Övningar på Andragradsfunktioner Problem 1 - KTH

Övningar på Andragradsfunktioner
Problem 1
8
6
4
2
3 1 1 3
Figur 1:
Här ser vi andragradsfunktionen på sin enklaste form. Vilken är funktionen?
Visst ser du, att det handlar om f(x) = x 2 . Antingen ser man bara det, eller så förstår
man att det bara finns en ekvation som har rötterna x1,2 = 0 nämligen x 2 = 0, med
motsvarande funktion f(x) = x 2
Normalt behöver vi tre punkter på andragradskurvan för att kunna bestämma funktionen.
Så här går det till:
Vi får våra tre punkter (x1, y1), (x2, y2) och (x3, y3) och söker nu a, b, c i f(x) = ax 2 +
bx 2 + c. Vår punkter leder till ett ekvationssystem:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a · x 2 1 + b · x1 + c = y1
a · x 2 2 + b · x2 + c = y2
a · x 2 3 + b · x3 + c = y3
Ett så kallat linjärt system med tre ekvationer och tre obekanta.
a = − −x2y1 + x3y1 + x1y2 − x3y2 − x1y3 + x2y3
(x2 − x3)(x 2 1 − x1x2 − x1x3 + x2x3)
b = − x2 2 y1 − x 2 3 y1 − x 2 1 y2 + x 2 3 y2 + x 2 1 y3 − x 2 2 y3
(x1 − x2)(x1 − x3)(x2 − x3)
c = − −x2 2 x3y1 + x2x 2 3 y1 + x 2 1 x3y2 − x1x 2 3 y2 − x 2 1 x2y3 + x1x 2 2 y3
(x2 − x3)(x 2 1 − x1x2 − x1x3 + x2x3)
Här är systemet löst en gång för alla. Knappast formler man kommer att lära sig
utantill. Men om man ska lösa hundratals problem av den här typen är det idé att
skriva ett datorprogram med utgångspunkt från dessa formler.
Innan vi lämnar dem ska vi bara konstatera ett de fungerar för tre punkter från vår
kurva ovan: (x1, y1) = (−1, 1), (x2, y2) = (0, 0) och (x3, y3) = (1, 1).
Håkan Strömberg 1 KTH Syd

I första steget ser vi att alla termer som innehåller (x2, y2) = (0, 0) försvinner.
Återstår
Problem 2
a = − x3y1 − x1y3
(−x3)(x 2 1
1 · 1 − (−1) · 1
= −
− x1x3) (−1)((−1) 2 = 1
− (−1) · 1)
b = − −x23 y1 + x2 1y3 (x1)(x1 − x3)(−x3) = − −12 · 1 + (−1) 2 · 1
(−1)((−1) 2 = 0
− (−1) · 1)
c = −
(−x3)(x 2 1
0
= 0
− x1x3)
20
15
10
5
5 3 1 1 3 5
5
Figur 2:
Genom att i grafen avläsa nollställena kan vi teckna funktionen. Hur ser den ut?
Nollställena är x1 = −2 och x2 = 3. Vi får
f(x) = (x + 2)(x − 3) = x 2 − 3x + 2x − 6 = x 2 − x − 6
Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Problem 3
2
2 1 1 2 3
2
4
Figur 3:
Samma uppgift här. Nollställena är x1 = −1 och x2 = 2. Vi får
f(x)(x + 1)(x − 2) = x 2 − 2x + x − 2 = x 2 − x − 2
Stopp lite, är det verkligen riktigt? Nej den funktion vi fått fram har ett minimum
och den i figuren ett maximum. Det finns tydligen två andragradspolynom som går
genom två givna nollställen.
f1(x) = ax 2 + bx + c
f2(x) = −ax 2 − bx − c
Detta styrker vårt resonemang från uppgift 1 där vi påstod att inte förrän vi har tre
givna punkter på kurvan kan vi bestämma funktionen. Men i detta problem fanns
dessutom grafen given och vi kan då bestämma att det är f(x) = −x 2 + x + 2 vi är
ute efter.
Problem 4
4
2
2 1 1 2 3
2
Figur 4:
Har inte denna funktion samma nollställen som den i 3? Vad är det i så fall som
skiljer den från den tidigare? Jovisst, det har vi ju redan sagt. Svaret på denna
uppgift är f(x) = x 2 − x − 2
Håkan Strömberg 3 KTH Syd

