Rubiks Kub
Rubiks Kub
Rubiks Kub
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Rubiks</strong> <strong>Kub</strong><br />
Joakim Östlund<br />
Patrik Lindegrén<br />
7 juni 2005
Innehåll<br />
1 Matte 3<br />
1.1 a) Övre gräns på permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.2 b) Bevis för icke-existens av singulära roterade kant/hörn kuber . 4<br />
1.3 c) Bevis för icke-existens av singulära permuterade kubpar . . . . 5<br />
1.4 d) Definition av operationen M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.5 e) Effekter av vridningsföljder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.6 f) Bevis av giltiga permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.7 g) Totalt antal giltiga permutationer . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />
2
1 Matte<br />
1.1 a) Övre gräns på permutationer<br />
För att beräkna den övre gränsen på kubens totala antal permutationer måste<br />
vi ha flera olika faktorer i åtanke. För det första har vi totalt 8 hörnbitar. Dessa<br />
kan vara i en av 8 olika positioner vid ett givet tillfälle. Ett sätt att se på saken<br />
är att man först väljer ett hörn, och placerar ut det. Då finns det 8 olika platser<br />
att välja på. Sedan tar man nästa hörn och gör samma sak, med då har man<br />
bara 7 platser kvar att välja på. Detta ger oss till slut 8 · 7 · . . . · 1 = 8! sätt att<br />
placera ut hörnen.<br />
Sedan måste vi tänka på hur hörnen är roterade. Varje hörn kan vara roterat<br />
på ett av 3 sätt vid ett givet tillfälle. 8 hörn med 3 olika rotationer ger oss<br />
totalt 3 · 3 · . . . = 3 8 olika kombinationer av hörnrotationer.<br />
Samma sak gäller för kantbitarna i kuben: 12 hörn som kan placeras på 12<br />
olika positioner ger oss totalt 12! sätt att placera kanterna, och då varje kant<br />
kan vara roterad på ett av två sätt får vi 2 12 olika kombinationer av kantbitar.<br />
En sista sak man kan tänka på, men som inte spelar någon roll på en vanlig kub<br />
med mono-färgade sidor är mittenbitarnas rotation. Totalt 6 mittenbitar som<br />
kan vara roterade på 4 olika sätt ger oss 4 6 kombinationer av roterade mittenbitar.<br />
Den övre gränsen för det totala antalet permutationer av kuben blir därför:<br />
3 8 8! · 2 12 12! = 519024039293878272000 ≈ 5.2 · 10 20<br />
3
1.2 b) Bevis för icke-existens av singulära roterade kant/hörn<br />
kuber<br />
Vi definierar den totala hörnvridningen som summan i grader av rotationerna<br />
av alla hörnen på en given sida på kuben. På samma sätt definierar vi den totala<br />
kantvridningen som summan i grader av rotationerna av alla kanterna på en<br />
given sida på kuben. Bägge dessa summor anger ett värde som är relativt mot<br />
en kub som befinner sig i utgångsläget, och räknas modulus 360.<br />
Då man roterar en sida på kuben roteras alla hörnkuberna och alla sidkuberna<br />
med 90 grader. Den totala sid- och hörnvridningen ökas därför med 360 o , vilket<br />
mod 360 blir 0 o . Man kan därför säga att den totala sid- och hörnvridningen<br />
altid är konstant, varför det inte går att endast rotera en sida eller ett hörn<br />
utan att något annat påverkas. För att t.ex. rotera endast en sidkub krävs en<br />
rotation på 180 o längs en axel, och 90 o längs en annan, vilket blir 270 o . Den<br />
totala sidkubsvridningen skulle därför ha ändrats, vilket är en omöjlighet.<br />
4
1.3 c) Bevis för icke-existens av singulära permuterade<br />
kubpar<br />
Figur 1: Till höger: En sida av en kub, med varje bit numrerad. Till vänster:<br />
Samma sida, roterad 90 grader medurs.<br />
I fig. 1 ser vi en sida av en rubiks kub där alla kuberna har blivit numrerade. I<br />
