2 . 1 L ä n g d , o m k r e t s o c h a r e a - mattliden.fi
2 . 1 L ä n g d , o m k r e t s o c h a r e a - mattliden.fi
2 . 1 L ä n g d , o m k r e t s o c h a r e a - mattliden.fi
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2 . 1 L <strong>ä</strong> n g d , o m k r e t s o c h a r e a<br />
Ett plan <strong>ä</strong>r en yta som inte <strong>ä</strong>r buktig och som <strong>ä</strong>r obegr<strong>ä</strong>nsad åt alla håll.<br />
På ett plan kan man rita en linje som <strong>ä</strong>r rak (r<strong>ä</strong>t). En linje <strong>ä</strong>r obegr<strong>ä</strong>nsad åt båda håll:<br />
Två linjer i ett plan <strong>ä</strong>r parallella om det inte <strong>fi</strong>nns någon punkt som ligger på båda linjerna.<br />
Man kan <strong>ä</strong>ven s<strong>ä</strong>ga att linjerna aldrig möts:<br />
En del av en linje som begr<strong>ä</strong>nsas av två punkter, s.k. <strong>ä</strong>ndpunkter, kallas en str<strong>ä</strong>cka:<br />
Str<strong>ä</strong>ckans storlek, dvs. avståndet mellan <strong>ä</strong>ndpunkterna, kallas l<strong>ä</strong>ngd. För att ange l<strong>ä</strong>ngden<br />
anv<strong>ä</strong>nds l<strong>ä</strong>ngdenheter. En vanlig l<strong>ä</strong>ngdenhet <strong>ä</strong>r meter (skrivs ”m”).<br />
Genom att anv<strong>ä</strong>nda pre<strong>fi</strong>x fås bl.a. följande enheter:<br />
L<strong>ä</strong>ngdenhet Motsvarar Med<br />
tiopotens<br />
1 mm 0,001 m 10 –3 m<br />
1 cm 0,01 m 10 –2 m<br />
1 dm 0,1 m 10 –1 m<br />
1 km 1000 m 10 3 m<br />
1 mil 10 000 m 10 4 m<br />
1000 mm 1 m 10 3 mm<br />
100 cm 1 m 10 2 cm<br />
10 dm 1 m 10 1 dm<br />
0,001 km 1 m 10 –3 km<br />
0,0001 mil 1 m 10 –4 mil<br />
En vanlig linjal brukar vara graderad i millimeter och centimeter. Med denna kan man både<br />
m<strong>ä</strong>ta och rita str<strong>ä</strong>ckor.<br />
Genom att rita flera str<strong>ä</strong>ckor kan man skapa en geometrisk <strong>fi</strong>gur. Ett sådant exempel <strong>ä</strong>r en<br />
rektangel, vilken består av fyra punkter, s.k. hörn, mellan vilka det dras fyra str<strong>ä</strong>ckor.<br />
Dessa str<strong>ä</strong>ckor kallas för sidor, uppdelade i bredd och l<strong>ä</strong>ngd. Summan av sidornas l<strong>ä</strong>ngder<br />
kallas rektangeln omkrets.
För rektangeln g<strong>ä</strong>ller att vinkeln mellan två sidor i ett hörn <strong>ä</strong>r r<strong>ä</strong>t (90°) och att motstående<br />
sidor (dvs. sidor mitt emot varandra) <strong>ä</strong>r parallella samt lika långa.<br />
Ovanstående rektangel har l<strong>ä</strong>ngden 4 m och bredden 3 m.<br />
Omkretsen 3 + 3 + 4 + 4 = 2 · 3 + 2 · 4 = 14 m.<br />
Rektangeln utgör en begr<strong>ä</strong>nsad yta. Storleken på ytan kallas area. För att ange arean<br />
anv<strong>ä</strong>nds areaenheter. En vanlig areaenhet <strong>ä</strong>r kvadratmeter (skrivs m 2 ). Arean (A) för en<br />
rektangel ber<strong>ä</strong>knas genom att multiplicera l<strong>ä</strong>ngd (l) och bredd (b) och det kan skrivas med<br />
hj<strong>ä</strong>lp av en formel:<br />
För ovanstående rektangel <strong>ä</strong>r arean A = 4 · 3 = 12 m 2<br />
Ovanstående areaformel motiverar varför areaenheten <strong>ä</strong>r m 2 . Genom att multiplicera l och b<br />
kan man s<strong>ä</strong>ga att l<strong>ä</strong>ngdenheterna ”m” och ”m” multipliceras. D<strong>ä</strong>rmed fås m · m = m 2 .<br />
1 m 2 kan ses som en kvadrat (rektangel med lika långa sidor) d<strong>ä</strong>r varje sida <strong>ä</strong>r en meter<br />
lång. Eftersom 1 m = 100 cm så <strong>ä</strong>r varje sida 100 cm. För att ange arean uttryckt i cm 2 så<br />
anv<strong>ä</strong>nds areaformeln ovan:<br />
A = 100 · 100 = 10 000 cm 2<br />
Observera h<strong>ä</strong>r skillnaden mellan l<strong>ä</strong>ngd och area vid s.k. enhetsomvandling:<br />
1 m = 100 cm 1 m 2 = 10 000 cm 2<br />
Då decimaltecknet flyttas två steg vid omvandling av l<strong>ä</strong>ngdenheter så flyttas det dubbelt så<br />
många steg, fyra steg, vid omvandling av areaenheter.