Problem 5
A
B
C
6
4
2
2 1 1 2 3
Figur 5:
Här har vi plottat funktionerna p1(x) = x 2 , p2(x) = 3x 2 och p3(x) = x 2 /3. Vilken
är vilken? Ju större koefficient, desto snabbare växer funktionen:
Problem 6
A) p3(x) = x 2 /3
B) p1(x) = x 2
C) p2(x) = 3x 2
25
20
15
10
5
3 1 1 3 5
5
A
Figur 6:
Återigen tre plottade funktioner: p1(x) = −x 2 + 2x + 8, p2(x) = x 2 + 3 och p3(x) =
x 2 − 4. Identifiera dem.
Vi har nu lärt oss at då x 2 -termen har en negativ koefficient har funktionen ett
maximum. En annan har nollställen i x1 = −2 och x2 = 2 och bör då tillhöra
funktionen p(x) = (x + 2)(x − 2) = x 2 − 4. Kvar blir den som saknar nollställen,
vilket vi förstår då vi försöker lösa ekvationen x 2 + 3 = 0; x = ± √ −3. Ekvationen
saknar reella rötter.
A) p1(x) = −x 2 + 2x + 8
B) p2(x) = x 2 + 3
C) p3(x) = x 2 − 4
Håkan Strömberg 4 KTH Syd
B
C

Problem 7
10
5
2 1 1 2 3
5
Figur 7:
Här har vi plottat funktionerna p1(x) = x 2 + 3x − 4 och p2 = −x 2 + 4x + 2. Bestäm
skärningspunkterna.
Vi söker två punkter som finns på båda kurvorna.
x 2 + 3x − 4 = −x 2 + 4x + 2
2x2 − x − 6 = 0
− 3 = 0
x 2 − x
2
x = 1
4 ±
x = 1
4
± 7
4
x1 = 2 x2 = − 3
2
1 + 3 16
p1(2) = 22 + 3 · 2 − 4 = 6 och p1(−3 2 ) = −3 2
3 25
+ 3 · − − 4 = 2
2 4
punkterna (2, 6) och (− 3
2
Problem 8
, 25
4 )
10
5 3 1 1 3
5
5
Figur 8:
ger de två
Ett andragradsfunktionen har antigen ett maximum eller minimum. Betrakta nu
de grafer ovan där vi kan se båda nollställena. På vilken x-koordinat ligger alltid
Håkan Strömberg 5 KTH Syd

extrempunkten? Om vi utgår från f(x) = x 2 + px + q, så är y-koordinaten för
extrempunkten
Vi startar med att derivera vår funktion
− p2
4
+ q
f ′ (x) = 2x + p
f ′ (x) = 0 då 2x+p = 0; x = − p
. Vi bevisar också y-koordinaten för extrempunkten.
2
f − p
= −
2
p
2
+ p · −
2
p
+ q
2
f − p
=
2
p2 p2
− + q
4 2
f − p
= −
2
p2
+ q
4
Svar: Extrempunkten har koordinaterna − p
, −p2 + q
2 4
Problem 9
6
5
4
3
2
1
1 3 5
Figur 9:
Vilka nollställen har denna funktion? Av allt att döma en dubbelrot för x = 3.
Funktionen blir då f(x) = (x − 3) 2
Håkan Strömberg 6 KTH Syd

Problem 10
5
1 1 3
Figur 10:
Vilka nollställen har funktionerna och var skär de varandra? Den ena kurvan
motsvarar funktionen f(x) = x 2 med nollställena x1,2 = 0 och den andra är
g(x) = (x − 2) 2 med nollställena x3,4 = 2. Kurvorna skär varandra i
Problem 11
x 2 = (x − 2) 2
x 2 = x 2 − 4x + 4
x = 1
Vi söker nu p och q i f(x) = x 2 + px + q så att andragradsfunktionen går genom
punkterna (1, 2) och (3, 9).
Eftersom en koefficient den som tillhör x 2 termen redan är given behövs bara två
ekvationer för att finna de två obekanta p och q.
1 2 + p · 1 + q = 2
p = −1 3 och q = 2 2
Svar: f(x) = x2 − x 3
+
2 2
3 2 + p · 3 + q = 9
p + q = 1
3p + q = 0
Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Problem 12
14
12
10
8
6
4
2
1 1 3
Figur 11:
Plottar vi funktionen vi fick som svar i problem 11 får vi detta resultat. Vad kan vi
säga om funktionens nollställen?
Den saknar nollställen. Om vi löser motsvarande ekvation får vi
x2 − x 3
+ = 0
2 2
x = 1
4 ±
1 3
−
16 2
diskriminanten (uttrycket under rottecknet) är < 0.
Problem 13
En andragradsfunktion har ett dubbelt nollställe i 5. Vilken är funktionen?
f(x) = (x − 5) 2
Problem 14
För vilka värden på a har funktionen p(x) = x 2 − 8x + a
• Ett dubbelt nollställe
• Två olika nollställen
• Inget reellt nollställe
Återigen gäller det att lösa en andragradsekvation
x 2 − 8x + a = 0
x = 4 ± √ 16 − a
• Om 16 − a = 0; a = 16 finns det en dubbelrot i x = 4
• Om 16 − a < 0; a > 16 saknas reella nollställen
• Om 16 − a > 0; a < 16 finns två reella olika nollställen
Håkan Strömberg 8 KTH Syd

