21. Det Elektriska Fältet I: Diskreta Laddningsfördelningar

21. Det Elektriska Fältet I: Diskreta Laddningsfördelningar
Vi börjar med att titta p˚a det elektriska fältet fr˚an laddningar i vila - s.k. statisk
elektricitet. Redan de gamla grekerna kände till att attraherande krafter uppstod
d˚a man gnuggade bärnsten. Ordet elektricitet kommer just av det grekiska
ordet för bärnsten - elektron. Vi tittar p˚a isolatorer och ledande material och
hur dessa kan ges ett överskott av laddning. Coulombs lag beskriver kraften
som laddade partiklar utövar p˚a varandra. Det elektriska fältet kan representeras
med fältlinjer som i varje given punkt talar om vilken riktning och vilket
värde det elektriska fältet har. Slutgiltligen tittar vi p˚a hur punktladdningar
och elektriska dipoler uppför sig när de placeras i ett elektriskt fält.
21.1 Elektrisk Laddning
Tv˚a gummistavar som gnuggas med päls repellerar varandra. Likas˚a repellerar
tv˚a glasstavar som gnuggats med silke varandra. Men, glasstaven och gummistaven
attraherar varandra. Detta är ett resultat av en fundamental lag för
elektrisk laddning:
Lika laddningar repellerar varandra.
Olika laddningar attraherar varandra.
Gnuggandet leder till att staven f˚ar ett överskott av elektroner (negativ nettoladdning)
eller ett underskott av elektroner (positiv nettoladdning). Vad som
händer med glasstaven och silket är helt enkelt det motsatta - silket absorberar
elektroner fr˚an glasstaven vilket ger den en positiv nettoladdning. Den mängd
elektroner som överförs är mycket liten jämfört med det totala antalet elektroner
i de b˚ada systemen.
V˚ar värld best˚ar av en mängd positiv och negativ laddning. Blanda av lika
delar plus och minus och du f˚ar ett system i vilket de attraktiva och repellerande
krafterna är i nästintill perfekt balans. För att f˚a en uppfattning om hur stark
den elektriska kraften är och hur liten obalans i mängden plus och minus som
behövs för att släppa lös dessa krafter - betrakta följande exempel. Du st˚ar
p˚a en armslängds avst˚and fr˚an en annan person. Ni b˚ada har givits 1% mer
elektroner än protoner. Den repellerande kraft som d˚a uppst˚ar mellan er är stark
nog att lyfta en massa lika stor som hela jordklotets! Att generera ett s˚adant
laddningsöverskott kräver dock en hel del energi - tur är väl det annars skulle
materian vara betydligt mindre stabil. Balansen är ett makroskopiskt fenomen,
en statistisk effekt. P˚a enskilda atomers niv˚a uppst˚ar ofta elektronöverskott
eller underskott i form av joner.
Även atomära system som har lika mängd
protoner som elektroner kan lokalt uppvisa stora laddningsfördelningar. Man
kan fr˚aga sig själv varför elektronen inte helt enkelt spiralerar in i atomens kärna
och förenas med protonen. Svaret är ligger i kvantmekanikens grundlagar som
styr allt p˚a atomär niv˚a. I den kvantmekaniska värden f˚ar elektronen bara avge
eller ta upp diskreta mängder energi (i form av en foton) när den rör sig ut
ifr˚an eller in mot kärnan mellan olika atomära skal. För att kunna spiralera in
i kärnan m˚aste den kunna avge str˚alning kontinuerligt, vilket inte är till˚atet.
1

Även laddningen i sig själv är kvantiserad och kan bara anta värden ±e. En
neutral atom inneh˚aller lika m˚anga elektroner som protoner.
När vi gnuggar ett material med ett annat s˚a frigör vi elektroner via friktion.
Dessa överförs till det andra objektet - genom att tillföra energi har vi skapat
en obalans mellan de tv˚a systemen. Bevarandet av laddning är en fundamental
naturlag som säger att laddning inte kan förstöras. För er som känner till att
en elektron kan annihileras med sin anti-partikel, positronen, som har positiv
laddning, kanske detta verkar konstigt. Elektron-positron par skapas dock alltid
samtidigt, s˚a nettoladdningen förblir alltid densamma.
