Övningar på Andragradsfunktioner Problem 1 - KTH
Övningar på Andragradsfunktioner Problem 1 - KTH
Övningar på Andragradsfunktioner Problem 1 - KTH
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Övningar</strong> <strong>på</strong> <strong>Andragradsfunktioner</strong><br />
<strong>Problem</strong> 1<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
3 1 1 3<br />
Figur 1:<br />
Här ser vi andragradsfunktionen <strong>på</strong> sin enklaste form. Vilken är funktionen?<br />
Visst ser du, att det handlar om f(x) = x 2 . Antingen ser man bara det, eller så förstår<br />
man att det bara finns en ekvation som har rötterna x1,2 = 0 nämligen x 2 = 0, med<br />
motsvarande funktion f(x) = x 2<br />
Normalt behöver vi tre punkter <strong>på</strong> andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen.<br />
Så här går det till:<br />
Vi får våra tre punkter (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) och söker nu a, b, c i f(x) = ax 2 +<br />
bx 2 + c. Vår punkter leder till ett ekvationssystem:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
a · x 2 1 + b · x1 + c = y1<br />
a · x 2 2 + b · x2 + c = y2<br />
a · x 2 3 + b · x3 + c = y3<br />
Ett så kallat linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta.<br />
a = − −x2y1 + x3y1 + x1y2 − x3y2 − x1y3 + x2y3<br />
(x2 − x3)(x 2 1 − x1x2 − x1x3 + x2x3)<br />
b = − x2 2 y1 − x 2 3 y1 − x 2 1 y2 + x 2 3 y2 + x 2 1 y3 − x 2 2 y3<br />
(x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3)<br />
c = − −x2 2 x3y1 + x2x 2 3 y1 + x 2 1 x3y2 − x1x 2 3 y2 − x 2 1 x2y3 + x1x 2 2 y3<br />
(x2 − x3)(x 2 1 − x1x2 − x1x3 + x2x3)<br />
Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig<br />
utantill. Men om man ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att<br />
skriva ett datorprogram med utgångspunkt från dessa formler.<br />
Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår<br />
kurva ovan: (x1, y1) = (−1, 1), (x2, y2) = (0, 0) och (x3, y3) = (1, 1).<br />
Håkan Strömberg 1 <strong>KTH</strong> Syd
I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x2, y2) = (0, 0) försvinner.<br />
Återstår<br />
<strong>Problem</strong> 2<br />
a = − x3y1 − x1y3<br />
(−x3)(x 2 1<br />
1 · 1 − (−1) · 1<br />
= −<br />
− x1x3) (−1)((−1) 2 = 1<br />
− (−1) · 1)<br />
b = − −x23 y1 + x2 1y3 (x1)(x1 − x3)(−x3) = − −12 · 1 + (−1) 2 · 1<br />
(−1)((−1) 2 = 0<br />
− (−1) · 1)<br />
c = −<br />
(−x3)(x 2 1<br />
0<br />
= 0<br />
− x1x3)<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
5 3 1 1 3 5<br />
5<br />
Figur 2:<br />
Genom att i grafen avläsa nollställena kan vi teckna funktionen. Hur ser den ut?<br />
Nollställena är x1 = −2 och x2 = 3. Vi får<br />
f(x) = (x + 2)(x − 3) = x 2 − 3x + 2x − 6 = x 2 − x − 6<br />
Håkan Strömberg 2 <strong>KTH</strong> Syd
<strong>Problem</strong> 3<br />
2<br />
2 1 1 2 3<br />
2<br />
4<br />
Figur 3:<br />
Samma uppgift här. Nollställena är x1 = −1 och x2 = 2. Vi får<br />
f(x)(x + 1)(x − 2) = x 2 − 2x + x − 2 = x 2 − x − 2<br />
Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum<br />
och den i figuren ett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går<br />