Några vanliga areaenheter:<br />
Areaenhet Motsvarar Med<br />
1 mm 2 0,000001<br />
m 2<br />
tiopotens<br />
10 –6 m 2<br />
1 cm 2 0,0001 m 2 10 –4 m 2<br />
1 dm 2 0,01 m 2 10 –2 m 2<br />
1 km 2 1 000 000<br />
m 2<br />
1 mil 2 100 000 000<br />
1 000 000<br />
mm 2<br />
m 2<br />
10 6 m 2<br />
10 8 m 2<br />
1 m 2 10 6 mm 2<br />
10 000 cm 2 1 m 2 10 4 cm 2<br />
100 dm 2 1 m 2 10 2 dm 2<br />
0,000001<br />
km 2<br />
0,00000001<br />
mil 2<br />
Dessutom förekommer:<br />
1 a (”ar”) = 100 m 2<br />
1 ha (”hektar”) = 10 000 m 2<br />
1 ha = 100 a<br />
1 m 2 10 –6 km 2<br />
1 m 2 10 –8 mil 2
2 . 2 G e o m e t r i s k a f i g u r e r<br />
H<strong>ä</strong>r följer några av de vanligaste geometriska <strong>fi</strong>gurerna med en beskrivning av<br />
deras egenskaper samt omkrets- och areaformler.<br />
Triangel<br />
Beskrivning: En triangel består av tre sidor som möts i tre hörn.<br />
Omkrets:<br />
Area:<br />
Kommentar: Höjden (h) <strong>ä</strong>r vinkelr<strong>ä</strong>t (90°) mot basen (b).<br />
Rektangel<br />
Beskrivning: En rektangel <strong>ä</strong>r en fyrhörning d<strong>ä</strong>r vinklarna <strong>ä</strong>r r<strong>ä</strong>ta.<br />
Omkrets:<br />
Area:<br />
Kommentar: • Ist<strong>ä</strong>llet för b (bredd) och h (höjd) anv<strong>ä</strong>nds ofta<br />
beteckningarna b (bredd) och l (l<strong>ä</strong>ngd).<br />
• En r<strong>ä</strong>t linje, som inte motsvarar en sida i rektangeln,<br />
från ett hörn till ett annat hörn, kallas för diagonal<br />
(betecknas d i ovanstående <strong>fi</strong>gur).