För att kunna mäta laddning och kunna relatera den till andra storheter i v˚ar
värld m˚aste vi ge den ett värde. En för v˚ara ändam˚al praktisk enhet för laddning
är SI-enheten Coulomb (C). Coulomb relateras till elektrisk ström, vilken mäts
i Ampère (A). 1 Coulomb är den mängd laddning som flödar genom en tr˚ad
under en sekund d˚a strömmen genom tr˚aden är 1 Ampère. Elementarladdningen
e mätt i Coulomb ges av
e = 1.602777 · 10 −19 C = 1.6 · 10 −19 C (1)
När vi gnuggar tv˚a objekt kan vi överföra laddning av storleksordningen Q = 50
nC = 50·10 −9 C, motsvarande Q/e ≈ 3·10 11 elektroner. Detta kan verka mycket
(100 miljarder elektroner), men en kubikcentimeter av fast materia inneh˚aller
storleksordningen 10 23 elektroner! Dvs en genom att gnugga ett objekt lika stort
som en sockerbit kan vi bara avlägsna 3.0 × 10 −10 % av systemets elektroner!
G˚a igenom stegen i uppgiften p˚a sidan 654 för att räkna ut hur m˚anga
elektroner 3 g koppar inneh˚aller. Allmänt:
m ; massan i gram
M ; molmassan i gram/mol finns tabellerat
NA = 6.02 · 10 23 ; Avogadros konstant =
antal atomer i en mol av ett godtyckligt ämne
Z ; Atomtal = antal protoner och elektroner i en atom
m
⇒ antal elektroner = Ne = ZNA
M
; [#][ #
mol ]
[g]
= [#]
[g/mol]
⇒ total laddning uttryckt i Coulomb = Q = Ne (−e) ; [#][C] = [C]
21.1 Ledare och Isolatorer
Definitioner:
Ledare ≡ ett ämne s˚a som en metall med ett antal elektroner
vilka kan röra sig fritt genom materialet.
Isolator ≡ ett ämne som plast, trä eller papper, i vilket alla
elektroner är lokaliserade runt atomkärnor..
En enskild kopparatom har 29 elektroner som är bunda till kärnan via den
elektrostatiska attraktionen till den positivt laddade kärnan. Elektronerna fyller
2

diskreta sk. atomära skal med successivt högre energier. De elektroner som har
högst energi är löst bundna pga större avst˚and och pga att elektronerna närmare
kärnan skärmar av den attraherande kärnladdningen. När flera Cu atomer
samlas känner elektronerna p˚a en individuell atom av fältet fr˚an närliggande
atomer och bindningar uppst˚ar. Resultatet blir att de yttre elektronerna som
ligger högst i energi frigörs och kan röra sig fritt i materialet. Kopparatomerna
arrangerar sig i ett regelbundet gitter för att minimera den totala energin -
hela systemet best˚ar nu av positivt laddade, lokaliserade kopparjoner och de
delokaliserade, frigjorda elektronerna. Det är de mobila elektronerna (2000 ggr
lättare än protonen) som styr systemets totala laddning. Systemet är negativt
laddat om det har ett överskott av elektroner och positivt laddat om det har ett
underskott av elektroner.
Laddning via Induktion
Betrakta systemet i figur 21-4 p˚a sidan 655. En positivt laddad stav h˚alls
nära (utan att röra vid) en av tv˚a metalliska sfärer vilka är i kontakt med
varandra. Den närliggande sfären känner av fältet fr˚an de positiva laddningarna
och negativt laddade elektroner lokaliseras i sfären mot den ände där staven
befinner sig. Observera att ingen laddning överförs till staven. Eftersom de tv˚a
sfärerna är i kontakt, flödar även elektroner fr˚an den sfär som befinner sig längst
bort, vilket där resulterar i en positivt laddad region. Systemet best˚aende av de
tv˚a sfärerna sägs vara polariserat. Separeras de b˚ada sfärerna innan staven tas
bort, s˚a kan inte systemet ˚aterg˚a till sitt neutrala tillst˚and och polariseringen
av sfärerna kvarst˚ar. En negativt laddad stav skulle resultera i ett system där
sfärerna har omvänd laddning.