genom två givna nollställen.<br />
f1(x) = ax 2 + bx + c<br />
f2(x) = −ax 2 − bx − c<br />
Detta styrker vårt resonemang från uppgift 1 där vi <strong>på</strong>stod att inte förrän vi har tre<br />
givna punkter <strong>på</strong> kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns<br />
dessutom grafen given och vi kan då bestämma att det är f(x) = −x 2 + x + 2 vi är<br />
ute efter.<br />
<strong>Problem</strong> 4<br />
4<br />
2<br />
2 1 1 2 3<br />
2<br />
Figur 4:<br />
Har inte denna funktion samma nollställen som den i 3? Vad är det i så fall som<br />
skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret <strong>på</strong> denna<br />
uppgift är f(x) = x 2 − x − 2<br />
Håkan Strömberg 3 <strong>KTH</strong> Syd
<strong>Problem</strong> 5<br />
A<br />
B<br />
C<br />
6<br />
4<br />
2<br />
2 1 1 2 3<br />
Figur 5:<br />
Här har vi plottat funktionerna p1(x) = x 2 , p2(x) = 3x 2 och p3(x) = x 2 /3. Vilken<br />
är vilken? Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen:<br />
<strong>Problem</strong> 6<br />
A) p3(x) = x 2 /3<br />
B) p1(x) = x 2<br />
C) p2(x) = 3x 2<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
3 1 1 3 5<br />
5<br />
A<br />
Figur 6:<br />
Återigen tre plottade funktioner: p1(x) = −x 2 + 2x + 8, p2(x) = x 2 + 3 och p3(x) =<br />
x 2 − 4. Identifiera dem.<br />
Vi har nu lärt oss at då x 2 -termen har en negativ koefficient har funktionen ett<br />
maximum. En annan har nollställen i x1 = −2 och x2 = 2 och bör då tillhöra<br />
funktionen p(x) = (x + 2)(x − 2) = x 2 − 4. Kvar blir den som saknar nollställen,<br />
vilket vi förstår då vi försöker lösa ekvationen x 2 + 3 = 0; x = ± √ −3. Ekvationen<br />
saknar reella rötter.<br />
A) p1(x) = −x 2 + 2x + 8<br />
B) p2(x) = x 2 + 3<br />
C) p3(x) = x 2 − 4<br />
Håkan Strömberg 4 <strong>KTH</strong> Syd<br />
B<br />
C
<strong>Problem</strong> 7<br />
10<br />
5<br />
2 1 1 2 3<br />
5<br />
Figur 7:<br />
Här har vi plottat funktionerna p1(x) = x 2 + 3x − 4 och p2 = −x 2 + 4x + 2. Bestäm<br />
skärningspunkterna.<br />
Vi söker två punkter som finns <strong>på</strong> båda kurvorna.<br />
x 2 + 3x − 4 = −x 2 + 4x + 2<br />
2x2 − x − 6 = 0<br />
− 3 = 0<br />
x 2 − x<br />
2<br />
x = 1<br />
4 ±<br />
x = 1<br />
4<br />
± 7<br />
4<br />
x1 = 2 x2 = − 3<br />
2<br />
<br />
1 + 3 16<br />
p1(2) = 22 + 3 · 2 − 4 = 6 och p1(−3 2 ) = −3 2 <br />
3 25<br />
+ 3 · − − 4 = 2<br />
2 4<br />
punkterna (2, 6) och (− 3<br />
2<br />
<strong>Problem</strong> 8<br />
, 25<br />
4 )<br />
10<br />
5 3 1 1 3<br />
5<br />
5<br />
Figur 8:<br />
ger de två<br />
Ett andragradsfunktionen har antigen ett maximum eller minimum. Betrakta nu<br />
de grafer ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid<br />
Håkan Strömberg 5 <strong>KTH</strong> Syd
extrempunkten? Om vi utgår från f(x) = x 2 + px + q, så är y-koordinaten för<br />
extrempunkten<br />
Vi startar med att derivera vår funktion<br />
− p2<br />
4<br />
+ q<br />
f ′ (x) = 2x + p<br />
f ′ (x) = 0 då 2x+p = 0; x = − p<br />
. Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten.<br />
