18.09.2013 Views

Rubiks Kub

Rubiks Kub

Rubiks Kub

SHOW MORE
SHOW LESS

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.

<strong>Rubiks</strong> <strong>Kub</strong><br />

Joakim Östlund<br />

Patrik Lindegrén<br />

7 juni 2005


Innehåll<br />

1 Matte 3<br />

1.1 a) Övre gräns på permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />

1.2 b) Bevis för icke-existens av singulära roterade kant/hörn kuber . 4<br />

1.3 c) Bevis för icke-existens av singulära permuterade kubpar . . . . 5<br />

1.4 d) Definition av operationen M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />

1.5 e) Effekter av vridningsföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />

1.6 f) Bevis av giltiga permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />

1.7 g) Totalt antal giltiga permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

2


1 Matte<br />

1.1 a) Övre gräns på permutationer<br />

För att beräkna den övre gränsen på kubens totala antal permutationer måste<br />

vi ha flera olika faktorer i åtanke. För det första har vi totalt 8 hörnbitar. Dessa<br />

kan vara i en av 8 olika positioner vid ett givet tillfälle. Ett sätt att se på saken<br />

är att man först väljer ett hörn, och placerar ut det. Då finns det 8 olika platser<br />

att välja på. Sedan tar man nästa hörn och gör samma sak, med då har man<br />

bara 7 platser kvar att välja på. Detta ger oss till slut 8 · 7 · . . . · 1 = 8! sätt att<br />

placera ut hörnen.<br />

Sedan måste vi tänka på hur hörnen är roterade. Varje hörn kan vara roterat<br />

på ett av 3 sätt vid ett givet tillfälle. 8 hörn med 3 olika rotationer ger oss<br />

totalt 3 · 3 · . . . = 3 8 olika kombinationer av hörnrotationer.<br />

Samma sak gäller för kantbitarna i kuben: 12 hörn som kan placeras på 12<br />

olika positioner ger oss totalt 12! sätt att placera kanterna, och då varje kant<br />

kan vara roterad på ett av två sätt får vi 2 12 olika kombinationer av kantbitar.<br />

En sista sak man kan tänka på, men som inte spelar någon roll på en vanlig kub<br />

med mono-färgade sidor är mittenbitarnas rotation. Totalt 6 mittenbitar som<br />

kan vara roterade på 4 olika sätt ger oss 4 6 kombinationer av roterade mittenbitar.<br />

Den övre gränsen för det totala antalet permutationer av kuben blir därför:<br />

3 8 8! · 2 12 12! = 519024039293878272000 ≈ 5.2 · 10 20<br />

3


1.2 b) Bevis för icke-existens av singulära roterade kant/hörn<br />

kuber<br />

Vi definierar den totala hörnvridningen som summan i grader av rotationerna<br />

av alla hörnen på en given sida på kuben. På samma sätt definierar vi den totala<br />

kantvridningen som summan i grader av rotationerna av alla kanterna på en<br />

given sida på kuben. Bägge dessa summor anger ett värde som är relativt mot<br />

en kub som befinner sig i utgångsläget, och räknas modulus 360.<br />

Då man roterar en sida på kuben roteras alla hörnkuberna och alla sidkuberna<br />

med 90 grader. Den totala sid- och hörnvridningen ökas därför med 360 o , vilket<br />

mod 360 blir 0 o . Man kan därför säga att den totala sid- och hörnvridningen<br />

altid är konstant, varför det inte går att endast rotera en sida eller ett hörn<br />

utan att något annat påverkas. För att t.ex. rotera endast en sidkub krävs en<br />

rotation på 180 o längs en axel, och 90 o längs en annan, vilket blir 270 o . Den<br />

totala sidkubsvridningen skulle därför ha ändrats, vilket är en omöjlighet.<br />

4


1.3 c) Bevis för icke-existens av singulära permuterade<br />

kubpar<br />

Figur 1: Till höger: En sida av en kub, med varje bit numrerad. Till vänster:<br />

Samma sida, roterad 90 grader medurs.<br />

I fig. 1 ser vi en sida av en rubiks kub där alla kuberna har blivit numrerade. I<br />

fig. 1 ser vi samma sida på samma kub som har roterats ett kvartsvarv medurs.<br />