fig. 1 ser vi samma sida på samma kub som har roterats ett kvartsvarv medurs.<br />
Som vi kan se motsvarar en rotation av sidan en permutation av hörn- och sidokuberna<br />
i sidan. Studerar man permutationerna ett tag får man fram följande<br />
cykel för hörnkuberna: (1 3 5 7), och följande för sidokuberna: (2 4 6 8). Den<br />
totala permutationscykeln för en sida i kuben blir då (1 3 5 7)(2 4 6 8), vilket<br />
är en jämn permutation.<br />
Figur 2: Samma kubsida där två hörn har bytt plats.<br />
I fig. 2 ser vi samma kubsida, men här har endast två hörn bytt plats. Skriver<br />
vi upp permutationscykeln för denna operation får vi (1 7)(3)(5)(2)(4)(6)(8),<br />
vilket är en udda permutation, och därför något som ej går att genomföra.<br />
1.4 d) Definition av operationen M<br />
M-operationen som vrider mittenlagret i kuben kan definieras som operationen<br />
{VH −1 }. Problemet med detta är dock att M även permuterar mittenbitarna i<br />
kuben. För att råda bot på de ändringar i efterföljande operationen som uppstår<br />
om man skriver om M till mer grundläggande operationer krävs att man<br />
permuterar dessa operationer enligt schemat (U F N B)(H)(V), för att bibehålla<br />
operationernas verkningsområde.<br />
5
1.5 e) Effekter av vridningsföljder<br />
Figur 3: Resultat av olika vridningsföljder.<br />
I fig. 3 ser vi effekten av olika vridningsföljder. De påverkar endast bitarna i det<br />
översta lagret på kuben. Följder var:<br />
1. {HU −1 V −1 UH −1 U −1 VU}<br />
Resulterar i tre roterade och permuterade hörn.<br />
2. {HUH −1 UHU 2 H −1 U 2 }<br />
Resulterar i tre roterade hörn och tre permuterade kanter.<br />
3. {MUM −1 U 2 MUM −1 }<br />
Resulterar i två roterade och tre permuterade kanter.<br />
4. {MU 2 M −1 UMU 2 M −1 UMU 2 M −1 }<br />
Resulterar i tre permuterade kanter.<br />
1.6 f) Bevis av giltiga permutationer<br />
Genom att kombinera dessa operationer kan man uppnå alla ställningar. Alla<br />
möjliga positioner för kantbitarna i lagret är möjliga att åstadkomma genom att<br />
använda operation 4. På samma sätt är alla rotationer för kantbitarna möjliga<br />
att åstadkomma genom att använda operationerna 3 och 4. För kubens hörn<br />
kan alla positioner uppnås med 1, 2 och 4 och alla rotationer med 2 och 4.<br />
Genom att först utföra operation 3, därefter rotera hela kuben 180 o och utföra<br />
operation 4 får man en kub med två roterade kanter och inga permutationer.<br />
På samma sätt ger 2 + 90 o rotation + 4 en kub med tre roterade hörn utan<br />
permutationer.<br />
Alla dessa operationer måste lämna den totala hörn- och kantvridningen intakt,<br />
samt lämna kubens permutation jämn, då varje operation är en serie med<br />
vridningar, och varje individuell vridning redan har bevisats ha dessa egenskaper.<br />
6
1.7 g) Totalt antal giltiga permutationer<br />
Vi utgår från det maximala antalet möjliga permutationer, och plockar bort<br />
de som är ogiltiga. Först och främst vet vi att kubens permutation måste vara<br />
jämn, varför hälften av alla möjligheter försvinner. Vi dividerar därför med 2.<br />
Sedan måste vi ha ett jämnt antal roterade kanter, och dividerar därför med<br />
2 igen. Slutgiltligen tittar vi på 3 8 , som säger att alla hörn i kuben kan vara<br />
roterade på ett av tre sätt. Detta stämmer dock inte, som vi såg ovan, då den<br />
totala kantvridningen måste bli 0 (i mod 360). Det finns därför bara ett enda<br />
sätt som det ”sista” hörnet kan vara roterat, och vi dividerar därför med 3, och<br />
får då<br />
3 7 8! · 2 10 12! = 43252003274489856000 ≈ 4.3 · 10 19<br />
vilket är det totala antalet giltiga permutationer som kan uppnås via vridningar<br />
av någon av kubens kanter.<br />
7