2<br />
<br />
f − p<br />
<br />
= −<br />
2<br />
p<br />
2 <br />
+ p · −<br />
2<br />
p<br />
<br />
+ q<br />
2<br />
<br />
f − p<br />
<br />
=<br />
2<br />
p2 p2<br />
− + q<br />
4 2<br />
<br />
f − p<br />
<br />
= −<br />
2<br />
p2<br />
+ q<br />
4<br />
<br />
Svar: Extrempunkten har koordinaterna − p<br />
<br />
, −p2 + q<br />
2 4<br />
<strong>Problem</strong> 9<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
1 3 5<br />
Figur 9:<br />
Vilka nollställen har denna funktion? Av allt att döma en dubbelrot för x = 3.<br />
Funktionen blir då f(x) = (x − 3) 2<br />
Håkan Strömberg 6 <strong>KTH</strong> Syd
<strong>Problem</strong> 10<br />
5<br />
1 1 3<br />
Figur 10:<br />
Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra? Den ena kurvan<br />
motsvarar funktionen f(x) = x 2 med nollställena x1,2 = 0 och den andra är<br />
g(x) = (x − 2) 2 med nollställena x3,4 = 2. Kurvorna skär varandra i<br />
<strong>Problem</strong> 11<br />
x 2 = (x − 2) 2<br />
x 2 = x 2 − 4x + 4<br />
x = 1<br />
Vi söker nu p och q i f(x) = x 2 + px + q så att andragradsfunktionen går genom<br />
punkterna (1, 2) och (3, 9).<br />
Eftersom en koefficient den som tillhör x 2 termen redan är given behövs bara två<br />
ekvationer för att finna de två obekanta p och q.<br />
1 2 + p · 1 + q = 2<br />
p = −1 3 och q = 2 2<br />
Svar: f(x) = x2 − x 3<br />
+<br />
2 2<br />
3 2 + p · 3 + q = 9<br />
p + q = 1<br />
3p + q = 0<br />
Håkan Strömberg 7 <strong>KTH</strong> Syd
<strong>Problem</strong> 12<br />
14<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
1 1 3<br />
Figur 11:<br />
Plottar vi funktionen vi fick som svar i problem 11 får vi detta resultat. Vad kan vi<br />
säga om funktionens nollställen?<br />
Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi<br />
x2 − x 3<br />
+ = 0<br />
2 2<br />
x = 1<br />
4 ±<br />
<br />
1 3<br />
−<br />
16 2<br />
diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0.<br />
<strong>Problem</strong> 13<br />
En andragradsfunktion har ett dubbelt nollställe i 5. Vilken är funktionen?<br />
f(x) = (x − 5) 2<br />
<strong>Problem</strong> 14<br />
För vilka värden <strong>på</strong> a har funktionen p(x) = x 2 − 8x + a<br />
• Ett dubbelt nollställe<br />
• Två olika nollställen<br />
• Inget reellt nollställe<br />
Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation<br />
x 2 − 8x + a = 0<br />
x = 4 ± √ 16 − a<br />
• Om 16 − a = 0; a = 16 finns det en dubbelrot i x = 4<br />
• Om 16 − a < 0; a > 16 saknas reella nollställen<br />
• Om 16 − a > 0; a < 16 finns två reella olika nollställen<br />
Håkan Strömberg 8 <strong>KTH</strong> Syd
<strong>Problem</strong> 15<br />
A<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
3 1 1 3<br />
Figur 12:<br />
Här har vi plottat funktionerna: p1(x) = x 2 + 2x + 2, p2(x) = x 2 + 2x − 3 och<br />
p3(x) = x 2 +2x+5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x 2 +px+q?<br />
Skillnaden mellan f(x) = ax 2 + bx + c och g(x) = ax 2 + bx + (c + ∆c), är förstås<br />
g(x) − f(x) = ∆c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är<br />
vilken<br />