Som vi kan se motsvarar en rotation av sidan en permutation av hörn- och sidokuberna<br />

i sidan. Studerar man permutationerna ett tag får man fram följande<br />

cykel för hörnkuberna: (1 3 5 7), och följande för sidokuberna: (2 4 6 8). Den<br />

totala permutationscykeln för en sida i kuben blir då (1 3 5 7)(2 4 6 8), vilket<br />

är en jämn permutation.<br />

Figur 2: Samma kubsida där två hörn har bytt plats.<br />

I fig. 2 ser vi samma kubsida, men här har endast två hörn bytt plats. Skriver<br />

vi upp permutationscykeln för denna operation får vi (1 7)(3)(5)(2)(4)(6)(8),<br />

vilket är en udda permutation, och därför något som ej går att genomföra.<br />

1.4 d) Definition av operationen M<br />

M-operationen som vrider mittenlagret i kuben kan definieras som operationen<br />

{VH −1 }. Problemet med detta är dock att M även permuterar mittenbitarna i<br />

kuben. För att råda bot på de ändringar i efterföljande operationen som uppstår<br />

om man skriver om M till mer grundläggande operationer krävs att man<br />

permuterar dessa operationer enligt schemat (U F N B)(H)(V), för att bibehålla<br />

operationernas verkningsområde.<br />

5


1.5 e) Effekter av vridningsföljder<br />

Figur 3: Resultat av olika vridningsföljder.<br />

I fig. 3 ser vi effekten av olika vridningsföljder. De påverkar endast bitarna i det<br />

översta lagret på kuben. Följder var:<br />

1. {HU −1 V −1 UH −1 U −1 VU}<br />

Resulterar i tre roterade och permuterade hörn.<br />

2. {HUH −1 UHU 2 H −1 U 2 }<br />

Resulterar i tre roterade hörn och tre permuterade kanter.<br />

3. {MUM −1 U 2 MUM −1 }<br />

Resulterar i två roterade och tre permuterade kanter.<br />

4. {MU 2 M −1 UMU 2 M −1 UMU 2 M −1 }<br />

Resulterar i tre permuterade kanter.<br />

1.6 f) Bevis av giltiga permutationer<br />

Genom att kombinera dessa operationer kan man uppnå alla ställningar. Alla<br />

möjliga positioner för kantbitarna i lagret är möjliga att åstadkomma genom att<br />

använda operation 4. På samma sätt är alla rotationer för kantbitarna möjliga<br />

att åstadkomma genom att använda operationerna 3 och 4. För kubens hörn<br />

kan alla positioner uppnås med 1, 2 och 4 och alla rotationer med 2 och 4.<br />

Genom att först utföra operation 3, därefter rotera hela kuben 180 o och utföra<br />

operation 4 får man en kub med två roterade kanter och inga permutationer.<br />

På samma sätt ger 2 + 90 o rotation + 4 en kub med tre roterade hörn utan<br />

permutationer.<br />

Alla dessa operationer måste lämna den totala hörn- och kantvridningen intakt,<br />

samt lämna kubens permutation jämn, då varje operation är en serie med<br />

vridningar, och varje individuell vridning redan har bevisats ha dessa egenskaper.<br />

6


1.7 g) Totalt antal giltiga permutationer<br />

Vi utgår från det maximala antalet möjliga permutationer, och plockar bort<br />

de som är ogiltiga. Först och främst vet vi att kubens permutation måste vara<br />

jämn, varför hälften av alla möjligheter försvinner. Vi dividerar därför med 2.<br />

Sedan måste vi ha ett jämnt antal roterade kanter, och dividerar därför med<br />

2 igen. Slutgiltligen tittar vi på 3 8 , som säger att alla hörn i kuben kan vara<br />

roterade på ett av tre sätt. Detta stämmer dock inte, som vi såg ovan, då den<br />

totala kantvridningen måste bli 0 (i mod 360). Det finns därför bara ett enda<br />

sätt som det ”sista” hörnet kan vara roterat, och vi dividerar därför med 3, och<br />

får då<br />

3 7 8! · 2 10 12! = 43252003274489856000 ≈ 4.3 · 10 19<br />

vilket är det totala antalet giltiga permutationer som kan uppnås via vridningar<br />

av någon av kubens kanter.<br />

7

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!