi har visat följände<br />
Sats 8.4<br />
Om positiva talen λn (n = 1, 2, . . . , N) uppfyller villkoret 0 < λ1 < λ2 < · · · < λN<br />
<strong>och</strong> funktionen φ(t) är s˚adan att Laplaces integral<br />
f(x) = L (φ) =<br />
är konvergent för n˚agot x = x0 <strong>och</strong><br />
s˚a gäller<br />
φ(t) ∼ ant λn−1<br />
∞<br />
0<br />
e −xt φ(t)dt<br />
(med N termer d˚a t → 0, (523)<br />
f ∼ Γ(λn)anx −λn (med N termer d˚a x → ∞. (524)<br />
115
9 Referenser<br />
1. A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 2002 (AE).<br />
2. N. Ibragimov, Modern <strong>gruppanalys</strong>, Studentlitteratur, 2002 (MG).<br />
3. W. Parzynski and P. Zipse, Introduction to Mathematical Analysis, McGraw-<br />
Hill, 1987 (IMA).<br />
4. N.G. De Bruin, Asymptotic Methods in Analysis, Dover, 2002 (AMA).<br />
5. K-G Andersson, L-C Böiers, Ordinära differentialekvationer, Studentlitteratur,<br />
1993 (OD).<br />
6. A. H. Nayfeh, Introduction to Perturbation Techniques, Wiley, 1993 (IPT).<br />
Rekommenderade litteratur<br />
1. G. B. Arfken and H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 5th Edition,<br />
Harcourt, Academic, 2001 (AW).<br />
2. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition (AEM).<br />
3. P.-A. Svensson, Abstrakt algebra, Studentlitteratur, 2001.<br />
4. G. Wahde, Analytiska funktioner för tekniska tillämpningar, Chalmers Tekniska<br />
Högskola, 1990.<br />
5. J. Petersson, Matematisk analys. Del 2, 2000.<br />
6. R. A. Adams, A Complete Course of Calcuclus, 4th Edition, Addison–Wesley,<br />
1999 (A).<br />
116