Kvadrat<br />
Beskrivning: En kvadrat <strong>ä</strong>r en fyrhörning d<strong>ä</strong>r vinklarna <strong>ä</strong>r r<strong>ä</strong>ta och sidorna lika<br />
långa.<br />
Omkrets:<br />
Area:<br />
Parallellogram<br />
Beskrivning: En parallellogram <strong>ä</strong>r en fyrhörning med parvis parallella sidor.<br />
Omkrets:<br />
Area:<br />
Kommentar: Höjden (h) <strong>ä</strong>r vinkelr<strong>ä</strong>t (90°) mot basen (b).<br />
Romb<br />
Beskrivning: En romb <strong>ä</strong>r en fyrhörning d<strong>ä</strong>r alla sidor <strong>ä</strong>r lika långa.<br />
Omkrets:<br />
Area:
Kommentar: • Höjden (h) <strong>ä</strong>r vinkelr<strong>ä</strong>t (90°) mot basen (s).<br />
• Diagonalerna d 1 och d 2 delar varandra mitt itu.<br />
• Vinkeln mellan diagonalerna <strong>ä</strong>r r<strong>ä</strong>t (90°).<br />
Parallelltrapets<br />
Beskrivning: En parallelltrapets <strong>ä</strong>r en fyrhörning med två parallella sidor.<br />
Omkrets:<br />
Area:<br />
Kommentar: Höjden (h) <strong>ä</strong>r vinkelr<strong>ä</strong>t (90°) mot basen (b).<br />
Cirkel<br />
Beskrivning: Alla de punkter i ett plan som be<strong>fi</strong>nner sig ett best<strong>ä</strong>mt avstånd<br />
från en medelpunkt, bildar tillsammans en kurva som kallas cirkel.<br />
För att kunna r<strong>ä</strong>kna ut cirkeln omkrets och area kr<strong>ä</strong>vs en konstant (dvs. ett<br />
visst oför<strong>ä</strong>nderligt tal) som skrivs π (en grekisk symbol) och uttalas "pi".<br />
Denna konstant <strong>ä</strong>r förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter, dvs. π<br />
= O/d. På din minir<strong>ä</strong>knare kan du få fram ett n<strong>ä</strong>rmev<strong>ä</strong>rde för π genom<br />
knappen<br />
π ≈ 3,14159265..
Omkrets:<br />
Area:<br />
Kommentar: • Radien betecknar en str<strong>ä</strong>cka från medelpunkten till en<br />
punkt på cirkeln.<br />
• Diametern (d) <strong>ä</strong>r dubbelt så lång som radien (r).<br />
Allm<strong>ä</strong>nna kommentarer om geometriska <strong>fi</strong>gurer<br />
• Triangeln, kvadraten, rektangeln, romben, parallellogrammen och<br />
parallelltrapetsen <strong>ä</strong>r exempel på månghörningar eller polygoner. Andra<br />
exempel <strong>ä</strong>r femhörningen, sexhörningen osv. med fem sidor och hörn<br />
respektive sex sidor och hörn.<br />
• Kvadraten, rektangeln, romben, parallellogrammen och<br />
parallelltrapetsen <strong>ä</strong>r exempel på fyrhörningar, eftersom de alla har fyra<br />
hörn.<br />
• Kvadraten, rektangeln, romben och parallellogrammen <strong>ä</strong>r exempel på<br />
parallelltrapetser, eftersom de alla <strong>ä</strong>r fyrhörningar med (minst) två<br />
parallella sidor.<br />
• Kvadraten, rektangeln och romben <strong>ä</strong>r exempel på parallellogrammer,<br />
eftersom de alla <strong>ä</strong>r fyrhörningar med parvis parallella sidor.<br />
• Kvadraten <strong>ä</strong>r ett exempel på en rektangel, eftersom den <strong>ä</strong>r en<br />
fyrhörning d<strong>ä</strong>r vinklarna <strong>ä</strong>r r<strong>ä</strong>ta.<br />
• Kvadraten <strong>ä</strong>r ett exempel på en romb, eftersom den <strong>ä</strong>r en fyrhörning<br />
d<strong>ä</strong>r alla sidorna <strong>ä</strong>r lika långa.<br />
• En halv cirkel kallas halvcirkel och en fj<strong>ä</strong>rdedels cirkel kallas<br />
kvartscirkel.