I Metalliska, ledande system som är i kontakt med varandra och har ett
över- eller underskott av elektroner, jämnas laddningsfördelningen ut över hela
systemet - laddningen relaxeras.
Jorden i sig själv kan betraktas som en ledande elektronkälla med oändligt
antal elektroner. En ledare som är i kontakt med jorden sägs vara jordad. Figur
21-5 p˚a sidan 655 visar hur en ledare kan ges en negativ nettoladdning genom
induktionsladdning och kontakt med jord. Observera symbolen för jord. Varför
är ojordade elektroniska apparater farliga? Ledning: Vad händer om du rör vid
en ojordad apparats hölje och detta är positivt laddat?
3

21-3 Coulombs lag
Coulombs lag: Den kraft som en punktladdning utövar p˚a en annan laddning
verkar p˚a en linje mellan laddningarna. Kraften är omvänt proportionell mot
avst˚andet mellan laddningarna g˚anger produkten av laddningarnas magnitud.
Kraften är repellerande om laddningarna har samma tecken och attraherande
om de har motsatt tecken.
Om laddning q1 befinner sig p˚a avst˚andet r fr˚an laddning q2 ges magnituden av
kraften som q1 utövar p˚a q2 av
F = k |q1q2|
r 2
där k är en proportionalitetskonstant vid namn Coulombs konstant med värdet
Dimensionskoll:
k ≡ 8.99 · 10 9 N m 2 / C 2
2 N m
[N] =
C 2
[C] [C]
[m2 ]
Med formeln ovan kan värdet p˚a den resulterande kraftvektorn beräknas. För
att beräkna kraftvektorn, som ges av magnituden samt riktningen, behöver vi
Coulombs lag i vektorform. Denna uttrycker den resulterande kraftvektorn som
av q1:s inverkan p˚a q2, om q1 har positionsvektor r1 och q2 har positionsvektor
r2 :
F12 = k q1q2
r2 ˆr12
12
där avst˚andet mellan laddningarna ges av
r12 ≡ |r2 − r1|
enhetsvektorn som pekar fr˚an q1 mot q2 ges av
ˆr12 ≡ (r2 − r1) /r12
(se figur 21-6 sidan 657). Observera att om laddningarna har samma tecken är
kraftvektorns riktning motsatt relativt det fall d˚a de har olika tecken (repulsiv
respektive attraktiv kraft). Enligt Newtons tredje lag gäller att
F12 = − F21
dvs en motsatt riktad kraft − F21 med samma magnitud verkar p˚a q1. Coulombs
lag är p˚a samma form som Newtons gravitations lag, med k ersatt av gravitationskonstanten
G, laddningarna q1 och q2 ersatta av massorna m1 och m2.
Skillnaden mellan dessa lagar ligger i att gravitationen alltid är attraherande,
medan den elektriska kraften är repellerande eller attraherande beroende p˚a
4
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

laddningarnas relativa tecken. Gravitationen, trots att den är den mest för oss
p˚atagliga fundamentalkraften i universum, är ofantligt mycket svagare än den
elektriska kraften (∼ 1039 ggr starkare, se Ex. 21-3 sidan 658). Med andra
ord kan vi helt och h˚allet försumma gravitationen i atomära och molekylära
problem.
Tv˚a laddningar är enkelt - men vad händer om vi har ett system best˚aende av
flera punktladdningar som var och en utövar en kraft p˚a alla andra laddningar?
Av superpositionsprincipen följer att en given laddning upplever en resulterande
kraftvektor som är lika med vektorsumman av alla kraftvektorer som verkar
p˚a laddningen. Laddningen Q upplever s˚aledes en total kraft fr˚an alla andra
laddningar qi; i = 1, ..., N i en diskret laddningsfördelning med N stycken
laddningar
FQ =
N
i=1
k qiQ
r2 ˆriQ
iQ
Detta kan verka rörigt och vi kommer strax att introducera det elektriska fältet
E för att underlätta beräkningar. G˚a igenom exempel 21-3,4,5 och bekanta dig
med Coulombs lag.