<strong>Problem</strong> 16<br />
A) p3(x) = x 2 + 2x + 5<br />
B) p1(x) = x 2 + 2x + 2<br />
C) p2(x) = x 2 + 2x − 3<br />
Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x 2 + px + q, alltså<br />
p(x) = x 2 + q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett<br />
dubbelt nollställe? I så fall för vilka q?<br />
Om vi löser ekvationen<br />
x 2 + q = 0<br />
x1,2 = ± √ −q<br />
ser vi att q ≤ 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är<br />
det frågan om ett dubbelt nollställe.<br />
<strong>Problem</strong> 17<br />
Vi önskar två andragradsfunktioner <strong>på</strong> formen p1(x) = −x 2 + ax + b och p2(x) =<br />
x 2 + cx + d, som skär varandra i (−3, 4) och (3, 4). Bestäm värden <strong>på</strong> a, b, c och<br />
d. Kan vi utnyttja något vi diskuterat ovan som gör problemet enklare?<br />
Funktionerna f1(x) = (x+3)(x−3) och g1(x) = −(x+3)(x−3) har båda nollställen<br />
i x = −3 och x = 3. f1(x) har ett minimum och g2(x) har ett maximum och de skär<br />
Håkan Strömberg 9 <strong>KTH</strong> Syd<br />
B<br />
C
varandra i (−3, 0) och (3, 0). Om vi adderar konstanten 4 till båda funktionerna<br />
får vi f2(x) = (x + 3)(x − 3) + 4 och g2(x) = −(x + 3)(x − 3) + 4, efter vad som<br />
diskuterades i problem 15 Svar: f2(x) = x 2 − 5 och g2(x) = 13 − x 2<br />
<strong>Problem</strong> 18<br />
Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter:<br />
a) x 2 − 2x − 8 = 0<br />
b) x 2 − 3x + 2 = 0<br />
c) x 2 − 4 = 0<br />
d) x 2 − 9x + 20 = 0<br />
e) x 2 + 3x − 70 = 0<br />
Du kan räkna med att alla rötter är heltal!<br />
Hur beror rötterna x1 och x2 till ekvationen <strong>på</strong> koefficienterna p och q i x2 + px +<br />
q = 0? Från formeln får vi<br />
⎧<br />
⎪⎨ x1 = −<br />
⎪⎩<br />
p<br />
2 +<br />
<br />
2 p<br />
− q<br />
4<br />
x2 = − p<br />
2 −<br />
<br />
2 p<br />
− q<br />
4<br />
Löser vi detta ekvationssystem med avseende <strong>på</strong> p och q får vi q = x1 · x2 och<br />
p = −(x1 + x2). Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna<br />
och p är lika med summan av rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta <strong>på</strong> de 5<br />
ekvationerna får vi ganska snabbt<br />
a) x1 = 4 x2 = −2<br />
b) x1 = 2 x2 = 1<br />
c) x1 = 2 x2 = −2<br />
d) x1 = 5 x2 = 4<br />
e) x1 = 7 x2 = −10<br />
Håkan Strömberg 10 <strong>KTH</strong> Syd
<strong>Problem</strong> 19<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
1 1 3<br />
Figur 13:<br />
I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp av<br />
grafen bestämma funktionen och därefter nollställena?<br />
Vi använder resultatet från problem 8 som ger oss extrempunkten utifrån funktionen<br />
f(x) = x2 + px + q.<br />
<br />
− p<br />
<br />
, −p2 + q<br />
2 4<br />
Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten,<br />
(1, −9). ⎧ ⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
− p2<br />
4<br />
− p<br />
2<br />
= 1<br />
+ q = −9<br />
p = −2 och q = −8. Vi får funktionen f(x) = x 2 − 2x − 8, vars heltalsrötter vi<br />
snabbt kan räkna ut, x1 = −2 och x2 = 4<br />
Håkan Strömberg 11 <strong>KTH</strong> Syd