2 . 3 P y t h a g o r a s s a t s o c h k v a d r a t r o t e n<br />
I flera tusen år har m<strong>ä</strong>nniskan k<strong>ä</strong>nt till ett speciellt samband som idag kallas<br />
Pythagoras sats. Trots att satsen fått sitt namn efter den grekiska<br />
matematikern Pythagoras (verksam för ca. 2500 år sedan) så var det inte han<br />
som uppt<strong>ä</strong>ckte sambandet, utan det var k<strong>ä</strong>nt långt tidigare. Pythagoras anses<br />
dock ha varit den första som bevisade satsen.<br />
Pythagoras sats handlar om r<strong>ä</strong>tvinkliga trianglar, dvs. trianglar med en r<strong>ä</strong>t<br />
vinkel (90°). I en sådan triangel kallas de sidor som möts i den r<strong>ä</strong>ta vinkeln för<br />
kateter och den tredje sidan för hypotenusa.<br />
Pythagoras sats kan med ord formuleras:<br />
Med matematiska symboler skrivs Pythagoras sats:<br />
Det <strong>ä</strong>r <strong>ä</strong>ven möjligt att v<strong>ä</strong>nda på slutsatsen:<br />
Ett exempel på en r<strong>ä</strong>tvinklig triangel:<br />
Summan av kvadraterna på kateterna <strong>ä</strong>r 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25<br />
Kvadraten på hypotenusan <strong>ä</strong>r 5 2 = 25
Dvs. Pythagoras sats st<strong>ä</strong>mmer eftersom triangeln <strong>ä</strong>r r<strong>ä</strong>tvinklig: 3 2 + 4 2 = 5 2<br />
Pythagoras sats kan anv<strong>ä</strong>ndas för att ta reda på en ok<strong>ä</strong>nd sida i en triangel.<br />
Antag exempelvis att en r<strong>ä</strong>tvinklig triangel har kateter vars l<strong>ä</strong>ngder <strong>ä</strong>r 12 mm<br />
respektive 16 mm och att du vill ta reda på hur lång hypotenusan <strong>ä</strong>r.<br />
Antag att hypotenusans l<strong>ä</strong>ngd <strong>ä</strong>r c mm lång.<br />
Enligt Pythagoras sats g<strong>ä</strong>ller: 12 2 + 16 2 = c 2<br />
Termerna r<strong>ä</strong>knas ut: 144 + 256 = c 2<br />
Summan ber<strong>ä</strong>knas: 400 = c 2<br />
Likheten v<strong>ä</strong>nds: c 2 = 400<br />
Denna likhet kan formuleras som frågest<strong>ä</strong>llningen ”Vilket tal, c, multiplicerat<br />
med sig sj<strong>ä</strong>lvt <strong>ä</strong>r lika med fyra hundra?” eller ”Vilket tal, c, upphöjt med två <strong>ä</strong>r<br />
lika med fyra hundra?”<br />
Genom huvudr<strong>ä</strong>kning kan man nå resultatet 20 mm men det <strong>fi</strong>nns <strong>ä</strong>ven ett<br />
s<strong>ä</strong>tt att best<strong>ä</strong>mma talet med hj<strong>ä</strong>lp av minir<strong>ä</strong>knaren, n<strong>ä</strong>mligen genom att<br />
anv<strong>ä</strong>nda funktionen kvadratroten.<br />
Vi skriver<br />
Detta kan uttalas ”c <strong>ä</strong>r lika med kvadratroten ur fyrahundra <strong>ä</strong>r lika med tjugo”.<br />
kallas rottecken.<br />
På din minir<strong>ä</strong>knare kan du anv<strong>ä</strong>nda knappen<br />
På vissa r<strong>ä</strong>knare skapas en v<strong>ä</strong>nsterparentes automatiskt n<strong>ä</strong>r<br />
kvadratrotsknappen trycks in och då kr<strong>ä</strong>vs en högerparentes i slutet:<br />
På andra minir<strong>ä</strong>knare kr<strong>ä</strong>vs inga parenteser och då kan följande tryckningar<br />
fungera:<br />
Egentligen <strong>fi</strong>nns det två svar på frågan vad c <strong>ä</strong>r då c 2 = 400. Utöver 20 så kan<br />
c <strong>ä</strong>ven vara –20, eftersom (–20) · (–20) = 400 . Man kan skriva<br />
c = ±20 för att visa båda möjligheterna. I detta speciella fall d<strong>ä</strong>r c <strong>ä</strong>r en sida i<br />
en triangel så <strong>ä</strong>r det negativa alternativet inte relevant. Alltså bortser man från
det h<strong>ä</strong>r.<br />
Om resultatet av ”kvadratroten ur” inte <strong>ä</strong>r ett heltal så anger minir<strong>ä</strong>knaren ett<br />
n<strong>ä</strong>rmev<strong>ä</strong>rde. Exempelvis g<strong>ä</strong>ller att<br />
Observera att det inte <strong>ä</strong>r möjligt att dra kvadratroten ur ett negativt tal<br />
eftersom inget tal multiplicerat med sig sj<strong>ä</strong>lvt kan vara negativt (om du<br />
forts<strong>ä</strong>tter l<strong>ä</strong>sa matematik på högre nivåer så kommer du dock så småningom<br />
att kunna dra kvadratroten ur negativa tal genom att anv<strong>ä</strong>nda s.k. komplexa<br />
tal).