21-4. Det elektriska fältet
Den elektriska kraften verkar p˚a avst˚and. Detta leder till konceptuella problem:
vilken är kraftmedlaren? Ändras kraften p˚a en laddning ögonblickligen d˚a
en annan laddning p˚a avst˚and flyttas? Den elektromagnetiska kraftmedladen
är fotonen och kausalitet (inget kan röra sig snabbare än ljuset) förhindrar
ögonblicklig förmedling. För att undvika problemen med verkan p˚a avst˚and
introducerar vi det elektriska fältet, E.
En laddning producerar ett elektriskt fält överallt i rymden och andra laddningar
rör sig i dess effektiva fält. Det är det elektriska fältet fr˚an laddning 1
som utövar kraften p˚a laddning 2 vid laddning 2 - inte laddning 1 som befinner
sig ett avst˚and bort. Ändringar i laddningens position leder till ändringar i dess
fält som propageras med ljusets hasighet c i vakuum. Det elektriska fältet p˚a
avst˚and r fr˚an ursprungsladdningen ändras med en tidsfördröjning t = r/c fr˚an
det att laddningen flyttats.
För att beräkna det elektriska fältet fr˚an en diskret laddningsfördelning s˚a
som i figur 21-11, placerar vi en liten testladdning q0 i punkten där vi vill
utvärdera fältet. Superpositionsprincipen säger att alla omgivande laddningar
bidrar till den kraftvektor som p˚averkar v˚ar testladdning. Alla de kraftvektorer
som summeras till nettokraften är proportionella mot q0. Antag att vi har N
laddningar qi med positionsvektorer ri som genererar ett fält vid punkten r0,
där vi placerar v˚ar testladdning.
F =
N
k
i=1
qiq0
ri0 2 ˆri0 = q0
i=1
N ˆri − ˆr0
kqi
|ri − r0| 2
Vi ser att vi kan ta ut q0 ur summan eftersom den ing˚ar i alla termer. Dividerar
5
(7)

vi bort q0 f˚ar vi det elektriska fältet fr˚an laddningarna q1, ..., qN i punkten r0.
E (r0) = F
q0
=
N
i=1
ˆri0
kqi
r2 i0
; [N]
[C]
Si enheten för det elektriska fältet är s˚aledes N / C . Elektriska fält kan variera
över 20 storleksordningar beroende p˚a deras ursprung (se tabell 21-2). Genom
att flytta runt v˚ar testladdning till olika punkter kan vi generera en karta över
de elektriska fältet i rymden. Det elektriska fältet är allts˚a en funktion av de
cartesiska koordinaterna i rummet, r =(x, y, z), dvs E (r). Omvänt ger formeln
ovan kraften som en funktion av det elektriska fältet,
F = q0 E
Vi släpper nu index 0 i r0 och skriver i stället E som en funktion av r, där r
f˚ar vara en godtycklig punkt i rummet. Sammanfattningsvis ges det elektriska
fältet som en funktion av x, y, z generarat av den diskreta laddningsfördelningen
{qi} N i=1 best˚aende av N stycken punktladdningar med positionsvektorer {ri} N i=1
av:
E (r) =
N ˆr − ˆri
kqi
|r − ri| 2
i=1
Läs igenom exempel 21-6, 21-7 för att f˚a en först˚aelse hur formeln används i
praktiken.
Elektriska dipoler
Tv˚a lika stora laddningar ±q som befinner sig p˚a avst˚and L fr˚an varandra med
avst˚andsvektor L = L ˆ L kallas för en elektrisk dipol. Vi definierar det elektriska
dipolmomentet som en vektor fr˚an −q mot +q multiplicerat med laddningsmagnituden
q.
p = q L = qL ˆ L ; ˆ L = L/| L|
Studera exempel 21-8. Hur beror det elektriska fältet p˚a avst˚andet fr˚an dipolen
(för stora avst˚and)? Hur varierar fältet d˚a vi ersätter dipolen med en nettoladdning
skiljd fr˚an noll? Vad beror skillnaden mellan de tv˚a fallen p˚a?
6
(8)