Problem 15
A
25
20
15
10
5
3 1 1 3
Figur 12:
Här har vi plottat funktionerna: p1(x) = x 2 + 2x + 2, p2(x) = x 2 + 2x − 3 och
p3(x) = x 2 +2x+5. Vilken är vilken och vad händer då vi ökar q i p(x) = x 2 +px+q?
Skillnaden mellan f(x) = ax 2 + bx + c och g(x) = ax 2 + bx + (c + ∆c), är förstås
g(x) − f(x) = ∆c. Med hjälp av detta kan vi snabbt avgöra vilken funktion som är
vilken
Problem 16
A) p3(x) = x 2 + 2x + 5
B) p1(x) = x 2 + 2x + 2
C) p2(x) = x 2 + 2x − 3
Vad kan man säga om andragradsfunktioner, där p = 0 i p(x) = x 2 + px + q, alltså
p(x) = x 2 + q? Vad krävs för att funktionen ska ha två nollställen? Kan den ha ett
dubbelt nollställe? I så fall för vilka q?
Om vi löser ekvationen
x 2 + q = 0
x1,2 = ± √ −q
ser vi att q ≤ 0 är nödvändigt för att det ska finnas nollställen och att då q = 0 är
det frågan om ett dubbelt nollställe.
Problem 17
Vi önskar två andragradsfunktioner på formen p1(x) = −x 2 + ax + b och p2(x) =
x 2 + cx + d, som skär varandra i (−3, 4) och (3, 4). Bestäm värden på a, b, c och
d. Kan vi utnyttja något vi diskuterat ovan som gör problemet enklare?
Funktionerna f1(x) = (x+3)(x−3) och g1(x) = −(x+3)(x−3) har båda nollställen
i x = −3 och x = 3. f1(x) har ett minimum och g2(x) har ett maximum och de skär
Håkan Strömberg 9 KTH Syd
B
C

varandra i (−3, 0) och (3, 0). Om vi adderar konstanten 4 till båda funktionerna
får vi f2(x) = (x + 3)(x − 3) + 4 och g2(x) = −(x + 3)(x − 3) + 4, efter vad som
diskuterades i problem 15 Svar: f2(x) = x 2 − 5 och g2(x) = 13 − x 2
Problem 18
Så några andragradsekvationer. Bestäm direkt i huvudet dess rötter:
a) x 2 − 2x − 8 = 0
b) x 2 − 3x + 2 = 0
c) x 2 − 4 = 0
d) x 2 − 9x + 20 = 0
e) x 2 + 3x − 70 = 0
Du kan räkna med att alla rötter är heltal!
Hur beror rötterna x1 och x2 till ekvationen på koefficienterna p och q i x2 + px +
q = 0? Från formeln får vi
⎧
⎪⎨ x1 = −
⎪⎩
p
2 +
2 p
− q
4
x2 = − p
2 −
2 p
− q
4
Löser vi detta ekvationssystem med avseende på p och q får vi q = x1 · x2 och
p = −(x1 + x2). Med andra ord, koefficienten q är lika med produkten av rötterna
och p är lika med summan av rötter med ombytt tecken. Tillämpar vi detta på de 5
ekvationerna får vi ganska snabbt
a) x1 = 4 x2 = −2
b) x1 = 2 x2 = 1
c) x1 = 2 x2 = −2
d) x1 = 5 x2 = 4
e) x1 = 7 x2 = −10
Håkan Strömberg 10 KTH Syd

Problem 19
5
6
7
8
1 1 3
Figur 13:
I den här grafen ser vi inte origo och heller inte nollställena. Kan du med hjälp av
grafen bestämma funktionen och därefter nollställena?
Vi använder resultatet från problem 8 som ger oss extrempunkten utifrån funktionen
f(x) = x2 + px + q.
− p
, −p2 + q
2 4
Nu använder vi den i andra riktningen för att få p och q när vi känner extrempunkten,
(1, −9). ⎧ ⎪⎨
⎪⎩
− p2
4
− p
2
= 1
+ q = −9
p = −2 och q = −8. Vi får funktionen f(x) = x 2 − 2x − 8, vars heltalsrötter vi
snabbt kan räkna ut, x1 = −2 och x2 = 4
Håkan Strömberg 11 KTH Syd